Планирование эксперимента

Планирование эксперимента Планирование эксперимента – это комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов. Основная цель планирования эксперимента – достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов. Если модель достаточно точно описывает объект, то эксперимент на объекте может быть заменен экспериментом на модели. В последнее время наряду с физическими моделями все большее распространение получают абстрактные математические модели. Это связано с бурным развитием компьютерной техники и соответствующего программного обеспечения. Во многих случаях можно получать новые сведения об объекте, экспериментируя на модели, если она достаточно точно описывает объект. Дорогостоящие, а порой и недопустимые эксперименты на больших объектах, заменяются расчетными, как правило, компьютерными экспериментами на математической модели, основанной на численном моделировании электромагнитных, тепловых и иных процессов. Недостатком численного моделирования является сложность и трудоемкость расчетов. Поэтому для оптимизационного исследования рационально проводить ограниченные серии опытов, по результатам которых уточняются (планируются) условия проведения последующих исследований. Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и условий проведения опытов (физических или расчетных), необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Задачи, для решения которых может использоваться планирование эксперимента, чрезвычайно разнообразны: • поиск оптимальных условий, • построение интерполяционных формул, • выбор существенных факторов, • оценка и уточнение констант теоретических моделей, • выбор наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений, • исследование диаграмм параметр-свойство и т.п. В планировании физического эксперимента при поиске оптимальных условий желательно, чтобы математическая модель была по возможности выражена достаточно простым уравнением при сохранении адекватности. Часто используются простейшие линейные математические модели или модели, выраженные в виде полинома. Зависимости параметра оптимизации от значений (уровней) факторов геометрически могут быть интерпретированы поверхностями уровней (поверхностями отклика) разного порядка. Это может быть линия при однофакторном эксперименте, поверхность или плоскость при двух факторах и гиперповерхность k-того порядка при количестве факторов k. ПРИМЕР: Необходимо исследовать влияние факторов влажности, давления и времени воздействия на деформацию грунта. Допустим, на основании результатов проведённых ранее исследований нам известны определённые пределы варьирования значений факторов, отклонения от которых в нашем процессе недопустимы по физическим причинам. Требуется построить уравнение регрессии, учесть все взаимодействия факторов, проверить полученную модель на адекватность и произвести её интерпретацию. Выбор уровней варьируемых факторов и кодирование их значений приведены в табл. 1: Таблица 1 Уровень варьируемых факторов Кодовое обозначение Влажность, % Давление, МПа Время воздействия, ч Х1 Х2 Х3 Нижний уровень –1 9 0,5 0,008333 Верхний уровень +1 23 1,5 2 Основной уровень 16 1 1 Интервал варьирования ∆хi 7 0,5 1 Для оценки влияния указанных факторов и математического описания процесса используем регрессионную модель первого порядка: Матрица планирования полного факторного эксперимента с количеством точек факторного пространства N=23 (ПФЭ 23) с учётом взаимодействия факторов представлена табл. 2. Для определения деформации грунта планируется провести по три параллельных опыта в каждой строке матрицы ПФЭ, т.