Основы прочности авиационных конструкций

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный авиационный институт (технический университет) ОСНОВЫ ПРОЧНОСТИ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ К.С. Щербань Издательство МАИ 2018 Основы прочности авиационных конструкций Учебное пособие/Щербань К.С. – М.: Изд-во МАИ, 2014- с.: ил. Изложены основные разделы курса сопротивления материалов, которые нашли применение для анализа прочности авиационных конструкций, а именно: - нагруженное, напряженное и деформированное состояния стержней и балок сплошных и тонкостенных сечений для основных видов деформирования (растяжения-сжатия, кручения, изгиба, сдвига); - механические свойства конструкционных материалов (характеристики статической прочности, сопротивления усталости, сопротивления развитию трещины при циклическом нагружении, статической трещиностойкости); - геометрические характеристики плоских сечений; - изгиб продольно сжатых стержней (внецентренное сжатие коротких стержней, упругая потеря устойчивости длинных стержней, потеря устойчивости за пределом упругости); - статически определимые и статически неопределимые стержневые систем; - сложное напряженное состояние и критерии прочности; - расчет статической прочности, усталостной долговечности, длительности развития усталостной трещины и остаточной прочности элементов авиационных конструкций. Даны примеры расчетов. Материал изложен в соответствии с учебной программой авиационных специальностей вузов. Московский государственный авиационный институт (технический университет) 2018 Предисловие Учебное пособие написано по материалам лекций, которые длительное время читаются студентам факультета «Стрела» Московского государственного авиационного института. Построение курса лекций подчинено главной цели преподавания «Сопротивления материалов конструкций летательных аппаратов», которая заключается в изучении студентами фундаментальных методов определения деформированного и напряженного состояний конструкций и изучение критериев разрушений для того, чтобы дать подготавливаемым авиационным специалистам необходимые основы прочности авиационных конструкций. Получив представления о методах расчета на прочность, студенты должны получить возможность более глубокого изучения специальных курсов по прочности и проектированию авиационных конструкций. Одновременно с этим должны были существенно расшириться возможности овладения практическими навыками применения общетеоретических знаний. При написании учебного пособия ставилась задача изложения теории и методов сопротивления материалов в доступной и легкой для восприятия форме студентами, впервые приступившими к изучению предмета. Материал излагается с пространными рассуждениями и иллюстративными примерами, для того чтобы студенты смогли легко овладеть основами расчета прочности элементов авиационных конструкций. Учитывая, что учебное пособие нельзя перегружать, и оно не должно отпугивать студента своим объемом и соответствовать тому ограниченному числу учебного времени, которое выделяется в авиационных институтах на овладение курсом «Сопротивления материалов конструкций летательных аппаратов», в пособие включены только основные темы, а именно: - силовые факторы, а также напряженное и деформированное состояния стержней и балок сплошных и тонкостенных сечений для основных видов деформирования (растяжения-сжатия, кручения, изгиба, сдвига); - механические свойства конструкционных материалов (характеристики статической прочности, сопртивления усталости, сопротивления развитию трещины при циклическом нагружении, статической трещиностойкости); - геометрические характеристики плоских сечений; - изгиб продольно сжатых стержней (внецентренное сжатие коротких стержней, упругая потеря устойчивости длинных стержней, потеря устойчивости за пределом упругости); - статически определимые и статически неопределимые стержневые систем; - сложное напряженное состояние и критерии прочности; - расчет статической прочности, усталостной долговечности, длительности развития усталостной трещины и остаточной прочности элементов авиационных конструкций. Оглавление Страница Сопротивление материалов – наука о прочности конструкций 9 Глава 1. Основные определения и допущения 10 1.1 Общие принципы расчета на прочность 10 1.2 Понятие о расчетной схеме 10 1.3 Формы тел, рассматриваемые в сопротивлении материалов 11 1.4 Классификация внешних сил 12 1.5 Опорные устройства и их реакции 13 1.6 Основные допущения о свойствах материалов и допущения, связанные с характером деформаций 14 Глава 2. Внутренние силы в поперечных сечениях бруса 17 Раздел 1. Метод сечений 17 1.1 Внутренние силовые факторы 18 Раздел 2. Центральное растяжение-сжатие. Нормальные силы 20 2.1. Нормальные усилия в стержнях стержневой системы 20 2.1.1. Нормальные усилия в стержнях статически определимой системы 21 2.1.2. Нормальные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы 26 2.1.3. Температурные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы 30 2.2. Центральное растяжение и сжатие ступенчатого бруса 33 2.2.1. Нормальные усилия возникающие при растяжении и сжатии статически определимого ступенчатого бруса 33 2.2.2. Нормальные усилия, возникающие при растяжении и сжатии статически неопределимого ступенчатого бруса 34 2.2.3 Эпюры нормальных сил при растяжении и сжатии ступенчатого бруса 36 Раздел 3. Кручение. Крутящие моменты 38 3.1. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически определимого бруса 38 3.2. Крутящие моменты, возникающие при кручении статически неопределимого бруса 40 3.3 Построение эпюр крутящих моментов 41 Раздел 4. Плоский поперечный изгиб балок. Перерезывающие силы и изгибающие моменты 43 4.1. Перерезывающие силы и изгибающие моменты 44 4.2. Дифференциальные зависимости при изгибе бруса 46 4.3. Построение эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил 47 ГЛАВА 3. Напряжения и деформации 58 Раздел 1 Напряженное состояние в точке 60 1.1 Закон парности касательных напряжений 60 1.2. Обобщенный закон Гука 61 1.3 Главные напряжения и главные площадки 63 1.4 Определение компонент напряжений на наклонной площадке. Круговая диаграмма Мора 63 1.5 Определение главных напряжений и угла наклона главных площадок 65 1.6 Определение компонент напряжений на площадке общего положения 66 1.7 Потенциальная энергия деформации 69 Раздел 2. Центральное растяжение и сжатие 70 2.1 Напряжения в поперечных сечениях бруса 72 2.2 Перемещения поперечных сечений бруса 75 2.3 Эпюры нормальных напряжений, деформаций и перемещений при растяжении и сжатии ступенчатого бруса 75 Раздел 3. Сдвиг и срез 79 3.1. Чистый сдвиг 80 3.1.1. Связь между упругими константами материала E, G, и  при чистом сдвиге 82 3.2. Касательные напряжения при срезе 82 Раздел 4. Кручение 83 4.1 Кручение бруса круглого и кольцевого поперечных сечений 84 4.1.1 Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса 85 4.1.2 Угол поворота поперечного сечения бруса 87 4.1.3 Напряжения в различно ориентированных сечениях и характер разрушения при кручении бруса круглого сечения 90 4.2 Кручение бруса замкнутого тонкостенного сечения 91 4.2.1 Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса 91 4.2.2 Угол поворота поперечного сечения бруса 92 4.3 Кручение бруса многосвязного тонкостенного профиля 95 4.4 Кручение бруса прямоугольного сечения 96 4.5. Кручение бруса тонкостенного открытого профиля 97 4.6. Кручение бруса незамкнутого криволинейного профиля переменной толщины 100 4.7 Кручение бруса незамкнутого тонкостенного поперечного сечения, состоящего из нескольких участков различной толщины 100 4.8. Эпюры касательных напряжений, относительных и абсолютных углов закручивания 102 Раздел 5. Плоский прямой изгиб бруса 106 5.1 Нормальные напряжения при чистом изгибе бруса 111 5.2 Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе бруса. Формула Журавского 116 5.3 Анализ напряженного состояния при поперечном изгибе бруса 119 5.4 Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе балок тонкостенного профиля 120 5.5 Центр изгиба балки несимметричного тонкостенного профиля 123 5.6 Дифференциальное уравнение упругой линии при поперечном изгибе 130 5.7 Энергетический метод определения перемещений Максвелла‑Мора 132 5.8 Графоаналитический метод определения прогиба балки методом Верещагина 136 5.9 Расслоение эпюр 139 Раздел 6 Несимметричный изгиб прямого бруса 142 6.1 Напряжения относительно главных центральных осей 143 6.2 Напряжения относительно произвольной взаимноперпендикулярной пары центральных осей сечения 144 Раздел 7 Концентрация напряжений 149 7.1. Концентрация напряжений круглого отверстия 150 7.2. Концентрация напряжений эллиптического отверстия 155 7.3. Концентрация напряжений прямоугольного выреза со скругленными углами 157 Раздел 8 Коэффициент интенсивности напряжений 158 8.1 Односторонняя сквозная трещина у отверстия в полосе 159 8.2 Двухсторонняя сквозная трещина у отверстия в полосе 160 8.3 Односторонняя угловая трещина у отверстия в полосе 160 8.4 Двухсторонняя угловая трещина у отверстия в полосе 162 8.5 Трещина в подкрепленной панели крыла над целым (разрушенным) центральным стрингером 162 8.6 Трещина в подкрепленной панели фюзеляжа над целым (разрушенным) шпангоутом 165 Глава 4. Механические свойства конструкционных материалов 167 Раздел 1. Характеристики статической прочности материалов 167 1.1. Диаграммы деформирования. Характеристики материала 168 1.2. Пластические и хрупкие материалы 172 1.3. Закон разгрузки. Явление наклепа 173 1.4. Закон Гука при одноосном растяжении и сжатии 173 1.5. Поперечная деформация. Коэффициент Пуассона 174 Раздел 2 Характеристики сопротивления усталости 174 2.1. Характеристики цикла нагружения 176 2.2. Базовая кривая усталости 177 Раздел 3. Характеристики развития трещины при циклическом нагружении 179 Раздел 4. Характеристики статической трещиностойкости 181 4.1. Характеристики статической трещиностойкости в условиях плоской деформации 183 4.2 Характеристики статической трещиностойкости при плоском напряженном состоянии 183 4.3. Расчетные характеристики статической трещиностойкости 184 Глава 5. Геометрические характеристики плоских сечений 186 1. Статические моменты плоских сечений 186 2. Осевые, центробежный и полярный моменты инерции плоских сечений 188 3. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей 189 4. Изменение моментов инерции при повороте осей координат 189 5. Главные оси и главные моменты инерции. Круг инерции Мора 190 6. Моменты инерции простейших фигур 191 7. Моменты инерции составных сечений 195 Глава 6. Изгиб продольно сжатых стержней 202 Раздел 1. Внецентренное сжатие коротких стержней 202 1.1 Внецентренное сжатие силой, приложенной на одной из главных осей инерции сечения стержня 203 1.2 Внецентренное сжатие силой, которая не находится ни на одной из главных осей инерции сечения стержня 205 Раздел 2. Упругая потеря устойчивости длинных стержней 206 2.1. Упругая потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного осевой нагрузкой. Формула Эйлера 206 2.2. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой нагрузкой с эксцентриситетом 208 2.3. Упругая потеря устойчивости стержня с первоначальной кривизной 209 2.4. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой и поперечной нагрузками 211 2.4.1. Приближенная формула определения прогиба балки при продольно-поперечном изгибе 212 2.4.2. Дифференциальное уравнение изгибающих моментов при продольно‑поперечном изгибе балки 214 2.5. Энергетический метод определения критической нагрузки 214 2.6. Большие перемещения гибкого стержня 216 Раздел 3. Потеря устойчивости за пределом упругости 219 3.1. Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера 219 3.2. Устойчивость стержней за пределом упругости. Модуль Кармана 221 3.3. Формула Ясинского-Тетмайера для определения критических напряжений 224 Глава 7. Статически определимые стержневые системы 226 1. Типы стержневых систем 227 2. Внутренние силовые факторы в сечениях пространственного бруса 227 3. Внутренние силовые факторы в сечениях плоской рамы 232 4. Внутренние силовые факторы в стержнях фермы 234 5. Напряжения в сечениях бруса малой кривизны 237 6. Перемещения сечений пространственного бруса 238 6.1. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения 238 6.2. Энергетический метод определения перемещений сечений пространственного бруса. Интеграл Мора 240 6.3. Перемещения сечений плоской рамы 245 6.4 Перемещения узлов фермы 247 6.5 Относительные перемещения сечений стержней системы 248 Глава 8. Плоские статически неопределимые стержневые системы 252 1 Кинематический анализ плоских систем 252 2 Метод сил. Канонические уравнения 254 2.1. Внешне статически неопределимые рамы 255 2.2. Внутренне статически неопределимые рамы 256 2.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений 257 2.4. Рациональный выбор основной системы. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости 259 2.5. Последовательность решения статически неопределимых задач 261 3 Перемещения сечений статически неопределимых рам 267 Глава 9. Критерии прочности 270 Раздел 1. Критерии статической прочности 270 1.1 Критерий максимального главного напряжения (Rankine) 271 1.2 Критерий максимальной главной деформации (St. Venant) 271 1.3 Критерий суммарной энергии деформации (Beltramy & Haigh) 272 1.4 Критерий максимальных касательных напряжений (Tresca) 273 1.5 Критерий энергии деформации сдвига (Hencky & VonMises) 274 1.7 Критерий интенсивности напряжений 275 1.8 Критерий Кулона-Мора 276 1.9 Условия текучести при двухосном напряженном состоянии 278 Раздел 2. Критерии сопротивления усталости 280 2.1 Определение приведенных напряжений 281 2.1.1 Приведенные напряжения для элементов с геометрическими концентраторами 282 2.1.2 Приведенное напряжение для продольных стыков крыла 283 2.1.3 Приведенное напряжение для поперечных стыков 285 2.2 Схематизация процесса переменного нагружения 288 2.2.1 Метод «полных циклов» 288 2.2.2 Метод «дождевого потока» 289 2.3 Приведение ассиметричного цикла к эквивалентному по усталостной повреждаемости пульсирующему циклу 290 2.4 Определение эквивалентных напряжений на основании гипотезы линейного суммирования усталостных повреждений и базовой кривой усталости 292 Раздел 3. Критерии статической трещиностойкости 292 3.1 Энергетический критерий Гриффитса 293 3.2 Критерий разрушения Орована-Ирвина 295 Глава 10 Расчеты на прочность 297 Раздел 1 Расчет статической прочности 297 1.1 Расчет статической прочности по допускаемым напряжениям 298 1.1.1 Расчеты прочности при растяжении и сжатии стержневой системы или ступенчатого бруса 299 1.1.2 Расчет прочности при срезе и смятии 304 1.1.3 Расчет прочности и жесткости при кручении 308 1.1.4 Расчет прочности при изгибе 314 1.2 Расчет статической прочности по предельному состоянию 320 1.2.1 Расчет прочности при растяжении сжатии 321 1.2.2 Расчет прочности при кручении 323 1.2.3 Расчет прочности при изгибе 326 1.3 Расчет статической прочности при сложном напряженном состоянии 330 Раздел 2 Расчет устойчивости продольно сжатого стержня 335 2.1 Расчет устойчивости по аналитическим зависимостям 335 2.2 Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения основного допускаемого напряжения 340 Раздел 3. Расчет сопротивления усталости 343 3.1 Расчет усталостной долговечности 344 3.2 Расчет рейтингов усталости конструктивных элементов 346 3.2.1 Расчет рейтинга усталости для элементов с геометрическими концентраторами 349 3.2.2 Расчет рейтинга усталости заклепочных и болтовых соединений 350 3.2.3 Расчет рейтинга усталости продольного стыка панелей крыла 352 3.3 Расчет коэффициентов запаса к пределу усталости 353 3.3.1 Расчет коэффициентов запаса к пределу усталости при регулярном нагружении 353 3.3.1.1 Расчет коэффициентов запаса при однокомпонентном напряженном состоянии 353 3.3.1.2 Расчет коэффициентов запаса при сложном напряженном состоянии 355 3.3.2 Расчет коэффициентов запаса при нерегулярном нагружении 357 Раздел 4. Расчет длительности развития усталостной трещины 358 4.1 Расчет длительности развития усталостной трещины при регулярном циклическом нагружении 359 4.2 Расчет длительности развития усталостной трещины при нерегулярном циклическом нагружении 359 Раздел 5 Расчет остаточной прочности 361 5.1 Метод расчета остаточной прочности по предельной трещиностойкости 361 5.2 Метод расчета остаточной прочности по R - кривым 362 Литература 364 Сопротивление материалов – наука о прочности конструкций Сопротивление материалов с одной стороны, - наука о прочности и жесткости конструкций. Методами сопротивления материалов ведутся практические расчеты и определяются необходимые, как говорят, надежные размеры конструкции. С другой стороны, сопротивление материалов, - вводная учебная дисциплина, дающая основы расчетов на прочность. Сопротивление материалов играет ключевую роль в инженерном образовании, выполняя связующую роль между теоретическими науками (математикой, физикой, механикой и др.) и конкретными технически дисциплинами. Сопротивление материалов имеет целью создать практически приемлемые простые методы расчета типичных, наиболее часто встречающихся конструкций. При этом широко используются приближенные методы исследований. Необходимость довести решение каждой практической задачи до числового результата заставляет в сопротивлении материалов прибегать в ряде случаев к упрощающим гипотезам, которые подтверждаются в дальнейшем путем сравнения расчетных данных с экспериментом. Задача сопротивления материалов заключается не только в том, чтобы проанализировать прочностные свойства конструкции, но также и в том, чтобы в дальнейшем на основании полученных расчетных данных оценить работоспособность и практическую пригодность рассматриваемой конструкции. Сопротивление материалов опирается на математические науки, откуда заимствуется математический аппарат исследований, а также на методы теоретической механики. Сопротивление материалов примыкает к механике твердого деформируемого тела (теориям упругости, пластичности, ползучести и разрушения). Из этих наук сопротивление материалов черпает общие методы, более точные и полные решения отдельных задач. На основе общих положений сопротивления материалов созданы новые разделы науки о прочности, имеющие конкретную практическую направленность. Сюда относятся строительная механика сооружений, строительная механика конструкции самолета, теория прочности сварных конструкций и многие другие. Итак, сопротивление материалов,- это наука о прочности и жесткости конструкций, которые могут быть схематизированы системой брусьев, испытывающих упругие деформации. Главная задача сопротивления материалов является разработка простых, надежных, экспериментально апробируемых методов расчета на прочность, жесткость, устойчивость, сопротивление усталости и живучесть конструкции. Методы сопротивления материалов не остаются постоянными. Они изменяются вместе с возникновением новых задач и новых требований практики в связи с развитием техники. Если в прежних курсах преобладали вопросы прочности строительных и машиностроительных конструкций, то в настоящее время курс сопротивления материалов в значительной степени дополнился вопросами прочности конструкций летательных аппаратов, как при статическом, так и циклическом нагружении. При ведении инженерных расчетов методы сопротивления материалов следует применять творчески и помнить, что успех практического расчета лежит не столько в применении сложного математического аппарата, сколько в умении вникать в существо исследуемой конструкции, найти наиболее удачные упрощающие предположения и довести расчет до окончательного числового результата. Глава 6. Изгиб продольно сжатых стержней При нагружении продольными сжимающими усилиями элементов конструкции самолета, таких как стрингер, тонкостенная обшивка, бимс, полки лонжеронов и т.д., элементы могут потерять устойчивость. Под потерей устойчивости стержня понимают переход от исходного положения равновесия к новому положению равновесия, которое в большинстве случаев сопровождается большими перемещениями, пластическими деформациями или полным разрушением. В некоторых случаях при потере устойчивости конструкция продолжает работать и выполняет свои основные функции как, например, тонкостенная обшивка в самолетных конструкциях. Наиболее простым случаем является потеря устойчивости центрального сжатого стержня. При достаточно большой силе стержень не может сохранять первоначальную форму и неминуемо изогнется. Произойдет потеря устойчивости. Для анализа устойчивости необходимо выбрать расчетную схему. Основной, ставшей уже классической, является следующая расчетная схема. Предполагается, что система является идеальной, т. е., если речь идет о сжатом стержне, ось его строго прямолинейна, материал однороден, силы приложены центрально. Идеальной системе сообщается отклонение от положения равновесия. При этом рассматриваются отклонения, которые являются не только малыми, но могут быть сделаны меньше любой малой заданной величины. Если после устранения причин, вызвавших отклонение, система возвращается к исходному состоянию равновесия, то последнее считается устойчивым. Если не возвращается, то положение равновесия считается неустойчивым. Силы инерции, возникающие при движении системы, не учитываются. Такой подход к анализу устойчивости позволяет для абсолютного большинства упругих систем определить такие значения внешних сил, при которых устойчивое положение равновесия становится неустойчивым. Такие силы называются критическими и рассматриваются для конструкции как предельные. Первоначально прямые стержни подверженные, осевой сжимающей нагрузке, можно классифицировать на следующие три типа. 1) Короткие стержни, разрушение которых возникает в результате чрезмерных напряжений. 2) Очень длинные и гибкие стержни, которые разрушаются в результате упругой потери устойчивости. Для таких случаев вычисление напряжений не существенно. 3) Промежуточные стержни, чья гибкость находится между двумя предыдущими случаями. Большинство стержней относится к этой категории, т.е. когда как упругие свойства, так и разрушающие напряжения имеют значения. Важным для этой категории является первоначальное геометрическое несовершенство. Изгибное поведение промежуточных стержней иногда называют потерей устойчивости за пределом упругости. Раздел 1. Внецентренное сжатие коротких стержней Внецентренная нагрузка равносильна сложению растягивающих или сжимающих напряжений с напряжениями от изгиба. Когда длина стержня мала по сравнению с его поперечным сечением, его изгиб настолько мал, что им можно пренебречь по сравнению с первоначальным эксцентриситетом, поэтому можно пользоваться принципом сложения действия сил. 1.1 Внецентренное сжатие силой, приложенной на одной из главных осей инерции сечения стержня Рассмотрим случай сжатия продольной силой Р, приложенной с эксцетриситетом e на одной из главных осей инерции сечения (рис. 6.1). Рисунок 6.1 Если мы приложим две равные по величине противоположные по направлению осевые силы Р в центре тяжести O поперечного сечения, то от этого нагруженность стержня не изменится. При этом мы получим сжатие осевой силой Р, вызывающей сжимающие напряжение, как показано на рисунке 6.1а: сж= , где F-площадь поперечного сечения, а также изгиб моментом Mz= P e, вызывающим нормальные напряжения M как показано на рисунке 6.1б: M = , где Mz – изгибающий момент относительно оси z; Iz – момент инерции сечения относительно оси z. Следовательно, полное напряжение будет равно: (1) Эпюра распределения полного напряжения показана на рисунке 6.1с. На рисунке 6.1с предполагается, что наибольшее напряжение от изгиба меньше осевого сжимающего напряжения, так что по всему поперечному сечению стержня будут лишь одни сжимающие напряжения. Если наибольшее напряжение от изгиба будет больше сжимающего напряжения, то нулевая линия напряжений будет параллельна оси z и делит поперечное сечение на две зоны, одна из которых с сжимающими напряжениями, а другая с растягивающими напряжениями. Для прямоугольного поперечного сечения со сторонами b и h: F=b h, Iz=. Подставим эти выражения в (1), получим: . Максимальное напряжение получим при y = - : Минимальное напряжение получим при y = : Уравнение нейтральной линии получим при x = 0, или: , откуда: y= - Видно, что расстояние нулевой линии от центра тяжести O уменьшается с увеличением эксцентриситета e. То же рассуждение можно применить и в случае внецентренной растягивающей нагрузки. Пример 6.1 Стержень таврового сечения нагружен силами Р, которые приложены со смещением (эксцентриситетом) относительно центра тяжести сечения (рис. 6.2). Определить наибольшие растягивающее и сжимающее напряжения в этом стержне, если d=l см, h=9 см, ширина полки b=9 см, Р=1000 кг. Рисунок 6.2 Решение. 1. Расстояние до центра тяжести таврового сечения до оси, проходящей через середину горизонтальной полки: 2. Расстояния от центра тяжести таврового сечения до нижней точки сечения h1 и до верхней h2 соответственно равны h1=2,62 см и h2=6,38 см. Эксцентриситет e силы Р равняется: e=1+2,12=3,12 см 3. Главный центральный момент инерции таврового сечения Izc: 4. Напряжения от изгиба: , . 4. Напряжения от осевого растяжения: 5. Складывая напряжения от изгиба и от осевого усилия, получим: - наибольшее растягивающее напряжение 63,7+58,8 = 122,5 кг/см2; - наибольшее сжимающее напряжение 58,8-155= 96,2 кг/см2 1.2 Внецентренное сжатие силой, которая не находится ни на одной из главных осей инерции сечения стержня Рассмотрим теперь случай, когда точка B приложения внецентренно сжимающей силы Р не находится ни на одной из двух главных осей инерции поперечного сечения, принятых на рисунке. 6.3 за оси zc и уc. Если взять m и n за координаты этой точки, то моменты силы Р относительно осей zc и уc будут соответственно равны Р×n и Р×m. Рисунок 6.3 Используя принцип сложения действия сил, получим напряжение в точке A поперечного сечения: (1) Первый член правой части представляет сжимающее напряжение от осевого сжатия, а два другие - напряжения от изгиба, вызываемые соответственно моментами Р×n и Р×m. Можно видеть, что распределение напряжений следует линейному закону. Уравнение нулевой линии напряжений получится приравниванием правой части соотношения (1) нулю. Введем обозначения: Iz/F=iz и Iy/F=iy - соответствующие радиусы инерции относительно осей zc и yс. Уравнение линии нулевых напряжений: Подставляя в это уравнение сначала z=0, а затем y=0, мы получаем точки М и N пересечения линии нулевых напряжений с осями координат zc и yс. Координаты этих точек r и s будут: , (2) Из соотношений (2) находим: , Эти соотношения имеют такую же форму, как и соотношения (2), поэтому можно заключить, что когда нагрузка приложена в точке В' с координатами s и r, соответствующей нулевой линией будет линия M'N', показанная на рисунке пунктиром и отсекающая на осях zc и уc отрезки m и n. Раздел 2. Упругая потеря устойчивости длинных стержней Впервые эта задача была поставлена и решена великим математиком Л. Эйлером в середине XVIII века. Подход, разработанный Эйлером, позволяет рассмотреть упругую потерю устойчивости следующих типов стержней: - прямые стержни, нагруженные осевой нагрузкой; - стержни, нагруженные осевой нагрузкой с эксцентриситетом; - стержни с первоначальным прогибом; - стержни, нагруженные осевой и поперечной нагрузками. Рассматриваются длинные гибкие стержни, изготовленные из однородного, изотропного и упругого материала. При анализе поведения сжатых длинных стержней определяют либо величину критической нагрузки, при которой ось стержня переходит от прямолинейной формы к криволинейной, либо определяют величины напряжений, которые возникают при совместном действии осевой и поперечной нагрузки. 