Основы сопротивления материалов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет» Р.П. Моисеенко ЛЕКЦИИ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Часть I Учебное пособие Томск Издательство ТГАСУ 2010 УДК 539.3/.6 (076.6) М 74 Моисеенко, Р.П. Лекции по сопротивлению материалов. Часть I [Текст] : учебное пособие / Р.П. Моисеенко ; под ред. В.Н. Барашкова. – Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2010. – 136 с. – ISBN 978-5-93057-378-7. В учебном пособии представлен конспект лекций по сопротивлению материалов. Объём каждой лекции составляет 7–8 страниц, что соответствует отведённому на лекцию времени в два академических часа. Курс состоит из шестнадцати лекций согласно рабочей программе. Рассматриваются простые виды деформации. В качестве основной методики преподавания впервые использована схема решения задач Р. Декарта. Эта схема позволяет значительно повысить методический уровень лекций, объединяя все разделы Сопротивления материалов в единую систему. Учебное пособие предназначено для студентов специальностей СДМ, АиАХ, МИАС. Печатается по решению редакционно-издательского совета ТГАСУ. Научный редактор докт. физ.-мат. наук, профессор В.Н. Барашков. Рецензенты: докт. техн. наук, профессор Б.А. Люкшин, ТУСУР; докт. техн. наук, профессор В.И. Максак, ТГАСУ. ISBN 978-5-93057-378-7 2 © Томский государственный архитектурно-строительный университет, 2010 © Р.П. Моисеенко, 2010 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие .................................................................................7 Лекция 1. Математическая модель стержня ...........................8 1.1. Факторы, влияющие на прочность конструкции, и их идеализация ........................................................................9 1.2. Внутренние силы и внутренние усилия ........................... 12 1.3. Напряжения ....................................................................... 14 Вопросы для самопроверки......................................................... 15 Лекция 2. Уравнения математической модели. Геометрические характеристики плоских сечений .............. 16 2.1. Зависимость между внутренними усилиями и напряжениями ....................................................................... 16 2.2. Геометрические характеристики плоских сечений ......... 19 2.3. Зависимость между статическими моментами относительно параллельных осей координат ......................... 20 2.4. Вычисление статических моментов сложных фигур ....... 22 2.5. Вычисление координат центра тяжести сложной фигуры....................................................................... 23 Вопросы для самопроверки......................................................... 24 Лекция 3. Моменты инерции простых и сложных фигур.... 25 Пример 1 ...................................................................................... 25 3.1. Вычисление моментов инерции простых фигур .............. 27 3.2. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей ........................................... 28 3.3. Вычисление моментов инерции сложных фигур относительно центральных осей ............................................. 29 Вопросы для самопроверки......................................................... 31 Лекция 4. Главные моменты инерции ................................... 32 Пример 2 ...................................................................................... 32 4.1. Зависимость между моментами инерции при повороте осей .................................................................... 34 Пример 3 ...................................................................................... 37 Вопросы для самопроверки......................................................... 38 3 Лекция 5. Внутренние усилия и напряжения при растяжении-сжатии ........................................................... 39 5.1. Растяжение-сжатие............................................................ 39 5.2. Определение продольных сил .......................................... 40 Пример 4 ...................................................................................... 42 Вопросы для самопроверки......................................................... 46 Лекция 6. Прочность при растяжении-сжатии ..................... 47 6.1. Определение напряжений от заданной нагрузки .............47 Пример 5 ...................................................................................... 47 6.2. Напряжённое состояние в точке при растяжении-сжатии ...........................................................49 6.3. Основные механические характеристики материала....... 50 6.4. Условие прочности при растяжении-сжатии ................... 53 Пример 6 ...................................................................................... 55 Вопросы для самопроверки......................................................... 56 Лекция 7. Статически неопределимые системы при растяжении-сжатии ........................................................... 57 7.1. Перемещения при растяжении-сжатии ............................57 Пример 7 ...................................................................................... 58 7.2. Статически неопределимые системы, работающие на растяжение-сжатие ........................................ 59 Пример 8 ...................................................................................... 60 Пример 9 ...................................................................................... 62 Вопросы для самопроверки......................................................... 65 Лекция 8. Внутренние усилия при плоском изгибе .............. 66 8.1. Плоский изгиб ................................................................... 66 Пример 10 .................................................................................... 67 Пример 11 .................................................................................... 70 8.2. Дифференциальная зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой.......................... 71 Вопросы для самопроверки......................................................... 72 Лекция 9. Эпюры внутренних усилий при плоском изгибе балок ........................................................ 73 4 9.1. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил ..................................................................... 73 Пример 12 .................................................................................... 73 Вопросы для самопроверки......................................................... 80 Лекция 10. Эпюры внутренних усилий при плоском изгибе рам............................................................ 81 Пример 13 .................................................................................... 81 10.1. Построение эпюр внутренних усилий в рамах .............. 83 Пример 14 .................................................................................... 84 Вопросы для самопроверки......................................................... 88 Лекция 11. Прочность при плоском изгибе ...........................89 11.1. Напряжения при чистом изгибе...................................... 89 11.2. Напряжения при поперечном изгибе.............................. 93 Вопросы для самопроверки......................................................... 96 Лекция 12. Расчёты на прочность при изгибе. Сдвиг, расчёт заклёпочных и болтовых соединений ............ 97 Пример 15 .................................................................................... 97 12.1. Чистый сдвиг ................................................................. 100 12.2. Расчёт заклёпочных (болтовых) соединений ............... 102 Вопросы для самопроверки....................................................... 104 Лекция 13. Сварные соединения. Кручение ........................ 105 Пример 16 .................................................................................. 105 13.1. Расчёт сварных соединений .......................................... 106 Пример 17 .................................................................................. 107 13.2. Кручение стержней с круглым поперечным сечением............................................................ 108 Вопросы для самопроверки....................................................... 112 Лекция 14. Прочность при кручении. Статически неопределимые системы при кручении .......... 113 14.1. Условие прочности при кручении ................................ 113 Пример 18 .................................................................................. 113 14.2. Перемещения при кручении валов ............................... 116 Пример 19 .................................................................................. 117 5 14.3. Статически неопределимые системы, работающие на кручение ....................................................... 118 Вопросы для самопроверки....................................................... 120 Лекция 15. Виды напряжённого состояния в точке ........... 121 15.1. Плоское напряжённое состояние в точке ..................... 121 Вопросы для самопроверки....................................................... 126 Лекция 16. Сводка схем Декарта для простых видов деформации ............................................ 127 16.1. Подведение итогов за семестр ...................................... 127 Вопросы для самопроверки....................................................... 134 Вопросы для самостоятельной работы ..................................... 134 Библиографический список ................................................... 135 6 ПРЕДИСЛОВИЕ В подготовке специалистов технических университетов «Сопротивление материалов» характеризуется как общеобразовательная дисциплина, на которой основано несколько предметов специального профиля. В свою очередь «Сопротивление материалов» базируется на высшей и прикладной математике, физике, теоретической механике, инженерной графике. Традиционно «Сопротивление материалов» делится на две части. В первой части рассматриваются теоретические основы и простые виды деформации, во второй части – сложные виды деформации, устойчивость сжатых стержней и прочность при динамических нагрузках. Цель данного пособия – сформировать у студента научный способ мышления на примере такой универсальной дисциплины, как «Сопротивление материалов». В качестве метода достижения поставленной цели впервые использована схема решения задач, разработанная Р. Декартом. В этом состоит методическая новизна пособия. Схема Р. Декарта позволяет применить индуктивный метод обучения наиболее наглядно, переходя от простых понятий к сложным математическим выражениям. Содержание пособия основано на многолетнем опыте автора, читающего лекции по сопротивлению материалов с использованием схемы Р. Декарта. Этот опыт показывает, что студенты без затруднений воспринимают и усваивают лекционный материал, касающийся теоретических основ, если им сразу показан путь рассуждений от реального объекта до числа, характеризующего какое-то свойство этого объекта. Студентам рекомендуется при использовании пособия обратить внимание на логические связи, представленные в таблицах. Усвоение логических связей способствует запоминанию формул и развитию навыков практических вычислений. 7 ЛЕКЦИЯ 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТЕРЖНЯ Любая прикладная наука, основанная на математике, представляет собой систематизированное движение мысли от реального объекта до числа, характеризующего какое-то свойство объекта. Наиболее полно это движение мысли обозначил французский учёный Рене Декарт (1596–1650) в своей схеме решения задач. Схема состоит из трёх пунктов∗. 1) Задачи любого вида сводятся к математической задаче. 2) Математическая задача любого вида сводится к алгебраической задаче. 3) Любая алгебраическая задача сводится к решению одного уравнения. Первый пункт отражает начальное движение мысли от реального объекта через принятые допущения до математической модели. Свойства математической модели записываются с помощью дифференциальных или интегральных уравнений. Эти уравнения и составляют математическую задачу. Второй пункт подразумевает применение методов решения дифференциальных или интегральных уравнений. В результате решения получается несколько или одно алгебраическое уравнение. Третий пункт сформулирован неудачно, логичнее следующий вариант: любая алгебраическая задача сводится к арифметической задаче, т. е. вычисляется одно или несколько чисел, характеризующих свойства объекта. Схема Декарта неприменима в гуманитарных науках или медицине, но физические науки точно следуют ей. Об этом иными словами сказал Иммануил Кант (1724–1804): «В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней математики». Схема Декарта с исправленным третьим пунктом отвечает на вопрос «Зачем это надо?» на любой стадии изучения науки, ∗ 8 Пойа Д. Математическое открытие. М., 1976. 448 с. поэтому в курсе лекций пояснения основных действий повторяют схему Декарта. 1.1. Факторы, влияющие на прочность конструкции, и их идеализация Сопротивление материалов – это наука о прочности, жёсткости и устойчивости стержневых конструкций. Уже в этом начальном определении используются понятия, имеющие точный физический смысл. Однако формулировать понятия прочности или стержня в начале изложения материала невозможно, потому что в этих формулировках используются другие, ещё не введённые определения. В связи с этим пока приходится использовать бытовые представления о прочности, жёсткости, устойчивости, стержне, сформировавшиеся у любого человека в результате какого-то жизненного опыта. Эти представления сводятся к следующему. 1) Прочность – способность материала сопротивляться разрушению под действием нагрузки. 2) Жёсткость – способность конструкции сопротивляться деформации под действием нагрузки. 3) Устойчивость – способность конструкции сохранять заданное положение равновесия под действием нагрузки. 4) Стержень – тело, у которого один размер (длина) значительно больше поперечных размеров. Несмотря на свой упрощённый характер, эти определения позволяют начать анализ задачи сопротивления материалов. Наиболее простым для понимания является понятие прочности, поэтому дальнейшее изложение основано на анализе прочности. Простые рациональные рассуждения приводят к выводу о том, что прочность конструкции зависит от четырёх факторов: нагрузки, вида закрепления (опоры), геометрических размеров, свойств материала. Все эти факторы должны быть учтены в ка9 ком-то неизвестном пока уравнении, из которого будет определяться величина, характеризующая прочность. Из опыта решения математических и физических задач известно, что в уравнения входят так называемые абстрактные величины, которые получаются из реальных объектов с помощью идеализации. Следовательно, факторы, влияющие на прочность, также должны быть идеализированы. Нагрузка и закрепление конструкции уже идеализированы по курсу теоретической механики. Результаты идеализации представлены в виде абстрактных видов нагрузки и опор. Нагрузки Сосредоточенная сила F (кН). Сосредоточенный момент M (кНм). Равномерно распределённая нагрузка q (кН/м). Другие виды нагрузок в курсе лекций не рассматриваются. Опоры Подвижный шарнир Одна реакция Неподвижный шарнир Две реакции Три реакции Жёсткая заделка (защемление) 10 Идеализация геометрических размеров основана на представлении о стержне как вытянутом теле, у которого длина значительно больше других размеров. Отношение малых размеров к длине укладывается на отрезке 1/20–1/5. Эти границы приняты приблизительно, исходя из опыта расчётов. Если отношение размеров меньше 1/20, то тело рассматривается в виде длинной нити (трос), работающей только на растяжение. Если отношение размеров больше 1/5, то тело называется массивом (например, плотина). Расчёт массивов сложнее расчёта стержней и в задачу сопротивления материалов не входит. Схема стержня с обозначениями новых геометрических понятий показана на рис. 1.1. Продольная ось стержня проходит через центры тяжести поперечных сечений и является координатной осью х. Продольная ось перпендикулярна плоскости поперечного сечения. Тело, представленное на рис. 1.1, иногда называется брусом, однако чаще применяется исходное название – стержень. Продольная линия Поперечное сечение x Рис. 1.1. Схема стержня Наиболее сложной является идеализация свойств материала. Очевидно, что в расчёте невозможно учесть наличие пор и трещин, т. к. их распределение в материале неизвестно и таких распределений бесчисленное множество. В связи с этим материал наделяется свойством сплошности. Слово «сплошность» относится к категории научного сленга, т. к. в орфографическом 11 словаре русского языка этого слова нет. Тем не менее термин «сплошность» применяется в научной литературе и правильно отражает суть рассматриваемого свойства материала. Конструкция является прочной, если обеспечена прочность в любой точке объёма. Но произвести расчёт прочности для всех точек объёма тела невозможно, поэтому необходимо ограничиться в общем случае несколькими особыми точками. Тогда материал должен обладать однородностью – свойства материала во всех точках объёма одинаковы. Кроме того, свойства материала в точке по всем направлениям должны быть одинаковыми, потому что невозможно учесть в расчёте бесчисленное множество разных направлений. Такое свойство материала называется изотропностью. Свойства сплошности, однородности и изотропности позволяют сделать следующее заключение: если прочность обеспечена в особых точках, то вся конструкция является прочной. Поэтому определение положения особых точек и величин, характеризующих прочность в этих точках, является одной из основных задач сопротивления материалов. 