Построение структурной схемы по уравнениям, теоретический анализ системы

1 Моделирование систем Лекция Построение структурной схемы по уравнениям, теоретический анализ системы Щербаков В.П. 2 Система алгебраических уравнений Пример. Пусть задана система алгебраических уравнений вида: | 2x + 6y = 36 | 4x + 7y = 47 Выполняется преобразование схемы следующим образом. В каждом уравнении выбирается наиболее «значимая» переменная, которая остается в левой части уравнения, а всё остальное переносится в правую часть. | 2x = 36 – 6y | 7y = 47 – 4x 3 Система алгебраических уравнений Каждое уравнение, имеющее слагаемые в правой части, на структурной схеме обозначается сумматором, на входы которого подаются слагаемые правой части с соответствующими знаками, а на выходе формируется сигнал, соответствующий левой части. 2x = 36 – 6y 7y = 47 – 4x 4 Система алгебраических уравнений Если выражение левой части уравнения состоит из множителей, то на схеме к выходу сумматора добавляются блоки, которые позволяют выделить необходимую переменную путем деления на остальные множители. x 2x 1/2 7x x y 1/7 y 5 Система алгебраических уравнений Если слагаемое правой части является свободным числом (постоянным или зависящим от времени или других переменных, не входящих в систему), то на схеме оно представляется в виде внешнего воздействия. Если слагаемое правой части зависит от переменных системы уравнений, то эти переменные приводятся к требуемым слагаемым (например, умножаются на числа), и подключаются к сумматору. 6 Система алгебраических уравнений В результате будет получена структурная схема, реализующая систему уравнений. x 1/2 36 6 y 47 1/7 4 7 Система алгебраических уравнений В результате моделирования получены значения: x=3, y=5. x 36 1/2 3 6 y 47 1/7 4 5 8 Система дифференциальных уравнений Построение структурной схемы аналогично построению для системы алгебраических уравнений. В левой части остаются только старшие производные и вводится подстановка s = d/dt. Для получения на структурной схеме сигнала x при известном sx ставится интегратор 1/s. sx 1 s x 9 Система дифференциальных уравнений Пример 1. Пусть задана система дифференциальных уравнений вида: | x' = x*y + 2*t | y'' = x + y – 8 Тогда путем замены ' на s и, соответственно, '' на s2 получим: | sx = x*y + 2*t | s2y = x + y - 8 10 Система дифференциальных уравнений Структурная схема имеет следующий вид: | sx = x*y + 2*t | s2y = x + y - 8 11 Система дифференциальных уравнений Моделирование осуществляется для дифференциальных уравнений первого порядка. Если в системе имеется уравнения выше первого порядка, то выполняется подстановка в виде xs=sx. Это приведет к увеличению числа уравнений в системе, однако позволит реализовать сложную систему в программных продуктах. Пример. Пусть имеется уравнение вида: x’’ = -K2*x’ – K*x + u*K Выполнив подстановку s=d/dt и s2=d2/dt2, уравнение примет вид: s2x = -K2*sx – K*x + u*K Тогда после подстановки xs=sx система уравнений примет вид: | sxs= -K2*xs – K*x + u*K | sx = xs 2 sx u 1 sx 1 x 2 s x=-sx*K2-x*K + u*K K s 12 s Система дифференциальных уравнений K Структурная схема для полученных уравнений имеет вид: K2 sxs u 1 xs 1 s sx s K K x sxs=-xs*K2-x*K + u*K sx=xs 13 Система дифференциальных уравнений Пример 2. Пусть задана система дифференциальных уравнений вида: | x1’ = -5x1 + 10 | x2’ = -2x1 – 3x2 В уравнениях под ' понимается производная первого порядка и под '' - производная второго порядка. В системе уравнений вводится подстановка s=d/dt. | sx1 = -5x1 + 10 | sx2 = -2x1 – 3x2 14 Система дифференциальных уравнений Тогда структурная схема примет следующий вид: 10 sx1 10 5x1 1 x1 s 5 | sx1 = -5x1 + 10 | sx2 = -2x1 – 3x2 2 2x1 sx2 1 s 3x2 3 x2 15 Пространство состояний В общем виде пространство состояний записывается следующим образом: | x' = Ax + Bu, | y = Cx + Du, где A, B, C, D – матрицы. Например, для рассмотренной