Планирование научного эксперимента и обработка экспериментальных данных

Модуль 6. ПЛАНИРОВАНИЕ НАУЧНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 6.1. Основы планирования эксперимента Под планированием эксперимента понимается определение цели каждого эксперимента, числа серий и измерений в каждой серии, достижение оптимума соотношения экономии материалов и адекватности проведенных измерений. Критерии определения необходимого числа измерений: 1. Возможность пренебрежения коэффициентом Стьюдента в вычислении погрешностей измерений. Это можно сделать при более чем 7…10 измерениях при уровне доверительной вероятности α = 0,68 (который используется по умолчанию) и при более чем 15…20 измерениях при уровне доверительной вероятности α = 0,95. 2. Окончательный результат многократного измерения содержит в себе как случайную, так и приборную погрешности. Поскольку случайная погрешность уменьшается с увеличением количества измерений как 1/ n , а приборная остается постоянной, целесообразно сделать столько измерений, чтобы случайной погрешностью можно было пренебречь по сравнению с приборной погрешностью. Для минимизации числа измерений используется последовательный анализ, т.е. такой способ статистической проверки гипотез, при котором необходимое число наблюдений не фиксируется заранее, а определяется в процессе самой проверки. Пусть задача состоит в выборе между гипотезами H1 и H2 по результатам независимых наблюдений. Гипотеза H1 заключается в том, что случайная величина Х имеет распределение вероятностей с плотностью f1(x), гипотеза H2 — в том, что Х имеет плотность f2(x). Для решения этой задачи поступают следующим образом. Выбирают два числа А и В (0 < A < B ). После первого наблюдения вычисляют отношение λ1 = f2(x1)/f1(x1), где x1 - результат первого наблюдения. Если λ1 < A, принимают гипотезу H1; если λ1 > B, принимают H2, если A ≤ λ1 ≤ B, производят второе наблюдение и так же исследуют величину 2  f 2 ( x1 ) f 2 ( x 2 ) , f1 ( x1 ) f1 ( x2 ) где x2 — результат второго наблюдения, и т.д. С вероятностью, равной единице, процесс оканчивается либо выбором H1, либо выбором H2. Величины А и В определяются из условия, чтобы вероятности ошибок первого и второго рода (т.е. вероятность отвергнуть гипотезу H1, когда она верна, и вероятность принять H1, когда верна H2) имели заданные значения α1 и α2. Ведение лабораторного журнала. Лабораторный журнал – официальный документ, имеющий юридическую силу, в котором в последовательном хронологическом порядке указываются условия проведения экспериментов и результаты измерений. Аккуратное ведение лабораторного журнала позволяет исследователю создать адекватный и поддающийся проверке отчёт, защитить свой приоритет относительно сделанного им открытия. Лабораторный журнал представляет собой тетрадь (журнал) с пронумерованными страницами, прошитыми страницами толстой ниткой, концы которой скреплены на последней странице сургучом с оттиском официальной печати учреждения. Данные следует вписывать ручкой, но не карандашом. Если в процессе занесения в журнал результатов эксперимента были позже обнаружены опечатки или фактические ошибки, они исправляются ручкой другого (красного) цвета, ставится дата и фамилия исправляющего. Каждый рабочий день в лабораторном журнале выделяется отдельно: дата в начале рабочего дня и заполнение до начала следующего (чтобы нельзя было в дальнейшем сделать записи этой датой). Если журнал общий для всей лаборатории, для каждого эксперимента указывают фамилии его участников. Также для эксперимента необходимо указывать цель, используемые материалы, условия проведения (температура, давление, напряженность магнитного поля и т.д.), продолжительность, описание трудноформализуемых параметров. Это делается как для того, чтобы опыт мог воспроизвести любой другой исследователь, так и для самого экспериментатора – впоследствии можно проанализировать ход эксперимента, наметить пути повышения точности измерений, продумать следующие эксперименты, учесть все факторы при оформлении научных отчётов и статей. Перед проведением эксперимента исследователь должен заранее продумать роль различных факторов, стоимость используемых в эксперименте ресурсов, учесть возможные риски для экспериментатора и окружающих, принять необходимые меры безопасности. Все это надо заранее записать в лабораторный журнал, подготовить