1.2. Внутренние силы и внутренние усилия Для введения величины, характеризующей прочность, рассматриваются силы взаимодействия отдельных точек материала друг с другом. Эти силы называются внутренними силами. Они показаны на рис. 1.2. Чтобы выявить внутренние силы, применяется метод сечений, рассмотренный в курсе теоретической механики. На рис. 1.2 показана одна часть рассечённого стержня. Другая часть отброшена, и её действие на оставшуюся часть заменяется внутренними силами Si. В сечении действует бесчисленное множество внутренних сил, которые по теореме теоретической механики приводятся к главному вектору и главному вектору-моменту. 12 Главный вектор и главный вектор-момент в свою очередь заменяются шестью величинами: тремя проекциями главного вектора N, Qy, Qz и тремя проекциями главного вектора-момента Mx, My, Mz (рис. 1.3). Fi Внешние силы Si Поперечное сечение x Рис. 1.2. Система внутренних сил Si в поперечном сечении у My Qy N x z Qz Mx Mz Рис. 1.3. Внутренние усилия в поперечном сечении Проекции, показанные на рис. 1.3, называются внутренними усилиями. В учебниках встречается название – внутренние силовые факторы, однако это название слишком формализовано и не отражает физического смысла данных усилий. Каж13 дое внутреннее усилие имеет своё название. Проекции главного вектора названы в соответствии с их направлением. N – продольная сила (она действует вдоль оси стержня). Qy – поперечная сила, параллельная оси y. Qz – поперечная сила, параллельная оси z. Внутренние усилия Qy, Qz названы поперечными силами, потому что они действуют в плоскости поперечного сечения. Проекции главного вектора-момента названы в соответствии с тем видом деформации, который они вызывают. Mx – крутящий момент (этот момент закручивает стержень относительно продольной оси x). My – изгибающий момент относительно оси y (этот момент изгибает стержень в плоскости xz). Mz – изгибающий момент относительно оси z (этот момент изгибает стержень в плоскости xy). Замена бесконечно большого числа внутренних сил шестью внутренними усилиями – это важный шаг, упрощающий математическую модель конструкции. При известных внешних силах шесть внутренних усилий определяются из шести уравнений статики. Можно ли по величине внутренних усилий оценивать прочность конструкции? Напрашивается отрицательный ответ хотя бы потому, что вариантов внешней нагрузки для одной конструкции достаточно много. Поэтому для оценки прочности материала используется другая величина – напряжения. 1.3. Напряжения Для характеристики состояния материала в точке вводится понятие напряжения. Действие внутренней силы в точке заменяется средним напряжением. pср = ΔS / ΔA, (1.1) где ΔS – внутренняя сила, действующая на малой площадке сечения; ΔA – площадь малой площадки. 14 Так как материал наделён свойством сплошности, размер площадки можно уменьшать до бесконечно малой величины. Тогда среднее напряжение становится полным напряжением в точке (p). Математически это записывается с помощью знака предела: p = lim ΔS / ΔA. (1.2) ΔA→0 Математическая модель стержня привязана к ортогональной системе координат, поэтому вектор полного напряжения проецируется на оси координат (рис. 1.4). Каждая из проекций имеет своё название. σ – нормальное напряжение (направлено по оси x, т. е. это напряжение нормально к плоскости поперечного сечения). τy – касательное напряжение, параллельное оси у. τz – касательное напряжение, параллельное оси z. Касательные напряжения действуют в плоскости поперечного сечения. у τy τz σ z х Рис. 1.4. Нормальное и касательные напряжения в точке поперечного сечения Вопросы для самопроверки 1. Как производится идеализация реальной конструкции? 2. Чем отличаются внутренние силы и внутренние усилия? 3. Какой фактор влияния на прочность конструкции характеризуют напряжения? 15 ЛЕКЦИЯ 2. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ 2.1. Зависимость между внутренними усилиями и напряжениями В первой лекции было отмечено, что внутренние усилия получаются в результате приведения внутренних сил к главному вектору и к главному вектору-моменту. Но это приведение осуществляется только на теоретическом уровне без математических действий. Если использовать нормальные и касательные напряжения, то через них можно выразить проекции внутренних сил, т. е. внутренние усилия, в точной математической форме. Например, очевидно, что продольная сила выражается через нормальные напряжения. На бесконечно малой площадке с площадью dA действует нормальное напряжение σ . Тогда бесконечно малая продольная сила dN в соответствии с формулой (1.2) равна dN = σdA . Если бесконечно малые силы, действующие в точках поперечного сечения, просуммировать, то получится продольная сила. Суммирование бесконечно большого числа слагаемых выражается определённым интегралом, в данном случае интегралом по площади поперечного сечения. N = ∫ σdA . (2.1) A Аналогично выражаются поперечные силы через соответствующие касательные напряжения. Q y = ∫ τ y dA . (2.2) A Qz = ∫ τ z dA . (2.3) A При определении моментов бесконечно малые внутренние усилия умножаются на плечи, которые равны соответствующим 16 координатам точки (рис. 2.1). Сила σdA имеет плечо у относительно оси z. Тогда момент от этой силы равен dM z = y σ dA . Момент от сил, действующих по всему сечению, выражается через интеграл. M z = ∫ σ y dA . (2.4) A y τ y dA τ z dA z y σdA dA z x Рис. 2.1. Бесконечно малые внутренние усилия в точке Аналогично определяется момент относительно оси у. M y = ∫ σ z dA . (2.5) A Крутящий момент определяется от бесконечно малых поперечных сил, соответствующих касательным напряжениям. M x = ∫ (τ y z − τ z y )dA . (2.6) A Полученные интегральные выражения объединяют четыре фактора, влияющие на прочность конструкции. Внутренние усилия зависят от внешней нагрузки, закрепления конструкции (опор) и длины стержня. Эта зависимость выражается уравне17 ниями равновесия, которые составляются по методу сечений. Графическая совокупность внешней нагрузки, опор и длины стержня называется расчётной схемой конструкции. Влияние на прочность размеров и формы поперечного сечения учитывается интегралом по площади поперечного сечения. С помощью напряжений учитываются свойства материала. Полученные результаты отображает схема, представленная на рис. 2.2. Реальная конструкция Нагрузка Закрепление Геом. размеры Материал Идеализация Идеализация Идеализация Идеализация Схемы опор Длина стержня Расчётная схема конструкции Внутренние усилия Напряжения Схемы нагрузок Размеры поперечного сечения Математическая задача Интегральные выражения Рис. 2.2. Схема идеализации реальной конструкции Схема соответствует идее Р. Декарта о том, что любую реальную задачу можно свести к математической задаче, записан18 ной с помощью дифференциальных или интегральных уравнений (первый пункт схемы Декарта). Схема на рис. 2.2 показывает, что на интегральных выражениях (2.1) – (2.6) замыкаются три темы: расчётная схема конструкции и внутренние усилия, геометрические характеристики поперечного сечения, напряжения как характеристика свойств материала. Разбор этих тем целесообразно начать с геометрических характеристик как темы, общей для всего курса сопротивления материалов. 2.2. Геометрические характеристики плоских сечений В качестве геометрических характеристик рассматриваются следующие интегральные зависимости: A = ∫ dA , (2.7) A где А – площадь поперечного сечения; S z = ∫ y dA , (2.8) A где Sz – статический момент относительно оси z; S y = ∫ z dA , (2.9) A где Sy – статический момент относительно оси у; J z = ∫ y 2 dA , (2.10) A где Jz – момент инерции относительно оси z; J y = ∫ z 2 dA , (2.11) A где Jy – момент инерции относительно оси у; 19 J z y = ∫ z y dA , (2.12) A где Jzy – центробежный момент инерции относительно осей z, y. Моменты Jz, Jy для краткости изложения называют осевыми моментами. В названиях геометрических характеристик используется слово «момент», которое будет применяться ещё и для других понятий. Может показаться, что этот термин в сопротивлении материалов употребляется неоправданно часто. Однако логика в использовании слова «момент» для определения геометрических характеристик есть, и заключается она в следующем: если площадь dA условно принять за силу, то координата точки является плечом относительно соответствующей оси, а произведение «силы на плечо» ydA или zdA – это момент (статический момент). Такая же механическая аналогия используется и для моментов инерции. Если принять статический момент за силу, то произведение y(ydA) или z(ydA) – это снова момент (момент инерции). Ось х проходит через центр тяжести поперечного сечения, следовательно, оси z, y также должны быть центральными. В связи с этим формулируется общее правило для геометрических характеристик: в расчётах на прочность используются геометрические характеристики относительно центральных осей. Вычисление геометрических характеристик начинается с определения координат центра тяжести поперечного сечения. 2.3. Зависимость между статическими моментами относительно параллельных осей координат Зависимость между статическими моментами относительно параллельных осей используется для получения формул, по которым вычисляются координаты центра тяжести. Для установления зависимости рассматривается плоская фигура, представленная на рис. 2.3. 20 y1 a y2 dA y2 z2 y1 z2 b z1 z1 Рис. 2.3. Координаты точки в двух системах координат На рис. 2.3 изображена бесконечно малая площадка поперечного сечения с площадью dA. Зависимость между координатами выражается простыми формулами: z2 = z1 − a; y2 = y1 − b . Тогда статический момент относительно z2 выражается через статический момент относительно оси z1 : S z2 = ∫ y2 dA ⇒ S z2 = ∫ ( y1 − b)dA ⇒ S z2 = ∫ y1dA − b ∫ dA ⇒ A A A ⇒ S z2 = S z1 − bA . A (2.13) Аналогично получается формула для S y2 . S y2 = S y1 − aA . (2.14) В формуле (2.13) величину b можно подобрать так, что статический момент S z2 будет равен нулю. Вводится определение: ось, относительно которой статический момент равен 21 нулю, называется центральной (т. е. проходит через центр тяжести сечения). Координата центра тяжести определяется по формуле, которая следует из условия Отсюда S z2 = 0 ⇒ S z1 − bA = 0 . (2.15) b = yc = S z1 / A . (2.16) В выражении (2.16) расстояние между горизонтальными осями b заменено обозначением координаты центра тяжести ус. Аналогично получается: a = zc = S y1 / A . (2.17) Выражения (2.16), (2.17) показывают, что для вычисления координат центра тяжести выбираются произвольные оси координат z1, y1, относительно произвольных осей вычисляются статические моменты, и эти моменты делятся на площадь. Если поперечное сечение представляет собой сложную фигуру, то вычисление статических моментов – не такая простая задача, как вычисление площадей. 2.4. Вычисление статических моментов сложных фигур Любая величина, вычисляемая через определённый интеграл, может определяться как сумма интегралов, вычисленных по отдельным областям, составляющим сложную фигуру. Тогда статический момент всей фигуры равен сумме статических моментов простых фигур, на которые разделяется сложная фигура поперечного сечения. Статические моменты простых фигур вычисляются по формулам, которые следуют из выражений (2.16), (2.17): S z = yc A , 22 (2.18) S y = zc A . (2.19) Формулы (2.18), (2.19) показывают, что статический момент можно вычислить как произведение площади и соответствующей координаты центра тяжести. Таким образом, простой фигурой при вычислении статических моментов является фигура, для которой известно, как вычислять площадь и координаты центра тяжести. Для облегчения расчётов геометрические характеристики простых фигур представлены в таблице, имеющейся в учебниках и справочниках по сопротивлению материалов. Теперь можно сформировать процедуру вычисления статических моментов сложной фигуры. 1) Сложная фигура разделяется на n простых фигур. 2) Выбирается произвольная система координат z, y. 3) Вычисляются площади простых фигур Ai. 4) Вычисляются координаты центра тяжести простых фигур z ci , y ci . 5) Вычисляются статические моменты сложной фигуры по формулам: n S z = ∑ y ci Ai ; (2.20) S y = ∑ z ci Ai . (2.21) i =1 n i =1 2.5. Вычисление координат центра тяжести сложной фигуры После подстановки формул (2.20), (2.21) в выражения (2.16), (2.17) получается: n n i =1 i =1 z c = ∑ z ci Ai / ∑ A i ; (2.22) 23 n n i =1 i =1 y c = ∑ y сi A i / ∑ A i . (2.23) Порядок использования формул (2.22), (2.23) представлен в примере 1. Вопросы для самопроверки 1. К каким уравнениям сводится математическая задача сопротивления материалов? 2. Почему геометрические характеристики плоских сечений, кроме площади, называют моментами? 3. Чему равен статический момент относительно центральной оси? 4. С чего начинается вычисление координат центра тяжести любой фигуры? 24 ЛЕКЦИЯ 3. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ФИГУР Пример 1. Сложная фигура показана на рис. 3.1. 4 см 7 см 5 см Полуокружность Рис. 3.1. Схема сложной фигуры Сложная фигура разделяется на простые фигуры, как показано на рис. 3.2. Простые фигуры нумеруются. Произвольные оси координат выбираются так, чтобы было удобно вычислять координаты центров тяжести простых фигур (см. рис. 3.2). Во избежание ошибок по невнимательности координаты центров тяжести и площади простых фигур заносятся в таблицу. 25 у 5 см 4 см zc2 7 см 2 •• yc1 1 yc2 • z c1 • yc3 z •• zc3 3 Полуокружность Рис. 3.2. Разделение сложной фигуры на простые Координаты центров тяжести и площади простых фигур Фигура № 1 Фигура № 2 Фигура № 3 zc1 (см) –1,(6) zc 2 (см) 2 zc 3 (см) –0,5 yc1 (см) 2,(3) yc 2 (см) 3,5 yc 3 (см) –1,91 A1(см2) 17,5 A2 (см2) 28 A3 (см2) 31,81 Вычисление координат и площадей производится по формулам, приведённым в справочных таблицах простых фигур. Например, для полукруга y с3 = 2 D / 3π, A3 = πD 2 / 8 , где D – диаметр. 26 Данные из таблицы подставляются в формулы (2.22), (2.23). (−1, (6))17,5 + 2 ⋅ 28 + (−0,5)31,81 zc = = 0,14136 . 17,5 + 28 + 31,81 2, (3)17, 5 + 3, 5 ⋅ 28 + (−1,91)31,81 yc = = 1. 17,5 + 28 + 31,81 Таким образом, координаты центра тяжести определены, т. е. определено положение начала координат центральных осей. 3.1. Вычисление моментов инерции простых фигур Интегрирование при использовании формул (2.10) – (2.12) является достаточно простым математическим действием, если дифференциал площади dA без затруднений выражается через дифференциалы аргументов dz, dy. Например, для прямоугольника, показанного на рис. 3.3, dA = bdy. Формула (2.10) принимает вид h/2 J z = ∫ by 2 dy . −h / 2 После взятия интеграла получается J z = 12 . 3 12 . Для контроля правильности вычислений следует обратить внимание на то, что в формулах (2.10), (2.11) подынтегральные функции положительны (координата в квадрате), следовательно, моменты инерции Jz, Jy всегда положительны. Центробежный момент инерции вычисляется как интеграл по площади от y dy dy hb 3 y Аналогично J y = bh h z b Рис. 3.3. Прямоугольник 27 произведения координат (формула (2.12)), поэтому центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Ноль получается, если интеграл по площади с положительным произведением координат (первый и третий квадранты системы координат) равен интегралу по площади с отрицательным произведением (второй и четвёртый квадранты). Для центральных осей координат равенство интегралов упрощается до равенства площадей в положительных и отрицательных квадрантах произведения координат, если хотя бы одна из осей является осью симметрии, т. е. из анализа формулы (2.12) следует, что центробежный момент инерции симметричных фигур относительно центральных осей симметрии равен нулю. В соответствии с этим правилом для прямоугольника, изображённого на рис. 3.3, J zy = 0. Аналогичное интегрирование проведено для других простых фигур, и результаты сведены в таблицу геометрических характеристик. Если фигура сложная, то возможен способ суммирования моментов инерции простых фигур по аналогии с вычислением статических моментов сложных фигур. Но для сложения моментов инерции необходимо знать зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей. 3.2. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей Рассматривается фигура, представленная на рис. 2.3. Используется следующая форма зависимости между координатами: z1 = z2 + a, y1 = y2 + b . Тогда в процессе подстановки получается следующая зависимость: J z 1 = ∫ y12 dA ⇒ J z 1 = ∫ ( y2 + b) 2 dA ⇒ A 28 A ⇒ J z1 = ∫ y22dA + 2b ∫ y2 dA + b 2 ∫ dA ⇒ A A A 2 ⇒ J z 1 = J z 2 + 2bS z 2 + b A . Если ось z2 – центральная, то S z2 = 0 . Тогда окончательно получается: J z = J z0 + b 2 A . (3.1) В выражении (3.1) обозначение z1 заменяется обозначением z; аналогично z2 → z0 (z0 – обозначение центральной оси). Аналогично получаются формулы J y = J y 0 + a2 A . (3.2) J z y = J z 0 y 0 + abA . (3.3) В формулах (3.1), (3.2) a, b – это расстояния между центральными и нецентральными осями. Из формул (3.1), (3.2) следует, что при удалении оси от центра тяжести момент инерции увеличивается. Центробежный момент инерции в соответствии с выражением (3.3) при удалении осей от центра тяжести увеличивается, если произведение ab положительно, и уменьшается, если произведение ab отрицательно. 3.3. Вычисление моментов инерции сложных фигур относительно центральных осей Принцип суммирования моментов инерции реализуется в следующей последовательности. 1) Определяются координаты центра тяжести сложной фигуры (zc, yc) и проводятся центральные оси всего сечения (z0, y0) (см. пример 1). 2) Обозначаются центральные оси каждой фигуры (z0i, y0i). 29 3) Вычисляются расстояния (ai, bi) между центральными осями сложной фигуры и центральными осями каждой простой фигуры. Формулы для вычисления расстояний выводятся при рассмотрении рис. 3.4. y0i y0 y Простая фигура z0i • bi zci ai yc zc z0 yci • z Рис. 3.4. Координаты центров тяжести и расстояния между осями На рис. 3.4 показано, как соотносятся расстояния между центральными осями и координатами центров тяжести. ai = zci − zc ; bi = yci − yc . (3.4) 4) Вычисляются моменты инерции относительно центральных осей простых фигур J z0i , J y0i , J z0i y0i . Формулы для вычисления моментов инерции выбираются из таблицы геометрических характеристик простых фигур. 5) Вычисляются моменты инерции сложной фигуры по формулам, полученным с помощью выражений (3.1), (3.2), (3.3). 30 n J z0 = ∑ ( J z 0 i + bi2 A i ) . (3.5) J y0 = ∑ ( J y0 i + ai2 Ai ) . (3.6) J z0 y0 = ∑ ( J z0 i y0i + aibi A i ) . (3.7) i =1 n i =1 n i =1 Расчёт можно предельно формализовать, подставив выражения (3.4) в формулы (3.5), (3.6), (3.7). В этом случае предварительный расчёт сводится к выполнению пункта 4. Пункты 2 и 3 необязательны для вычисления моментов инерции сложной фигуры. n J z0 = ∑ ( J z0i + ( yci − yc )2 Ai ) . (3.8) J y0 = ∑ ( J y0i + ( zci − zc )2 Ai ) . (3.9) i =1 n i =1 n J z0 y0 = ∑ ( J z0 i y0 i + ( zci − zc )( yci − yc ) Ai ) . (3.10) i =1 Вопросы для самопроверки 1. Как вычисляются моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей, параллельных сторонам прямоугольника? 2. Можно ли при определении моментов инерции сложных фигур вычислять не сумму, а разность моментов инерции простых фигур? 31 ЛЕКЦИЯ 4. ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ Практические вычисления представлены в примере 2. Пример 2. Рассчитана фигура, рассмотренная в примере 1. Во избежание ошибок по невнимательности полезно выполнить чертёж сечения (рис. 4.1) с указанием центральных осей всего сечения и центральных осей каждой простой фигуры, т. е. выполнить пункт 2 последовательности вычисления моментов инерции сложной фигуры (см. лекцию 3). y y0 y01 y02 2 y03 • z02 z01 • 1 z0 z yc • z03 • zc 3 Рис. 4.1. Чертёж фигуры с центральными осями Далее выполняется пункт 4. Выписываются формулы для моментов инерции простых фигур относительно центральных осей (рис. 4.2–4.4). 32 y Jz = h z • bh3 hb3 ; Jy = . 36 36 J zy = ± b b 2 h2 72 . Рис. 4.2. Треугольник z h • Jz = y bh3 hb3 ; Jy = . 12 12 J zy = 0 . b Рис. 4.3. Прямоугольник yc y yc = z • D 2D . 3π J z = 0,11R 4 ; J y = R = D/2; πD 4 . 128 Jzy = 0. Рис. 4.4. Полукруг Для каждой фигуры по приведённым формулам вычисляются моменты инерции в соответствии с заданными размерами. При выборе табличной формулы необходимо сопоставлять расположение фигуры в таблице и в заданном сечении. Результаты вычислений заносятся в таблицу. 33 Моменты инерции простых фигур Фигура № 1 J z01 , см4 Фигура № 2 47,64 4 J y01 , см 24,3 4 J z01 y01 , см 17 J z02 , см4 Фигура № 3 114,33 4 J y02 , см 37,33 4 J z02 y02 , см J z03 , см4 45,1 4 J y03 , см 161,03 4 J z03 y03 , см Значения моментов инерции в таблице и результаты примера 1 ( yci ; yc ; zci ; zc ) подставляются в формулы (3.8) – (3.10) и вычисляются моменты инерции всего сечения: J z0 = 682,55 см4; J y0 = 389,26 см4; J z0 y0 = 164,44 см4. 4.1. Зависимость между моментами инерции при повороте осей Через центр тяжести поперечного сечения можно провести бесчисленное множество координатных осей. Для расчётов на прочность важно знать, какое положение занимают центральные оси, относительно которых моменты инерции имеют экстремальные значения, т. е. один момент инерции является максимальным, а второй – минимальным. Положение этих особых осей координат выявляется при рассмотрении зависимости между моментами инерции относительно осей исходных и повёрнутых на угол α (рис. 4.5). Зависимость между моментами инерции при повороте осей может быть установлена на основе выражений (2.10) – (2.12) путём непосредственных преобразований. Исходными для тождественных преобразований являются формулы u = z cos α + y sin α; v = y cos α − z sin α . (4.1) Формулы (4.1) получаются на основе комбинации длин отрезков, показанных на рис. 4.5. 34 y v z u • y cos α u y v z cos α z sin α α z y sin α Рис. 4.5. Координаты произвольной точки в исходной и повёрнутой системах координат Из формул (2.10) – (2.12) с использованием (4.1) получается: J u = J z cos2 α + J y sin 2 α − J zy sin(2α) ; (4.2) J v = J z sin 2 α + J y cos2 α + J zy sin(2α) ; (4.3) 1 J uv = J zy cos 2α + ( J z − J y ) sin(2α) . 2 (4.4) Вопрос о том, при каком угле α моменты инерции Ju, Jv принимают экстремальные значения, решается по известной процедуре математического анализа: берётся производная, приравнивается нулю, из полученного уравнения определяется аргумент экстремального значения функции. Исследование функций Ju, Jv на экстремум даёт один и тот же результат для определения α: 2 J zy tg(2α) = . (4.5) Jy − Jz Эта же формула получается из условия Juv = 0. Таким образом, по формуле (4.5) определяется особое положение централь35 ных осей, которые называются главными осями. Их отличие от других центральных осей подчёркивается в определении: главными центральными осями называются центральные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения (один максимальный, другой минимальный). Моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными моментами инерции. По формуле (4.5) вычисляется tg(2α) , затем угол 2α и, наконец, угол поворота α, определяющий положение главных центральных осей. Главные моменты инерции можно вычислить не только по формулам (4.2), (4.3). Моменты инерции – это элементы матрицы I. ⎛ J z J zy ⎞ I =⎜ . ⎜ J zy J y ⎟⎟ ⎝ ⎠ В задаче на собственные значения для матрицы I решается уравнение (J z − J ) J zy = 0. J zy (J y − J ) После раскрытия определителя получаются формулы для вычисления главных моментов инерции. J max = J min = Jz + Jy 2 Jz + J y 2 2 + ⎛ Jz − J y ⎞ 2 ⎜ ⎟ + J zy . 2 ⎝ ⎠ − ⎛ Jz − Jy ⎞ 2 ⎜ ⎟ + J zy . ⎝ 2 ⎠ (4.6) 2 (4.7) По формулам (4.6), (4.7) можно вычислить значения главных моментов, но важно знать не только величину главного мо36 мента, но и к какой оси он относится. Обе эти задачи решаются по формулам (4.2), (4.3), а формулы (4.6), (4.7) используются как проверочные. Кроме того, линейные преобразования матрицы не изменяют величину её определителя, поэтому справедливо уравнение J z J zy J = max . J zy J y J min После раскрытия определителей получается: 2 J max ⋅ J min = J z J y − J zy . (4.8) При линейных отображениях след матрицы не изменяется, поэтому справедливо уравнение J z + J y = J max + J min . (4.9) Выражения (4.8), (4.9) используются для проверки вычислений. Пример 3. Рассчитана сложная фигура, представленная в примерах 1, 2. В примере 2 вычислены моменты инерции относительно центральных осей: J z0 = 682,55 см4; J y0 = 389, 26 см4; J z0 y0 = 164, 44 см4. После подстановки этих значений в (4.5) получается tg(2α) = –1,121. Угол 2α равен 2α = arctg(–1,121) = = 48,274°. Тогда α = –24,137°. Главные центральные оси повёрнуты относительно осей z0, y0, как показано на рис. 4.6. Тригонометрические функции угла α равны: sin2α = 0,1672; cos2 = 0,8328; sin(2α) = –0,7463. Эти значения функций подставляются в (4.2), (4.3). Главные моменты инерции равны: Ju = 756,24 см4; Jv = 315,57 см4. Значения главных моментов, вычисленных по формулам (4.6), (4.7): Jmax = 756,23 см4, Jmin = 315,57 см4. Проверка вычислений по выражениям (4.8), (4.9). 37 J ⋅J = J J − J z20 y0 . max min z0 y0 238643,5 238648,9 J + J y0 = J max + J min .  z0 1071,8 1071,81 y y0 v 2 1 z0 • α z u 3 Рис. 4.6. Главные центральные оси поперечного сечения Вопросы для самопроверки 1. Какие оси координат называются главными центральными осями? 2. Как проверить вычисление моментов инерции сложных фигур относительно произвольных центральных осей? 38 ЛЕКЦИЯ 5. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ 5.1. Растяжение-сжатие По общему определению при простом виде деформации в поперечном сечении действует только одно внутреннее усилие. Тогда растяжение или сжатие стержня определяется следующим образом: растяжение-сжатие – это такой простой вид деформации, при котором в поперечном сечении действует только продольная сила N. Во второй лекции получена зависимость (2.1) N = ∫ σdA . A Теперь для решения задачи о прочности необходимо взять интеграл. Из курса математики известно, что для взятия интеграла должна быть известна подынтегральная функция, т. е. σ( А) , однако в сопротивлении материалов нет дополнительных уравнений, позволяющих определить эту функцию. Если задача не решается математически, то её решают экспериментально. В лабораторных условиях установлено, что точки на поверхности стержня, находящиеся на контуре одного и того же поперечного сечения, перемещаются одинаково. Этот факт устанавливается прямыми замерами перемещений точек с помощью специальных приборов. Перемещения точек внутри стержня замерить невозможно, поэтому остаётся только один вариант – предположить, что точки поперечного сечения внутри тела перемещаются так же, как точки на поверхности, т. е. одинаково. Другими словами, при деформации растяжения-сжатия поперечное сечение остаётся плоским, перемещаясь параллельно самому себе вдоль продольной оси стержня. Таким образом, сформулировано допущение о плоских сечениях – сечение, плоское до деформации, остаётся плоским после деформации. Впервые допущение о плоских сечениях ввёл Даниил Бернулли (1700–1782). 39 Естественно предположить, что напряжения распределяются по площади поперечного сечения так же, как перемещения. Тогда согласно допущению о плоских сечениях σ( A) = const . Формула (2.1) легко интегрируется. N = ∫ σdA ⇒ N = σ ∫ dA ⇒ N = σA . A A Отсюда получается формула для вычисления нормальных напряжений при растяжении-сжатии. N σ= . (5.1) A Интегральная формула (2.1) заменяется алгебраической формулой (5.1), т. е. сделан шаг по схеме Р. Декарта: математическая задача заменяется алгебраической. Формула (5.1) позволяет вычислить величину нормальных напряжений от заданной нагрузки, т. к. от заданной нагрузки и вида закрепления стержня зависит величина продольной силы. Тогда следующий шаг в решении задачи о прочности – это определение продольных сил, исходя из заданной расчётной схемы конструкции. 5.2. Определение продольных сил Любые внутренние усилия, в том числе и продольные силы, определяются методом сечений, известным из курса теоретической механики. Последовательность применения метода сечений состоит в следующем. 1) После определения реакций опор конструкция мысленно разделяется на две части. 2) Одна из частей отбрасывается (обычно отбрасывается более сложная, громоздкая часть). 3) Действие отброшенной части на оставшуюся часть заменяется внутренними усилиями. 40 4) Внутренние усилия определяются из уравнений статики. Последовательность метода сечений показана на рис. 5.1. Рассматривается стержень, загруженный продольной внешней нагрузкой, которая вызывает деформацию растяжения или сжатия. Fn II часть 1 2 Fj Мысленное сечение I часть F1 Fi 3 II часть Fn Fj Первая часть отброшена Fn II часть 4 N II часть Fn Fj Fj N Действие отброшенной части заменяется силой N x Уравнение статики ∑ Fx = 0 Рис. 5.1. Последовательность метода сечений Многие материалы не одинаково работают на растяжение и на сжатие, поэтому при вычислении продольной силы необходимо знать не только величину силы, но и её знак. Причём этот знак не связан с направлением оси х, знак продольной силы должен характеризовать вид деформации – растяжение или сжатие. Принято, что растягивающая сила положительна, а сжимающая сила отрицательна, как показано на рис. 5.2. 41 N N + + N – N – Рис. 5.2. Правило знаков для продольных сил Как видно на рис. 5.2, растягивающая (положительная) продольная сила направлена от сечения, а сжимающая (отрицательная) продольная сила направлена в сторону сечения. Важно подчеркнуть, что принятое правило знаков для продольных сил не связано с правилами знаков, установленных в теоретической механике при составлении уравнений равновесия. Растягивающая продольная сила в уравнении статики может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от принятого направления оси х. Некоторые особенности определения продольных сил выявляются на примерах. Пример 4. Рассчитана конструкция, показанная на рис. 5.3. F1 = 10 кН F2 = 30 кН F3 = 40 кН F4 = 10 кН R I II III IV Рис. 5.3. Расчётная схема стержня с осевой нагрузкой Конструкция имеет четыре участка, которые образуют точки приложения сил и крайние сечения. На каждом участке продольная сила определяется методом сечений, сечения по участкам показаны на рис. 5.3 волнистыми линиями. Участок I. Рассматривается равновесие правой отсечённой части, левая часть отброшена, чтобы не вычислять реакцию R. В соответствии с расчётной схемой (рис. 5.4) составляется уравнение равновесия. 42 ∑F x = 0 ⇒ − N1 + F1 − F2 + F3 − F4 = 0 . Отсюда N1 = F1 − F2 + F3 − F4 . N1 F1 F2 (5.2) F3 F4 x Рис. 5.4. Расчётная схема первого участка После подстановки численных значений сил получается N1 = 10 кН. Расчётная схема второго участка показана на рис. 5.5. F2 N2 F3 F4 x Рис. 5.5. Расчётная схема второго участка Уравнение статики: ∑F x = 0 ⇒ − N 2 − F2 + F3 − F4 = 0 . Отсюда N 2 = − F2 + F3 − F4 . Численное значение: N2 = 0 кН. Третий участок (рис. 5.6). F3 N3 (5.3) F4 x Рис. 5.6. Расчётная схема третьего участка 43 ∑F x = 0 ⇒ − N 3 + F3 − F4 = 0 . N3 = F3 − F4 . (5.4) N3 = 30 кН. Четвёртый участок (рис. 5.7). F4 N4 x Рис. 5.7. Расчётная схема четвёртого участка ∑F x = 0 ⇒ − N 4 − F4 = 0 . N 4 = − F4 . (5.5) N4 = – 10 кН. На расчётных схемах участков продольная сила направлена от сечения, т. е. принимается положительной. Расчёт показал, что на четвёртом участке продольная сила отрицательна, т. е. сжимающая. Анализ выражений (5.2) – (5.5) показывает, что знаки сил Fi соответствуют правилу знаков, принятому для продольной силы. Силы, направленные от сечения, в этих выражениях положительны, а силы, направленные в сторону сечения, отрицательны. Тогда составление уравнений статики ( ∑ Fx = 0 ) является излишним. Проще сразу составлять выражение для определения продольной силы. n N = ∑ Fxi , (5.6) i =1 где n – количество сил F i, действующих на отсечённую часть. Формула (5.6) выражает общее правило определения продольных сил: продольная сила равна сумме проекций на ось х всех сил, действующих на отсечённую часть конструкции; 44 проекции сил входят в сумму со знаками, соответствующими правилу знаков для продольных сил. Результаты определения продольных сил оформляются в виде графика. В сопротивлении материалов графики внутренних усилий или других величин называются эпюрами (в именительном падеже – эпюра). По результатам примера 4 получается эпюра, представленная на рис. 5.8. Эпюра строится как обычный график на продольной оси конструкции. Ось конструкции может быть ломаной, тогда эпюра строится на ломаной оси. Знаки усилий проставляются внутри графика. Заголовок эпюры проставляется рядом с эпюрой – эп. N (кН). В заголовке указывается размерность продольных сил. Таким образом, эпюра продольных сил – это график, показывающий, как изменяется продольная сила по длине конструкции. F1 = 10 кН F2 = 30 кН F3 = 40 кН F4 = 10 кН R I 10 II III IV 30 + эп. N (кН) – 10 Рис. 5.8. Эпюра продольных сил Эпюра показывает, что при достаточно сложной нагрузке некоторые участки могут не деформироваться (второй участок). Вертикальные скачки на эпюре возникают в сечениях с приложенными сосредоточенными силами. Величина скачка равна приложенной силе. 45 Существует ряд стержневых конструкций, в которых для каждого стержня продольная сила и площадь сечения постоянны (например, фермы или конструкции с подвесками). В таких простых случаях продольные силы определяются не по формуле (5.6), а из уравнений равновесия. Вопросы для самопроверки 1. Какой вид деформации называется растяжением-сжатием? 2. Чему равняется продольная сила по методу сечений? 