Плоскость; два способа записи уравнения плоскости

§ 4. Плоскость. Существуют два способа записи уравнения плоскости: 1) по известной точке и нормальному вектору на плоскости; 2) по известным двум векторам, компланарных некоторой плоскости. Задача №1. Пусть известна точка и нормальный вектор плоскости. Определение. Любой вектор перпендикулярный плоскости называется нормальным. Z n MO M П O Y X (4.1) Дана плоскость П. В плоскости расположена точка MO(x1,y1,z1) с известными координатами и нормальный вектор n (A , B , C) , координаты которого также известны. В ⃗ произвольном месте плоскости П расположим текущую точку M(x,y,z). Координаты точки M(x,y,z) переменные M O M ( x−x 1 , y− y 1 , z −z 1) , для величины. Найдем вектор ⃗ этого из координат конечной точки вычтем координаты начальной. Тогда при любом месте расположения точки ⃗ M O M ( x−x 1 , y− y 1 , z −z 1) M(x,y,z) вектор перпендикулярен вектору n (A , B , C) и их скалярное ⃗ M O M ,⃗ n )=0 . произведение, следовательно, равно нулю (⃗ Воспользуемся условием перпендикулярности векторов в координатной форме A (x−x1 )+B(y−y 1)+ C( z−z 1 )=0 - уравнение плоскости по известной точке и нормальному вектору. В уравнении плоскости коэффициенты при переменных (x,y,z), т. е. (A,B,C) — это координаты нормального вектора, (x1 y1 z1) – координаты известной точки, (x,y,z) — координаты текущей точки, или координаты любой точки, принадлежащий плоскости. В уравнении (4.1) раскроем скобки Ax+ By+ Cz+D=0 - уравнение плоскости в общем виде. (4.2) В уравнении (4.2) D - свободный член, который равен D=(−x 1−y 1−z 1) , (A,B,C) – координаты нормального вектора, (x,y,z) — координаты текущей точки. X Задача №2. Записать уравнение плоскости по точке и 2-м неколлинеарным векторам компланарных плоскости. Z Дана плоскость П. В плоскости расположена точка MO(x1,y1,z1) с известными координатами и два неколлинеарных вектора S⃗1 (m 1 , n 1 , p1) , S⃗2 (m 2 , n 2 , p2 ) ,компланарных плоскости П. В S1 M П произвольном месте плоскости П расположим текущую точку MO S2 M(x,y,z). Координаты точки M(x,y,z) переменные величины. O Y ⃗ M O M(x−x 1 , y−y 1 , z−z 1) , для этого из Найдем вектор координат конечной точки вычтем координаты начальной. Из M O M(x−x 1 , y−y 1 , z−z 1) , построения следует, что вектора ⃗ S⃗1 (m 1 , n 1 , p1) и S⃗2 (m 2 , n 2 , p2 ) компланарны. Тогда смешанное произведение векторов равно нулю. Воспользуемся условием компланарности векторов в координатной форме (4.3) | x−x 1 m1 m2 y−y 1 n1 n2 | z−z 1 p 1 =0 - каноническое уравнение плоскости. p2 Рассмотрим уравнение плоскости в "отрезках". Предположим, что плоскость П пересекает оси координат X, Y, Z в точках a, b, c соответственно. Тогда в плоскости П известны три точки с координатами M1(a,0,0), M2(0,b,0) и M3(0,0,c). Расположим Z точку M(x,y,z) в произвольном месте плоскости П. Вектора c M3 ⃗ M1M 2, ⃗ M1M3 , ⃗ M 1 M компланарны, для записи уравнения плоскости достаточно воспользоваться условием П компланарности векторов. Однако воспользуемся общим M уравнением плоскости (4.2), которое преобразуем следующим b O образом M2 A B C x+ y+ z=1 . Ax+ By+ Cz=−D, или a −D −D −D X M 1 Подставим координаты точек M1(a,0,0), M2(0,b,0) и M3(0,0,c) в полученное уравнение A B C a=1 , b=1 , c=1 