Полугруппы

Полугруппой называется произвольное непустое множество с определяемой на ней ассоциативной бинарной операцией. Иными словами, множество S с операцией : , которая удовлетворяет условию ()() для произвольных . Такая полугруппа обозначается () для того, чтобы подчеркнуть, какую операцию на ней задано. Если операция понятна из контекста, как правило, это обозначение сокращают до простого . Лемма 1. Пусть () обозначает некоторую полугруппу и е обозначает некоторый элемент, не принадлежащий . Тогда множество с операцией , определим следующим образом: , если , , является полугруппой, в которой элемент e является нейтральным. Лемма 2. Если полугруппа () содержит нейтральный элемент, скажем е, тогда этот нейтральный элемент единственный. Лемма 3. Пусть () обозначает некоторую полугруппу и х обозначает некоторое элемент, не принадлежащий . Тогда множество с операцией , определенной следующим образом: , если , , является полугруппа, в которой элемент х нулевой. Лемма 4. Если полугруппа () содержит нулевой элемент, скажем х, тогда этот нулевой элемент единственный. Элемент е полугруппы () называется идемпотентом, если Лемма 5. Конечная полугруппа всегда имеет иденпотент. Системы образующих. Пусть () обозначает некоторую полугруппу. Для непустого подмножества, , обозначим через множество всех возможных конечных произведений элементов с T. Не пустое подмножество называется системой образующих полугрупп S, если . Очевидно, что S сама является своей системой образующих. Система образующих Т полугруппы S называется несводимой, если произвольная собственная подмножество в Т не является системой образующих S. Например, множество является системой образующих , однако эта система не является несводимой. Легко видеть, что единственной несводимой системой образующих является . Полполугруппы Полполугруппы полугруппы () называется непустое подмножество , которая удовлетворяет условию , то есть, которая заперта относительно операции . В этом случае сама Т с ограничением, , операции на Т является полугруппой. Например, множество четных чисел является полполугруппой полугруппы натуральных чисел относительно сложения, поскольку сумма двух четных чисел является числом четным.