е. всего 24 опыта. Таблица 2 Номер опыта Х0 Х1 Х2 Х3 Х1X2 Х1X3 Х2X3 Х1X2X3 y 1 + – – – + + + – y1 2 + + – – – – + + y2 3 + – + – – + – + y3 4 + + + – + – – – y4 5 + – – + + – – + y5 6 + + – + – + – – y6 7 + – + + – – + – y7 8 + + + + + + + + y8 Результаты испытаний, проведённых в соответствии с матрицей планирования эксперимента, представлены в табл. 3: Таблица 3 Номер опыта Деформация, см yi1 yi2 yi3 1 0,187 0,187 0,188 2 0,895 0,902 0,898 3 0,31 0,31 0,311 4 1,945 1,951 1,947 5 0,195 0,196 0,195 6 1,114 1,112 1,113 7 0,334 0,333 0,334 8 2,03 2,026 2,026 Этапы обработки полученных данных: 1) кодирование переменных; 2) достраивание матрицы планирования в кодированных переменных с учётом парных взаимодействий и дополнение столбцом средних значений отклика; 3) вычисление коэффициентов уравнения регрессии; 4) определение дисперсии воспроизводимости; 5) проверка значимости вычисленных коэффициентов регрессии и получение уравнения регрессии в кодированных переменных; 6) проверка полученного уравнения регрессии на адекватность; 7) проведение интерпретации полученной модели; 8) перевод уравнения регрессии в натуральные переменные. Решение: Выявляем зависимости кодированных переменных хi от натуральных zi (по исходным данным из табл.1): Вычисляем выборочные средние результатов каждого опыта (по строкам исходных данных табл. 3): Вносим результаты расчётов в матрицу планирования эксперимента (табл.4): Таблица 4 Номер опыта Х0 Х1 Х2 Х3 Х1X2 Х1X3 Х2X3 Х1X2X3 1 + – – – + + + – 0,187333 2 + + – – – – + + 0,898333 3 + – + – – + – + 0,310333 4 + + + – + – – – 1,947667 5 + – – + + – – + 0,195333 6 + + – + – + – – 1,113 7 + – + + – – + – 0,333667 8 + + + + + + + + 2,027333 Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии (знаки учитываются по столбцам ПФЭ из табл. 4): Далее для нахождения дисперсии воспроизводимости находим несмещённые выборочные дисперсии (по строкам исходных данных табл. 3): Проверяем однородность дисперсии параллельных опытов с целью подтверждения нормального закона распределения ошибок отдельных опытов. Иначе нельзя приступить к регрессионному анализу – расчёту коэффициентов регрессии, проверке их значимости и проверке адекватности математической модели экспериментальных данных. Проверку однородности дисперсии при одинаковом числе параллельных опытов проводим с помощью критерия Кохрена (G-критерий): При уровне значимости и числах степеней свободы табличное значение критерия Кохрена Сравнивая оба значения критериев, мы видим, что расчётное значение критерия меньше табличного , следовательно, дисперсии параллельных опытов однородны, что является подтверждением нормальности закона распределения ошибок отдельных опытов, и далее можно построить регрессионную модель деформации грунта. Находим дисперсию воспроизводимости и среднее квадратическое отклонение коэффициентов, показывающее ошибку определения коэффициентов регрессионной модели: Для выявления значимости коэффициентов уравнения регрессии нужно построить доверительный интервал. Его ширина зависит от t-критерия Стьюдента, определяемого по таблице t-распределения для уровня значимости и числа степеней свободы : Находим ширину доверительного интервала: Тогда доверительный интервал выглядит следующим образом: Сравним вычисленные коэффициенты регрессионной модели с границами доверительного интервала и установим их значимость: Из проведённого сравнения следует, что все вычисленные коэффициенты регрессионной модели являются значимыми, следовательно, все рассматриваемые факторы и их взаимодействия в той или иной степени влияют на деформацию грунта, и их влиянием нельзя пренебрегать при планировании и проведении строительных процессов. Таким образом, уравнение регрессии в кодированных переменных имеет следующий вид: Проверим полученное уравнение регрессии на адекватность по критерию Фишера. Для этого сначала необходимо вычислить значения изучаемого параметра по полученному уравнению регрессии: Вносим полученные значения в таблицу 3 и визуально оцениваем правильность вычисленных коэффициентов (по данным двух последних столбцов табл. 5): Таблица 5 Номер опыта Деформация, см yi1 yi2 yi3 1 0,187 0,187 0,188 0,187333 0,188 2 0,895 0,902 0,898 0,898333 0,898 3 0,31 0,31 0,311 0,310333 0,31 4 1,945 1,951 1,947 1,947667 1,948 5 0,195 0,196 0,195 0,195333 0,196 6 1,114 1,112 1,113 1,113 1,114 7 0,334 0,333 0,334 0,333667 0,334 8 2,03 2,026 2,026 2,027333 2,028 Вычисляем остаточную дисперсию для определения расчётного значения критерия Фишера: Расчётное значение критерия Фишера определяем по формуле: Критическое значение критерия Фишера находим из таблиц критических точек распределения Фишера при уровне значимости и соответствующих степенях свободы : . Сравнивая