Постановка и смысл задач оптимизации

План лекции №1 1. Постановка и смысл задач оптимизации Основные понятия и определения теории оптимизации: основные термины; пример постановки ЗО на ЕЯ (проточный реактор); представление ХТП с кибернетических позиций; математическая формулировка обобщенной, абстрактной задачи оптимизации. 1.1. Основные понятия и определения 1.2. Обобщенная математическая модель задачи оптимизации 2. Методы решения задач оптимизации, основанные на классическом математическом анализе 2.1. Необходимые и достаточные условия существова­ния экстремума функции одной переменной 2.2. Необходимые и достаточные условия существова­ния экстремума функции многих переменных 2.3. Оптимизация равновесных экзотермических реакций Лекция №1 1. Постановка и смысл задач оптимизации 1.1. Основные понятия и определения Основной целью деятельности в сфере химического производства является: а) организация рациональных (оптимальных) схем, б) оптимальное управление, в) организация оптимальных экспериментальных исследований. Слово оптимум – означает наилучшее условие или совокупность наиболее благоприятных условий. Оптимизация – процесс достижения оптимума (т.е. определение наиболее благоприятных условий). Применительно к технологиче­скому процессу – это отыскание наилучших в определенном смысле условий проведения процесса. Очевидно, что при постановке задачи оптимизации (ЗО) нужно иметь количественную оценку качества работы оптимизируемой системы, которая позволяла бы сравнить различные варианты системы между собой. Такая количественная оценка называется критерием оптимальности (КО), либо эффективности (КЭ) системы. Встречается также понятие – целевая функция (ЦФ) объекта оптимизации. Оптимальный вариант системы (например, ХТС), либо оптимальные условия протекания ХТП в системе соответствуют максимальному (max) либо минимальному (min) значению КО (либо КЭ), которое возможно в рамках ограничений накладываемых на ХТС либо на её состояние. Например: 1) Если критерий – производительность, то оптимальные условия будут соответствовать max значению производительности. 2) Если критерий – выход целевого продукта, то оптимальные условия будут соответствовать max значению выхода целевого продукта и т.п. При постановке и решении задач оптимизации необходимо иметь возможность изменения состояния системы. Параметры, позволяющие реализовать различные варианты состояния, называют управляющими воздействиями (либо оптимизирующими переменными). К ним могут относиться самые различные параметры. Пример. Проточный реактор с мешалкой. Реакция APS. Vr – объем реактора. Качество работы оценивается концентрацией Ср. Разные Cр могут быть получены при разных V (скорость), T (температура), P (давление) и т.п. Если по условиям процесса можно варьировать V и T, то обе эти величины будут управлениями (либо оптимизирующими переменными). На стадии проектирования к оптимизирующим переменным можно отнести также Vr – объем реактора. Любой процесс (в частности ХТП) с кибернетических позиций условно может быть изображён в виде упрощённой схемы представленной на рис.1: 1. ‑ вектор входных параметров (характеризует материальные и тепловые потоки, поступающие в систему, которые измеряются, но возможность воздействия, на которые отсутствует, например концентрации компонентов сырья). 2. ‑ вектор управляющих параметров (которые измеряются и на которые имеется возможность воздействия). Эти параметры позволяют управлять процессом. Именно наличие вектора позволяет решать задачу оптимизации. 3. ‑ вектор возмущающих параметров (значения которых изменяются случайным образом во времени или которые не измеряются, например концентрации различных примесей в сырье, снижение активности катализатора и т.д.). 4. ‑ вектор выходных параметров (значения которых определяются режимами работы ХТС и которые характеризуют её состояние, например концентрация компонентов в выходном потоке, температура выходного потока, свойства готового продукта и т.д.). 