Основы векторной алгебры

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Опр. Вектор (в пространстве, на плоскости, на прямой) – это направленный отрезок, т.е. отрезок AB, у которого одна из ограничивающих его точек A принимается за начало, а вторая B – за конец.  AB или a B B BА A A Опр. Ненулевые векторы AB и CD называются равными: AB = CD , если: 1) они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; 2) имеют одинаковые длины ( AB = CD) и одинаково направлены. Все нулевые векторы считаются равными друг другу. B A C D Сложение векторов   Пусть а и b - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и приложим вектор к этой точке,  получим а = ОA .   Затем отложим от точки А вектор b , получим b = АB .   Вектор ОB называется суммой векторов а и b . ОА + AB = OB  а  b  а О  а  b  а  А b   а +b  b  b  с B Правило параллелограмма Правило треугольника    с = а +b 2. Разность векторов     Опр. Разность векторов а и b обозначается а −b а определяется как сумма вектора  противоположного вектора − b .  а  а  b О А  −b  с    с = а −b B и и 3. Умножение вектора на число  Опр. Произведение вектора а на число λ называется вектор,  длина которого равна числу λ ⋅ а и который имеет  направление вектора а , если λ > 0, и противоположное  направление (− а ), если λ < 0.  Обозначается: λа .     Если λ = 0 или а = 0 , то λа = 0 .  а  3а  − 2а   Опр. Два вектора а и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В противном случае, они называются неколлинеарными.  а  а  b  b Коллинеарные векторы Неколлинеарные векторы Нулевой вектор коллинеарен всякому вектору и каждый вектор коллинеарен самому себе.  Опр. Вектор а называется коллинеарным прямой l, если этот вектор лежит либо параллельной l. на прямой l, либо прямой, Первый признак коллинеарности двух ненулевых векторов (следует из определения)       a b ⇔ a = µ ⋅ b , b = λ ⋅ a, где λ и µ - некоторые числа.    Опр. Три вектора а , b и с называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или на параллельных плоскостях. В противном случае, они называются некомпланарными.    Если хоть один из векторов а , b и с нулевой вектор, то эти векторы компланарны.  с  b  а Компланарные векторы  с  b  а Некомпланарные векторы Множество всех свободных векторов на прямой будем обозначать R1, на плоскости - R2, в пространстве - R3. Опр. Множества R1, R2, R3 вместе с введёнными выше линейными операциями над векторами называются также векторными пространствами R1, R2, R3. Опр. 1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. 2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке. 3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор. Опр. Если e1 , e2 , e3 - базис в пространстве и a = α e1 + β e2 + γ e3 , то числа α, β и γ - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе. В связи с этим можно записать следующие свойства: 1) равные векторы имеют одинаковые координаты, 2) при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число, λ a = λ (α e1 + β e2 + γ e3 ) = (λα )e1 + (λβ ) e2 + (λγ ) e3 3) при сложении векторов соответствующие компоненты. a = α 1 e1 + α 2 e2 + α 3 e3 складываются b = β 1 e1 + β 2 e2 + β 3 e3 (α 1 + β 1 )e1 + (α 2 + β 2 )e2 + (α 3 + β 3 )e3 их    Опр. Если a1 , a2 ,..., an- некоторая система векторов пространства R (R1, R2 или R3), тогда любой    вектор вида α1a1 + α 2 a2 + ... + α n an называется линейной комбинацией векторов    a1 , a2 ,..., an , где α1 , α 2 ,..., α п − некоторые действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. Если какой-либо вектор представляется в виде линейной комбинации некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам. Опр. Векторы a1 ,..., a n называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинацияα1 a1 + α 2 a 2 + ... + α n a n = 0 , при не равных нулю одновременно αi , т.е. α 12 + α 22 + ... + α n2 ≠ 0 . Если же только при αi = 0 выполняется равенство α 1 a1 + α 2 a 2 + ... + α n a n = 0 , то векторы называются линейно независимыми. Свойства 1. 2. 3. 4. 5. 6. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны. Любые 4 вектора линейно зависимы. 2. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ z y  k  j  i O x  i  j O x   О – произвольная точка      i , j i , j , k единичные взаимно-перпендикулярные векторы плоскости (пространства) – орты ( )  Oxy – прямоугольная система координат на плоскости  Oxyz – декартовая система координат в пространстве  x – абсцисса  y – ордината  z – аппликата y  Вектор a заданный на плоскости Oxy, y y1  j O A(x1, y1)  a  i x1 x может быть представлен в виде:    a = x1i + y1 j где x1, y1 – проекции вектора на соответствующие оси координат называются прямоугольными координатами вектора.   