2.1. Упругая потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного осевой нагрузкой. Формула Эйлера Рассмотрим длинный упругий стержень с шарнирно закрепленными краями нагруженный осевым сжатием. При достижении осевой нагрузки критического значения Ркр первоначально прямолинейная форма стержня изменится на устойчивую криволинейную форму (рис. 6.4). Рисунок 6.4 Если прогибы стержня малы, то приближенное дифференциальное уравнение его оси будет иметь такой же вид, как и при поперечном изгибе бруса: Примем , получим линейное, однородное дифференциальное уравнение: Общий интеграл уравнения: Константы А и В определим из граничных условий: y(0) = 0, y(l) = 0. Удовлетворив первому условию, получим B = 0, а из второго условия: A sin αl = 0 Так как A ≠ 0, то: sin αl = 0 Решение уравнения: αl = n π, где n = 1, 2, ……m. Подставим выражение α, получим: , или Полученная формула определения критической нагрузки носит название формулы Эйлера. Следует отметить, что выпучивание стержня происходит в сторону наименьшей изгибной жесткости EI, если отсутствует специальные опорные устройства, препятствующие выпучиванию стержня. Поэтому в формулу Эйлера необходимо подставить минимальный, главный центральный момент инерции поперечного сечения стержня Imin. Формулу Эйлера принято записывать в виде: , где Imin- минимальный главный центральный момент инерции сечения; μ - коэффициент приведения длины, учитывающий характер закрепления концов стержня. Произведение μl называют приведенной длиной стержня. Коэффициент приведения длины: где n - число полуволн синусоиды, по которой изогнется стержень при упругой потере устойчивости. Число n можно оценить на основании анализа деформированного состояния стержня, которое определяется характером закрепления стержня. Наиболее часто встречающиеся расчетные схемы стержней и соответствующие им значения μ приведены на рисунке 6.5. Рисунок 6.5 Уравнение упругой линии имеет вид: Таким образом, упругая линия стержня представляет собой кривую в виде n полуволн. Анализируя формулу Эйлера можно заметить, что на величину критической силы из всех механических характеристик материала влияет лишь модуль упругости Е. Поскольку модуль упругости для всех марок сталей практически одинаковый, то для повышения запаса устойчивости использование высокопрочных сталей нецелесообразно. Устойчивость стержня определяется также величиной минимального момента инерции сечения Imin, поэтому нет смысла выбирать сечения, у которого минимальный момент инерции сечения значительно отличается от максимального значения, например, швеллер, двутавр. Рациональны те сечения, которые равноустойчивы во всех направлениях и обладают большим моментом инерции при наименьшей площади. С этой точки зрения более рационально кольцевое сечение по сравнению со сплошным круглым сечением, коробчатое по сравнению со сплошным квадратным. 2.2. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой нагрузкой с эксцентриситетом Рассмотрим длинный упругий стержень, нагруженный эксцентрично сжимающей силой Р (рис. 6.6). Рисунок 6.6 При увеличении сжимающего усилия, стержень будет изгибаться. При малых прогибах деформированное состояние оси стержня будет описываться дифференциальным уравнением: (1) Примем: , тогда получим неоднородное дифференциальное уравнение: Общий интеграл однородного уравнения: Частное решение однородного уравнения: Таким образом, решение уравнения примет вид: Граничные условия: y(0) = 0, y(l) = 0. Для определения констант А и В, удовлетворим решение граничным условиям: В –Δ = 0 A sin αl + B cos αl – Δ = 0, откуда В = Δ Окончательно прогиб определяется соотношением: Дважды продифференцируем, получим: Подставим выражение в соотношение 1, получим изгибающий момент: Максимальный прогиб получим при x = l/2, т.е.: 2.3. Упругая потеря устойчивости стержня с первоначальной кривизной Рассмотрим длинный упругий стержень с первоначальной кривизной, нагруженный сжимающей силой Р (рис. 6.7). Рисунок 6.7 При увеличении нагрузки первоначальная кривизна стержня будет увеличиваться. Прогиб стержня, от возникающего изгибающего момента: yизг(x) = y(x) - y0(x) При малых прогибах деформированное состояние оси стержня будет описываться дифференциальным уравнением: Обозначим , тогда уравнение упругой линии примет вид: (1) Решение уравнения обычно возможно при первоначальной форме описываемой синусоидой, параболой или кругом. Определим отклонение и изгибающий момент для стержня с шарнирно закрепленными краями и синусоидальной первоначальной кривизной: , где δ- малое первоначальное отклонение в середине стержня. Подставим y0(x) в уравнение упругой линии (1) получим: (2) Решение однородного уравнения: yоо(x) = A sinαx +B cosαx Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: Подставим в уравнение 2, получим: , откуда Общее решение: Удовлетворим граничным условиям, получим: при x = 0 y = 0, поэтому B = 0; при x = l/2 dy/dx=0, поэтому A = 0. Следовательно: , где Максимальное отклонение при x=l/2: ymax = δ Pкр (Pкр-P) Максимальный изгибающий момент при x=l/2: Mmax = δ P Pкр (Pкр-P) 2.4. Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой и поперечной нагрузками В случае комбинированного действия осевых и поперечных нагрузок возникает задача упругой потери устойчивости стержня, которая часто носит название задачи продольно-поперечного изгиба стержня. Рассмотрим деформирование стержня, на который одновременно действуют поперечная нагрузка q(х) и продольная сжимающая сила S (рис. 6.8). Рисунок 6.8 Пока стержень прямой, продольная сила S вызывает сжатие; как только стержень изогнется, сила S создает в сечении стержня изгибающий момент. Предполагая, что прогибы малы и изгиб происходит в одной из главных плоскостей стержня, можно использовать дифференциальное уравнение изгиба: Изгибающий момент Мпп(х) равен сумме изгибающих моментов от поперечных нагрузок Мп(х) и от продольной силы S: Мпп(х) = Мп(х) – S×y(x) Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба: Введем обозначение , тогда уравнение принимает вид: (1) Интегрируя уравнение и удовлетворяя общее решение граничным условиям, можно определить уравнение упругой линии стержня. Пример 6.2 Рассмотрим пример применения изложенного подхода. Балка, лежащая на двух шарнирных опорах, одна из которых подвижная, а другая неподвижная, сжимается силой S, приложенной с эксцентриситетом е (рис. 6.9). Изгибная жесткость балки EIz. Определить критическое значение продольного усилия Sкр. Рисунок 6.9 Решение. В данном случае поперечная нагрузка вызывает изгибающий момент: Mп = S e Уравнение (1) принимает вид: Решение уравнения определяет зависимость прогиба стержня: Удовлетворим граничным условием: при x = 0 y = 0, поэтому B = -e; при x = l y =0, поэтому A = . Следовательно, уравнение упругой линии принимает вид: Прогиб стремится к бесконечности при: α l = n π, или , откуда критическое значение осевой нагрузки: 2.4.1. Приближенная формула определения прогиба балки при продольно-поперечном изгибе Упругую линию балки, подверженную одновременному действию продольной и поперечной нагрузки, представим приближенно в виде синусоиды: а - максимальный прогиб, n - число полуволн упругой линии балки, l - длина балки. Подставим это выражение в дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба балки: Интегрируя уравнение, получаем: Заметим, что: , а для поперечного изгиба: , где yп(x) - прогиб балки только от поперечных нагрузок. С учетом приведенных соотношений дифференциальное уравнение продольно‑поперечного изгиба балки принимает вид: , откуда Введем обозначение: , тогда: Пример 6.3 Балка, лежащая на двух шарнирных опорах, одна из которых подвижная, а другая неподвижная, сжимается силой S, приложенной с эксцентриситетом е (рис. 6.9). Изгибная жесткость балки EIz. Определить прогиб в середине балки. Решение. 1. Определим энергетическим методом прогиб балки в середине пролета при действии только поперечной нагрузки. Для этого рассмотрим нагружение балки изгибающим моментом Se, который возникает в результате действия продольной силы S, приложенной с эксцентриситетом e (рис. 6.10а). Построим эпюру изгибающих моментов (рис. 6.10б). Рисунок 6.10 Приложим в середине пролета единичное усилие (рис. 6.10в) и построим эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки (рис. 6.10г). Перемножим полученные эпюры по правилу Верещагина, получим значение прогиба в середине пролета от действия поперечной нагрузки yп(l/2): 2. Определим критическую нагрузку по формуле Эйлера при n = 1. 3. Прогиб в середине балки при одновременном действии продольной и поперечной нагрузок. 2.4.2. Дифференциальное уравнение изгибающих моментов при продольно‑поперечном изгибе балки Как показано выше, изгибающий момент в продольном сечении балки при продольно-поперечном изгибе: Мпп(х) = Мп(х) – S y(x) Дифференцируя это выражение дважды и перенося слагаемое с yпп(х) в левую часть, получим: (1) Учтем, что уравнение упругой линии при продольно‑поперечном изгибе: , а также, что для поперечного изгиба выполняются дифференциальные зависимости: , тогда уравнение (1) принимает вид: , где Полученное уравнение является дифференциальным уравнением для изгибающих моментов при продольно‑поперечном изгибе. Интегрируя уравнение, получим распределение изгибающих моментов непосредственно, минуя вычисление прогибов. 2.5. Энергетический метод определения критической нагрузки Суть метода заключается в составлении баланса потенциальной энергии и работы внешней нагрузки для криволинейной формы равновесия стержня. Рассмотрим гибкий стержень, который нагружен осевой силой Ркр и выведен поперечной силой из прямолинейного состояния (рис. 6.11). Если после снятия поперечной силы стержень сохранит устойчивую форму, то будем считать, что осевая нагрузка равна критической величине Ркр. Рисунок 6.11 Для деформированного состояния составим баланс энергии: U = A, где: U - потенциальная энергия стержня; А - работа внешней нагрузки Ркр. Работа внешней нагрузки: A=Pкр×Δ, где: (1) Из рассмотрения рисунка можно видеть, что: , откуда Следовательно: Выражение (1) для работы внешней нагрузки примет вид: Потенциальная энергия стержня при его изгибе: Уравнение баланса энергии принимает вид: Учитывая, что при изгибе , окончательно получим, что критическая нагрузка равна: (2) Пример 6.4 Определить критическую нагрузку для шарнирно закрепленного гибкого стержня длиной l. Решение. Зададимся уравнением упругой линии деформированного стержня в виде синусоиды: Вычислим производные: Подставим выражения производных в соотношение для определения критической нагрузки (2): Полученная формула совпадает с формулой Эйлера. 2.6. Большие перемещения гибкого стержня Определение критической нагрузки позволяет установить только предельное значение сжимающей нагрузки, при которой возникают неограниченные перемещения стержня. В ряде случаев представляет интерес поведение гибкого стержня в области больших перемещений, предполагая, что материал полностью следует закону Гука. Рисунок 6.12 Рассмотрим поведение шарнирно закрепленного гибкого стержня сжатого продольной силой P (рис. 6.12), т.е. решим ту же задачу устойчивости, но без предположения о малости деформаций. Для случая симметричного изгиба уравнение упругой линии можно записать в виде: , или (1) Из рисунка видно, что ds = ρ dθ, откуда кривизна . Так как φ = θ, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, то кривизна . Подставим выражение кривизны в уравнение упругой линии (1), и после преобразований уравнение примет вид: , (2) где Дифференцируя уравнение (2) по s, получим: (3) Из рисунка 6.12 можно заметить, что . Следовательно, уравнение упругой линии (3) принимает вид: Умножим обе части уравнения на dφ и заметим, что , после интегрирования, получим: , или При шарнирном закреплении стержня в начале координат (при s=0) угол поворота φ=φ0, а изгибающий момент равен нулю , откуда кривизна тоже равна нулю . Удовлетворим граничным условиям, получим константу: C = ‑α2 cosφ0. Следовательно, уравнение упругой линии принимает вид: Подставим и, получим: (4) Введем новую переменную: , (5) где Тогда уравнение (4) принимает вид: (6) Продифференцируем по s выражение (5) и после преобразований получим: (7) Приравняем правые части (6) и (7), и после преобразований получим: (8) Длина стержня в деформированном состоянии: Интеграл носит название эллиптического интеграла первого рода. Для них существуют таблицы, в которых приводятся значения интегралов в зависимости от параметра p. Длина стержня в деформированном состоянии окончательно принимает вид: (9) Определим прогиб стержня. Из рисунка 6.12 видно, что: dy=ds sinφ (10) Так как в соответствии с выражением (5): , то , (11) После подстановки в (10) соотношений (8) и (11) и интегрирования, получим, что прогиб стержня определяется выражением: Учитывая, что в середине стержня φ=ψ=0, тогда максимальный прогиб равен: Введем безразмерные величины: - силы ; - прогиба . Эти выражения дают возможность построить зависимость силы P от максимального прогиба ymax. Задаваясь величиной p, по таблицам находим значение эллиптического интеграла K и далее вычисляем ymax и P. Результаты вычислений приведены в таблице 6.1. Таблица 6.1 p 0,087 0,173 0,259 0,342 0,423 0,5 0,574 0,643 0,707 K 1,571 1,574 1,583 1,598 1,62 1,649 1,686 1,731 1,787 1,854 ymax/l 0,055 0,11 0,162 0,211 0,257 0,297 0,331 0,36 0,381 P/PЭ 1 1,004 1,015 1,035 1,064 1,102 1,152 1,215 1,294 1,393 Зависимость относительной силы P/Pэ от относительного максимального прогиба ymax/l приведена на рисунке 6.13. Рисунок 6.13 Зависимость показывает, что при P>Pэ возникают большие отклонения стержня от прямолинейного состояния, которые достигают ymax/l=0,4 по мере возрастания усилия. Таким образом, в закритической области поведение стержня может быть исследовано только при помощи уравнений, описывающих особенности больших перемещений. Что же касается определения критического усилия, то для этой цели пригодны линейные уравнения, составленные для малых прогибов. Раздел 3. Потеря устойчивости за пределом упругости 3.1. Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера Для вывода формулы Эйлера использовалось дифференциальное уравнение упругой линии стержня, которое справедливо только в случае, когда материал стержня подчиняется закону Гука. Отсюда следует, что формулой Эйлера можно пользоваться только тогда, когда критические сжимающие напряжения не превышают предела пропорциональности. Чтобы судить о пределах применимости формулы Эйлера, разделим обе части формулы на площадь поперечного сечения F. Слева мы получим критическое сжимающее напряжение: кр = . Введем величину r = , имеющую размерность длины, которую называют радиусом инерции сечения. Также введем безразмерную величину λ, называемую гибкостью стержня: . Формула Эйлера перепишется следующим образом: кр= . Для длинных, тонких стержней  велико, следовательно, критическое напряжение мало. Предельным случаем для применения формулы будет тот, когда кр равно пределу пропорциональности пц, т.е.: = пц. Предельное значение гибкости, при которой напряжения становятся равными пределу пропорциональности: . Предельное значение гибкости для некоторых материалов приведены в таблице 6.2. Таблица 6.2 № Материал пред 1 Сталь Ст.2 105 2 Сталь Ст.3 100 3 Стали Ст.4, Ст.20 96 4 Сталь Ст.45 85 5 Дуралюмин Д-16 53 При гибкости стержня, меньшей пред, формула Эйлера неприменима, и задача об устойчивости стержня требует особого рассмотрения. 3.2. Устойчивость стержней за пределом упругости. Модуль Кармана Рассмотрим устойчивость стержня произвольного сечения за пределом упругости (рис. 6.14а). Рисунок 6.14 При достижении Pкр устанавливается новая форма равновесия стержня с искривленной осью. От действия осевой силы в стержне возникают сжимающие нормальные напряжения кр, а от изгиба нормальные напряжения, которые вызывают нагрузку одной части сечения и разгрузку другой. Для решения задачи принимают следующие допущения: 1) прогибы малы, поэтому применимо дифференциальное уравнение упругой линии для симметричного изгиба ; 2) выполняется гипотеза плоских сечений, поэтому сохраняется такой же, как и для изгиба, зависимость между деформацией и кривизной упругой линии Δε = (1/ρ) t; 3) диаграмма деформирования соответствует диаграмме деформирования при растяжении-сжатии материала стержня; 4) форма упругой линии при потере устойчивости такая же, как и форма упругой линии при симметричном изгибе. С вогнутой стороны сжимающие напряжения увеличатся (рис. 6.14г), и связь между изменением напряжения и деформации будет изображаться кривой нагрузки, т.е. участком кривой деформирования от точки A вниз (рис. 11.13в). При малом изменении напряжений эту кривую можно заменить касательной к кривой деформирования в точке A. Тогда, величину догрузки Δσд можно оценить: Δσд = Eк Δεд, где Eк = tgβ - касательный модуль упругости. В точках, расположенных с выпуклой стороны изогнутого стержня, происходит разгрузка (рис. 6.14г). Величину разгрузки Δσр оценим по участку разгрузки на диаграмме деформирования (рис. 6.14в): Δσр = E Δεр, где E = tgα - модуль упругости. Так как при потере устойчивости справедлива гипотеза плоских сечений, поэтому, как и при изгибе: Δε = (1/ρ) t, где t - расстояние точки сечения от нейтральной оси n-n, положение которой, заранее неизвестно; ρ - кривизна деформированной оси стержня. Соответственно, для зон догрузки и разгрузки, получим: Δσд = Eк (t/ ρ), Δσр = E (t/ ρ). (1) При малом искривлении стержня нормальная сила в поперечном сечении остается неизменной, поэтому: Подставим выражения (1) и после преобразований получим: Eк S1 = E S2, (2) где S1 и S2 – статические моменты зоны догрузки и зоны разгрузки относительно нейтральной оси. При заданном напряжении кр, а следовательно Eк, из полученного уравнения (2) путем последовательных проб определяется положение нейтральной оси. Вычислим теперь момент относительно нейтральной оси «n‑n», создаваемый дополнительными напряжениями Δσд, Δσр: , (3) где I1, I2 - моменты инерции площадей F1 и F2 относительно оси «n‑n». Зависимость (3) устанавливает связь между дополнительным изгибающим моментом и кривизной. В упругой области эта зависимость можно представить в виде: где I – момент инерции всего сечения относительно главной центральной оси; Величина Eпр называется приведенным модулем или модулем Кармана. Как видно приведенный модуль зависит не только от материала, но и от формы поперечного сечения. Теперь можно рассматривать потерю устойчивости сжатого стержня совершенно так же, как потерю устойчивости в упругой области. В дифференциальном уравнении изгиба нужно заменить модуль упругости E модулем Кармана Eпр. В результате критическая сила: (4) критические напряжения определяются трансцендентным уравнением: кр= . Так как величина Eпр зависит от касательного модуля Eк, а тот в свою очередь от кр, то величина критического напряжения зависит от вида диаграммы деформирования и формы поперечного сечения. В случае, если материал стержня деформируется упруго, нейтральная линия совпадает с главной центральной осью сечения, I1 + I2 = I и Eпр = E. Тогда формула (4) совпадает с формулой Эйлера. Для нессиметричного сечения не безразлично, с какой стороны от нейтральной линии расположены зона догрузки и зона разгрузки. Это означает, что изгиб стойки в одну и другую стороны не равновероятен. Для того, чтобы решить, в какую сторону происходит изгиб, надо после подсчета Eпр поменять местами зоны догрузки и разгрузки и провести расчет заново. Из двух значений Eпр необходимо выбрать наименьшее. Пример 11.5 Определить критическую нагрузку при сжатии стержня прямоугольного сечения размерами a×b. Стержень длиной l шарнирно закреплен. Для материала стержня задана идеализированная диаграмма деформирования (рис.6.15): Рисунок 6.15 Решение. 1. Определим положение нейтральной оси из соотношения: Eк S1 = E S2. Рисунок 6.16 Статические моменты относительно нейтральной оси «n‑n» (рис. 6.16). S1 = h ξa (a/2)ξ S2 = h a(1-ξ) (a/2)(1-ξ), Подставим эти выражения в соотношение, получим: (E-Eк) ξ2 -2 E ξ + E =0. Решая полученное уравнение, получим: . 2. Моменты инерции частей сечения относительно нейтральной оси «n‑n». , . Момент инерции полного сечения относительно главной центральной оси yc: . 3. Определим приведенный модуль Кармана. 4. Определим величину критической силы. Так как стержень шарнирно закреплен μ=1. 3.3. Формула Ясинского-Тетмайера для определения критических напряжений Применение подхода Кармана на практике требует знание диаграммы деформирования “σ‑ε” для материала стержня сжатия, что осложняет ее применение. Поэтому для определения критических напряжений, превышающих предел пропорциональности, предпочитают пользоваться либо непосредственно экспериментальными данными, либо эмпирическими формулами. Наибольшее распространение получила линейная зависимость предположения Ясинским-Тетмайером: σкр = a - bλ. Зная σкр можно определить критическую нагрузку: Pкр = σкр F, где F - площадь сечения. Формула справедлива для стержней средней гибкости, для которых гибкость находится в пределах λ0 ≤ λ≤ λпред. Для коротких стержней малой гибкости, у которых λ < λ0 величина критических напряжений равна предельному напряжению сжатия (пределу текучести σт сж для пластичных материалов, либо пределу прочности σв сж для хрупких материалов). Для стержней большой гибкости λ> λпред расчет ведется по формуле Эйлера, поэтому зависимость σкр от λ гиперболическая: кр= . Изобразим графически зависимость критического напряжения кр от гибкости λ (рис. 6.17). Рисунок 6.17 Для стержней малой гибкости зависимость «σкр –λ» выражена горизонтальной прямой, для стержней средней гибкости - наклонной прямой, а для стержней большой гибкости – гиперболой Эйлера. Четкой границы между стержнями малой и средней гибкости провести невозможно. В расчетах принимают λ0 ≈ (0,2-0,4)λпред. Выбрав λ0 можно найти коэффициенты a и b в формуле Ясинского σкр = a + bλ, составляя уравнение прямой проходящей через две точки с координатами (λ0, т сж) и (λпред, пц): Значения a и b для некоторых материалов приведены в таблице 6.3. Таблица 6.3 № Материал a, Н/мм2 b, Н/мм2 0 пред 1 Сталь Ст.2 264 0,7 60 105 2 Сталь Ст.3 310 1,14 60 100 3 Стали Ст.4, Ст.20 328 1,15 60 96 4 Сталь Ст.45 449 1,67 52 85 5 Дуралюмин Д-16 406 1,83 30 53 Глава 7. Статически определимые стержневые системы В различного рода конструкциях (подмоторных рамах подвески двигателей, шасси, пространственных конструкциях крепления корпусов, отсеков) часто используют статически определимые стержневые системы. Основным свойством статически определимой стержневой системы является то, что она содержит минимально достаточное количество, как опорных элементов, так и достаточное число стержней, чтобы быть геометрически неизменяемой при действии нагрузки. Это означает, что при удалении хоть одного опорного элемента, или стержня из системы, система превращается в механизм и не может воспринимать действие нагрузки. Стержневые системы являются статически определимыми, если усилия во всех сечениях их элементов и опорные реакции могут быть найдены из одних лишь уравнений равновесия. Историческая справка Методы определения перемещений в стержневых системах основаны на принципе возможных перемещений, который был, вероятно, впервые, распространен на деформируемые тела С. Пуассоном в 1833 г. В этом случае он формулируется следующим образом: из всех возможных состояний равновесию системы, подверженной воздействию внешних сил, соответствует то, при котором полная энергия системы принимает стационарное значение. Использование этого вариационного принципа позволяет вывести теорему Ж. Лагранжа, согласно которой для линейных систем частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщенному перемещению равна соответствующей ему обобщенной силе. Вероятно, эту теорему было бы правильнее называть первой теоремой Коттерилла‑Кастильяно по именам Д. Коттерилла и А. Кастильяно. Д. Коттерилл еще до Кастильяно в 1865 г. опубликовал четыре работы, в которых установил сформулированную выше теорему, а также теорему о том, что для линейных систем частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщенной силе равна соответствующему этой силе обобщенному перемещению. В курсах сопротивления материалов эта теорема обычно называется теоремой Кастильяно, который доказал ее в дипломной работе, посвященной расчету ферм в Туринском политехническом институте в 1873 г. и опубликовал полученный результат на итальянском языке в 1875 г., а на французском‑в 1879 г. Полученные результаты были использованы Кастильяно для определения лишних неизвестных в статически неопределимых фермах, а в дальнейшем обобщены им на упругое тело произвольной формы. Заметим, что еще до Кастильяно в 1857 г. Л. Менабреа, занимаясь расчетами статически неопределимых ферм, предложил определять лишние неизвестные, исходя из минимума потенциальной энергии деформации. Это положение получило название начала наименьшей работы. Статья Л. Менабреа на итальянском языке была опубликована в 1857 г., а на французском‑в 1858 г. Однако обоснование этого начала Менабреа не дал. Очевидно, что оно следует из второй теоремы Коттерилла—Кастильяно. Из второй теоремы Коттерилла—Кастильяно обычно выводится очень удобная формула для определения перемещений в стержневых системах‑интеграл перемещений, который в курсах сопротивления материалов обычно называется интегралом Мора. Этот метод определения перемещений опубликован О. Мором в ряде статей в 1874 г. Для частного случая определения перемещений в фермах этот способ был предложен раньше в 1864 г. Д. Максвеллом. Поэтому интеграл перемещений следовало бы, вероятно, назвать интегралом Максвелла—Мора. Интеграл Максвелла—Мора для прямого стержня постоянного по перечного сечения может быть вычислен при помощи простого правила, предложенного А.К. Верещагиным в бытность им студентом Московского института инженеров транспорта в 1924 г. 1. Типы стержневых систем Стержневыми системами принято называть конструкции, элементы которых имеют форму плоского или пространственного бруса. Стержневая система называется плоской, если оси всех составляющих ее брусьев расположены в одной плоскости и в этой же плоскости расположены все внешние нагрузки и одна из двух главных центральных осей инерции всех поперечных сечений системы. Такая система будет деформироваться только в своей плоскости. Системы, в которых указанные условия не соблюдены, называются пространственными. Геометрически плоская система с нагрузкой, перпендикулярной этой плоскости, называется плоскопространственной. Конструкции из прямых стержней, испытывающих, главным образом, растяжение или сжатие, называются фермами. В фермах нагрузки прикладываются к ее узлам, а соединение стержней в узлах ферм считается идеально шарнирным. Стержни фермы выполняются в виде тонких длинных брусьев с малой изгибной и крутильной жесткостью. Стержневые системы, элементы которых работают главным образом на изгиб и кручение, называются рамами. Для рам характерно жесткое соединение составляющих их брусьев в узлах. Жестким считается соединение, при котором в процессе деформации брусьев углы между их осями в вершинах узлов не изменяются (рис. 7.1). Рисунок 7.1 Отдельные части рамы могут быть соединены шарнирно. Соотношение продольных и поперечных размеров составляющих раму брусьев подбирается так, чтобы их изгибные EI и крутильные GJ жесткости были достаточно большими. Системы, содержащие одновременно элементы рамного и ферменного типа, а иногда и пружины, называются смешанными. 