Поток и дивергенция скорости

ВОЕННО-КОСМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ А.Ф. МОЖАЙСКОГО Кафедра технологий и средств геофизического обеспечения войск УТВЕРЖДАЮ Начальник 52 кафедры полковник И.Готюр «____» ___________ 201__ г. Лекция № 5 «Поток и дивергенция скорости» Разработчик: доцент 52 кафедры, д.ф-м.н. В.М. Краснов Материалы лекции обсуждены и одобрены на заседании кафедры “ 27 “ июля Санкт-Петербург 2020 2017 года, протокол №16 2 Тема лекции:. ПОТОК И ДИВЕРГЕНЦИЯ СКОРОСТИ 1. 2. 3. 4. 5. Учебные вопросы: Физический смысл потока скорости. Физический смысл дивергенции скорости. Выражения дивергенции  скорости. Поток и дивергенция v . Уравнение неразрывности в общем случае. Выяснение физического смысла таких понятий как поток и дивергенция скорости, позволяет дать математический вывод и физическую интерпретацию одного из основных соотношений гигдрогазодинамики – уравнения неразрывности - и способствует пониманию физического смысла ряда важнейших уравнений гидрогазодинамики. Вопрос 1. Физический смысл потока скорости  Поток вектора. Представим себе, что в поле вектора a( x, y, z ) задана поверхность  (рис. 5.1).  ai ain  n D i  Рис. 5.1 Будем полагать, что эта поверхность является ориентированной, т.е. что в каждой точке ее задано определенное положительное направление нормали  (орт нормали n ), причем это направление при перемещении вдоль поверхности меняется непрерывно. Таким образом, мы полагаем, что задана не только геометрическая форма поверхности, но и показаны ее «внешняя» (та, куда направлены нормали) и «внутренняя» стороны. Если поверхность является замкнутой, то ограниченного принято направлять поверхностью. нормали Разобьем изнутри поверхность на вовне объема, элементарные 3 площадки D i и составим произведения вида ain D i , где ain - проекция вектора  a i , взятого в произвольной точке площадки D i , на нормаль. Просуммируем все подобные произведения и найдем предел этой суммы при условии, что все D i стремятся к нулю, а число их неограниченно возрастает. Этот предел Q  lim Di 0 a in D i  i  a d , n ( )  называется потоком вектора a через поверхность  . Расход жидкости. Поставим себе задачей установить физический смысл потока вектора скорости через заданную поверхность  : Q   vn d . ( ) Для этого представим себе сначала, что поверхность  является неподвижной «контрольной» поверхностью, через которую жидкость способна свободно протекать.  n d  v vn < 0 vn > 0 n d  v Рис. 5. 2 Легко видеть, (рис. 5.2), что через площадку d за единицу времени проходит объем жидкости, заключенный в цилиндре с основанием d и  образующей v . Величина объема равна vn d . В силу этого vn d соответствует объему жидкости, протекающей через d , взятому со знаком «+», если жидкость течет в сторону нормали, и со знаком «–», если жидкость течет в противоположном направлении. Таким образом поток скорости через поверхность представляет собой объемный расход, т.е. объем жидкости, протекающей через эту поверхность (считающуюся неподвижной) за единицу 4 времени. Равенство потока нулю возможно лишь в том случае, когда объем жидкости, протекающей в сторону, куда направлены нормали, равен объему жидкости, протекающему внутрь поверхности. Поток скорости через замкнутую поверхность Q   vn d (нормали к  которой, как указывалось, направлены вовне) выражает собой общий объем жидкости, вытекающей за пределы пространства, ограниченного поверхностью (или, наоборот, остающийся в нем), за единицу времени. Очевидно, что в случае несжимаемой жидкости объем жидкости, текущий внутрь поверхности должен быть равен объему жидкости, вытекающей, так как только при этом условии плотность жидкости, заключенной внутри поверхности, может оставаться неизменной (объемный расход равен нулю). Неравенство нулю потока жидкости через замкнутую поверхность возможно лишь в случае сжимаемой жидкости. При субстанциальном методе рассмотрения движения жидкости поток скорости через данную поверхность интерпретируется как приращение объема, ограниченного жидкой поверхностью, при ее перемещении за единицу времени. Вопрос 2. Физический смысл дивергенции скорости Дивергенция вектора. Окружим данную точку A векторного поля  a ( x, y, z )  малой поверхностью D1 , найдем поток вектора a через эту поверхность и определим отношение потока DQ   an d к объему D , D ограниченному поверхностью. Затем возьмем другую поверхность D 2 , лежащую внутри первой, и найдем для нее такое же отношение. Вслед за этим проведем такой же расчет для третьей поверхности, лежащей внутри второй и т.д. (рис. 5.3). 5 D1 D 2 A D 3 Рис. 5.3 Скалярная величина, равная пределу отношения потока вектора через поверхность, окружающую данную точку, к объему, ограниченному этой поверхностью, при стягивании поверхности к данной точке называется дивергенцией вектора в заданной точке.  