Преобразование Фурье.Спектр импульсных сигналов

ОСНОВЫ РАДИОТЕХНИКИ ЛЕКЦИЯ Преобразование Фурье. Спектр импульсных сигналов Доцент кафедры 405, к.т.н. Баев А.Б. Кафедра «Теоретическая радиотехника» Преобразование Фурье 𝑆𝑆 𝑓𝑓 = ℱ 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = ℱ −1 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑠𝑠 𝑡𝑡 ⇔ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 Прямое преобразование Фурье ∞ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 = � 𝑠𝑠 𝑡𝑡 −∞ 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 , В В�с = Гц Обратное преобразование Фурье ∞ 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = � 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 , [В] −∞ Преобразование Фурье 𝑆𝑆 𝑓𝑓 = 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑒𝑒 𝑗𝑗arg{𝑆𝑆 𝑓𝑓 } = Re 𝑆𝑆 𝑓𝑓 + 𝑗𝑗 Im{𝑆𝑆 𝑓𝑓 } 𝑆𝑆 𝑓𝑓 – амплитудный спектр сигнала arg{𝑆𝑆 𝑓𝑓 } – фазовый спектр сигнала Свойство симметрии спектра 𝑆𝑆 𝑓𝑓 arg 𝑆𝑆 𝑓𝑓 = 𝑆𝑆 −𝑓𝑓 – четная симметрия = −arg{𝑆𝑆 −𝑓𝑓 } – нечетная симметрия 𝑆𝑆 −𝑓𝑓 = 𝑆𝑆 ∗ 𝑓𝑓 Условие существования преобразования Фурье � ∞ −∞ 𝑠𝑠 𝑡𝑡 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 <∞ Примеры спектров сигналов Дельта-функция 𝛿𝛿(𝑡𝑡) (1) −1 1 𝑆𝑆(𝑓𝑓) 1 𝑡𝑡 𝑓𝑓 Примеры спектров сигналов Экспоненциальная функция 𝐴𝐴 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑢𝑢 𝑡𝑡 , [В] 𝜏𝜏 = 1/ 𝛼𝛼 𝑡𝑡, [с] Примеры спектров сигналов Экспоненциальная функция Амплитудный спектр 𝐴𝐴/α 𝑆𝑆(𝑓𝑓) , [В � с] 𝐴𝐴/α 2 −α/2𝜋𝜋 0 α/2𝜋𝜋 𝑆𝑆 𝑓𝑓 = Фазовый спектр 𝐴𝐴 𝛼𝛼 2 + 2𝜋𝜋𝜋𝜋 2 𝑓𝑓, [Гц] −α/2𝜋𝜋 0 −𝜋𝜋/2 arg 𝑆𝑆 𝑓𝑓 arg{𝑆𝑆 𝑓𝑓 }, [рад. ] 𝜋𝜋/2 𝜋𝜋/4 𝑓𝑓, [Гц] α/2𝜋𝜋 2𝜋𝜋𝜋𝜋 = −arctg 𝛼𝛼 Примеры спектров сигналов Экспоненциальная функция Действительная часть 𝐴𝐴/α Re{𝑆𝑆 𝑓𝑓 }, [В � с] 𝐴𝐴/2α 𝑓𝑓, [Гц] -α/2𝜋𝜋 0 α/2𝜋𝜋 Re 𝑆𝑆 𝑓𝑓 Мнимая часть 𝐴𝐴𝛼𝛼 = 2 𝛼𝛼 + 2𝜋𝜋𝜋𝜋 2 Im{𝑆𝑆 𝑓𝑓 }, [В � с] -α/2𝜋𝜋 0 -𝐴𝐴/2α Im 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝐴𝐴/2α α/2𝜋𝜋 𝑓𝑓, [Гц] 𝐴𝐴2𝜋𝜋𝜋𝜋 =− 2 𝛼𝛼 + 2𝜋𝜋𝜋𝜋 2 Примеры спектров сигналов Прямоугольный импульс 𝑡𝑡 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 rect , [В] Δ 𝐴𝐴 Δ 0 − 2 Δ 2 𝑡𝑡, [с] Примеры спектров сигналов Прямоугольный импульс 𝑆𝑆 𝑓𝑓 , [В � с] 𝐴𝐴Δ 5 4 3 2 - - - Δ Δ Δ Δ 10 Δ 2 Δ 1 