2. Внутренние силовые факторы в сечениях пространственного бруса При нагружении пространственного бруса в его поперечных сечениях могут возникнуть одновременно все шесть внутренних силовых факторов (рис. 7.2): - нормальная сила N; - перерезывающие силы Qy и Qz; - крутящий момент Мx; - изгибающие моменты Mz и My. Рисунок 7.2 Эти факторы зависят от величины нагрузок и положения сечения и определяются из шести уравнений равновесия отсеченной части бруса. Также как и для балок, силовые факторы строят в виде эпюр. Эпюры внутренних силовых факторов строят на осевой линии рамы, изображенной в перспективе. Ординаты эпюр изгибающих моментов My и Mz откладывают в плоскостях действия этих моментов в сторону сжатых волокон. На криволинейных участках изгибающий момент принято считать положительным, если он увеличивает кривизну оси. Плоскости действия крутящих моментов Mx нормальны к оси участка рамы, и поэтому эпюра может строиться в любой плоскости, содержащей ось этого участка. В отличие от эпюр изгибающих моментов, эпюры крутящих моментов принято штриховать винтовыми линиями. При построении эпюр изгибающих моментов обычно вычисляют их ординаты только для некоторых характерных сечений, а очертание устанавливают, как и в балках, на основании дифференциальных зависимостей: , Изгибающий момент My в сечении определяют как алгебраическую сумму моментов относительно одной «y», а Mz относительно другой «z», главной центральной оси инерции рассматриваемого сечения от всех внешних активных и реактивных сил и пар, расположенных по одну (любую) сторону от сечения. Крутящий момент Mx в сечении определяют как сумму моментов тех же сил и пар относительно оси «x» направленной по касательной к осевой линии рамы в данном сечении, а для тонкостенных сечений – относительно оси нормальной к плоскости сечения и проходящей через его центр изгиба. Перерезывающую силу Qy определяют как алгебраическую сумму проекций на ось «y», а Qz на ось «z» всех внешних активных и реактивных сил, расположенных по одну (любую) сторону от сечения. Нормальную силу N определяют как алгебраическую сумму проекций на ось «x» всех внешних активных и реактивных сил, расположенных по одну (любую) сторону от сечения. Для проверки правильности построения эпюр следует убедиться в том, что все узлы рамы будут находиться в равновесии, если выделить каждый узел близкими к его вершине поперечными сечениями и приложить действующие в этих сечениях силовые факторы. Пример 7.1 Определить в сечениях пространственной рамы (рис. 7.3) силовые факторы и построить их эпюры. Рисунок 7.3 Решение. 1. На схеме рамы пронумеруем характерные сечения, в которых происходит либо изменение нагрузки, либо изменение сечения, либо это узел в котором соединяются стержни. Нумерацию начинаем со свободного сечения рамы. 2. Зададимся прямоугольной системой координат, начало которой расположим в заделке. 3. Поочередно, начиная со свободного сечения, выделим каждый из участков рамы. Сохраним все внешние нагрузки в пределах рассматриваемого участка. Действие отброшенной части рамы заменим действием в начале участка сосредоточенным моментом и сосредоточенной силой. Используя метод сечений, вычислим силовые факторы в сечении, отстоящем от начала участка на произвольном расстоянии. Участок 1-2 (рис. 7.4). Рисунок 7.4 N(x) = 0 Qy (x) = 2qa, Q1 = 2qa, Q2 = 2qa Qz(x) = 0 Mx(x) = 0 My(x) = 0 Mz(x) = -2qax Mz1 = 0, Mz2 = 2qa2 Участок 2-3 (рис. 7.5). Рисунок 7.5 N(x) = 2qa, N2 = 2qa, N3 = 2qa Qx (x) = 0 Qz(x) = 0 Mx(x) = 0 My(x) = qa2 My2 = qa2, My3 = qa2 Mz(x) = 2qa2 Mz2 = 2qa2, Mz3 = 2qa2 Участок 3-4 (рис. 7.6). Рисунок 7.6 N(x) = qa, N3 = qa, N4 = qa Qx (x) = 0 Qy(x) = 2qa, Qy3 = 2qa, Qy4 = 2qa Mx(x) = -2qax-qx2/2 Mx3 = 0 Mx4 = -2,5 qa2 My(x) = qa2 My3 = qa2, My4 = qa2 Mz(x) = 2qa2 Mz3 = 2qa2, Mz4 = 2qa2 Участок 4-5 (рис. 7.7). Рисунок 7.7 N(x) = 0 Qy (x) = -3qa Qy4 = -3qa, Qy5 = -3qa Qz(x) = qa, Qz4 = qa, Qz5 = qa Mx(x) = 2,5qa2, Mx4 = 2,5qa2, Mx5 = 2,5qa2 My(x) = qax-qa2, My4 = -qa2, My5 = 0 Mz(x) = 2qa2-3qax, Mz4 = 2qa2, Mz5 = -qa2 4. Строим эпюры. На рисунке 7.8а построена эпюра нормальных сил, на рисунке 7.8б построена эпюра перерезывающих сил, а на рисунке 7.8в построены эпюры изгибающих и крутящих моментов. Рисунок 7.8 5. Выполним проверку. Для этого последовательно выделим узлы, прикладываем внешние нагрузки и соответсвующие силовые факторы, и проверяем выполнение условий равновесия. Узел 2. Рисунок 7.9 Σy = 2qa – 2qa = 0 Σmomy = qa2 – qa2 = 0 Σmomz = qa2 – qa2 = 0 Узел 3. Рисунок 7.10 Σy = 2qa – 2qa = 0 Σz = qa – qa = 0 Σmomy = qa2 – qa2 = 0 Σmomz = 2qa2 – 2qa2 = 0 Узел 4. Рисунок 7.11 Σy = qa – qa = 0 Σz = qa – qa = 0 Σmomy = qa2 – qa2 = 0 Σmomz = 2qa2 – 2qa2 = 0 3. Внутренние силовые факторы в сечениях плоской рамы В сечениях плоской рамы возникают только те силовые факторы, которые действуют в плоскости самой рамы, а именно: изгибающие моменты Mz, перерезывающие силы Qy, и нормальные силы N. При определении внутренних силовых факторов в сечениях плоской рамы используют те же правила, что и при определении внутренних силовых факторов в сечениях пространственного бруса. Пример 7.2 Определить в сечениях плоской рамы (рис. 7.12) силовые факторы и построит их эпюры. Рисунок 7.12 Решение. Определим реакции опор, для чего отбросим опоры, а их действие заменим неизвестными реакциями Y1, Y3 (рис. 7.13). Рисунок 7.13 Запишем уравнения равновесия: ΣY= Y1 + Y3 – 2qa = 0 Σmom1 = qa2 + Y3 2a– 2qa2 = 0, откуда Y3 = (1/2)qa, Y1 = (3/2)qa Проверка: Σmom3 = - 3qa2 + qa2 + 2qa2 = 0 2. Поочередно, рассмотрим каждый из участков рамы. Используя метод сечений, вычислим силовые факторы в сечении, отстоящем от начала участка на произвольном расстоянии. Участок 1-2 (рис. 7.14). Рисунок 7.14 N1-2(φ)=-1,5qa sinφ, N1(π) = 0, N1-2(π/2)=-1,5qa N2(0)=0 Q1-2(φ) = -1,5qa cosφ, Q1(π) = 1,5qa, Q1-2(π/2)= 0 Q2(0) = -1,5qa M1-2(φ) = 1,5qa a sinφ, M1(π) = 0, M1-2(π/2)= 1,5qa2 M2(0) = 0 Участок 2-3 (рис. 7.15). Рисунок 7.15 Q2-3(x) = -0,5qa + qx, Q2(2a) = 1,5qa, Q3(0) = -0,5qa M2-3(x) = 0,5qax – (1/2)qx2 M2(2a) = -qa2, M3(0) = 0 3. Строим эпюры. На рисунке 7.16а построена эпюра нормальных сил, на рисунке. 7.16б построена эпюра перерезывающих сил, а на рисунке 11.16в построены эпюры изгибающих и крутящих моментов. Рисунок 7.16 4. Внутренние силовые факторы в стержнях фермы Конструкции ферменного типа широко используются в авиационных конструкциях. При определении внутренних силовых факторов в статически определимых фермах принимают следующие допущения: - стержни в ферме выполнены прямыми, все они лежат в одной плоскости и не имеют веса; - соединения стержней в ферме выполнены шарнирными, т.е. они допускают относительный поворот, при этом оси всех стержней в соединении пересекаются в одной точке и она совпадает с осью шарнира; - трение в шарнирах пренебрежительно мало; - внешние силы, действующие на фермы, приложены только в узлах, т.е. в точках шарнирного соединения стержней; все нагрузки приложены только в плоскости фермы. Так как внешние силы, действующие на фермы, приложены в узлах, т.е. в точках шарнирного соединения стержней, и трение в шарнирах отсутствует, то усилия на стержни действуют вдоль их осей. Фермы в большинстве случаев имеют несколько узлов, опирающихся на другие элементы конструкции. Опорные узлы предполагаются шарнирными. В статически определимых фермах усилия в стержнях полностью определяются условиями равновесия. Расчет усилий в стержнях проводится методом сечений. Так как стержневая система находится в равновесии, то и каждый узел, выделенный из системы, также должен находится в равновесии. Система нагрузок, действующая на каждый из выделенных узлов, пересекается в общей точке, поэтому для каждого узла плоской системы можно составить только два уравнения равновесия. Следовательно, для статически определимой системы в каждом узле может существовать только два неизвестных усилия. Таким образом, процедура определения усилий в стержнях статически определимой плоской стержневой системы заключается в выделении первым узла, в котором существует только два неизвестных, и далее поочередно выделяются узлы таким образом, чтобы при каждом новом выделении добавлялось не более двух новых неизвестных. Метод носит название метода «узлов». Сущность метода поясним примером. На рис. 7.17 приведена схема фермы, в стержнях которой необходимо определить усилия. Рисунок 7.17 1. Пронумеруем стержни от 1 до 9, а также пронумеруем узлы от 1 до 5 в порядке их выделения. 2. Методом сечений выделяем поочередно узлы и добавляем внешние усилия и неизвестные усилия в стержнях. Составляем уравнения равновесия и из них определяем неизвестные усилия в стержнях. Узел 1 ( рис. 7.18) Рисунок 7.18 Σx = -N1 – N2 cosα – 500 = 0 Σy = -N2 sinα – 1000 = 0, откуда N2 = -1000/sinα = -1000/0,8 = -1250 кг N1 = 1250 cosα – 500 = 1250×0,6 – 500 =250 кг = 0,8 cosα = 750/1250 = 0,6 Узел 2 ( рис. 7.19) Рисунок 7.19 Σx = -N4 + 250 = 0 Σy = -N3 – 500 = 0, откуда N3 = – 500 кг N4 = 250 кг Узел 3 (рис. 7.20) Рисунок 7.20 Σx = -N6 – N5 – 1250 cosα = 0 Σy = N5 sinα – 500 – 1250 sinα = 0, откуда N5 = (500 + 1250 sinα)/sinα = (500 – 1250×0,8)/0,8 =1875 кг N6 = -1875 – 1250×0,6 = - 2625 кг Узел 4 (рис. 7.21) Рисунок 7.21 Σx = -N7 +250 + 1875 cosα = 0 Σy = - N10 – 1875 sinα = 0, откуда N7 = 250 + 1875×0,6 = 1375 кг N10 = -1875×0,8 = - 1500 кг Узел 5 (рис. 7.22) Рисунок 7.22 Σx = -N8 cosα – N9 - 2625 = 0 Σy = N8 sinα – 1500 = 0, откуда N8 = 1500/0,8 = 1875 кг N9 = -1875×0,6 -2625 = -3750 кг 5. Напряжения в сечениях бруса малой кривизны Некоторое влияние на распределение напряжений в сечении бруса и его деформации при изгибе оказывает кривизна оси бруса. Однако, как показали исследования, это влияние становится значительным только при отношении радиуса кривизны оси ρ к высоте h соответствующего поперечного сечения бруса меньше 5. Такой брус называют брусом большой кривизны, или просто кривым брусом. В стержневых системах элементы типа бруса большой кривизны встречаются крайне редко. В брусе малой кривизны (ρ/h < 5) влияние кривизны оси на напряжения и деформации незначительно, и поэтому расчет таких брусьев на изгиб с достаточной точностью можно производить по формулам для прямого бруса. Рисунок 7.23 Если при определении внутренних силовых факторов в качестве осей y и z выбрать главные центральные оси инерции сечения (рис. 7.23), то напряжения в сечении бруса малой кривизны можно вычислить по следующим формулам. Нормальные напряжения σ: , где N – нормальная сила; My, Mz – изгибающие моменты; Iz, Iy – главные центральные моменты инерции сечения. Касательные напряжения для сплошного сечения τxy, τxz: , , , где Qy, Qz – перерезывающие силы; Szотс , Syотс – статические моменты отсеченных частей сечения; b(y), b(z) – ширина сечения; Wкр – момент сопротивления кручению; Mx – крутящий момент. Касательные напряжения для тонкостенного сечения τ: , где δ – толщина сечения. 6. Перемещения сечений пространственного бруса Определение перемещений конструкции важно по двум причинам: - знание характеристик деформирования при нагружении самолета имеет первостепенное значение при изучении влияния упругости конструкции на характеристики самолета; - вычисление перемещений необходимо при определении внутренних силовых факторов в составных конструкциях с избыточными элементами. При определении перемещений сечений пространственного бруса необходимо рассматривать общий случай нагружения, когда в поперечных сечениях одновременно возникают нормальные и перерезывающие силы, а также крутящие и изгибающие моменты. В этом случае направление полного перемещения рассматриваемого сечения заранее неизвестно, поэтому вначале определяют проекцию этого перемещения на некоторое выбранное направление, и обозначается δik. Индекс i показывает, перемещение какого сечения и в каком направлении определяется, а индекс k обозначает причину, вызвавшую это перемещение. Если требуется определить полное перемещение δ, то вначале вычисляют проекции перемещения на три взаимно перпендикулярных направления (направления главных центральных осей y и z сечения и касательной к оси x бруса), а затем определяют искомое перемещение: . Наиболее просто перемещения находятся при помощи энергетических соотношений на основе общего выражения потенциальной энергии нагруженного бруса. 6.1. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения Для определения потенциальной энергии выделим из бруса элементарный участок длиной dx (рис. 7.24). Брус может быть не только прямым, но иметь малую начальную кривизну. В каждом из поперечных сечений в общем случае нагружения возникает шесть силовых факторов: три момента и три силы. По отношению к выделенному элементарному участку рассмотрим эти силовые факторы как внешние и определим работу, которая совершается ими при деформировании элемента. Эта работа переходит в потенциальную энергию, накопленную в элементарном участке бруса. Рисунок 7.24 Потенциальную энергию определим при следующих допущениях: а) брус подвергается упругому деформированию; б) точка приведения сил вследствие деформации элемента получает некоторые малые перемещения, на которых совершается искомая работа; в) каждому из шести силовых факторов соответствуют такие перемещения, на которых ни один из остальных пяти работы не совершает; потенциальная энергия элемента может рассматриваться как сумма независимых работ каждого из шести силовых факторов, т. е., иначе говоря, как сумма энергии кручения, изгиба, растяжения и сдвига: dU = dU(Mx) + dU(My) + dU(Mz) + dU(N) + dU(Qz) + dU(Qy) г) оси z и у являются главными центральными осями поперечного сечения бруса. В общем случае для сложного напряженного состояния упругая потенциальная энергия в единице объема определяется выражением: U0 = (1/(2E)) [σx2 + σy2+ σz2 - 2μ (σx σy + σx σz + σy σz )] + (1/(2G)) (τyz2 + τxy2 + τxz2) Для того чтобы получить потенциальную энергию во всем объеме деформированного тела, выражение U0 следует умножить на элементарный объем и проинтегрировать по объему тела: В случае одноосного растяжения в сечении возникает только один силовой фактор‑нормальная сила N, которая обусловлена действием нормальных напряжений σx. Остальные компоненты напряжений σy = σz = τyz = τxy = τxz = 0. Потенциальная энергия dU(N) в элементарном объеме F dx может быть подсчитана: Учитывая, что , то после подстановки получим: Интегрируя по длине бруса l, находим суммарную потенциальную энергию: (1) При кручении в сечении бруса возникает крутящий момент, который обусловлен действием касательных напряжений τ. При этом остальные компоненты напряжений σx = σy = σz = τyz = 0. Потенциальная энергия dU(Mx) в элементарном объеме F dx может быть подсчитана: Учитывая, что и , то после подстановки получим: Интегрируя по длине бруса l, находим суммарную потенциальную энергию: (2) В случае поперечного изгиба в поперечном сечении бруса возникают изгибающие моменты My, Mz, которые обусловлены действием нормальных напряжений σx, и перерезывающие силы Qy, Qz, которые обусловлены действием касательных напряжений τxy, τxz. Учитывая, что σy = σz = τyz = 0, потенциальная энергия dU(My) в элементарном объеме F dx может быть подсчитана: dU = dU(My) + dU(Mz) + dU(Qz) + dU(Qy) = (3) Нормальные напряжения от действия изгибающих моментов My, Mz соответственно: , (4) Касательные напряжения от действия перерезывающих сил Qy, Qz определим по формуле Журавского: , (5) Подставим соотношения (4) и (5) в выражение (3), получим выражение потенциальной энергии в элементарном объеме при поперечном изгибе: , здесь ky, kz – коэффициенты, учитывающие неравномерность распределения касательных напряжений по сечению при изгибе. Интегрируя по длине бруса l, находим суммарную потенциальную энергию: (6) Просуммировав соотношения (1), (2) и (6), получим выражение потенциальной энергии пространственного бруса: 6.2. Энергетический метод определения перемещений сечений пространственного бруса. Интеграл Мора Перемещения и углы поворота сечений пространственного бруса на практике часто определяют при помощи интеграла Мора. Этот интеграл можно получить, исходя из равенства работы внешних сил A и потенциальной энергии U, накопленной в деформированном брусе: A=U. Определим, например, перемещение δCP сечения C пространственного бруса, нагруженного произвольной системой внешних сосредоточенных и распределенных пар и сил. Для упрощения вывода интеграла Мора рассмотрим нагружение бруса одной сосредоточенной силой P. Составим баланс энергии A=U для трех условий нагружения бруса. Первое состояние. В первом состоянии к брусу прикладывается заданная внешняя нагрузка P (рис. 7.25). В сечениях бруса возникают изгибающие моменты Mx, My, Mz, нормальная сила N и перерезывающие силы Qy, Qz. Рисунок 7.25 Баланс энергии в этом случае имеет вид: (1) Второе состояние. Во втором состоянии брус нагружается единичной силой (рис. 7.26), от которой в поперечных сечениях возникают силовые факторы M'x, M'y, M'z, N', Q'y, Q'z. Рисунок 7.26 Баланс энергии записываем: (2) Третье состояние. В третьем состоянии на брус действует заданная и единичная нагрузки (рис. 7.27). Учитывая, что потенциальная энергия деформации не зависит от последовательности приложения сил (определяется лишь окончательным характером деформации системы), выбираем наиболее удобную для решения задачи последовательность нагружения. Сначала прикладываем единичную силу, а затем заданную нагрузку. Рисунок 7.27 Запишем баланс энергии: (3) Раскрывая скобки под знаком интеграла в выражении (3), и учитывая выражения балансов энергий в первом и втором случаях (1) и (2), после преобразований окончательно получим интеграл Мора: (4) Произведение силового фактора от заданной нагрузки, например Mz, на соответствующий силовой фактор от единичной нагрузки Mz′ считается положительным, если эти факторы совпадают по направлению. Слагаемые формулы (4) по своей величине неравноценны и соотношение между ними зависит от типа стержневой системы. Для подавляющего числа рам влияние на их деформации перерезывающих и нормальных сил существенно меньше влияния изгибающих и крутящих моментов. Поэтому при определении перемещений сечений пространственных рам тремя последними слагаемыми формулы (4) обычно пренебрегают. В этом случае интеграл Мора принимает вид: (5) На прямолинейных участках для вычисления интеграла целесообразно пользоваться правилом Верещагина. При вычислении интегралов Мора по криволинейным участкам удобно использовать готовые значения интегралов, которые приведены в таблице 7.1. Таблица 7.1 sin φ 1 - cos φ 1 2 1 cos φ sin φ 1 -1 sin2 φ ½( φ - ½sin 2φ) π/4 π/2 3π/4 π cos2 φ ½( φ + ½sin 2φ) π/4 π/2 3π/4 π sin φ× cos φ ½ sin2 φ 1/2 1/2 1- cos φ φ - sin φ π/2 - 1 π 3π/2 + 1 2 π (1- cos φ) 2 3/2φ - 2sin φ+1/4 sin 2φ 3π/4 - 2 3π/2 9π/4 + 2 3π (1- cos φ) sin φ 1 - cos φ - ½ sin2 φ 1/2 2 1/2 (1- cos φ) cos φ sin φ - φ/2 - 1/4 sin 2φ 1- π/4 -π/2 -1 - 3π/4 - π Пример 7.3 Определить горизонтальное смещение δA точки A и угол поворота φB сечения B пространственного бруса приведенного на рисунке 7.28. Жесткости на кручение GIp, и изгиб EIy, EIz считать заданными и постоянными на всех участках бруса. Рисунок 7.28 Решение. 1. Строим эпюры крутящих и изгибающих моментов от заданных нагрузок. Эти эпюры были построены ранее при решении примера 7.1. Воспользуемся полученными эпюрами (рис. 7.29). Рисунок 7.29 2. Для определения перемещения δA приложим единичное усилие в сечении A в направлении искомого перемещения δA (рис. 7.30). Рисунок 7.30 Построим эпюры моментов (рис. 7.31). Рисунок 7.31 Перемножаем эпюры M (рис. 7.29) на эпюры M’ (рис. 7.31). Перемножение эпюр выполняем на участках где эпюры M и M’ находятся в одной плоскости по правилу Верещагина. Перемещение сечения A в горизонтальном направлении: 3. Для определения угла поворота φB приложим единичный момент в сечении B (рис. 7.32). Рисунок 7.32 Построим эпюры моментов (рис. 7.33). Рисунок 7.33 По правилу Верещагина перемножаем эпюры M (рис. 7.29) на эпюры M’ (рис. 7.33), получим угол поворота φB: 6.3. Перемещения сечений плоской рамы В сечениях плоской рамы возникает только те силовые факторы, которые действуют в плоскости самой рамы, а именно: изгибающий момент Mz, перерезывающая сила Qy и нормальная сила N. Следовательно, для плоской рамы из шести слагаемых в интеграле Мора (4) сохраняются только три слагаемых. Если же учесть, что основную роль в рамах играют изгибные перемещения, в этой формуле можно удержать, лишь одно слагаемое. Поэтому интеграл Мора для плоских рам принимает такой же вид, как и для балок: (6) Пример 7.4 Определить горизонтальное смещение δA точки A и угол поворота φB сечения B плоской рамы приведенной на рисунке 7.34. Жесткость на изгиб EIz считать заданной и постоянной на всех участках рамы. Рисунок 7.34 Решение. 1. Строим эпюры крутящих и изгибающих моментов от заданных нагрузок. Эти эпюры были построены ранее при решении примера 7.2. Воспользуемся полученными ранее эпюрами (рис. 7.35) и аналитическими выражениями. Рисунок 7.35 M1-2(φ) = 1,5qaasinφ M2-3(x) = 0,5qax – (1/2)qx2 2. Для определения перемещения δA приложим единичное усилие в сечении A в направлении искомого перемещения δA (рис. 7.36). Рисунок 7.36 а) Определим реакции опор из уравнений равновесия: ΣX= 1 + X3 = 0 ΣY= Y1 + Y3 = 0 Σmom1 = Y3×2a + 1×2a = 0, откуда X3 =0, Y3 = -1, Y1 = 1 б) Запишем выражения изгибающих моментов на каждом из участков: M′1-2(φ) = 1×a sinφ + 1×a(1+cosφ)=a(1+cosφ+sinφ) M′2-3(x) = 1×x в) Построим эпюру изгибающих моментов от единичного усилия (рис. 7.37). Рисунок 7.37 г) Для определения перемещения вычислим интеграл Мора: 3. Для определения угла поворота φB приложим единичный момент в сечении B (рис. 7.38). Рисунок 7.38 а) Определим реакции опор из уравнений равновесия: ΣY= Y1 + Y3 = 0 Σmom1 = Y3×2a - 1 = 0, откуда Y3 = 1/2a, Y1 = -1/2a б) Запишем выражения изгибающих моментов на каждом из участков. M′1-2(φ) = -(1/2a) a sinφ = -(1/2)×sinφ M′2-3(x) = -1+(1/2a) ×x в) Построим эпюру изгибающих моментов от единичного усилия (рис. 7.39): Рисунок 7.39 г) Для определения перемещения вычислим интеграл Мора: 6.4 Перемещения узлов фермы Для ферм в интеграле Мора следует удержать только одно слагаемое, содержащее нормальные силы N в сечениях стержней от заданных нагрузок и нормальные силы N’ от единичной нагрузки. Учитывая, что по длине каждого стержня нормальные силы постоянны, формулу для определения перемещений узлов фермы можно записать так: Пример 7.5 Определить вертикальное смещение δA точки A фермы приведенной на рисунке 7.40. Жесткость EF считать заданной и постоянной для всех стержней фермы. Рисунок 7.40 Решение. 1. Для приведенной фермы усилия N в стержнях от внешней нагрузки определены в разделе 7.4: N1=250 кг, N2=-1250 кг, N3=-500 кг, N4=250 кг, N5=1875 кг, N6=-2625 кг, N7=1375 кг, N8=1875 кг, N9=-3750 кг, N10=-1500 кг 2. Приложим единичное усилие в вертикальном направлении к узлу A (рис. 7.41) и определим «методом выделения узлов» усилия в стержнях рамы N’: Рисунок 7.41 N1=N2=N3=N4=N5=N6=N7=0, N8=√2, N9=-√2, N10=-1 3. Определим перемещение узла A: 6.5 Относительные перемещения сечений стержней системы Допустим, что требуется определить перемещение точки A относительно точки B по направлению линии соединяющей эти точки (рис.7.42). Рисунок 7.42 Обозначим через δA и δB перемещения соответственно точек A и B по линии AB, вызванные деформацией системы. Очевидно, что в тех случаях, когда эти точки смещаются в противоположные стороны, их относительное перемещение: δAB= δA + δB, а когда в одну сторону, то: δAB= δA - δB. Очевидно, что если при определении перемещений δA и δB направить единичные силы в противоположные стороны, тогда автоматически будет определяться сумма δA и δB в случае смещений точек в разные стороны и разность при перемещении точек в одну сторону. Следовательно, если прикладывать к системе одновременно две единичные силы, направленные в разные стороны по одной линии, тогда интеграл Мора будет сразу давать относительное перемещение. Например, для плоской системы: Пример 7.6 Определить относительное смещение δAB сечений A и B плоской замкнутой рамы приведенной на рисунке 7.43. Жесткость на изгиб EIz считать заданной и постоянной на всех участках рамы. Рисунок 7.43 Решение. 1. Определим усилия в шарнирах, для чего разрежем раму по шарнирам и добавим неизвестные усилия X1, X5, X6, X10 (рис. 7.44). Рисунок 7.44 Запишем уравнения равновесия: а) для левой части рамы (рис. 7.44а): ΣX = -qa + X1 + X5 = 0 Σmom5 = qa×a – X1×2a = 0 а) для правой части рамы (рис. 7.44б): ΣX = qa - X10 - X6 = 0 Σmom10 = qa×a – X6×2a = 0 Решая уравнения совместно, получим: X1 = X5 = X6 = X10 = qa/2 2. Строим основную эпюру изгибающих моментов от заданных нагрузок (рис.7.45) Рисунок 7.45 3. Удалим внешнюю нагрузку, а в сечениях A и B приложим единичные усилия в противоположные направления (рис. 7.46). Рисунок 7.46 4. Определим усилия в шарнирах, для чего разрежем раму по шарнирам и добавим неизвестные усилия X1, X5, X6, X10 (рис. 7.47). Рисунок 7.47 Запишем уравнения равновесия: а) для левой части рамы (рис. 7.47а): ΣX = -1 + X1 + X5 = 0 Σmom5 = 1×a – X1×2a = 0 а) для правой части рамы (рис. 7.47б): ΣX = 1 - X10 - X6 = 0 Σmom10 = 1×a – X6×2a = 0 Решая уравнения совместно, получим: X1 = X5 = X6 = X10 = 1/2 5. Строим эпюру изгибающих моментов от единичных усилий (рис. 7.48) Рисунок 7.48 6. Применяя способ Верещагина, перемножаем эпюру изгибающих моментов от заданных нагрузок M на эпюру изгибающих моментов от единичных усилий M’, и в результате получим взаимное смещение сечений A и B относительно друг друга δAB: δAB = (1/EIz)((-1/2)qa2×2a×(-1/4)a) = qa4/4EIz Глава 8. Плоские статически неопределимые стержневые системы Статически неопределимыми называются стержневые системы, опорные реакции и внутренние силовые факторы в которых не могут быть найдены при помощи уравнений равновесия и метода сечений. Разность между числом искомых неизвестных усилий (реакций опор и внутренних силовых факторов) и независимых уравнений равновесия определяет степень статической неопределимости системы. Иногда говорят, что степень статической неопределимости равна числу избыточных (лишних) связей, без которых система не превращается в геометрически изменяемую (подвижную). Положение жесткого бруса на плоскости определяется тремя независимыми координатами (перемещениями в дух направлениях и углом поворота), иначе говоря, брус на плоскости обладает тремя степенями свободы. На брус могут быть наложены связи, т.е. ограничения, обуславливающие его положение на плоскости. Наиболее простыми связями являются такие связи, при которых полностью исключается то или иное обобщенное перемещение для некоторых сечений бруса. То минимальное число связей, при котором достигается кинематическая неизменяемость, является необходимым числом связей. Всякую связь, наложенную сверх необходимых, называют избыточной. Связи в стержневых системах обычно делят на связи внешние и связи внутренние, или взаимные. Под внешними связями понимают условия, накладываемые на абсолютные перемещения некоторых точек системы. Например, на рисунке 8.1а показана плоская рама, имеющая три внешние связи, а на рисунке 8.1б‑пять внешних связей. Рисунок 8.1 Следовательно, в первом случае рама имеет необходимые внешние связи, а во-втором две избыточные внешние связи, т.е. она дважды внешне статически неопределима. Под внутренними, или взаимными, связями понимаются ограничения, накладываемые на взаимные смещения сечений рамы. Замкнутый плоский контур имеет три избыточные связи, т.е. ограничен взаимный поворот смежных сечений, и взаимное смещение смежных сечений в двух направлениях. Следовательно, плоская рама в виде замкнутого контура трижды статически неопределима. Таким образом, рама, приведенная на рисунке 8.1а, трижды статически неопределима внутренним образом. Рама, приведенная на рисунке 8.1б, пять раз статически неопределима (три раза внутренним образом и два раза‑внешним). 1 Кинематический анализ плоских систем Степень статической неопределимости можно определить на основании кинематического анализа стержневой системы. Пусть число элементов системы соединенных между собой шарнирами будет d. Каждые элемент плоской системы обладает тремя степенями свободы, т.е. могут перемещаться поступательно в двух направлениях и вращаться. Следовательно, общее число степеней свободы системы равно 3d. Каждый шарнир, соединяющий два смежных элемента ликвидирует две степени свободы, так как предотвращает взаимное смещение в двух направлениях соединенных шарниром элементов, и допускает только их вращательное перемещение. При наличии в системе s шарниров, будет ликвидировано 2s степеней свободы. Каждый опорный стержень уменьшает число степеней свободы системы на единицу. Следовательно, если в системе c0 опорных стержней, то число степеней системы уменьшится на число опорных стержней. Таким образом, общее число степеней свободы системы равно: n = 3d – 2s – c0 (1) Для закрепленных, не свободных систем в случае если: а) n > 0, то система геометрически изменяема, т.