Преобразования Лапласа, свойства, восстановление функции по изображению

Преобразования Лапласа. Свойства. Восстановление функции по изображению Лекция 14 Оригинал и изображение по Лапласу Функцией –оригиналом называют комплексную функцию действительного аргумента, которая обладает свойствами: 1. для всех ; 2) интегрируема на любом конечном интервале; 3. при возрастает не быстрее некоторой показательной функции: существуют такие числа что для всех справедливо . Простейшая функция- оригинал единичная функция Хевисайда (ступенчатая функция) при 1 и при : 𝑡 При умножении на любая функция, удовлетворяющая условиям 2 и 3, будет удовлетворять первому условию. Например, для и = 0 для Производная при и равна нулю при (импульсная функция Дирака): Оригинал и изображение по Лапласу Преобразованием Лапласа для функции-оригинала называют несобственный интеграл . Соответствие между функцией – оригиналом и ее изображением обозначают: Здесь –комплексная переменная. Теорема: для всякого оригинала изображение по Лапласу определено при условии и является в этой области аналитической функцией: при равномерно относительно аргумента и имеет конечную производную. Примеры: 1) ; 2) 3) Свойства преобразований Лапласа 1. Линейность следует из свойств интеграла: Примеры: 1) ; 2) = 2. Подобие: 3. Дифференцирование оригинала сводится к умножению изображения на c учетом начальных условий: = Свойства преобразований Лапласа 4.Дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на : Пример. Доказали ранее . Тогда . 5. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на : 6. Интегрирование изображения: Пример. Свойства преобразований Лапласа 7. Смещение изображения. Умножение оригинала на экспоненту равносильно смещению изображения : Пример. 8. Запаздывание оригинала. Запаздывание оригинала на равносильно умножению изображения на экспоненту: ) Пример. t 9. Умножение изображений (изображение свертки): = . 𝜏 = Пример: Восстановление функции –оригинала по изображению (обратное преобразование Лапласа) Пусть функция-оригинал непрерывна и имеет в этой точке непрерывные конечные производные: Тогда Этот интеграл можно непосредственно вычислить, используя вычеты: =. Непосредственно из этой формулы следуют теоремы разложения , которые затем используют на практике для восстановления оригинала. Кроме того, оригинал может быть восстановлен по таблице изображений непосредственно или после тождественных преобразований. Примеры: ; Теоремы разложения Первая теорема разложения. Пусть изображение Лапласа является аналитической функцией в окрестности : . Тогда оригиналом является функция . Пример. Вторая теорема разложения. Если изображение Лапласа является правильной дробно-рациональной функцией то оригиналом является функция Вычеты берутся по всем особым точкам Примеры восстановления оригинала по изображению Пример 1. = = Пример 2. Пример 3. = +