Представление машины переменного тока

Представление машины переменного тока Электрическая машина является основным средством преобразования электрической энергии в механическую работу. Действие машин переменного тока основано на принципе вращающегося магнитного поля. Неподвижная часть машины переменного тока является статором, а подвижная ее часть – ротором. Важным положением исследования многофазных машин переменного тока является анализ намагничивающих сил и магнитных потоков, вызванных действием электрических токов в их обмотках. На статоре трехфазной машины расположены три обмотки, сдвинутые между собой на угол 120 градусов. Обмотки, расположенные на роторе, вращаются относительно неподвижных обмоток статора. При моделировании формулируются основные допущения, определяющие уровень идеализации электрической машины, вводятся базовые понятия и положения, определяющие структуру ее математической модели. Математическое описание естественных процессов в цепях статора и ротора трехфазной электрической машины основывается на втором законом Кирхгофа: 𝑑𝛹А 𝑑𝑡 𝑑𝛹В 𝑑𝑡 𝑑𝛹С = −𝑟𝑖А + 𝑈А, = −𝑟𝑖В + 𝑈В , 𝑑𝑡 𝑑𝛹𝑟𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝛹𝑟𝑞 𝑑𝑡 (1) = −𝑟𝑖С + 𝑈С . = −𝑟𝑟 𝑖𝑟𝑑 + 𝑈𝑟𝑑 , = −𝑟𝑟 𝑖𝑟𝑞 + 𝑈𝑟𝑞 , Обмотки, расположенные на роторе, вращаются относительно неподвижных обмоток статора. При подаче трехфазного переменного напряжения UA, UB, UC на статорные обмотки двигателя (1) формируется фазные токи iA, iB, iC. На активных сопротивлениях обмоток двигателя r падает напряжение. Фазные токи образуют вращающийся вектор тока. Формирование вектора тока представлено в программном пакете MathCad, листинг 1. Проекции вектора тока I симметричной трехфазной системы на соответствующие оси рисунок 1 можно записать следующим образом: 1 𝑖𝐴 = 𝐼 𝑠𝑖𝑛( 𝜔𝑡), (2) 2 𝑖𝐵 = 𝐼 𝑠𝑖𝑛( 𝜔𝑡 + 𝜋), 3 2 𝑖𝐶 = 𝐼 𝑠𝑖𝑛( 𝜔𝑡 − 𝜋), 3 𝑖𝐴 + 𝑖𝐵 + 𝑖𝐶 = 0. Токи, протекая по каждой обмотке статора и ротора двигателя (2), образуют соответствующие потоки, которые сцепляются между собой, образуя вращающиеся вектора потокосцеплений статора, ротора и потокосцепления в воздушном зазоре. Так как процессы в статоре происходят в неподвижных обмотках трехфазной системы, а во вращающихся вместе с ротором обмотках ротора, расположенных относительно друг друга под углом 90 градусов, описать магнитные потоки и их взаимодействие в виде потокосцеплений достаточно сложно. Листинг 1. 2 Рисунок 1. Иллюстрация токов и напряжений трехфазной системы координат АВС На пути упрощения математического описания машин переменного тока, удачным оказался метод пространственного вектора, который позволяет математическое описание машины переменного тока сделать существенно проще, связав уравнения статора и ротора в единую систему переменных состояния в векторной форме. Величины трехфазной системы (2) можно рассмотреть в виде вращающегося вектора неподвижной системы координат α и β, которая имеет две перпендикулярные оси, расположенные так, чтобы одна из них совпадала с осью трехфазной системы. Переход от трехфазной системы двухфазной системе координат является абстрактным переходом от реальной трехфазной машины к двухфазной машине при следующих общепринятых допущениях: • машина симметрична с обмотками, обеспечивающими синусоидальное распределение