3. Что показывает эпюра продольных сил? 46 ЛЕКЦИЯ 6. ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ 6.1. Определение напряжений от заданной нагрузки Для оценки прочности конструкции определяются максимальные напряжения. В соответствии с формулой (5.1) максимальные нормальные напряжения равны: ⎛N⎞ σmax = ⎜ ⎟ . (6.1) ⎝ A ⎠ max Если по длине стержня площадь поперечного сечения не изменяется (A = const), то максимальные нормальные напряжения определяются по формуле N σmax = max . (6.2) A Пример 5. Рассчитан стержень, представленный в примере 4. Пусть площадь поперечного сечения по всей длине стержня равна А = 5 см2 (в сопротивлении материалов геометрические характеристики поперечных сечений измеряются в смn, где n = 2, …, 4). Тогда максимальные напряжения определяются по формуле (6.2). На эп. N показано (см. рис. 5.8), что максимальная продольная сила равна N max = 30 кН. В результате вычислений напряжения должны измеряться в МПа (МПа = МН/м2), поэтому килоньютоны (кН) должны переводиться в меганьютоны (МН), а сантиметры квадратные переводятся в метры квадратные. Для перевода размерностей используется число «десять» в соответствующей степени, как показано в следующем примере вычислений. 30 ⋅10−3 σmax = = 60 МПа. 5 ⋅10−4 Если стержень имеет переменную площадь поперечного сечения, то для определения максимальных напряжений строится эпюра нормальных напряжений по длине стержня. 47 Пусть по участкам площади поперечных сечений равны: А1 = 2 см2; А2 = 2 см2; А3 = 8 см2; А4 = 4 см2. Такой стержень называется ступенчатым. Напряжения вычисляются по формуле (5.1) ( σ = N / A ). Результаты вычислений показаны на эпюре нормальных напряжений (рис. 6.1). F1 А1 F2 F3 А2 F4 А4 А3 I 50 + II III IV 37,5 эп. σ (МПа) – 25 Рис. 6.1. Эпюра нормальных напряжений Эпюра напряжений показывает, что в общем случае при переменной площади поперечного сечения максимальные напряжения могут действовать не в том сечении, где действует максимальная продольная сила. Формула (6.1) позволяет определять максимальные нормальные напряжения, действующие на площадках поперечного сечения. Необходимо проверить, не возникают ли в наклонных сечениях напряжения большие, чем напряжения в поперечных сечениях. Для такой проверки исследуются напряжения в точке, действующие по различным сечениям. Комплекс напряжений в точке называется напряжённым состоянием в точке. 48 6.2. Напряжённое состояние в точке при растяжении-сжатии Рассматривается элемент стержня с нормальными напряжениями на торцевых поперечных сечениях (рис. 6.2). α σ σ Рис. 6.2. Элемент стержня при растяжении В пределах элемента проводится наклонное сечение, как показано на рис. 6.2. Отсечённая часть элемента с наклонным сечением показана на рис. 6.3. σα p α σ p A DА τα Рис. 6.3. Напряжения в точке А по наклонному сечению На рис. 6.3 полное напряжение p в точке А направлено вдоль стержня, как и нормальное напряжение в поперечном сечении. Только это направление полных напряжений по наклонному сечению обеспечивает выполнение уравнения равновесия ∑ Fx = 0 ⇒ pAα − σA = 0 , где А – площадь поперечного сечения, Aα – площадь наклонного сечения. Так как Aα = A / cos α , из уравнения равновесия следует: 49 p = σ cos α . Тогда после проецирования р на нормальное и касательное направления наклонного сечения напряжения σα , τα выражаются через σ по формулам σα = σ cos 2 α , σ τα = sin 2α . 2 (6.3) (6.4) Формула (6.3) показывает, что σαmax = σ , т. е. наибольшие напряжения в точке действуют на площадках поперечного сечения. Формула (6.4) показывает, что ταmax = σ / 2 и максимальные касательные напряжения действуют на площадках наклонного сечения при угле α = 45о. Таким образом, исследование напряжённого состояния в точке показывает, что для расчёта на прочность достаточно определить максимальные нормальные напряжения в поперечном сечении. Величина максимальных напряжений от нагрузки сама по себе не позволяет оценить прочность конструкции. Эта величина должна сравниваться с максимальными напряжениями, которые выдерживает материал. Чтобы определить напряжения, характеризующие прочность материала, проводятся экспериментальные испытания образцов материала с помощью специальных машин, растягивающих или сжимающих образцы. 6.3. Основные механические характеристики материала В процессе передачи растягивающей нагрузки на образец с помощью испытательной машины производятся измерения сил 50 и удлинений стержня (Δl). Результаты измерений оформляются в виде графика, который называется диаграммой. Эксперименты показывают, что различные материалы могут иметь качественно одинаковые диаграммы. По диаграммам растяжения материалы разделяются всего лишь на две группы: пластичные материалы и хрупкие материалы. Диаграмма растяжения пластичного материала (углеродистой стали) представлена на рис. 6.4. σ • σт • • • σп σу σв ε Рис. 6.4. Диаграмма растяжения пластичного материала Ось абсцисс обозначена ε – относительная линейная деформация (ε = Δl/l, где l – начальная длина стержня). На диаграмме отмечены характерные точки, соответствующие предельным значениям напряжений: σ п – предел пропорциональности – наибольшее напряжение, до которого материал деформируется в соответствии с законом Гука (по закону Гука напряжения линейно зависят от деформаций); σ у – предел упругости – наибольшее напряжение, до которого в материале развиваются только упругие деформации (упругими называются деформации, исчезающие после снятия нагрузки); σ т – предел текучести – напряжение, при котором резко увеличиваются пластические деформации без увеличения на51 грузки (пластическими называются деформации, остающиеся после снятия нагрузки); σ в – предел прочности или временное сопротивление – условно наибольшее напряжение в материале как отношение наибольшей силы к первоначальной площади поперечного сечения. Диаграмма растяжения хрупкого материала показана на рис. 6.5. σ σв ε Рис. 6.5. Диаграмма растяжения хрупкого материала Диаграмма на рис. 6.5 показывает, что в хрупких материалах пластические деформации практически отсутствуют. Диаграммы растяжения пластичных и хрупких материалов имеют линейные участки, графически изображающие закон Гука: σ = Eε . Здесь Е – коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости (ввёл Томас Юнг (1773–1829)). По своему физическому смыслу модуль упругости – это напряжение, которое могло бы возникнуть в материале при упругих относительных деформациях ε = 1 , т. е. увеличении длины стержня в два раза (Δl = l). Кроме продольной деформации при растяжении-сжатии возникает поперечная деформация (εп), характеризующая изменение размеров поперечного сечения. В пределах упругих деформаций зависимость между поперечной и продольной дефор52 мациями является линейной: εп = με, где μ – коэффициент Пуассона (Симеон Дени Пуассон (1781–1840)). Модуль упругости Е и коэффициент Пуассона μ называются физическими характеристиками материала, и определяются экспериментально для каждого материала. 6.4. Условие прочности при растяжении-сжатии Результаты экспериментов показывают, что существует два вида деформаций: упругие и пластические. Упругие деформации очень малы и практически не изменяют первоначальные размеры и форму конструкции. Пластические деформации существенно изменяют размеры и форму конструкции ещё до разрушения материала. Для большинства строительных конструкций и механических систем значительное отклонение от первоначальных размеров в процессе эксплуатации не допускается. В связи с этим прочной считается не та конструкция, которая не разрушается, а та, в которой нет пластических деформаций. Контролировать вид деформации можно, устанавливая такую величину максимальных напряжений в материале, при которой развитие пластических деформаций невозможно. Такие напряжения называются допускаемыми. Допускаемые напряжения – это наибольшие напряжения в конструкции, обеспечивающие упругую работу материала. Обозначение допускаемых напряжений – [σ] . Для пластичных материалов допускаемые напряжения определяются по формуле σ [σ] = т , (6.5) n где n – коэффициент запаса прочности, величина которого назначается по нормативным документам в зависимости от класса конструкции. Для хрупких материалов 53 [σ] = σв . n (6.6) Таким образом, чтобы обеспечить упругую работу материала необходимо выполнение условия прочности: максимальные напряжения от нагрузки должны быть меньше или равны допускаемым напряжениям. σ max ≤ [σ] . (6.7) С учётом формулы (6.1) условие прочности принимает вид ⎛N⎞ ≤ [σ ] . ⎜ ⎟ ⎝ A ⎠ max (6.8) Для стержней постоянного сечения с учётом (6.2) условие прочности имеет вид N max ≤ [σ] . A (6.9) Физический смысл условия прочности состоит в том, что под прочностью понимается только упругая работа материала. Если в конструкции появились пластические деформации без разрушения материала, то конструкция считается не прочной. В этом заключается точный инженерный смысл понятия прочности, отличающийся от обыденных представлений, описанных в первой лекции. По своему месту в схеме Декарта условие прочности представляет собой третий пункт, т. е. сводит алгебраическую задачу к арифметической. Имея условие прочности, можно производить арифметические действия – расчёты на прочность. Условие прочности используется в трёх вариантах. 1) Проектировочный расчёт. Задаётся расчётная схема и материал. Определить размеры поперечного сечения. Для участка с постоянными величинами N и A площадь сечения определяется из условия прочности по формуле 54 A≥ N . [σ] (6.10) При известной площади и компоновке сечения определяется геометрический параметр поперечного сечения. 2) Определение грузоподъёмности. Нагрузка выражена через параметр, который требуется определить при известных размерах и материале конструкции. Сначала из условия прочности определяется допускаемая продольная сила. [ N ] = A ⋅ [σ] . (6.11) Затем продольная сила, соответствующая максимальным напряжениям, выражается через параметр нагрузки и приравнивается к допускаемой силе. Из полученного уравнения вычисляется параметр допускаемой нагрузки (грузоподъёмность). 3) Проверочный расчёт. Известны все факторы, влияющие на прочность. Проверяется выполнение условия прочности. Если условие прочности не удовлетворяется, производится проектировочный расчёт или определяется грузоподъёмность. Пример 6. Рассматривается расчётная схема стержня, данного в примере 4. Проектировочный расчёт. Пусть материал стержня – углеродистая сталь, допускаемые напряжения равны [σ] = 160 МПа. При постоянном по длине круглом сечении площадь определяется по формуле (6.10) A≥ N max 30 ⋅10−3 4 ⇒ A≥ 10 = 1,875 см2. [σ] 160 Тогда диаметр стержня равен: D= 4A 4 ⋅1,875 = = 1,5451 см. π π 55 В примере 5 рассмотрен стержень переменного сечения с отношением площадей А1 = А2 = А, А3 = 4А, А4 = 2А. Эпюра напряжений в примере 5 показывает, что при заданном соотношении площадей максимальные напряжения возникают на первом участке. Условие прочности для первого участка записывается в виде N1 ≤ [σ] . A Тогда параметр площади равен: N1 10 ⋅10 −3 4 A= = 10 = 0,625 см2. [σ] 160 При известном параметре А площади на участках определяются по заданным соотношениям. Вопросы для самопроверки 1. Как используется допущение о плоских сечениях при переходе от математической задачи к алгебраической? 2. Для чего изучается напряжённое состояние в точке? 3. На каких площадках действуют максимальные нормальные напряжения в точке при растяжении-сжатии? 4. На каких площадках действуют максимальные касательные напряжения в точке при растяжении-сжатии? 5. Какие предельные напряжения определяются достаточно точно в процессе эксперимента? 6. Как определяются допускаемые напряжения для пластичных и хрупких материалов? 7. Каков физический смысл условия прочности? 8. Почему условие прочности является результатом перехода от алгебраической задачи к арифметической задаче сопротивления материалов? 9. Какова роль эксперимента в сопротивлении материалов? 56 ЛЕКЦИЯ 7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ 7.1. Перемещения при растяжении-сжатии В соответствии с формулами для напряжений ( σ = N / A ) и относительных деформаций (ε = Δl/l) закон Гука ( σ = E ε ) переписывается в виде N Δl =E . A l Отсюда определяется абсолютное удлинение участка стержня длиной l при постоянной площади сечения и постоянной продольной силе. Nl Δl = . (7.12) EA Изменение длины участка можно трактовать как относительное перемещение крайних сечений участка (u) (рис. 7.1). N N a l Δl l a = 2a u = Δl Перемещение правого торцевого сечения относительно левого торцевого сечения Рис. 7.1. Относительное перемещение крайних сечений участка Для получения полной информации о деформировании конструкции строится эпюра перемещений. 57 Пример 7. Рассчитан стержень, представленный в примере 4. Пусть стержень имеет постоянную по длине площадь, вычисленную в примере 6 (А = 1,875 см2). Модуль упругости стали равен Е = 2 ⋅10 5 МПа. Для построения эпюры перемещений желательно выбрать опорное сечение с нулевым перемещением, относительно которого определяются перемещения крайних сечений участков. Эти перемещения показываются на эпюре. Перемещения крайних сечений участков соединяются прямыми линиями, т. к. внутри участка в соответствии с формулой (7.12) зависимость перемещений от длины линейна. Крайние сечения участков обозначены на схеме конструкции 0, a, b, c, d (рис. 7.2). F1 = 10 кН F2 = 30 кН a 0,6 м F3 = 40 кН F4 = 10 кН c b 0,3 м 0,8 м d 0,6 м 8 6,4 1,6 эп. u (10-4м) Рис. 7.2. Эпюра продольных перемещений Вычисление перемещений. Опорное сечение 0 не перемещается, поэтому u0 = 0. Перемещение сечения а относительно сечения 0 вычисляется по формуле (7.12): ua −0 = −3 10 ⋅ 10 ⋅ 0, 6 2 ⋅ 10 ⋅ 1,875 ⋅ 10 5 −4 = 1,6 ⋅ 10−4 м. Перемещение сече- ния b относительно сечения 0 определяется как сумма перемещения сечения b относительно сечения а ( u b−a ) и перемещения 58 сечения а относительно сечения 0 ( u a −0 ): ub−0 = ub −a + ua −0 . Перемещение u b−a определяется по формуле (6.12). Так как N2 = 0, перемещение u b−a = 0. Тогда перемещение u b−0 = 1,6 ⋅ 10 −4 м. Аналогично определяются перемещения сечений c и d: u c −0 = u c −b + u b−0 ; u d −0 = u d −c + u c−0 . Перемещения u c −b ; u d −c определяются по формуле (7.12). N 3l3 30 ⋅ 10−3 ⋅ 0,8 = = 6, 4 ⋅ 10−4 м. EA 2 ⋅ 105 ⋅ 1,875 ⋅ 10−4 Nl −10 ⋅ 10−3 ⋅ 0, 6 = 44 = = −1,6 ⋅ 10−4 м. EA 2 ⋅ 105 ⋅ 1,875 ⋅ 10−4 uc − b = ud − c С учётом вычисленных перемещений получается: uc −0 = 8 ⋅10−4 м; ud − 0 = 6,4 ⋅10−4 м. По вычисленным значениям перемещений строится эпюра перемещений, показанная на рис. 7.2. 7.2. Статически неопределимые системы, работающие на растяжение-сжатие Для плоской системы сил можно составить три независимых уравнения статики, поэтому число реакций не должно быть меньше трёх. Если силы действуют вдоль одной прямой, то составляется только одно уравнение статики, которое может выполняться за счёт одной реакции опоры. Системы, имеющие недостаточное число реакций для выполнения всех уравнений статики, называются механизмами. Другими словами, если конструкция не имеет минимально необходимого числа реакций опор, она падает. Минимально необходимое число реакций опор равно числу уравнений статики. Системы, в которых число реакций опор равно числу уравнений статики, назы59 ваются статически определимыми. Довольно часто по технологическим причинам конструкция имеет реакций больше минимально необходимого числа. Системы, в которых число реакций опор больше числа уравнений статики, называются статически неопределимыми. Для расчёта статически неопределимых систем к уравнениям статики дополнительно составляются так называемые уравнения совместности перемещений. Число уравнений статики и уравнений совместности перемещений должно равняться числу неизвестных усилий. Уравнения совместности перемещений составляются на основе анализа деформации конструкции. В результате анализа устанавливаются количественные соотношения между перемещениями отдельных точек системы. Эти количественные соотношения выражаются в виде уравнения совместности перемещений. Таким образом, уравнение совместности перемещений выражает геометрические особенности деформации конструкции. Так как различные конструкции имеют свои отличные друг от друга особенности деформирования, общей схемы составления уравнений совместности перемещений не существует. Безошибочно можно выявить особенности деформирования простых конструкций, и эти особенности записать в виде уравнений. Для расчёта сложных статически неопределимых конструкций существуют специальные методы, которые рассматриваются по курсу строительной механики. В рамках курса сопротивления материалов рассчитываются простые конструкции, представленные в последующих примерах. Пример 8. Расчётная схема конструкции представлена на рис. 7.3. Цель расчёта – построение эпюры продольных сил. Конструкция имеет две опоры с реакциями Ra , Rb . Так как все силы действуют вдоль оси стержня, существует одно уравнение статики ∑ Fx = 0 или Ra + F1 + F2 − F3 + Rb = 0 . 