1.2. Обобщенная математическая модель задачи оптимизации Обычно, решение задач оптимизации технологических процессов предполагает наличие математической модели процесса. Всякое математическое соотношение, устанавливающее связь между параметрами системы, носит название математической модели этой системы. В общем виде математическая модель может быть записана: (1) где, – вектор параметров математической модели. Символ , устанавливающий связь между параметрами может в общем случае не выражаться набором элементарных функций, а задаваться системой алгебраических или дифференциальных уравнений, т.е. он указывает на наличие математической связи между параметрами системы и задаёт её вид. Решение (1) представляется в виде отображения: (2) Критерий оптимальности зависит от показателей, характеризующих состояние системы, т.е. от вектора выходных параметров: (3) где Ψ – критерий оптимальности. С учетом (2) и (3) имеем: (4) С учетом (4) можно сформулировать задачу оптимизации произвольной системы в общем виде. Если влиянием возмущений в условиях данного процесса можно пренебречь, то математическая модель имеет вид: (5) и задача оптимизации может быть сформулирована следующим образом. Найти такой вектор оптимизирующих переменных , чтобы, при заданном векторе входных параметров, критерий оптимальности Ψ принял экстремальное (min, max) значение. Естественно, что при этом необходимо учесть все ограничения на параметры системы , которые могут иметь место в реальности. С учётом всех возможных ограничений задача оптимизации может быть записана следующим образом: (6) 2. Методы оптимизации, основанные на классическом математическом анализе 2.1. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции одной переменной Функция F(x) на [a, b] имеет в точке x = x0 экстремум, если эту точку можно окружить такой окружностью (x0–ε, x0+ε), принадлежащей [a, b] что для всех точек x, принадлежащих (x0–ε, x0+ε), выполняется неравенство: F(x) < F(x0) – максимум, либо F(x) > F(x0) – минимум для всех . Необходимое условие существования экстремума функции одной переменной формулируется так: в точках экстремума производная F’(x) обращается в нуль (F’(x)=0), либо не существует. Используя необходимое условие существования экстремума, можно определить точки x, принадлежащие [a, b], в которых возможен экстремум – «подозрительные точки». F(x) F(x) F(x) 0 a x0 b x 0 a x0 b x 0 a x0 b x 2.2. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции многих переменных Функция F(x1,x2,…,xn) имеет в точке (x10,x20,…,xn0) экстремум, если существует такая окрестность этой точки, взятая из области определения функции, что для всех точек этой окрестности справедливы следующие неравенства: F(x1,x2,…,xn) < F(x10,x20,…,xn0) – максимум, или F() > F() – минимум. Необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных первого порядка по всем переменным, т. е. . Достаточные условия сложнее, чем в случае с функцией одной переменной. В этом случае необходимо рассматривать положительную или отрицательную определенность матрицы Гессе (матрица вторых частных производных). Рассмотрим пример применения классических методов матанализа для решения задачи оптимизации из области химической технологии. 2.3. Оптимизация равновесных экзотермических реакций Рассмотрим обратимую реакцию произвольного порядка по следующей схеме: , (1) где P – целевой продукт. Уравнение скорости реакции в соответствии с законом действующих масс запишется так , (2) где k1, k2 – константы скорости соответственно прямой и обратной реакций; CA, CB, CP, CQ – концентрации компонентов A, B, P и Q; a, b, p, q – стехиометрические коэффициенты. С увеличением температуры T скорость W растёт, затем при приближении к равновесию уменьшается и при некоторой температуре Te становится равной нулю. Из этого следует, что существует некоторая температура, при которой скорость химической реакции максимальна, т. е. W = Wmax. Необходимые условия этого: , (3) Пусть (4) тогда: (5) Подставим (5) в (3) и получим , откуда имеем следующее соотношение: , (6) где Topt – температура, при которой справедливо равенство (3). Так как при равновесии реакционных систем W = 0, то имеем: , (7) или . (8) Сравнивая (6) и (8), получаем связь равновесной температуры с оптимальной температурой проведения реакции: . (9) Подставляя в (9 вместо k1 и k2 их выражения, получим зависимость между Topt и Te.