таблицы для записи однотипных данных. Требования к оформлению научного отчёта. Научный отчёт о проведенных исследованиях является не менее важным, чем лабораторный журнал – по нему другие исследователи смогут ознакомиться с вашими результатами. В отчёте излагаются цель, ход и результаты эксперимента. В отчёте нет необходимости рассказывать всю историю получения результатов, а также приводить данные экспериментов, которые соответствуют тупиковым ветвям исследований или не важны для анонсируемых результатов. Однако все актуальные данные должны быть приведены, независимо от того, свидетельствуют они за или против представленной теории. В отчёте должны быть четко выделены следующие разделы. Название отчёта – как правило, приводится на титульной странице. Данные о группе исследователей, выполнивших эксперимент, и лаборатория (предприятие), в котором он проводился. Цель исследований – кратко формулируются основные задачи или необходимость достижения определенных результатов. Экспериментальные данные – по аналогии с лабораторным журналом; необходимо указывать используемые материалы, условия проведения (температура, давление и т.д.), продолжительность и другие параметры эксперимента, важные для его воспроизведения. Теоретические выкладки, позволяющие понять те модельные функциональные зависимости, в рамках которых происходит интерпретация экспериментальных данных. Обработка экспериментальных данных – представление данных в графическом виде, оценка параметров функциональных зависимостей, их погрешностей, статистическая проверка гипотез об адекватности используемых моделей. При использовании программных пакетов указываются их название, версия, значения численных параметров, используемых при обработке данных. Результаты исследования выводы о подтверждении или опровержении рассматриваемых гипотез. Следует использовать глаголы исследованы, проверены, измерены и т.п. Список литературы – библиографические ссылки на книги и статьи, из которых были использованы экспериментальные данные, результаты или идеи. Для записи результатов большого количества однотипных измерений используются таблицы, с помощью которых удается избежать ненужной многократной записи обозначения измеряемой величины, единиц измерения, используемых масштабных коэффициентов и т.п. В таблицы, помимо экспериментальных данных, могут быть сведены промежуточные результаты обработки этих данных. В заголовок таблицы заносятся размерности величин, характерные степени. В таблице указывается порядковый номер каждого измерения. Более наглядными, чем таблицы, являются графики зависимостей исследуемых физических величин. Графики дают визуальное представление о связи между величинами, что крайне важно при интерпретации полученных данных, так как графическая информация легко воспринимается, вызывает больше доверия, обладает значительной ёмкостью. На основе графика легче сделать вывод о соответствии теоретических представлений данным эксперимента. Оси – графики, за редким исключением, строят в прямоугольной системе координат, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывают аргумент, независимую величину, а по вертикальной оси (оси ординат) – функцию, зависимую величину. Масштаб по осям – численное значение физической величины, соответствующее единичному отрезку. Оси необязательно должны содержать начало координат – обычно учитывают минимальное и максимальное значение. При необходимости выбирают логарифмический или двойной логарифмический масштаб. Подписи осей – название откладываемой величины, масштабный коэффициент. Шкала – подписи к осям в виде числового масштаба, с учётом масштабного коэффициента. Обычно выбираются некие «круглые» числа с минимумом знаков после запятой. Масштабная сетка – для удобства определения величин конкретных точек делают тонкие вертикальные и горизонтальные линии, которые являются продолжениями отметок шкалы. Экспериментальные точки – должны быть отчетливо видны. Если на одном графике показаны несколько зависимостей, их надо выделить точками разного вида (кружочки, ромбики, квадратики и т.