е. механизм; б) n = 0, то система геометрически неизменяема и статически определима; в) n < 0, то система геометрически неизменяема и статически неопределима; n - степень статической неопределимости. Так как замкнутый плоский контур имеет три избыточные связи то формула (1) преобразовывается к виду: n = 3d – 2s-3 Рассмотрим несколько примеров определения степени статической неопределимости стержневых и рамных систем приведенных на рисунке 8.2. Рисунок 8.2 а) Рама имеет четыре избыточные внешние связи. Число внешних степеней свободы: n = 3d – 2s – c0 = 3×1 - 2×0 - 7= -4 Число внутренних степеней свободы для замкнутого контура рамы: n = 3d – 2s – c0 = 3×0 - 2×0 - 3= -3 Таким образом, система семь раз статически неопределима. б) Шарнир А принадлежит одновременно трем стержням, поэтому его можно рассматривать как два совпавших шарнира. Число внешних степеней свободы: n = 3d – 2s – c0 = 3×2 - 2×1 - 5= -1 Это означает, что рама имеет одну избыточную внешнюю связь. Число внутренних степеней свободы: n = 3d – 2s – c0 = 3×1 - 2×1 - 3= -2 Следовательно, замкнутый контур рамы имеют две избыточную внутренние связи. Таким образом, система три раза статически неопределима. Обобщая полученный результат, можно сделать вывод, что шарнир снимает число связей на единицу меньше числа сходящихся в нем стержней. в) Шарнир А принадлежит одновременно четырем стержням, поэтому его можно рассматривать как три совпавших шарнира. Число внешних степеней свободы: n = 3d – 2s – c0 = 3×3 - 2×2 - 7= -2 Рама имеет две избыточные внешние связи. Число внутренних степеней свободы: n = 3d – 2s – c0 = 3×1 - 2×1 - 3= -2 Замкнутый контур рамы имеют две избыточные внутренние связи. Таким образом, система четыре раза статически неопределима. г) Число внешних степеней свободы: n = 3d – 2s – c0 = 3×1 - 2×0 - 4= -1 Рама имеет одну избыточную внешнюю связь. Число внутренних степеней свободы: n = 3d – 2s – c0 = 3×1 - 2×1 - 3= -2 Замкнутый контур рамы имеют две избыточные внутренние связи. Таким образом, система три раза статически неопределима. 2 Метод сил. Канонические уравнения Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от избыточных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе раскрытия статической неопределимости неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил». Такой прием не является единственно возможным. В строительной механике широко применяются и другие методы, например метод деформаций, в котором за неизвестные принимаются не силовые факторы, а перемещения в элементах стержневой системы. Итак, раскрытие статической неопределимости любой рамы методом сил начинается с отбрасывания избыточных связей. Система, освобожденная от избыточных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы. Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем. Однако следует помнить, что отбрасывание избыточных связей надо производить таким образом, чтобы оставшиеся связи обеспечивали кинематическую неизменяемость системы, с одной стороны, и статическую определимость во всех узлах, - с другой. После того как дополнительные связи отброшены, и система превращена в статически определимую, необходимо ввести вместо связей неизвестные силовые факторы. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводятся силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводятся моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать Xi где i - номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы Xi являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу по направлению силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой от разреза частям системы. Основная система с приложенной внешней нагрузкой и неизвестными силовыми факторами носит название эквивалентной системы. Очевидно, в статически определимой эквивалентной системе напряжения и перемещения сечений такие же, как и в заданной статически неопределимой системе. Теперь остается составить уравнения совместимости перемещений для определения неизвестных силовых факторов. 2.1. Внешне статически неопределимые рамы Проследим последовательность составления уравнений совместимости перемещений методом сил на примере плоской внешне статически неопределимой рамы (рис. 8.3). Рисунок 8.3 Число внешних степеней свободы: n = 3d – 2s – c0 = 3×1 - 2×0 - 6= -3 Следовательно, заданная рама внешне трижды статически неопределима. Построим основную систему (рис. 8.4) путем удаления внешней нагрузки и избыточных опорных связей, например, одну в катке и две в правой шарнирной опоре. Рисунок 8.4 Построим эквивалентную систему (рис. 8.5) путем добавления к основной системе внешней нагрузки и неизвестных усилий X1, X2, X3, которые заменяют действие удаленных связей и препятствуют линейным перемещениям сечений рамы в заделках. Рисунок 8.5 Величины неизвестных усилий X1, X2, X3 найдем из условия равенства нулю перемещений освобожденных опорных сечений по направлению удаленных связей δ1., δ2, δ3. Эти перемещения вызываются в эквивалентной системе совместным действием заданной нагрузки и самих усилий X1, X2, X3, т.е.: δ1(M, X1, X2, X3) =0; δ2(M, X1, X2, X3) =0; (1) δ3(M, X1, X2, X3) =0. В приведенных выражениях индексы 1, 2, 3 показывают, что рассматриваются перемещения опорных сечений по направлению X1, X2, X3 соответственно от совместного действия нагрузок M, X1, X2, X3. Согласно принципу независимости действия сил перемещение сечения от одновременного воздействия группы нагрузок равно сумме перемещений от каждой из нагрузок в отдельности. Поэтому любое из уравнений (1) можно представить в виде: δi(M, X1, X2, X3) = δiM + δiX1 + δiX2 + δiX3 = =0 (2) где - перемещение в направление усилия Xi от действия усилия Xk. Но перемещение от усилия Xk пропорционально величине этого усилия, поэтому: где - перемещение в направление усилия Xi от единичного усилия, приложенного в направлении усилия Xk. Итак, уравнения совместимости деформаций (2) запишутся в виде: , или в развернутом виде: δ1M + δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 = 0 δ2M + δ21X1 + δ22X2 + δ23X3 = 0 (3) δ3M + δ31X1 + δ32X2 + δ33X3 = 0 Равенства представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных усилий X1, X2, X3 и называются каноническими уравнениями метода сил. Коэффициенты вида δ11, δ22, δ33…… δii – называются основными коэффициентами, а δ12, δ13, δ21, δ23, δ31, δ32………. δik – побочными. Уравнения (3) выведены на примере рамы, у которой избыточными были внешние (опорные) связи, т.е. внешне статически неопределимой рамы. 2.2. Внутренне статически неопределимые рамы Рассмотрим теперь раму, в которой избыточными являются только внутренние связи (рис. 8.6) Рисунок 8.6 Число внутренних степеней свободы: n = 3d – 2s – c0 = 3×0 - 2×0 - 3= -3 Следовательно, заданная рама внутренне трижды статически неопределима. Построим основную систему (рис. 8.7) путем удаления внешней нагрузки и введения разреза рамы. Рисунок 8.7 Для получения эквивалентной системы (рис. 8.8) добавим к основной системе внешнюю нагрузку и неизвестные внутренние усилия X1, X2, X3, которые заменяют действие удаленных связей и препятствуют относительным линейным перемещениям и повороту смежных сечений рамы в разрезе. Рисунок 8.8 В действительности разрез отсутствует и поэтому относительные перемещения двух смежных сечений эквивалентной системы от совместного действия заданной нагрузки и силовых факторов X1, X2, X3 должны быть равны нулю. Как и в случае, внешне статически неопределимых систем, запишем условия равенства нулю относительных перемещений смежных сечений в разрезе эквивалентной системы в виде канонических уравнений: δ1P + δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 = 0 δ2P + δ21X1 + δ22X2 + δ23X3 = 0 (4) δ3P + δ31X1 + δ32X2 + δ33X3 = 0 Канонические уравнения совместимости перемещений для внутренне статически неопределимых систем отличаются от аналогичных уравнений для внешне статически неопределимых систем только тем, что в первом случае коэффициенты уравнений представляют собой относительные перемещения двух смежных сечений в месте разреза, а во втором случае - это абсолютные перемещения сечений по направлению внешней связи. 2.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений Коэффициент δik это перемещение по на правлению i-ro силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего k‑ый фактор. Например, коэффициент δ31 уравнения (4) представляет собой взаимный поворот смежных сечений в разрезе, которое возникло бы в раме, если бы к ней вместо всех сил в смежных сечениях были бы приложены только единичные усилия по направлению неизвестного усилия X1 (рис. 8.9). Рисунок 8.9 Таким образом, коэффициенты канонических уравнений δik можно вычислить с помощью интеграла Мора. Для того чтобы определить величину δik, в интеграле Мора следует вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую k-й силовой фактор. Поэтому для плоской рамы внутренние моменты и силы от внешних нагрузок Мz, N, Qy и Qz в интеграле Мора заменим на Мzk, Nk, Qyk и Qzk, понимая под ними внутренние моменты и силы от единичного, k-ro фактора. В итоге получим: где Мzi, Ni, Qyi и Qzi — внутренние моменты и силы, возникающие под действием i-ro единичного фактора. Таким образом, коэффициенты δik получаются как результат перемножения i‑ro и k-того внутренних единичных силовых факторов. Индексы i и k непосредственно указывают, какие факторы должны быть перемножены под знаком интегралов Мора. Если рама состоит из прямых участков и можно пользоваться правилом Верещагина, то δik представляет собой результат перемножения i-x единичных эпюр на k-e единичные эпюры. Таким образом, вычисления начинаются с определения внутренних силовых факторов и построения эпюр этих факторов отдельно от заданной нагрузки и единичных усилий, приложенных вместо искомых усилий Х1, Х2, Х3, ..., Хn. Силовым факторам и их эпюрам от единичного усилия приписывается номер i соответствующего усилия Xi, а у силовых факторов от заданной нагрузки проставляется индекс Р. Эпюры от заданных нагрузок называются основными, а от единичных усилий‑единичными. Для определения коэффициентов канонических уравнений надо вычислить интегралы Мора от произведения ранее найденных внутренних силовых факторов с номерами, соответствующими индексам у этих коэффициентов, или перемножить по правилу Верещагина эпюры этих факторов с теми же номерами. При определении коэффициентов δiP перемножаются внутренние силовые факторы (или их эпюры) от заданной нагрузки и от соответствующего единичного усилия с индексом i. Для побочных коэффициентов δik и δki интегралы Мора отличаются только последовательностью сомножителей с индексами i и к. Но от перестановки сомножителей величины интегралов не изменяются, поэтому всегда: δik = δki Отметим, что главные коэффициенты δii всегда отличны от нуля и положительны, а побочные коэффициенты δik и свободные члены δiP могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. 2.4. Рациональный выбор основной системы. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости Рациональной основной системой для статически неопределимой конструкции является такая система, при которой наибольшее число побочных коэффициентов обращаются в нуль. Если рассматривается симметричная в геометрическом отношении рама, то появляется возможность упрощения решения задачи раскрытия статической неопределимости за счет снижения числа неизвестных силовых факторов Х1, Х2, Х3, ..., Хn. Такое упрощение обусловлено тем, что внутренние силовые факторы можно разделить на симметричные и кососимметричные (рис. 8.10). Рисунок 8.10 К симметричным силовым факторам относятся изгибающие моменты Mz, My и нормальная сила N, так как в двух смежных сечениях они симметричны относительно плоскости разреза. К кососимметричным силовым факторам относятся перерезывающие силы Qy, Qz и крутящий момент Mx, поскольку они равны по величине, но противоположны по направлению относительно плоскости разреза. Рассмотрим случаи нагружения симметричной рамы симметричной и косо-симметричной нагрузками. Под симметричной нагрузкой будем понимать такую нагрузку, при которой все внешние силы, приложенные к части рамы, лежащей по одну сторону от оси симметрии, являются зеркальным отображением сил, приложенных к другой части лежащей по другую сторону от оси симметрии. Под кососимметричной нагрузкой будем понимать такую нагрузку, при которой силы, приложенные к части рамы, лежащей по одну сторону от оси симметрии, являются зеркальным отображением сил, приложенных к другой части лежащей по другую сторону от оси симметрии, но противоположны друг другу по знаку. Рассмотрим вначале особенности симметричных плоских стержневых систем. Вследствие полной симметрии такая система имеет симметричный вид, и после деформирования. Следовательно, перемещения симметричных сечений равны по величине и симметричны по направлению. Это означает, что в симметричных сечениях одноименные силовые факторы (а в опорных сечениях ‑ опорные реакции) равны по величине и симметричны по направлению. Таким образом, в сечении по оси симметрии возможны только симметричные силовые факторы Mz, N. Итак, основную систему для симметричной рамы надо выбирать путем удаления лишних связей в сечении по оси симметрии и следить за тем, чтобы эквивалентная система была симметричной (рис. 8.11). Рисунок 8.11 Если в стержневой системе имеется стержень, лежащий вдоль оси симметрии, то основную систему надо выбирать путем удаления лишних связей в симметричных сечениях. Рассмотрим теперь особенности кососимметричных плоских стержневых систем. Для такой системы перемещения симметричных сечений и одноименные силовые факторы в них равны по величине и обратно симметричны по направлению. Это означает, что в сечении по оси симметрии возможны только кососимметричный силовой фактор Qy. Итак, основную систему для кососимметричной рамы также, как и для симметричной стержневой системы, надо выбирать путем удаления лишних связей в сечении по оси симметрии и следить за тем, чтобы эквивалентная система была кососимметричной (рис. 8.12). Рисунок 8.12 Если нагрузка, приложенная к симметричной раме, не обладает свойствами ни прямой, ни косой симметрии, всегда имеется возможность разложить ее на кососимметричную и симметричную, как это показано, например, на рисунке 8.13. Рисунок 8.13 Задача, таким образом, распадается на две. Рассматривается отдельно симметричная рама с кососимметричной нагрузкой и рама с симметричной нагрузкой. Внутренние силовые факторы в раме определяются в дальнейшем наложением полученных решений. 2.5. Последовательность решения статически неопределимых задач Решение статически неопределимых задач методом сил проводится в такой последовательности. 1. Устанавливается степень статической неопределимости системы как разность между числом искомых неизвестных усилий и числом независимых уравнений равновесия. При этом учитывается, что простой шарнир, соединяющий два стержня системы, уменьшает степень статической неопределимости на единицу, так как снимает одну связь, препятствующую повороту одной части системы относительно другой. Тем самым простой шарнир позволяет добавить к уравнениям равновесия всей системы уравнение равновесия присоединенной этим шарниром части системы. Шарнир, связывающий n (три и более) частей системы, играет роль n-1 простых шарниров и поэтому снижает степень статической неопределимости на n-1 единиц. 2. Из заданной статически неопределимой системы выделяется основная система путем удаления лишних связей и внешней нагрузки. В качестве лишних могут быть выбраны различные связи. Поэтому для одной и той же статически неопределимой системы можно получить сколько угодно основных систем. Но любая основная система должна быть обязательно геометрически неизменяемой и статически определимой. Геометрически неизменяемой называется система, перемещения точек которой возможны лишь как следствие деформаций системы. Нельзя выбирать в качестве основной мгновенно геометрически изменяемую систему, потому что в такой системе при любой сколь угодно малой нагрузке усилия получаются бесконечно большими или неопределенными. При выборе основной системы для симметричных стержневых систем применяют свойства симметрично и кососимметрично нагруженных систем. 3. Строят соответствующую выбранной основной эквивалентную систему, в которой взамен снятых лишних связей и в их направлении прикладывают силы Хi, если связи препятствовали линейному перемещению, и пары Хк, если они исключали повороты сечений. 4. Составляют канонические уравнения метода сил: δ1P + δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 +……. δ1nXn= 0 δ2P + δ21X1 + δ22X2 + δ23X3 +……. δ2nXn = 0 ……………………………………………. δnP + δn1X1 + δn2X2 + δn3X3 +…… δnnXn = 0 Число уравнений равно числу искомых неизвестных. 5. Вычисляют коэффициенты канонических уравнений аналитически по формуле Мора: , или перемножением эпюр по способу Верещагина. Для этого строятся в основной системе эпюры внутренних силовых факторов отдельно от заданной нагрузки и всех единичных усилий, приложенных вместо X1, Х2, ..., Хn. Индексы у коэффициента δik указывают на номера эпюр, которые надо перемножить при его вычислении, или номера внутренних силовых факторов, которые надо подставить в интеграл Мора. 6. Решают систему канонических уравнений и определяют величины искомых силовых факторов X1, Х2, Х3, ..., Хn. 7. Определяются окончательные значения внутренних силовых факторов в сечениях эквивалентной системы путем алгебраического суммирования значений от каждой из нагрузок в отдельности: Ф = ФP + Ф1X1 + Ф2 Х2……….Фn Xn где Ф - искомый силовой фактор (изгибающий или крутящий момент, нормальная или перерезывающая сила в рассматриваемом сечении); ФP - аналогичный силовой фактор от одной только внешней нагрузки; Фi - аналогичный силовой фактор от единичного усилия, приложенного вместо Хi. Таким образом, при построении суммарных эпюр силовых факторов (изгибающих и крутящих моментов и т. д.) их ординаты находятся алгебраическим суммированием ординат ранее построенных эпюр тех же факторов от заданных нагрузок и единичных эпюр, увеличенных в Xi раз. 8. Так как сечения заданной системы в опорах не перемещаются, то произведение суммарной эпюры на любую единичную эпюру должно быть равно нулю. На этом свойстве основывается проверка правильности вычисления неизвестных Xi при раскрытии статической неопределимости и построении суммарных эпюр. Следовательно, поскольку абсолютные или относительные перемещения сечений в направлении усилий Xi отсутствуют, то произведение каждой из единичной эпюр на суммарную должно быть равно нулю. Рассмотрим примеры раскрытия статической неопределимости плоских рам. Пример 8.1 Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры изгибающих моментов, перерезывающих сил и нормальных сил для рамы, приведенной на рисунке 8.14. Рисунок 8.14 Решение. 1. Число внешних степеней свободы: n = 3d – 2s – c0 = 3×1 - 2×0 - 5= -2 Следовательно, заданная рама внешне дважды статически неопределима. 2. Построим основную систему (рис. 8.15) путем удаления внешней нагрузки и двух избыточных опорных связей в правой шарнирной опоре. Рисунок 8.15 3. Построим эквивалентную систему (рис. 8.16) путем добавления к основной системе внешней нагрузки и неизвестных усилий X1, X2, которые заменяют действие удаленных связей и препятствуют линейным перемещениям сечений рамы в заделке. На схеме пронумеруем характерные сечения. Рисунок 8.16 4. Запишем два канонических уравнения, для определения неизвестных усилий X1, X2: δ1P + δ11X1 + δ12X2 = 0 δ2P + δ21X1 + δ22X2 = 0 5. Для определения коэффициентов канонических уравнений δik ,δiP строим эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки и от единичных усилий, поочередно приложенных к опорному сечению 1 и направленных по направлению неизвестных усилий X1, X2. а) Прикладываем к основной системе только внешнюю нагрузку (рис. 8.17а) и строим от нее эпюру изгибающих моментов (рис. 8.17б). Рисунок 8.17 б) Прикладываем к основной системе единичное усилие в направлении X1 (рис. 8.18а) и строим от него эпюру изгибающих моментов (рис. 8.18б). Рисунок 8.18 в) Прикладываем к основной системе единичное усилие в направлении X2 (рис. 8.19а) и строим от него эпюру изгибающих моментов (рис. 8.19б). Рисунок 8.19 6. Так как эпюры от единичных усилий линейные зависимости, то коэффициенты канонических уравнений вычислим способом Верещагина. Перемножая эпюры согласно индексам коэффициентов, определим: 7. Система канонических уравнений принимает вид: 3X1 – 2X2 +(1/6)qa = 0 -2X1 + (32/3)X2 –(7/24)qa = 0, откуда X2 ≈ 0,02qa, X1 ≈= -0,13qa 8. Вычислим изгибающий момент в произвольном сечении рамы, как алгебраическую сумму изгибающего момента от внешних нагрузок MP (рис. 8.17б), изгибающего момента M1 (рис. 8.18б), увеличенного в X1 раз, и изгибающего момента M2 (рис. 8.19б), увеличенного в X2 раз. В результате изгибающий момент в характерных сечениях равен: M1 = 0, M2 = 1a × (-0,13)qa = -0,13qa2, M3 = -(1/2)qa2 + 1a×(-0,13)qa – 1a×0,02qa = -0,65qa2 M3 = (1/2)qa2 + 1a×(-0,13)qa – 1a×0,02qa = 0,35qa2 M4 = 1a×(-0,13)qa – 2a×0,02qa = -0,17qa2 M5 = -1a×(-0,13)qa – 2a×(0,02)qa = 0,09qa2 M6 = - qa2 = -qa2 9. Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 8.20). Рисунок 8.20 Пример 8.2 Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры изгибающих моментов, перерезывающих сил и нормальных сил для рамы, приведенной на рисунке 8.21. Рисунок 8.21 Решение. 1. Число внешних степеней свободы: n = 3d – 2s – c0 = 3×0 - 2×0 - 3= -3 Следовательно, заданная рама внутренне три раза статически неопределима, но условия косой симметрии позволяют сократить число неизвестных до одного. 2. Разрежем раму по оси симметрии. Полученная основная система приведена на рисунке 8.22. Рисунок 8.22 3. В сечении действует только один кососимметричный силовой фактор (перерезывающая сила), так как внешняя нагрузка кососимметрична. Построим эквивалентную систему (рис.8.23) путем добавления к основной системе внешней нагрузки и неизвестного усилия X, которым заменяют действие удаленной связи, препятствующей взаимному линейному перемещению сечений рамы. Рисунок 8.23 4. Запишем каноническое уравнение, для определения неизвестного усилия X: δ1P + δ11X = 0 5. Для определения коэффициентов канонических уравнений δik ,δiP строим эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки и от единичных усилий. а) Прикладываем к основной системе только внешнюю нагрузку (рис. 8.24а) и строим от нее эпюру изгибающих моментов (рис. 8.24б). Рисунок 8.24 б) Прикладываем к основной системе единичное усилие в направлении X1 (рис. 8.25а) и строим от него эпюру изгибающих моментов (рис. 8.25б). Рисунок 8.25 6. Перемножая эпюры согласно индексам коэффициентов, определим: 7. Каноническое уравнение принимает вид: 9,78X - (11/3)qa = 0, откуда X = 0,37qa 8. Вычислим изгибающий момент в произвольном сечении рамы, как алгебраическую сумму изгибающего момента от внешних нагрузок MP (рис. 8.24б) и изгибающего момента M1 (рис. 8.25б), увеличенного в X раз. В результате изгибающий момент в характерных сечениях равен: M1 = 0, M2 = -1a × 0,37qa = -0,37qa2, M3 = 2qa2 – 1a×0,37qa = 1,63qa2 M4 = -2qa2 9. Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 8.26). Рисунок 8.26 3 Перемещения сечений статически неопределимых рам Для определения перемещений сечений статически неопределимых рам можно использовать интеграл Мора, который был получен для статически определимых стержневых систем. Это обусловлено тем, что эквивалентная система является статически определимой и ничем не отличается от заданной системы, т.е. перемещения сечений эквивалентной системы такие же, как перемещения сечений заданной системы. Следовательно, в случае, когда статическая неопределимость раскрыта, и неизвестные усилия Xi определены, чтобы исключить повторное раскрытие статической неопределимости при определении перемещений, достаточно рассматривать ту же эквивалентную систему, которая использовалась для раскрытия статической неопределимости. В этом случае процедура определения перемещений сечений статически неопределимых стержневых систем ничем не отличается от процедуры определения перемещений сечений статически определимых стержневых систем. Пример 8.3 Определить вертикальное перемещение yA сечения A и угол поворота φB сечения B для плоской рамы, приведенной на рисунке 8.27. Рисунок 8.27 Решение. 1. Так как статическая неопределимость заданной рамы была раскрыта ранее (пример 8.1), то воспользуемся эпюрой изгибающих моментов от основных нагрузок, которая построена на рисунке 8.20. 2. Для определения перемещения yA построим эпюру изгибающих моментов от единичного усилия и перемножим ее на эпюру от основных нагрузок. а) Приложим единичное усилие к основной системе в точке A в направлении искомого перемещения (рис. 8.28а). Рисунок 8.28 б) Построим эпюру изгибающих моментов от приложенного единичного усилия (рис. 8.28б). в) Перемножим полученную эпюру от единичного усилия на эпюру от основных нагрузок (рис. 8.20). Перемножение выполняем по правилу Верещагина для участков, на которых эпюры принимают не нулевые значения. Так как эпюра от основных нагрузок представляет собой сложные зависимости, то применим расслоение эпюр на простые составляющие. 3. Для определения угла поворота φB сечения B построим эпюру изгибающих моментов от единичного момента и перемножим ее на эпюру от основных нагрузок. а) Приложим единичный момент к основной системе в точке B (рис. 8.29а). б) Построим эпюру изгибающих моментов от приложенного единичного момента (рис. 8.29б). Рисунок 8.29 в) Перемножим полученную эпюру от единичного момента на эпюру от основных нагрузок (рис. 8.20). Перемножение выполняем по правилу Верещагина для участков, на которых эпюры принимают не нулевые значения. Глава 9. Критерии прочности Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности конструкции по известному напряженному состоянию. Наиболее просто эта задача решается при одноосном напряженном состоянии неповрежденной конструкции. В этом случае определение момента появления деформаций текучести или разрушения осуществляется путем сопоставления действующих напряжений с пределом текучести или временным сопротивлением материала. В случае сложного напряженного состояния, когда два или все три главных напряжения 1, 2, 3 не равны нулю, при оценке предельного (опасного) состояния необходимо учитывать не только предельные значения главных напряжений, но и соотношение между ними. Еще более сложной является задача определения опасного состояния конструкции при наличии повреждения, например, повреждения в виде трещины. Очевидно, экспериментальная проверка опасности состояния практически исключается, из-за бесчисленного числа соотношений между 1, 2, 3 , а также видов и размеров повреждения. Другой путь решения этой задачи заключается в установлении меры напряженного состояния и размера повреждения, при достижении которой возникает переход к опасному состоянию. Такая мера устанавливается с помощью критериев прочности (разрушения). При этом предусматривается возможность экспериментальной проверки выбранного критерия. Раздел 1. Критерии статической прочности Конструкция самолета проектируется таким образом, чтобы ни в одном из ее элементов не возникала текучесть при действии максимальной эксплуатационной нагрузки, и чтобы ни один из элементов конструкции статически не разрушался при действии расчетной нагрузки. Многие элементы конструкции подвержены совместному действию осевого растяжения или сжатия, кручения, изгиба, сдвига, которые вызывают в них сложное напряженное состояние. Это обусловило необходимость разработки методов определения предельного состояния материала конструкции, которые носят название критериев статической прочности. Критерии определяют условия начала текучести или разрушения материала конструкции, подверженного действия сложного напряженного состояния, на основании экспериментальных данных, полученных для материала при испытании на растяжение, или сжатие, или чистый сдвиг. Принято действующее сложное напряженное состояние сравнивать с одноосным растяжением, как наиболее характерным и легко осуществимым в лабораторных условиях. Таким образом, в общем случае задача заключается в эквивалентном приведении трехосного напряженного состояния (σ1, σ2, σ3) к одноосному (σэкв) (рис. 9.1). Рисунок 9.1 В зависимости от того, какой процесс рассматривается (текучесть или разрушение), записывают условие разрушения в виде: σэкв =σпред, где , где σэкв- эквивалентное напряжение; σпред – предельное напряжение; σвр, σт – предел прочности и предел текучести материала при одноосном растяжении. В дальнейшем будем рассматривать процесс текучести. При формулировке критериев принимают правдоподобные не доказуемые гипотезы, но обоснованные последующими экспериментами. Существует много критериев, в которых принято, что напряжения или деформации или их комбинации вызывают процесс текучести, но наиболее широко используются шесть критериев: - критерий максимального главного напряжения (Rankine); - критерий максимальной главной деформации (St. Venant); - критерий суммарной энергии деформации (Beltramy & Haigh); - критерий максимальных касательных напряжений (Tresca); - критерий максимальной энергии деформаций сдвига (Hencky & Von Mises); - критерий интенсивности напряжений; - теория Мора. 1.1 Критерий максимального главного напряжения (Rankine) По этому критерию текучесть наступит при достижении максимального главного напряжения предела текучести. Следовательно, условие текучести принимает вид: , где σтр, σтсж – пределы текучести материала на растяжение и сжатие. Эквивалентные напряжения: При двухосном напряженном состоянии σ3 = 0, следовательно, условия текучести принимают вид: Этим критерием почти не пользуются; он дает большие расхождения с экспериментом во многих случаях сложного напряженного состояния. 