Понятие производной, ее геометрический и экономический смысл. Правила дифференцирования. Дифференцирование основных элементарных функций: линейной, степенной, показательной и логарифмической.

Лекция 10. Понятие производной, ее геометрический и экономический смысл. Правила дифференцирования. Дифференцирование основных элементарных функций: линейной, степенной, показательной и логарифмической Пусть функция определена в некоторой окрестности точки Определение. Производной функции отношения приращения функции ∆ в точке ∆ → Производную функции ("эф штрих от икс"), ∆ = ∆ → ; при . Итак, − − = lim , ∈ называется предел к приращению аргумента ∆ ∆ → 0, если этот предел существует, и обозначается = lim . . , в точке x обозначают ("игрек штрих по икс"), ("де эф от икс по де икс"), ("де игрек по де икс"), причем все эти обозначения равноправны. Экономисты используют также символ = (т.е. ) и термин – маржинальное значение функции f в точке x. Из определения производной вытекает следующая схема ее нахождения, которую изложим на конкретном примере. Пример 1. Найти производную функции = = −2∙ + 3 в произвольной (но фиксированной) точке x. 1) Даем аргументу x приращение ∆ ≠ 0 и находим "приращенное" значение функции: = +∆ = +2∙ +∆ ∙∆ + ∆ = +∆ −2∙ 2) Находим приращение функции: ∆ = ∆ = +2∙ ∙∆ + ∆ =2∙ −2∙ −2∙ − 2 ∙ ∆ + 3. = −2∙∆ +3− ∙∆ + ∆ +∆ −2∙∆ . +∆ −2∙ +3= − +3= = 3) Находим отношение приращения функции к приращению аргумента: ∆ ∆ ∆ 2∙ ∙∆ ∆ ∆ ∆ 2∙∆ 2∙ ∆ 2. 4) Находим предел этого отношения при ∆ → 0 , т.е. искомую производную: ∆ ∆ lim lim 2 ∙ ∆ ∆ → ∆ ∆ → ∆ → ∆ Определение. Операция нахождения lim 2 2∙ 2 2∙ производной 1 . называется дифференцированием функции. Определение. Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала ; , называется дифференцируемой на этом интервале; при этом производную можно рассматривать как функцию на ; . Необходимое условие существования производной вытекает из следующего утверждения. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Геометрический дифференцируемая в точке смысл производной. Пусть – функция, график которой изображен на рис. 1. 2 AC – касательная к графику функции ординатой в точке A с абсциссой и . Являясь, по сути, скоростью изменения функции в точке (точнее, в бесконечно малом интервале вблизи точки ), производная функции численно равна тангенсу угла наклона касательной, в точке проведенной к графику этой функции в точке # ; $. Можно показать, что этот вывод не зависит от расположения графика функции и касательной на координатной плоскости. Правила Определение дифференцирования. производной редко используется для практического вычисления производных функций. Если функция, производную которой нужно найти, представляет собой комбинацию элементарных функций, то для вычисления производных применяются таблицы производных элементарных функций и правила дифференцирования, важнейшие из которых приведены ниже. 1. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) ±' производных этих функций: #% (∙% % $ =% ±' . 2. Постоянный множитель выносится за знак производной: #( ∙ % $ = ∙' $ = . 3. Правило дифференцирования произведения функций: #% ∙' +% ∙' . 4. Правило дифференцирования частного функций: ) % ' * = % ∙' −% +' , ∙' . 5. Правило дифференцирования сложной функции - #% #% $= = $.: % ∙% ∙% . 6. Правило дифференцирования обратной функции # $: 3 1 . 7. Правило дифференцирования неявной функции 0 = 1 =− 1 . 1 , : Дифференцирование основных элементарных функций: линейной, степенной, показательной и логарифмической. 1. ( = 0 (производная константы равна нулю). 2. 3. + 2 ∙ = =3∙ (производная линейной функции равна константе). >0 245 (дифференцирование степенной функции уменьшает ее степень на единицу). 4. 5. log = = ∙ ln 5 0< = ∙ log = : ≠ 1 . В частности, : 0< =: . ≠ 1, > 0 . В частности, ln 5 = . 4