Параллельное включение звеньев; встречно-параллельное соединение динамических звеньев

1 2. Параллельное включение звеньев. u1 Определим передаточную функцию системы: Y ( p) Y1 ( p )  Y2 ( p)  Y3 ( p )  ...  Yn ( p ) W ( p)    U ( p) U ( p) Y ( p) Y ( p ) Y2 ( p )  1   ...  n  W1 ( p )  W2 ( p )  ...  Wn ( p )  U 1 ( p) U 2 ( p) U n ( p) y1 W1(p) u u2 y2 y W2(p) ……... n   Wi ( p ). un i 1 yn Wn(p) n W ( p ) сист.   Wi ( p ) h - для параллельного соединения звеньев. i 1 Переходная характеристика системы равна сумме переходных характеристик звеньев, т.е. h h3 n h(t ) системы   hi (t ). h1 i 1 h2 t Частотные характеристики: n W ( j )   Wi ( j ). i 1 План построения ЛЧХ системы: +j A20 A10 АФХ1 00 00 A0 00 A11 1 A21 A1 1 АФХ2 + 1. По ЛЧХ звеньев построить АФХ звеньев. 2. По АФХ звеньев построить АФХ системы. 3. По АФХ системы построить ЛЧХ системы. 1 3. Встречно-параллельное соединение динамических звеньев. 1. Контур с отрицательной обратной связью.  u здесь размык. сист. y Wпк(p) y1 Wос(p) Ф(p) Сигнал с выхода цепи обратной связи вычитается из входного воздействия, поэтому обратная связь называется отрицательной. Ф(р) – передаточная функция замкнутой системы (часто обозначается Wз(р)). Y ( p) Ф( p)  . U ( p) 2  ( p)  U ( p)  Y1 ( p);  Составим систему уравнений контура Y ( p )  Wпк ( p) ( p ); Y ( p)  W ( p)Y ( p). ос  1 Тогда Y ( p )  Wпк ( p )U ( p)  Y1 ( p )  Wпк ( p )U ( p )  Wос ( p )Y ( p)   Y ( p )  Wпк ( p )Wос ( p )Y ( p )  1  Wпк ( p )Wос ( p )Y ( p )  Wпк ( p )U ( p)  Ф( p)  Wпк ( p) 1  Wпк ( p )Wос ( p) - передаточная функция контура с отрицательной обратной связью. Wпк(р) – передаточная функция прямого канала, Wос(р) – передаточная функция канала обратной связи, WпкWос(р) – передаточная функция разомкнутой системы. Правило определения Ф (р) приведено ранее. Контур с неединичной обратной связью может быть преобразован к контуру с единичной отрицательной обр. связью Wпк ( p) W ( p) Wпк ( p)  Wос ( p) W A ( p) 1 1 1 Ф( p)   ос      Ф AI ( p)  , 1  Wпк ( p)  Wос ( p) Wос ( p) 1  Wпк ( p )  Wос ( p) Wос ( p) 1  W A ( p) Wос ( p) Wос ( p) где W A ( p)  Wпк ( p)  Wос ( p ). контур с единичной ООС 1 Wос ( p ) U(p) WA(p) 2. u Y(p) Эквивалентная структурная схема контура с ООС. Контур с положительной обратной связью. y  Wпк(p) Ф( p)  Wпк ( p ) , 1  W раз ( p ) где W раз ( p )  Wпк ( p )  Wос ( p ). Wос(p) Частотные характеристики контура с ООС. Wпк ( j ) W з ( j )  – частотная передаточная функция контура. 1  W раз ( j ) Рассмотрим три случая при единичной ООС Wпк ( j ) . Перейдём к логарифмическим характеристикам Wос(j)=1  W з ( j )  1  Wпк ( j ) L з ( )  Lпк ( )  20 lg 1  Wпк ( j ) . 1. Для малых частот, т.е. среза, Wпк ( j )  1 (Апк()1) и единицей можно пренебречь, тогда L з  Lпк ( )  20 lg Aпк ( )  0, т.е. при малых частотах 3 логарифмическая ампл.- част. характ. контура идёт  по оси , а передаточный коэффициент замкнутой системы kз 1. 2. При больших частотах, т.е. ср., Апк()1, поэтому величиной Апк() пренебрегаем, тогда L з ( )  Lпк ( )  20 lg 1  Lпк ( ). 3. ср (частоты отличаются на 12 декады). В этом случае пользуются намограммой замыкания (намограммой Никольса). Преобразование структурных схем. Используется для упрощения анализа САУ, составления передаточных функций и дифференцианальных уравнений. Преобразования схем проводят так, чтобы контуры не пересекались, а чтобы один контур входил внутрь другого. Закон изменения выходного сигнала не должен изменяться в результате эквивалентного преобразования структуры. Исходная структура системы 1. Перенос точки суммирования сигналов со входа на выход U1(p) Эквивалентная структура системы U1(p) Y(p) W(p) Y(p) W(p) W(p) = Wф(p) U2(p) Уравнение выходной координаты: Y ( p)  W ( p )U 1 ( p)  U 2 ( p). 2. Перенос точки суммирования сигналов с выхода на вход U1(p) U2(p) Wф(p) - фиктивная передаточная функция U1(p) Y(p) W(p) Y(p) W(p) U2(p) Уравнение выходной координаты: Y ( p)  W ( p)U 1 ( p )  U 2 ( p). 3. Перенос точки съема со входа звена на его выход U1(p) 1 W ( p) = Wф(p) U2(p) U1 (p) Y(p) W(p) Y(p) W(p) U1(p) 1 = Wф(p) W ( p) U1(p) 4 4. Перенос точки съема сигнала с выход на входа звена. U(p) U (p) Y(p) W(p) Y(p) W(p) W(p) Y(p) = Wф(p) Y(p) 5. Перестановка сумматоров U1(p) U1(p) Y(p) U2(p) U3(p) U3(p) 6. Вынос точки разветвления из встречнопараллельного соединения. U (p) Y(p) Wф(p) = Y(p) E (p) U2(p) 1 1  WПК ( p ) WОС ( p ) E (p) Wпк (p) U (p) Y(p) Wпк (p) Wос(p) Wос(p) Пример. Определить передаточную функцию эквивалентных преобразований к одному звену. Исходная структурная схема: W5 U Y W1 W2 W3 W4 системы заданной структуры путем 5 а) разделение сумматоров W5 W2,3 U Y W1 W2 W3 W4 W2 , 3  W2 ; 1  W2W3 б) W5 U Y W1 W2,3 W4 Переносим точку суммирования сигналов в) W5 U Y W1 Wф  W1 ; W2,3 Wф = W1 W4 W1,5 г) W5 U Y W1 W2,3 W1, 4  W1  W4 д) е) W1,4 U Y W1,5 U W1,2,3,4 W1,2,3,4 W1,5  W1  W5 ; W1, 2,3, 4  W2,3 1  W2,3  W1, 4 ; Y Wэ Wэ  W1,5  W1, 2,3, 4. Пример2. Преобразовать заданную структурную схему по каналу возмущения с целью приведения ее к удобному виду для пользования номограммой замыкания. 6 Исходная структурная схема: Преобразуем схему: а) F U Y W1  y W2 W2 W1 W3 W3 F - возмущающее воздействие. W1 для  находится в обратной связи. Найти передаточную функцию по каналу б) Y ( p) возмущения W f ,y  , предполагая  y F ( p) W2 U(p)=0 (входное воздействие отсутствует), x Y ( p) или W f , y  , y - отклонение y только W1,3 F ( p) от . в) г)  W2 д) x y W1,3 x  W2 W1,3 1 W 1, 3 y Wраз  W1,2,3 1 W 1, 3 y Wзам W раз  W1, 2,3  W2  W1,3 ; ЛЧХ контура с ед. отрицательной обратной связью можно найти по ЛЧХ замкнутой системы с использованием номограммы. Методика построения логарифмических частотных характеристик САУ 1. Статические системы. Пусть передаточная функция разомкнутой статической САУ, состоящей из минимально(T1 p  1)(T2 p  1)...(Tn p  1) p e , в реальных фазовых звеньев Iпорядка, имеет вид W ( p )  k (Tn 1 p  1)(Tn  2 p  1)...(Tm p  1) системах n(m-n). Отобразим W(р) в область преобразований Фурье преобразуем математическое описание каждого элементарного звена к форме A( )e j ( ) и рассмотрим в порядке убывания величины Тi: 7 W ( j )  k (1  jT1 )(1  jT2 )...(1  jTn )  j 1 e k e  jarctgTn 1  2 2 (1  jTn 1 )(1  jTn  2 )...(1  jTm ) 1  Tn 1  1  2 2 2 1  Tn  2  1 k 2 1  Tn 1  Тогда 2 e  jarctgTn  2  1  T1  2 e jarctgT1  1  T2  2 e jarctgT2  ...  e  j   2 1 2 2 1  Tn 2  2 2  1  T1  2  1  T2  2  ...  e j (  arctgTn 1  arctgTn  2  arctgT1  arctgT2 ... ) . 2 2 2 2 L( )  20 lg k  20 lg 1  Tn1  2  20 lg 1  Tn  2  2  20 lg 1  T1  2  20 lg 1  T2  2  ...; ( )   arctgTn1  arctgTn  2  arctgT1  arctgT2  ...   , т.е. L( )  L1 ( )  L2 ( )  L3 ( )  L4 ( )  ...  Lm 1 ( ), ( )  1 ( )   2 ( )   3 ( )   4 ( )  ...   m1 ( ). L, дБ L1()=20lgk , град. -20 +90 +45 3 1/Tn+1 -45 -90 -180 1/Tn+2 L2 2 1 -40 L3 1/T1 L4 1/T2 -20 m+1 4 L5 lg, дек , рад/с L() () Алгоритм построения ЛАЧХ 1. На оси  нанесите точки i=1/Ti. Проведите через эти точки вертикальные штриховые линии. 2. Проведите контурную линию с ординатой 20lgk слева до первой вертикальной линии. 3. До следующей вертикальной линии проведите контурную линию с наклоном -20 дБ/дек( – количество элементарных звеньев с одинаковыми Ti), если звенья апериодические, или +20 дБ/дек для дифференцирующих звеньев первого порядка. 4. Уменьшите (увеличьте) наклон на -20 дБ/дек (+20 дБ/дек) на следующий вертикальной линии до полного построения L(). Примечания 1. Для построения ЛАЧХ звена второго порядка используются приведенные характеристики в технической литературе или строятся по точкам вблизи i=1/Ti, вдали с асимптотами  левой 0 дБ , правой -40 дБ/дек для колебательного звена и +40 дБ/дек для звена дифференцирующего второго порядка. 2. Правило построения ЛЧХ систем с неминимально-фазовыми звеньями остаётся тем же. 3. ЛФЧХ строятся с использованием шаблонов или по точкам, рассчитанным аналитически. 2. Астатические системы. Построение ЛАЧХ аналитических систем 1-го порядка начинается с определения i=k общий коэффициент усиления разомкнутой цепи регулирования и построения вспомогательной прямой с наклоном -20 дБ/дек влево от i затем слева до первой штриховой вертикальной линии, построенной по пункту 1 алгоритма, по этой прямой проводится контурная линия и далее по правилу построения, кроме пункта 2 i называют БАЗОВОЙ ЧАСТОТОЙ. 8 Построение ЛАЧХ астатических систем 2-го порядка отличаются от построения ЛАЧХ астатических систем 1-го порядка значением частоты  i  k и наклоном вспомогательной линии -40 дБ/дек, в остальном методика построения совпадает. 3. ЛЧХ контура с отрицательной обратной связью. 