Переменный ток

5. Переменный ток Переменным электрическим током называют ток, периодически изменяющийся по величине и направлению. Обычно имеют в виду синусоидальный переменный ток, т. с. ток, изменяющийся по синусоидальному закону. При синусоидальном токе ЭДС электромагнитной индукции, самоиндукции и взаимоиндукции изменяются по синусоидальному закону. Синусоидальная ЭДС e  f   изображена на графике рис. 5.1. Как видно, ЭДС изменяется по всличине и направлению. При =90о или =270о ( sin  1), ЭДСпринимает максимальное значение Em  BVl . Тогда e  Em sin (5.1) Угловая частота характеризуется углом поворота рамки в единицу времени    t , измеряется в единицах Рисунок 5.1. радиан в секунду (рад/с), так как угол измеряется в радианах (рад). За время одного периода Т рамка повернется на угол 360о= 2 рад, следовательно   2 T  2πf . Если в магнитном поле вращаются две жестко скрепленные между собой под каким-то углом одинаковые рамки (рис. 5.3,a) т.е. амплитуды ЭДС Еm и угловые частоты  одинаковы, то мгновенное значение их ЭДС можно записать в виде (5.2) где 1, и 2 - углы, определяющие значения синусоидальных величин е1 и е2 в начальный момент времени (t=0), т.е. e01  Em sin1, e02  Em sin2 . Таким образом, каждая синусоидальная ЭДС характеризуется амплитудой Еm, угловой частотой  и начальной фазой . Для каждой синусоиды эти величины являются постоянными. Величина (t+) называется фазой синусоидальной ЭДС. Разность начальных фаз двух синусоидальных величин одинаковой частоты определяет угол сдвига фаз этих величин. Среднее значение переменного тока эквивалентно постоянному току по количеству электричества Q, проходящему через поперечное сечение проводника в определенный промежуток времени. Из выражения для переменного тока i  dQ dt , получим Q   idt . Тогда среднее значение синусоидального тока с начальной фазой =0 за полупериод определяется (рис. 5.2) выражением 2T 2 2 I c   I m sin  t dt  I m  0,37 I m . (5.2) T 0  Как видно из рис. 5.2, среднее значение синусоидального тока за период Т равно нулю, т.е. Ic=0. Поэтому для синусоидального переменного тока определяется его среднее значение за половину периода Т/2, т.е . I c  Рисунок 5.2 Q . Тогда: T 2 2 2 2 U c  U m  0,637U m ; Ec  Em  0,637Em ; I c  I m  0,637I m π π π (5.3) Действующее значение переменного тока (или эффективное) - значение переменного T тока, эквивалентное постоянному току по тепловому действию: I RT   i 2 Rdt , откуда 2 I I 1T 2 1T 2 I i dt  I m sin 2 t dt  m  m  0,707 I m   T0 T0 2 1,41 Поэтому используют эффективные значения амплитуд: I эф  Im U  0,707I m , U эф  m  0,707U m . 2 2 Для наглядности синусоидальные величины изображают векторами, вращающимися против часовой стрелки со скоростью, равной угловой частоте  этих синусоид. Так как эти векторы изображают синусоиды в начальный момент времени (t=0). то они неподвижны. Длина вектора в выбранном масштабе определяется амплитудой синусоиды, а угол поворота вектора против часовой стрелки относительно положительного направления оси абсцисс равен начальной фазе синусоиды. Например, три синусоидальные ЭДС одинаковой частоты e1  Em1 sin  t  45o , e2  Em2 sin t ,   sin t  60  (5.4) Рисунок 5.3 o можно отобразить векторами e3  Em3 (рис. 5.3) Математическое выражение закона Ома для цепи переменного тока с активным сопротивлением имеет вид: I  U/R (рис. 5.4). Рисунок 5.4 Величина активной мощности в цепи синусоидального тока с активным U2 2 сопротивлением определяется выражением: P  UI  I R  , где U-действующее R значение напряжения; I- действующее значение тока. Идеальной называют индуктивность L такой катушки, активным сопротивлением R и емкостью С которой можно пренебречь, т.е. R = 0 и С=0. Цепь с индуктивностью. Если в цепи идеальной катушки индуктивностью I. (рис. 5.7а) проходит синусоидальный ток i i  I m sin t , то этот ток создает в катушке синусоидальный магнитный поток    m sin t , который индуктирует в катушке ЭДС   самоиндукции ( учитывая, что  cos ω t   sin ω t   ): 2  esi= Очевидно, эта ЭДС достигает своего амплитудного значения Em тогда, когда   sin ω t   =1: Em  I mL (см. рис. 5.5), 2    a esi  Em sin ω t   . 