60 Ra а F = 20 кН F2 = 10 кН 1 А 0,4 м I F3 = 50 кН b 2А 0,3 м II 0,4 м III Rb 0,5 м IV 26,087 + 6,087 эп. N (кН) 13,913 23,913 Рис. 7.3. Эпюра продольных сил в статически неопределимом стержне Для вычисления двух неизвестных реакций требуется составить ещё одно уравнение – уравнение совместности перемещений. Анализ деформирования данной конструкции достаточно прост: как бы ни деформировался стержень, опорные сечения a, b остаются неподвижными, т. е. взаимное перемещение опорных сечений равно нулю – ub–a = 0. Это и есть уравнение совместности перемещений. Перемещение ub–a определяется как сумма абсолютных деформаций участков (Δl) (см. пример 7) ub− a = Δl1 + Δl2 + Δl3 + Δl4 = 0. Абсолютные деформации участков (Δli) переписываются с помощью формулы (7.12). N1l1 N 2l2 N 3l3 N 4l4 + + + =0. EA1 EA2 EA3 EA4 61 Для решения полученного уравнения продольные силы выражаются через реакцию Ra . N1 = − Ra . N 2 = − Ra − F1 . N 3 = − Ra − F1 − F2 . N 4 = − Ra − F1 − F2 + F3 . Пусть материал стержня одинаков на всех участках. Соотношение площадей поперечных сечений указано на расчётной схеме (см. рис. 7.3): А1 = А2 = А; А3 = А4 = 2А. После подстановки N i в уравнении совместности перемещений остаётся одно неизвестное Ra , которое равно Ra = –6,087 кН. Тогда продольные силы равны: N1 = 6,087 кН; N2 = –13,913 кН; N3 = –23,913 кН; N4 = 26,087 кН. Вычисленные продольные силы показаны на эпюре (см. рис. 7.3). Пример 9. Расчётная схема конструкции показана на рис. 7.4. 2А А 2м F = 300 кН 1 α a 2 b 2м 1м 1,5 м 1м Рис. 7.4. Расчётная схема конструкции с опорными подвесками Требуется определить усилия в стержнях 1, 2. Стержень ab – абсолютно жёсткий. Это значит, что под действием нагрузки деформируются (в данном примере удлиняются) только стержни 1, 2. По методу сечений стержни 1, 2 мысленно разре62 заются, верхняя часть отбрасывается и заменяется продольными силами в стержнях, как показано на рис. 7.5. 2А 2м N1 N2 F = 300 кН α a Va А b Ha 2 м 1м 1,5 м 1м Рис. 7.5. Расчётная схема нижней отсечённой части конструкции Для определения продольных сил N1, N2 возможно составить одно уравнение статики ∑ M a = 0 или N1 ⋅ 3sin α + N 2 ⋅ 4,5 − F ⋅ 5,5 = 0 . В другие уравнения статики входят реакции опоры а (см. рис. 7.5), поэтому для решения поставленной задачи эти уравнения непригодны. При составлении уравнения совместности перемещений учитывается, что стержень ab поворачивается относительно опоры а за счёт деформирования стержней 1, 2. Деформированное состояние конструкции показано на рис. 7.6. Перемещение шарниров c, d до положения соответственно e, f принято по прямой, хотя при повороте стержня ab точки c, d перемещаются по дуге окружности. Однако угол поворота стержня ab при упругих деформациях стержней 1, 2 очень мал, поэтому дуги окружности 63 можно заменить отрезками прямых практически без потери точности. Тогда условие совместности перемещений выражается в том, что отрезки ce и df подчиняются правилу пропорции: ce df = . 3 4,5 На рис. 7.6 показано, что df = Δl2. Отрезок се выражается через Δl1: ce = Δl1 / sinα. Это выражение получено на основе допущения о том, что при малых упругих деформациях первоначально заданные углы не изменяются (в примере угол α). Допущение о неизменяемости углов позволяет изображать удлинения стержней на заданных направлениях стержней, как показано на рис. 7.6. Другой способ изображения схемы деформации с повёрнутыми осями стержней приводит к путанице и ошибкам. α Δl1 а c d α b Δl2 e 3м 1,5 м f Рис. 7.6. Схема деформирования с перемещениями шарнирных узлов Уравнение совместности перемещений с учётом полученных выражений для отрезков ce и df принимает вид 64 или Δl1 / 3sinα = Δl2 / 4,5 N1l1 N l = 22 . E 2 A3sin α 4,5 EA После вычисления l1, l2, sinα получается: N1 = 1,06N2. Полученное уравнение совместности перемещений, выраженное через продольные силы, решается совместно с уравнением статики. Получается N1 = 238,6 кН; N2 = 225,1 кН. Расчёт, представленный в примерах 8, 9, показывает, что в статически неопределимых системах распределение внутренних усилий зависит от заданного соотношения жёсткостей элементов ( Ei Ai – жёсткость при растяжении-сжатии i-го элемента). Вопросы для самопроверки 1. При каких деформациях справедлива формула для вычисления перемещений? 2. Как определяется направление перемещения? 3. Что показывает эпюра перемещений? 4. Какие системы называются статически неопределимыми? 5. Каков общий принцип составления уравнений совместности перемещений? 6. Какие упрощающие допущения используются при составлении уравнений совместности перемещений? 7. Сколько необходимо составить уравнений совместности перемещений? 8. От каких факторов зависит распределение внутренних усилий в статически неопределимой системе? 65 ЛЕКЦИЯ 8. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ 8.1. Плоский изгиб Изгиб стержня возникает в том случае, когда нагрузка действует поперёк оси стержня в одной из координатных плоскостей. Для определённости принимается, что нагрузка действует в плоскости XY, как показано на рис. 8.1. y Qy Mz x z Плоскость действия нагрузки (XY) Рис. 8.1. Плоскость действия нагрузки при плоском изгибе При нагрузке в плоскости XY в поперечном сечении действуют два внутренних усилия: изгибающий момент Mz и поперечная сила Qy (см. рис. 8.1). Эти внутренние усилия определяются методом сечений. Изгибающий момент Mz определяется из уравнения ∑ M 0 = 0 , где индекс «0» обозначает центр тяжести поперечного сечения, в котором определяется изгибающий момент. Как и продольную силу, изгибающий момент можно вычислить по формуле, которая выводится из уравнения статики ( ∑ M 0 = 0 ). 66 M z = ∑ M 0(i ) . (8.1) i Согласно формуле (8.1) изгибающий момент в сечении равен сумме моментов относительно сечения всех внешних сил, действующих на отсечённую часть конструкции. Для составления суммы моментов в формуле (8.1) принято следующее правило знаков: изгибающий момент является положительным, если он изгибает отсечённую часть так, что сжимаются верхние волокна. Правило знаков показано на рис. 8.2. + + Сжимаются верхние волокна Рис. 8.2. Правило знаков для изгибающего момента Вычисление момента показано в примере 10. Пример 10. Расчётная схема представлена на рис. 8.3. F1 = 15 кН F2 = 20 кН с е 1м 1м VA = 18,75 кН М = 10 кНм d 2м VB = 16,25 кН Рис. 8.3. Расчётная схема балки 67 Определить изгибающие моменты в сечениях с и d. Для определения момента в сечении с балка рассекается по этому сечению. Рассматривается равновесие левой части, показанной на рис. 8.4. На расчётной схеме отсечённой части опоры отбрасываются и заменяются реакциями. M zc c VA При изгибе сжимаются верхние волокна 1м Рис. 8.4. Расчётная схема левой отсечённой части По формуле (8.1) момент в сечении с равен: M zc = VA ⋅ 1 = 18, 75 кНм. Момент от VA принят положительным потому, что при изгибе консоли сжимаются верхние волокна, как показано на рис. 8.4. Этот же момент можно вычислить, рассматривая равновесие правой части, представленной на рис. 8.5. F2 M zc M с 1м 2м VB Рис. 8.5. Расчётная схема правой отсечённой части Исходя из расчётной схемы правой части, момент M zc равен M zc = VB ⋅ 3 − M − F2 ⋅1 = 18, 75 кНм. Эта величина совпадает с величиной момента, полученной при рассмотрении равновесия 68 левой части. В практических расчётах рассматривается та часть конструкции, которая проще при вычислениях. Вычисление момента M zc показано с отдельным изображением отсечённых частей конструкции. Однако для составления суммы моментов по формуле (8.1) необязательно каждый раз рисовать расчётную схему отсечённой части, достаточно учесть силы справа или слева от сечения, используя расчётную схему конструкции. Например, при вычисления момента в сечении d ( M zd ) силы слева – это VA, F1. Тогда M zd = VA ⋅ 2 − F1 ⋅ 1 . При подстановке численных значений VA и F1 получается M zd = 22,5 кНм. Нагрузка справа от сечения d – это VB и М. По формуле (8.1) получается M zd = VB ⋅ 2 − M = 22,5 кНм. Поперечная сила Qy определяется из уравнения статики ∑ Fy = 0 . Отсюда получается формула для вычисления поперечной силы: (8.2) Q y = ∑ Fy(i ) . i В соответствии с формулой (8.2) поперечная сила в сечении равна сумме проекций на ось у всех сил, действующих на отсечённую часть конструкции; проекции сил входят в сумму по правилу знаков, принятому для поперечных сил. Правило знаков: если поперечная сила стремится повернуть сечение по часовой стрелке – она положительна. Иллюстрация правила знаков показана на рис. 8.6. + Qy Qy Поворот сечения по часовой стрелке Рис. 8.6. Правило знаков для поперечных сил 69 Пример 11. Определить поперечные силы в сечениях с и е (см. рис. 8.3). Для сил слева от сечения е по формуле (8.2) получается Q ye = VA – F1 = 18,75 – 15 = 3,75 кН. Знаки для сил VA и F1 поясняются на рис. 8.7. Поворот сечения е по часовой стрелке Знак «+» F1 VA е Поворот сечения е против часовой стрелки Знак «–» Рис. 8.7. Знаки проекций сил, действующих на левую часть Если рассматривать правую часть от сечения е, то получается: Q ye = F2 – VB = 20 – 16,25 = 3,75 кН. Для сечения с при рассмотрении левой части (см. рис. 8.4) получается Q yc = VA = 18,75 кН. При рассмотрении правой части (см. рис. 8.5) получается Q yc = F2 – VB = 3,75 кН. Значения поперечных сил при рассмотрении равновесия левой и правой частей не совпадают. Этот результат не является ошибочным, т. к. в сечении c приложена сосредоточенная сила F1. Эта внешняя сила уравновешивается поперечными силами, действующими в сечениях бесконечно малого элемента, вырезанного в окрестности сечения c (рис. 8.8). Бесконечно малый элемент на рис. 8.8 фактически имеет три сечения: сечение с, сечение на бесконечно малом расстоя70 нии слева, сечение на бесконечно малом расстоянии справа. В сечениях слева и справа действуют вычисленные поперечные силы, обозначенные соответственно Q yлев и Qyправ . Указанные на рис. 8.8 силы удовлетворяют уравнению ∑ Fy = 0 . F1 = 15 Q yлев = 18,75 c Q yправ = 3, 75 dx Рис. 8.8. Равновесие бесконечно малого элемента с силой F1 В примерах 10, 11 показана последовательность вычисления изгибающих моментов и поперечных сил в некоторых конкретных сечениях. Однако для расчётов на прочность требуется знать распределение усилий по длине всей конструкции, т. е. необходимо иметь эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Изгибающие моменты и поперечные силы возникают от одной и той же нагрузки, поэтому между ними существует взаимозависимость, которая используется при построении эпюр. 8.2. Дифференциальная зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой Рассматривается равновесие бесконечно малого элемента, показанного на рис. 8.9. Бесконечно малый элемент балки загружен распределённой нагрузкой q положительного направления (вверх), в правом сечении внутренние усилия отличаются от усилий в левом сечении на величину дифференциалов dQy , dM z . Уравнение статики ∑ Fy = 0 имеет вид Qy + qdx – (Qy + dQy ) = 0. Отсюда 71 dQ y dx y = q. q Mz Qy (8.3) ( M z + dM z ) с • (Q y + dQ y ) dx Рис. 8.9. Бесконечно малый элемент, вырезанный из балки Уравнение ∑ M c = 0 записывается в виде ( M z + dM z ) – M z – Qy dx – qdx(dx/2) = 0. Из полученного уравнения отбрасывается последний член, имеющий больший порядок малости ( dx 2 ). Тогда получается: dM z = Qy . dx (8.4) Формула (8.4) устанавливает дифференциальную зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой: поперечная сила равна производной от изгибающего момента по координате сечения х. Вопросы для самопроверки 1. Какие внутренние усилия возникают в поперечном сечении при плоском изгибе? 2. Как вычисляется изгибающий момент в поперечном сечении по методу сечений? 3. Как вычисляется поперечная сила по методу сечений? 4. Какова дифференциальная зависимость между изгибающим моментом и распределённой нагрузкой? 72 ЛЕКЦИЯ 9. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ БАЛОК 9.1. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил В примерах 10, 11 вычислены моменты и поперечные силы в отдельных сечениях. Для построения эпюр необходимо иметь не числа, а функции внутренних усилий на каждом участке. При растяжении-сжатии продольная сила постоянна в пределах участка, если нагрузка состоит из сосредоточенных сил. Это обстоятельство упрощает построение эпюр продольных сил. При изгибе под действием распределённой нагрузки и момент, и поперечная сила изменяются в пределах участка в зависимости от координаты сечения х. Поэтому построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил сопровождается получением функций M z(i ) ( x), Qy(i ) ( x) на каждом (i-м) участке с помощью формул (8.1), (8.2). Последовательность построения эпюр показана в примере 12. Пример 12. Рассчитана балка, показанная на рис. 9.1. Построение эпюр производится в следующей последовательности. 1. Вычисляются реакции опор. Вертикальные реакции определяются из уравнений ∑ M A = 0, ∑ M B = 0 . Уравнение ∑ Fy = 0 используется в качестве проверки вычислений. ∑ M A = 0 ⇒ F ⋅1 + q ⋅ 2 ⋅ 2,8 + M − VB ⋅ 6 = 0 ⇒ VB = 14,1(6) кН. ∑ M B = 0 ⇒ F ⋅ 5 + q ⋅ 2 ⋅ 3, 2 − M − VA ⋅ 6 = 0 ⇒ VA = 25,8(3) кН. ∑ Fy = 0 ⇒ VA + VB − F − 2 ⋅ q = 0 ⇒ 40 − 40 = 0. 2. Разделение конструкции на участки соответствует приложенной нагрузке (рис. 9.1). 73 F = 20 кН М = 9 кНм q = 10 кН/м c VA I II 1м 0,8 м d III e 2м IV f 1м V 1,2 м VB Рис. 9.1. Расчётная схема балки 3. Определяются внутренние усилия на каждом участке. Для составления функций отдельно оформляются расчётные схемы каждого участка. Положение поперечного сечения обозначается координатой х. Участок I. На расчётной M z(1) схеме участка (рис. 9.2) опора отA брасывается и заменяется реакцией VA. Координата х обозначается VA x стрелкой, направление стрелки Q (y1) показывает направление оси х, Рис. 9.2. Расчётная схема участка I т. е. х = 0 в точке А. Пределы изменения х: 0 ≤ x ≤ 1 . По формуле (8.1) получается: M z(1) = VA ⋅ x . При х = 0 M z(1) = 0, при х = 1 м M z(1) = 25,8(3) кНм. По формуле (8.2) получается: Q (y1) = V A = 25,8(3) кН. Участок II. После мысленного рассечения балки на втором участке рассматривается левая отсечённая часть, показанная на рис. 9.3. 74 F VA 1м c M z( 2) Q (y2) х Рис. 9.3. Расчётная схема участка II В соответствии с расчётной схемой M z(2) = V A (1 + x) − Fx . При х = 0 (точка с) M z( 2) = 25,8(3) кНм; при х = 0,8 м M z( 2) = 30,5 кНм. Поперечная сила равна Q (y2) = VA – F = 5,8(3) кН. Участок III. Схема участка показана на рис. 9.4. Изгибающий момент равен M z(3) = VA (1,8 + x ) − F (0,8 + x ) − qx 2 2 . При х = 0 (точка d) M z(3) = 30,5 кНм; при х = 2 м (точка е) M z(3) = 22,166 кНм. F VA q M z(3) d 1м 0,8 м х Q (y3) Рис. 9.4. Расчётная схема участка III Поперечная сила равна Q y(3) = V A − F − qx . При х = 0 Q (y3) = 5,8(3) кН; при х = 2 м Q (y3) = –14,1(6) кН. Сравнение значений поперечной силы в крайних сечениях участка показывает, что поперечная сила меняет знак. В соответствии с форму75 лой (8.4) поперечная сила является производной от момента, следовательно, на участке смены знака поперечной силы изгибающий момент имеет экстремальное значение. Точка экстремума определяется из уравнения Q (y3) = 0 или V A − F − qx = 0 . Отсюда х = 0,58(3) м. Это значение х подставляется в функцию момента и вычисляется экстремальное значение: max M z(3) = 32,2 кНм. Участок IV. Расчётная схема участка показана на рис. 9.5. В отличие от первых трёх участков усилия на четвёртом участке определяются из расчёта правой части балки, потому что правая отсечённая часть проще левой. Изгибающий момент равен M z( 4) = VB (1,2 + x ) − M . При х = 0 (точка f) M z( 4) = 8 кНм; при х = 1 м (точка е) M z( 4) = 22,166 кНм. Моменты в точке е (см. рис. 9.1), вычисленные по функциям моментов третьего и четвёртого участков, совпали. М M z( 4) Q y( 4) f х 1,2 м VB Рис. 9.5. Расчётная схема участка IV Поперечная сила равна Q y(4) = –VB = –14,1(6) кН. Участок V. Расчётная схема участка показана на рис. 9.6. M ( 5) z M z(5) = VB ⋅ x . Q (y5) х VB Рис. 9.6. Расчётная схема участка V 76 При х = 0 (точка В) M z(5) = = 0. При х = 1,2 м (точка f) M z(5) = = 17 кНм. Q y(5) = –VB = –14,1(6) кН. Результаты расчётов на каждом участке оформляются в виде эпюры изгибающих моментов и эпюры поперечных сил (рис. 9.7). На эпюре моментов знаки не проставляются, ординаты положительных моментов откладываются сверху от оси стержня (на сжатых волокнах). На эпюре поперечных сил положительные значения откладываются сверху от оси стержня. F = 20 кН М = 9 кНм q = 10 кН/м c VA I II 1м 0,8 м d III 2м e IV f V 1м 1,2 м VB M zmax = 32,2 30,5 25,83 22,166 17 8 эп. M z (кНм) 25,83 + 5,83 0,58(3) м эп. Q y – (кН) 14,166 Рис. 9.7. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил 77 Пример 12 показывает, что подробное использование процедуры метоMz да сечений – это трудоёмкий процесс. Практическое построение эпюр внутренних усилий не связано с расQy смотренным подробным построением Рис. 9.8. Правило согласорасчётных схем каждого участка. Упвания эпюр № 1 рощённое построение эпюр основано на нескольких правилах, следующих из дифференциальных зависимостей (8.3) и (8.4) (рис. 9.8–9.10). 