д.). Проведение кривых – экспериментальные точки соединяют плавной кривой, чтобы они в среднем были одинаково расположены по обе стороны от проведенной кривой. Если известно математическое описание наблюдаемой зависимости, то теоретическая кривая проводится точно так же. Правильно построенная кривая должна заполнять все поле графика, что будет свидетельством правильного выбора масштабов по каждой из осей. Если же значительная часть поля оказывается незаполненной, то необходимо заново выбрать масштабы и перестроить зависимость. Название – под графиком должно быть приведено его название, поясняющее, к чему относится изображенная зависимость. Все страницы, таблицы, формулы, схемы и графики должны быть пронумерованы (в порядке использования). В начале отчёта обычно приводят содержание отчета. Если таблицы или графики имеют значительный размер и мешают связанному восприятию текста, их стоит вынести в Приложения и дать на них ссылку в тексте. 6.2. Измерение физических величин Предметом исследования в науке являются самые разные объекты. При всем разнообразии их характеристик они делятся на качественные (цвет, наличие признака) и количественные (вес, длина, площадь, объем, скорость изменения). Рассмотрим количественные величины. Для определения абсолютного значения некоторой физической величины её сравнивают с эталоном, который считается единицей величины. Например, единицей длины является метр, времени – секунда и т.д. Однако в процессе эксперимента экспериментатор сравнивает измеряемую величину не с основным эталоном, а с показаниями некоторого прибора – вторичным эталоном, который через иерархию других эталонов может быть приведен к первичному эталону. Различают прямое и косвенное измерения. Наиболее простым является прямое измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно с помощью измерительного прибора. Например, длина измеряется линейкой, напряжение – вольтметром, температура – термометром и т.п. Если прямые измерения невозможны, используют косвенные измерения. В них искомое значение величины находят на основании известной зависимости этой величины от других, допускающих прямое измерение. Например, среднюю плотность тела можно измерить по его массе и геометрическим размерам, электрическое сопротивление резистора – по падению напряжения на нем и току через него и т.п. Измерения могут быть выполнены как однократные и многократные. Однократное измерение дает единственный результат, который принимают за окончательный результат измерения значения искомой величины. Многократное измерение проводят путем повторения однократных измерений одной и той же постоянной физической величины, оно приводит к получению набора данных. Окончательный результат многократного измерения, как правило, находят из набора данных в виде среднего арифметического результатов всех отдельных измерений. Физические величины, встречающиеся в эксперименте, относят к следующим основным типам: случайная, постоянная, изменяющаяся, нестабильная величины. Случайная величина связана со случайными процессами, поэтому результат отдельного измерения не может быть однозначно предсказан заранее. Вместе с тем проведение достаточно большого количества измерений случайной величины позволяет установить, что результаты измерений отвечают определенным статистическим закономерностям. Их выявление, изучение и учёт составляют неотъемлемую часть любого эксперимента. В качестве случайных величин можно рассматривать, например, скорость молекулы газа в фиксированный момент времени, отклонение значения амплитуды сетевого напряжения от номинальной величины и т.п. Постоянная величина. К таким величинам должны быть отнесены физические постоянные, например, скорость света в вакууме, постоянная Больцмана и т.п. Можно считать постоянными величинами также некоторые характеристики конкретного объекта, находящегося при фиксированных условиях. Этот тип физических величин чаще всего встречается в экспериментах, например, при определении длины образца, его массы, теплоёмкости и т.п. Однако многократные измерения постоянной величины могут дать неодинаковые результаты. Дело в том, что результаты измерений подвержены неконтролируемым, а значит, неучтённым, влияниям многочисленных воздействий внешней среды, включая неконтролируемые процессы в исследуемых объектах и используемых измерительных приборах. Вследствие этого постоянная величина зачастую проявляет себя как случайная величина, а результаты её измерений отражают случайную природу воздействий и отвечают определенным статистическим закономерностям. Поэтому для обработки результатов измерения постоянной величины естественно использовать методы, характерные для обработки результатов измерения случайной величины. Изменяющаяся (переменная) величина. Такая величина закономерно меняется с течением времени вследствие процессов, проходящих в исследуемом объекте. Примерами могут служить: скорость сложной химической реакции, затухание амплитуды колебаний свободного маятника и т.