3.1. Аналитический метод построения ЛЧХ контура с единой ООС. WK(p) U(p) WA(p) Y(p) W k ( j )  W A ( j ) W A ( j )  e j k ( ) , отсюда 1  W A ( j ) 1  W A ( j  ) Lk ( )  20 lg W A ( j )  20 lg 1  W A ( j )  L A ( )  L A1 ( ),  k ( )  arg W A ( j )  arg(1  W A ( j ))   A ( )   A1 ( ). 3.2. Построение ЛЧХ контура по номограмм замыкания (Никольса). Пусть амплитудно-фазовая частотная функция замкнутой системы имеет вид W ( j ) , причем W ( j )  A( )e j ( ) 1  W ( j ) Ф( j )  A3 ( )e j 3 ( ) . Амплитудную и фазовую частотные функции замкнутой системы Аз() и з() можно выразить через А() и () разомкнутой цепи. Ae j Согласно формуле (1) имеем A3 e j 3  или, взяв обратные величины слева и 1  Ae j e  j 3 e  j справа, получим новое равенство   1. A3 A (1) Ф ( j )  Подставим сюда e  j  cos   j sin  и приравняем, затем отдельно вещественные и cos  3 cos  sin  3 sin    1,  . мнимые части. Получим два равенства A3 A A3 A Сложив сначала квадраты этих выражений, а затем поделив одно из них на другое, получим искомый результат A( ) sin  ( ) A3 ( )  ;  3 ( )  arctg . A( )  cos  ( ) A 2 ( )  2 A( ) cos  ( )  1 Чтобы не иметь дело на практике с этими формулами, составлены НОМОГРАММЫ замыкания. 9 L, дБ 36 Линии равных значений 20lgA3 36 1 Lз, дБ -2 -2 Линии равных значений з -24 -180 -360 (1) -180 -30 +30 +180 з -24 +360  Отложив на осях абсцисс и ординат заданные значения () и 20lgА находим значение 20lgАз() и з() на поле номограммы в точке с этим координатами. Таким образом, по точкам строится вся частотная характеристика замкнутой системы. По LA() и A() определяются Lk() и k(). При WA(j)1 Wk(j)1 а при WA(j)1 Wk(j)WA(j), Lk()WA() и k()A(). Это значит, что на низких частотах ЛАЧХ замкнутого контура асимптотически стремится к  0 дБ, а ЛАЧХ к 0 градусов на высоких частотах Lз() асимптотически стремится к высоко частотной асимптоте L(), а рз. Если контур с неединичной ООС, то его преобразовать к контуру с единичной ООС. Тогда ЛЧХ замкнутой системы строится в два приёма W ( j ) W ПК ( j ) W А ( j ) 1 1 W k ( j )   ОС    WkI ( j )  , 1  W ПК ( j )  WОС ( j ) WОС ( j ) 1  W А ( j ) WОС ( j ) WОС ( j ) вначале стоятся ЛЧХ контура с ед. ООС, где WА(j)=WПК(j)WОС(j), затем строятся ЛЧХ 1 функции и, наконец, результирующие ЛЧХ системы Lk ( )  LkI ( )  LОС ( ) и WОС ( j )  k ( )   kI ( )   ОС ( ). 4. Параллельное соединение звеньев. Передаточные функции последовательно-параллельные цепи преобразуем следующим образом 10 U(p) W1(p) Y(p) W2(p) Тогда ЛЧХ системы опреднляется по уравнениям: L( )  L1 ( )  LkI ( ); ( )  1 ( )   kI ( ).  W ( j )  W ( j )  W1 ( j )  W2 ( j )  W1 ( j ) 1  2   W1 ( j )  W ( j )  W1 ( j )  1  W1 ( j )  2  1  W1 ( j )   W1 ( j ) W1 ( j ) W2 ( j )  W 2 ( j ) W ( j ) 1 1 W 2 ( j )  W1 ( j )  1 1  W1 ( j ) , W A ( j ) WkI ( j ) 1  W A ( j ) W ( j ) . где W A ( j )  1 W 2 ( j ) LШ() и I() могут быть построены по номограмме замыкания, используя ЛЧХ динамических звеньев: L A ( )  L1 ( )  L2 ( ),  A ( )  1 ( )   2 ( ). Структурную схему сколь угодно сложного вида можно упростить и построить логарифмические частотные характеристики. 5. Построение вещественной частотной характеристики контура с единичной ООС по номограмме. Вещественная частотная характеристика замкнутой системы можно определить по заданным ЛЧХ разомкнутой цепи системы. Для этого подставим выражение W ( j )  A( )e j ( ) W ( j ) в формулу Ф( j )  . Получим 1  W ( j ) L, дБ A( ) A( )  cos  ( ) Ф ( j )  . Выделим 30 28 1  A( )cos  ( )  j sin  ( ) +1 вещественную часть из этого выражения A( ) A( )  cos  ( ) 0,7 P ( )  2 . По этому A ( )  2 A( ) cos  ( )  1 выражению построена номограмма P( )  const в плоскости L и  разомкнутой системы. При L>28 -0,4 дБ P()1 и при L<-28 дБ P()0. Значение P() 0,025 -28 вблизи точки L=0 и  = -180 с большей -30 0 , град -360 -180 точностью можно определить по специальным таблицам. Построены номограммы и для определения ВЧХ замкнутой системы с неединичной ООС Po()=F(Lo, o). Пользуются номограммой следующим образом: на поле номограммы отыскивается точка, соответствующая значениям L и  при выбранной частоте i, кривая P()=const определяет значение P(i); если точка расположена между кривыми, то P(i) определяется путем интерполирования двух ближайших кривых P()=const. Устойчивость САУ. Первый этап проектирования системы – исследование устойчивости САУ. Свойство системы приходить в исходное состояние после снятия возмущения называется устойчивостью. 11 Определение. САУ устойчива, если абсолютная величина отклонения регулируемой функции, получившая в результате возмущающего воздействия, по истечении достаточно большого промежутка времени после прекращения действия возмущения становится меньше наперёд заданного значения Е, т.е. limy(t)] Е. Кривые 1 и 2 характеризуют устойчивую систему, кривые 3 и 4 характеризуют системы 3 неустойчивые. 4 Системы 5 и 6 на границе устойчивости 5 нейтральная система, 6 - колебательная граница 1 устойчивости. yисх. 2 Из примеров видно, что различают системы 1. устойчивые (1,2) t 2. неустойчивые (3,4) t1 t2 3. нейтральные и на грани устойчивости (5,6). Дифференциальное уравнение САУ в оперативной форме имеет вид Возмущение действует c t1 по t2 D з ( p ) y  N з ( p)u  M з ( p ) f . y Решение дифференциального уравнения (движение 5 системы) состоит из двух частей y (t )  y св (t )  y вых (t ). 6 Система может совершать движения за счёт yисх. внешнего воздействия и начальных условий. За счёт начальных условий – свободное t движение, затухающие в устойчивых системах. t1 t2 За счёт внешнего воздействия – вынужденное движение. Для ответа на вопрос, устойчива ли система или нет, надо решить однородное уравнение с начальными условиями. Свободное колебание в системе определяются однородным дифференциальным dny d n 1 y dy уравнением a 0 n  a1 n 1  ...  a n 1  a n y  0, решение которого имеет вид dt dt dt y св (t )  c1e 1t  c 2 e 2t  ...  c n e nt , где с1, с2…, сn- постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий, 1, 2…, n – корни характеристического уравнения a 0 n  a1n 1  ...  a n 1  a n  0. Корни характеристического уравнения не зависят ни от вида возмущения, ни от начальных условий, а определяются только коэффициентами а0, а1, а2,…,аn, то есть параметрами и структурной системы. y №№ Корни характ. уравнения п.п. 1 1 2 >0, действит. Слагаемое Своб. решения График функции члена реш. Примечание 3 4 5 Ae t y св.  , система A t 12 неуст. 2 <0, действит. Ae t Данный член0  A t 3 =0 Система неустойчивая; возможно нейтральная Система неустойчивая Ae 0t  A t 4 Два нулевых корня ( A1  A2 t )e 0t A1  t 5 Корни комплексные, действительная часть положительная 6 Корни комплексные, действительная часть отрицательная Система неустойчивая Aet sin(t   ) t Ae t Возможно система устойчивая sin(t   ) t 7 Корни мнимые сопряженные A sin(t   ) t Система неустойчивая; возможно на грани устойчивости Пояснения к таблице: 1. Если корни характеристического уравнения вещественные и неравные и среди корней имеется хотя бы один ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ корень i, то соответствующее слагаемое ci e i t - возрастающая экспонента, и весь процесс будет расходящимся. 2. Если характеристическое уравнение имеет пару мнимых сопряженных корней i = j и i+1 = -j, а остальные корни вещественные и отрицательные, то в этом случаев решении n-2 слагаемых - затухающие экспоненты вида c k e k t , пара мнимых корней соответствуют два слагаемых ci e jt и ci 1e  jt . Пользуясь формулой Эйлера, напишем следующие равенства: e jt  cos t  j sin t , e  jt  cos t  j sin t. Следовательно, ci e jt  ci 1e  jt  (ci  ci 1 ) cos t  j (ci  ci 1 ) sin t. Можно показать, сто Ci и Ci+1 - комплексно сопряженные числа, поэтому Ci + Ci+1 = A и j(Ci- Ci+1)=B являются вещественными числами. A Тогда A cos t  B sin t  D sin(t  ), где D  A 2  B 2 ,   arctg , решение B однородного дифференциального уравнения будет иметь вид 1t n t y св (t )  c1e  ...  ( A cos t  B sin t )  ...  c n e - незатухающие и нерасходящиеся гармонические колебания. 3. Пусть характеристическое уравнение имеет пару комплексных сопряженных корней i    j , i 1    j , остальные корни вещественные отрицательные. В этом случае ci e (  j )t  ci 1e (  j ) t  et (ci e jt  ci 1e  jt )  et D sin(t  ). 13 Если вещественная часть комплексных корней отрицательна, то y св (t ) - затухающая функция. 4. Если характеристическое уравнение имеет нулевой корень i  0, тогда ci e it  ci . Если все остальные корни имеют отрицательные вещественные части или отрицательны, то lim y св (t )  ci . t  5. Если характеристическое уравнение имеет кратные корни, то при m кратных вещественных корней 1, 1t yсв (t )  (c11  c12t  c13t 2  ...  