Прикладная теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин

Прикладная теория вероятностей и математическая статистика 2.5. Основные законы распределения дискретных случайных величин Опр.2.5.1. Вырожденной с.в. называется д.с.в., таблица распределения которой выглядит следующим образом: 2 2.5. Основные законы распределения дискретных случайных величин Опр.2.5.2. С.в. – число появлений случайного события А в серии из n испытаний Бернулли является с.в., имеющей биномиальное распределение 𝝃 ∈ 𝑩 𝒑, 𝒏 . Характеризуется двумя параметрами: вероятностью появления случайного события А в одном испытании Р(А) = р и числом испытаний n. E[ ]  pn, V [ ]  pnq 3 2.5. Основные законы распределения дискретных случайных величин Опр.2.5.3. В частности, если n=1, то говорят, что с.в. имеет распределение Бернулли: E[ ]  p, V [ ]  pq Примеры биномиального распределения: • Количество заказов, которые будут получены в результате 6 телефонных звонков • Количество изделий, имеющих брак, среди отобранных 10 изделий из партии выпущенной продукции. 4 2.5. Основные законы распределения дискретных случайных величин Опр. 2.5.4. Если число испытаний, проводимых по схеме Бернулли, неограниченно возрастает (𝑛 → ∞), при этом 𝑝 – мало, а произведение 𝑝𝑛 остается постоянным: 𝑝𝑛 = 𝜆 , то число появлений случайного события А является д.с.в., распределённой по закону Пуассона, 𝝃 ∈ 𝑷(𝝀). E[ ]   , V [ ]   Примеры: 1. Число бракованных изделий среди всей произведенной продукции. 2. Число возвратов купленного в магазине товара. 5 2.5. Основные законы распределения дискретных случайных величин Опр. 2.5.5. Рассмотрим последовательность независимых испытаний, которые проводятся до тех пор пока не появится случайное событие А (до первого успеха). Число испытаний, до появления с.с. А является дискретной случайной величиной, имеющей геометрическое распределение, 1 q E[ ]  , V [ ]  2 p p 𝝃 ∈ 𝑮(𝒑). 6 2.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин Опр. 2.6.1. Н.с.в. равномерно распределена на отрезке [a,b], если выражение для плотности распределения имеет вид: 0, если x  a,  1  f  ( x)   , если а  х  b, b  a 0, если x  b. 𝝃 ∈ 𝑹(𝒂, 𝒃) У этого распределения два параметра: границы отрезка а и b 0, если х  a, x a  F ( x)   , если а  х  b, b  a 1, если х  b. ab (b  a ) 2 E[ ]  , V [ ]  2 12 7 Пример. Ошибка при округлении до ближайшего целого. 2.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин Опр.2.6.2. Н.с.в. распределена по показательному закону распределения с параметром 𝜆>0, если выражение для плотности распределения имеет вид: 0, если х  0, f  ( x )    x e , если х  0. 𝝃∈𝑬 𝝀 Функция распределения случайной величины: х  0, 0, если F ( x)    x 1  e , если х  0.  E[ ]  Примеры:  Время между появлением посетителей.  Время обслуживания одного покупателя.  Длительность безотказной работы прибора. 1  , V [ ]  1 2 8 2.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин 9 2.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин Опр.2.6.3. Н.с.в. нормально распределена с параметрами mR и > 0, если функция плотности имеет вид: 1 f ( x)  e  2 ( xm)2  2 2 𝝃 ∈ 𝑵 𝒎, 𝝈 Функция распределения случайной величины: 1 F ( x )   2 x e (t m )2  2 2 dt  E[ ]  m, V [ ]   2 10 2.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин E    m  0 11 2.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин Опр.2.6.4. Н.с.в. имеет стандартное нормальное распределение, если она распределена нормально с параметрами, 𝝃 ∈ 𝑵 𝟎, 𝟏  ( x)  1 e 2 x2  2  ( x) 12 2.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин Опр.2.6.4. Н.с.в. имеет стандартное нормальное распределение, если она распределена нормально с параметрами, 𝝃 ∈ 𝑵 𝟎, 𝟏 F ( x )  1 2 x e t2  2 dt  13 2.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин Со стандартным нормальным распределением связано понятие функции Лапласа 𝜱 𝒙 , определяемой следующим образом:  ( x)  1 2 x e t2  2 dt F ( z )  1   2 z 1 2 1 2 z e t2  2 dt   z e t2  2 dt  1   ( z ) 2 14 2.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин Для стандартного нормального распределения: F ( x)  1   ( x) 2 Для произвольного нормального распределения,   N  m,   1 𝑥−𝑚 𝐹𝜉 𝑥 = + Φ 2 𝜎 1 F ( x)   2 x e  (t m )2  2 2 dt 15 2.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин Свойства функции Лапласа Φ(𝑥): 1. Φ −𝑥 = −Φ(𝑥) 1 2. lim Φ(𝑥) = 2 𝑥→∞ 3. Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, 𝜉 ∈ 𝑁 𝑚, 𝜎 , верно: 𝑏−𝑚 𝑎−𝑚 𝑃 𝑎<𝜉<𝑏 =Φ −Φ 𝜎 𝜎 16 2.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин Для случайной величины, распределенной нормальному закону, 𝜉 ∈ 𝑁 𝑚, 𝜎 , верно: по 𝑏−𝑚 𝑎−𝑚 𝑃 𝑎<𝜉<𝑏 =Φ −Φ 𝜎 𝜎 В частности, 𝑃 𝜉 − 𝑚 < 𝑘𝜎 = 2Φ 𝑘 , 𝑘 = 1, 2, 3, … 𝑃 𝑚 − 𝑘𝜎 < 𝜉 < 𝑚 + 𝑘𝜎 = 2Φ 𝑘 , 𝑘 = 1, 2, 3, … 17 2.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин 𝑷 𝒎 − 𝝈 < 𝝃 < 𝒎 + 𝝈 = 𝟐𝜱 𝟏 = 𝟎, 𝟔𝟖 18 2.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин 𝑷 𝒎 − 𝟐𝝈 < 𝝃 < 𝒎 + 𝟐𝝈 = 𝟐𝜱 𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟓 19 2.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин 𝑷 𝒎 − 𝟑𝝈 < 𝝃 < 𝒎 + 𝟑𝝈 = 𝟐𝜱 𝟑 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟕 «Правило трёх сигм» 20