Плоские задачи теории установившейся фильтрации

Лекция 7 Плоские задачи теории установившейся фильтрации. Потенциал точечного источника на плоскости и в пространстве Интерференция скважин. Метод суперпозиции. Движение называется плоским, когда элементы движения (скорость и давление) зависят только от одной координаты на плоскости r и в любой плоскости // данной картина скоростей и давлений будет одинакова. Пример: Плоский фильтрационный поток имеет место при работе одной или нескольких гидродинамически совершенных скважин, как нагнетательных, так и эксплуатационных в однородном горизонтальном пласте постоянной мощности. Движение называется пространственным, когда элементы движения (скорость и давление) зависят от трех координат: r, z, -полярный угол. Пример: приток к одной или нескольким несовершенным скважинам. Точечный сток – точка, к которой притекает жидкость, пример – добывающая скважина. Точечный источник – точка, из которой вытекает жидкость, пример – нагнетательная скважина. Потенциалом течения называется функция, производная от которой вдоль линии тока взятой с противоположным знаком, совпадает с вектором скорости: В теории фильтрации вводится понятие потенциала ; Для плоскорадиального потока можно получить следующее выражение для потенциала точечного стока (источника): где: - удельный дебит скважины-стока, приходящийся на единицу мощности пласта, С – постоянная интегрирования. Если q>0, то выражение определяет распределение потенциала от стока - добывающей скважины, если q<0, то выражение определяет распределение потенциала от источника – нагнетательной скважины. Потенциал точечного стока на плоскости пропорционален логарифму расстояния r от скважины. Найдем скорость фильтрации на расстоянии r Знак – показывает, что скорость направлена к центру скважины в сторону убывания r. Т.о. формулы дают выражение для точечного стока (источника) на плоскости и вызванной этим стоком (источником) скорости. При r =0; r =формула не имеет физического смысла. При r =0 - потенциал и скорость обращаются в бесконечность. При r =- скорость в ноль, потенциал бесконечность. Рассмотрим задачу о потенциале точечного стока (источника) в пространстве. На плоскости мы имеем плоско-радиальный приток к стоку. В пространстве поток будет радиально-сферический. Эта задача не столько физическая, сколько математическая, поскольку радиально-сферического движения в природе не бывает. Но это очень удобная и важная модель, которая используется в решении многих задач, в т.ч. определение притока к несовершенной скважине. Потенциал точечного стока в пространстве определяется формулой: В отличие от формулы для потенциала точечного стока на плоскости скорость и давление точечного стока в пространстве обращаются в бесконечность только при r =0; при r = потенциал остается конечным. Если рассматривать скважину источник, знак дебита изменится на обратный, потому что направление скорости будет противоположным. Для точечного источника в пространстве: Метод точечного источника и стока не полностью отвечает реальным условиям, но при помощи него решается ряд задач подземной гидромеханики. При помощи формул можно решать задачи связанные с нахождением дебитов, если известны потенциалы на некоторых поверхностях. Интерференция скважин Разработка нефтяных и газовых месторождений осуществляется множеством единичных скважин, каждая из которых имеет собственный потенциал на стенке скважины и на контуре питания . Здесь индекс пробегает значения , а - число скважины размещенных по всей площади месторождения на определенном расстоянии друг от друга. Суммарный дебит скважин должен обеспечить заданный темп и объем отбора нефти или газа из месторождения. В связи с этим при гидродинамических расчетах, связанных с разработкой месторождений, необходимо рассматривать множество одновременно работающих скважин, размещенных определенным образом на площади нефтегазоносности. При решении гидродинамических задач необходимо учитывать, что при работе нескольких скважин в пласте происходит взаимное влияние их друг на друга, называемое интерференцией скважин, в результате которой средний дебит скважин, при увеличении их числа, падает. Поэтому при вводе в эксплуатацию новых скважин суммарная добыча жидкости на месторождении растет не прямо пропорционально числу введенных скважин, а значительно медленнее, например, так как показано на рисунке. Чем ближе скважины друг к другу в цепочке, тем сильнее сказывается эффект интерференции, тем меньше суммарный дебит. На суммарную добычу большое влияние оказывает расстояние до контура питания или цепочки нагнетательных скважин. При приближении нагнетательных скважин к добывающим эффект интерференции уменьшается, а дебиты увеличиваются. Метод суперпозиции С целью анализа характеристик притока, при числе скважин больше чем одна, рассмотрим взаимодействие потенциалов пяти стоков в бесконечном по протяженности цилиндрическом пласте. Пусть имеется