магнитодвижущей силы и магнитного потока вдоль воздушного зазора; • не учитываются потери энергии в стали статора; • не учитывается влияние насыщения магнитной цепи; • предполагается, что отсутствуют токи нулевой последовательности. Фазные значения напряжений и токов трехфазной системы приведены на рисунке 1. Рисунок 2. Изображение вектора тока на плоскость В соответствии с рисунком 2, преобразование исходной системы уравнений осуществляется путем замены действительных переменных iA, iB, 3 iC новыми переменными iα, iβ , являющимися проекциями вектора тока модуля I на систему неподвижных декартовых координат 𝛼, 𝛽 : 𝑖𝐴 = 𝑖𝛼 , 2𝜋 𝑖𝐵 = 𝐼 𝑐𝑜𝑠 ( (3) 1 − 𝛾) = − 𝐼𝑐𝑜𝑠(𝛾) + 3 2 𝜋 1 3 2 √3 𝐼sin 𝛾, 2 √3 𝑖𝐶 = −𝐼 𝑐𝑜𝑠 ( − 𝛾) = − 𝐼𝑐𝑜𝑠(𝛾) − 2 𝐼sin 𝛾, 𝐼𝑐𝑜𝑠(𝛾) = 𝑖𝛼 ; 𝐼sin 𝛾 = 𝐼𝛽 , (4) Используя (4), переход от трехфазной системы к системе координат 𝛼, 𝛽 можно получить в виде следующих преобразований, где суммарный ток 𝑖0 равен нулю: 𝐼𝐵 − 𝐼𝐶 = 𝐼 √3 sin 𝛾 = √3 𝑖𝛽 ; 𝐼𝐵 + 𝐼𝐶 = −𝐼𝑐𝑜𝑠(𝛾) = −𝑖𝛼 , 𝑖𝛼 = 𝐼𝐴 ; 𝑖𝛽 = 𝐼𝐵 −𝐼𝐶 √3 , 𝑖0 = 1 3 (5) (𝐼𝐴 + 𝐼𝐵 + 𝐼𝐶 ) = 0. Преобразование координат удобно рассматривать в векторной форме (6 - 7), обеспечивая адекватность математического описания физическому объекту. 1 3 𝑃 = √ [0 1 √3 1 2 1 3 3 1 𝑃 −1 1 = √ −2 2 3 1 [− 2 𝐼𝐴 1 − ] ; [𝑖𝛼 ] = 𝑃 [𝐼 ], √3 𝐵 𝑖𝛽 1 𝐼𝐶 (6) 3 √3 2 √3 − 2 3 2 3 2] 𝐼𝐴 𝑖𝛼 −1 ; [𝐼𝐵 ] = 𝑃 [𝑖𝛽 ], 𝐼𝐶 (7) В зарубежной литературе формулы перехода называют преобразованием Кларка. Переход от трехфазной системы к системе неподвижных координат 𝛼, 𝛽 показан на рисунке 3. Переход от системы неподвижных координат 𝛼, 𝛽 к трехфазной системе показан на рисунке 4. Для каждого преобразования координат выполнен расчет активной мощности, демонстрируя ее инвариантность. 4 Листинг 2. 1  0 P :=  1  3 -0 1 3 1 3   k := 3 1 2 -  3 1   3  -0 400 350 300 250 200 150 100 50 - 50 - 100 - 150 - 200 - 250 - 300 - 350 - 400 Преобразовани трехфазной системы к Декартовой системе неподвижных координат I i := k P Iabc i U i := k P Uabc i P i := I T U i i P 4 Nz = 5.022  10 U 0.009 0.01 3 2 I 3 2 U I 2.5 10 время t [c] -3 5 10 -3 7.5 10 -3 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 Рисунок 3. Преобразование функций тока и напряжения трехфазной системы координат АВС к системе неподвижных (декартовых) координат   Листинг 3. Рисунок 4. Обратное преобразование функций тока и напряжения системы неподвижных (декартовых) координат ,  к трехфазной системе координат АВС 5 В результате преобразований переменных статора, математическое описание электрической машины можно привести к следующему виду: 𝑑𝛹𝛼 𝑑𝑡 𝑑𝛹𝛽 𝑑𝑡 𝑑𝛹𝑟𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝛹𝑟𝑞 𝑑𝑡 = −𝑟𝑖𝛼 + 𝑈𝛼 , (8) = −𝑟𝑖𝛽 + 𝑈𝛽 , = −𝑟𝑟 𝑖𝑟𝑑 + 𝑈𝑟𝑑 , (9) = −𝑟𝑟 𝑖𝑟𝑞 + 𝑈𝑟𝑞 , где процессы в статорных обмотках (1) представлены новыми абстрактными переменными системы неподвижных координат. Процессы в роторе (6), имеющего две обмотки возбуждения, вращающиеся совместно с ротором двигателя, описываются естественным образом в декартовой плоскости d и q. Процессы в статоре (8) рассматриваются в декартовой системе неподвижных координат, а в роторе рассматриваются в системе вращающихся координат. Поэтому уравнения для напряжений не могут быть совместно разрешены. Процессы в цепи статора и ротора следует преобразовать к одной форме записи. Можно рассмотреть описание машины переменного тока в системе неподвижных координат α и β: 𝑑𝛹𝛼 𝑑𝑡 𝑑𝛹𝛽 𝑑𝑡 𝑑𝛹𝑟𝛼 𝑑𝑡 𝑑𝛹𝑟𝛽 𝑑𝑡 = −𝑟𝑖𝛼 + 𝑈𝛼 , = −𝑟𝑖𝛽 + 𝑈𝛽 , = −𝑟𝑟 𝑖𝑟𝛼 + 𝑝𝜔𝛹𝑟𝛽 + 𝑈𝑟𝛼 , (10) = −𝑟𝑟 𝑖𝑟𝛽 − 𝑝𝜔𝛹𝑟𝛼 + 𝑈𝑟𝛽 , α = Liα +Lmirα , β = Liβ +Lmirβ , rα = Lrirα +Lmiα, rβ = Lrirβ +Lmiβ . 