Переходные процессы в линейных электрических цепях

Переходные процессы в линейных электрических цепях Переходный процесс – это переход системы или электрической цепи из одного установившегося состояния в другое. Теоретический материал В большинстве случаев переход осуществляется не мгновенно, а за конечный промежуток времени. Если электрическая цепь содержит С или L , то она способна накапливать энергию электрических и магнитных полей. Энергия этих полей не может изменяться мгновенно. Поэтому только в частном случае чисто активной цепи процесс перехода мгновенный (рис. 1, 2) Во всех остальных случаях он происходит за конечное время. Рис. 1 i = 0 – 1-ое состояние i = E/R – 2-ое состояние Рис. 2 i = 0 – 1-ое состояние i = E/R – 2-ое состояние Переходные процессы возникают при коммутациях электрических цепей. Под коммутацией понимаем мгновенное изменение состояния цепи, т.е. включение, выключение, подключение какой-либо ветви или группы ветвей (рис 3). Рис. 3 Во всех случаях коммутацию будем считать мгновенной, т.е. на включение или отключение время не расходуется. Законы коммутации Законы коммутации устанавливают характер изменения физической величины в момент коммутации. Рис. 4 Для оценки тока (напряжения) в момент коммутации вводятся два значения: i(0-)=0 как предел слева, i(0+)=0 как предел справа (рис. 18.4). При коммутации ветвей с чисто активным сопротивлением токи в них могут изменяться скачком (рис. 5). ir(0+)≠ ir(0-) ur(0+)≠ ur(0-) Рис. 5 Запас энергии магнитного поля индуктивности не может изменяться скачком. Это выражает принцип непрерывности во времени потокосцепления в индуктивности. Невозможность скачкообразного изменения объясняется в свою очередь тем, что в противном случае на индуктивности появилось бы бесконечно большое U. Следствие равенства или означает, что ток индуктивности не может изменяться скачком. iL(0+)=iL(0-)- первый закон коммутации. Рис. 6 Запас энергии электрического поля емкости не может изменяться скачком. Это выражает принцип непрерывности во времени электрического заряда. Невозможность скачкообразного изменения заряда объясняется тем, что в противном случае через емкость протекал бы ic = ∞, что противоречит опыту. Вследствие равенства: , напряжение на емкости не может измениться скачком или (рис.6). uc(0+) = uc(0-) - второй закон коммутации. Следовательно iL,uc - величины, которые не могут изменяться скачком; uL, ic, ir, ur – величины, изменяющиеся скачком. Значения функции в момент коммутации называются начальными условиями. Расчет переходных процессов классическим методом Метод состоит в следующем: I. Для цепи (рис. 7) после коммутации составляется система уравнений для мгновенных значений u и i по законам Ома и Кирхгофа при этом падения напряжения на R, L, C равны: ur=ir ; uL=Ldi/dt; . Эта система приводится к одному уравнению относительно одной из искомых величин. В качестве таковой удобно выбирать ток в индуктивности или напряжение на емкости, т.к. они удовлетворяют законам коммутации. Исключение интегрального выражения производится либо путем дополнительного дифференцирования либо заменой емкостного тока на ic=Cduc/dt. В итоге (в большинстве случаев) получается линейное неоднородное дифференциальное уравнение, т.е. с правой частью. Порядок дифференциального уравнения соответствует числу мест независимого накопления энергии индуктивности и емкости. II. Решение дифференциального уравнения складывается из частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения . Частное решение iпр(iуст) определяется видом функции, стоящей в правой части дифференциального уравнения и называется принужденной составляющей. Оно совпадает с установившимся значением искомой величины после окончания переходного процесса. Общее решение дифференциального уравнения физически определяет поведение цепи при отсутствии внешних источников электрической энергии и заданных начальных условиях. Общее решение называется свободной составляющей. Оно определяется через постоянные интегрирования А1,А2,…Аn, и корни характеристического уравнения р1,р2,…рn, где n - порядок дифференциального уравнения. Рис. 7 Свободная составляющая записывается в зависимости от вида корней характеристического уравнения: 1. Корни действительные (отрицательные, неодинаковые) р1≠р2≠р3≠…≠рn<0; iсв=А1еp1t +А2еp2t +…+Аnеpnt - апериодический переходный процесс. 2.Корни действительные (отрицательные, одинаковые). р1=р2=…=рn=р, iсв=А1еpt +А2tеpt +…+Аntn-1ept - критический переходный процесс. 3. Корни коплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью. р1,2=-δ±jω. iсв=Ае-δtsin(ωt+α) - колебательный переходный процесс. III. Определение корней характеристического уравнения 1. В соответствии с однородным дифференциальным уравнением заменить d/dt на р и приравнять к нулю. 2. В цепи после коммутации разорвать любую ветвь. Записать комплексное входное сопротивление цепи относительно точек разрыва z(jω), заменить jω на р и приравнять z(р)=0. Примерный порядок расчета переходных процессов классическим методом. 1. Составить дифференциальное уравнение относительно искомой величины (для цепи после коммутации). 2. Представить искомую величину в виде суммы принужденной и свободной составляющих. 3. Найти принужденную составляющую искомой величины. 4. Составить характеристическое уравнение и найти его корни. 5. В зависимости от вида корней записать решение для свободной составляющей. 6. Определить независимые начальные условия. 7. Вычислить постоянные интегрирования из уравнения для искомой величины (пункт 2) в момент времени t(0+) с использованием независимых начальных условий. Примечание: Для цепи с одним накопителем энергии характеристическое уравнение имеет первый порядок и, следовательно, один корень. Поэтому в пункте 2 свободную составляющую можно сразу записать в виде iсв.=Аерt и пункт 5 опустить. Достоинство классического метода в том, что он хорошо, отражает физические процессы в цепи, но он трудоемок, т.к. необходимо определять постоянные интегрирования из начальных условий.