п. Измерения, проводимые в различные моменты времени, фиксируют величину в новых условиях. Набор результатов однократных измерений представляет собой результаты принципиально неповторимых измерений, так как время нельзя повернуть вспять, а измерение в целом не может расцениваться как многократное. Особого внимания заслуживает нестабильная величина. Она меняется с течением времени без каких бы то ни было статистических закономерностей. К основной характеристике нестабильной величины следует отнести отсутствие у экспериментатора информации о её зависимости от времени. Измерения такой величины дают набор данных, не несущих сколько-нибудь полезных сведений. Вместе с тем нестабильная величина может быть переведена в разряд изменяющихся величин, если экспериментально или теоретически установлена закономерность в зависимости её от времени. Типы погрешностей измерений. Погрешность – количественная характеристика неоднозначности результата измерения. Её оценивают исходя из всей информации, накопленной при подготовке и выполнении измерений. Эту информацию обрабатывают для совместного определения окончательного результата измерения и его погрешности. Окончательный результат нельзя расценивать как «истинное значение» измеряемой физической величины, так как в этом нет смысла из-за наличия погрешности. Погрешность может быть выражена в единицах измеряемой величины x, в таком случае она обозначается Δx и носит название абсолютной погрешности. Однако абсолютная погрешность не отражает качества измерений: например, абсолютная погрешность 1 мм при измерении размеров помещения свидетельствует о высоком качестве измерения, та же погрешность совершенно неприемлема при измерении диаметра тонкой проволоки. Критерием качества измерения является отношение абсолютной погрешности к окончательному результату измерения: х х  . (1) х Это отношение безразмерно. Величину δx называют относительной погрешностью и используют как в абсолютном, так и в процентном выражении. Высокой точности измерения соответствует малое значение относительной погрешности. Промахи или грубые погрешности – возникают вследствие неисправности измерительных приборов или ошибок в эксперименте, сделанных по невнимательности. Естественно стремление избегать промахи, однако, если стало понятно, что они все-таки допущены, соответствующие им результаты измерений необходимо отбросить и при возможности повторить эксперимент в этой области значений. Приборная погрешность – систематическая погрешность, присутствующая в результатах измерений, выполненных с помощью любого измерительного прибора. Приборная погрешность, как правило, неизвестна и не может быть учтена. Её можно оценить только путем сравнения показаний прибора с показаниями другого, более точного. Иногда результаты специально проведенного сравнения приводят в паспорте прибора, однако чаще указывают максимально возможную погрешность для приборов данного типа. Модельная погрешность. В основу любого экспериментального исследования, сопряженного с измерениями, заложена модель. Модель содержит физическое описание исследуемого объекта или процесса, которое позволяет составить его математическое описание, а именно, набор функциональных соотношений, включающих физические величины. Неверно построенная модель, в которой не нашли отражения какие-то важные процессы или факторы, влияющие на результат измерений, также приводит к несоответствиям. Как следствие, измеряемые в эксперименте величины, вычисляемые по полученным из модели рабочим формулам, содержат погрешности, которые носят название модельных погрешностей. К разряду модельных может быть отнесена погрешность взвешивания на рычажных весах. Согласно закону Архимеда, вес тела и гирь уменьшается из-за действия выталкивающей силы воздуха. Напомним, что вес 1 м3 воздуха равен примерно 10 ньютонов. Для того чтобы правильно найти массу взвешиваемого тела, нужно ввести поправки на потерю веса гирями и самим телом. Вместе с тем, как и при любых измерениях, здесь необходим