𝐿 = 𝐿𝜎 + 𝐿𝑚 ; 𝐿𝑟 = 𝐿𝑟𝜎 + 𝐿𝑚 6 (11) В этой системе уравнений фигурируют мгновенные значения напряжений, токов и потокосцеплений, а также значения активных сопротивлений и индуктивности обмоток. Посредством закона Ампера, установлена связь токов и потокосцеплений (11), где Lm – взаимная индуктивность; L, Lr – полные индуктивности статора и ротора; Lσ , Lrσ – индуктивности рассеивания обмоток статора и ротора. Представление процессов статора и ротора в одной системе координат (10) позволяет потокосцепления статора и ротора записать в более простой форме (11). В векторной форме вращающееся магнитное поле, сцепленное с обмотками статором и ротором, можно разделить на составляющие, выделив потокосцепление статора s, ротора r и потокосцепление в воздушном зазоре δ, характеризуемое током Iμ намагничивания: s = 𝐿𝜎 I +δ r = 𝐿𝑟𝜎 Ir +δ , δ = Lm Iμ ; Iμ= ( I + Ir). Связь переменных в различной системе координат (12) зависит от электрического угла ᵞs поворота системы вращающихся координат d и q относительно системы неподвижных координат α и β. В зависимости от угла поворота, переход переменных системы неподвижных координат к системе вращающихся координат показан на рисунке 5, позволяя описать координатные преобразования листинг 4 следующим образом: 𝑖𝑑 = 𝑖𝛼 𝑐𝑜𝑠( 𝛾𝑠 ) + 𝑖𝛽 𝑠𝑖𝑛( 𝛾𝑠 ) , 𝑖𝑞 = −𝑖𝛼 𝑠𝑖𝑛( 𝛾𝑠 ) + 𝑖𝛽 𝑐𝑜𝑠( 𝛾𝑠 ) , 7 (12) Листинг 4. Рисунок 6. Преобразование проекций вектора напряжения и тока системы неподвижных координат к системе вращающихся координат при соблюдении инвариантности мощности.  q i iq I d id g s = p wt i Рисунок 5. Связь проекций вращающихся координат вектора тока 8  систем неподвижных и В результате преобразований математическое описание машины переменного тока системе вращающихся координат d и q представлено следующей системой уравнений: 𝑑𝛹𝑑 = −𝑟 𝑖𝑑 + 𝑝𝜔𝛹𝑞 + 𝑈𝑑 , 𝑑𝑡 𝑑𝛹𝑞 (13) = −𝑟 𝑖𝑞 − 𝑝𝜔𝛹𝑑 + 𝑈𝑞 , 𝑑𝑡 𝑑𝛹𝑟𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝛹𝑟𝑞 𝑑𝑡 = −𝑟𝑟 𝑖𝑟𝑑 + 𝑈𝑟𝑑 , = −𝑟𝑟 𝑖𝑟𝑞 + 𝑈𝑟𝑞 , d = Lid +Lmird , q = Liq +Lmirq , rd = Lrird +Lmid , rq = Lrirq +Lmiq , 𝐽 𝑑𝜔 𝑑𝑡 = 𝑚 − 𝑚𝑐 , 𝑑𝛾𝑠 𝑑𝑡 = 𝜔𝑝 . (14) где ω – скорость вращения двигателя, р – число пар полюсов, ᵞs – электрический угол, J - приведенный момент инерции. Угловое ускорение вала двигателя представлено основным уравнением движения (14), являющееся следствием второго закона Ньютона, описывающего равновесие моментов. Преобразование переменных к системе неподвижных координат показан на рисунке 7, позволяя описать координатные преобразования листинг 5. Прямое и обратное преобразование координат удобно рассматривать в векторной форме (16): 𝑖𝛼 = 𝑖𝑑 𝑐𝑜𝑠( 𝛾𝑠 ) − 𝑖𝑞 𝑠𝑖𝑛( 𝛾𝑠 ) , (15) 𝑖𝛽 = 𝑖𝑑 𝑠𝑖𝑛( 𝛾𝑠 ) + 𝑖𝑞 𝑐𝑜𝑠( 𝛾𝑠 ) , i d  i  I =   = A(g s )   ; i   iq  𝑐𝑜𝑠( 𝛾𝑠 ) − 𝑠𝑖𝑛( 𝛾𝑠 ) 𝐴(𝛾𝑠 ) = [ ], 𝑠𝑖𝑛( 𝛾𝑠 ) 𝑐𝑜𝑠( 𝛾𝑠 ) id  i  I dq =   = A(g s ) -1   i  iq  9 . (16) Листинг 5. Рисунок 7. Переход проекций вектора напряжения системы вращающихся координат к системе неподвижных координат Каждое преобразование инвариантности мощности. осуществляется 10 при соблюдении