1. Если на участке нет распределённой нагрузки, то поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по наклонной прямой линии. Mz 2. Если момент на участке не изменяется, то поперечная сила равна Qy нулю. 3. Если на участке расположена Рис. 9.9. Правило согласоравномерно распределённая нагрузка, вания эпюр № 2 то момент изменяется по квадратичной параболе с экстремумом или без него, а поперечная сила – по наклонной прямой линии. 4. В сечении с приложенной соq средоточенной силой на эпюре поперечных сил возникает скачок на величину приложенной силы (в примере 12 сечения a, b, c). Скачок на эпюре может Mz быть со сменой знака поперечной силы (рис. 9.11) или без смены знака. БескоQy нечно малый элемент с приложенной сосредоточенной силой, вырезанный из балки, должен уравновешиваться приложенными слева и справа поперечныРис. 9.10. Правило соглами силами, как показано на рис. 9.11. сования эпюр № 3 78 F ∑F y = 0 ⇒ Q yлев + Q yправ = F Qy Q yлев F Q Q yправ лев y Q yправ dx Рис. 9.11. Скачок на эпюре поперечных сил 5. В сечении с приложенным сосредоточенным моментом на эпюре изгибающих моментов возникает скачок на величину приложенного момента (в примере 12 сечение f). Скачок может быть со сменой знака моментов или без смены знака, как показано на рис. 9.12 (рассмотрен скачок на эпюре моментов в примере 12). М=9 ∑M f = 0 ⇒ M zлев − M zправ − M = 0 М=9 17 8 Mz M лев z =8 M zправ = 17 Рис. 9.12. Скачок на эпюре изгибающих моментов 6. На линейных участках эпюры моментов поперечную силу можно вычислить в соответствии с формулой (8.4) как тангенс угла наклона прямой, изображающей эпюру моментов. Это правило используется для проверки вычислений. 79 α 25,83 30,5 Mz 0,8 м В примере 12 на втором участке эпюра моментов имеет вид, показанный на рис. 9.13. Поперечная сила равна: Qy( 2) = tg(α) = 30,5 − 25,83 = 5,83 . 0,8 Рис. 9.13. Эпюра моментов на Вычисленное значение попеучастке II речной силы совпадает с результа- том в примере 12. Вопросы для самопроверки 1. Какие правила согласования используются при построении эпюр изгибающих моментов и поперечных сил? 2. Как определяется величина усилия в сечении со скачком на эпюре? 80 ЛЕКЦИЯ 10. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ РАМ Правила согласования эпюр изгибающих моментов и поперечных сил используются для упрощения всей последовательности построения эпюр. Внутренние усилия вычисляются только в крайних точках участков, затем они отмечаются на эпюре в качестве ординат. Ординаты соединяются между собой по приведённым выше правилам. Функции момента и поперечной силы требуется определить, если на участке с распределённой нагрузкой имеется экстремальное значение изгибающего момента. Пример 13. Расчётная схема балки показана на рис. 10.1. q = 20 кН/м I VA 1м c x2 II 2м F = 15 кН III d 2м VB Рис. 10.1. Расчётная схема балки Реакции равны: VA = 30 кН; VB = 25 кН. Моменты на шарнирных опорах равны нулю. Момент в сечении с, при рассмотрении левой от сечения с части балки, равен M z(c ) = VA ⋅1 = 30 кНм. Поперечная сила на первом участке равна Qy(1) = VA = 30 кН. Момент в сечении d при рассмотрении правой части равен M z(d ) = VB ⋅ 2 = 50 кНм. В сечении d приложена сосредоточенная сила, поэтому справа от сечения d поперечная сила равна Qy(3) = −VB = −25 кН. Поперечная сила слева от сечения d определяется из рассмотрения равновесия левой части: Qyd (лев) = VA − q ⋅ 2 = 30 − 40 = −10 кН. Сравнение сил Qy(1) 81 и Q yd (лев) показывает, что на участке II поперечная сила меняет знак, следовательно, на втором участке изгибающий момент принимает экстремальное значение. Для определения этого значения необходимо составить функции M z(2) и Q y(2) . Расчётная схема участка отдельно не оформляется. На расчётной схеме конструкции показано сечение в пределах второго участка с координатой х2 (см. рис. 10.1). Направление возрастания х2 показывает, что рассматривается равновесие левой отсечённой части (х2 = 0 в точке с). Функции равны: qx 2 M z(2) = VA (1 + x2 ) − 2 ; Qy(2) = VA − qx2 . 2 (2) Из условия Qy = 0 следует x2 = VA / q = 30 / 20 = 1,5 м. Тогда момент равен max M z(2) = 52,5 кНм. Вычисленные значения моментов откладываются на эпюре в соответствующих точках (рис. 10.2). q = 20 кН/м I VA c F = 15 кН II d 2м 1м III 2м 52,5 VB 50 30 Mz 30 кНм Qy + кН 10 25 Рис. 10.2. Эпюры моментов и поперечных сил 82 На участках I, III ординаты моментов соединяются прямыми линиями согласно правилу 1. На участке II две ординаты по краям и третья ордината максимального момента соединяются параболой согласно правилу 3. Поперечные силы на участках I, III постоянны по правилу 1. На участке II поперечная сила изменяется по правилу 3. В сечении d скачок на эпюре поперечных сил соответствует правилу 4. 10.1. Построение эпюр внутренних усилий в рамах Рама – это конструкция, состоящая из двух или более стержней, соединённых между собой под некоторым углом с помощью шарниров или жёстких узлов (рис. 10.3). Возможны рамы с криволинейными стержнями, но в данном курсе они не рассматриваются. Жёсткий узел Шарнирный узел Рис. 10.3. Схема рамы В отличие от балки в поперечных сечениях рамы возникают три внутренних усилия: изгибающий момент, поперечная сила, продольная сила. Изгибающий момент определяется по формуле (8.1), поперечная сила – по формуле (8.2), продольная сила – по формуле (5.6). Правила знаков для поперечных и продольных сил остаются без изменений. Правило знаков для изги83 бающих моментов на вертикальных участках рамы формально можно оставить без изменения, развернув вертикальный участок до горизонтального положения. Однако на практике применяется более простой вариант – на схеме рамы знаком «плюс» отмечаются волокна, которые сжимает положительный момент. Пример 14. Расчётная схема рамы показана на рис. 10.4. F1 = 10 кН d e f c II F2 = 50 кН III g IV 3м 1м h q = 8 кН/м k V I Ha а Va b 2м 2м Vb Рис. 10.4. Расчётная схема рамы Реакции равны: Ha = 24 кН; Va = 46,5 кН; Vb = 13,5 кН. Правило знаков для изгибающих моментов показано на эпюре моментов (рис. 10.5). Для построения эпюры моменты вычислены в намеченных крайних сечениях участков. M z( a ) = 0 ; кНм. M z( d ) = 0 ; M z( e) = − F1 ⋅ 1 = –10 кНм. = − H a ⋅ 3 − F1 ⋅1 = −82 кНм. В сечении g при рассмотрении левой части рамы момент M z(c ) = − H a ⋅ 3 = −72 M z( f ) равен M z( g ) = − H a ⋅ 3 − F1 ⋅ 3 + Va ⋅ 2 = −9 кНм. При рассмотрении правой части рамы момент в сечении g получается таким же. 84 M z( g ) = Vb ⋅ 2 − q ⋅ 3 ⋅1,5 = −9 кНм. Моменты в сечениях h и k равны: M z( h) = M zk = − q ⋅ 3 ⋅1,5 = −36 кНм. Момент на опоре b равен нулю – M z( b) = 0 . Полученные значения моментов откладываются на оси рамы в виде ординат в соответствии со своим знаком. Ординаты соединяются между собой в пределах каждого участка по правилам согласования эпюр: на участках I–IV прямые линии, на участке V парабола. d II e f III 72 g – 10 IV 9 h 36 k – 36 – – 82 V – I а b эп. M z (кНм) Рис. 10.5. Эпюра изгибающих моментов На рис. 10.5 показано, что ординаты моментов в узловых сечениях откладываются чуть в стороне от точки узла. Этот графический приём подчёркивает, что моменты действуют не в точке узла, а в сечениях стержней, сходящихся в узле. 85 После построения эпюры моментов проверяется равновесие узлов рамы (рис. 10.6). Для этого вырезается узел, и в сечениях узла проставляются изгибающие моменты, взятые с эпюры. Сумма моментов, действующих на узел, должна равняться нулю. M z( e) = 10 M z( f ) = 82 M zc = 72 M z( c) + M z(e) − M z( f ) = 0 M z( h) = 36 M z( k ) = 36 M z( h) − M z( k ) = 0 Рис. 10.6. Равновесие узлов под действием моментов В соответствии с правилом 1 поперечные силы на участках (2) (3) I–IV постоянны: Q (1) y = − H a = −24 кН; Qy = − F1 = −10 кН; Q y = = Va − F1 = 36,5 кН; Qy(4) = −Vb = −13, 5 кН. На участке V нагрузка соответствует правилу 3, поэтому поперечная сила изменяется прямолинейно. Достаточно вычислить поперечные силы в крайних сечениях b и k: Qy(b) = 0; Qy(k ) = q ⋅ 3 = 24 кН. С помощью вычисленных значений строится эпюра поперечных сил (рис. 10.7). Продольные силы определяются по формуле (5.6) с учётом того, что ось х может изменять направление в соответствии с направлением стержней. В пределах участка продольная сила остаётся постоянной. Определение продольных сил по участкам даёт следующие результаты: N1 = −Va = −46,5 кН; N 2 = 0 ; N 3 = N 4 = − H a = = –24 кН; N 5 = −Vb = −13, 5 кН. Эпюра продольных сил представлена на рис. 10.8. 86 36,5 + II IV 24 III 10 + 13,5 V – I 24 эп. Q y (кН) Рис. 10.7. Эпюра поперечных сил 24 – II 13,5 III 46,5 IV V – – I эп. N (кН) Рис. 10.8. Эпюра продольных сил Вырезанные узлы рамы загружены соответствующими поперечными и продольными силами. Эти силы должны удовлетворять уравнениям статики: ∑ Fx = 0; ∑ Fy = 0 . Если к узлам приложены сосредоточенные силы, они также учитываются. 87 Направление поперечных и продольных сил в сечениях узлов на рис. 10.9 соответствует знакам этих сил на эпюрах (см. рис. 10.8). Q (y2) y = 10 N 3 = 24 Q y(3) = 36,5 N1 = 46,5 Q (y1) = 24 N 4 = 24 x у х Q (y4) = 13,5 Q (yk ) = 24 N 5 = 13,5 ( 2) ( 3) ∑ F y = N1 − Q y − Q y = 0 (4) ∑ Fy = N 5 − Q y = 0 (1) ∑ Fx = Q y − N 3 = 0 (k ) ∑ Fx = Q y − N 4 = 0 Рис. 10.9. Равновесие узлов рамы под действием поперечных и продольных сил Вопросы для самопроверки 1. Как устанавливается правило знаков при построении эпюр изгибающих моментов в рамах? 2. Сколько внутренних усилий действует в стержнях рамы? 3. Как проверяется равновесие узлов рамы? 88 ЛЕКЦИЯ 11. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ 11.1. Напряжения при чистом изгибе Чистым изгибом называется плоский изгиб, при котором в поперечном сечении возникает только изгибающий момент M z (поперечная сила равна нулю). Простейшие варианты нагрузки, вызывающие чистый изгиб, показаны на рис. 11.1. М a F F М a Fa эп. M z эп. M z Рис. 11.1. Простейшие варианты чистого изгиба конструкций Изгибающий момент M z выражается через нормальные напряжения по формуле (2.4) M z = ∫ σydA . Для определения A функции напряжений σ используется допущение о плоских сечениях – при чистом изгибе поперечное сечение поворачивается в плоскости действия нагрузки ХУ на определённый угол, оставаясь плоским. Принятое допущение справедливо для сечений, симметричных относительно оси у, т. е. в расчёт сразу закладываются главные оси координат z, y. Соответствующая допущению деформация бесконечно малого элемента балки показана на рис. 11.2. Для определения нормальных напряжений σ используется закон Гука σ = Е ε . Относительная продольная деформация ε оп89 ределяется на основе анализа схемы деформации бесконечно малого элемента длиной dx (рис. 11.2). При изгибе стержень делится по длине на две части – растянутую и сжатую. Эти части разделяет нейтральный продольный слой, длина которого при изгибе не изменяется. Положение растянутого слоя ab определяется координатой у, удлинение слоя ab равно Δdx, как показано на рис. 11.2. Вырезанный фрагмент в круге показывает зависимость удлинения растянутого слоя Δdx от его координаты у: Δdx = = ytg(dϕ) . Так как угол dϕ мал, то tg(dϕ) = dϕ. Тогда удлинение слоя ab равно Δdx = ydϕ. Теперь можно получить выражение для dϕ . относительной продольной деформации: ε = Δdx/dx = y dx dx a b x Растянутый слой ϕ у w + dw w a b Δdx Δdx у dϕ x x Нейтральный слой dϕ ϕ Рис. 11.2. Схема деформации бесконечно малого элемента при чистом изгибе При известной относительной деформации по закону Гука определяются нормальные напряжения: σ = Ey 90 dϕ dx . Тогда изги- ⎛ dϕ ⎞ dϕ бающий момент равен M z = ∫ ⎜ Ey ⎟ ydA . Производная заdx dx ⎠ ⎝ A висит только от х, поэтому её можно вынести за знак интеграла вместе с модулем упругости Е: M z = E dϕ ∫y dx 2 dA . Интеграл A в соответствии с формулой (2.10) равен моменту инерции относительно оси z: J z = ∫ y 2 dA . Тогда момент равен M z = EJ z A Отсюда производная угла поворота равна производной σ = Ey Mz EJ z подставляется в dϕ M z = dx EJ z формулу для dϕ dx . . Выражение напряжений или σ= Mzy . Jz (11.1) Таким образом, получена формула для вычисления нормальных напряжений при чистом изгибе. Формула показывает, что нормальные напряжения не зависят от координаты z, т. е. по ширине сечения в точках с одинаковой координатой у напряжения постоянны. По высоте сечения в зависимости от координаты у напряжения изменяются линейно, как показано на рис. 11.3. y эп. σ σmax Нейтральная линия z + Рис. 11.3. Эпюра нормальных напряжений при чистом изгибе 91 Для определения положения оси z используется условие N = ∫ σdA = 0 . После подстановки формулы (11.1) получается: A Mz Jz ∫ ydA = 0 или S z = 0 . Если статический момент относитель- A но оси z равен нулю, то ось z является центральной. Таким образом, доказано, что формула (11.1) справедлива только в системе главных центральных осей. Согласно формуле (11.1) наибольшие нормальные напряжения возникают в точках с координатой ymax . Это общее правило формулируется следующим образом: при изгибе максимальные нормальные напряжения возникают в точках, наиболее удалённых от нейтральной линии (при плоском изгибе нейтральная линия совпадает с осью z). После подстановки ymax в формулу (11.1) получается: M (11.2) σ max = z , Wz где J (11.3) Wz = z . ymax Здесь Wz – момент сопротивления поперечного сечения относительно оси z. Условие прочности записывается в виде ⎛ Mz ⎞ ≤ [σ ] . ⎜ ⎟ ⎝ Wz ⎠ max (11.4) Если сечение балки по всей длине одинаково ( Wz = const), то условие прочности принимает вид M zmax (11.5) ≤ [σ ] . Wz 92 Условие прочности (11.4) используется не только при чистом изгибе, но и при поперечном изгибе. 11.2. Напряжения при поперечном изгибе Поперечный изгиб – это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении действует два внутренних усилия: изгибающий момент Mz и поперечная сила Qy. Под действием поперечной силы поперечное сечение деформируется (плоскость сечения искривляется). В пределах упругих деформаций искривление сечения незначительно, поэтому принимается, что сечение остаётся почти плоским, а нормальные напряжения определяются, как при чистом изгибе, по формуле (11.1). Касательные напряжения определяются по формуле, которая выводится из условия равновесия вырезанного из балки элемента (рис. 11.4). y + dσ) σ (σ N* (N* + dN*) τ τ τ y τ пр x by z dT dx Рис. 11.4. Напряжения и внутренние усилия, действующие на бесконечно малый элемент балки Рассматривается равновесие элемента, заштрихованного на рис. 11.4. В поперечных сечениях элемента действуют нормаль93 ные и касательные напряжения, в продольном сечении – только касательные напряжения. Нормальные напряжения приводятся к продольным силам: N * = ∫ σdA* , ( N * + dN * ) = ∫ (σ + d σ)dA* . A* A* Верхний индекс «*» обозначает принадлежность к так называемой «отсечённой части сечения» (линия с координатой у отсекает от всего поперечного сечения заштрихованную часть). Распределение касательных напряжений по площади продольного сечения принимается равномерным, поэтому сила dT = τпрby dx (by – ширина поперечного сечения как геометрическое место точек с координатой у). Указанные силы входят в уравнение статики ∑ Fx = 0 , из которого следует: dT = dN * или τпрby dx = ∫ d σdA * . Вместо σ подставляется формула (11.1): * A τпрby dx = dM z Jz ∫ ydA * . Интеграл представляет собой статический * A момент отсечённой части сечения относительно оси z – S *z . Тогда касательные напряжения равны τпр = * dM z S z dx J z by или с исполь* зованием формулы (8.4) получается формула τпр = Qy S z J z by . Полу- ченная формула определяет касательные напряжения в продольном сечении. Чтобы определить касательные напряжения в поперечном сечении, рассматривается равновесие элемента, показанного на рис. 11.5. Силы, действующие на элемент, равны: dT = τпрby dx , dQy = τby dy . Сумма моментов этих сил относительно точки а равна нулю dTdy − dQ y dx = 0 или τпрby dxdy = τby dxdy . Отсюда 94 τпр = τ . (11.6) Формула (11.6) выражает закон парности касательных напряжений: касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках одинаковы. a • τ dy dQy dT τ пр by dx Рис. 11.5. Силы, действующие на бесконечно малый элемент В соответствии с формулой (11.6) касательные напряжения в плоскости поперечного сечения равны: Q y S z* . (11.7) τ= J z by Выражение (11.7) называется формулой Журавского. Общий характер эпюры касательных напряжений показан на рис. 11.6. y эп. τ z τmax Рис. 11.6. Эпюра касательных напряжений 95 Сравнение эпюр нормальных (см. рис. 11.3) и касательных напряжений показывает, что максимальные нормальные напряжения возникают в крайних точках сечения, где касательные напряжения равны нулю. И наоборот, максимальные касательные напряжения возникают в точках, лежащих на нейтральной оси z, где нормальные напряжения равны нулю. Поэтому проверку прочности можно производить отдельно по нормальным и касательным напряжениям: σmax ≤ [σ], τmax ≤ [τ]. (11.8) Для большинства видов поперечных сечений условие прочности по касательным напряжениям выполняется автоматически, если удовлетворяется условие прочности по нормальным напряжениям. Таким образом, при поперечном изгибе вместо условий (11.8) в практических расчётах используется условие прочности по нормальным напряжениям (11.4). Вопросы для самопроверки 1. Почему нормальные напряжения при чистом и поперечном изгибе определяются одинаково? 