Понятие неопределённого интеграла и основные методы его вычисления

Неопределенный интеграл § 1. Понятие неопределённого интеграла и основные методы его вычисления. 1.1. Первообразная и неопределенный интеграл К числу важных задач механики относятся задача о нахождении закона движения материальной точки по ее заданной скорости, а также задача об нахождении закона движения и скорости материальной точки по ее заданному ускорению. Эти задачи приводят к математической проблеме отыскания функции по заданной производной этой функции. Определение. Функция F называется первообразной для функции f на промежутке X, если в каждой точке x из промежутка X: 1) F является дифференцируемой (при этом если точка x - конец промежутка X , то в ней должна существовать соответствующая односторонняя производная); 2) F ′( x) = f ( x) . Пример. Для функции f ( x) = x первообразной является, например, функция x2 x2 F ( x) = . Очевидно, что функция F ( x) = + 5 - также ее первообразная. 2 2 Следующее утверждение сразу следует из определения первообразной: Лемма 1. Если F (x) – некоторая первообразная для функции f (x) , то F ( x) + C также является первообразной для функции f (x) . Верно и обратное утверждение: Лемма 2. Пусть F1 ( x) и F2 ( x) – две первообразные для функции f (x) на промежутке X. Тогда они отличаются только на константу, то есть F1 ( x) − F2 ( x) ≡ const . Доказательство. Найдем производную от разности этих первообразных: ( F1 ( x) − F2 ( x))′=F1′( x) − F2′ ( x)= f ( x) − f ( x) =0 . Тогда, по теореме об условиях постоянства функции на промежутке, F1 ( x) − F2 ( x) ≡ const . Следствие. Если F (x) – некоторая первообразная функции f (x) на промежутке X, то { F ( x) + C , где C – произвольная константа} – это множество всех первообразных функции f (x) на промежутке X. Определение. Неопределённый интеграл функции f – это множество всех первообразных для неё. Он обозначается символом 3 ∫ f ( x)dx . ∫ Из этого определения и предыдущего следствия видим, что f ( x)dx = { F ( x) + C , где C – произвольное действительное число, F – некоторая первообразная функции f }. Обычно это записывают короче: ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , где C ∈ R . 1.2. Свойства неопределённого интеграла 1) 2) 3) 4) ∫ dF ( x) = F ( x) + C . d (∫ f ( x)dx ) = f ( x)dx . ∫ k ⋅ f ( x)dx = k ⋅ ∫ f ( x)dx при k ≠ 0 . ∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx . Доказательство. 1). ∫ dF ( x) = ∫ F ′( x)dx =F ( x) + C . 2). d ( ∫ f ( x)dx) = d ( F ( x) + C ) = F ′( x)dx = f ( x)dx . 3). Пусть F (x) – первообразная для функции f (x) . Из свойств производной следует, что k ⋅ F (x) является первообразной для функции k ⋅ f (x) . Тогда ∫ k ⋅ f ( x)dx = k ⋅ F ( x) + C , k ∫ f ( x)dx = k ( F ( x) + C1 ) = k ⋅ F ( x) + k ⋅ C1 . (1) (2) Так как C и C1 – произвольные константы, то k ⋅ C1 – тоже произвольная константа. Поэтому правые, а, значит, и левые части в равенствах (1) и (2) равны. 4). Пусть F (x) – первообразная для f (x) ; G (x) – первообразная для g (x) . Тогда F ( x) + G ( x) – первообразная для f ( x) + g ( x) . Поэтому выполняются равенства ∫ ( f ( x) + g ( x))dx = F ( x) + G( x) + C1 ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx = F ( x) + G ( x) + C3 + C2 . (3) (4) Так как C1 , C 2 , C3 – произвольные константы, то в равенствах (3) и (4) правые, а, значит, и левые части равны. ■ Первые два свойства неопределённого интеграла говорят о том, что дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные операции. Третье и четвертое свойства означают, что операция интегрирования линейна. Свойства 1), 3) и 4) используются для вычисления интегралов. 4 1.3. Таблица основных неопределенных интегралов x α +1 α 1) ∫ x dx = + C (α ≠ −1) . α +1 dx 2) ∫ = ln x + C ( x ≠ 0) . x ax x 3) ∫ a dx = + C (a > 0 , a ≠ 1) . ln a 4) ∫ e x dx = e x + C . 5) ∫ cos x dx = sin x + C . 6) ∫ sin x dx = − cos x + C . dx 7) ∫ cos 2 x = tg x + C 8) ∫ sin 2 x = −ctg x + C 9) ∫ x 2 + 1 = arctg x + C . (x ≠ dx π + πn, n ∈ Z) . 2 ( x ≠ πn, n ∈ Z) . dx dx 10) ∫ 13) ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x + a 14) ∫ = arcsin x + C (−1 < x < 1) . 1 − x2 dx 1 x 11) ∫ 2 = arctg + C (a ≠ 0) . 2 a a x +a dx x 12) ∫ = arcsin + C (−a < x < a, a > 0) . a a2 − x2 dx dx 1 x−a +C ( x ≠ ± a, a ≠ 0) . = ln x + x 2 + a + C . x2 + a 15) ∫ ch x dx = sh x + C . 16) ∫ sh x dx = ch x + C . dx 17) ∫ ch 2 x = th x + C . 18) ∫ sh 2 x = −cth x + C dx ( x ≠ 0) . Некоторые, наиболее простые интегралы можно вычислять, пользуясь только таблицей и свойствами. 5