1.2 Критерий максимальной главной деформации (St. Venant) Так как экспериментальные исследования довольно часто не подтверждали критерий Renkina, поэтому St. Venant предложил критерий максимальной главной деформации. Критерий предполагает, что текучесть наступит при достижении деформации в направлении действия максимального главного напряжения σ1 величины деформации образца материала, подверженного действию одноосного напряжения равного пределу текучести σт. Следовательно, условия текучести можно записать: Таким образом, условие текучести имеет вид: Эквивалентные напряжения: При двухосном напряженном состоянии σ3 = 0, следовательно, условия текучести принимают вид: Этим критерием пользуются редко, так как во многих случаях сложного напряженного состояния он не согласуется с экспериментом. 1.3 Критерий суммарной энергии деформации (Beltramy & Haigh) Критерий предполагает, что текучесть наступит, когда энергия деформации u в единице объема, в окрестности наиболее нагруженной точки, достигнет величины, соответствующей энергии деформации uто в единице объема образца, выполненного из того же материала при одноосном растяжении до предела текучести. Следовательно, условие текучести принимает вид: u = uто (1) Суммарная энергия деформации в единице объема при трехосном напряженном состоянии и упругом деформировании: Учитывая, обобщенный закон Гука: , получим: (2) При одноосном растяжении образца до предела текучести σ1 = σтр, σ2 = σ3 = 0. Подставим эти значения в соотношение (2), получим: (3) Подставим выражения (2) и (3) в соотношение (1), получим условие текучести: σ12 + σ22 + σ32 - 2μ(σ1σ2 + σ2σ3 + σ2σ3) = σтр2 Эквивалентное напряжение: При двухосном напряженном состоянии σ3 = 0, следовательно, условие текучести принимает вид: σ12 + σ22 - 2μσ1σ2 = σтр2 1.4 Критерий максимальных касательных напряжений (Tresca) Предыдущие три критерия не согласуются с экспериментом при всестороннем (гидростатическом) растяжении или сжатии. В случае всестороннего растяжения, т.е. при σ1 = σ2 = σ3 = p : а) по критерию максимальных главных напряжений текучесть наступит при p = σтр; б) по критерию максимальной главной деформации текучесть наступит при ; в) по критерию суммарной энергии деформации текучесть наступит при . Эксперименты показывают, что образец хрупкого или пластичного материала, подверженного действию всестороннего растяжения (сжатия), не теряет упругих свойств до значений p значительно превышающих величин, вычисленным по приведенным соотношениям. Это противоречие позволило предположить, что не наступает при всестороннем растяжении (сжатии) из-за отсутствия касательных напряжений τ. Исходя из этого, можно предположить, что текучесть наступает при условии изменения формы объемом материала, а это возможно при действии касательных напряжений. Итак, критерий максимальных касательных напряжений предполагает, что текучесть наступит, когда максимальное касательное напряжение в элементе конструкции τmax достигнет предела текучести материала при растяжении τmр, т.е. условие текучести можно записать в виде: τmax = τmр (1) Учитывая, что и приняв условие текучести (1) принимает вид: σ1 – σ3 =σтр Эквивалентное напряжение: σэкв=σ1 – σ3 При двухосном напряженном состоянии σ3 = 0, следовательно, условие текучести принимает вид: σ1- σ2 = σтр (2) При одновременном нагружении бруса изгибом, кручением, растяжением или сжатием в поперечных сечениях возникают как нормальные, так и касательные напряжения. В соответствии с теорией максимальных касательных напряжений можно ожидать, что текучесть наступит на площадке, на которой действуют максимальные касательные напряжения τmax. При действии нормальных напряжений σ и касательных напряжений τmax главные напряжения: (3) Подставим выражение (3) в соотношение (2) после преобразований получим условие текучести для бруса: Эквивалентное напряжение: σэкв= 1.5 Критерий энергии деформации сдвига (Hencky & VonMises) Критерий максимальных касательных напряжений основывается на предположении, что . При испытании образцов материала на кручение получено: τтр = 0,577σтр. Это показывает, что критерий максимальных касательных напряжений не достаточно точен, кроме того, в нем не учитывается действие σ2 и μ. Критерий энергии сдвига предполагает, что текучесть наступит, когда в единице объема элемента конструкции энергия сдвига uс достигнет величины энергии сдвига uсо, которая достигается в образце из того же материала, что и элемент конструкции при его одноосном растяжении до предела текучести. Таким образом, условие текучести можно записать: uс = uсо (1) Энергию деформации сдвига uс вычислим как разность суммарной энергии деформации u и энергии деформации up, вызванной всесторонним растяжением средним (гидростатическим) напряжением : uс = u - up (2) Суммарная энергия деформации в единице объема: (3) Подставим в выражение (3) значение p, получим выражение энергии деформации, вызванной всесторонним растяжением: (4) Подставим (3) и (4) в соотношение (2) и учитывая, что , после преобразований получив выражение энергии деформации сдвига: (5) Так как при одноосном растяжении образца до предела текучести σ1 = σтр, σ2 = σ3 =0, то подстановкой σ1, σ2, σ3 в выражение (5) получим энергию деформации сдвига: (6) Подставим выражения (5) и (6) в соотношение (1) после преобразований получим условие текучести: Эквивалентное напряжение: σэкв= При двухосном напряженном состоянии σ3 = 0, следовательно, условие текучести принимает вид: (7) Учитывая, что для бруса в опасном сечении действуют нормальных напряжений σ и касательных напряжений τmax, тогда главные напряжения: (8) Подставим выражение (8) в соотношение (7) после преобразований получим условие текучести для бруса: Эквивалентное напряжение для бруса: σэкв= 1.7 Критерий интенсивности напряжений Рассмотрим напряженное состояние на площадке, наклоненной под углами 45 к граням единичного параллелепипеда (рис. 9.2) Рисунок 9.2 В этом случае на наклонной площадке действуют так называемые октаэдральные нормальные напряжения σoct и октаэдральные касательные напряжения τoct: (1) Критерий интенсивности напряжений предполагает, что текучесть наступит при достижении октаэдрального касательного напряжения τoct на наклонной площадке для трехосного напряженного состояния величины октаэдрального касательного напряжения τoct об, возникающем в образце из того же материала при его нагружении одноосным растяжением до предела текучести. Следовательно, условие текучести принимает вид: τoct = τoct об (2) Так как при одноосном растяжении образца до предела текучести σ1 = σтр, σ2 = σ3 =0, то подстановкой σ1, σ2, σ3 в выражение (1) получим октаэдральное касательное напряжение τoct об, возникающем в образце при одноосном растяжении до предела текучести: (3) Подставим выражения (1) и (3) в соотношение (2) и после преобразований, получим условие текучести: Можно заметить, что условие текучести по критерию интенсивности напряжений совпадает с условие текучести по критерию максимальной энергии деформации сдвига. Эквивалентное напряжение σэкв, которое носит название интенсивности напряжений σи: σэкв= σи = Часто напряженное состояние в окрестности наиболее напряженной точки задано в виде компонент нормальных и касательных напряжений (рис. 9.3). Рисунок 9.3 В этом случае условие текучести приобретает вид: Интенсивность напряжений: σи= 1.8 Критерий Кулона-Мора Рассмотренные критерии пластичности применимы для материалов одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Однако, ряд материалов обладает разной прочностью при растяжении и сжатии. Критерий Кулона-Мора основан на предположении, что прочность зависит, главным образом, от величины и знака наибольшего 1 и наименьшего3 главных напряжений. Если при некоторых 1 и 3 возникает текучесть, то круг Мора, построенный на этих напряжениях, соответствует предельному состоянию материала. Меняя соотношение между 1 и 3, получим семейство предельных кругов. Огибающая этих кругов определяет сочетания нормальных и касательных напряжений, при которых возникает текучесть материала (рис 9.4). Рисунок 9.4 Для точного построения огибающей необходимо выполнить большое количество экспериментов при различных напряженных состояниях. На практике ограничиваются минимальным количеством испытаний для наиболее просто реализуемых напряженных состояний. Огибающую можно с достаточной степенью точностью заменить прямой касательной к кругам Мора построенным для растяжения с диаметром равным пределу текучести при растяжении т р и для сжатия - с диаметром равным пределу текучести при сжатии т сж. Следовательно, для построения схематизированной огибающей достаточно провести испытания образцов материала при одноосном растяжении и при одноосном сжатии. С достаточной степенью точности огибающая заменяется касательной к кругам Мора, соответствующих результатам этих испытаний (рис. 9.5). Рисунок 9.5 Это позволяет найти зависимость между главными напряжениями рассматриваемого напряженного состояния 1 и 3 и эквивалентным напряжением экв при равноопасном одноосном растяжении. В точка касания огибающей с тремя кругами восстановим перпендикуляры, которые совпадают с радиусами кругов, а через точку А проведем горизонтальную прямую. Из подобия треугольников ABB1 и ACC1, следует , (1) Из рисунка видно: , , , Подставим эти выражения в соотношение (1) и после преобразований получим условие тукучести: Обозначим , тогда условие текучести принимает вид: Следовательно, эквивалентное напряжение: При двухосном напряженном состоянии σ3 = 0, следовательно, условие текучести принимает вид: (2) Учитывая, что для бруса в опасном сечении действуют нормальные напряжения σ и касательные напряжения τmax, тогда главные напряжения: (3) Подставим выражение (3) в соотношение (2) после преобразований получим условие текучести для бруса: Эквивалентное напряжение для бруса: σэкв= 1.9 Условия текучести при двухосном напряженном состоянии Проанализируем условия текучести при различных критериях для двуосного напряженного состояния. Условия текучести имеют следующий вид: а) по критерию максимального главного напряжения: ; б) по критерию максимальной главной деформации: ; в) по критерию суммарной энергии деформации: σ12 + σ22 + 2μσ1σ2 = σтр2 г) по критерию максимальных касательных напряжений: σ1- σ2 = σтр д) по критериям энергии деформации сдвига и интенсивности напряжений: Представим эти соотношения в прямоугольных координатах «u-v», которые повернуты относительно координат «σ1-σ2» на 45 против часовой стрелки. Для этого подставим в условия текучести: Тогда при различных критериях для двуосного напряженного состояния и при равенстве пределов текучести на растяжение и сжатие (σтр = σтсж = σт) условия текучести принимают вид. а) по критерию максимального главного напряжения: ; б) по критерию максимальной главной деформации: ; в) по критерию суммарной энергии деформации: . Это уравнение эллипса с центром в начале координат, малой полуосью и большой полуосью ; г) по критерию максимальных касательных напряжений: ; д) по критерию энергии деформации сдвига и интенсивности напряжений: . Это уравнение эллипса с центром в начале координат, малой полуосью и большой полуосью . Построим приведенные соотношения в прямоугольных координатах «σ1-σ2» (рис. 9.6). Рисунок 9.6 Фигура Критерий статической прочности abcd Критерий максимального главного напряжения efgh Критерий максимальной главной деформации ajkclm Критерий максимальных касательных напряжений эллипс (сплошная линия) Критерий энергии деформации сдвигу эллипс (пунктирная линия) Критерий суммарной энергии деформации Каждая из фигур означает, что для соответствующего критерия текучесть не наступит до тех пор, пока точка со значениями σ1, σ2 не выйдет за пределы области ограниченной фигурой. Сравнение областей ограниченных различными фигурами показывает, что наименьшая область ограничена шестиугольником ajkclm, который соответствует критерию максимальных касательных напряжений. Можно заметить, что в том случае, когда главные напряжения σ1, и σ2 одновременно растягивающие или сжимающие, то области ограниченные шестиугольником ajkclm и квадратом abcd ( 1-ая и 3-ая четверти прямоугольной системы координат) совпадают. В том случае, когда одно из главных напряжений растягивающее, а другое сжимающее, то область, ограниченная шестиугольником ajkclm меньше области ограниченной квадратом abcd. Это означает, что при прогнозе текучести по критерию максимальных касательных напряжений текучесть наступит раньше, чем по критерию наибольших главных напряжений. Эллипс, ограничивающий область соответствующую, как критерию энергии деформации сдвига, так и критерию интенсивности напряжений огибает шестигранник, соответствующий критерию наибольших касательных напряжений. Таким образом, по критерию энергии деформации сдвига текучесть наступит при больших значениях главных напряжений σ1, и σ2, чем по критерию наибольших касательных напряжений. По критерию максимальной главной деформации область ограничена ромбом диагонали которого совпадают с осями координат u-v, развернутыми относительно исходной системы координат σ1-σ2 на 45. В заключении следует отметить, что прогноз текучести по шести рассмотренным критериям предельного состояния только по трем критериям (критерий наибольших касательных напряжений, критерий энергии сдвига и критерий интенсивности напряжений) согласуются с результатами эксперимента. Кроме того только эти три критерия позволяют утверждать, что текучесть не наступит при всестороннем растяжении или сжатии в условиях отсутствия касательных напряжений, что также подтверждается экспериментом. Раздел 2. Критерии сопротивления усталости Авиационные конструкции, как правило, выполнены из материалов с высокой удельной прочностью и с небольшими запасами прочности. Это означает, что рабочие напряжения могут быть достаточными для образования усталостных трещин в зонах концентрации напряжений. Процесс разрушения складывается из двух стадий - зарождения трещины и ее распространения. Естественно, что среди критериев разрушения одни описывают условия зарождения, а другие условия распространения. Первые из них фактически являются критериями наступления опасного состояния в точке в данный момент, или критерии сопротивления усталости. Вторые же исходят из наличия в конструкции трещины, поэтому они являются критериями начала распространения трещины и её развития, или критерии статической трещиностойкости. При формировании критериев сопротивления усталости будем исходить из того, что многие элементы авиационной конструкции в условиях эксплуатации подвержены циклическому нагружению. Циклическая нагруженность от полета к полету существенно изменяется. На нее влияют изменения нагрузок функционирования (зависящие от масс топлива, коммерческой нагрузки, высоты и скорости полета...), а также случайные нагрузки от воздействия турбулентности и неровностей аэродрома и другие. Таким образом, в течение полета (полетного цикла) на различных режимах возникают циклы с различными средними напряжениями σm (τm) и амплитудами σa(τa), которые случайным образом чередуются. Это обуславливает необходимость разработки критериев сопротивления усталости, которые должны определять условия усталостного разрушения элемента конструкции, подверженного действию нестационарного циклического нагружения, на основании экспериментальных данных, полученных для материала при испытании на усталость в условиях стационарного нагружения. Принято действующее случайное нестационарное напряженное состояние сравнивать с отнулевым циклом, как наиболее характерным и легко осуществимым в лабораторных условиях. Таким образом, в общем случае задача заключается в эквивалентном приведении случайного нестационарного напряженного состояния за полетный цикл к отнулевому циклу одноосного нагружения с максимальным напряжением σэкв, которое можно принять за критерий усталостного повреждения (рис. 9.7). Рисунок 9.7 Основные этапы определения эквивалентного напряжения σэкв заключаются в следующем. 1. Приведение сложного напряженного состояния, действующего в окрестности рассматриваемого значимого по условиям усталости элемента конструкции, к одноосному напряжению σприв для каждого экстремума циклограммы. 2. Схематизация циклограммы приведенных напряжений σприв за полетный цикл методом «полных циклов» или методом «дождевого потока» и представление циклограммы напряжений в виде набора ассиметричных циклов, каждый из которых характеризуется средним напряжением σm и амплитудой σa. 3. Приведение каждого ассиметричного цикла со своим σm и σa к отнулевому циклу σ0. 4. Определение эквивалентных напряжений σэкв на основании гипотезы линейного суммирования усталостных повреждений и базовой кривой усталости. 2.1 Определение приведенных напряжений При определении приведенных напряжений будем исходить из того, что усталостная долговечность элемента конструкции определяется максимальным напряжением на контуре концентратора . Предположим, что можно получить одинаковую долговечность для элемента и образца в случае нагружения плоского образца с отверстием отнулевым циклом с максимальным напряжением σприв, такой величины, при которой на контуре отверстия образца возникнет та же величина напряжений , что и в концентраторе элемента конструкции при многоосном нагружении. Таким образом, задача заключается в том, чтобы определить такую величину σприв , при которой напряжения на контуре отверстия в плоском образце будет равно напряжению на контуре концентратора в рассматриваемом элементе конструкции при его многоосном нагружении: . Рассмотрим наиболее значимые по условиям усталости элементы и конструктивные узлы, которые отличаются видом напряженно-деформированного состояния, а именно: - геометрические концентраторы; - продольные стыки; - поперечные стыки. 2.1.1 Приведенные напряжения для элементов с геометрическими концентраторами В конструкции гермофюзеляжа к элементам с геометрическими концентраторами, в которых возникают усталостные трещины, можно отнести: - вырезы в обшивке кабины экипажа; - рамы остекления кабины экипажа; - вырезы в обшивке под входные (аварийные) двери, грузовые и буфетные люки; - вырезы в оконных панелях; - вырезы под опоры шасси; - вырез под стабилизатор; - вырезы под клапан сброса воздуха, под фары освещения, под антенну, под люк слива воды и т.д. В конструкции крыла к элементам конструкции с геометрическими концентраторами можно отнести: - отверстия в обшивках панелей для сливного крана, для датчиков топливомеров, под заливные горловины и т.д.; - галтели перехода толщин обшивок панелей; - отверстия в стрингерах нижних панелей крыла для перетекания топлива; - люки-лазы в лазовых панелях; - продольные швы; - вырезы в обшивке панелей под воздухозаборник; - вырезы в стенках лонжеронов для люков лазов под рельсы и винты закрылков и предкрылков и т.д. Некоторые концентраторы в крыле (галтели перехода толщин обшивок панелей; отверстия в стрингерах нижних панелей крыла для перетекания топлива и др.) характеризуются тем, что они подвержены действию одноосного напряженного состояния, т.е. в их зоне возникают только нормальные напряжения σ. В этом случае на контуре концентратора в точке возможного зарождения трещины возникают напряжения σк э: , где (1) -коэффициент концентрации элемента конструкции. В случае одноосного нагружения образца с отверстием напряжением σприв на контуре отверстия в точке возможного зарождения усталостной трещины возникает σк о: , где (2) -коэффициент концентрации образца с отверстием. Приравняем правые части соотношений (1) и (2), и после преобразований получим, что приведенное напряжение равно: В ряде случаев геометрические концентраторы находятся в условиях двухосного напряженного состояния. Например, отверстие в обшивке крыла, в окрестности которого возникает двухосное напряженное состояние с главными напряжениями σ1 и σ2. В этом случае на контуре отверстия в точке возможного зарождения усталостной трещины возникает напряжение σк э: (3) В случае одноосного нагружения образца с отверстием напряжением σприв на контуре отверстия возникает σк о: , (4) Приравняем правые части соотношений (3) и (4), и после преобразований получим, что приведенное напряжение равно: 2.1.2 Приведенное напряжение для продольных стыков крыла Регулярными зонами крыла, долговечность которых определяет долговечность конструкции крыла, являются продольные стыки, к которым можно отнести: - стыки панелей; - стыки панелей с поясами лонжеронов; - стыки стенок с поясами лонжеронов. На рисунке 9.8 приведен эскиз продольного стыка панелей при помощи стыкового профиля. Рисунок 9.8 Выделим прямоугольный элемент из панели в окрестности отверстия для крепежного элемента. По граням выделенного элемента будут действовать нормальные напряжения σz, касательные напряжения τxz, и усилие Pб, действующее на контур отверстия от крепежного элемента. Используя принцип суперпозиции представим нагруженное состояние в окрестности отверстия в виде двух, одно из которых представляет нагружение отверстия нормальными напряжениями σz, а второе нагружение касательными напряжениями τxz и уравновешивающим усилием Pб, действующим на контур отверстия (рис. 9.9). Рисунок 9.9 В результате концентрации на контуре отверстия возникает повышенное напряжение σк э, которое можно определить как сумму наибольших напряжений на контуре для двух состояний: , где (5) - коэффициенты концентрации от нормальных напряжений и напряжений смятия; σz – нормальные напряжения в панели; σсм – напряжения смятия. Напряжение смятия определяется усилием на крепежный элемент Pб толщиной панели в зоне крепежного отверстия δ и диаметром крепежного отверстия d: При равномерном распределении усилий по крепежным элементам усилие на болт Pб определяется шагом крепежных отверстий t, числом крепежных элементов на одном шаге n, толщиной панели δ и величиной касательных напряжений τxz: С достаточной степенью точности для реальных соединений и условий нагружения. Тогда соотношение (5) после подстановок можно преобразовать к виду: (6) В случае одноосного нагружения образца с отверстием напряжением σприв на контуре отверстия в точке возможного зарождения усталостной трещины возникает σк о: (7) Приравняем правые части соотношений (6) и (7), и после преобразований получим, что приведенное напряжение равно: 2.1.3 Приведенное напряжение для поперечных стыков К наиболее часто встречающимся поперечным стыкам верхних и нижних панелей крыла можно отнести: - поперечные стыки панелей центроплана с панелями консольной части крыла; - поперечные стыки панелей консольной части крыла с панелями отъемной части крыла. В конструкции гермофюзеляжа к поперечным стыкам можно отнести: - продольные (относительно оси фюзеляжа) стыки обшивки фюзеляжа, выполняемые обычно внахлест; - поперечные (относительно оси фюзеляжа) соединения, выполняемые обычно встык по накладке. На рисунке 9.10 приведен эскиз поперечного стыка панелей при помощи стыковой накладки с шагом крепежных элементов t и числом крепежных элементов на одном шаге n. Рисунок 9.10 Выделим прямоугольный элемент из панели в окрестности отверстия для крепежного элемента шириной t/n (рис.9.11а). По граням выделенного элемента будут действовать усилие Pп на подходе к отверстию и усилие Pст после отверстия. Кроме того на контур отверстия будет действовать усилием Pб. Рисунок 9.11 Используя принцип суперпозиции, представим нагруженное состояние в окрестности отверстия в виде трех, одно из которых преставляет осевое растяжение усилием Pст, второе осевым усилием Pп -Pст и уравновешивающим усилием Pб, действующим на контур отверстия, а третье нагружение распределенными изгибающими моментами mизг, вызванными несоосной передачей усилия с панели на стыковую накладку (рис. 9.11б). Определим усилие, передаваемое панелью на одном шаге Pп: Определим усилие на крепежный элемент Pб , предполагая, что усилия между крепежными элементами распределены равномерно: Определим усилие за первым крепежным элементом Pст: Для определения изгибающих моментов mизг рассмотрим расчетную схему стыка, приведенную на рисунке 9.12. Определим изгибающий момент в сечении по первому ряду крепежных элементов. Рисунок 9.12 Так как, рассматриваемое сечение (рис. 9.12б) находится в условиях внецентренного растяжения, то погонный изгибающий момент будет равен: mz=P×e, где (1) e- расстояние zc между равнодействующей P и главной центральной осью сечения; P- усилие в панели на единице ширины. Учитывая, что и, что равнодействующая P приложена в середине толщины панели в случае равномерного распределения напряжений по её толщине, тогда из рисунка 9.12б: (2) Определим усилие в панели на единице ширины: P=п×п (3) После подстановок 1 и 2 в 3, получим погонный изгибающий момент: Определим напряжения, которые вызваны осевым растяжением усилием Pст, усилием Pб, действующим на контур отверстия и распределенными изгибающими моментами mизг. Напряжение брутто в сечении панели за крепежным элементом в первом ряду при нагружении осевым растяжением усилием Pст равно: (4) Усилие на крепежный элемент Pб вызывает напряжения смятия, которые определяются толщиной панели в зоне крепежного отверстия δст и диаметром крепежного отверстия d: (5) Изгибающий момент mизг вызывает в сечении брутто перед первым рядом крепежных элементов изгибные напряжения, которые определим в предположении, что отсутствует проскальзывание между панелью и накладкой: (6) В результате концентрации на контуре отверстия возникает повышенное напряжение σк э, которое можно определить как сумму наибольших напряжений на контуре для трех состояний: , где (7) - коэффициенты концентрации от нормальных напряжений, напряжений смятия и изгибных напряжений; σст – нормальные напряжения в сечении панели за первым рядом крепежных элементов; σсм – напряжения смятия; σизг – изгибные напряжения в сечении панели перед первым рядом крепежных элементов. В случае одноосного нагружения образца с отверстием напряжением σприв на контуре отверстия в точке возможного зарождения усталостной трещины возникает σк о: (8) Приравняем правые части соотношений (7) и (8), и после преобразований получим, что приведенное напряжение равно: (9) Подставим в 8 выражения 4, 5, и 6, получим: 2.2 Схематизация процесса переменного нагружения В условиях эксплуатации конструкция подвергается действию переменных нагрузок, величины и частоты колебаний которых изменяются в широком диапазоне. В результате переменного нагружения конструкции циклограмма приведенных напряжений для элемента конструкции представляет собой широкополосный случайный процесс. В связи с этим возникает задача схематизации случайного процесса, целью которого является получение последовательности циклов, эквивалентной данному случайному процессу по степени вносимого усталостного повреждения. В авиастроении для оценки долговечности наибольшее распространение получили два способа схематизации случайного процесса: метод «полных циклов» и метод» дождевого потока». 