c1mt m1 ) e  c2 e 2t  ...  cn m e nmt   при λ 0 стремится к при t   неограничено возрастает 1 0 быстрее, чем многочлен к  Составляющая yсв(t) для кратных корней стремится к 0 при кратн.<0. Если остальные корни с отрицательными вещественными частями или отрицательны, то yсв.(t) сходящаяся функция. Вывод: в устойчивых системах Граница Jmi устойчивости автоматического регулирования все корни 7 характеристического уравнения должны 5 6 лежать в комплексной плоскости корней слева от мнимой оси. 2 Эти выводы справедливы для 1 Rei ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ уравнений, полученных в результате отбрасывания всех членов разложения в ряд Тейлора, 4 содержащих отклонения координат в 3 степени выше первой. Линеаризованные уравнения названы А.М. Ляпуновым уравнениями первого приближения. Теоремы А.М. Ляпунова. Теорема 1. Если определяющее (характеристическое) уравнение имеет корни только с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически, независимо от членов выше первого порядка малости. Теорема 2. Когда среди корней определяющего (характеристического) уравнения находятся такие, вещественные части которых положительные, невозмущенное движение неустойчиво. Примечания: 1. Если среди корней характеристического уравнения имеется два и более нулевых корня, то система неустойчива. 2. Если один корень нулевой, а все остальные находятся в левой полуплоскости, то система нейтральна (так бывает, если в системе одно интегрирующее звено вне контура обратной связи). 3. Если 2 корня мнимые сопряженные, а все остальные в левой полуплоскости, то система на колебательной грани устойчивости. 14 N ( p) W ( p) k N ( p)  з . W ( p)   . 1  W ( p) D з ( p) Tp  1 D( p) Требуется определить устойчивость k системы. Tp  1 D з ( p )  D( p)  N ( p )  Tp  1  k . Пример. Ф( p )  замкнутой Характеристическое уравнение T  1  k  0     Im сист. уст. Re Механические примеры систем: 1) есть трение - система устойчива. Устойчивая система может находится устойчивого равновесия. 2) 3) 4) 1 k . T в положении трения нет - система на грани устойчивости. система неустойчива, если шарик просто передвинуть; если выходным параметром будет скорость и есть трение, то система усточивая, т.е. от регулируемого параметра зависит классификация сист. по виду устойчивости. система неустойчива. Таким образом, чтобы определить устойчива ли линейная система, необходимо проанализировать характеристическое уравнение (знаменатель передаточной функции замкнутой системы, приравнять нулю), т.е. нужно найти корни характеристического уравнения. Устойчивость - внутреннее свойство системы, т.е. не зависит от внешнего воздействия. Решать характеристические уравнения высокого порядка трудно, потому разработаны критерии устойчивости. Критерии устойчивости САУ. Критерий устойчивости - это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Алгебраические критерии устойчивости. В 1877г. Раус установил условие отрицательности всех действительных частей корней характеристического уравнения: Необходимое (но не достаточное) условие устойчивости САУ есть положительность коэффициентов характеристического уравнения системы. 1. Критерии устойчивости Гурвица. 15 Критерий разработан в 1895г. Пусть определено характеристическое уравнение замкнутой системы: n n 1 a 0   a1  ...  a n  0, уравнение приводим к виду, чтобы a0>0. Составим главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали записываются коэффициенты уравнения, начиная со второго по последний, столбцы вверх от диагонали заполняются коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз от диагонали - коэффициентами с убывающими индексами. Остальные места заполняются нулями. В случае отсутствия в уравнении какого-либо коэффициента и вместо коэффициентов с индексами меньше 0 и больше n пишут нуль. Выделим диагональные миноры или простейшие определители в главном определителе Гурвица: a1 a 3 a5 . . . 0 a0 a2 a4 . . . .  a1 a3 . . . . . a0 a 2 . . . . 1  a1  0;  2  a1 a3 a0 a2  a1 a 2  a 0 a3  0; ... ;  n  a n  n 1  0.     0 Формулировка критерия: 0 ... ... a n Системы первого и второго Для устойчивости системы необходимо и порядка устойчивости, если все достаточно, чтобы при положительном коэффициенты характеристического коэффициенте характеристического уравнения уравнения больше нуля. a0 главный определитель Гурвица и все его Система находится на грани диагонали миноры были положительны. Если хотя бы один из коэффициентов или один устойчивости, если  n  0 и все из определителей отрицательны, то система диагональные миноры положительны: в устойчива. Если один из коэффициентов либо этом случае a n  0 (апериодическая один из определителей равны нулю, то система граница устойчивости). на грани устойчивости. Если  n 1  0 , а a n  0 и все остальные диагональные миноры Критерий Гурвица удобен для исследования положительны, то система на границе устойчивости систем третьего и четвертого устойчивости (колебательная граница порядков, когда известны параметры системы. устойчивости). Для систем выше второго порядка кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения необходимо выполнение следующих неравенств: 1. Для систем третьего порядка a1 a 2  a 0 a3 ; 2 2 2. Для систем четвертого порядка a1 a 2 a3  a0 a3  a1 a 4 ; 3. Для систем пятого порядка a1 a 2  a 0 a3 , (a1 a 2  a 0 a3 )(a3 a 4  a 2 a 5 )  (a1 a 4  a 0 a 5 ) 2 ; 4. Для систем шестого порядка a 3 (a1 a 2  a0 a3 )  a1 (a1 a 4  a0 a5 ); 2 (a1 a 2  a 0 a3 )[a5 (a 4 a3  a 2 a5 )  a 6 (2a1 a 5  a3 )]  3 2  (a1 a 4  a 0 a 5 )[a1 a3 a 6  a5 (a1 a 4  a 0 a5 )]  a1 a 6 . Пример. Дано характеристическое устойчивость системы по Гурвицу. уравнение a 0 3  a12  a 2   a 3  0; исследовать 16 - - - a1 a3 0 a1 a3 2  3  a 0 a 2 0 a 0 a 2  a1 a 2 a3  a0 a3  a3 (a1 a 2  a0 a3 ). 0 a1 a 3 0 a1 + + + Для устойчивых систем необходимо ai  0 и a1 a 2  a0 a3  0. 2. Критерий Рауса. Критерий опубликован в 1877г. Критерий Рауса используется при исследовании устойчивости систем высогкого порядка. Формулировка критерия: Для того чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были отличны от нуля и имели один и тот же знак. a0 a2 Таблица Рауса. a4 a6 … a1 a3 a5 a7 … a1 a 2  a0 a 3 a1  1.3 a3  a1 2 ,3  2 ,3   1,3   1,4   1.3  2 ,4   a1 a 4  a 0 a 5 a1  1.3 a 5  a 1 3 ,3  1.3  a1 a6  a0 a7 a1  1.3 a7  a 1 4 ,3   1.3 a1 a 8  a 0 a 9 a1  a  a 1 5 ,3  1.3 9  1.3  2 ,3   4 ,3   3 ,4  4 ,4  … …  Алгоритм заполнения таблицы: в первой и второй строках записываются коэффициенты уравнения с четными и нечетными индексами; элементы остальных строк вычисляются по     1,i 2   k 1,i 1 следующему правилу:  k ,i  1,i 1 k 1,i  2 .  1,i 1 Достоинство критерия: можно исследовать устойчивость систем любого порядка. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента. В основе частотных методов лежит принцип аргумента (следствие теоремы Коши относительно числа нулей и полюсов аналитической функции). Проведем анализ свойств многочлена вида: D( p )  a0 p n  a1 p n1  ...  a n  a0 ( p  1 )( p   2 )...( p   n ), где i - корни управления a0 n  a1 n 1  ...  a n  0.    D(  ) На комплексной плоскости каждому корню соответствует вполне определенная точка. Геометрически каждый корень i можно изобразить в виде вектора, проведенного из начала координат в точку i: |i| - длина вектора, argi - угол между вектором и положительным направлением оси абсцисс. Отобразим D(p) в пространство Фурье, тогда D( j )  a0 ( j  1 )( j   2 )...( j   n ), где j-i - элементарный вектор. Концы элементарных векторов находятся на мнимой оси. 17 D( j )  a0 j  1  j   2  ...  j   n - модуль вектор, а аргумент (фраза) arg D( j )  arg( j  1 )  arg( j   2 )  ...  arg( j   n ). Направление вращения вектора против часовой стрелки принимают за ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ. Тогда при изменении  от   до   каждый элементарный вектор (ji) повернется на угол +, если i лежит в левой полуплоскости. Пусть D()=0 имеет m корней в правой полуплоскости и n-m в левой, тогда при возрастании    до   изменение аргумента вектора D(j) (угол поворота D(j), равный сумме изменений аргументов элементарных векторов) будет  arg D( j )  ( n  m )  m  ( n  2m ) .      Jm i + - j-i Re j-k j k Принцип аргумента. Изменение аргумента вектора D(j) при возрастании  от   до   равно разности (n-m) корней уравнения D()=0, лежащих в левой части плоскости, и числом m корней уравнения, лежащих в правой части плоскости, умноженной на . 3. Критерий Михайлова. Устойчивость замкнутой САУ определяется характеристическим полиномом: D з ( p )  a0 p n  a1 p n 1  ...  a n . Согласно принципу аргумента для устойчивой системы  arg D з ( j )  n .      