Применение определенного интеграла к вычислению объемов

Лекция 4 Тема. Применение определенного интеграла к вычислению объемов Понятие кубируемости тела и его объема Дано тело Р произвольной формы, ограниченное замкнутой поверхностью. Рассмотрим всевозможные многогранники q, целиком содержащиеся в теле Р и многогранники Q, содержащие в себе тело Р. Рассмотрим множество всех содержащихся в теле Р многогранников и множество их объемов {Vq}. Это множество будет ограничено сверху, например, любым числом VQ. Обозначим точную верхнюю границу этого множества V* = sup {Vq}. Аналогично множество всех содержащих в себе тело Р многогранников {VQ} ограничено снизу, например, любым числом Vq. Обозначим точную нижнюю границу этого множества V* = inf {VQ}. Очевидно, что имеет место соотношение V* ≤ V* . Определение 3.2. Тело Р называется кубируемым, если для него границы V* и V* совпадают. При этом число V = V* = V* называется объемом кубируемого тела. Теорема 3.3. Тело Р кубируемо тогда и только тогда, когда   0 существует такой содержащийся в теле многогранник q и содержащий тело многогранник Q, что VQ – Vq   . Доказательство. Необходимость. Р – кубируемо, тогда V*  V * .  V*  supVq  =>   0  многогранник q : V*  Vq  . 2  V *  inf VQ  =>   0  многогранник Q : VQ  V *  . 2  V*  Vq  2  VQ  V *  2 V*  Vq  VQ  V *   VQ  Vq   Тогда   0  многогранники Q и q : VQ  Vq   . Достаточность.   0  многогранники Q и q : VQ  Vq   .  V *  VQ Vq  V*  V  VQ , запишем это неравенство в следующем виде   V*  Vq V *  VQ *  V*  Vq V *  V*  VQ  Vq   V *  V*   => V*  V * => Р– кубируемо. Кубируемость цилиндра Прямой цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью, образующие которого параллельны оси и двумя плоскостями, перпендикулярными оси. Расстояние между плоскостями  и  является высотой цилиндра h. Цилиндрическая поверхность в пересечении с плоскостью  образует фигуру К – основание цилиндра. Теорема 3.4. Если в основании цилиндра лежит квадрируемая фигура К, то цилиндр является кубируемым телом и его объем V  S  h . Доказательство. К – квадрируемая фигура, тогда по теореме 3.1    0  многоугольники Q и q : SQ  S q  . Домножим последнее неравенство на h: h SQ  h  S q  h   . Объем прямой призмы с основанием q вычисляется по формуле Vq  S q  h , а объем прямой призмы с основанием Q – VQ  SQ  h . Тогда VQ  Vq   . По теореме 3.3. цилиндр кубируемое тело. Выведем формулу объема цилиндра. Объем цилиндра обозначим буквой V, тогда верно неравенство Vq  V  VQ . Площадь фигуры К обозначим S, тогда S q  S  SQ , S q  h  S  h  SQ  h , то есть Vq  S  h  VQ ,  VQ   S  h  Vq . Vq  V  VQ  VQ   S  h  Vq  VQ  Vq   V  S  h  VQ  Vq V  S  h  VQ  Vq   , тогда V  S  h  0 и V  S  h . Вычисление объемов тел по заданным поперечным сечениям Теорема 3.5. Пусть тело Р расположено между двумя параллельными плоскостями x  a и x  b . Площадь сечения перпендикулярного оси абсцисс Ох будет меняться с перемещением секущей плоскости. Площадь сечения S  x  – непрерывная функция на отрезке a; b .Тогда тела Р вычисляется по формуле b V   S  x dx . a Доказательство. Разобьем отрезок a; b на n частей произвольным образом. Через каждую точку разбиения проведем плоскость, перпендикулярную оси абсцисс, они разобьют тело Р на n слоев. Функция S  x  – непрерывна на отрезке x k 1 ; x k  , тогда существуют наибольшее M k и наименьшее mk значения площадей. Опишем цилиндр с объемом M k  x k и впишем цилиндр с объемом mk  x k . Суммируя объемы n всех слоев получим VQ   M k  x k и содержащих и k 1 n Vq   m k  x k объемы k 1 содержащихся двух ступенчатых тел – верхняя и нижняя суммы Дарбу. Функция S  x  непрерывна на отрезке a; b , тогда по теореме 2.3 функция S  x  интегрируема на отрезке a; b , следовательно, VQ  Vq   и тело Р – b кубируемо, причем, его объем V  lim VQ  lim Vq   S  x dx .  0  0 a Пример. Найдите объем тела, ограниченного x2 y2 поверхностями z   и z  1. 3 4 x2 y2   0 , тогда и z  0 , значит, 3 4 1 V   S  z dz . Вычислим S  z  : Разделим выражение z x2 y2 x2 y2  на z.   1 – эллипс. 3 4 3z 4 z x2 y2 Площадь эллипса 2  2  1 равна S элипса  ab a b Тогда, его площадь равна S элипса   3z 4 z  2 3 z . Вычисли объем 1 z2 V  2 3  zdz  2 3 2 1  3. Вычисление объемов тел вращения Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная осью абсцисс, прямыми x  a и x  b и дугой кривой y  f  x  , где f – непрерывна и неотрицательна на отрезке a; b . Эта трапеция опишет тело вращения. b S  x   S круга  y    f 2 2 x  . Тогда V    y 2 dx . a Если тело образовано вращением криволинейной трапеции сCDd , ограниченной осью Оу, прямыми y  c и y  d и дугой кривой x    y  , где  – непрерывна и d неотрицательна на отрезке c; d  , то V    x 2 dy . c Если вокруг оси Ох вращается фигура A1 A2 B2 B1 , ограниченная двумя прямыми x  a , x  b и двумя непрерывными на a; b кривыми y1  f1  x  , y2  f 2  x  , где 0  f1  x   f 2  x  на всем отрезке a; b , то объем получившегося при этом кольцеобразного тела вращения вычисляется по b b b b a a a a формуле. V    f 22  x dx   f12  x dx     f 22  x   f 22  x dx     y22  y12 dx Аналогично, если тело образовано вращением вокруг оси Oy фигуры C1D1D2C2 (рис. 65), ограниченной двумя прямыми y  c , y  d и двумя кривыми x1  1  y  , x2   2  y  , где функции 1 и 2 на отрезке c; d  непрерывны и удовлетворяют условиям d d d b c c c a 0  1  x   2  x  , тогда V     22  y dy   12  y dy     22  y   22  y dy    x22  x12 dy ЗАДАНИЯ 1. Найдите объем тела, ограниченного 2 2 x y z2    1 и плоскостями z  0 , z  1 . 9 4 1 однополостным гиперболоидом x2 y2 2. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями  1, z  0 и z  x 9 4 при x  0 . 3. Вычислите объем веретенообразного тела, производимого вращением вокруг оси 3  x  а cos t , Ох фигуры, ограниченной астроидой   y  а sin 3 t. 4. Вычислите объем тела, производимого вращением вокруг оси Ох и Оу фигуры,  x  a t  sin t , ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды   y  a 1  cos t .