2.2.1 Метод «полных циклов» Сущность метода заключается в последовательном выделении из циклограммы полетного цикла промежуточных циклов, амплитуды которых меньше амплитуд оставшихся циклов. Выделяют циклы за несколько проходов последовательности экстремумов, при этом после каждого прохода исключают экстремумы, по которым выделились циклы (рис. 9.13). Рисунок 9.13 Алгоритм выделения полных циклов заключается в следующем. Рассматривают четыре последовательных экстемума приведенных напряжений σприв i, σприв i+1, σприв i+2, σприв i+3 и проверяют условия выделения цикла: ai < ai-1, ai < ai+1, где a– размах проверяемого на выделение цикла: , . В случае выполнения условия экстремумы σприв i+1 и σприв i+2 из дальнейшего рассмотрения исключают. Далее анализируют следующуя четвертку экстремумов σприв i, σприв i+3, σприв i+4, σприв i+5. Если условие выделения цикла не выполняется, сдвигают четвертку экстремумов на один и рассматривают экстремумы σприв i+1, σприв i+2, σприв i+3, σприв i+4. Выделение циклов выполняют до окончания циклограммы. После первого выделения процедуру выделения циклов повторяют, обрабатывая оставшуюся часть циклограммы. Процедуру выделения повторяют до тех пор, пока ни один цикл больше не выделится. Оставшиеся экстремумы ранжируют по убывающей и формируют циклы из пар наибольших и наименьших значений. В результате обработки получают полные циклы напряжений, которые характеризуются максимальным σприв max и минимальным значением σприв min. 2.2.2 Метод «дождевого потока» В последнее время широкое распространение получил метод «дождевого потока». Этот метод приводит к результатам практически совпадающим с результатами, полученными методом «полных циклов», но он более удобен для программирования. Для схематизации по методу «дождевого потока» представляют, что ось времени направлена вертикально вниз (рис. 9.14). Рисунок 9.14 Линии, соединяющие соседние экстремумы - это последовательность крыш, по которым стекают потоки дождя. Предположим, что первый экстремум- минимум, тогда номерам минимумов соответствуют нечетные числа, номерам максимумов – четные. Траектории потоков определяют в соответствии со следующими правилами: Потоки начинаются с внутренней стороны экстремумов последовательно. Каждый поток определяет полуцикл нагружения. Величину размаха определяют проекцией траектории потока на ось нагрузки. Поток, начавшийся в точке минимума, прерывается, когда встретится минимум меньший, чем исходный. Так поток, начавшийся в минимуме 1 стекает до тех пор пока не достигнет точки 3, и в этой точке останавливается, потому что минимум 3 является первым по порядку минимумом, который лежит левее минимума 1. Аналогично, поток, начавшийся в точке максимума, прерывается в тот момент, когда встретится максимум больший, чем исходный. Например, поток, начавшийся в максимуме 2, прерывается напротив точки 6, поскольку максимум 6 является первым по порядку максимумом, который превышает максимум 2. При встрече на одной из крыш нескольких потоков движение продолжает тот, который берет начало в экстремуме с меньшим номером, а остальные прерываются. Так например поток начавшийся в максимуме 14 прерывается напротив минимума 11, так как он встретился с потоком стекающим с максимума 10. Поток, не встретивший препятствий, падает на землю. Например, поток, начавшийся в минимуме 9. Каждая часть циклограммы должна быть пройдена потоками только один раз. После того как потоки построены, определяют минимальное σприв min и максимальное σприв max значения полуцикла, которым соответствуют начало и конец потока. 2.3 Приведение ассиметричного цикла к эквивалентному по усталостной повреждаемости пульсирующему циклу. Формула Одинга В результате систематизации циклограммы приведенных напряжений получают последовательность циклов, каждый из которых характеризуется средним значением цикла σm и амплитудой σa.: , . Для определения повреждаемости вносимой этой последовательностью необходим набор кривых усталости для различных коэффициентов ассиметрии цикла. Так как это очень трудоемкая задача, то на практике часто ограничиваются получением базовой кривой усталости материала при нагружении образца с отверстием пульсирующим циклом с максимальным напряжением σ0. В этом случае возникает задача приведения ассиметричного цикла к эквивалентному по усталостной повреждаемости пульсирующему циклу с максимальным напряжением σ0. Рассмотрим диаграмму деформирования при циклическом нагружении. Диаграмма зависимости деформации от напряжения представляет собой криволинейную замкнутую петлю. Схематизируем петлю циклического деформирования прямолинейными линиями, как показано на рисунке 9.15. Рисунок 9.15 Если предположить, что усталостное повреждение пропорционально, площади параллелограмма, ограниченного петлей, тогда можно записать, что усталостное повреждение D равно: D=kD×δ×2σa, где kD- коэффициент пропорциональности, δ- ширина петли циклического деформирования, σa – амплитуда цикла. Предположим, что ширина петли пропорциональна максимальному напряжению цикла, т.е.: δ=kδ× σприв max После подстановки, получим, что усталостное повреждение при действии ассиметричного цикла определяется соотношением: D=kD× kδ× σприв max × 2σa =k × σприв max ×2σa (1) Так как для пульсирующего цикла σприв min =0, тогда соотношение (1) для пульсирующего цикла преобразуется к виду: D= k × σ02, где (2) k – коэффициент пропорциональности, σ0- максимальное напряжение пульсирующего цикла. Для того чтобы усталостное повреждение от действия пульсирующего цикла, было тем же, что и от действия ассиметричного цикла достаточно приравнять соотношения (1) и (2). В результате получим соотношение: σ02= σприв max ×2σa Это соотношение носит название формулы Одинга. В общем виде условие равной усталостной повреждаемости определяется формулой: Для большинства самолетостроительных сплавов значение χ близко к 0,5, а диапазон значений этого показателя составляет 0,35…0,6. Экспериментально установлено, что формула дает приемлемый результат в случае, когда σm≥0. В случае, когда σm≤0 и σmax>0, тогда используют эмпирическую зависимость: В случае σmax≤0, очевидно, что σ0=0. 2.4 Определение эквивалентных напряжений на основании гипотезы линейного суммирования усталостных повреждений и базовой кривой усталости Рассматривая процесс накопления повреждений при действии переменного нагружения в течение полетного цикла, можно полагать, что каждый пульсирующий цикл вносит некоторую долю ΔDi общего повреждения. Это повреждение можно определить как величину обратную долговечности при стационарном нагружении, рассматриваемым циклом напряжений, т.е.: , где Ni – долговечность при стационарном нагружении пульсирующим циклом. Предположим, что процесс накопления повреждения является линейным, т.е цикл в начале полетного цикла создает такое же повреждение как и в середине или конце его. В этом случае суммарное повреждение за полетный цикл Dпц получим как сумму повреждений всех циклов: , где (1) n- число циклов в полетном цикле. Для всех конструкционных алюминиевых сплавов в диапазоне долговечностей 104‑106 циклов долговечность определяется степенной зависимостью: , где (2) N- долговечность до разрушения образца; 0- максимальное напряжение пульсирующего цикла; m, C- константы материала. После подстановки (2) в выражение (1) повреждаемость полетного цикла Dпц можно представить в виде соотношения: (3) В случае нагружения одним пульсирующим циклом с максимальным напряжением 0экв повреждаемость Dэкв равна: (4) Из условия равенства повреждаемостей Dэкв, и Dпц определим эквивалентное напряжение σэкв : Полученную таким образом величину эквивалентного напряжения σэкв принимают за критерий усталостного повреждения. Эта величина позволяет определить долговечность элемента конструкции по базовой кривой усталости материала элемента. Раздел 3. Критерии статической трещиностойкости Критерий начала распространения трещины при статическом нагружении впервые был сформулирован А.А. Гриффитсом на основе энергетических соображений, а затем Дж. Ирвином и Е.О. Орованом был предложен силовой критерий и доказана их эквивалентность. Сущность этих подходов состоит в следующем. Пусть имеется тело с начальной трещиной. Для того чтобы трещина начала распространяться, увеличивая свою поверхность, требуется расходовать энергию, равную по величине работе, которую надо затратить, чтобы сохранить целосность материала перед вершиной трещины. Эту работу (с обратным знаком) можно назвать энергией разрушения. Одновременно с образованием новой поверхности, свободной от нагрузок, в некотором объеме материала уменьшается деформация. Это приводит к соответствующему выделению из тела упругой энергии. Таким образом, при развитии трещины с образованием дополнительной поверхности разрыва величиной F должен выполняться баланс энергии: A=U0 V, где A - работа разрушения, необходимая для образования новой поверхности разрыва площадью F; U0- интенсивность освобождающейся упругой энергии; V – объем, из которого высвобождается энергия. 3.1 Энергетический критерий Гриффитса Гриффитс предположил, что трещина будет развиваться лишь в том случае, если освобождаемая при этом энергия будет достаточна для обеспечения всех затрат энергии, связанных с этим ростом. Условие для роста трещины длиной a, следующее: dU/da=dW/da (1) где dU/da – скорость высвобождения упругой энергии; dW/da – скорость расходования энергии для роста трещины. Для определения баланса энергии рассмотрим пластину бесконечной ширины и единичной толщины с центральной поперечной трещиной длиной 2a , нагруженную одноосным полем напряжений  и закрепленную по краям (рис. 9.16). Рисунок 9.16 Предполагая, что в окрестности трещины возникает плоское напряженное состояние, тогда, упругая энергия, которая освободится в окрестности трещины и поступит в вершину трещины: , где V- объем, прилегающий к трещине в котором освободится упругая энергия; E- модуль Юнга. Для пластины единичной толщины с эллиптическим отверстием этот объем примерно равен; Следовательно, высвободившаяся упругая энергия в окрестности трещины: Запишем производную по длине трещины: , где KI- коэффициент интенсивности напряжений, который определяется по формуле: . Величину G и называют скоростью высвобождения упругой энергии, приходящейся на каждую вершину трещины, или трещинодвижущей силой. Скорость изменения энергии расходуемой на распространение трещины обозначают R=dW/da и называют сопротивлением росту трещины. В первом приближении можно считать, что энергия, необходимая для продвижения трещины на единицу длины не зависит от начальной длины трещины, т.е. R-const для материала. Так как для распространения трещины необходимо, чтобы G было, по крайней мере, равно R. Если R-const, то величина G должна достичь некоторого критического значения Gc. Следовательно, энергетическое условие (1) можно записать: G=Gc, где Gc- критическая скорость высвобождения энергии. Таким образом, получили возможность сформулировать энергетический критерий разрушения. Трещина начинает развиваться в том случае, если интенсивность освобождающейся энергии G достигает критической величины GIc. Гриффитс предположил, что величина R определяется только поверхностной энергией твердого тела, которая имеет туже физическую природу, что и для жидкости Такое предположение позволило сформулировать условия разрушения для очень хрупкого материала, например, стекла. Если считать - удельную работу разрушения на единицу площади новой поверхности тела, то работа, затрачиваемая на образование трещины длиной 2a, равна: W=4 Запишем производную по длине трещины, получим сопротивление росту трещины: R=dW/da=4 Учитывая, что энергия продвижения поступает в две вершины трещины, тогда, условие роста записывается в виде: . Из этого условия можно определить либо критическое напряжение кр, при котором трещина длиной 2a становиться опасной: , либо критическую длину трещины aкр, ограничивающую сверху размер безопасного дефекта: . 3.2 Критерий разрушения Орована-Ирвина В вязких материалах, например, металлах в вершине трещины образуются пластические деформации. Пластическая деформация сосредотачивается в небольшой зоне у вершины трещины. Это позволяет предположить, что затраты энергии в процессе создания новых поверхностей при развитии трещины связаны главным образом с работой пластических деформаций объемов материала расположенных перед фронтом трещины. Это означает, что в металлах величина R определяется главным образом энергией деформации в пластической зоне; поверхностная энергия в этом случае настолько мала, что ею можно пренебречь. Однако, если линейные размеры пластической зоны малы по сравнению с длиной трещины, то энергию, расходуемую на распространение трещины U, следуя Ирвину, можно вычислить как работу упругих сил у вершины трещины. При упругом деформировании можно принять, что раскрытие трещины пропорционально величине упругих сил в вершине трещины. Кроме того следует учитывать, что упругие силы выполняют работу на перемещении двух берегов трещины. Тогда работу A упругих сил в вершине центральной трещины нормального отрыва (тип I) длиной 2a в бесконечной пластине единичной толщины, нагруженную одноосным полем напряжений  можно определить (рис.9.17а): (1) где a- подрастание трещины; v- перемещение берега трещины; dF= ydx1- сила действующая на удерживающую связь. Рисунок 9.17 Для определения этой работы используем распределение напряжений y и смещений v в вершине трещины в упругом теле. При r=x, =0 напряжение y описывается соотношением (рис. 9.17б): (2) Перемещение берега трещины v вдоль оси y при r=x, =0 определяется соотношением (рис. 9.17в): (3) где - коэффициент Пуассона; E- модуль Юнга. Вычислим полную работу, совершаемую при продвижении трещины на величину a, для этого подставим выражения (2) и (3) в выражение (1): Эта работа расходуется на продвижение трещины, следовательно, скорость высвобождения упругой энергии, приходящейся на каждую вершину трещины G: Таким образом, приходим к формулировке силового критерия разрушения. Трещина получает возможность распространения в том случае, когда коэффициент интенсивности напряжений K достигает критического значения Kc: K=Kc Итак, энергетический критерий начала роста трещины имеет вид: G=Gc силовой критерий: K=Kc Величины Kc и Gc называют вязкостью разрушения или трещиностойкостью. Так как , то, очевидно, что оба критерия эквивалентны. Следует отметить, что формулировки критериев разрушения справедливы для идеального хрупкого разрушения. Для большинства реальных материалов в небольшой области у вершины трещины возникают пластические деформации. В модели квазихрупкого разрушения, принятой Орованом и Ирвином, предполагается, что зона пластичности невелика по сравнению с длиной трещины. Если протяженность пластической зоны не превышает 20% длины трещины, то поле напряжений за пластической зоной все еще определяется асимптотическими зависимостями, т.е. контролируется коэффициентом интенсивности напряжений K. Для учета влияния пластической зоны Ирвином предложено искусственно увеличить длину трещины на радиус пластической зоны. Радиус пластической зоны ry для плоского напряженного состояния определяют из условия достижения напряжений y (при =0) предела текучести т: , откуда Глава 10 Расчет прочности Несущая конструкция самолета представляет собой сочетание пластин, стержней и оболочек. Основные агрегаты- крыло, фюзеляж, оперение- являются тонкостенными брусьями обтекаемого профиля, работающими на изгиб, сдвиг и кручение. Этот брус рассматривается как тонкостенная цилиндрическая или слабоконическая оболочка, подкрепленная продольными и поперечными элементами. Обшивка и продольный набор принмают участие в восприятии продольных усилий от действия изгибающих моментов, а обшивка играет основную роль в восприятии касательных усилий от действия крутящих моментов. Для определения несущей способности такой сложной пространственной конструкции необходимо выполнить большой объем прочностых расчетов, в том числе расчеты статической прочности, устойчивости продольно сжатых элементов, сопротивления усталости и остаточной прочности поврежденной конструкции. Раздел 1. Расчет статической прочности Как и всякое сложное инженерное сооружение, конструкция летательных аппаратов для расчета на прочность мысленно расчленяется на отдельные узлы и отсеки, к которым прикладываются действующие на них в данный момент расчетные нагрузки и реактивные усилия, приходящие со стороны смежных мысленно отброшенных отсеков. В пределах каждого такого отсека или узла все действующие аэродинамические и инерционные нагрузки принимаются как статические. Таким образом, проверяются расчетным путем все элементы конструкции аппарата, переходя от одного момента нагружения к другому, т.е. по всем расчетным случаям. Самым ответственным моментом расчета является выбор и обоснование величины коэффициентов безопасности. Под коэффициентом безопасности f принято понимать число, больше единицы, на которое следует умножить величину эксплуатационной нагрузки (или перегрузки). Для самолетов значения коэффициентов безопасности устанавливаются «Авиационными правилами». После установления коэффициента безопасности все расчеты на прочность проводят на так называемые расчетные нагрузки (перегрузки), равные: Pр=f×Pэ, nр=f×nэ, где Pр, nр- расчетные значения нагрузок (перегрузок), Pэ, nэ- эксплуатационные значения нагрузок (перегрузок), f- коэффициент безопасности. В результате расчета нужно получить ответ на вопрос, удовлетворяет или нет конструкция тем требованиям прочности, которые к ней предъявляются. Наиболее распространенным методом расчета на прочность является расчет по допускаемым напряжениям. В основу этого метода положено предположение, что критерием прочности является напряженное состояние в точке. Последовательность расчета следующая. На основе анализа напряженного состояния конструкции выделяется точка, в которой возникает наибольшее напряжение. Найденная величина напряжения сравнивается с допускаемой величиной для материала конструкции. Из сопоставления расчетных напряжений и допускаемых напряжений делается заключение о прочности. В ряде случаев достижение в точке максимальных напряжений предельных значений не является опасным для всей конструкции в целом. Такая ситуация возникает при неравномерном распределении напряжений по сечению, например при изгибе или кручении, а также для составных статически неопределимых конструкций. Если конструкция изготовлена из пластического материала, то достижение, в какой либо точке, предела текучести не приводит к потере её несущей способности. В связи с этим возникает необходимость к оценке прочности конструкции по её предельному состоянию. Под предельным состоянием конструкции понимают такое её состояние, при котором она теряет способность сопротивляться внешним воздействиям, или перестает удовлетворять предъявляемым к ней эксплуатационным требованиям. Различают три вида предельных состояний. 1. Предельное состояние по несущей способности. При достижении этого состояния, например, в результате исчерпания статической прочности, потере устойчивости, или развития усталостных трещин предельных размеров конструкция теряет возможность сопротивляться внешним воздействиям. 2. Предельное состояние по развитию чрезмерных деформаций. В этом случае от действия статических или динамических нагрузок или от действия температуры при сохранении статической прочности и устойчивости появляются такие остаточные изменения или колебания, при которых конструкция перестает удовлетворять предъявляемым к ней требованиям. 3. Предельное состояние по образованию и развитию трещин. Такое состояние возникает, когда в конструкции, сохраняющей статическую прочность, появляются трещины таких размеров, что дальнейшая эксплуатация становится невозможной, например, вследствие потери герметичности. 1.1 Расчет статической прочности по допускаемым напряжениям На практике наиболее часто встречаются два случая расчета статической прочности по допускаемым напряжениям. Проектировочный расчет. В этом случае по известным нагрузкам и для выбранного материала требуется определить необходимые размеры поперечного сечения элемента конструкции, обеспечивающие его надежную работу. В основе этого расчета для одноосного напряженного состояния лежит условие прочности: или , выражающее тот факт, что наибольшее напряжение (нормальное max или касательное τmax) действующее в сечении элемента конструкции не должно превышать соответствующего допускаемого напряжения [max] ([τmax]). Допускаемое напряжение определяют как частное от деления предельных напряжений пред (τпред) на запас прочности n (nτ): , или В качестве предельных напряжений принимают предел прочности в (τв). для хрупких материалов и предел текучести т (τт) для пластических материалов. При установлении запаса прочности n (nτ) учитывают разброс механических свойств материала, отступления в геометрии элементов конструкции, хотя бы в пределах допусков. 2. Проверочный расчет. Проводят в случае, когда заданы размеры элемента конструкции и его материал. Требуется выяснить, может ли заданный элемент выдержать, не разрушаясь, заданную нагрузку. В этом случае определяют избытки прочности  (τ) как отношение допускаемых напряжений к максимальным действующим напряжениям: или . Аналогично проводят расчет на жесткость, только вместо условия прочности записывают условие жесткости, ограничивающее величину деформаций (или перемещений). Однако даже в том случае, когда выполнен расчет на жесткость, всегда необходимо проводить проверочный расчет на прочность и, если он дает отрицательный результат, то следует принять размеры, полученные из расчета на прочность. 1.1.1 Расчеты прочности при растяжении и сжатии стержневой системы или ступенчатого бруса Считается, что стержневая система или ступенчатый брус разрушатся, если максимальное нормальное напряжение, возникающее в них, достигнет предельного напряжения материала, из которого они выполнены. Условие разрушения имеет вид: Наибольшее действующее напряжение определяют для наиболее напряженного стержня системы или сечения бруса по формуле:  = N/F, где: N- нормальное усилие, F- площадь поперечного сечения. В качестве предельных напряжений пред примем те напряжения, при достижении которых в материале появляются признаки нарушения прочности: при достижении предела текучести т‑ заметные остаточные деформации, при достижении предела прочности в - появление излома. Таким образом, для пластичных материалов предельным напряжением будет предел текучести: тр ‑ предел текучести при растяжении, или тс ‑ предел текучести при сжатии. Для хрупких материалов предельным напряжением будет предел прочности: вр ‑ предел прочности при растяжении, или вс ‑ предел прочности при сжатии. Следовательно, можно записать: Стержневая система или ступенчатый брус считаются прочными, если максимальные расчетные напряжения, возникающие в них, будут меньше допускаемых напряжений. Это означает, что для стержневой системы или ступенчатого бруса, обладающих достаточной прочностью, должно выполняться условие прочности: , где: max - наибольшее действующее напряжение, []-допускаемое напряжение. Допускаемое напряжение [] определим как то максимальное напряжение, которое можно допустить при работе и при котором будет обеспечен требуемый запас прочности: []=пред/n, где: пред- предельное напряжение, n - запас прочности. Если возникает необходимость соблюдения требования необходимой жесткости, т.е. способности воспринимать заданные внешние нагрузки, не деформируясь выше установленных норм, то необходимо удовлетворить условию жесткости, которое требует, чтобы максимальное перемещение узла max стержневой системы или сечения ступенчатого бруса не превышало допускаемого перемещения []: Если получены два значения искомого размера (один из условия прочности, другой из условия жесткости), тогда в качестве окончательного принимают тот, который удовлетворяет обоим условиям, т.е. наибольший. Пример 10.1 Подобрать сечение стержней фермы крепления двигателя (рис. 10.1) для случая нагружения двигателя силой тяги Pэx и массовыми силами соответствующими случаю D. Вес двигателя Gдв = 10 кН; тяга Pэx =30 кН; перегрузка nD=-2,5; коэффициент безопасности f=1,5. Стержни фермы выполнены из тонкостенных стальных труб с отношением внутреннего диаметра к наружному d/D=0,9. Материал труб 30ХГСА. Предел текучести на растяжение 0,2=1162 МПа, предел текучести на сжатие 0,2 сж=1081 МПа. Рисунок 10.1 Решение. 1. Определим расчетные нагрузки путем учета коэффициента безопасности и перегрузки в заданном случае нагружения. Px= f Pэx=1,530= 45 кН. Pн= f  nD  Gдв = 1,5(-2,5) 10= -37,5 кН. 2. Двигатель крепится с помощью шести стержней. Так как для пространственной системы сил можно составить шесть уравнений равновесия, то система является статически определимой. Для определения усилий в стержнях удалим опоры, и их действие заменим неизвестными усилиями в стержнях (рис. 10.2). Рисунок 10.2 В силу симметрии можно записать: N1-2= N1`-2` N1-3= N1`-3` Для определения усилий в стержнях составим уравнения равновесия: Решая систему уравнений, получим усилия в стержнях: Из рассмотрения схемы нагружения определим: , , . Вычислим численные значения усилий в стержнях: 3. Определим напряжения в стержнях: 4. Диметры стержней определим из условий: , откуда: , d1-2=0,9 15=13,5 мм , d1-3=0,9 12,8=11,5 мм , d4-5=0,9 9=8 мм Пример 10.2 Для ступенчатого стального бруса (рис. 10.3а) определить реакции в заделках, построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений , относительных деформаций , продольных перемещений l. Определить опасное сечение и подобрать необходимую площадь F из условия прочности на растяжение или сжатие. Задано: a =0,5 м, q=200 кН/м, E = 2,1105 МПа. Допускаемое напряжение на растяжение []р = 160 МПа, на сжатие []c = 60 МПа. Рисунок 10.3 Решение. 1.Отбросим левую и правую заделку и заменим их действие неизвестными силами Х1 и Х4. Нумеруем характерные сечения (рис. 10.3б). 2. Запишем уравнение равновесия: X=-X1+q2a-2qa+X4=0, или: X4–X1=0 (1) Задача один раз статически неопределима, так число уравнений равновесия на единицу меньше числа неизвестных. 3.Запишем выражение нормальных сил N на каждом участке, последовательно отсекая сечения от начала участка, начиная от левой заделки. N1-2(x)=X1-qx, N2-3(x)=X1–q2a, N3-4(x)=X1–q2a+2qa=X1 4. Учитывая, что смещение заделок относительно друг друга равно нулю, запишем уравнение совместимости деформаций: l1-4=0, или: l1-2+l2-3+l3-4=0 По закону Гука удлинение каждого участка стержня имеет вид: l1-2==(a/EF)(X1–qa) l2-3=((X1–2qa)a)/(EF) l3-4=(X1a)/(3EF) Следовательно, уравнение совместимости примет вид: (a/EF)(X1–qa)+((X1–2qa)a)/(EF)+(X1a)/(3EF)=0, или 7/3X1–3qa=0 (2) Решая уравнения 1 и 2 совместно, получим: X1=9/7qa X4=9/7qa 5.Запишем выражения нормальных сил, подставив значение Х1: N1-2(x)=9/7qa-qx, N1(0)=9/7qa, N2(2a)=-5/7qa N2-3(x)=9/7qa–q2a=-5/7qa, N3-4(x)=9/7qa Строим эпюру N (рис. 10.3в). 6. Запишем выражения нормальных напряжений: 1-2(x)=(9/7qa–qx)/2F, 1(0)=(9/7qa)/2F, 2(2a)=(-5/7qa)/2F 2-3(x)=(-5/7qa)/F, 3-4(x)=(9/7qa)3F Строим эпюру  (рис. 10.3г). 7.Запишем выражения относительных деформаций: 1-2(x)=(9/7qa–qx)/2EF, 1(0)=(9/7qa)/2EF, 2(2a)=(-5/7qa)/2EF 2-3(x)=(-5/7qa)/EF, 3-4(x)=(9/7qa)3EF Строим эпюру  (рис. 10.3д). 8. Запишем выражения перемещений сечений: l1-2(x)==(1/2EF)(9/7qax–qx2/2); l1(0)=0; l2(2a)=2/7(qa2/EF) l2-3(x)=2/7(qa2/EF)+=2/7(qa2/EF)–5/7(qax/EF); l2(0)=2/7(qa2/EF); l3(a)=-3/7(qa2/EF) l3-4(x)=-3/7(qa2/EF)+=-3/7(qa2/EF)+3/7(qax/EF) l3(0)=-3/7(qa2/EF); l4(a)=0 Строим эпюру l (рис. 10.3е). Вычислим значение экстремума на эпюре l: 1-2(x)=(9/7qa–qxmax)/2EF=0, откуда xmax=9/7a, тогда l1-2(xmax)=(1/2EF)(9/7qa 9/7a–q(9/7a)2/2)=81/196(qa2/EF) 9. Запишем условия прочности: 9/14(qa/F)<=[]р -5/7(qa/F)>=[]c Определяем потребную площадь сечения: F>=9/14(qa/[]р)=9/14(200 103 0,5/160 106)=4 10-4м2 F>=-5/7(qa/[]с)=-5/7(200 103 0,5/(-60 106))=11,9 10-4м2 Таким образом, опасным является участок 2-3. Выбираем наибольшее значение F = 11,9 10-4м2. 