Вектор a = OA с координатами x1 и y1 обозначается: a = (x1 , y1 ) и называется радиус-вектором точки А. Задача 1. Найти координаты вектора, если даны координаты его начальной и конечной точек. Решение. Пусть А( x1 , y1 , z1 ) и B( x2 , y2 , z 2 ). Имеем ( ) ( ) AB = OB − OA. Но OA = x1 , y1 , z1 , OB = x2 , y2 , z 2 ⇒ AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z 2 − z1 ). Условие коллинеарности двух векторов   a = ( x1 , y1 , z1 ) и b = ( x2 , y2 , z 2 ) Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е. когда справедливо равенство x1 y1 z1 = = x2 y 2 z 2 Длина вектора  a = (x1 , y1 ) в прямоугольных координатах :  2 2 a = x1 + y1 Длина вектора  a = (x1 , y1 , z1 ) в декартовых координатах:  a = x12 + y12 + z12 Линейные операции над векторами в координатной форме Если   a = ( x1 , y1 , z1 ) и b = ( x2 , y2 , z 2 ) Тогда   a ± b = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z 2 )  λa = (λx1 ; λy1 ; λz1 ) Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов определяются по формулам: x1 cos α =  a y1 cos β =  a z1 cos γ =  a 3. СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ   Опр. Скалярным произведением двух векторов a и b   называется число, обозначаемое a ⋅ b и равное       a ⋅ b = a ⋅ b cos(a , b )   Если a = ( x1 , y1 , z1 ), b = (x2 , y2 , z 2 )   a ⋅ b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2     a ⋅b cos(a , b ) =   ab   Задача. Даны векторы a = (15;−6;−5) b = (20; 3; 16 ) Найти: 1) ( ) a⋅ b−a Разность двух векторов: . b − a = (20 − 15; 3 − (−6); 16 − (−5) ) = (5; 9; 21) Скалярное произведение двух векторов: ( ) a ⋅ b − a = 15 ⋅ 5 + (−6) ⋅ 9 + (−5) ⋅ 21 = −84   Задача. Даны векторы a = (15;−6;−5) b = (20; 3; 16 ) Найти: 2) a Длина вектора: a = 152 + (−6) 2 + (−5) 2 = 225 + 36 + 25 = 286   Задача. Даны векторы a = (15;−6;−5) b = (20; 3; 16 )  ∧  Найти: 3) cos a, с  если   c = 2a + b c = 2a + b = 2(15;−6;−5) + (20; 3; 16 ) = (50;−9; 6 )  ∧  a ⋅ c x1 x3 + y1 y3 + z1 z3   cos a, с =   =   ac 2 2 2 2 2 2 x y z x y z + + + +   1 1 1 3 3 3  ∧  15 ⋅ 50 + (−6) ⋅ (−9) + (−5) ⋅ 6 cos a, с  = =   2 2 2 2 2 2 15 ( 6 ) ( 5 ) 50 ( 9 ) 6 + − + − + − +   750 + 54 − 30 774 = 286 ⋅ 2617 748462  Задача. Даны векторы a = (15;−6;−5) b = (20; 3; 16 ) Найти: 4) a+b a + b = (35;−3; 9 ) a + b = 352 + (−3) 2 + 9 2 = 1225 + 9 + 81 = 1315    Три некомпланарных вектора a , b , c образуют правую тройку (левую тройку) или положительно ориентированы  (отрицательно ориентированы), если с концаcтретьего вектора   кратчайший поворот от первого a вектора bко второму виден против часовой стрелки (по часовой стрелке).  c  b  c  a Правая тройка  a  b Левая тройка Векторное произведение векторов   Опр. Векторным произведением двух  векторов a и b называется такой третий вектор с , который удовлетворяет следующим  трем  условиям:   1) вектор ортогонален c ⊥ a и c ⊥ b      2) с = a ⋅ b sin( a , b ) 3) векторы    a , b , c образуют правую тройку. Обозначения:       c = a × b или c = [a , b ]  c  b ϕ  a Геометрический смысл  с  b h ϕ S параллелогр.  а 2 S треуг. = S параллелогр.   = a ×b Свойства 1. 2. 3.     a × b = −(b × a ),    a × a = 0,        a × (b + c ) = a × b + a × c ,       (λa )× b = a × λb = λ (a × b ) ( ) 4. 5. Критерий коллинеарности векторов      a || b ⇔ a × b = 0, 6. Теорема (запись векторного произведения в координатах)   a = ( x1 , y1 , z1 ) и b = ( x2 , y2 , z 2 ) Если    i j k    c = a × b = x1 y1 z1 x2 y 2 z 2 (псевдоопределитель) Смешанное произведение векторов Опр. Смешанным произведением трех    векторов a , b , c называется число,   обозначаемое a b c и определяемое следующим образом      abc = (a × b) c Другие обозначения :       (a , b, c), a , b, c . Геометрический смысл   a × bc ϕ  b Vпарал.  a    = (a × b ) ⋅ c Свойства 1. 2. 3. 4.       (a × b ) ⋅ c = a ⋅ (b × c )       λa b c = λ ( a b c )        aab = ab b = ab a = 0          (a + d )b c = ab c + db c      5. ab c = b c a = c ab не нарушается круговой порядок        6. ab c = −b ac = −ac b = −c b a нарушается круговой порядок   a  с b 7. Теорема (запись смешанного произведения в координатах) Если  a = ( x1 , y1 , z1 ),  b = ( x2 , y2 , z 2 ),  c = ( x3 , y3 , z3 ), тогда x1   a b c = x2 y1 y2 x3 y3 z1 z2 . z3 8. Признак компланарности трех векторов (линейной зависимости трех векторов)    Векторы a , b , c компланарны (линейно зависимы) ⇔   ab c = 0 x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 = 0 z3