При изменении  от   до   вектор Dз(j) на комплексной плоскости опишет своим концом кривую, которая называется ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ или ГОДОГРАФОМ вектора Dз(j): D з ( j )  a0 ( j ) n  a1 ( j ) n 1  ...  a n  u(  )  j (  ). Можно показать, что функция u() четная, а () нечетная. Поэтому D з (  j )  u(  )  j(  ), то есть характеристическая кривая симметрична относительно действительной оси при  и -. Отсюда следует , что угол поворота радиуса-вектора Dз(j) на полусегментах (   , 0] и [0,   ) одинаков. Поэтому можно ограничится построением характеристической кривой для положительных , тогда  arg D з ( j )  n 0     2 . Формулировка критерия Михайлова. Система устойчива, если при изменении  от 0 до   годограф вектора Dз(j) (кривая Михайлова) обходит последовательно в положительном направлении n квадратов. 18 Сист. 4 порядка an=1+k - в стат. сист.; Выбирают k на 30% меньше критического. an=k - в астат. сист. Критерий Михайлова при инженерных расчетах используется ReDз(j) 0 сравнительно редко. По критериям Гурвица, Рауса и an 1 Михайлова можно судить об устойчивости неуст. САР как в замкнутом, так и в разомкнутом на грани уст. состоянии. Dз(j) С помощью критерия Михайлова, уст. если система неустойчива, можно определить, сколько корней будет находиться в правой полуплоскости. JmDз(j) an крит. Если для устойчивой системы  arg D з ( j )  n 0     arg D з ( j )  n  2 , то для неустойчивой системы,   m . 2 Например, система 4-го порядка, кривая Михайлова которая обозначена (1) на рисунке, имеет два корня с положительной вещественной частью, так как 0     arg D з ( j )  n 0     2  m  0  m  2. 4. Критерий Найквиста. Критерий базируется на частотных характеристиках разомкнутой цепи САУ, так как по виду частотных характеристик разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы. Критерий Найквиста нашел широкое применение в инженерной практике по следующим причинам: 1. Устойчивость системы в замкнутом состоянии исследуют по частотной передаточной функции ее разомкнутой цепи, а эта функция, чаще всего состоит из простых сомножителей коэффициентами являются реальные параметры системы, что позволяет выбрать их из условий устойчивости. 2. Для исследования устойчивости можно использовать экспериментально полученные частотные характеристики наиболее сложных элементов системы (объект регулирования, исполнительный орган), что повышает точность полученных результатов. 3. Исследовать устойчивость можно по ЛЧХ, построение которых несложно. 4. Удобно определять запрос устойчивости. 1. Система, устойчивая в разомкнутом состоянии. Этот случай соответствует системам автоматического управления без астатизма. D ( p) N( p ) Пусть W ( p )  , введем вспомогательную функцию W1 ( p )  1  W ( p )  з , D( p ) D( p ) D ( j ) заменим pj, тогда W1 ( j )  з . D( j ) 19 Согласно принципа аргумента изменение аргумента D(j) и Dз(j) при 0<< равно n  2 . то есть гедограф W1(j) не должен охватывать начало координат. Для упрощения анализа и расчетов сместим начало радиуса-вектора из начала координат в точку (-1, j0), а вместо вспомогательной функции W1(j) используем АФХ разомкнутой системы W(j). Формулировка критерия №1 Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи не охватывала точку (1, j0). Примеры. +j -1 k  -1 0 -1 + W(j) k  1 Тогда  arg W1 ( j )   arg D з ( j )   arg D( j )  0 , +j +j 0 + +1 + W(j) W1(j) 1 +j W(ji) -1 + 1 W1'(ji) Отметим, что разность числа положительных и отрицательных переходов АФХ левее точки (-1, j0) равно нулю. W(j) 2. Система, имеющая полюсы на мнимой оси в разомкнутом состоянии. Характеристический многочлен разомкнутой системы имеет нулевые и(или) чисто мнимые корни, (имеются нулевые полюса передаточной функции разомкнутой системы), остальные корни лежат в левой полуплоскости, то есть в разомкнутом состоянии система является нейтрально-устойчивой. k ( b p m  ...  1 ) W( p )   0 n , m  n +  - соответствует астатической системе,  - порядок p ( a0 p  ...  1 ) астатизма. В этом случае АФХ разомкнутой системы будет иметь разрыв непрерывности в точке =0. В этой точке модуль A( 0 )   а фаза делает скачек на 180 (при =1). Для получения определенности в ходе АФХ необходимо отнести нулевой корень знаменателя передаточной функции W(p) либо к левой, либо к правой полуплоскости корней. Первое является более удобным, так как при этом все корни знаменателя W(p) будут расположены в левой полуплоскости. Обойдем корень =0 по полуокружности бесконечно малого радиуса так, чтобы корень остался слева. При движении по этой полуокружности против часовой стрелки независимая переменная p=j меняется по закону p  e j , где p0 представляет собой радиус полуокружности, а  - аргумент, меняющийся от -/2 до +/2. При этом передаточная функция k k W(p) может быть представлена в виде W ( p )     e  j  Re j(  ) , где R   , а аргумент p  (-) меняется в пределах от +/2 до -/2. Таким образом, во время движения по полуокружности бесконечно малого радиуса передаточная функция может быть представлена в виде вектора бесконечно большой длины, поворачивающего на комплексной плоскости ПО ЧАСОВОЙ СТРЕЛКЕ на угол, равный  (от /2 до -/2), что соответствует полуокружности бесконечно большого радиуса. 20 0 jV jV R  >0 При =2 вектор бесконечно большой длины поворачивается по часовой стрелке на угол 2. Так же как и при =1, здесь можно получить условную устойчивость, колебательную границу устойчивости и неустойчивость. =2 <0 -1 >0 U  W(j) (0,+) =1 (абсол. уст. сист.)  меняется от - до + Из рис. 1 следует, jV что -1 абсолютная jV =0  устойчивость может быть получена при 2. При U 0 -1 =1  U 3 - только условная устойчивость. jV АБСОЛЮТНО-УСТОЙЧИВОЙ называют систему, которая сохраняет устойчивость при любом уменьшении коэффициента -1 усиления jV =2 -1  =3  U U разомкнутой цепи, иначе система УСЛОВНОУСТОЙЧИВАЯ. Рис.1. Примеры АФХ устойчивых САУ. Изложенный выше прием используют и при мнимых корнях. jV -1 уст. jV неуст. u -1 u дополнение в  частотного годографа W(j) 1=0, 2,3=j Рис. 2. Рис. 2. Для анализа устойчивости системы АФХ дополняют окружностью бесконечно большого радиуса при 0 против часовой стрелки до положительной вещественной полуоси, а в случае чисто мнимых корней - полуокружностью по часовой стрелке в точке разрыва непрерывности АФХ. Формулировка критерия №2 Если разомкнутая цепь системы имеет нулевые и чисто мнимые полюсы, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы с ее дополнением в бесконечности не охватывала точку (-1, j0). 21 3. Система с неустойчивой разомкнутой цепью. Более общий случай - знаменатель передаточной функции разомкнутой системы с любой степенью астатизма содержит корни, лежащие в правой полуплоскости. Появление неустойчивости разомкнутой системы вызывается двумя причинами: 1. следствием наличия неустойчивых звеньев; 2. следствием потери устойчивости звеньев, охваченных положительной или отрицательной обратными связями. Следует заметить, что, хотя теоретически вся система в замкнутом состоянии может быть устойчивой при наличии неустойчивости по цепи местной обратной связи, практически такой случай является нежелательным и его надо избегать, стремясь использовать только устойчивые местные обратные связи. Это объясняется наличием некоторых нежелательных свойств, в частности появлением условной устойчивости, которая как имеющихся обычно в системе нелинейностях может в некоторых режимах привести к потере устойчивости и появлению автоколебаний. Поэтому, как правило при расчете системы выбирают такие местные обратные связи, которые были бы устойчивыми при разомкнутой главной обратной связи. Пусть характеристический многочлен D(p) разомкнутой системы имеет m корней с положительной вещественной частью.  Тогда  arg D( j )  ( n  2 m ) . 2 0    Dз ( p ) при замене pj согласно D( p ) принципа аргумента для устойчивых замкнутых систем должна иметь следующее изменение Вспомогательная функция W1 ( p )  1  W ( p )  аргумента при 0     :  arg W1 ( j )   arg D з ( j )   arg D( j )  n  2  ( n  2 m)  2  m . Формулировка критерия №3 Для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи (с дополнением в бесконечности для нейтральных систем) охватывала точку (-1, j0) против часовой стрелки на угол m, где m - число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции неустойчивой разомкнутой цепи системы. 1 m=1 jV m=1 jV m=3  jV -1 2 1 jV  2 -1 0 0 -1  u 0 -1  u u 1 +1  2 -1  1  2 +1 u 1  +1 2 Пример АФХ устойчивых систем число переходов левее (-1, j0) равно m/2. Формулировка Я.