откуда следует a=− D/ A , b=−D/ B , c=−D /C . −D −D −D Подставим константы в преобразованное уравнение плоскости x y z + + =1 уравнение плоскости в отрезках. (4.4) a b c В знаменателе, соответствующих слагаемых приведены длины отрезков a, b, c отсекаемых плоскостью П на осях X, Y, Z соответственно. § 5. Прямая в пространстве. Существуют два способа записи уравнения прямой в пространстве: 1) прямые, которые являются пересечением 2-х плоскостей; 2) по известной точке и направляющему вектору. Задача №1. Записать уравнение прямой, полученной пересечением 2-х плоскостей. Пусть даны две не параллельные плоскости П1, П2 , уравнения которых известны A1 x +B1 y +C1 z+ D1=0 n1 A2 x+ B2 y +C2 z +D2=0 n2 Система уравнений совместная, если текущие точки П1 S плоскостей совпадают. Это возможно только для точек M линии пересечения. Полагаем, что плоскости пересекаются и П2 на линии пересечения в произвольном месте укажем точку M(x,y,z) – текущая точка, которая находится только на линии пересечения. Из уравнения плоскостей можно определить нормальные вектора n⃗1 ( A1 , B1 , C 1 ) и n⃗2 ( A2 , B 2 , C 2 ) . Линия пересечения принадлежит двум плоскостям одновременно и поэтому нормальные вектора n⃗1 ( A1 , B1 , C 1 ) и n⃗2 ( A2 , B 2 , C 2 ) ей перпендикулярны. Если вышеприведенная система уравнений совместная, тогда ее решением будут координаты только точек линии пересечения. Таким образом A1 x +B1 y +C1 z+ D1=0 (5.1) - уравнение прямой в пространстве. A2 x+ B2 y +C2 z +D2=0 Запись уравнения прямой в пространстве (5.1) справедлива при выполнении условия A1 B1 C 1 . По известным нормальным векторам n⃗1 ( A1 , B1 , C 1 ) и n⃗2 ( A2 , B 2 , C 2 ) можно ≠ ≠ A1 B1 C 1 ⃗ ⃗ S . В самом деле вектор S перпендикулярен найти направляющий вектор прямой n⃗1 ( A1 , B1 , C 1 ) и n⃗1 ( A1 , B1 , C 1 ) , тогда он может быть найден с помощью векторного i j k ⃗ произведения S=[ n⃗1 , n⃗2]= A1 B1 C1 . A 2 B2 C2 { { | | X Задача №2. Записать уравнение прямой, по известной точке MO(x1,y1,z1) на прямой и направляющему вектору. Пусть дана прямая l, точка MO(x1,y1,z1) и направляюший ⃗ S ( m , n , p) , координаты которых известны. На l вектор S Z прямой l в произвольном месте укажем текущую точку M(x,y,z), которая может располагаться только на линии l. M MM O (x-x1,y-y1,z-z1), который коллинеарен Найдем вектор ⃗ MO ⃗ S ( m , n , p) . Воспользуемся коллинеарностью Y вектору O векторов в координатной форме (x−x 1) (y−y 1) (z−z 1) = = (5.2) - каноническое уравнеm n p ние прямой в пространстве . В уравнении (5.2) (x1,y1,z1) – это координаты известной точки, (m,n,p) – известные координаты направляющего вектора. Преобразуем уравнение (5.2) следующим образом. Поскольку обозначим коэффициент пропорциональности отношения координат через t, т. е. (x− x 1) ( y− y 1) ( z−z 1 ) = = =t . Полученные равенства эквивалентны следующей системе m n p уравнений x=x 1+ m⋅t (5.3) y=y 1 +n⋅t - параметрическое уравнение прямой в пространстве, z=z 1+ p⋅t где (x1,y1,z1) – координаты известной точки, (m,n,p) – известные координаты направляющего вектора. { § 6. Кривые второго порядка. Определение. Общим уравнением кривых 3-го порядка на плоскости называется уравнение вида (5.4) Ax 2+ By 2+ Cxy+ Dx+ Ey+ F=0 , при условии, что хотя бы один коэффициентов A,B,C был отличен от нуля. n1. Окружность. Определение. Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от некоторой фиксированной точки плоскости, назыY ваемой центром окружности. M Дано геометрическое место точек с текущей точкой M(x,y). Точка MOM , MO(xo,yo) центр окружности. Найдем координаты вектора ⃗ R для этого из координат конечной точки вычтем координаты начальной, MO M O M (x-xo,y-yo). Найдем длину вектора ⃗ M O M , которая т. е. ⃗ O X 2 2 MOM . равна √ (x−x o) +( y−y o ) =R , где R - длина вектора ⃗ Предположим, что точка MO(xo,yo) совпадает с началом координат O (см. рис.), тогда полученное уравнение преобразуется в следующий вид (5.5) x 2 + y 2=R 2 - уравнение окружности с центром в начале координат. R – радиус окружности. Полученное уравнение является уравнением окружности, поскольку его решением являются только координаты текущей точки M(x,y). n2. Эллипс. Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек равноудаленных от двух фиксированных точек плоскости, называемой фокусами эллипса. Дано геометрическое место точек с текущей точкой M(x,y). Точки F1 и F2 – это точки фокусов. Для построения эллипса в простейшем варианте оси декартовой системы координат расположим специальным образом. Ось X проведем через точки фокусов, ось Y проведем через середину отрезка между фокусами F1F2 . Полученное построение приведено на рисунке. Полагаем, что длина отрезка между фокусами F1F2 равна 2с, тогда координаты точек Y фокуса равны F1(-с,0) и F2(с,0). Координаты текущей точки равны F1M и ⃗ F 2 M , для этого M(x,y). Найдем координаты векторов ⃗ b M из координат конечной точки вычтем координаты начальной, получим r1 ⃗ ⃗ r2 F 1 M ( x+ c , y) и F 2 M ( x−c , y ) . Сумма длин векторов в соответствии с определением эллипса есть величина постоянная, т. е. -a F F2 a X 1 |⃗ F 1 M ( x + c , y )|+|⃗ F 2 M ( x−c , y )|=r 1+ r 2=2 a=const . где а — некоторая постоянная. Запишем равенство в координатной форме -b √(x + c)2 + y 2 + √(x−c)2 + y 2=2 a . Перенесем второе слагаемое в правую часть возведем в квадрат , получим 2 2 2 ( x +c ) + y =4 a −4 a √ ( x−c)2 + y 2 +(x−c)2 + y 2 , упростим выражение сокращением подобных 4 a √( x + c)2 + y 2=4 a 2−4 xc , или a √( x +c) 2+ y 2=a 2− xc . Избавимся от слагаемых, иррациональности возведением в квадрат a 2 [( x+ c)2 + y 2 ]=(a 2 −xc)2 , упростим выражение и перегруппируем слагаемые x 2 (a 2−c 2)+ a 2 y 2=a 2 (a 2−c2 ). Предположим, что (a-c) положительная величина. В самом деле, поскольку в произвольном треугольнике F1F2M сумма 2-х сторон больше третьей, тогда r 1+ r 2 > F 1 F 2 , или 2 a > F 1 F 2=2 c . обозначим разность (a 2−c 2) положительной величиной (a 2−c 2)=b2 . Подставим в последнее равенство, следовательно, x 2 b2 + a 2 y 2=a 2 b 2 . Разделим на множитель с правой стороны равенства x2 y2 (5.6) + =1 - каноническое уравнение эллипса. a 2 b2 Полученное уравнение является уравнением эллипса, поскольку его решением являются только координаты текущей точки M(x,y). Из анализа уравнения (5.6) следует, что эллипс симметричная фигура относительно зеркального отражения относительно осей X и Y. Точками пересечения эллипсом координатных осей являются точки с координатами (-a,0), (a,0), (0,-b), (0,b). n3. Гипербола. Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости разность расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами есть величина постоянная. Дано геометрическое место точек с текущей точкой M(x,y). Точки F 1 и F2 – это точки фокусов. Для построения гиперболы в простейшем варианте Y оси декартовой системы координат расположим специальным образом. Ось X проведем через точки фокусов, ось Y проведем через середину M r1 отрезка между фокусами F1F2. Полученное построение приведено на r2 рисунке. Полагаем, что длина отрезка между фокусами F1F2 равна 2с, X тогда координаты точек фокуса равны F1(-с,0) и F2(с,0). Координаты F1 F2 F1M и текущей точки равны M(x,y). Найдем координаты векторов ⃗ ⃗ F 2 M , для этого из координат конечной точки вычтем координаты ⃗ ⃗ F 1 M ( x+ c , y) и F 2 M ( x−c , y ) . Для начальной, получим определения уравнения гиперболы составим равенство ⃗ ⃗ |F 1 M (x+ c , y)|−|F 2 M( x−c , y )|=r 1−r 2=2 с=const . где а — некоторая постоянная. Запишем равенство в координатной форме √(x+c)2+ y 2−√(x−c)2 + y 2=2 a . Перенесем второе слагаемое в правую часть возведем в квадрат , получим ( x +c )2+ y 2=[2 a+ √( x−c )2+ y 2 ] . Возведем в квадрат и упростим выражение для этого произведем следующую последовательность операций r 2+ 2 с >r 1 2 4 xc=4 a 2 + 4 a √ ( x−c )2+ y 2 , ( xc−a 2)2=a 2 [(x−c)2 + y 2 ] , x 2 c 2−a 4 −a 2 y 2=a 2 ( c2 −a 2) , x 2 (c2 −a 2)−a 2 y 2=a 2 (c 2−a 2) . Предположим, что c >a . В самом деле, в треугольнике r 2+ 2 с >r 1 , F1F2M сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны, тогда 2 2 2 r 1−r 1 < 2 с , 2 a < 2 c . Тогда следовательно, величина. b =c −a > 0 , положительная 2 2 2 2 2 2 Подставим в последнее уравнение получим x b −a y =a b , разделим на правую часть, следовательно x2 y2 (5.7) − =1 - каноническое уравнение гиперболы. a2 b2 Гипербола приведена на рисунке. Из уравнения (5.7) следует, что гипербола является симметричной кривой относительно зеркального отражения вдоль осей X, Y. n4. Парабола. Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости равноудаленных от фиксированной точки плоскости, называемой фокусом и прямой называемой директрисой. Дано геометрическое место точек с текущей точкой M(x,y). Точка F – это точка фокуса. Для построения гиперболы в простейшем варианте оси Y декартовой системы координат расположим специальным образом. Ось X проведем через фокус, перпендикулярно директрисе, ось Y проведем M1 M через середину отрезка между директрисой и фокусом F. Полученное r1 r2 построение приведено на рисунке. Полагаем, что длина отрезка между фокусом F и директрисой равно p, тогда координаты фокуса равны X F p p F ( ,0) , а точки M 1 (−( ) , y) . Координаты текущей точки равны 2 2 FM и ⃗ M 1 M , для этого из M(x,y). Найдем координаты векторов ⃗ координат конечной точки вычтем координаты начальной, получим p p ⃗ FM ( x− , y ) и ⃗ M 1 , M ( x+ ,0) . . Для определения уравнения 2 2 p p FM ( x− , y)|=|⃗ M 1 M ( x + ,0)| . Перейдем к координатной гиперболы составим равенство |⃗ 2 2 p 2 2 p 2 p 2 2 p 2 2 (x− ) + y = ( x+ ) , преобразуем, тогда форме (x− ) + y =( x + ) , y =2 px . 2 2 2 2 Полученное выражение (5.8) y 2=2 px - каноническое уравнение параболы, где p – параметр параболы. √ √