бесконечный цилиндрический пласт радиуса , с проницаемостью и коэффициентом динамической вязкости насыщающего пласт жидкости с потенциалом на контуре питания , давлением на контуре . Приток в этом случае плоско-радиальный. Распределение потенциала вдоль радиуса имеет форму концентрических окружностей, по радиусу которых частицы жидкости фильтруются в направлении от контура питания к стоку (рис. 9). Определим в пласте некоторую точку и расположим вокруг нее произвольным образом с интенсивностью стоки на расстоянии от точки соответственно (рис.10). Вычислим распределение потенциала и направление скорости фильтрации в пласте от каждого стока при условии, что ввод стоков осуществляется поочередно от первого до пятого. При этом каждый из них работает самостоятельно по схеме так, что, например, если работает сток , то все другие стоки с номерами не действуют. При отключении стока с номером включается сток с номером , а оставшиеся стоки не действуют. Т.е. остановка первого стока влечет за собой включение второго стока и так далее в порядке возрастания номера стока. Предположим, что при отключении любого стока мгновенно восстанавливаются первоначальные пластовые характеристики - потенциал и соответствующее потенциалу давление. Итак, в принятом нами пласте работает сток интенсивностью , остальные стоки бездействуют. Вычислим значение потенциала в точке пласта. В соответствии с формулой для точечного стока величина потенциала составит . (3.1) При работе стока с интенсивностью потенциал в той же точке равен . (3.2) Следуя формулам (3.1 и 3.2) вычислим значение потенциалов в точке при работе стоков . Результаты вычислений отобразим графически (рис.11, «а», «б», «в», «г», «д», «е»). На рис. 11 последовательно приведено распределение потенциала от каждого независимого стока, при условии, что все другие стоки не работают. Следуя принципу аддитивности потенциала, найдем суммарный потенциал в точке при условии одновременной работы стоков 1 – 5 и с учетом расстояния от стока до точки имеем , (3.3) здесь - постоянная интегрирования потенциалов; - знак алгебраического суммирования. Результат сложения потенциалов приведен на (рис.11, «е»). Таким образом, опираясь на основные свойства решений уравнения Лапласа в силу его линейности и однородности, был разработан метод суперпозиции (метод наложения решений). Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что изменение пластового давления или потенциала ФМ в любой точке пласта М, вызванное работой каждой скважины (Ф1, Ф2, Ф3,… Фn) (нагнетательной или добывающей), подсчитывается так, как если бы данная скважина работала в пласте одна, независимо от других скважин. Затем эти независимо определенные для каждой скважины изменения давления или потенциала в каждой точке пласта алгебраически суммируются: Принимая во внимание, что величина потенциала связана с давлением соотношением вида , а интенсивность источника перейдем от потенциала (3.3) к давлению в точке и для стока получим . (3.4) Величина давления в точке при работе стоков 1 –5 согласно принципу суперпозиции будет равна . (3.5) По известному давлению каждого стока, следуя закону Дарси определим величину и направление скорости фильтрации жидкости при работе каждого независимого источника, т.е. при условии работы одного наперед выбранного стока. Так для стока скорость фильтрации имеем . (3.6) Здесь F площадь боковой поверхности цилиндра с центром в точке и радиусом , направление скорости фильтрации противоположно радиусу вектора , соединяющего центр стока и точку . Аналогично определим скорости фильтрации жидкости других стоков. Результаты вычислений представим в виде (рис.12). Суммарная скорость фильтрации в точке М определяется как векторная сумма скоростей фильтрации , вызванных работой каждой скважины в отдельности, рис. 14: Рис.14. Схема скоростей фильтрации в точке М при работе скважин стоков (а) и результирующий вектор в точке М (б) Для определения дебитов или забойных потенциалов скважин, работающих в пласте с удалённым контуром питания (т.е. можно считать, что потенциал на контуре питания Фк и радиус самого контура питания Rк известны и одинаковы для всех скважин), используя принцип суперпозиции, поместив точку М на забой каждой скважины и на контур питания (рис.15), можно получить следующую систему уравнений: (6.8) ……………………………………………………….. где: rСi - радиус скважины на которую помещена точка М; rji -расстояние между i-й и j-й скважинами; ФСi - забойный потенциал i-ой скважины. Однако метод ограничен, так как основан на анализе пласта достаточно больших размеров и определенной конфигурации, в частности справедлив для цилиндрического пласта неограниченного размера. Реальные пластовые системы имеют ограниченные размеры и произвольны по конфигурации. Для таких пластов применим принцип суперпозиции, но для обеспечения условий на границе приходится вводить фиктивные скважины, расположенные за пределами рассматриваемых реальных областей.