З. Цыпкина. Замкнутая система устойчива, если при изменении  от нуля в сторону положительных значений до  разность числа положительных и отрицательных переходов АФХ разомкнутой системы через отрезок (-, -1) равна m/2. Критерий Найквиста для ЛЧХ. Для того чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при всех значениях , где L()>0, разность числа положительных и отрицательных переходов 22 фазовой характеристики разомкнутой системы через линии (2k+1) (k=0,1,2,…) равнялось m/2, где m - число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции разомкнутой цепи системы. Примечание: фазовая характеристика ЛЧХ астатических систем дополняется монотонным участком +/2 при 0. Пример 1. Пример 2. L, дБ L, дБ , град. , град. -60 L()>0 L()>0 -20 , с-1 -40 -90 -180 +1 () L() , с-1 L() -90 -60 -1 -180 -270 () -1 k (T2 p  1) 2 W ( p)  ; (T1 p  1) 3 (T3 p  1)(T4 p  1) Здесь m=0  система устойчива, но при уменьшении k система может быть неустойчива, поэтому такие системы называются условно-устойчивыми. Пример 3. jV -1 0 Здесь W ( p)  k , T1  T0 . (T0 p  1)(T1 p  1) При любых k система неустойчива. Такие системы называются структурнонеустойчивыми. 2 2 Пример 4. +j 1   u 2  -1 + k (p  1) +1 -1 ; (T1 p  1) (T3 p  1)(T4 p  1) k (p  1) АФХ охватывает точку с координатами (-1, j0) W ( p)  ; 2 p(T1 p  1)(T2 p 2  2T2 p  1) 1/2 раза, следовательно замкнутая система устойчива. при 0 АФХ имеет разрыв, и поэтому ее нужно дополнить дугой бесконечно большого радиуса от отрицательной вещественной полуоси. На участке от -1 до  имеется один положительный переход и полтора отрицательных. Разность между положительными и отрицательными переходами равна -1/2, а для устойчивости замкнутой системы требуется +1/2, так как характеристический полином разомкнутой системы имеет один положительный корень система неустойчива W ( p)  3 Анализ устойчивости многоконтурных систем. 23 Любая многоконтурная система может быть приведена к виду u y WA1(p) III W2(p) W3(p) I II При исследовании систем все обратные связи размыкаются. Для I контура строятся: LA1(), A1(), определяются m1 корней с положительной вещественной частью. Для I I контура: LA2()=LA1()+L2(), A2()=A1()+2(). По характеристическому уравнению определяется m2 . Для I I I контура: LA3()=LA2()+L3(), A3()=A2()+3(). По характеристическому уравнению определяется m3. Критерий устойчивости. Для того чтобы многоконтурная система в замкнутом состоянии была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы разность числа положительных и отрицательных переходов фазовых характеристик Ai() разомкнутых контуров через линии (2k+1) при всех m соответствующих значениях , где LAi()>0, равнялось  , где m  m1  m2  ... . 2 Запасы устойчивости. Для нормального функционирования всякая САР должна быть достаточно удалена от границы устойчивости и иметь достаточный запас. Необходимость этого обусловлена прежде всего следующими причинами: 1. Уравнения элементов САР, как правило, идеализированы, при их составлении не учитывают второстепенные факторы; 2. При линеаризации уравнений погрешности приближения дополнительно увеличиваются; 3. Параметры элементов определяют с некоторой погрешностью; 4. Параметры однотипных элементов имеют технологический разброс; 5. При эксплуатации параметры элементов изменяются вследствие старения. В следящих системах запас устойчивости необходим еще и для хорошего качества регулирования. В практике инженерных расчетов наиболее широко используют определение запаса устойчивости на основе критерия НАЙКВИСТА, по удалению АФХ разомкнутой системы от критической точки с координатами (-1, j0), что оценивают двумя показателями: запасом устойчивости по фазе  и запасом устойчивости по модулю (по амплитуде) h. Для того чтобы САР имела запасы устойчивости не менее  и h, АФХ ее разомкнутой цепи при удовлетворении критерия устойчивости не должна заходить в часть кольца, h . заштрихованного на рис. 1, где H определяется соотношением lg H  20 L, дБ +j , град. L, дБ , град. 1'  2' h  -1 2'' + -h 2' 2'' ср.  h , с-1 24 ` , с-1 Если устойчивость определяется по ЛЧХ, то для обеспечения запасов устойчивости не менее  и h необходимо, чтобы: а) при h  L  -h фазо-частотная характеристика удовлетворяла неравенствам  > -180+ или  < -180-, т.е. не заходила в заштрихованную область 1 на рис. 2; б) при -180+    -180- амплитудно-частотная характеристика удовлетворяла неравенствам L < -h или L > h, т.е. не заходила в заштрихованную область 2' и 2'' на рис. 2. Для абсолютно устойчивой системы запасы устойчивости  и h определяют так, как показано на рис. 3: 1. Запас по фазе 2. Запас по модулю Необходимые значения запасов устойчивости зависит от класса САР и требований к качеству регулирования. Ориентировочно должно быть =3060 и h=620дБ. Минимально допустимые запасы устойчивости по амплитуде должны быть не менее 6дБ (то есть передаточный коэффициент разомкнутой системы в два раза меньше критического), а по фазе не менее 2530. Устойчивость системы со звеном чистого запаздывания. jV e p -1 1 u  АФХ разомкнутой системы проходит через точку (-1, j0), то система на грани устойчивости. Систему с чистым запаздыванием можно сделать устойчивой, если в схему включит безынерционное звено с передаточным коэффициентом, меньшим 1. Возможны и другие виды корректирующих устройств. Структурно-устойчивые и структурно-неустойчивые системы. Один из способов изменения качества системы (в смысле устойчивости) – это изменить передаточный коэффициент разомкнутой системы. При изменении k L() поднимется L, дБ , град. либо опускается. Если k увеличивать L() поднимается и ср будет возрастать, а 20lgk 20lgkкрит. ср. система останется неустойчивой. Если k -1 уменьшать, то систему можно сделать , с L() устойчивой. Это один из способов коррекции системы. -180 () система неустойчивая 25 Системы, которые можно сделать устойчивыми путем изменения параметров системы, называются СТРУКТУРНО-УСТОЙЧИВЫМИ. Для этих систем есть критический передаточный коэффициент разомкнутой системы. Kкрит. – это такой передаточный коэффициент, когда система на грани устойчивости. Существуют системы СТРУКТУРНО-НЕУСТОЙЧИВЫЕ – это такие системы, которые невозможно сделать устойчивыми изменением параметров системы, а треб. для уст. изменять структуру системы. Пример. u y W1(p) W2(p) W3(p) Рассмотрим три случая: 1) Пусть W1 ( p)  k3 k1 k2 , W2 ( p )  , W3 ( p)  . Тогда T1 p  1 T2 p  1 T3 p  1 k рс   k1 k 2 k 3 W ПК ( p )  W1 ( p)  W2 ( p )  W3 ( p )  , T1T2T3 p 3  (T1T2  T1T3  T2T3 ) p 2  (T1  T1  T1 ) p  1        a a0 Ф( p)  a2 a1 3 k рс k рс W ПК ( p )  , k зс  . 3 2 1  W ПК ( p )WОС ( p) a0 p  a1 p  a 2 p  1  k рс 1  k рс  a3 Проверим работу системы на устойчивость. a0 p 3  a1 p 2  a 2 p  a 3  0 ; 2  a1 a 3 a0 a 2  a1 a 2  a0 a3  ( T1T2  T1T3  T2T3 )( T1  T2  T3 )  T1T2T3 ( 1  k рс )  0; Для определения kрс.кр. приравняем нулю 2. ( T T  T1T3  T2T3 )( T1  T2  T3 ) T T T T T T 1  2  1  3  1  2  2  3 . Тогда k рс .кр .  1 2 T1T2T3 T2 T2 T3 T3 T1 T1 T  T3 . При T1  T2  T3 , k рс.кр.min  8 , k рс.кр.max при T1  T3 , T2  1 2 Рассматриваемая система СТРУКТУРНО-УСТОЙЧИВАЯ, так как ее можно стабилизировать путем изменения параметров звеньев. k 2) Пусть W3  3 , W1 ( p ) и W2 ( p ) те же, что в первом случае. p k рс k1 k 2 k 3 Теперь W рс ( p )   ; ( T1 p  1 )( T2 p  1 ) p T1T2 p 3  ( T1  T2 ) p 2  p    a0 Ф( p )  k рс 3 2 a0 p  a1 p  a 2 p  k рс ; a3  k рс ; k зс  управления нет. Условия устойчивости по Гурвицу: k рс k рс a1  1. Статической ошибки по каналу 26 2  a1 a 3 a0 a 2  ( T1  T2 )  T1T2 k рс  0  сист. уст.  0  сист.неуст.  0  система на границе устойчивости . T  T2 1 1   ; если k рс .  k рс .кр . , то система неустойчивая. 2=0, тогда k рс .кр .  1 T1T2 T1 T2 Данная система с астатизмом 1-го порядка СТРУКТУРНО-УСТОЙЧИВАЯ. 3) Пусть L, дБ , L() k3 k1 k2 град W1 ( p )  , W2 ( p )  , W3 ( p )  ; -40 T1 p  1 p p W рс ( p )  k рс k1 k 2 k 3  ; 2 (T1 p  1) p T1 p 3   p2 a1 a0 Ф(p)  k рс T1 p 3  p 2  k рс a 3  k рс ; k зс  1; 2  1 с  Т1 ср -60 , с-1 -180 ; -270 a1 a 3 a0 a 2 СТРУКТУРНО-НЕУСТОЙЧИВАЯ. ()  1  0  T1 k рс  T1 k рс  0 всегда неустойчива. Эта система Исследование качества САУ Сформулируем определения терминов: 1. Качество САУ – комплекс свойств САУ, оцениваемых многовекторным критерием соответствия процесса управления в установившемся и переходном режимах множеству требований к объекту. 2. Показатель – величина, характеризующая существенное свойство объекта, по которому судят о предпочтительности объекта или процесса в нем. 3. Анализ САУ – установление (выявление) влияния структуры системы и ее параметров, начальных условий и входных воздействий на показатели качества процесса управления. 