системы уравнений A, B, C, D равны: | x1’ = -5x1 + 10 A = | -5 0 | B = | 10 | | x2’ = -2x1 – 3x2 | -2 -3| |0 | | y1 = x1 C= |10| D= |0| | y2 = x2 |01| |0| 16 Пространство состояний В программных продуктах пространство состояний реализуется через блок State-Space. x· = [-5 0;-2 -3] x+ [10;0] u 1 10 sx1 10 y= [1 0;0 1] x+ [0;0] u 5x1 x1 s 5 2.000 -1.325 2.000 1 2 2x1 sx2 -1.325 1 s 3x2 3 x2 17 Теоретический анализ системы Теоретический анализ системы в начальный момент времени осуществляется в следующей последовательности: 1. Значения всех нестационарных параметров вычисляются по графикам при t=0. 2. Передаточные функции заменяются на коэффициенты усиления с величинами, рассчитанными путём нахождения предела при p=∞ и численно равными bn /an, где n порядок передаточной функции. 3. Определяется значение выходного сигнала системы, которое может быть рассчитано либо путём получения передаточной функции всей замкнутой системы с последующим умножением на величину входного воздействия, либо путём получения уравнений выходвход с последующим получением выражения для выхода. Остальные значения сигналов рассчитываются путём умножения известного сигнала на коэффициент усиления звена, если он находится по ходу протекания сигнала, либо деления на коэффициент усиления звена, если расчёт происходит в обратную сторону. 18 Теоретический анализ системы Теоретический анализ системы в конечный момент времени осуществляется в следующей последовательности: 1. Значения всех нестационарных параметров вычисляются по графикам при t=∞. 2. Передаточные функции заменяются на коэффициенты усиления с величинами, рассчитанными путём нахождения предела при p=0 и численно равными b0 /a0. 3. Определяется значение выходного сигнала системы, которое может быть рассчитано либо путём получения передаточной функции всей замкнутой системы с последующим умножением на величину входного воздействия, либо путём получения уравнений выходвход с последующим получением выражения для выхода. Остальные значения сигналов рассчитываются путём умножения известного сигнала на коэффициент усиления звена, если он находится по ходу протекания сигнала, либо деления на коэффициент усиления звена, если расчёт происходит в обратную сторону. 19 Теоретический анализ системы Пример структурной схемы для выполнения теоретического анализа представлен ниже. 5.5 9 5 8 4.5 7 4 6 3.5 5 3 4 2.5 3 2 4 G 6 8 10 t 3 12 + s 2 4 T 6 8 10 t 20 Теоретический анализ системы Структурная схема в начальный момент времени имеет вид: 3 8 1 Структурная схема в конечный момент времени имеет вид: 3 5 4 12 21 Теоретический анализ системы Структурная схема в начальный момент времени имеет вид: G 3 Y2 Y3 Y1 8 1 1 способ 2 способ Y1 = 0 * Y2 = 0 Y1 = 3 * [ 8*0 / (1 + 8*0) ] = 3 * 0 = 0 Y3 = G – Y1 = 3 Y2 = 8 * Y3 = 8 * 3 = 24 22 Теоретический анализ системы Структурная схема в конечный момент времени имеет вид: G Y2 Y3 5 3 Y1 4 12 1 способ 2 способ Y1 = 0.25 * Y2 Y1 = 5 * [ 4*0.25 / (1 + 4*0.25) ] = 5 * 0.5 = 2.5 Y3 = G – Y1 = 5 – 0.25*Y2 Y2 = Y1 / 0.25 = 2.5 / 0.25 = 10 Y2 = 4 * Y3 = 4 * ( 5 – 0.25*Y2 ) = 20 – Y2 => 2*Y2 = 20 => Y2 = 10; Y3 = 5 – 2.5 = 2.5 Y1 = 0.25 * 10 = 2.5; Y3 = 5 - 2.5 = 2.5 23 Теоретический анализ системы Графики процессов имеют вид: Начальный момент времени: Y1 = 0 Y2 = 24 Y3 = 3 Конечный момент времени: Y1 = 2.5 Y2 = 10 Y3 = 2.5 24 Теоретический анализ системы Пример структурной схемы для выполнения анализа представлен ниже. 1 10 5 s 4 Структурная схема в начальный момент t: G Y2 Y4 10 5 Структурная схема в конечный момент t: Y1 G Y2 Y4 10 5 1 Y3 Y3 4 1 4 Y1 25 Теоретический анализ системы Структурная схема в начальный момент t: G Y2 Y4 10 5 Структурная схема в конечный момент t: Y1 G Y2 Y4 10 ∞ 5 1 Y3 Y3 4 Y1 = 0, Y3 = 4 * Y1 = 0, Y4 = 10 – Y3 = 10, Y2 = 2 * Y4 = 20. 1 4 Y1 = ∞ ? Система астатическая? Да. => Y4 = 0, Y3 = G - Y4 = 10, Y1 = Y3 / 4 = 2.5 Y1