2  Таким образом, ЭДС самоиндукции в цепи с идеальной индуктивностью L, как и ток, вызвавший эту ЭДС, изменяется (5.5) Рисунок 5.5 по синусоидальному закону, но отстает от тока по фазе на угол  2  90о . Очевидно, что напряжение, приложенное к цепи с идеальной индуктивностью  U  , где L играет роль сопротивления u  U m sin ω t  , U m  I mL , а ток I  2 L  X L   L  2 f L . Мгновенная мощность для цепи синусоидального тока с идеальной катушкой равна произведению мгновенных значений напряжения и тока π  p  ui  U m sin ω t    I m sin ω t  U m I m sin ω t  cos ω t , 2    где sin ω t    cos ω t . 2  Умножив и разделив выражение на два, получим (5,6) полученное Таким образом, мощность в цепи синусоидального тока с идеальной катушкой индуктивности изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой (рис. 5.6). Рисунок 5.6 В 1-ю и 3-ю четверти периода энергия источника накапливается в магнитном поле индуктивности. Максимальное значение энергии, накапливаемой в магнитном поле идеальной катушки равно Wm  I m2 L 2 . Во 2-ю и 4-ю четверти периода эта энергия возвращвется к источнику. Таким образом, в цепи переменною тока с идеальной катушкой мошноегь не потребляется (Р=0), а колеблется между источником и магнитным полем индуктивности. Такая колеблющаяся энергия, в отличие от активной, т.е. потребляемой, называется реактивной. Величина реактивной мощности QL в рассматриваемой цепи определяется выражением QL  UI  I 2 X L  U 2 X L . Цепь с емкостью. Если к конденсатору емкостью С приложсно синусоидальное напряжение u  U m sin ωt , то в цепи конденсатора проходит ток i (рис. 5.7а): i dU m sin ω t dq du   C C  U m ω C cos ω t  U m C sin  t   dt dt dt 2  (5.9) Рисунок 5.7 Ток в цепи конденсатора достигает максимальногозначения тогда, когда   sin  t   =1, тогда: 2  π  I m  U m C и i  I m sin ω t   2  (5.10) т.е. ток I опережает напряжение u по фазе на угол 90o. Из полученного уравнения получим интепретацию законв Ома для цепи U U 1  , XC  переменного тока с емкостью: I  . 1 XC C C Если в цепи конденсатора емкостью С (рис. 5.7а) проходит ток i, изменяющийся по синусоидальному закону: i  I m sin ωt , то напряжение u, приложенное к этому π  конденсатору (рис. 5.7.б), будет равно u  U m sin ω t    U m cos ω t. 2  Мгновенная мощность в цепи с конденсатором UmIm 2 cos ω t  sin ω t  UI sin 2 ω t (5.12) 2 Мощность в цепи с конденсатором, подключенным к источнику с синусоидальным напряжением, изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой (рис. 5.7в). 2-ю и 4-ю четверти периода мощность (энергия) источника накапливается в электрическом поле конденсатора. Максимальное значение энергии, накапливаемой в U m2 C электрическом поле конденсатора, равно WmC  . В 1-ю и 3-ю четверти периода 2 эта мощность (энергия) из электрического поля конденсатора возвращается к источнику. Таким образом, в цепи переменною тока с конденсатором происходит колебание мощности (энергии) между источником и электрическим полем конденсатора. Такая колеблющаяся, но непотребляемая мощность называется реактивной мощностью: U2 2 . QC  UI  I X C  XC В цепи с реальной катушкой, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L, проходит синусоидальный ток i = I m sin t (рис. 5.8а), и этот ток создает падение напряжения на активном сопротивлении проводников катушки uа и индуктивном сопротивлении катушки u L. Следовательно, по второму закону Кирхгофа, для мгновенных значений, Рис. 5.8 приложенное к реальной катушке напряжение будет равно: u  ua  uL . Активное напряжение ua  U m sin  t совпадет по фазе с током, индуктивное π  напряжение u L  U mL sin ω t   опережает ток на угол 90o (рис. 5.10). Тогда из 2  веторной диаграммы следует, что p  ui  U m cos ω t  I m sin ω t   U  U a2  U 2L  I R 2  X L2 , Z L  R 2  X L2 , I  U Z L . (5.14) Полная мощность цепи S=UI, которая измеряется в вольт-амперах. Однако потребляется в цепи тотько часть полной мощности - активная мощность P  S  cos . Реактивная мощность определяется выражением Q  S  sin . Величина cos называется коэффициентом мощности. S  P 2  Q2 (5.15) В цепи с последовательно включенными активным сопротивлением R и емкостью С протекает синусоидальный ток i = I m sin t , который создает падение напряжения на активном сопротивлении ua  U ma sin ωt тем и на емкостном сопротивлении π  uC  U mC sin ω t   . 