4. Ошибка обработки системой входного воздействия – (мера динамической точности системы; количественный показатель качества регулирования) функция, образованная разностью между фактическим процессом на выходе исследуемой системы и требуемым (желаемым, эталонным) видом выходной функции. Требования, предъявляемые к системам автоматического управления: 1. Выполнять главную функцию – автоматическое управление объектом; 2. Устойчивость работы САУ. 3. Система должна быть надежной и живучей. 4. Безопасна для обсуживающего персонала. 5. Экономична. 6. Соответствовать заданным показателям качества в статике (в установившемся режиме работы) и динамике (в переходных режимах). Обычно анализ работы САУ выполняется при типовых воздействиях, близким к реальным управляющим и возмущающим воздействиям в нормальных или наиболее трудных режимах работы. Необходимое условие функционирования – устойчивость САУ. 27 Достаточное условие рационального использования системы – выполнение требований по точности, быстродействию, плавности. Анализ качества САУ в статике Одно из основных требований, которым должна удовлетворять САУ – обеспечение необходимой точности воспроизведения входного воздействия в установившемся режиме. Ошибка отработки системой входного воздействия зависит от структуры системы, параметров звеньев, типа и производных входного воздействия. Большинство известных методов анализа качества САУ в статике ориентировано на анализ рассогласования (называемого ошибкой) в системе в установившемся режиме. Рассмотрим такую постановку задачи. Пусть структурная схема исходной САУ приведена к типовой (рис.1). При исследовании точности f системы управления в установившемся режиме Wf(p) целесообразно располагать выражениями для передаточных функций ошибки замкнутой системы u y  W0(p) Wр(p) по управляющему и возмущающему воздействиям. На основании принципа суперпозиции с помощью Рис.1 передаточных функций замкнутой системы определим изображение сигнала рассогласования называемое в технической литературе сигналом ошибки: W f ( p )Wo ( p ) 1  ( p)   u ( p )   f ( p)   u ( p)   F ( p )  Фu ( p )  u ( p )  Фf ( p)  F ( p), 1  W p ( p)Wo ( p ) 1  Wo ( p )W p ( p) где u(p) – рассогласование по каналу управления, f(p) – рассогласование по каналу возмущения, Фu(p) – передаточная функция ошибки по каналу управления, Фf(p) – передаточная функция ошибки по каналу возмущения. Для оценки точности работы системы при ступенчатом входном воздействии определяется установившаяся ошибка, которая может быть получена из последнего выражения с помощью теоремы о конечном значении функции:    lim  (t )  lim p ( p )  lim p u ( p)  lim p f ( p)  lim pФ u ( p)  lim pФ f ( p). t  p 0 p 0 p 0 p 0 p 0 Если управляющее воздействие u(t) имеет произвольную форму, но достаточно плавную, в дали от начальной точки процесса в том смысле, что через некоторое время существенное значение имеет только конечное число m производных, то отклонение системы можно найти с помощью коэффициентов ошибок. Передаточную функцию Фu(p) представим в виде ряда 1 1 1 1 Фu ( p )  C 0  C1 p  C 2 p 2  C 3 p 3  ..., 0! 1! 2! 3! сходящегося при малых p, что соответствует установившемуся режиму работы. Коэффициенты этого ряда называются коэффициентами ошибок и определяются с помощью выражений dФ ( p ) d nФu ( p ) C 0 [Фu ( p )] p 0 , C1 [ u ] p 0 , ... , C n [ ] p 0 , dp dp n 28 или непосредственным делением полинома числителя на полином знаменателя передаточной функции Фu(p). Коэффициенты C0, C1 и C2 называются соответственно коэффициентами позиционной ошибки, скоростной ошибки и ошибки от ускорения. Переходя к оригиналу, выразим квазиустановившуюся ошибку через коэффициенты ошибок, управляющее воздействие и его производные:  u (t )  t t зат . св . реш . 1 1 du (t ) 1 d 2 u (t ) С 0 u (t )  С1  С2  ... 0! 1! dt 2! dt 2 Аналогично вводится понятие коэффициентов ошибок по возмущающему воздействию. Если структурная схема непрерывной САУ сведена к виду (рис.2). u(t) Wпк(p) Ошибка на выходе системы во временной области определяется выражением  (t )  y (t )  y эт (t ), где yэт(t) – эталонная (безошибочная) входная функция. y(t) Wос(p) (t) Фэт(p) yэт(t) Отобразим последнее выражение пространство преобразований Лапласа выполним ряд операций подстановок эквивалентных преобразований: в и и Рис.2 Структурная схема непрерывной САУ ( p )  Y ( p)  Yэт ( p )  Ф( p )  u ( p )  Фэт ( p )  u ( p)  u ( p )[Ф( p )  Фэт ( p)]    Wпк ( p)  lim Wос ( p )  Wпк ( p )  Wос ( p)  1 Wпк ( p ) 1 p 0    u( p)   u ( p)   1  Wпк ( p)  Wос ( p) lim Wос ( p)   1  Wпк ( p )  Wос ( p )  lim Wос ( p) p 0 p 0   W ( p)k ос  Wос ( p )  1  u ( p )  пк  Ф ( p)u ( p ). 1  Wпк ( p)  Wос ( p)  k ос u Во временных методах анализа передаточную функцию Фu(p) разлагают в ряд Маклорена ( n)  Ф ( p) n в сегменте [0,], где  - комплексное число с малыми параметрами, Фu ( p )   u p . n! n 0 Ряд сходится и сумма его равна передаточной функции системы по ошибке, если система устойчива. Во временном пространстве это соответствует участку импульсной переходной функции по ошибке при достаточно больших значениях t (установившийся режим работы). Коэффициенты ряда называют коэффициентами ошибок: C 0  Ф ( 0 ) г (0) - коэффициент позиционной ошибки; C 0  Ф (1) г (0) - коэффициент скоростной ошибки; C 0  Ф ( 2 ) г (0) - коэффициент ошибки ускорения и т.д. Коэффициенты ошибок можно определить непосредственным делением полинома числителя на полином знаменателя передаточной функции Фu(p). 1 1 1 1 ( p )  Фu ( p )  u ( p)  c 0 p 0 u ( p )  c1 p 1u ( p )  c 2 p 2 u ( p )  ...  c n p n u ( p)  ..., Тогда 0! 1! 2! n! 2 1 1 du (t ) 1 d u (t ) переходя к оригиналу  (t )  c0 u (t )  c1  c2  .... 0! 1! dt 2! dt 2 29 Типовые входные  t u (t )  1(t ),   0,1,2,.... ! воздействия устанавливаются из последовательности 1. Статистическая система (=0) Для упрощения анализа и унификации расчетов типовую структурную схему рис.1 преобразуют к схеме с единичной отрицательной обратной связью и проводят анализ единичного контура в эквивалентной схеме (рис.3). f Wf(p) u  Wр(p) W0(p) Wос(p) y1 1 Wос ( p ) y Рис.3 Сделаем анализ статической ошибки по каналу управления. В статической системе 1 1 c0  Фu (0)   , где k – передаточный коэффициент разомкнутой 1  W p (0)Wo (0)Woc (0) 1  k системы; коэффициенты сi принимают некоторые конечные численные значения  d i Фu ( p )  ci    . i  dp  p 0 Если выходное воздействие – ступенчатая функция u01(t), то при f=0 u  уст. (t )  c0 u 0 1(t )  0 1(t ), 1 k так как ci – постоянные величины, а производные входного воздействия при t>0 равны нулю (рис.4). Величина ошибки пропорциональна y1(t) y1 величине входного воздействия u0 и обратно u (t) пропорциональна передаточному коэффициенту u0 разомкнутой системы k. уст. Задаваясь уст., можем найти требуемую величину k. Если для повышения запаса устойчивости t следует снижать передаточный коэффициент, то Рис.4. для повышения точности в статике требуется увеличение передаточного коэффициента. Пусть входное воздействие есть линейная функция времени, тогда (рис.5)  уст. (t )  c0 at  c1 a  . При параболическом воздействие (рис.6)  уст. (t )  c0 c b 2 t  c1bt  2 b  , ошибка растет 2 2 еще быстрее, чем при u(t)=at. Статическая ошибка по каналу возмущения W f (0)Wo (0)Woc (0) kf  f  Фf (0) f 0  f0  f0. 1  W p (0)Wo (0)Woc (0) 1 k определяется выражением 30 f - принято исследовать. f0 t В ряде случаев кроме ошибок системы по каналам управления и возмущения необходимо учитывать и ошибку гэ чувствительного элемента, который не является идеальным. Таким образом, результирующая статическая ошибка системы управления     u   f   rэ . Статизм системы Sст.  y f y f 0 y1, u u(t) y1(t) Рис.5 уст. t u(t) показывает во y1, u y1(t) Рис.6 сколько раз отклонение на выходе замкнутой уст. системы от действия возмущения заданной величины меньше, чем отклонение выходной t функции в системе разомкнутой. Из приведенного анализа следует, что статические системы целесообразно применять, если управляющее воздействие является постоянной величиной. Такой режим работы характерен для систем стабилизации. 2. Астатическая система 1го порядка (=1) Пусть структурная схема САУ имеет вид, приведенный на рис.7. Приведем анализ САУ k p M ( p) . по каналу управления, если W ПК ( p )  W p ( p )Wo ( p )  pN ( p) f u,y Wf(p) 1 u  Wр(p) W0(p) уст.=0 y t Рис.7 Рис.8. При подаче на вход системы единичного ступенчатого воздействия 1(t) (рис.8) статическая ошибка равна нулю: 1 1 pN ( p) 1 N ( p)  u ( p)      , 1  W ПК ( p) p pN ( p)  k p M ( p) p pN ( p)  k p M ( p) pN ( p )  0. а  u  lim p u ( p )  lim p 0 p 0 pN ( p )  k M ( p ) p 31 В режиме с управляющим воздействием, изменяющимся с постоянной скоростью, u(t)=at pN ( p) a aN ( p)  u ( p)   2  , pN ( p)  k p M ( p) p p ( pN ( p)  k p M ( p))  aN ( p ) a p u ( p )  lim p  .  