div a  lim  a d n D D D i  0 Таким образом величина DQ dQ  . D i  0 D d  lim дивергенции вектора в данной точке приближенно равна величине потока вектора через замкнутую поверхность, окружающую данную точку и ограничивающую единичный объем (при условии, что единица объема выбрана достаточно малой).  Представляется важным подчеркнуть, что div a определяется лишь свойствами векторного поля в окрестности данной точки; она не зависит от выбора системы координат и является величиной инвариантной относительно преобразования системы координат. Локальная интерпретация дивергенции скорости. Вспоминая локальную интерпретацию потока скорости, мы можем утверждать, что дивергенция скорости приближенно равна объему жидкости, вытекающей за пределы единичного объема, окружающего данную точку, за единицу времени (полагая, что единица объема выбрана достаточно малой). Субстанциальная интерпретация дивергенции скорости. Воспользовавшись соотношением  div v   v d n D D (5.1) 6 И учитывая, что поток скорости, фигурирующий в числителе, выражает собой приращение объема частицы, ограниченной поверхностью  перемещении за единицу времени, получаем, что div v  D при ее 1 d D , так что D dt дивергенция скорости выражает собой относительное приращение объема элементарной частицы жидкости за единицу времени. Вопрос 3. Выражения дивергенции скорости В курсе математического анализа дивергенция вектора  a ( x, y, z ) определяется как a y a z  a div a  x   dx dy dz или с помощью оператора Гамильтона, как скалярное произведение   div a  (  a ) . Поэтому для дивергенции скорости имеем в декартовых координатах выражение v y v z  v div v  x   . dx dy dz (5.2)  Поток и дивергенция v Физический смысл потока и дивергенции  v . Каждой точке  пространства, занятого жидкостью можно сопоставить вектор v , который, очевидно, представляет собой количество движения единицы объема жидкости в рассматриваемой точке. В выражении потока Q1 этого вектора через заданную поверхность  Q1   vn d ( ) vn d равно объему жидкости, протекающей через элементарную площадку d за единицу времени, а vn d равно соответствующей массе жидкости. Интеграл выражает собой массу жидкости, протекающей в единицу времени через 7 поверхность  в направлении нормалей к поверхности. Поток вектора через замкнутую поверхность  v d n представляет собой массу жидкости, D вытекающей в единицу времени за пределы объема, ограниченного данной поверхностью (поскольку нормали к поверхности ориентированы вовне объема).  Наконец, div v   vn d выражает собой массу жидкости, вытекающей в D единицу времени за пределы единичного объема, окружающего данную точку.  Вопрос 4. Выражения дивергенции v . Для определения величины  div v в декартовых координатах имеем следующее выражение:  v x v y v z div v    . dx dy dz (5.3)  Далее, div v можно представить в следующей форме: v y v z   v  v x v y v z      v x . div v      x    vy  vz dx dy dz dy dz  dx dy dz  dx  Выражение, стоящее в скобках, равно div v , сумма трех последних трех     членов представляет собой скалярное произведение вектора v  v x i  v y j  v z k . Таким образом,    div v  div v  v grad  . Легко видеть, что второе слагаемое правой (5.4) части обусловлено изменением плотности от точки к точке и оказывается равным нулю, если жидкость однородна. Уравнение неразрывности в общем случае. Субстанциальная форма уравнения неразрывности. Выделим в потоке замкнутую жидкую поверхность, ограничивающую объем жидкости D . При перемещении эта поверхность, вообще говоря, деформируется, объем D меняется, но масса жидкости, ограниченная поверхностью и равная  ср D (  ср средняя плотность в объеме D ), остается неизменной. Это можно представить в такой форме: 8 d ( ср D)  0 , dt где наличие субстанциальной производной соответствует тому факту, что речь идет об изменении определенной характеристики выделенной части жидкости при ее перемещении. Произведя дифференцирование, получаем: D d ср dt   ср d (D)  0 dt или d ср dt   ср 1 d (D)  0 . D dt Перейдем к пределу, полагая, что жидкий объем становится все меньшим и меньшим, стремясь к нулю. Так как Dlim  ср   и lim  0 D 0 i i 1 d  (D)  div v в D dt соответствии с субстанциальной интерпретацией дивергенции скорости, то в пределе получаем: d   div v  0 . dt (5.5) Локальная форма уравнения неразрывности. Введя в полученное выше уравнение выражение индивидуальной производной плотности как суммы локальной и конвективной производных, получим:     v grad   div v  0 . t С учетом (5.4) имеем:    div v  0 . t (5.6) Это соотношение будем называть уравнением неразрывности в локальной форме.