разумный подход. Например, при работе с грубыми техническими весами бессмысленно вводить поправку на Архимедову силу, так как она окажется много меньше погрешностей, вносимых в результат измерения гирями и самими весами. Случайные погрешности – при повторных измерениях погрешности этого типа показывают свою случайную природу. Возникают они вследствие множества причин, совместное воздействие которых на каждое отдельное измерение невозможно учесть или заранее установить. Такими причинами могут оказаться, к примеру, незначительные колебания температуры различных деталей и узлов установки, скачки напряжения, вибрации, турбулентные движения воздуха, трение в механизмах, ошибки считывания показаний приборов и т.п. Единственно возможный способ объективного учёта случайных погрешностей состоит в определении их статистических закономерностей, проявляющихся в результатах многократных измерений. Рассчитанные статистические оценки вносят в окончательный результат измерения. Одной из грубейших ошибок является нахождение погрешности измерения как Δx = xe − xt , где хе – полученное в процессе эксперимента среднее значение величины, xt – значение, взятое из справочника или рассчитанное исходя из теоретических представлений. Целью эксперимента является именно проверка существующих теорий и уточнение табличных значений. Случайные величины и их характеристики. Основным типом погрешностей являются случайные погрешности. Они поддаются строгому математическому описанию, что позволяет делать выводы о качестве измерений, в которых они присутствуют. Случайная величина x полностью задается плотностью вероятности ρ(х) (другие названия – распределение вероятности, распределение величины x). Среднее значение х измеряемой величины x указывает центр распределения, около которого группируются результаты отдельных измерений: 1 n х   xi . (2) n i 1 Дисперсию вводят как средний квадрат отклонения отдельных результатов от среднего значения случайной величины: 2 1 n n 2   2  x  x  x2  x . (3)  i n  1 i 1 n 1 Коэффициент (n – 1) появляется, поскольку в связи с конечным количеством экспериментов вычисленное среднее значение х отличается от предельного (получаемого при n→∞), и такая поправка дает возможность получить несмещенную оценку для дисперсии. Среднее квадратичное отклонение, называемое также стандартным, определяют как квадратный корень из дисперсии:     1 n xi  x 2  n x 2  x 2 . (4)  n  1 i 1 n 1 Эта величина характеризует разброс результатов отдельных измерений вокруг среднего значения, получаемого после обработки всех данных многократного  измерения. Конечно, точные значения σ и х являются предельными величинами, так как могут быть получены лишь тогда, когда полное количество проведенных измерений достаточно велико, в пределе при n→∞. При конечных n правильнее использовать термин экспериментальная оценка, который в равной мере относится и к среднему значению, и к дисперсии. 6.3. Нормальное распределение и его свойства При обработке данных измерений в науке и технике обычно предполагают нормальный закон распределения случайных погрешностей измерений. Оно всегда проявляется тогда, когда суммарная погрешность есть результат неучтенного совместного воздействия множества причин, каждая из которых дает малый вклад в погрешность. Причем совершенно неважно, по какому закону распределен каждый из вкладов в отдельности. Свойства нормально распределенной случайной величины x: 1. x∈ (−∞+∞); 2. Плотность вероятности ρ(x) является непрерывной функцией; 3. Центр распределения случайной величины одновременно является центром симметрии; 4. Малые отклонения встречаются чаще больших, другими словами, реализуются с большей вероятностью. Соответствующее функциональное выражение для распределения задает формула Гаусса:  x  x 2  1  ( х)  exp  (5) , 2 2   2  где σ2 и х – дисперсия и среднее значение распределения. Вероятность того, что результат измерения попадет в интервал [x1; x2], равна x2 Px1  x  x2     x dx. (6) x1 В скобках после P указано событие, для которого вычислена вероятность. При увеличении границ промежутка в обе стороны до бесконечности интеграл от функции  распределения   xdx  1 , т.