u  lim p 0 p 0 p ( pN ( p )  k p M ( p )) k p   Д=kp – добротность по скорости [с-1] при линейно-возрастающем входном сигнале есть показатель качества системы. В этом случае с0, с1=1/k, … . Если входное воздействие изменяется по параболическому закону, то (рис.9) c b u(t)  уст. (t )  c0 t 2  c1bt  2 b  . 2 2 y, u Если система с неединичной обратной связью, то анализ системы будет по изложенной уст.(t) выше методике, но в общем случае коэффициенты с0, с1, с2, … могут быть иные, чем при единичной t отрицательной обратной связи. Рис.8 u  Wпк(p) y1 Wос(p) y В общем случае элемент обратной связи инерционен. 1  u ( p)  u ( p)  Фu ( p )u ( p), Здесь 1  W ПК ( p)WOC ( p ) c  уст. (t )  c0 u (t )  c1u ' (t )  2 u ' ' (t )  .... 2 Оценка точности астатических систем 1го порядка производится при линейно-нарастающих входных воздействиях. Статическая ошибка в этом режиме постоянна. Если входное воздействие ступенчатое, то статическая ошибка равна нулю. В таких режимах работают программные и следящие системы. Рис.10 3. Астатическая система 2го порядка (=2) Рассмотрим установившийся режим работы в астатических системах второго порядка (рис. 7) при изменении управляющего воздействия с постоянным ускорением u(t)=bt2/2. В этом случае (рис.11)     2 1 b p N ( p) b   u  lim p u ( p)  lim b  lim  . p0 p 0 p 3 k p M ( p ) p 0 p 2 p 2 N ( p )  k p M ( p ) k p   1 2   p N ( p)   Д=kp – [1/c2] добротность по ускорению – оценка точности работы системы с астатизмом 2го порядка. c 1 Здесь c0  0, c1  0, 2  , ... , тогда при 2 k u(t)  u 0 1(t)  уст. (t )  c0 u 0 1(t )  0, при u(t)  at  уст. (t )  c0 at  c1 a  0, u(t) y, u y (t) уст. Рис.11 t 32 c b 2 b b t  уст. (t )  c0 t 2  c1bt  2 b  . 2 2 2 kp Выбрав kp большим, получим малую статистическую ошибку. Для структурной схемы рис.6 по каналу управления для различных порядков астатических систем приведены величиныci в таблице 1. при u(t)  Таблица 1. Величины ci по каналу управления с0 c1 c2 >0 >0 1 1 k p >0 1 kp Порядок астатизма системы =0 =1 =2 2 kp Рассмотрим теперь установившийся режим работы системы регулирования при изменении управляющего воздействия по гармоническому закону u (t )  u max sin  k t. Для упрощения анализа предположим, что возмущение равно нулю. В этом случае в установившемся режиме также изменяется по гармоническому закону с частотой k:  u (t )   max sin( k t   ). Точность системы в этом режиме можно оценить по амплитуде ошибки, которая находится из выражения 1  u ( p)  u ( p )  Фu ( p )  u ( p ) 1  W ( p) Путем подстановки pjk и определения модуля полученного выражения: u max u max  max  Фu ( j k ) u max  , при W ( j k )  1  max  . 1  W ( j k ) W ( j k ) Пример. Передаточная функция прямого канала системы с единичной ОС имеет вид kp W ПК ( p)   , p (T1 p  1)(T2 p  1) где T1>1>T2, kp=20, тогда 20lgkp=201,3=26дБ,  c1  1   c2 . Построить ЛЧХ системы для 1,2,3. L, дБ =0 L, дБ -20 L, дБ =1 -40 =2 -20 20lgkp -60 -40 с1 1 с2 -40 , с-1 с1 1 Д  Д=kp=20 с2 , с-1 -60 с1 1 с2 kp  20 , с-1 -80 Анализ качества САУ в динамике Оценка качества САУ в динамике проводится по показателям качества процесса управления, которые делятся на: 33 - прямые оценки переходного процесса, вызываемого наиболее характерным единичным ступенчатым воздействием; - косвенные приближённые оценки качества: частотные, интегральные, корневые. К частотным оценкам относятся: запасы устойчивости по модулю L и по фазе , оценки переходных процессов по ВЧХ и АФХ, показатель колебательности М. Интегральные оценки (линейная, квадратичная, улучшенная квадратичная) одним числом характеризуют и отклонение регулируемой функции, и продолжительность переходного процесса. Корневые оценки характеризуют степень устойчивости и колебательность (диаграмма И.А. Вышнеградского, корневые годографы). Прямые показатели качества САУ. u, h u(t) hmax1=hmax2- hуст. ст=hуст.-1 5%hуст. h(t) Рассматривается САУ с единичной ООС. u hmax1 tM hmax2 tp (t)=h(t)-u(t) W (p) y hуст. t 1. Показатели точности работы САУ. 1.1. Установившаяся ошибка выходной функции, определяющая статическую точность системы  ст  h уст  hэт  lim h(t )  hэт  lim pU ( p)Ф( p)  hэт  Ф(0)  1 t  p 0 1.2. Динамическая ошибка системы  (t )  h(t )  hэт (t )  h(t )  1. 2. Показатели быстродействия САУ. 2.1. Время регулирования (время затухания переходного процесса) tp – время от начала процесса отработки входного воздействия до момента, после которого регулируемая функция отличается от своего установившегося значения на величину менее рег=5%hуст. рег=(15%)hуст – ошибка регулирования – заданное значение, определяющее точность регулирования. 2.2. Время нарастания переходной функции до максимального значения tm. 3. Показатели плавности протекания переходного процесса (показатели демпфирования системы). hmax1  hуст 100%. 3.1. Перерегулирование   hуст 3.2. Число перерегулирований N за время регулирования, определяемое как число максимумов, для которых hmax-hуст > рег. 1 к  , где Tк – период затухания 3.3. Частота колебаний переходного процесса f к  Tк 2 колебаний. 3.4. Скорость затухания переходного процесса оценивается по значению показателя огибающей экспоненты h h h  hmax 2   max 1 max 2 или   max 1  1  0. hmax 1 hmax 1 34 h h =0 =1 t 3.5. Степень колебательности переходного процесса   t hmax 2 . hmax 1 3.6. Число колебаний за время регулирования tp tp  , Tк где Tк – период колебаний, равный расстоянию вдоль оси t между двумя смежными максимумами. Переходная функция по каналу возмущения у астатических систем имеет вид Здесь hf()=0. Вместо перерегулирования здесь hf используется максимальное отклонение выходной функции hfmax1. Если f(t)=a1(t), то 2 оценка плавности hmax1/a. Ошибка t регулирования =(0,010,05)hp либо принимается такой же, как и по каналу tp управления, где hp – установившееся значение hfmax1 выходной функции по каналу возмущения объекта управления. Время регулирования, скорость затухания и степень колебательности переходного процесса определяется аналогично показателям h(t). Методы исследования качества САУ 7 I. Прямые методы исследования качества САУ. Этими методами производится расчет кривых переходных процессов и оценка качества САУ ведется по прямым показателям качества. 1. Аналитические методы (математическое моделирование). 1.1. Классические методы решения дифференциальных уравнений. 1.2. Методы построения состояний. 1.3. Оперативный метод (использование преобразования Лапласа). 1.3.1. Преобразование Лапласа дифференциального уравнения. 1.3.2. Использование передаточных функций (представление САУ в виде структуры динамических звеньев). 1.4. Частотный метод (используется преобразование Фурье). 1.5. Численные методы решения дифференциальных уравнений. 2. Графо-аналитические и графические методы. 3. Модельно-экспирементальные методы. В этих методах эксперименты проводятся на моделях в программных средах микроЭВМ, на прототипах, макетах, стендах, первых образцах проектируемой САУ. II. Косвенные методы исследования САУ. Эти методы позволяют оценить качество работы системы без построения кривых переходного процесса. Оценка качества САУ производится по косвенным показателям качества. 1. Корневой метод. 35 2. Частотный метод (оценка качества САУ по показателю колебательности). 3. Методы, основанные на использовании интегральных оценок качества САУ. Наибольшая точность построения переходных функций может быть получена классическими методами, однако для систем высокого порядка они связаны с громоздкими вычислениями, поскольку требуется знание распределения корней характеристического уравнения, расчет постоянных интегрирования и определение вынужденной составляющей решение. Причем, классические методы неприменимы к системам с запаздыванием. Для анализа систем с запаздыванием используют методы корневых годографов, трапецеидальных частотных характеристик, метод Z-преобразования и др. Частотный метод построения переходных функций САУ В основу метода положена зависимость между переходной функцией h(t) устойчивой САУ и вещественной частотной характеристикой p() замкнутой системы относительно одного из внешних воздействий. (t) 1 p 1(t) h(t) Ф(p)  k(t)=h’(t) (t) Ф(p) 1 p h(t) c  j 1 Воспользуемся обратным преобразованием Лапласа: h' (t )  L Ф( p )  Ф( p )e pt dp. 2j c j 1 Перейдем от интеграла Лапласа к интегралу Фурье: p=c+j, при с=0 p= j, предполагая, что система заведомо устойчива (в этом случае можно переходить к преобразованию Фурье), причем Ф( j )  Re Ф( j )  j Im Ф( j )  P( )  jQ ( ),  j  j   1 1 1 jt jt h ' ( t )  Ф ( j  ) e dj   Ф ( j  ) e