Δ 3 Δ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 = 𝐴𝐴Δ sin𝑐𝑐 𝜋𝜋𝜋𝜋Δ 4 5 Δ Δ Амплитудный спектр 𝐴𝐴Δ 5 4 3 2 - - - Δ Δ Δ Δ 10 Δ Фазовый спектр 𝑆𝑆(𝑓𝑓) , [В � с] 1 Δ 2 Δ 3 Δ 4 5 Δ Δ 𝑓𝑓, [Гц] 𝑓𝑓 5 4 3 2 - - Δ Δ Δ Δ - 1 Δ arg 𝑆𝑆 𝑓𝑓 , [рад. ] 𝜋𝜋 1 Δ -𝜋𝜋 2 Δ 3 Δ 4 5 Δ Δ 𝑓𝑓 Свойства преобразования Фурье ∞ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 = � 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞ ⇔ ∞ 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = � 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑓𝑓 −∞ Свойство площади сигнала и спектра ∞ ∞ 𝑆𝑆 0 = � 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠 0 = � 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞ 𝐴𝐴 Δ 0 − 2 −∞ 𝑠𝑠 𝑡𝑡 , [В] Δ 2 𝑆𝑆 𝑓𝑓 , [В � с] 𝐴𝐴Δ 𝑡𝑡 5 4 3 2 - - - Δ Δ Δ Δ 10 Δ 1 Δ 2 Δ 3 Δ 4 5 Δ Δ 𝑓𝑓 Свойства преобразования Фурье Дуальность частоты и времени ∞ 𝑠𝑠 𝑡𝑡 � 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞ ∞ � 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞ Пример: 𝑠𝑠 𝑡𝑡 ⇔ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑆𝑆 𝑡𝑡 ⇔ 𝑠𝑠 −𝑓𝑓 𝛿𝛿 𝑡𝑡 ⇔ 1 1 ⇔ 𝛿𝛿 𝑓𝑓 𝑆𝑆 𝑓𝑓 Свойства преобразования Фурье Дуальность частоты и времени 𝑡𝑡 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 rect Δ 𝐴𝐴 Δ 0 − 2 Δ 2 𝐴𝐴Δ 10 Δ 𝑡𝑡 𝑆𝑆 𝑡𝑡 𝐾𝐾 𝑡𝑡 𝐹𝐹 0 − 2 𝑆𝑆 𝑓𝑓 = 𝐴𝐴Δ sinc(𝜋𝜋𝜋𝜋Δ) 𝑓𝑓 1 Δ 𝑠𝑠 −𝑓𝑓 𝐹𝐹 2 𝑓𝑓 Свойства преобразования Фурье Линейность 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑡𝑡 ⇔ 𝑎𝑎 𝑋𝑋 𝑓𝑓 + 𝑏𝑏 𝑌𝑌 𝑓𝑓 Инвертирование по времени и комплексное сопряжение 𝑠𝑠 𝑡𝑡 ⇔ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑠𝑠 −𝑡𝑡 ⇔ 𝑆𝑆 −𝑓𝑓 = 𝑆𝑆 ∗ 𝑓𝑓 Четная и нечетная симметрия 𝑠𝑠 𝑡𝑡 + 𝑠𝑠(−𝑡𝑡) 𝑠𝑠ч 𝑡𝑡 = 2 𝑠𝑠 𝑡𝑡 − 𝑠𝑠(−𝑡𝑡) 𝑠𝑠н 𝑡𝑡 = 2 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝑠𝑠ч 𝑡𝑡 + 𝑠𝑠н 𝑡𝑡 ⇔ ⇔ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 + 𝑆𝑆 ∗ 𝑓𝑓 = Re 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑆𝑆ч 𝑓𝑓 = 2 𝑆𝑆 𝑓𝑓 − 𝑆𝑆 ∗ 𝑓𝑓 = 𝑗𝑗 Im 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑆𝑆н 𝑓𝑓 = 2 𝑆𝑆 𝑓𝑓 = Re 𝑆𝑆 𝑓𝑓 + 𝑗𝑗 Im{𝑆𝑆 𝑓𝑓 } Свойства преобразования Фурье Масштабирование Пример: 1 𝑓𝑓 𝑆𝑆 𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑡𝑡 ⇔ 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝑡𝑡 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 rect 𝐴𝐴 Δ Δ 0 − 2 𝑡𝑡 Δ 2 𝑡𝑡 𝑠𝑠 2 𝐴𝐴 −Δ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 = 𝐴𝐴Δ sinc(𝜋𝜋𝜋𝜋Δ) 10 Δ 2𝐴𝐴Δ Δ 𝑡𝑡 𝐴𝐴Δ 1 Δ 2𝑆𝑆 2𝑓𝑓 1 0 1 2Δ 2Δ 2 Δ 𝑓𝑓 𝑓𝑓 Свойства преобразования Фурье Задержка по времени Пример: 𝛿𝛿(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇) -𝑇𝑇 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑠𝑠 𝑡𝑡 ± 𝑇𝑇 ⇔ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 � 𝑒𝑒 ±𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝑇𝑇) (1) 𝑇𝑇 𝑡𝑡 1 2𝜋𝜋 -2𝜋𝜋 𝑆𝑆 𝑓𝑓 arg(𝑆𝑆 𝑓𝑓 ) 1/𝑇𝑇 𝑓𝑓 𝑓𝑓 Свойства преобразования Фурье Умножение на комплексную экспоненту Пример: 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑠𝑠 𝑡𝑡 � 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝐹𝐹𝐹𝐹 ⇔ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 − 𝐹𝐹 𝑡𝑡 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑓𝑓 Свойства преобразования Фурье Спектр гармонических сигналов 𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 cos(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑇𝑇 𝑡𝑡 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 sin(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑇𝑇 𝑡𝑡 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑓𝑓 𝑓𝑓 Свойства преобразования Фурье Дифференцирование сигнала по времени 𝑑𝑑 𝑠𝑠 𝑡𝑡 ⇔ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 � 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 Интегрирование сигнала по времени 𝑡𝑡 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑆𝑆 0 + 𝛿𝛿(𝑓𝑓) � 𝑠𝑠 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝜏𝜏 ⇔ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 2 −∞ Свойства преобразования Фурье Пример: С помощью свойств преобразования Фурье найти S(f) 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 1 − 𝐴𝐴 −Δ −Δ −Δ 𝑡𝑡 Δ Δ Δ 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑡𝑡 Δ rect 𝑡𝑡 2Δ Свойства преобразования Фурье 𝑠𝑠 𝑡𝑡 , [В] 𝐴𝐴 −Δ 𝑡𝑡 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 1 − Δ Δ 𝑡𝑡, [с] 𝑡𝑡 rect 2Δ ⇔ 𝐴𝐴Δ 10 Δ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 , [В � с] 1 Δ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 = 𝐴𝐴Δ sinc 2 (𝜋𝜋𝜋𝜋Δ) 