е. попадание результата  измерения в диапазон x∈ (−∞+∞) является достоверным событием. Пусть Δx – произвольное отклонение от средней величины х . Введём ε – величину отношения полуширины интервала Δx к среднему квадратичному отклонению σ: х  . (7)  В таблице 1 указана вероятность α: . Таблица 1 - Нормальное распределение: доверительные интервалы ( х  х; х  х) для доверительной вероятности α (в долях ε) α 0,68 0,90 0,95 0,990 0,997 0,999 ε 1,0 1,65 2,0 2,6 3,0 3,3 Её также можно рассчитать по приближенному выражению:  2 2   .   1  exp     (8) Правило «3 стандартов» Видно, что результат измерения с вероятностью около 68% попадет в интервал ( х   ; х   ) , т.е. примерно каждое третье измерение даст результат за пределами этого интервала. За пределами интервала ( х  2 ; х  2 ) окажется 5% результатов, а для интервала ( х  3 ; х  3 ) – только один из трехсот. Значит, интервал ( х  3 ; х  3 ) является почти достоверным, так как подавляющее большинство отдельных результатов многократного измерения случайной величины окажется сосредоточенным именно в нём. При обработке результатов эксперимента часто используется «правило 3σ», или правило «трёх стандартов», которое основано на указанном свойстве нормального распределения. С учётом проведённого выше анализа можно установить наличие промаха в результате отдельного измерения, а значит, отбросить его, если результат измерения более чем на 3σ отличается от измеренного среднего значения случайной величины. Коэффициент Стьюдента С увеличением количества измерений n оценка значения величины σ практически перестает зависеть от n, то есть уменьшается неточность при оценивании погрешности отдельного измерения. С ростом n также стабилизируется оценка х . Следовательно, должна уменьшаться погрешность окончательного результата многократного измерения, за который принимают среднее значение х . Связь среднего квадратичного отклонения  x окончательного результата (другими словами, погрешности определения среднего значения) и среднего квадратичного отклонения σ отдельного измерения задает соотношение  x   n  n 1 xi  x nn  1 i 1  2 . (9) Видно, что с увеличением числа измерений погрешность окончательного результата уменьшается. Однако повышение точности никогда не дается бесплатно. Так, чтобы узнать дополнительную цифру в х , т.е. повысить точность в 10 раз, количество измерений необходимо увеличить в 100 раз. Следует также учесть, что в конечную погрешность вносит свой вклад приборная (систематическая) погрешность, и с какого-то момента увеличение числа измерений становится неэффективным. Пусть как результаты отдельных измерений xi, так и среднее значение х распределены нормально. По аналогии с отдельным измерением, для оценки погрешности окончательного результата многократного измерения примем величину Δx, задающую симметричный относительно среднего значения х интервал от −Δx до +Δx, называемый доверительным интервалом. Вероятность найти значение измеряемой величины в указанном интервале носит название доверительной вероятности: . (10) В табл. 1 приведены доверительные вероятности для доверительных интервалов, размеры которых выражены в долях среднего квадратичного отклонения: x  . (11)  table Если понятие доверительного интервала использовать применительно к отдельному измерению, то под σtable следует понимать среднее квадратичное отклонение σ результата этого отдельного измерения. Если же отнести доверительный интервал к многократному измерению, то под σtable необходимо подразумевать среднее квадратичное отклонение окончательного результата х многократного измерения, т.е.  x . С помощью указанной таблицы случайную погрешность окончательного результата можно найти, воспользовавшись записью: x case        x , (12) n где величину ε берут из таблицы для заданного значения доверительной вероятности. При обработке результатов лабораторных работ рекомендуется применять доверительную вероятность α = 0,68, поэтому нет нужды использовать ее в записи х ± Δx. В эксперименте значение  x оценивают исходя из конечного числа результатов отдельных измерений, количество которых обычно не превышает 5…10. Поэтому точность оценивания  x невелика. Это вносит дополнительную неопределенность в окончательный результат многократного измерения. Чтобы её учесть, следует расширить границы доверительного интервала, заданного выше для точно известной величины  x . Понятно, что меньшему количеству отдельных измерений должен сопоставляться более широкий доверительный интервал. Поэтому для (Δx)case необходимо использовать другое выражение: x case  t  , n   x , (13) где t(α, n) – коэффициенты, зависящие от полного количества измерений n и заданного значения доверительной вероятности α. Величины t(α, n) носят название коэффициентов Стьюдента. Значения коэффициентов Стьюдента для различных α и n можно найти в табл. 2. Таблица 2. - Коэффициенты Стьюдента t(α, n) для доверительной вероятности α (n – количество измерений) 2 3 0,68 2,0 1,4 0,95 12,7 4,3 α 0,99 63,7 9,9 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 100 1,3 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,0 3,2 2,8 2,6 2,4 2,4 2,3 2,3 2,1 2,1 2,0 2,0 2,0 5,8 4,6 4,0 3,7 3,5 3,4 3,3 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 n 0,999 636,6 31,6 12,9 8,6 6,9 6,0 5,4 5,0 4,8 4,1 3,9 3,7 3,5 3,4 В таблице значение коэффициента расположено на пересечении строки с количеством отдельных измерений n и столбца с выбранным значением доверительной вероятности α. Изучив таблицу, несложно заметить, что при увеличении количества измерений коэффициенты практически совпадают с использованными выше величинами ε для того же значения доверительной вероятности α. Это есть следствие перехода от оценок параметров нормального распределения к их точному заданию, что реализуется только при очень большом количестве выполненных измерений. 6.4. Суммарная погрешность измерений Помимо случайной погрешности, при использовании в эксперименте каких-либо измерительных приборов необходимо учитывать приборную погрешность. В паспорте прибора принято указывать предел допустимой погрешности θ, означающий максимально возможную погрешность при рекомендованных условиях работы прибора. Если бы приборная погрешность была распределена по нормальному закону, то из такого определения θ следовало бы, что распределение характеризуется средним квадратичным отклонением σdevice =θ/3. Для электроизмерительных стрелочных приборов принято указывать класс точности, записываемый в виде числа, например, 0,05 или 4,0. Это число дает максимально возможную погрешность прибора, выраженную в процентах от наибольшего значения величины, измеряемой в данном диапазоне работы прибора. Так, для вольтметра, работающего в диапазоне измерений 0…30 В, класс точности 1,0 определяет, что указанная погрешность при положении стрелки в любом месте шкалы не превышает 0,3 В. Соответственно среднее квадратичное отклонение σdevice составляет 0,1 В. Реальная погрешность прибора существенно зависит от условий окружающей среды. Например, погрешность электроизмерительных приборов зависит от температуры помещения и отличается от паспортной погрешности, которая обычно приводится для 20 оС. Другой причиной погрешностей может быть электромагнитное излучение другого лабораторного оборудования, вибрация установки и т.д. При планировании эксперимента для повышения точности измерений может возникнуть необходимость в учёте этих факторов. Обычно цена наименьшего деления шкалы стрелочного прибора согласована с погрешностью самого прибора. Если класс точности используемого прибора неизвестен, за погрешность σdevice всегда принимают половину цены его наименьшего деления. Понятно, что при считывании показаний со шкалы нецелесообразно стараться определить доли деления, так как результат измерения от этого не станет точнее. Предел допустимой погрешности цифрового измерительного прибора рассчитывают по паспортным данным, содержащим формулу для расчета погрешности именно данного прибора. При отсутствии паспорта за оценку погрешности σdevice принимают единицу наименьшего разряда цифрового индикатора. Окончательный результат многократного измерения содержит в себе как случайную, так и приборную (систематическую) погрешности. Поскольку случайная погрешность уменьшается с увеличением количества измерений, целесообразно сделать такое количество измерений, чтобы (Δx)case <<θ, (14) т.