d    j j P( )  jQ( )(cos t  j sin t )d 2  j 2  2                 1 P (  ) cos  t d   Q (  ) sin  t d   j Q (  ) cos  t d   j P (  ) sin  t d        2  ч ч н ч н н н ч          тождественно  0     1       P( ) cos td   Q( ) sin td        P      . (1)       Q  четная функция h(t) и h’(t) при t0 равны 0, поэтому h' (t )   нечетная функция    1 P (  ) cos  td   Q( ) sin td   0. (2)    0  Сложим выражения (1) и (2) h' (t )  h' (t )  h' (t )  связь между ВЧХ и h(t): 2    P( ) cos td . Отсюда получим 36 t t     заменапорядкаинтегрирования 2  t  2   P (  ) cos tdt d   h(t )   h' (t )dt     P( ) cos td  dt      0 0  0    0    – переходный  t    2 cos  t 2 sin  t   P( )   dt    d   P( ) d   0     0    процесс, вызываемый всеми гармониками бесконечного ряда, в который разложена единичная ступенчатая функция. Рассмотрим частный случай. Пусть p() – трапеция (рис.1). Здесь  П     sin t  2 sin t 2 d sin t h(t ) ТР   P( ) d    P(0) d   P(0) П d    0    0       П d d  Пt Пt  d t sin t   П sin t 1 P(0)   dt   dt  sin  td  t   t ( П   d )t d t  0 t  d t  П   d   П 2 Si ( П t )  Si( d t )  cos  П t  cos  d t ,  P(0)Si ( d t )    П d ( П   d )t    2 a sin a da  Sia - интегральный синус, значения a которого имеются в справочниках. Перейдем к безразмерным величинам: h(t ) h( )  – безразмерная переходная функция, p (0)  П t   – безразмерное время, где P P(0) Рис.1  d П  d   – показатель наклона трапеции (01). П Если принято p(0)=1 и п=1, то такую трапецию называют единичной. 2 1 Si  Si(    )  cos   cos  . Тогда при p(0)=1 h( ) ТР  Si (    )   1  (1   )  По этой формуле, предложенной В.В. Солодовниковым, составлена таблица h-функций. Пусть ВЧХ замкнутой системы известна x 0,00 0,05 … (рис.2), тогда переходная функция определяется по  следующему алгоритму: 0,0 … 1. ВЧХ разбивают на трапеции так, чтобы 0,5 0,138 … левая сторона трапеции совпадала с осью 1,0 … ординат. Тщательно аппроксимируется начальная часть ВЧХ. Конечная часть с ординатами, меньшими чем 0,1 p(0) не принимается во внимание. 2. Определяются параметры трапеции:  di ,  Пi , p i (0), вычисляются i. Величина pi(0) считается положительной, если меньшая параллельная сторона трапеции расположена выше большей, и отрицательной – в противоположном случае. Сумма высот всех трапеций равна p(0). 3. Определяются составляющие переходной функции. Находится столбец i в таблице hфункций, выбираются h() (1213 значений – максимумы, минимумы и несколько 37 промежуточных значений). По значениям  и h() вычисляются действительное время t и составляющее hi: t   , hi  Pi (0)hi ( ).  Пi l 4. Строят графики hi(t) (знак соответствует знаку pi(0)): h(t )   hi (t ). i 1 1 P P1(0) P2(0) P3(0) №№ трап.  №№ точек отсчета Параметры трапеций pi(0)= п1= d1= x1= … Рис.2.   I 2 n  P (0)  P(0). P(0) i i 1 II 1  h() t=/п1 h(t)=pi(0)h() … 3 … … … … … 4 P4(0)  3 hi ()  Pi (0). 2   hi Pf Характерный вид ВЧХ для канала возмущения САУ: если pf(0)=0, то система астатическая. Если в системе имеется звено запаздывания, но система устойчива, то Масштаб точно такой же, как и у P() 4 h(t )   hi (t ) i 1 t 1 3 4 P 2  Оценка качества переходной функции по ВЧХ Предварительный анализ качества можно выполнять по ВЧХ замкнутой системы, которая строится по номограмме или аналитически P( )  Aз ( ) cos  з ( ). 1. Установившееся значение h() переходной функции определяется начальными значением ВЧХ: h()  p (0). 2. Начальное значение h(0) переходной функции определяется конечным значением ВЧХ: h(0)  p (). 3. Двум ВЧХ, сходным по форме, но отличающихся масштабом по оси абсцисс в n раз, соответствуют переходные характеристики, также сходные по форме и отличающиеся масштабом по оси абсцисс в 1/n раз.  38 h P P h   t   t 4. Двум ВЧХ, сходным по форме, но отличающихся масштабом по оси ординат в n раз, соответствуют переходные характеристики, также сходные по форме и отличающиеся масштабом по оси ординат в n раз. 5. Если при какой-либо частоте ВЧХ больше начальной, то переходная функция немонотонная. Это один из признаков немонотонности. 6. При наличии у положительной ВЧХ экстремума pmax P перерегулирование переходной функции оценивают Pmax 1,18 Pmax  P(0) неравенством    100%. P(0)  7. Если ВЧХ имеет положительный pmax и отрицательный pmin экстремумы, то перерегулирование переходной функции оценивают неравенством 1,18 Pmax  0,277 Pmin  P (0)   100%. P ( 0) 8. Если ВЧХ непрерывная невозрастающая функция и по форме приближается к трапецеидальной (рис.1), то преходная функция приближенно определяется по таблице h-функций, где x=d/п. В этом случае время регулирования находится в dP( )  4  0 (рис.2), то 18%.  tp  . Если пределах d П П 9. Если ВЧХ положительна на интервале частот п, то во всяком случае время регулирования tp>/п. P P(0) Рис.1.  d P Рис.2.  П Построение ВЧХ замкнутой системы с единичной ООС по ЛЧХ разомкнутой системы с применением номонограммы Вещественную частотную характеристику замкнутой системы строят либо аналитически (по формуле), либо по номонограмме. Если для системы с единичной отрицательной обратной связью W ПК ( j )  A( )e j ( ) , то A( ) A( )  cos  ( ) A( )cos  ( )  j sin  ( ) . Ф ( j )  , а P( )  2 1  A( )cos  ( )  j sin  ( ) A ( )  2 A( ) cos  ( )  1 Современные микроЭВМ и программные оболочки позволяют построить точно p() по формулам. Для построения p() используется номонограмма p()=const в плоскости L-. При L>28дБ p()1 и при L<-28дБ p()0. При построении отыскивается точка, соответствующая значениям  и L при выбранной части i, и положение этой точки относительно семейства 39 кривых определяет значение p(). Значение p() вблизи точки L=0 и =-180 с большей точностью можно определить по специальным таблицам. Построены номограммы и для определения ВЧХ замкнутой системы с неединичной ООС p неед. ( )  F ( L з ,  з ). L, дБ 20 P>0 P Астат. сист. 1,2 1,5 10 0,5 1 -0,5 -0,2 -10 Статич. сист. -20 P<0 -360 -270 -180 -90 , град. 1 2 3  Номограмма PI()=F[Lp(), p()]. Для системы с неединичной обратной связью формулы Ф(j) и p() имеют другой вид (их легко вывести). При расчете ВЧХ по каналу возмущения используются номограммы для неединичной обратной связи или рассчитывают по формулам на микроЭВМ. Оценка переходного процесса системы по показателю колебательности u y W (p) 0,707 Рис.1 3 a |Ф(j)| Pз(0)=1 1 h  2 M M3max Рис.2 р 3 2 u(t) 1 1 ср п  t Рис.3 Пусть на вход системы (рис.1) подается единичное ступенчатое воздействие, тогда для различных форм переходных процессов (рис.3) АЧХ замкнутой системы будут иметь соответствующий вид (рис.2). Под показателем колебательности понимают величину модуля Ф(j) на резонансной W ( j ) . частоте M max  Aз max ( )  1  W ( j ) max V M=0,67 АЧХз M=1 M= M=0 -1 0,5 U M=2 M=1,5 W(j) Рис.4. Рассмотрим уравнение W ( j )  M, сделаем 1  W ( j ) U  Re W ( j ) подстановки и V  Im W ( j ). Тогда U  jV U 2 V 2   M. 1  U  jV (1  U ) 2  V 2 Возводя в квадрат правую и левую части уравнения и освобождаясь от знаменателя, после алгебраических преобразований 40 M M2 . и R 2 2 M 1 M 1 Это есть уравнение окружности с радиусом R и центром, смещенным влево от начала координат на величину C. Для определения показателя колебательности можно не строить АЧХ замкнутой системы, так как достаточно знать одно максимальное значение ординаты Mmax, определяемое по наименьшей окружности M=const, которой касается АФХ. Величина показателя Запретная зона колебательности может быть V определена и в случае M U1  использования ЛЧХ. Для этого Mmax=1,5 M 1 отобразим запретную зону (рис.5) на логарифмическую сетку. C A2  C 2  R 2 Причем cos   2 AC по тереме косинусов. a1  -1 U 2 R M C 2  R2  2  C, тогда A M 1 W(j) B A2  C   arccos , которое M 2 AC U2  M 1 существует только для модулей, лежащих в пределах Рис.5. M M  A . M 1 M 1 M M В случае, когда A  или A  , запас по фазе может быть любым, так как в M 1 M 1 этом случае конец вектора не может попасть в запретную зону. получим (U  C ) 2  V 2  R 2 , где C  Максимальный запас по фазе  max M 2 1  arccos  arccos . M c 1 90 M=1 Занос по фазе M=1,1 M=1,2 M=1,3 M=1,5 M=2 20 10 L,дБ -6 -4 -2 0 2 4 M Рис.6. 20 lg 22 Модуль в децибелах M 1 , с-1 20 lg -90 M=const () -180 Запретная зона для () M M 1 Бесекерский В.А. предложил -диаграмму (рис.6). Если имеется ЛЧХ, то по имеющимся -кривым и при заданном значении Mmax можно построить требуемые значения запаса по фазе для каждого значения модуля. Допустимые значения показателя колебательности определяются на основании опыта эксплуатации САР. Считается, что в хорошо демпфированных системах регулирования показатель колебательности не должен превосходить значений 1,11,5, хотя в некоторых 41 случаях можно допустить величину Mmax до 22,5.