2. На каком законе основан вывод формулы Журавского? 3. Почему касательные напряжения в большинстве случаев не используются для оценки прочности при поперечном изгибе? 4. Какова последовательность определения максимальных нормальных напряжений в конструкции при поперечном изгибе? 96 ЛЕКЦИЯ 12. РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ. СДВИГ, РАСЧЁТ ЗАКЛЁПОЧНЫХ И БОЛТОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ Пример 15. Определить геометрические параметры для заданных типов сечений. Балка представлена на рис. 12.1. q = 30 кн/м 2м 33,75 2м 30 эп. Mz (кнм) Рис. 12.1. Расчётная схема балки и эпюра изгибающих моментов Материал – малоуглеродистая сталь, допускаемые нормальные напряжения [σ] = 160 МПа, допускаемые касательные напряжения [τ] = 80 МПа. Требуемый момент сопротивления вычисляется из условия прочности (11.5). M max 33, 75 ⋅10−3 6 10 = 211 см3. Wz = z = [σ] 160 1. Тип сечения – прямоугольник. Отношение сторон: b = h/3. Момент сопротивления выражается через высоту сечения h – Wz = bh2/6 ⇒ Wz = h3/18. Отсюда h = 3 18Wz . При подста97 новке значения Wz получается h = 3 18 ⋅ 211 = 15, 6 см. Ширина сечения равна b = 15,6/3 = 5,2 см. Площадь поперечного сечения равна A = bh = 81,12 см2. Для вычисления максимальных касательных напряжений определяются геометрические характеристики: момент инерции Jz = bh3/12 = 1645,1136 см4, статический момент половины сечения S z* = A* yc* = bh h 2 4 = 158, 2 см3. Макси- мальные касательные напряжения при Qmax = 45 кН равны τmax = 8, 3 МПа, т. е. τmax < [τ] . y h t = 0,05h z b = h/3 Рис. 12.2. Коробчатое сечение 2. Коробчатое сечение (рис. 12.2). Для вычисления параметра h предварительно определяется момент инерции. bh3 (b − 2t )(h − 2t )3 Jz = − 12 12 4 или J z = 0, 0136h . Далее определяется момент сопротивления при ymax = h / 2 . Wz = 0, 0136h 4 ⋅ 2 = 0, 0272h3 . h При известной величине Wz вычисляется высота сечения h = 3 211 / 0, 0272 = 19,8 см. Площадь сечения равна А = 48,35 см2. Для определения максимальных касательных напряжений вычисляются геометрические характеристики, входящие в формулу Журавского (11.7). Момент инерции равен Jz = 2090,257 см4. Статический момент bh h ⎛ h 1⎛h ⎞ ⎞ − ⎜ − t ⎟ ( b − 2t ) ⎜ − t ⎟ = 140, 046 см3. Ширина равен S z* = 2 4 ⎝2 2⎝ 2 ⎠ ⎠ 98 сечения на уровне оси z – by = 2t = 1,98 см. Максимальные касательные напряжения равны: τmax = 45 ⋅10−3 ⋅140, 046 ⋅10−6 = 15, 23 МПа < [τ]. 2090, 257 ⋅10−8 ⋅1,98 ⋅10−2 3. Круглое сечение. Момент сопротивления круглого сечения равен Wz = d=3 = πd 4 2 32Wz π = 2 2 8 3π πd . Диаметр сечения вычисляется по формуле 4 64 = 12,9 см. Площадь сечения равна A= = 130, 7 см2. Статический момент половины сече- πd 2 d чения J z = 32 π 4 ния S z* = 3 32 ⋅ 211 =3 π ⋅ 12, 9 πd = d 3 12 = 178,89 см3. Момент инерции круглого се- = 1359,342 см4. Ширина сечения by = d = 12,9 см. Максимальные касательные напряжения равны: τmax = 45 ⋅ 10−3 ⋅178,89 ⋅10−6 = 4, 6 МПа < [τ]. 1359,342 ⋅10−8 ⋅12, 9 ⋅10 −2 4. Двутавр № 22. По сортаменту определяются геометрические характеристики: Wz = 232 см3, А = 30,6 см2, by = 5,4 мм, Sz = 131 см3, Jz = 2550 см4. Максимальные касательные напряжения равны: 45 ⋅10−3 ⋅ 131⋅ 10−6 τmax = = 42,81 МПа < [τ]. 2550 ⋅ 10−8 ⋅ 5, 4 ⋅10−3 Приведённый расчёт четырёх типов поперечного сечения показывает, что условие прочности по касательным напряжени99 ям выполняется с большим запасом. Расход материала оценивается по площади поперечного сечения. Наименьшую площадь имеет двутавровое сечение, т. е. двутавр при плоском изгибе является наиболее экономичным типом сечения. Естественно, что стенка двутавра устанавливается в плоскости действия нагрузки. 12.1. Чистый сдвиг При чистом сдвиге в поперечном сечении действует одно внутреннее усилие – поперечная сила Qy. Поперечная сила связана с касательными напряжениями зависимостью (2.2) Q y = ∫ τ y dA . В дальнейшем изложении индекс у опускается. A Под действием поперечной силы сечение деформируется в своей плоскости, т. е. допущение о плоских сечениях, строго говоря, при сдвиге является некорректным. Однако это допущение используется для упрощения расчётов. Тогда зависимость (2.2) приводится к виду τ= Q . A (12.1) Согласно формуле (12.1) касательные напряжения распределяются по площади сечения равномерно (рис. 12.3). Принятая формула (12.1) не соответствует закону парности касательных напряжений – на гранях, загруженных силами, и противоположных гранях касательные напряжения отсутствуют, следовательно, в плоскости поперечного сечения в точках контура, примыкающего к этим внешним граням, касательные напряжения также должны равняться нулю. Нарушение закона парности касательных напряжений допускается в связи с тем, что оно распространяется на узкие полоски сечения, примыкающие к контуру. На большей части поперечного сечения равномерное распределение напряжений соответствует истинному распределению. 100 Зона сдвига F F τ τ F F Рис. 12.3. Равномерное распределение касательных напряжений по площади поперечного сечения при сдвиге При сдвиге возникает угловая деформация γ, которая характеризует изменение прямых углов (рис. 12.4). а α a’ γ=α+β b’ о β b Рис. 12.4. Угловая деформация как изменение прямого угла Закон Гука при сдвиге выражается формулой τ = Gγ , где G = E 2(1 + μ ) (12.2) – модуль сдвига (механическая характеристика материала, зависящая от модуля упругости и коэффициента Пуассона). 101 При чистом сдвиге величина поперечной силы неизменна, поэтому условие прочности записывается без обозначения максимальных напряжений, как это было при растяжении-сжатии или изгибе. Q ≤ [τ] . A (12.3) Сдвиг является одним из видов деформации элементов узловых соединений, в которых две или более части конструкции соединяются в единое целое. Достаточно распространёнными являются заклёпочные, болтовые и сварные соединения. 12.2. Расчёт заклёпочных (болтовых) соединений Заклёпочные или болтовые соединения проектируются по нормам, в которых предусмотрен выбор диаметра заклёпки d, расстояния между заклёпками, взаимного расположения заклёпок в зависимости от толщины соединяемых элементов. Предполагается, что поперечная сила распределяется между заклёпками равномерно. Тогда условие прочности на сдвиг принимает вид 4Q ≤ [ τ] , πd 2 nnср (12.4) где п – число заклёпок; пср – число срезов одной заклёпки. Число пср определяется по формуле nср = nл − 1 , (12.5) где пл – число соединяемых листов (рис. 12.5). Заклёпка работает не только на сдвиг (срез). Боковая поверхность заклёпки испытывает сжимающее давление листа, эта деформация заклёпки по боковой поверхности называется смятием. Действительное распределение нормальных напряжений по цилиндрической поверхности заклёпки имеет сложный ха102 рактер. Для упрощения расчёта принимается фиктивная площадь смятия с равномерным распределением нормальных напряжений (рис. 12.6). F F Число срезов пср Число листов пл F F t σсм t Рис. 12.5. Заклёпочное соединение d Фиктивная площадь смятия Рис. 12.6. Фиктивная площадь смятия заклёпки В соответствии со схемой на рис. 12.6 площадь смятия одной заклёпки равна Аз = d ⋅ t . При составлении условия прочности на смятие для всего соединения учитывается минимальная площадь смятия, которая зависит от минимальной толщины листов t min , воспринимающих нагрузку. F ≤ [σ]см . n ⋅ d ⋅ tmin (12.6) 103 Таким образом, расчёт заклёпочных и болтовых соединений производится по двум условиям прочности: условию прочности на сдвиг (12.4) и условию прочности на смятие (12.6). Вопросы для самопроверки 1. Какой тип поперечного сечения при плоском изгибе является наиболее экономичным по расходу материала? 2. Является ли заклёпка стержнем? 3. Каковы виды деформации заклёпки? 104 ЛЕКЦИЯ 13. СВАРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ. КРУЧЕНИЕ F = 500 кН 8 10 8 F 8 10 Пример 16. Определить необходимое количество заклёпок для соединения, представленного на рис. 13.1. Диаметр заклёпок d = 20 мм. Допускаемое напряжение на сдвиг [τ] = 100 МПа, допускаемое напряжение на смятие [σ]см = 280 МПа. Рис. 13.1. Схема заклёпочного соединения Из условия прочности на сдвиг (12.4) количество заклёпок определяется по формуле 4Q . (13.1) n= 2 πd nср [τ] Учитывая, что Q = F, nср = 4, количество заклёпок равно: 4 ⋅ 500 ⋅10−3 = 3,9 = 4 . n= π ⋅ 22 ⋅10−4 ⋅ 4 ⋅100 Из условия прочности на смятие (12.6) количество заклёпок определяется по формуле F . (13.2) n= dtmin [σ]см Учитывая, что tmin = 20 мм, количество заклёпок равно: 500 ⋅10−3 n= = 4, 46 = 5 . 2 ⋅10−2 ⋅ 2 ⋅10−2 ⋅ 280 Из двух значений п окончательно принимается большее: п = 5. 105 13.1. Расчёт сварных соединений По отношению к оси действия силы сварные швы разделяются на торцевые и фланговые (рис. 13.2). F F Фланговые швы Торцевой шов Рис. 13.2. Виды сварных швов Рассчитываются только фланговые швы. Поперечное сечение сварного шва принимается в виде прямоугольного треугольника с равными катетами. Площадь сдвига (среза) флангового шва показана на рис. 13.3. h Площадь среза шва l 0,7h Рис. 13.3. Площадь среза флангового шва 106 Согласно схеме, показанной на рис. 13.3, площадь среза шва равна: Aср = 0,7 hl т , (13.3) где h – высота сварного шва; l т – теоретическая длина шва. Условие прочности сварного соединения с учётом (13.3) имеет вид Q ≤ [ τ]э , 0,7 hl т (13.4) где [τ] э – допускаемые касательные напряжения материала электрода. Пример 17. Определить длину накладки l сварного соединения, показанного на рис. 13.4. Допускаемые напряжения материала электрода [τ] э = 110 МПа. Накладка l F 5 5 F = 300 кН к lш Рис. 13.4. Схема сварного соединения встык На рис. 13.4 показано, что длина накладки равна двум конк структивным длинам одного шва: l = 2lш . Швы расположены на одинаковом расстоянии от оси, по которой действует сила F, поэтому теоретическая длина шва равномерно разделяется на че- тыре конструктивных шва: lшк = l т 4 + 1 см. Один сантиметр добав- ляется на каждый конструктивный шов для компенсации воз107 можных недостатков в качестве сварки. Теоретическая длина шва определяется из условия прочности (13.4) lт = Q . 0,7 h [τ]э (13.5) Согласно схеме на рис. 13.4 высота шва равна h = 5 мм, поперечная сила равна Q = F = 300 кН. Тогда вычисления по формуле (13.5) дают следующий результат: lт = 300 ⋅ 10−3 102 = 77,92 ≅ 78 см. −3 0, 7 ⋅ 5 ⋅ 10 ⋅ 110 Далее производятся вычисления по приведённым выше формулам: lшк = 78 4 + 1 = 20, 5 см; l = 2 ⋅ 20,5 = 41 см. 13.2. Кручение стержней с круглым поперечным сечением При кручении стержня в поперечном сечении возникает одно внутреннее усилие – крутящий момент M x . Внешняя нагрузка также представляет собой моменты M к относительно продольной оси х. Крутящие моменты как внутренние усилия определяются методом сечений. Процедура метода сечений сводится к формуле M x = ∑ M кi . (13.6) i Формула (13.6) читается следующим образом: крутящий момент в сечении равен сумме внешних моментов относительно оси х, действующих на отсечённую часть конструкции. Под знак суммы внешние моменты входят по принятому правилу знаков: если смотреть на отсечённую часть со сторо108 ны внешней нормали к сечению, то моменты, направленные против часовой стрелки, являются положительными. Сформулированное правило знаков показано на рис. 13.5. Определение крутящих моментов оформляется в виде эпюры крутящих моментов (см. пример 18). М к2 М 1к М к3 Сечение М 1к Направление взгляда М к3 М к2 Рис. 13.5. Правило знаков для крутящих моментов Интегральная зависимость (2.6) ( M x = ∫ (τ y z − τ z y )dA ) A неудобна для получения алгебраической формулы, выражающей касательные напряжения через крутящий момент, поэтому для круглого сечения исτ пользуется другая интегральная зависиdA мость, составленная в полярной системе ρ координат (рис. 13.6). • На рис. 13.6 показано, что при кручении стержня с круглым поперечным сечением касательные напряжения направлены перпендикулярно радиальной координате ρ. В этом случае дифференциал Рис. 13.6. Касательное напряжение крутящего момента равен: 109 dM x = τρdA . Тогда крутящий момент определяется по формуле M x = ∫ τρdA . (13.7) A Для взятия интеграла используется допущение о плоском сечении: круглое поперечное сечение при кручении поворачивается относительно оси х на угол ϕ, оставаясь плоским. На основе этого допущения рассматривается равновесие бесконечно малого элемента стержня длиной dx (рис. 13.7). dx а Угловая деформация γ b c dϕ Угол поворота сечения ρ о Рис. 13.7. Деформация при кручении круглого стержня На уровне бесконечно малых величин дугу окружности bc можно считать прямолинейной. Тогда из рассмотрения треугольника abc следует: bc = ab ⋅ γ = γ ⋅ dx . Из рассмотрения треугольника obc следует: bc = ρ ⋅ dϕ . Получается уравнение γ ⋅ dx = ρ⋅ d ϕ . (13.8) По закону Гука при сдвиге (12.2) ( τ = Gγ ) с учётом (13.8) касательные напряжения равны: τ = Gρ 110 dϕ . dx (13.9) При подстановке (13.9) в (13.7) получается: M x = ∫ Gρ A dϕ dϕ 2 dϕ , ρdA ⇒ M x = G ρ dA ⇒ M x = GJ ρ ∫ dx dx A dx где J ρ – полярный момент инерции. J ρ = ∫ ρ2 dA . (13.10) A Дальнейшие преобразования: M dϕ M x = ⇒ (13.9) : τ = Gρ x . dx GJ ρ GJ ρ Отсюда τ= M xρ . Jρ (13.11) По своей структуре формула (13.11) аналогична формуле (11.1), по которой определяются нормальные напряжения при чистом изгибе. В связи с этим подобны и дальнейшие преобразования. Эпюра касательных напряжений показана на рис. 13.8. ρmax эп. τ τmax Рис. 13.8. Эпюра касательных напряжений при кручении 111 На эпюре касательных напряжений видно, что максимальные напряжения возникают в точках внешнего контура поперечного сечения. M τmax = x , (13.12) Wρ где Wρ – полярный момент сопротивления. Wρ = Jρ ρ max . (13.13) Вопросы для самопроверки 1. Какая разница между теоретической и конструктивной длиной сварного шва? 2. По какому принципу теоретическая длина сварного шва разделяется на конструктивные длины швов? 3. Как направлены касательные напряжения в точке при кручении стержня с круглым поперечным сечением? 112 ЛЕКЦИЯ 14. ПРОЧНОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ КРУЧЕНИИ 14.1. Условие прочности при кручении По условию прочности должно выполняться условие τ max ≤ [τ] или с учётом (13.12) ⎛M ⎞ (14.1) ⎜⎜ x ⎟⎟ ≤ [τ] . W ρ ⎝ ⎠ max Если диаметр сечения постоянен по длине стержня, то условие прочности записывается в виде M xmax ≤ [ τ] . (14.2) Wρ Максимальный крутящий момент определяется с помощью эпюры крутящих моментов. Пример 18. Определить диаметр вала (вал – стержень с круглым поперечным сечением), представленного на рис. 14.1. M к3 = 70 кНм I d 0,6 м M к2 = 80 кНм c M к3 = 70 кНм II 0,8 м 50 b III a 0,5 м 40 эп. Mx (кНм) 30 Рис. 14.1. Расчётная схема вала 113 Допускаемое касательное напряжение – [τ] = 80 МПа. Вал имеет постоянный по длине диаметр, поэтому используется условие прочности (14.2). Для определения M xmax строится эпюра крутящих моментов. Моменты на каждом участке определяются по формуле (13.6). Участок I. Рассматривается равновесие левой отсечённой части (правая часть может быть рассмотрена после определения реактивного момента на опоре), изображённой на рис. 14.2. Направление взгляда М х(1) = М 1к = 50 кНм М 1к Рис. 14.2. Расчётная схема первого участка Участок II. Рассматривается равновесие левой отсечённой части, изображённой на рис. 14.3. М к2 Направление взгляда М 1к М х( 2) = М 1к − М к2 = = 50 − 80 = −30 кНм Рис. 14.3. Расчётная схема второго участка Участок III (рис. 14.4). М к2 М 1к М к3 Направление взгляда М х(3) = М к1 − − М к2 + М к3 = = 50 − 80 + 70 = = 40 кНм Рис. 14.4. Расчётная схема третьего участка 114 Результаты расчётов на отдельных участках оформляются в виде эпюры, представленной на рис. 14.1. Эпюра показывает, что M xmax = 50 кНм . Из условия прочности (14.2) вычисляется требуемый полярный момент сопротивления. Wρ = M xmax 50 ⋅10−3 6 = 10 = 625 см3. [ τ] 80 Если сечение вала – сплошное, то полярный момент сопротивления выражается через диаметр по формуле πD3 Wρ = . (14.3) 16 Отсюда вычисляется диаметр. D= 3 16 Wρ π = 3 16 ⋅ 625 = 14,71 см. π Если сечение – трубчатое, то полярный момент сопротивления выражается через диаметр по формуле πD 3 Wρ = (1 − α 4 ), (14.4) 16 где α = d D ; D – наружный диаметр трубчатого сечения; d – внут- ренний диаметр трубчатого сечения (рис. 14.5). Эпюра касательных напряжений показана на рис. 14.5. На эпюре видно, что напряжения действуют только в пределах толщины стенки трубчатого сечения. Диаметр трубчатого сечения вычисляется по формуле, следующей из выражения (14.4). D= 3 16Wρ π(1 − α 4 ) . 115 D d эп. τ Рис. 14.5. Трубчатое сечение вала При α = 0,8 диаметр равен: D= 3 16 ⋅ 625 = 17,53 см. π(1 − 0,84 ) Для сравнения расхода материала при сплошном и трубчатом сечениях используются величины площадей поперечных сечений. Сплошное сечение имеет площадь Асп = 169,95 см2, трубчатое сечение – Атр = 86,93 см2. Сравнение площадей поперечных сечений показывает, что трубчатое сечение даёт значительную экономию материала. 