е. чтобы случайной погрешностью можно было пренебречь по сравнению с приборной погрешностью. На практике достаточно, чтобы случайная погрешность была в 2…3 раза меньше систематической. В любом случае надо сделать 2…3 измерения, чтобы убедиться в том, что случайная погрешность действительно мала. Если приборная и случайная погрешности близки по значению, то суммарная погрешность равна x  xcase 2   device 2 . (15) Поскольку случайную погрешность обычно оценивают с доверительной вероятностью 0,68, а θ – оценка максимальной погрешности прибора, то можно считать, что выражение задает доверительный интервал также с вероятностью не меньшей 0,68. При выполнении однократного измерения оценкой погрешности результата служит Δx =θ/3, учитывающая только предельно допустимую приборную погрешность. Погрешности косвенных измерений. Пусть исследуемую величину s определяют по результатам прямых измерений других независимых физических величин, например, x, y, z, с которыми она связана заранее установленным функциональным математическим соотношением s = f (x, y, z). (16) Также известны окончательные результаты прямых измерений х ±Δx, y ±Δy, z ±Δz. Предполагается, что величины x, y, z являются случайными и к ним применимо нормальное распределение. Тогда для среднего значения (17) s  f  x , y , z . Для погрешности s   f x x 2   f y 2 y 2   f z z 2 , (18) где f x, f y , f z – частные производные в точке ( х , y , z ). При непосредственных расчётах в формулу необходимо подставлять погрешности Δx, Δy, Δz, найденные для одного и того же значения доверительной вероятности. Погрешность косвенного измерения s также будет соответствовать этому значению доверительной вероятности. Рекомендуется использовать значение вероятности α = 0,68. Сравнение между собой величин f xx, f yy, f zz позволяет выделить «критический» фактор, процесс измерения которого дает наибольший вклад в погрешность Δs. Если, например, величина f xx больше остальных более чем в 2…3 раза, то их вкладом в погрешность Δs можно пренебречь. Для повышения точности измерения величины s в первую очередь надо повышать точность измерения «критического» фактора. Одной из типичных ошибок планирования эксперимента является косвенное измерение величины s через разность измеряемых напрямую величин A и B, если их абсолютные значения много больше значения величины s (например, поиск толщины стенки трубы через измерение её внешнего и внутреннего радиусов). При этом погрешность Δs будет того же порядка или может даже превосходить значение искомой величины s. Аналогично деление друг на друга больших величин или степень с маленьким основанием и большим показателем. Во всех этих случаях необходимо искать альтернативные пути. Учёт погрешности в записи окончательного результата измерения. Завершением обработки данных многократного прямого измерения при заданной доверительной вероятности являются два числа: среднее значение измеренной величины и его погрешность (полуширина доверительного интервала). Оба числа есть окончательный результат многократного измерения и должны быть совместно записаны в стандартной форм x = х ± Δx, (19) которая содержит только достоверные, т.е. надежно измеренные, цифры этих чисел. Порядок выполнения округления. При округлении используют правило: если цифра, расположенная за оставляемой, меньше 5, то её отбрасывают, иначе оставляемую цифру увеличивают на единицу. Если же отбрасываемая цифра равна 5, то наименьшая ошибка достигается при округлении по правилу Гаусса до ближайшего четного числа. К примеру, 4,5 округляют до 4, в то время как 3,5 также округляют до 4. Округлить в скобках число, соответствующее среднему значению: последними справа оставляют цифры тех разрядов, которые сохранились в погрешности после её округления. Список использованных источников 1. Яровский В.А. Планирование научного эксперимента и обработка экспериментальных данных [Текст]: метод. указания к лаб.работам /В.А. Яровский. – М.: МФТИ, 2011. – 45 с. 2. Кузнецов, И.Н. Научное исследование [Текст]: методика проведения и оформления; учеб.-метод. пособие для вузов - М.: Дашков и К, 2008. - 457 с. - (72778-6). 3. Рогов, В.А. Методика и практика технических экспериментов [Текст]: учеб. пособие для вузов по направлению подгот. бакалавров и магистров "Технология, оборудование и автоматизация машиностр. пр-в" и по направлению подгот. "Конструкт.-технол. обеспечение машиностроит. пр-в" / Рогов, В.А., Позняк, Г.Г. - М.: Академия, 2005. - 282, [1] с. - (79592-5). 5. Афанасьева, Н.Ю. Вычислительные и экспериментальные методы научного эксперимента [Текст]: учеб. пособие для вузов по направлению 2330100 "Информ. и вычисл. техника" - М.: КноРус, 2010. - 330 с. - (83950-3). 6. Сидняев, Н.И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных [Текст]: учеб. пособие для вузов по специальности "Прикладная математика" - М.: Юрайт, 2011. - 399 с. - (86612-6).