Полная вероятность события; гипотезы; формулы Бейеса

Лекция 26. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса Краткое содержание Полная вероятность события. Гипотезы. Вероятности гипотез (формулы Бейеса) 1. Формула полной вероятности Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий 𝑃(𝐵1 ), 𝑃(𝐵2 ), … , 𝑃(𝐵𝑛 ) и условные вероятности 𝑃𝐵1 (𝐴), 𝑃𝐵2 (𝐴), … , 𝑃𝐵𝑛 (𝐴) события А. Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: 𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑩𝟏 ) ∙ 𝑷𝑩𝟏 (𝑨) + 𝑷(𝑩𝟐 ) ∙ 𝑷𝑩𝟐 (𝑨) + ⋯ + 𝑷(𝑩𝒏 ) ∙ 𝑷𝑩𝒏 (𝑨). Эту формулу называют «формулой полной вероятности». При этом события 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 называют гипотезами, так как заранее не известно, какое из этих событий наступит. Замечание. Формулу полной вероятности можно записать более компактно, используя знак суммирования: 𝒏 𝑷(𝑨) = ∑ 𝑷(𝑩𝒊 ) ∙ 𝑷𝑩𝒊 (𝑨). 𝒊=𝟏 1 Пример 1. На трех станках изготавливают одинаковые детали, которые поступают на общий склад. На первом станке изготавливают 10%, на втором – 30%, на третьем – 60% всех деталей. Вероятность того, что деталь будет стандартной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 – если на втором станке, и 0,9 – если деталь изготовлена на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая со склада деталь окажется стандартной. Решение. Пусть событие А — {наугад взятая деталь стандартна}. Наугад взятая деталь может быть изготовлена на одном из трех станков. Поэтому сформулируем три гипотезы. Гипотеза 𝐵1 — {взятая деталь изготовлена на первом станке}; гипотеза 𝐵2 — {взятая деталь изготовлена на втором станке}; гипотеза 𝐵3 — {взятая деталь изготовлена на третьем станке}. Исходя из условия, найдем вероятности гипотез: 𝑃(𝐵1 ) = 0,1; 𝑃(𝐵2 ) = 0,3; 𝑃(𝐵3 ) = 0,6. Условные вероятности события А также даны в условии задачи. Это вероятности события А при условии наступления его с одной из гипотез: 𝑃𝐵1 (𝐴) = 0,7; 𝑃𝐵2 (𝐴) = 0,8; 𝑃𝐵3 (𝐴) = 0,9. Тогда по формуле полной вероятности имеем: 3 𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐵𝑖 ) ∙ 𝑃𝐵𝑖 (𝐴) = 0,1 ∙ 0,7 + 0,3 ∙ 0,8 + 0,6 ∙ 0,9 = 0,85. 𝑖=1 2. Вероятности гипотез. Формула Бейеса Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 , образующих полную группу. Мы назвали эти события гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности: 2 𝑛 𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐵𝑖 ) ∙ 𝑃𝐵𝑖 (𝐴). 𝑖=1 Допустим, что произошло испытание, в результате которого появилось событие А. Требуется определить, как изменились вероятности гипотез в связи с тем, что событие А произошло. Другими словами, надо найти вероятности того, что событие произошло именно с одним из событий 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 . Определить условные вероятности каждой гипотезы позволяют формулы Бейеса: 𝑷𝑨 (𝑩𝒊 ) = 𝑷(𝑩𝒊 ) ∙ 𝑷𝑩𝒊 (𝑨) . 𝑷(𝑩𝟏 ) ∙ 𝑷𝑩𝟏 (𝑨) + 𝑷(𝑩𝟐 ) ∙ 𝑷𝑩𝟐 (𝑨) + ⋯ + 𝑷(𝑩𝒏 ) ∙ 𝑷𝑩𝒏 (𝑨) Таким образом, формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в результате которого появилось событие А. Пример 2. Изделия в цехе проверяют два контролера. Вероятность того, что изделие попадет на проверку к первому контролеру равна 0,6, ко второму – 0,4. Вероятность того, что годное изделие будет признано стандартным первым контролером равна 0,94, а вторым — 0,98. При проверке годное изделие было признано стандартным. Какова вероятность того, что это изделие проверил первый контролер? Решение. Пусть событие А — {годное изделие признано стандартным}. При этом возможны два предположения: 1) гипотеза 𝐵1 — {изделие проверил первый контролер}; 2) гипотеза 𝐵2 — {изделие проверил второй контролер}. В условии задачи даны вероятности гипотез: 𝑃(𝐵1 ) = 0,6; 𝑃(𝐵2 ) = 0,4. Условные вероятности события А также возьмем из условия: 3 𝑃𝐵1 (𝐴) = 0,94; 𝑃𝐵2 (𝐴) = 0,98. Найдем полную вероятность события А: 2 𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐵𝑖 ) ∙ 𝑃𝐵𝑖 (𝐴) = 0,6 ∙ 0,94 + 0,4 ∙ 0,98. 𝑖=1 Вероятность того, что изделие проверил первый контролер найдем по формуле Бейеса: 𝑃𝐴 (𝐵1 ) = 𝑃(𝐵1 ) ∙ 𝑃𝐵1 (𝐴) 0,6 ∙ 0,94 = ≈ 0,59. 𝑃(𝐵1 ) ∙ 𝑃𝐵1 (𝐴) + 𝑃(𝐵2 ) ∙ 𝑃𝐵2 (𝐴) 0,6 ∙ 0,94 + 0,4 ∙ 0,98 4