𝑓𝑓, [Гц] Свойства преобразования Фурье Умножение сигнала на время Пример: 1 𝑑𝑑 � 𝑆𝑆 𝑓𝑓 𝑡𝑡 � 𝑠𝑠 𝑡𝑡 ⇔ −𝑗𝑗2𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑢𝑢 𝑡𝑡 ⇔ 𝑆𝑆 𝑓𝑓 = 𝛼𝛼 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑆𝑆 𝑓𝑓 −𝛼𝛼𝛼𝛼 � 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝛼𝛼𝛼𝛼 � 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑢𝑢 𝑡𝑡 ⇔ 𝑋𝑋 𝑓𝑓 = −𝑗𝑗2𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛼𝛼 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝐴𝐴 � 𝑋𝑋 𝑓𝑓 = −𝑗𝑗2𝜋𝜋 𝛼𝛼 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 2 𝐴𝐴𝛼𝛼 = 𝛼𝛼 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 2 Свойства преобразования Фурье 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑢𝑢 𝑡𝑡 , [В] 𝐴𝐴 0,37𝐴𝐴 𝜏𝜏 = 1/ 𝛼𝛼 𝑡𝑡, [с] 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝛼𝛼𝛼𝛼 � 𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑢𝑢 𝑡𝑡 , [В] 0 𝜏𝜏 𝑡𝑡, [с] ⇔ ⇔ Re{𝑆𝑆 𝑓𝑓 } 𝐴𝐴/α -𝐴𝐴/2α Im{𝑋𝑋 𝑓𝑓 } 𝐴𝐴/α 𝑆𝑆 𝑓𝑓 , [В � с] 𝐴𝐴/2α α/2𝜋𝜋 𝑓𝑓, [Гц] Im{𝑆𝑆 𝑓𝑓 } 𝑋𝑋 𝑓𝑓 , [В � с] Re{𝑋𝑋 𝑓𝑓 } α/2𝜋𝜋 𝑓𝑓, [Гц] Свойства преобразования Фурье Свёртка сигналов 𝑥𝑥 𝑡𝑡 ⇔ 𝑋𝑋 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑡𝑡 ∗ 𝑦𝑦 𝑡𝑡 ⇔ 𝑋𝑋(𝑓𝑓) � 𝑌𝑌 𝑓𝑓 Пример: 𝐴𝐴 −Δ/2 0 (1) 𝑦𝑦 𝑡𝑡 ⇔ 𝑌𝑌 𝑓𝑓 −Δ/2 0 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 rect 𝑡𝑡/Δ Δ/2 𝑦𝑦 𝑡𝑡 Δ/2 (−1) 𝑡𝑡 𝑡𝑡 ⇔ ⇔ 𝐴𝐴Δ 2𝑗𝑗 𝑋𝑋 𝑓𝑓 = 𝐴𝐴Δ sinc(𝜋𝜋𝜋𝜋Δ) 1/Δ 𝑓𝑓 𝑌𝑌 𝑓𝑓 = 2𝑗𝑗 sin(𝜋𝜋𝜋𝜋Δ) 1 Δ 2 Δ 𝑓𝑓 Свойства преобразования Фурье 𝑧𝑧 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥 𝑡𝑡 ∗ 𝑦𝑦 𝑡𝑡 𝑧𝑧(𝑡𝑡), [В] −Δ -1 𝐴𝐴 Δ 𝑍𝑍 𝑓𝑓 = 𝑋𝑋(𝑓𝑓) � 𝑌𝑌 𝑓𝑓 𝑡𝑡, [с] ⇔ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗Δ − 1 Δ 𝑍𝑍(𝑓𝑓), [В � с] 1 2 Δ Δ 𝑓𝑓, [Гц] Свойства преобразования Фурье Умножение сигналов 𝑥𝑥 𝑡𝑡 � 𝑦𝑦 𝑡𝑡 ⇔ 𝑋𝑋 𝑓𝑓 ∗ 𝑌𝑌 𝑓𝑓 Пример: 𝐴𝐴 −Δ/2 0 1 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = rect 𝑡𝑡/Δ Δ/2 𝑡𝑡 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = cos(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑡𝑡 AΔ ⇔ ⇔ (1/2) −𝐹𝐹 𝑋𝑋 𝑓𝑓 = AΔ sinc(𝜋𝜋𝜋𝜋Δ) 1/Δ 𝑓𝑓 𝑌𝑌 𝑓𝑓 𝐹𝐹 (1/2) 𝑓𝑓 Свойства преобразования Фурье 𝑧𝑧 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥 𝑡𝑡 � 𝑦𝑦 𝑡𝑡 −Δ/2 𝐴𝐴 𝑧𝑧 𝑡𝑡 , [В] Δ/2 𝑍𝑍 𝑓𝑓 = 𝑋𝑋(𝑓𝑓) ∗ 𝑌𝑌 𝑓𝑓 ⇔ 𝑡𝑡, [с] −𝐹𝐹 AΔ 2 𝑍𝑍 𝑓𝑓 , [В � с] 𝐹𝐹 𝑓𝑓