оба значения критериев, мы видим, что расчётное значение критерия меньше табличного , следовательно, найденное уравнение регрессии можно считать адекватно описывающим зависимость деформации грунта от влияния рассматриваемых факторов. Далее необходимо осуществить обратный переход от кодированных переменных к натуральным. Для этого подставляем в полученное уравнение регрессии выявленные ранее зависимости кодированных переменных хi от натуральных zi: Преобразовав это уравнение, получаем окончательное уравнение регрессии в натуральных переменных: С помощью выявленной регрессионной зависимости можно прогнозировать величины деформаций при любых различных значениях уровней факторов. Интерпретация регрессионной модели: 1) Из уравнения регрессии видно, что наиболее сильное влияние оказывает фактор (влажность грунта), т.к. этот фактор имеет наибольший по абсолютной величине коэффициент. То есть при планировании строительства прежде всего необходимо производить исследование грунта и во всех расчётах нагрузки учитывать его влажность; 2) Следующими по силе влияния на отклик (деформацию грунта) идёт фактор (давление на грунт). Влияние фактора давления на деформацию грунта слабее, чем влияние фактора влажности, т.к. из-за спрессовывания грунта растёт сила сопротивления, и, в конечном итоге, уравнивает силу давления, чего нельзя сказать о влажности, т.к. при возрастании влажности деформация будет бесконечно расти; 3) Ещё один фактор оказывает достаточно сильное влияние – это парное взаимодействие факторов и (т.е. сочетание влажности и давления). Иными словами, одновременное увеличение обоих факторов даёт резонансное увеличение отклика (деформации грунта); 4) Коэффициент при факторе (время воздействия) относительно невелик, но всё же существенен – это говорит о слабом влиянии фактора времени воздействия на процесс в целом, но существенность его влияния можно объяснить экспоненциальным характером влияния этого фактора, т.е. в первый относительно небольшой промежуток времени происходит наибольшая деформация грунта, а в оставшееся время деформация сравнительно несущественна; 5) Коэффициент при парном взаимодействии факторов и невелик, но положителен – это говорит о слабом, но прямо пропорциональном влиянии этих факторов (т.е. влажность грунта влияет не только на деформацию, но и на время осуществления этой деформации до статистически устойчивого состояния); 6) Коэффициент при парном взаимодействии факторов и невелик и отрицателен – это говорит о том, что между факторами давления и времени воздействия существует обратно пропорциональное взаимодействие, т.е. с увеличением фактора времени влияние фактора давления на деформацию грунта ослабевает. 7) Коэффициент при тройном взаимодействии факторов , и невелик и отрицателен – это говорит о несогласованности факторов между собой, т.е. эффект от их взаимодействия может иметь знак плюс, если отрицательные знаки будут у чётного числа факторов (любые два). Знак минус будет, если нечётное число факторов имеет знак минус (все три или любой один). ЗАДАНИЕ: Необходимо исследовать влияние факторов влажности, давления и времени воздействия при производстве металлоконструкций. Допустим, на основании результатов проведённых ранее исследований нам известны определённые пределы варьирования значений факторов, отклонения от которых в нашем процессе недопустимы по физическим причинам. Требуется построить уравнение регрессии, учесть все взаимодействия факторов, проверить полученную модель на адекватность и произвести её интерпретацию. Выбор уровней варьируемых факторов и кодирование их значений приведены в табл. 1: Таблица 1 Уровень варьируемых факторов Кодовое обозначение Влажность, % Давление, МПа Время воздействия, ч Х1 Х2 Х3 Нижний уровень –1 10 4 2,5 Верхний уровень +1 30 6 3,5 Основной уровень 20 5 3 Интервал варьирования ∆хi 10 1 0,5 Результаты испытаний, проведённых в соответствии с матрицей планирования эксперимента, представлены в табл. 2: Таблица 2 Номер опыта Деформация, мм yi1 yi2 yi3 1 0,216 0,211 0,209 2 0,786 0,717 0,753 3 0,409 0,397 0,356 4 1,512 1,506 1,523 5 0,153 0,149 0,152 6 1,098 1,076 1,087 7 0,253 0,234 0,242 8 1,862 1,841 1,845