2  Векторная диаграмма для этой цепи изображена на рис. 5.9. Напряжение цепи отстает по фазе от тока иа утол <90о u  U m sin t    . Действующее значение напряжения U, приложенного к этой цепи| определяется по векторной диаграмме Рисунок 5.9 U  U a2  U C2  I R 2  X C2 . Z C  R 2  X C2 , I  U Z C . Если в неразветвленной цепи с R, L и С (рис. 12.4а) протекает синусоидальный ток i = I m sin t , то он создает падение напряжения на всех участках цепи: ua  U ma sin ωt π π   , u L  U mL sin ω t   и uC  U mC sin ω t   . 2 2   Mгновенное значение напряжения в цепи определяется по формуле u  U m sinωt    . Знак перед углом сдвига фаз  зависит от режима работы цепи. Еcли в рассматриваемой цепи преобладает индуктивное напряжение (сопротивление), т. е. UL>UC, то цепь имеет индуктивный характер и напряжение U опережает по фазе ток I (+). Если в цепи преобладает емкостное напряжение (сопротивление), т.е. UL < UC, то цепь имеет емкостной характер и напряжение U отстает по фазе от тока I (- ). Из векторной диаграммы (рис. 5.9) следует: U  U a2  U 2р  U a2  U L - U C 2  I R 2   X L  X C 2 , Z  R 2   X L  X C 2 Сопротивление R может включать в себя сопротивление самостоятельного резистора или активное сопротивление реальной катушки. На рис 5.10 изображены треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для рассматриваемой цепи. Рисунок 5.10 Знак и значение угла  можно определить из треугольника сопротивлений (рис. X X  XC X X  XC , sin   L 5.10б) tg   L R R Z Z Из треугольника сопротивлений (рис. 5.10б) видно, что если XL>XC, то угол >0, если XLQC. Полная мощность цепи определяется по формуле S  P 2  Q 2 . Если в цепи синусоидального тока с последовательно соединенными конденсатором емкостью С и катушкой с сопротивлением R и индуктивностью L (рис. 5.11а) равны реактивные сопротивления, то в цепи наступает резонанс напряжений. Равенство Рисунок 5.11 реактивных сопротивлений является условием резонанса напряжений: XL = XC, т.е.  рез L  1  рез C 1 . Полное LC (кажущееся) сопротивление цепи (рис. 5.11) при резонансе напряжений определяется Тогда частота резонанса определяется выражением 2 по формуле Z  R 2   X L  X C  при XL=XC: Z рез  R .  рез  Пример задачи Какое максимальное напряжение U можно приложить к цепи, изображенной на рисунке без опасности пробить конденсатор, если он рассчитан на напряжение не более U1=400 в (f=50 гц, С=10-4 ф, L=0,1 гн, R= 2 Ом). R Решение: Напряжение на конденсаторе U Cэф  I эф Х С  C U эф  X C Z L  U1 . Отсюда Z , Z  R 2   X L  X C 2 . Подставляя числовые значения, XC найдем ХС=31,8 Ом, ХL = 31,4 Ом; ХL—ХС =.— 0,4 Ом, Z  2 Ом, U m.эф  25 B. Итак, напряжение, большее 25 в, приведет к пробою конденсатора, выдерживающего напряжение 400 вольт. получим U m.эф  U1 Решите следующие задачи 5.2. Напряжение на участке цепи (см. рисунок) Uэф= 10 В. При этом емкость и индуктивность находятся под напряжением U 1эф=6 В. Сопротивление R=2 Ом. Определить эффективное значение силы тока и напряжения U R на сопротивлении R и мощность, выделяемую в цепи. R C L 5.3. Катушка индуктивности, соединенная последовательно с резистором R1 и резистором R2=20 Ом, присоединена к сети переменного тока с напряжением U=120 В. При этом катушка и резистор R1 находятся под напряжением, U1=91 В, а резистор R2 — под напряжением U2=44 В. Какие мощности Р1 и Р потребляет каждый из резисторов? 2 5.7. В цепи (см. рисунок) параметры R, L и С известны. Напряжение между точками А и В равно U. Постройте векторную диаграмму сил токов в данной цепи и определите силу тока в неразветвленном участке цепи. Найдите сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения. При каком условии сила тока в неразветвленном участке цепи окажется минимальной? Чему равен сдвиг фаз между силой тока и напряжением в этом случае?