14.2. Перемещения при кручении валов Перемещениями при кручении являются углы поворота φ поперечных сечений. Для определения углов поворота рассматривается соотношение dϕ M x = , полученное при выводе формуdx GJ ρ лы (13.11). Из этого соотношения следует: l M dx M d ϕ = x ⇒ ϕ = ∫ x dx . GJ ρ GJ ρ 116 Интеграл берётся по длине участка l. Если на участке крутящий момент и жёсткость при кручении ( GJ ρ ) постоянны, то угол поворота определяется по формуле ϕ= M xl . GJ ρ (14.5) По своей структуре формула (14.5) аналогична формуле (6.12), по которой вычисляется удлинение участка при растяжении-сжатии. В связи с этим определение углов поворота при кручении полностью повторяет особенности вычисления перемещений при растяжении-сжатии. Пример 19. Построить эпюру углов поворота для вала, рассчитанного в примере 18. Модуль сдвига равен G = 8 ⋅ 104 МПа. Сечение – трубчатое; полярный момент инерции вычисляется по формуле Jρ = πD 4 π ⋅17,534 (1 − α 4 ) = (1 − 0,84 ) = 5479, 6 см4. 32 32 Для сравнения приводится полярный момент инерции сплошного сечения. Jρ = πD 4 π ⋅14, 714 = = 4596, 7 см4. 32 32 Сравнение полярных моментов инерции показывает, что при одинаковых максимальных напряжениях жёсткость трубчатого сечения больше, чем жёсткость сплошного сечения. Для построения эпюры ϕ углы поворота крайних сечений участков определяются относительно опорного сечения а (см. рис. 14.1). Угол поворота опорного сечения равен нулю: ϕа = 0. Угол поворота сечения b относительно сечения а вычисляется по формуле (14.5). 117 M x(3)l3 40 ⋅10−3 ⋅ 0,5 = = 46 ⋅10−4 рад. 4 −8 GJ ρ 8 ⋅10 ⋅ 5479, 6 ⋅ 10 Угол поворота сечения с относительно сечения а: M (2)l −30 ⋅10−3 ⋅ 0,8 ϕc−a = x 2 + ϕb−a = + 46 ⋅10−4 = −9 ⋅10−4 . GJρ 8 ⋅104 ⋅ 5479,6 ⋅10−8 Угол поворота сечения d относительно сечения а: M (1)l 50 ⋅10−3 ⋅ 0,6 ϕd −a = x 1 + ϕc−a = − 9 ⋅10−4 = 59 ⋅10−4 . −8 4 GJ ρ 8 ⋅10 ⋅ 5479,6 ⋅10 Вычисленные значения углов откладываются на эпюре (рис. 14.6). ϕb − а = M к3 = 70 кНм 2 M 1к = 50 кНм M к = 80 кНм I II d c 0,6 м b 0,8 м III a 0,5 м 59 46 9 эп. ϕ (10 −4 рад) Рис. 14.6. Эпюра углов поворота поперечных сечений 14.3. Статически неопределимые системы, работающие на кручение Вал, показанный на рис. 14.7, является статически неопределимым, т. к. уравнение статики одно ( ∑ M x( i ) = 0 ), а неизвестi а к b к ных опорных моментов ( M , M ) – два. 118 M ак a M к3 = 70 кНм M к2 = 80 кНм I c 0,6 м II 0,8 м d III M bк b 0,5 м Рис. 14.7. Статически неопределимый вал Опорные сечения вала жёстко защемлены, т. е. не поворачиваются. Тогда физический смысл уравнения совместности перемещений состоит в том, что взаимный угол поворота опорных сечений равен нулю. ϕb− a = 0 . (14.6) С использованием формулы (14.5) уравнение (14.6) принимает вид M x(1)l1 M x(2)l2 M x(3)l3 + + =0. GJ ρ GJ ρ GJ ρ (14.7) Моменты на участках выражаются через момент M кa : M x(1) = M а к ; M x(2) = M а к − M к2 ; M x(3) = M а к − M к2 + M к3 . (14.8) После подстановки (14.8) в (14.7) получается: M ка ⋅ 0, 6 + ( M ка − M к2 )0,8 + ( M ка − M к2 + M к3 )0,5 = 0 . Отсюда M ка = 6 кН. По выражениям (14.8) вычисляются моменты на участках вала, и строится эпюра крутящих моментов (рис. 14.8). 119 M к2 = 80 кНм M ка a I c 0,6 м M к3 = 70 кНм II 0,8 м 6 d M кb III b 0,5 м эп. Мх 4 74 Рис. 14.8. Эпюра крутящих моментов Вопросы для самопроверки 1. Каков порядок определения максимальных касательных напряжений в конструкции при кручении? 2. Какой тип поперечного сечения является наиболее экономичным по расходу материала при кручении? 3. Какие перемещения возникают при кручении валов? 4. Какой физический смысл имеет уравнение совместности перемещений при кручении вала с двумя опорами-защемлениями? 120 ЛЕКЦИЯ 15. ВИДЫ НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ 15.1. Плоское напряжённое состояние в точке Для всех рассмотренных видов деформации условие прочности записывается через напряжения, действующие на площадках поперечного сечения. Но через точку можно провести бесчисленное множество наклонных площадок, на каждой из которых действуют нормальные и касательные напряжения. Необходимо установить зависимость напряжений на наклонных площадках от напряжений, действующих на площадках поперечного сечения. Эта зависимость позволяет сформулировать условия, при которых напряжения на наклонных площадках принимают большие значения, чем напряжения в поперечном сечении. Тогда прочность оценивается по напряжениям, действующим на наклонных площадках. Рассматривается бесконечно малый элемент конструкции, вырезанный вокруг точки поперечными и продольными сечениями (рис. 15.1). Для общности выводов учитываются напряжения σ y , которых нет в рассмотренных видах деформации. у v σy Площадка поперечного сечения σx u τ τ σx α х τ τ σy Площадка продольного сечения Рис. 15.1. Напряжения в точке при плоском напряжённом состоянии 121 Касательные напряжения, действующие на взаимно перпендикулярных площадках, соответствуют закону парности касательных напряжений, сформулированному ранее (11.6). Совокупность напряжений вокруг точки называется напряжённым состоянием. Описать напряжённое состояние – значит получить формулы, выражающие напряжения на наклонных площадках (соответствующих осям u, v) через напряжения, действующие на площадках поперечного и продольного сечений. Формально задача о плоском напряжённом состоянии аналогична задаче о зависимости между моментами инерции при повороте осей координат на угол α. С целью сохранения аналогии принято то же обозначение повёрнутых осей координат (u, v). Дальнейшие выкладки проводятся в матричной форме. Формулы преобразования координат при повороте осей (4.1) в матричном виде записываются следующим образом: ⎛ u ⎞ ⎛ cos α sin α ⎞⎛ z ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ , ⎝ v ⎠ ⎝ − sin α cos α ⎠⎝ y ⎠ (15.1) ⎛ cos α sin α ⎞ ⎟⎟ – матрица линейного преобразования где H = ⎜⎜ − α α sin cos ⎝ ⎠ координат при повороте осей. Исходная матрица плоского напряжённого состояния в точке имеет вид ⎛ σx τ ⎞ S0 = ⎜ (15.2) ⎟. ⎝ τ σy ⎠ Матрица плоского напряжённого состояния в точке при повороте осей имеет вид ⎛σ Sα = ⎜ u ⎝ τα τα ⎞ ⎟. σv ⎠ По правилам линейного преобразования матриц 122 (15.3) Sα = H * S0 H , (15.4) где Н* – транспонированная матрица Н. Преобразования по правилу перемножения матриц дают следующие результаты: σ u = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α − τ sin(2α) , (15.5) σ v = σ x sin 2 α + σ y cos 2 α + τ sin(2α) , (15.6) τα = σx − σ y 2 sin(2α) + τ cos(2α) . (15.7) Выражения (15.5) – (15.7) по своей структуре аналогичны формулам (4.2) – (4.4), определяющим зависимость между моментами инерции при повороте осей координат. Задача определения экстремальных значений нормальных напряжений решается по следующей схеме. 1) Определяется положение главных площадок. Главными называются площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. 2τ τα = 0 ⇒ tg(2α) = − . (15.8) σx − σ y Угол α, определяющий положение главных площадок, вычисляется с помощью функции arctg(–2τ /(σх – σу)). 2) При известной величине α главные напряжения вычисляются по формулам (15.5), (15.6). Главные напряжения – это экстремальные (max, min) нормальные напряжения, действующие на главных площадках. Главные напряжения в терминах теории матриц – это собственные значения матрицы S 0 (15.2). Тогда главные напряжения можно определить из уравнения (σ x − σ) τ = 0 ⇒ (σ x − σ)(σ y − σ) − τ2 = 0 (σ y − σ) τ 123 σ 2 − ( σ x + σ y )σ + σ x σ y − τ 2 = 0 . или Отсюда σ1,2 = σx + σ y 2 ± 1 (σ x − σ y ) 2 + 4 τ 2 . 2 (15.9) Значения главных напряжений, вычисленные по формулам (15.5), (15.6), должны совпадать со значениями, вычисленными по формуле (15.9). Максимальные касательные напряжения определяются по схеме исследования функции τ α (15.7) на экстремум. ∂τα = (σ x − σ y ) cos(2α) − 2τ sin(2α) = 0 . ∂α Отсюда σx − σ y tg(2α) = . 2τ (15.10) Из выражения (15.7) с помощью формулы (15.10) исключаются sin(2α), cos(2α). Получается формула для вычисления максимальных касательных напряжений: τmax = α 1 (σ x − σ y ) 2 + 4 τ 2 . 2 (15.11) Формулы (15.9), (15.11) позволяют проанализировать условия прочности для простых видов деформации. Растяжение-сжатие. Исходные напряжения равны: σx = σ = N A , σ y = 0, τ = 0 . При подстановке этих напряжений = в формулы (15.9), (15.11) получается: σ1 = σ, σ2 = 0, τmax α σ 2 . Подстановка исходных напряжений в формулу (15.10) даёт следующий результат: tg( 2α ) = ∞ ⇒ 2α = 90 D ⇒ α = 45 D . Получен124 ные максимальные напряжения при растяжении-сжатии совпадают с результатами (6.3), (6.4) лекции 6. Поперечный изгиб. Исходные напряжения равны: Qy S z* Mz y σx = σ = . , σ y = 0, τ = Jz J z by При подстановке этих напряжений в формулы (15.9), (15.11) получается: σ 1 σ1,2 = ± σ 2 + 4τ2 . (15.12) 2 2 1 ταmax = σ2 + 4 τ 2 . (15.13) 2 В точках поперечного сечения с координатой ymax напряжения равны: σ = Mz Wz , τ = 0 . Тогда σ1 = σ, τα max = σ 2 . В точках * с координатой у = 0 напряжения равны: σ = 0, τ = Q y ( S z ) max J z by . То- гда σ1 = τ, ταmax = τ . Установленные величины главных напряжений и максимальных касательных напряжений характерны для большинства типов сечений (кроме тонкостенных сечений). Эти величины показывают, что проверка прочности по нормальным напряжениям, действующим на площадках поперечного сечения, достаточна. Сдвиг и кручение. Исходными являются только касательные напряжения τ, нормальные напряжения равны нулю: σх = 0, σу = 0. Тогда σ1 = τ, τ max = τ . Следовательно, проверка прочноα сти по касательным напряжениям, действующим в плоскости поперечного сечения, достаточна для обеспечения прочности всей конструкции. 125 Вопросы для самопроверки 1. Какие площадки, проходящие через точку, называются главными? 2. Какие напряжения называются главными напряжениями? 3. Каков главный итог изучения плоского напряжённого состояния при простых видах деформации? 126 ЛЕКЦИЯ 16. СВОДКА СХЕМ ДЕКАРТА ДЛЯ ПРОСТЫХ ВИДОВ ДЕФОРМАЦИИ 16.1. Подведение итогов за семестр Рассмотрены четыре вида деформации (рис. 16.1–16.4). Сводка формул дана по схеме Р. Декарта для каждого вида деформации, начиная с математической модели (первый пункт схемы Р. Декарта). Общая математическая задача представлена во второй лекции. Растяжение-сжатие Схемы опор Длина стержня Расчётная схема конструкции Метод сечений Напряжения Схемы нагрузок Размеры поперечного сечения Математическая задача Внутреннее усилие Продольная сила N = ∑ Fxi i Интегральное выражение N = ∫ σ dA A Рис. 16.1. Схема Р. Декарта для деформации «растяжение-сжатие» (см. также с. 128) 127 Алгебраическая задача Эксперимент Допущение о плоском сечении Нормальные напряжения N σ= A Закон Гука σ = Еε Линейная относительная деформация ε = Δl/l Nl Удлинение Δl = EA Арифметическая задача Условие прочности ⎛N⎞ ≤ [σ ] ⎜ ⎟ ⎝ A ⎠ max Эксперимент Допускаемое напряжение [σ] Варианты расчётов Проектировочный расчёт N A≥ [σ] Определение грузоподъёмности N ≤ A[σ] Рис. 16.1. Окончание 128 Проверочный расчёт ⎛N⎞ ≤ [σ ] ⎜ ⎟ ⎝ A ⎠ max Схема на рис. 16.1 не отражает особенностей решения статически неопределимых задач. Учёт этих особенностей усложняет схему, которая теряет наглядность. Схема поперечного изгиба представлена на рис. 16.2. Поперечный изгиб Схемы опор Длина стержня Размеры поперечного сечения Схемы нагрузок Расчётная схема конструкции Метод сечений Напряжения Математическая задача Внутренние усилия Поперечная сила Q = ∑ Fyi i (i ) Изгибающий момент M z = ∑ M 0 i Интегральные выражения M z = ∫ σ y dA Q y = ∫ τ y dA A A Рис. 16.2. Схема Р. Декарта для деформации «поперечный изгиб» (см. также с. 130) 129 Алгебраическая задача Допущение о плоском сечении Напряжения Qy S z M y σ= z , τ= J z by Jz Эксперимент Закон Гука σ = Еε Максимальные напряжения в сечении M σ max = z Wz Арифметическая задача Условие прочности ⎛Mz ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ≤ [σ ] ⎝ W z ⎠ max Эксперимент Допускаемое напряжение [σ] Рис. 16.2. Окончание Деформации сдвига и кручения представляются по упрощённой схеме Р. Декарта для экономии места в тексте (рис. 16.3, 16.4). 130 Сдвиг Математическая задача Интегральная зависимость Q y = ∫ τ y dA A Алгебраическая задача Касательные напряжения Q τ= A Арифметическая задача Условие прочности Q ≤ [τ] A Рис. 16.3. Упрощённая схема Р. Декарта для деформации «сдвиг» Кручение Математическая задача Интегральная зависимость M x = ∫ τρdA A M x = ∑ M iк i Алгебраическая задача Напряжения M ρ τ= x Jρ Перемещения M l ϕ= x GJ ρ Арифметическая задача Условие прочности ⎛Mx ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ≤ [τ] ⎝ Wρ ⎠ max Рис. 16.4. Упрощённая схема Р. Декарта для деформации «кручение» Схема Р. Декарта не отражает подробно некоторые разделы сопротивления материалов, например, определение геометрических характеристик. При изучении деформации изгиба было отмечено, что поперечное сечение должно быть симметричным относительно оси у, поэтому оси z, y являются главными центральными и следует обратить внимание на формулы зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей. 131 n J z0 = ∑ ( J z0 i + ( yci − yc ) 2 Ai ) . i =1 n J y0 = ∑ ( J y0 i + ( zci − zc ) 2 Ai ) . i =1 В большинстве практических расчётов используются прямоугольное и круглое сечения, поэтому моменты инерции J z 0 i , J y 0 i для этих сечений полезно запомнить. Прямоугольник. J z = bh 3 12 , Jy = hb 3 12 , J zy = 0 , где оси z, y – главные центральные оси (оси симметрии) прямоугольника. Момент сопротивления относительно оси z равен Wz = Круг. J z = J y = πD 4 64 bh 6 2 . , J zy = 0 , где оси z, y – главные цен- тральные оси круга. Момент сопротивления относительно оси z равен Wz = πD 3 32 . Полярный момент инерции равен J ρ = лярный момент сопротивления равен Wρ = πD 16 πD 32 4 . По- 3 . Тема плоского напряжённого состояния в точке также не отражается в схеме Р. Декарта. Эта тема даёт важный качественный вывод: при простых видах деформации напряжения в плоскости поперечного сечения являются максимальными, поэтому проверка прочности по напряжениям, действующим в плоскости поперечного сечения, обеспечивает учёт самых больших напряжений в опасной точке конструкции. Решение задач сопротивления материалов производится по общей схеме, показанной на рис. 16.5. 132 Последовательность решения задач сопротивления материалов 1. Расчётная схема конструкции 2. Вид деформации 3. Условие прочности 4. Построение эпюры внутреннего усилия для определения максимального усилия (при постоянных размерах сечения по длине конструкции) 5. Вычисление неизвестной величины из условия прочности Рис. 16.5. Схема решения задач сопротивления материалов На схеме рис. 16.5 первый блок представляет собой расчётную схему конструкции с условием задачи. При переходе ко второму блоку следует определить вид деформации по заданной расчётной схеме (растяжение-сжатие, изгиб, сдвиг, кручение). 133 Определение вида деформации является для студента самым трудным этапом решения задач сопротивления материалов. После определения вида деформации выполняется третий блок схемы – из четырёх условий прочности выбирается одно условие по названию деформации. Условие прочности показывает, какое внутреннее усилие следует определять с помощью построения соответствующей эпюры, т. е. выполняется четвёртый блок. В пятом блоке из условия прочности при известном максимальном усилии определяется неизвестный параметр задачи (геометрический размер сечения, параметр допускаемой нагрузки, максимальное напряжение). Вопросы для самопроверки 1. Какова схема Р. Декарта для каждого простого вида деформации? 2. Какова последовательность решения задач сопротивления материалов? 3. Какие геометрические характеристики поперечных сечений используются в расчётах на прочность при простых видах деформации? Вопросы для самостоятельной работы 1. Принцип Сен-Венана. 2. Построение эпюр внутренних усилий в криволинейных стержнях. 3. Расчёт пружин на прочность. 4. Расчёт на прочность стержней большой кривизны. 5. Потенциальная энергия деформации. 6. Влияние температуры на механические характеристики материала. 7. Механизм образования деформации. 134 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Основная литература 1. Маркова, Б.Н. Сопротивление материалов / Б.Н. Маркова. – М. : КДУ, 2006. – 256 с. 2. Саргсян, А.Е. Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности / А.Е. Саргсян. – М. : Высшая школа, 2002. – 283 с. 3. Ахметзянов, М.Х. Сопротивление материалов / М.Х. Ахметзянов, П.В. Грес, И.Б. Лазарев. – М. : Высшая школа, 2007. – 334 с. Дополнительная литература 4. Александров, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Александров, В.Д. Потопов, Б.П. Державин. – М. : Высшая школа, 2000. – 560 с. 5. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. – М. : Наука, 1986. – 655 с. 135 Учебное издание Ростислав Павлович Моисеенко ЛЕКЦИИ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Часть I Учебное пособие Научный редактор доктор физ.-мат. наук, профессор В.Н. Барашков Редактор Е.А. Кулешова Технический редактор Н.В. Удлер Подписано в печать 14.10.2010. Формат 60×84. Бумага офсет. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 7,91, Уч.-изд. л. 7,16. Тираж 280 экз. Заказ № 388. Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2. Отпечатано с оригинала-макета в ООП ТГАСУ. 634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15. 136