1.1.2 Расчет прочности при срезе и смятии Элементы, которыми соединяют различные детали, например, заклепки, штифты, болты (без зазора) в основном рассчитывают на срез. Расчет носит приближенный характер и основан на следующих допущениях: 1) в поперечных сечениях рассматриваемых элементов возникает лишь один силовой фактор – поперечная сила Q; 2) при наличии нескольких одинаковых соединительных элементов каждый из них воспринимает одинаковую долю общей нагрузки, передаваемой соединением; 2) касательные напряжения распределены по сечению равномерно. Условие прочности выражается формулой: τср = Q/Fср≤[ τ]ср, где Q – поперечная сила ( при нескольких i соединительных элементах при передаче силы Pср Q = Pср/i); τср – напряжение среза в плоскости рассчитываемого сечения; Fср – площадь среза; [τ]ср – допускаемое напряжение на срез. На смятие, как правило, рассчитывают элементы, которые соединены заклепками, штифтами, болтами. Смятию подвергаются стенки отверстий в зонах установки соединительных элементов. Обычно расчет на смятие выполняют для соединений, соединительные элементы которых рассчитывают на срез. При расчете на смятие принимают, что силы взаимодействия между соприкасающимися деталями равномерно распределены по поверхности контакта и в каждой точке нормальны к этой поверхности. Силу взаимодействия, принято называть напряжением смятия. Расчет на прочность выполняется по формуле: σсм=Pсм/(iFсм)≤[σ]см, где σсм– действующее напряжение смятия; Pсм– усилие передаваемое соединением; i – число соединительных элементов; Fсм – расчетная площадь смятия; [σ]см – допускаемое напряжение смятия. Из допущения о характере распределения сил взаимодействия по поверхности контакта следует, что если контакт осуществляется по поверхности полуцилиндра, то расчетная площадь Fсм равна площади проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость, т.е. равна диаметру цилиндрической поверхности d на ее высоту δ: Fсм= d δ Пример 10.3 Стержни I и II соединены штифтом III и нагружены растягивающими силами (рис. 10.4). Определить размеры d, D, dшт, c, e конструкции, если [σ]р=120 МПа, [τ]ср=80 МПа, [σ]см=240 МПа. Рисунок 10.4 Решение. 1. Определяем диаметр штифта из условия прочности на срез: , откуда Принимаем d=16×10-3 м 2. Определяем диаметр стержня I из условия прочности на растяжение (сечение стержня, ослабленное отверстием для штифта, показано на рис. 10.4б): , или , откуда 94,2×10310 d2 – 1920103 d - 30  0 Решив квадратное неравенство, получим d30,810-3 м. Принимаем d=3110-3 м. 3. Определим наружный диаметр стержня II из условия прочности на растяжение, сечения ослабленного отверстием для штифта (рис. 10.4в): , или , откуда 94,2103D2-192103D-610 Решив квадратное уравнение, получим D=37,710-3 м. Примем D=3810-3 м. 4. Проверим, достаточна ли толщина стенок стержня II по условию прочности на смятие: Так как напряжение смятия превышает допустимое напряжение на смятие, то увеличим наружный диаметр стержня так, чтобы выполнялось условие прочности на смятие: , откуда Принимаем D=39×10-3 м. 5. Определяем размер c из условия прочности нижней части стержня II на срез: , откуда Примем c=24×10-3 м. 6. Определим размер e из условия прочности верхней части стержня I на срез: , откуда . Примем e=6×10-3 м. Пример 10.4 Проверить прочность заклепочного соединения (рис. 10.5а), если [τ]ср = 100 МПа, [σ]см = 200 МПа, [σ]р = 140 МПа. Рисунок 10.5 Решение. Расчет включает проверку прочности заклепок на срез, стенок отверстий в листах и накладках на смятие, а также листов и накладок на растяжение. Напряжения среза в заклепках определяем по формуле: В рассматриваемом случае i=9 (число заклепок по одну сторону от стыка), k=2 (двухсрезные заклепки). Подставляя числовые значения, получим: τср = 550103 / (92((3,140,022) /4)) = 97,2 МПа Избыток прочности по срезу заклепок: Напряжение смятия стенок отверстий определим по формуле: В заданном соединении площадь смятия стенок отверстий соединяемых листов меньше, чем стенок отверстий в накладках. Следовательно, напряжения смятия для листов больше, чем для накладок, поэтому принимаем δрасч = δ = 16 10-3 м. Подставляя числовые значения, получим: σсм= 550103 / (91610-32010-3) =191 МПа Избыток прочности по смятию стенок отверстий: Для проверки прочности листов на растяжение вычислим напряжения по формуле: , где N – нормальная сила в опасном сечении; Fнетто – площадь сечения нетто, т.е. площадь поперечного сечения листа за вычетом его ослабления отверстиями для заклепок. Для определения опасного сечения строим эпюру продольных сил для листов (рис. 10.5 г). При построении эпюры воспользуемся допущением о равномерном распределении силы между заклепками. Площади ослабленных сечений разные, поэтому не ясно, какое из них опасное. Производим проверку каждого из ослабленных сечений, которые показаны на рисунке 10.5в. Сечение I-I Сечение II-II Сечение III-III Опасным оказалось сечение I-I ; напряжение в этом сечении выше допускаемого примерно на 2%. Проверка накладки аналогична проверки листов. Эпюра продольных сил в накладке показана на рисунке 10.5г. Очевидно, что для накладки опасным является сечение III-III, так как это сечение имеет наименьшую площадь (рис. 10.5д) и в нем возникает наибольшая продольная сила N = 0,5P. Напряжения в опасном сечении накладки: Напряжения в опасном сечении накладки выше допускаемого примерно на 3,5%. 1.1.3 Расчет прочности и жесткости при кручении Считается, что брус (вал) сплошного или тонкостенного сечения разрушиться, если максимальное касательное напряжение, возникающее в нем, достигнет предельного касательного напряжения материала, из которого он выполнен. Условие разрушения имеет вид: Наибольшее касательное напряжение определяют для наиболее напряженного сечения вала по формуле: τmax = Mx/Wкр, где Мx - крутящий момент; Wкр - момент сопротивления кручению. Для вала внешние крутящие моменты зачастую неизвестны, а задаются передаваемые мощности. В этом случае крутящие моменты определяют по формуле: [Нм], где Р- мощность выраженная в ваттах, ω- угловая скорость вращения вала, измеряемая в радианах в секунду. Если задана частота вращения вала в оборотах в минуту n, то угловую скорость можно найти по формуле: . Для пластичных материалов предельным напряжением будет предел текучести τт. В связи с тем, что существует связь между характеристиками при сдвиге и растяжении, то: τт  (0,5 - 0,65) тр Для хрупких материалов предельным напряжением будет предел прочности при сдвиге τВ. Следовательно: Для вала обладающего достаточной прочностью должно выполняться условие прочности: τmax  [τ], где τmax - наибольшее касательное напряжение, [τ] - допускаемое касательное напряжение. Допускаемое касательное напряжение - это минимальное напряжение, которое можно допустить при работе, и при котором будет обеспечен требуемый запас прочности nτ: [τ] = τпред/nτ, где τпред - предельное напряжение, nτ - запас прочности. Кроме необходимости соблюдения условий прочности иногда предъявляются требования необходимой жесткости, т.е. чтобы максимальный угол поворота сечения бруса max не превышал допускаемое значение []: max  [] Очень часто условие жесткости при кручении выражают через относительный угол закручивания: θmax  [θ] Обычно относительный угол закручивания вала лежит в интервале 0,25 град/м до 1 град/м. Таким образом, при проектировочном расчете потребные размеры поперечных сечений определяют из условий прочности и жесткости: τmax  [τ], θmax  [θ] Из двух значений жесткости поперечного сечения выбирают наибольшее, так как он будет удовлетворять одновременно двум условиям. Пример 10.5 От электродвигателя на вал 1 передается мощность Р=20 кВт. С вала 1 поступает на вал 2 мощность P1=15 кВт и к рабочим машинам мощности Р2=1 кВт и Р3=3 кВт, с вала 2 к рабочим машинам поступают мощности Р4=7 кВт, Р5=4 кВт и Р6=4 кВт (рис. 10.6). Определить диаметры валов d1 и d2 из условий прочности и жесткости, если [τ]=250 МПа, [θ]=0,25 град/м. Сечения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными. Модуль сдвига материала валов G=8104 МПа. Частота вращения вала электродвигателя n=970 об/мин; диаметры шкивов D1=0,2 м, D2=0,4 м, Dз=0,2 м, D4=0,6 м. Рисунок 10.6 Решение. 1. Определим частоту вращения, угловую скорость вала 1 и внешние крутящие моменты М1, М2, М3. На вал поступает мощность P, а с вала снимаются мощности P1, P2, P3. 2. Строим расчетную схему вала 1 и эпюру крутящих моментов для вала (рис. 10.7). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие мощностям Р3 , Р1 и Р3 положительными, а Р ‑ отрицательным. Расчетный (максимальный) крутящий момент Mmax = 354,5 Нм. Рисунок 10.7 Условие прочности: Диаметр вала 1: Условие жесткости: Диаметр вала 1: Окончательно принимаем с округлением до стандартного размера: d1 = 0,058 м. 3. Для вала 2 определим частоту вращения n2, угловую скорость ω2 и внешние крутящие моменты М1, М4, М5. На вал поступает мощность P1, а с вала снимаются мощности P4, P5, P6. 4. Строим расчетную схему вала 2 и эпюру крутящих моментов для вала (рис. 10.8). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие мощностям Р4 , Р5 и Р6 положительными, а Р1 ‑ отрицательным. Рисунок 10.8 Расчетный (максимальный) крутящий момент Mmax = 470 Н м. Условие прочности: Диаметр вала 2: Условие жесткости: Диаметр вала 2: Окончательно принимаем с округлением до стандартного размера: d2 = 0,062 м. Пример 10.6 Тонкостенная труба постоянного поперечного сечения в форме двухзамкнутого профиля нагружена крутящим моментом Mx= 8,3 кНм. Толщины δ и длины средней линии сечения S на криволинейных участках и вертикальных стенках приведены на рисунке 10.9. Площади ограниченные средними линиями контуров сечения: Fк1=0,068 м2, Fк2=0,25 м2. Труба выполнена из алюминиевого сплава с модулем упругости на сдвиг G=27,7103 МПа. Определить избытки прочности и жесткости, если [τ]=190 МПа, [θ]=0,25 град/м. Рисунок 10.9 Решение. Поток касательных напряжений, возникающий внутри области, занятой сечением, представим, как сумму двух потоков, каждый из которых охватывает один из контуров (рис. 10.10). Рисунок 10.10 Поток во внутренней стенке представим как разность двух основных потоков, возникающих в этой стенке: q12= q1 – q2, Для определения потоков воспользуемся зависимостью определения относительного угла закручивания при кручении бруса тонкостенного сечения: Для каждого из контуров запишем соответствующие соотношения: (1) (2) Так как относительные углы поворота контуров равны, то приравняв правые части, получим уравнение: (3) Дополнительно запишем уравнение равновесия: Mx = 2q1 Fк1 + 2q2 Fк2 (4) Подставив численные значения в соотношения 3 и 4, получим систему двух уравнений: -345,21 q 1+98,32 q2= 0 0,176 q1+0,5 q2= 83000 Решая систему уравнений, получим: q1= 4,3104 Н/м q2= 15,1104 Н/м Подставим значения потоков касательных напряжений q1 и q2 в соотношение 1 получим относительный угол закручивания: Избыток жесткости: Касательные напряжения по участкам: Построим эпюру касательных напряжений (рис. 10.11). Рисунок 10.11 Вычислим избыток прочности для наиболее напряженного участка: 1.1.4 Расчет прочности при изгибе Из рассмотрения распределений нормальных и касательных напряжений поперечном в сечении балки при ее поперечном изгибе (рис. 10.12) можно заметить, что максимальные нормальные напряжения σmax возникают в наиболее удаленных от нейтральной оси точках сечения, в то время как, наибольшие касательные напряжения τmax возникают в точках сечения лежащих на нейтральной оси, в которых нормальные напряжения равны нулю. Рисунок 10.12 Кроме того, численный анализ показывает, что величина σmax существенно больше τmax для балок со сплошным сечением, у которых отношение длины l к высоте сечения h больше 5, т.е. l/h ≥5. Это позволяет в большинстве случаев пренебречь действием касательных напряжений и при расчете на прочность учитывать только действие нормальных напряжений. Принимают, что разрушение балки наступит при достижении максимального нормального напряжения σmax предельного значения σпред характерного для данного материала. Условие разрушения имеет вид: Наибольшее действующее нормальное напряжение определяют для слоя наиболее удаленного от нейтральной оси по формуле: , где: Mzс- изгибающий момент, Wzс – момент сопротивления изгибу. В качестве предельного напряжения принимают: Условие разрушения записывают как для точек сечения подвергнутых действию максимальных растягивающих напряжений, так и для точек в которых возникают максимальные сжимающие напряжения. При проектировочном расчете записывают условие прочности: , где [σ] - допускаемое значение нормальных напряжений. Если ввести коэффициент запаса прочности n ,то допускаемое напряжение: Такие материалы как древесина имеют малое сопротивление межслойному сдвигу и для достаточно коротких балок касательные напряжения могут оказаться более опасные, чем нормальные. Учет касательных напряжений может также оказаться необходимым при расчете элементов конструкции из пластиков, армированных высокопрочным волокном. Условие прочности по сдвигу имеет вид: . Максимальное касательное напряжение определяют для слоя расположенного на нейтральной оси по формуле Журавского: , где Qy- перерезывающая сила, S zс max- максимальный статический момент части сечения до нейтральной оси; Izс- осевой момент инерции сечения, b- ширина сечения по нейтральной оси. Допускное напряжение [τ] определяют: , где nτ - запас прочности по сдвигу. Предельное касательное напряжение: Пример 10.7 Подобрать двутавровое сечение балки (рис. 10.13) при допускаемых напряжениях [σ]=140 МПа и [τ]=70 МПа, если изгибающий момент Mz =40 кНм, и поперечная сила Qy=6 кН. При подборе принять: высоту стенки h= 1,5b, толщину стенки tст=0,02 b, толщину полки tп=0,1 b. Рисунок 10.13 Решение. Определим размер b из условия прочности по нормальным напряжениям: Момент инерции сечения Izc относительно главной центральной оси zc : Момент сопротивления сечения Wzc: Подставим в условие прочности: , откуда b≥0,126 м Запишем условие прочности по сдвигу: Вычислим максимальный статический момент: Подставим в условие прочности: , откуда b≥0,0775 м Выбираем наибольшее значение b=0,126 м. Пример 10.8 Определить избытки прочности сечения крыла самолета (рис. 10.14) нагруженного изгибающими моментами Mz = 150 кНм , My =  35 кНм. Считать, что изгибающие моменты воспринимаются поясами лонжеронов, стрингерами и прилегающими эффективными частями обшивки и стенок лонжеронов, площади поперечных сечений и координаты которых приведены в таблице 10.1. Допускаемые напряжения на растяжение [σ]р=300 МПа, а на сжатие [σ]сж=-350 МПа. Рисунок 10.14 Решение. 1. Расчетное сечение представим в виде площадей сосредоточенных в центрах тяжести поясов лонжеронов, стрингеров и прилегающих эффективных частей обшивки и стенок лонжеронов, каждое из которых характеризуется площадью Fi, которая складывается из площади стрингера (пояса лонжерона) Fстр i и эффективной площади обшивки (стенки лонжерона) Fобш i . Также зададим координаты центров тяжести стрингеров (поясов лонжеронов) zi и yi в выбранной системе координат “z-y” (рис. 10.15). Рисунок 10.15 Геометрические характеристики представлены в таблице 10.1. В таблице также приведены результаты расчетов осевых моментов инерции Iz, Iy и центробежного момента Izy. Таблица 10.1 № Fi, мм2 yi, мм zi, мм Fi yi мм3 Fi yi2 мм4 Fi zi мм3 Fi zi2 мм4 Fiziyi мм4 1 420 140 -3 58800 8232000 -1260 3780 -176400 2 230 150 144 34500 5175000 33120 4769280 4968000 3 230 149 284 34270 5106230 65320 18550880 9732680 4 230 141 428 32430 4572630 98440 42132320 13880040 5 230 128 569 29440 3768320 130870 74465030 16751360 6 230 112 711 25760 2885120 163530 116269830 18315360 7 410 90 907 36900 3321000 371870 337286090 33468300 8 490 -213 907 -104370 22230810 444430 403098010 -94663590 9 140 -216 706 -30240 6531840 98840 69781040 -21349440 10 140 -216 574 -30240 6531840 80360 46126640 -17357760 11 140 -211 424 -29540 6232940 59360 25168640 -12524960 12 140 -203 277 -28420 5769260 38780 10742060 -7872340 13 140 -191 142 -26740 5107340 19880 2822960 -3797080 14 450 -165 -3 -74250 12251250 -1350 4050 222750  3620 -71700 97715580 1602190 1,151E+09 -60403080 2. Определим положение центра тяжести, используя данные таблицы 10,1. 3. Из таблицы осевые моменты инерции относительно заданных осей z, y: Iz=0,9771558×10-4 м4, Iy= 1,151×10-3 м4. Центробежный момент инерции относительно осей z и y: Iyz= -0,6040308×10-4 м4. 4. Используя формулы для параллельного переноса осей, определим центральные моменты инерции сечения Izc, Iyc, Iyc zc: Izc = Iz - yc2 F = 0,9771558×10-4-(-0,0198)20,36210-2= 9,63010-5 м4, Iyc = Iy - zc2 F=1,151×10-3–(0,4426)2 0,36210-2 = 4,42110-4 м4, Iyczc=Izy-zcycF=-0,6040308×10-4 (0,4426(-0,0198) 0,36210-2)= м4. 5. Напряжение в любой точке сечения определим по формуле: , где k1= Izcyc/(IzcIyc-Izcyc2) k2= Iyc/(IzcIyc-Izcyc2) k3= Izc/(IzcIyc-Izcyc2). Вычислим коэффициенты k1, k2, k3: k1= -2,86710-5/(9,63010-54,42110-4–(-2,86710-5)2)=-2,86710-5/4,17510-8= ‑6,867102 м-4 k2= 4,42110-4/4,17510-8=1,059104 м-4 k3= 9,63010-5/ 4,17510-8 =2,306103 м-4 После подстановки и преобразования получим соотношение для определения изгибных напряжений: =-((2,3061033510-3-(‑6,867102)15010-3) (z-zc)-((1,059104)15010-3-(‑6,867102)3510-3) (y-yc) )= -183,7 (z-zc)-1612(y-yc) МПа Используя полученную зависимость, вычислим напряжения в элементах. Результаты вычислений приведены в таблице 10.2. В этой же таблице приведены избытки прочности, которые определены используя соотношение: Таблица 10.2 № yi, м zi, м yi-yc, м zi-zc, м σ Мпа ησ 1 140 -3 1,60E-01 -4,456E-01 -175,8 1,99 2 150 144 1,70E-01 -2,986E-01 -218,9 1,60 3 149 284 1,69E-01 -1,586E-01 -243,0 1,44 4 141 428 1,61E-01 -1,459E-02 -256,6 1,36 5 128 569 1,48E-01 1,264E-01 -261,5 1,34 6 112 711 1,32E-01 2,684E-01 -261,8 1,34 7 90 907 1,10E-01 4,644E-01 -262,4 1,34 8 -213 907 -1,93E-01 4,644E-01 226,2 1,46 9 -216 706 -1,96E-01 2,634E-01 267,9 1,23 10 -216 574 -1,96E-01 1,314E-01 292,2 1,13 11 -211 424 -1,91E-01 -1,859E-02 311,7 1,06 12 -203 277 -1,83E-01 -1,656E-01 325,8 1,01 13 -191 142 -1,71E-01 -3,006E-01 331,3 1,00 14 -165 -3 -1,45E-01 -4,456E-01 316,0 1,04 1.2 Расчет статической прочности по предельному состоянию Расчет на прочность по предельному состоянию при проектировании конструкций применяют в том случае, когда необходимо использовать резервы конструкции и таким образом уменьшить ее вес. В этом случае заданы размеры элементов конструкции, его материал и схема нагружения. Требуется определить предельную нагрузку, при которой конструкция не разрушится или не изменит первоначальную форму недопустимым образом. Условие прочности по предельному состоянию, состоящее в том, что максимальная нагрузка не должна превышать допускаемую, можно представить в виде: , где Pmax- максимальная действующая нагрузка; [P]- допускаемая нагрузка; Pпред- предельная нагрузка; n- запас прочности. Ниже рассмотрены примеры расчета по предельным нагрузкам конструкций изготовленных из пластичных материалов, имеющих площадку текучести на диаграммах растяжения, сжатия или чистого сдвига. С целью упрощения расчетов эти диаграммы схематизируются таким образом, что прямолинейный участок, выражающий закон Гука, переходит в горизонтальную прямую. Этим самым принимается, что предел пропорциональности равен пределу текучести, т.е. материал считается идеально пластичным, не упрощающимся. Такая диаграмма носит название диаграммы Прандтля. Замена реальных диаграмм схематизированной диаграммой Прандтля приемлема для алюминиевых сплавов. 1.2.1 Расчет прочности при растяжении сжатии Расчеты на прочность статически определимых стержневых систем по допускаемому напряжению и по предельному состоянию дают один и тот же результат. Это связано с тем, что при достижении напряжения в наиболее нагруженном стержне предела текучести система становится геометрически изменяемой. В случае статически неопределимых систем результаты расчетов будут различны. В качестве примера рассмотрим статически неопределимую стержневую систему (рис. 10.16). Абсолютно жесткая балка шарнирно закреплена к опорам с помощью стальных стержней, выполненных из материала 30ХГСА. Предел текучести растяжение 0,2=1162 МПа, предел текучести на сжатие 0,2сж=800 МПа, площадь поперечного сечения стержня F=8×10-5 м2, размер а=1 м. Вычислить предельную погонную нагрузку q. Рисунок 10.16 Вначале выполним расчет по допускаемому напряжению. За предельное напряжение примем предел текучести. Удалим опоры и их действие заменим неизвестными усилиями (рис. 10.17). Рисунок 10.17 Запишем уравнения равновесия: , откуда (1) Рассмотрим деформированное состояние системы (рис 10.18). Рисунок 10.18 Из рисунка видно, что: (2) По закону Гука для стержня: Подставим в соотношение 2, получим дополнительное уравнение совместимости деформаций: 3N1+2N2=0 (3) Решая совместно 2 и 3, получим: N1=-1,3qa, N2=1,95qa Напряжения в стержнях: σ1=-1,3qa/F σ2=0,65qa/F Условия текучести: 1,3qa/F=0,2сж 0,65qa/F=0,2, откуда , или Выбираем наименьшее значение предельной погонной нагрузки: . Однако достижение предела текучести напряжения в стержне 1 не означает потерю несущей способности стержневой системы. Это обусловлено тем, что после достижения напряжения в стержне 1 предела текучести стержневая система становится статически определимой и будет воспринимать увеличение внешней нагрузки до тех пор, пока напряжение в стержне 2 также не достигнет предела текучести. Для определения предельного значения внешней нагрузки, при которой будет исчерпана несущая способность системы, выполним расчет по предельному состоянию. В случае расчета по предельному состоянию при достижении предела текучести в стержне 1 усилие в нем будет равно и при дальнейшем увеличении внешней нагрузки будет сохраняться неизменным: N1Т=-F0,2сж Усилие в стержне 2 можно определить из соотношения 1, подставив вместо N1 выражение N1T: , откуда Напряжение в стержне 2: Условие текучести: , откуда предельная погонная нагрузка: Таким образом, при расчете по предельному состоянию предельная погонная нагрузка увеличилась в 66,1/49,2=1,34 раза по сравнению с расчетом по предельному напряжению. 1.2.2 Расчет прочности при кручении При кручении стержня сплошного круглого сечения касательные напряжения в упругой области на расстоянии ρ от центра сечения определяются формулой (рис 10.19а): , Условие текучести при расчете по допускаемым напряжениям: , т.е опасное состояние определяется появлением пластических деформаций в крайних волокнах, когда крутящий момент: Mx=Wp×τТ= τТ×(πr3/2) Рисунок 10.19 Однако, несмотря на то, что в крайних волокнах возникнут касательные напряжения равные пределу текучести, стержень сохранит способность воспринимать возрастающий крутящий момент до тех пор, пока касательные напряжения не достигнут предела текучести во всех точках сечения (рис 10.19б). Соответствующий предельный крутящий момент можно вычислить (рис. 10.19в): (1) Отношение предельного момента Мпр к моменту Mx будет: Таков скрытый запас прочности, который обнаруживается при переходе от расчета по допускаемым напряжениям к расчету по предельному состоянию. Пример 10.9 Вал кольцевого поперечного сечения должен иметь толщину стенки, равную 0,1 наружного диаметра. Определить, по предельному состоянию, наружный диаметр вала, если он нагружен крутящим моментом Мк=9 кНм. Вал выполнен из материала с пределом текучести τТ=140 МПа, и коэффициент запаса принят равным n=2. Решение. При расчете по предельному состоянию, опасным является состояние, при котором напряжения по всему поперечному сечению достигают предела текучести. Выделим в пределах сечения бесконечно тонкое кольцо толщиной d с радиусом .(рис. 10.20). Рисунок 10.20 Его площадь равна: dF= 2d При достижении напряжениями значения. Т, крутящий момент, созданный ими по площади кольца относительно центра вала, равен: dMТ= 2dτТ  а при интегрировании по всему сечению: Наибольшее безопасное значение крутящего момента при запасе прочности n: Условие прочности принимает вид: , откуда можно определить наружный радиус сечения: В нашем случае: , следовательно: Пример 10.10 Определить по предельному состоянию диаметр d вала сплошного круглого поперечного сечения, защемленного обоими концами и нагруженного, как показано на рисунке 10.21а, крутящим моментом Мкр=31,4 кНм. Материал стержня пластичный с пределом текучести τТ=140 МПа. Рисунок 10.21 Решение. В предельном состоянии во всех сечениях вала будут действовать касательные напряжения равные пределу текучести τТ. В этом случае МА=МВ=Мкр/2 является предельным значением крутящего момента. Эпюра крутящих моментов будет иметь вид, приведенный на рисунке 10.21б. Предельное значение момента можно определить из соотношения (1): , Откуда необходимый диаметр сечения вала: 1.2.3 Расчет прочности при изгибе При изгибе балки нормальные напряжения σ по высоте сечения распределены по линейному закону (рис.10.22) и на расстоянии y от нейтральной оси определяются формулой: , где I- момент инерции сечения относительно нейтральной оси. Рисунок 10.22 Максимальные напряжения возникают в крайних волокнах (рис. 10.22а): , где W- момент сопротивления при изгибе. Условие текучести: , откуда опасная величина изгибающего момента при расчете по допускаемым напряжениям будет равна: МТ= σТW При достижении этого момента балка способна воспринимать возрастающий изгибающий момент до тех пор, пока текучесть не распространиться по всему поперечному сечению, после чего дальнейшая деформация балки будет происходить без увеличения изгибающего момента (рис. 10.22б). В рассматриваемом поперечном сечении образуется так называемый пластический шарнир, который передает изгибающий момент, равный предельному изгибающему моменту, определяемому для сечения симметричного относительно нейтральной оси, по формуле: , где Smax- статический момент площади половины поперечного сечения относительно нейтральной оси. Величину 2Smax принято называть пластическим моментом сопротивления и обозначать Wпл. Тогда Мпр= σТWпл Степень увеличения запаса прочности балки при расчете по предельному состоянию по сравнению с расчетом по допускаемым напряжениям будет равна: Пример 10.11 Балка пролетом a=2 м таврового сечения (рис. 10.23) свободно лежит на двух опорах и нагружена силой P посередине пролета. Определить по предельному состоянию грузоподъемность балки, если предел текучести материала на сжатие и растяжение равны σТ=240 МПа, а коэффициент запаса принят n=1,6. Рисунок 10.23 Решение. Величина предельного изгибающего момента Мпр равна: Мпр=2SσТ, где S- статический момент полусечения относительно нейтральной оси; σТ- предел текучести материала. Допускаемый изгибающий момент [M]: Так как при пластическом шарнире, в случае равных пределов текучести на растяжение и сжатии, нейтральная ось делит площадь сечения пополам, то y0 определим из условия равенства площадей сечения над нейтральной осью и под ней: 150×y0=150×25+(50- y0)×150, откуда y0=37,5 мм Статический момент нижней части полусечения: S=150×37,5×(37,5/2)×10-9=0,10546875×10-3 м3 Следовательно, предельный изгибающий момент равен: Мпр=2×0,10546875×10-3×240×106=50,625 кНм Допускаемый изгибающий момент [M]: Так как, для шарнирно-опертой по краям балки максимальный момент возникает в середине пролета и равен: M=P×a/4, то допускаемое усилие [P]: Пример 10.12 Для стальной балки, показанной на рисунке 10.24а, подобрать по предельному состоянию прямоугольное сечение при отношении высоты к ширине h/c=1,5; q=50 кН/м; [σ]=750 мПа; σТ=1150 мПа; а=3 м. Рисунок 10.24 Решение. Балка один раз статически неопределима, поэтому вначале раскроем статическю неопределимость. Построим соответсвующие основную систему (рис.10.24б) и эквивалентную ситему (рис. 10.24в). Неизвестное усилие X определим из канонического уравнения: a1q+a11×X=0 С целью определения коэффициентов уравнения построим эпюры для двух случаев нагружения. Вначале к основной системе приложим внешнюю нагрузку (рис. 10.25а) и построим эпюру изгибающих моментов (рис. 10.25б), затем приложим единичное усилие (рис. 10.25г) и также построим эпюру изгибающих моментов (рис. 10.25д). Рисунок 10.25 Перемножением эпюр по правилу Верещагина определим коэффициены канонического уравнения. Поставим в каноническое уравнение, получим: , откуда X=1/16 qa Умножим эпюру М1 на X и сложим с эпюрой Mq, получим суммарную эпюру изгибающих моментов MΣ (рис 10.26). Рисунок 10.26 При расчете по допускаемым напряжениям условие прочности имеет вид: Из рассмотрения эпюры видно, что: Mmax=7qa2/32 Определим момент сопротивления прямоугольного сечения с соотношением сторон h/c=1,5: (1) Подставим в условие прочности, получим: Из полученного соотношения определим требуемый размер с: При расчете по предельному состоянию в сечении А, в котором возникает максимальный изгибающий момент, врежем пластический шарнир с пределным изгибающим моментом Мпр (рис 10.27а). Рисунок 10.27 Величину предельного изгибающего момента Мпр определим из соотношения: Мпр=2SσТ, где S- статический момент полусечения относительно нейтральной оси; σТ- предел текучести материала. Определим статический момент половины прямоугольного сечения с отношением сторон h/c=1,5: Подставим, получим: (2) Освободимся от опор и их действие заменим реакциями (рис. 10.27б). Для полученной системы сил запишем уравнения равновесия. Решая полученную систему уравнений, определим реакции опор. Построим эпюру изгибающих моментов (рис. 10.27в) и определим значение максимального изгибающего момента Mmax: (3) Запишем условие прочности: Подставим в условие прочности выражения 1, 2 и 3, получим соотношение: Из полученного соотношения определим требуемый размер с: 1.3 Расчет статической прочности при сложном напряженном состоянии Проверка прочности при сложном напряженном состоянии осуществляется на основании данных о напряжениях в наиболее напряженной точке сечения. Рассмотрим общий случай действия сил на брус. В главных плоскостях поперечного сечения бруса возникают осевая сила N, перезывающие силы Qy и Qz, изгибающие моменты My, Mz и крутящий момент Mx (рис. 10 28а). Рисунок 10.28 Напряжения в сечении бруса малой кривизны (рис. 10.28б) можно вычислить по следующим формулам. Нормальные напряжения σ: , где Iz, Iy – главные центральные моменты инерции сечения; z, y- координаты рассмариваемой точки относительно главных центральных осей сечения. Касательные напряжения для сплошного сечения τxy, τxz: , , , где Szотс , Syотс – статические моменты отсеченных частей сечения; b(y), b(z) – ширина сечения; Wкр – момент сопротивления кручению. Касательные напряжения для тонкостенного сечения τ: , где δ – толщина сечения. В общем случае σmax не совпадает с τmax, поэтому для выявления самой опасной точки приходится рассматривать сочетание напряжений в нескольких точках. В этих точках вычисляем эквивалентные напряжения σэкв по одному из критериев прочности. Например, по китерию максимальных касательных напряжений: При проверочном расчете определяем запас прочности: , где При пректировочном расчете проверяем выполнение условия прочности: , где [σ] - допускаемое значение нормальных напряжений. Пример 10.13 Конструкция цилиндрического гермофюзеляжа самолета, представляющая собой тонкостенную оболочку подкрепленную продольным (стрингера) и поперечным (шпангоуты) набором, изготовлена из алюминиевого сплава Д-16 с пределом текучести σтр= 260 МПа и μ=0,3. Определить коэффициент запаса по условиям текучести nт для пяти критериям текучести при следующих условиях нагружения: а) эксплуатационный изгибающий момент вызывает продольные растягивающие нормальные напряжения в верхних точках фюзеляжа равными σx=200 МПа; б) одновременно с эксплуатационным изгибающим моментом в гермофюзеляжа создается избыточное давление Δp = 0,06 МПа, которое вызывает в обшивке продольные σx= 40 МПа и кольцевые напряжения σt= 80 МПа; в) дополнительно к условиям нагружения приведенным в п. б) на фюзеляж при выполнении маневра действует крутящий момент, который вызывает касательные напряжения в обшивке τxt= 80 МПа. Решение. Условие а). В данном случае реализовывается одноосное напряженное состояние (рис. 10.29), для которого для всех критериев текучести эквивалентные напряжения равны: σэкв = σx Рисунок 10.29 Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести: nт = σтр/ σx = 260/200 = 1,3 Условие б). При заданном случае нагружения на внутренней поверхности обшивки гермофюзеляжа реализовывается трехосное напряженное состояние (рис. 10.30). Рисунок 10.30 В продольном направлении действует сумма напряжений от изгибающего момента и от избыточного давления σx =200+40 = 240 МПа. На внутреннюю поверхность обшивки действует избыточное давление Δp = 0,06 МПа, которое вызывает в поверхностных слоях в радиальном направлении нормальное напряжение сжатия σr = - 0,06 МПа Действующие напряжения являются главными напряжениями: σ1 = σx = 240 МПа, σ2=σt= 80 МПа, σ3 = σr=-0,06 МПа. 1. По критерию максимальных главных напряжений: σэкв = σx Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести: nт = σтр/ σx = 260/240 = 1,08 2. По критерию максимальной главной деформации: σэкв = σx-μ(σt + σr) = 240-0,3(80-0,06) ≈216 МПа. Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести: nт = σтр/ σэкв = 260/216 = 1,2 3. По критерию суммарной энергии деформации: Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести: nт = σтр/ σэкв = 260/229,1 = 1,13 4. По критерию максимальных касательных напряжений: σэкв=σx – σr = 240+0,06 =240,06 кг/мм2. Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести: nт = σтр/ σэкв = 260/240,06 = 1,08 5. По критерию энергии деформации сдвига: Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести: nт = σтр/ σэкв = 260/288,5 = 0,9 Условие в). При заданном случае нагружения на внутренней поверхности обшивки гермофюзеляжа реализовывается трехосное напряженное состояние. Дополнительно к напряжениям предыдущего нагружения, приведенному в п. б), действует касательное напряжение τxt= 80 МПа (рис. 10.31). Рисунок 10.31 Определим главные напряжения: , σ3 = 0,06 МПа. По критерию максимальных главных напряжений: σэкв = σ1=273,1 МПа Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести: nт = σтр/ σэкв = 260/273,1 = 0,95 2. По критерию максимальной главной деформации: σэкв = σ1-μ(σ2 + σ3) = 273,1-0,3(46,9-0,06) = 259 МПа. Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести: nт = σтр/ σэкв = 260/259 = 1 3. По критерию суммарной энергии деформации: Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести: nт = σтр/ σэкв = 260/262,7= 0,99 4. По критерию максимальных касательных напряжений: σэкв=σ1 – σ3 = 273,1+0,06 =273,16 МПа. Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести: nт = σтр/ σэкв = 260/273,16 = 0,95 4. По критерию энергии деформации сдвига: Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести: nт = σтр/ σэкв = 260/252,9 = 1,02 Раздел 2 Расчет устойчивости продольно сжатого стержня Расчетом на устойчивость определяют величину сжимающей критической нагрузки Pкр, при которой прямолинейный сжатый стержень оказывается в опасном (критическом) состоянии безразличного равновесия, т.е. переходит к новой криволинейной форме равновесия. Отношение критической нагрузки к действующей величине P называется коэффициентом запаса устойчивост и nу. Запас устойчивости nу, из-за возможной эксцентричности приложения нагрузки, искривления стержня и неоднородности, всегда принимается несколько больше коэффициента запаса статической прочности nσ. Рекомендуемые величины коэффициента запаса устойчивости для стальных стоек находятся в пределах nу =1,5÷3. Расчет на устойчивость можно проводить как по аналитическим зависимостям, так и по коэффициентам снижения основного допускаемого напряжения. 2.1 Расчет устойчивости по аналитическим зависимостям Различают три вида расчетов на устойчивость по аналитическим зависимостям: проверочный расчет, определение допускаемой нагрузки и проектировочный расчет. 1) Проверочный расчет. Цель этого расчета в оценке устойчивости рассчитываемого элемента при действии на него заданной внешней нагрузки. Расчет проводим в несколько этапов. а). Вычисляем гибкость стержня λ и предельное значение гибкости λпред по формулам: , , , где μ - коэффициент приведения длины, учитывающий характер закрепления концов стержня; l – длина стержня; Imin- минимальный главный центральный момент инерции сечения; σпц – предел пропорциональности материала стержня; E – модуль упругости материала стержня. б). Определяем критическую нагрузку Ркр. В зависимости от гибкости сжатые стержни условно делим на три группы: - стержни большой гибкости (λ≥ λпред), для которых критическую нагрузку Ркр определяем по формуле Эйлера: - стержни средней гибкости (λ0≤λ≥ λпред), для которых расчет на устойчивость проводим по формуле Ясинского: Pкр = σкр F, , λ0 ≈ (0,2-0,4)λпред где σкр – критические сжимающие напряжения; F – площадь поперечного сечения стержня; σтс – предел текучести материала стержня на сжатие. Либо расчет проводим по формуле Кармана: , , где I1, I2 - моменты инерции площадей зон догрузки и разгрузки относительно нейтральной оси. I – момент инерции всего сечения относительно главной центральной оси; Eпр - приведенный модуль или модуль Кармана; Eк- касательный модуль упругости; Е- модуль упругости. - стержни малой гибкости (λ0≤λ), для которых расчет на устойчивость не проводим, а проверяем их прочность на сжатие. в). Определяем коэффициент запаса устойчивости и сравниваем полученное значение запаса устойчивости с требуемым значением. 2) Определение допускаемой нагрузки. В этом расчете определяем максимально допустимое значение сжимающей силы, при которой будет обеспечен требуемый запас устойчивости nу. Также как и в проверочном расчете определяем значение критической нагрузки Ркр. Затем по найденному значению критической нагрузки Ркр и заданному значению запаса устойчивости nу определяем допустимую величину сжимающей нагрузки . 3) Проектировочный расчет. Расчет заключается в определении требуемых размеров стержня, при которых он будет обладать требуемым запасом устойчивости. Поскольку размеры сечения неизвестны и, следовательно, гибкость стержня не может быть определена, то расчет вначале ведем по формуле Эйлера, предполагая, что гибкость стержня не меньше предельной. В этом случае условие устойчивости имеет вид: Учитывая, что , определяем потребный минимальный момент инерции сечения: Задаемся формой и размерами сечения и вычисляем радиус инерции i, гибкость стержня λ и предельное значение гибкости λпред по формулам: , , , λ0 ≈ (0,2-0,4)λпред Если при выбранных размерах λ0≤λ≥ λпред, то расчет на устойчивость повторяем. В этом случае потребную площадь поперечного сечения определяем по формуле: Критические напряжения σкр определяем либо по формуле Ясинского: , либо по формуле Кармана: Пример 10.14 Определить запас устойчивости продольно нагруженной стойки (рис. 10.32а) при двух вариантах ее изготовления из двух швеллеров №5 и двух полос (рис. 10.32б, в). При расчете принять P=200 кН. Материал стойки- сталь с механическими характеристиками σпц=220 МПа, σт=280 МПа, Е=2×105 МПа. Рисунок 10.32 Решение. I. Рассмотрим первое расположение швеллеров, приведенное на рисунке 10.32б. 1. По ГОСТ 8240-72 для швеллера №5 находим: Fшв = 6,16×10-4 м2, Iz шв = 22,8×10-8 м4, iz шв = 1,92 10-2 м, Iy1 шв = 5,61×10-8 м4, iy шв = 0,954 10-2 м. 2. Вычислим моменты инерции сечения, показанного на рис. 10.32б, относительно осей z и y. 3. Определим гибкость стержня. Минимальным оказался момент инерции относительно оси y, следовательно: , где F= 2(Fшв+Fпол) = 2(6,16+7×0,6)×10-4 = 20,72×10-4 м2 Гибкость стержня: , где μ = 2 для жесткой заделки стержня с одной стороны. Определим предельное значение гибкости: 4. Так как λ<λпред, формула Эйлера неприменима, поэтому критическую силу вычисляем по зависимости Ясинского: Pкр = σкр×F = 223,8 ×106 ×20,72×10-4= 463,7 кН, где . 5. Определим коэффициент запаса устойчивости: , что меньше требуемого запаса устойчивости на % II. Рассмотрим второе расположение швеллеров, приведенном на рисунке 10.32в. 1. Очевидно, что момент инерции сечения относительно оси z не изменится Iz = 112×10-8 м4 В этом случае стойка практически равноустойчива во всех направлениях Iz ≈ Iy. 2. Определим гибкость стержня. Минимальным оказался момент инерции относительно оси y, следовательно: . Гибкость стержня: , где μ = 2, так как стержень жестко заделан с одной стороны. 3. Так как λ<λпред, критическую силу вычислим по эмпирической зависимости Ясинского: Pкр = σкр×F = 235,5 ×106 ×20,72×10-4= 487 кН, где . 4. Определим коэффициент запаса устойчивости: , что меньше требуемого запаса устойчивости на Пример 10.15 Определить напряжение и проверить прочность тяги 6-7 двойного управления рулем высоты при действии на каждую штурвальную колонку (рис. 10.33) расчетной нагрузки Рр=1,8 кН в двух направлениях, если H=0,8 м, r=0,08 м, l6-7=1,2 м. Тяга выполнена трубчатого сечения D×d=45×40 мм из алюминиевого сплава с характеристиками σв=440 МПа, Е=7×104 МПа, σпц=350 МПа. Рисунок 10.32 Решение. 1. Определим усилия в стержнях. При изменении направления усилия на штурвальную колонку усилия в тягах только изменят знак. 2. Определим геометрические характеристики сечения тяг. Для кольцевого сечения: площадь сечения- осевой момент инерции- радиус инерции- 3. Определим напряжение в тяге 6-7: 4. Проверим прочность тяги 6-7 на растяжение: а) запишем условие прочности: 109,1≤420 б) определим коэффициент избытка прочности: 5.Проверим прочность тяги 6-7 на сжатие: а) Определим гибкость стержня. , где μ = 1, так как стержень шарнирно оперт с обоих краев. б) Определим предельное значение гибкости: Так как λ>λпред , то критическую силу определим по формуле Эйлера: в) Определим коэффициент запаса устойчивости: 2.2 Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения основного допускаемого напряжения В случае стержней с большой гибкостью опасным состоянием следует считать момент возникновения в сжатом стержне напряжения равного σкр. В этом случае условие устойчивости можно записать: σкр≤[σ]у, где [σ]у- допускаемое напряжение на устойчивость, определяемое по формуле: . где nу- коэффициент запаса устойчивости. Введем обозначение . Соответственно, допускаемое напряжение на устойчивость: [σ]у = φ×[σ]с, где φ - коэффициент снижения допускаемого напряжения на сжатие; [σ]с – допускаемое напряжение на осевое сжатие стержня. Коэффициент φ определяет степень снижения допускаемого напряжения при подольном изгибе. Поскольку коэффициент зависит от критического напряжения, то очевидно, что он зависит от гибкости стержня и механических характеристик материала. Следовательно, расчет на устойчивость сжатых стержней можно выполнять по форме как расчет на осевое сжатие, введя пониженное допускаемое напряжение [σ]у. Условие устойчивости можно записать: Значения коэффициентов φ для продольного изгиба центрально сжатых стержней из сталей приведены в таблице 10.3. Таблица 10.3 Гибкость, λ Коэффициенты φ для сталей с допускаемым напряжением на сжатие [σ]с, МПа 200 240 10 0,988 0,987 20 0,967 0,962 30 0,939 0,931 40 0,906 0,894 50 0,869 0,852 60 0,827 0,805 70 0,782 0,754 80 0,734 0,686 90 0,665 0,612 100 0,599 0,542 110 0,537 0,478 120 0,479 0,419 130 0,425 0,364 140 0,376 0,315 150 0,328 0,276 160 0,290 0,244 170 0,259 0,218 180 0,233 0,196 190 0,210 0,177 200 0,191 0,161 210 0,174 0,147 210 0,16 0,135 Подчеркнем, что хотя расчет по форме это расчет на сжатие, но по существу это расчет на устойчивость, обеспечивающий работу стержня с коэффициентом запаса устойчивости. Раличают два вида расчета на устойчивость: проверочный и пректировочный. 1) Проверочный расчет. Если задана сжимающая сила, а также геометрические характеристики стержня то проверка прочности на устойчивость каких либо затруднений не вызывает. Прежде всего, определяем наименьший осевой момент инерции Imin , площадь сечения F и мининимальный радиус инерции: , а также гибкость: Затем, зная гибкость, находим по таблице коэффициентφ и проверяем условие устойчивости: 2) Проектировочный расчет. Более сложной задачей оказывается подбор сечения при заданной длине и сжимающей силе. Дело в том, что коэффициент φ зависит от гибкости стержня λ, а гибкость неизвестна, поскольку неизвестно сечениеение. В таком случае расчет выполняют методом последовательных приближений. Исходим из условия устойчивости: . Из неравенства определяем потребную площадь сечения: Кроме искомой площади в последнем соотношении неизвестным является также коэффициент φ. Поэтому при подборе сечения приходится пользоваться методом последовательных приближеня величину коэффициента φ. Обычно на первом шаге принимаем φ1=0,5‑0,6. При принятом φ1определяем F и подбираем конфигурацию сечения, для которого определяем Imin, imin, и λ. Определяем новое значение φ1´. Если φ1´ зачительно оличается от φ1, то расчет поворяют при . В результате второй итерации определяют φ2´. Если требуется третья итерация расчет повторяют при. Обычно на практике удается обойтись двумя-тремя итерациями. Пример 10.16 В стержне фермы возникает сжимающая сила P = 352 кН. Поперечное сечение стержня состоит из двух равнополочных уголков, расположенных тавром и соединенных между собой таким образом, что их совместная работа, как единого стержня, обеспечена. Материал стержня сталь Ст.3 (E=2,1×105 МПа, [σ]с=160 МПа, [σ]пц=220 МПа), длина стержня l =5,31 м, концы стержня считать закрепленными шарнирно. Подобрать размеры поперечного сечения стержня. Определить коэффициент запаса устойчивости стержня при принятых размерах поперечного сечения. Решение. Расчет ведем по коэффициентам продольного изгиба: 1. Первое приближение. Примем φ1 =0,6. Требуемая площадь сечения одного уголка: F1 = F/2 = 1,84×10-3 м2 По ГОСТ 8509-72 уголок 100×100×10 имеет F1 = 1,92×10-3 м2. Минимальный радиус инерции сечения imin= ix = 3,05×10-2 м (очевидно, что для принятого сечения Ix < Iy). Гибкость стержня: , здесь μ=1, так как стержень шарнирно оперт. По таблице 10.3 определим φ: Значение значительно отличается от предварительно принятого φ. 2. Второе приближение. Уголок 125×125×12-по ГОСТ 8509-72 имеет F=2,89×10-3 м2, imin= ix = 3,82×10-2 м Определим гибкость стержня: . По таблице 10.3 - φ2≈0,376. Определим действующее напряжение сжатия: Определим допускаемое напряжение по условиям устойчивости: [σ]у=φ2×[σ]с=0,376×160=60,2 МПа, Следовательно, стержень будет перегружен на 1,16%. Такая перегрузка нежелательна, поэтому рассмотрим еще один вариант. Примем уголок с меньшей площадью сечения, но с большим радиусом инерции, что приведет к уменьшению гибкости, а, следовательно, к повышению φ и [σ]у. 3. Третье приближение. Примем уголок 140×140×9 с F=2,47×10-3 м2, imin= ix = 4,34×10-2 м; Определим действующее напряжение сжатия: , По таблице 10.3 - φ2≈0,468 Определим допускаемое напряжение по условиям устойчивости: [σ]у=φ2×[σ]с=0,468×160=74,9 МПа. Стержень будет недогружен на 5 %. 4. Определим коэффициент запаса устойчивости при принятых размерах сечения. Определим предельное значение гибкости: Так как λ≥λпред, то для определения критических напряжений применим формулу Эйлера: Определим запас устойчивости: Раздел 3. Расчет сопротивления усталости Одной из важнейших задач, решаемых при проектировании современных самолетов, является расчет сопротивления усталости элементов основной силовой конструкции самолета. Такой расчет позволяет обосновано подойти к решению вопросов о выборе конструкционного материала, допускаемых напряжений, конструктивно-технологических решений, обеспечить при создании самолета рациональное соотношение между долговечностью конструкции и экономической эффективностью самолета. Различают три вида расчета: - расчет усталостной долговечности; - расчет рейтингов усталостной повреждаемости; - расчет коэффициентов запаса к пределу усталости. 3.1 Расчет усталостной долговечности Расчетом усталостной долговечности для значимых по условиям сопротивления усталости элементов конструкции определяют фактические запасы nN усталостной долговечности, из соотношения: , где Nпц - среднее число полетных циклов, при котором с 50%- ой вероятностью произойдет усталостное разрушение элемента конструкции; T- проектный ресурс конструкции самолета, выраженный числом типовых полетов. Для того чтобы в течение проектного ресурса обеспечивался требуемый уровень безопасности, а затраты на поддержание летной годности сохранялись на приемлемом уровне, необходимо чтобы выполнялось условие: , где η- коэффициент надежности. Коэффициент надежности зависит от следующих факторов: - концепции проектирования элемента («допустимость повреждения» или «безопасный ресурс»); - наличия «однопутности» или «многопутности» передачи нагрузки; - доступности дефектоскопического контроля элемента конструкции; - ремонтопригодности элемента конструкции; - марки материала и типа полуфабриката, из которых изготовлен элемент конструкции. В соответствии с концепцией «допустимости повреждения» дефекты – нарушение целостности элемента конструкции, возникшие от усталости материала, коррозии или случайного повреждения должны быть выявлены и отремонтированы до того, как они достигнут таких размеров, при которых недопустимо увеличивается вероятность аварийной или катастрофической ситуации в эксплуатации. В элементах, спроектированных по концепции «безопасного ресурса» в течение проектного ресурса не должны возникнуть усталостные трещины. Коэффициент надежности η определяют как произведение базового коэффициента надежности η0 и поправочного коэффициента η1: η= η0× η1 Базовый коэффициент надежности η0 зависит от концепции проектирования элемента конструкции. При расчете долговечности часто используют для элементов, спроектированных по концепции «допустимости повреждения» η0=3, а для элементов, спроектированных по концепции «безопасного ресурса» η0=5. Поправочный коэффициент η1 учитывает однопутность или многопутность передачи нагрузки, доступность для осмотра, ремонтопригодность, марку материала и тип полуфабриката. На этапах эскизного и рабочего проектирования для элементов, спроектированных по принципу «допустимости повреждения» применяют поправочные коэффициенты η1, которые приведены в таблице 10.4. Таблица 10.4 Элементы конструкции С многопутной передачей нагрузки С однопутной передачей нагрузки Легкодоступные для осмотра и ремонта 1,0 1,33 Труднодоступные для осмотра или ремонта 1,33 1,67 Элементы, в которых могут возникнуть ранние усталостные повреждения, требующие длительных ремонтов 1,67 2,0 Для элементов, спроектированных по принципу «безопасного ресурса», применяют значения поправочного коэффициента η1, которые приведены в таблице 10.5. Таблица 10.5 Элементы конструкции η1 Элементы шасси 1,0 Элементы крепления шасси на крыле и фюзеляже (алюминиевые сплавы) 1,3 Элементы крепления шасси на крыле и фюзеляже (титановые сплавы) 1,8 Элементы крепления двигателей (алюминиевые сплавы) 1,8 Элементы крепления двигателей (титановые сплавы) 2 Среднее число полетных циклов Nпц, определяют, используя соотношение: , где C, m- параметры базовой кривой усталости; σэкв – максимальное напряжение пульсирующего цикла эквивалентного полетному циклу; kт - коэффициент технологической концентрации, учитывающий влияние на усталость технологических особенностей элемента конструкции. Величина коэффициента технологической концентрации kт определяется практически всеми операциями технологического процесса изготовления и обработки деталей, а также сборки конструкции. Так операции изготовления и обработки деталей (механическая обработка, химическое и электрохимическое травление, гальванические, оксидные, лакокрасочные и другие покрытия, упрочнение поверхностным пластическим деформированием, химико-термическая поверхностная термическая обработка и т.д.) оказывают существенное влияние на сопротивление усталости. Операции сборки (подгонка деталей, постановка болтов и заклепок) также оказывают влияние на сопротивление усталости за счет воздействия на поверхностный слой, например, при подгонке, создания внутреннего напряженного состояния, например, при сборке под напряжением, постановке заклепок, болтов с натягом, с осевой затяжкой. Коэффициент технологической концентрации kт определяют по результатам усталостных испытаний образцов и элементов конструкции. Учитывая, что конструкция работает, в основном, в области ограниченной долговечности (N= 2×104- 2×105 полетных циклов), значения коэффициента kт можно определить из соотношения: , где σ0- максимальное напряжение пульсирующего цикла, при котором долговечность по базовой кривой усталости материала равна 105 полетных циклов.; σэкв- эквивалентное напряжение, при котором долговечность элемента конструкции в рассматриваемом состоянии (при наличии технологического фактора, влияющего на коэффициент kт) также равна 105 полетных циклов с 50% вероятностью и 50% уровне доверия. Значения коэффициентов технологической концентрации kт для конструктивных элементов со свободными отверстиями из алюминиевых сплавов приведены в таблице 10.6. Таблица 10.6 Тип сплава и полуфабриката Сверление по разметке Сверление +развертывание по кондуктору Сверление +развертывание по кондуктору+ «холодное» упрочнение отверстий Кромки отверстий не скруглены Отверстия со скругленными кромками Отверстия со скругленными кромками Д16чАТ лист 1,5-3 мм 1,53 1,09 1,00 1,00 1163 АТВ лист 1,8-4 мм 1,50 1,06 0,98 0,98 1163 РДТВ лист 1,8-4 мм 1,38 0,97 0,89 0,89 В95 ПчТ2 лист 6-10 мм 1,42 1,02 0,92 0,89 1163 Т плита 20-40 мм 1,36 0,98 0,91 0,88 В95 ПчТ2 плита 12-30 мм 1,50 1,07 0,97 0,90 1973 Т2 плита 80 мм 1,50 1,03 0,98 0,93 Д16 чт пресс. профиль 1,31 0,96 0,89 0,86 1933Т3 штамповка 1,50 1,03 0,98 0,93 АК6Т1 штамповка 1,50 1,03 0,98 0,93 3.2 Расчет рейтингов усталости конструктивных элементов На этапе проектирования, когда выполняется выбор материалов, типа полуфабрикатов, конфигурации и основных размеров конструктивных элементов, а также технологии их изготовления для значимых по условиям усталости элементов определяют значения рейтингов усталости. Рейтинг усталости σR‑максимальное напряжение эквивалентного пульсирующего цикла в сечении «брутто» элемента конструкции, при котором усталостная долговечность равна 105 полетных циклов с 50% вероятностью с уровнем надежности 0,5. Используя значение рейтинга усталости σR, очевидно, среднюю долговечность можно определить из соотношения: , где σэкв –максимальное напряжение пульсирующего цикла, эквивалентного по усталостной повреждаемости полетному циклу; m- показатель степени базовой кривой усталости. Рейтинг усталостной повреждаемости определяют из зависимости: σR=σR0×kкор, где σR0- базовое значение рейтинга усталостной повреждаемости, учитывающее влияние на усталость материала и конструктивно-технологических особенностей элемента конструкции; kкор=k1×k2×k3×k4×k5× k6×k7 - коэффициенты коррекции, учитывающие влияние на усталость конструктивно-технологических особенностей элемента конструкции. Описание, используемых коэффициентов коррекции kкор, приведено в таблице 10.7. Таблица 10.7 Коэффициент коррекции Описание k1 Коэффициент эффективности местных утолщений Учитывает компенсацию по толщине соединяемых элементов или в зоне с геометрическим концентратором k2 Коэффициент поверхностной обработки Учитывает влияние на усталостную долговечность элемента качества обработки поверхности, поверхностного упрочнения, химического фрезерования и т.п. k3 Коэффициент заполнения отверстия крепежным элементом Учитывает влияние на усталостную долговечность соединения степени заполнения отверстия крепежным элементом. k4 Коэффициент глубины зенковки отверстия под крепеж Учитывает влияние на усталостную долговечность соединения глубины зенковки отверстия под крепеж. k5 Коэффициент осевой затяжки болтов Учитывающий влияние на усталостную долговечность болтового соединения осевой затяжки болта k6 Коэффициент относительной толщины пакета Учитывает влияние на усталостную долговечность соединения относительной толщины пакета (для пакетов с t/d>2). Учитывает эффекты уменьшения степени заполнения отверстий, возникновение и передачу вторичных нагрузок в каждом слое «толстых» пакетов k7 Коэффициент числа однотипных концентраторов Учитывает влияние на усталостную долговечность количества однотипных концентраторов Коэффициент эффективности местных утолщений k1 применяют для элементов, работающих преимущественно на растяжение-сжатие. В простейших случаях симметричного утолщения элемента в зоне концентрации напряжений коэффициент коррекции k1 определяют из соотношения: k1= tутолщ /t, где: tутолщ - толщина элемента ( с учетом компенсации) в зоне концентратора; t- толщина элемента в регулярном сечении. Коэффициенты коррекции k2, k3, k4, k5, k6 определяют по результатам усталостных испытаний образцов и/или элементов конструкции. Значения коэффициентов коррекции k2, k3, k4, k5, k6 для конструктивных элементов, выполненных из алюминиевых сплавов приведены в таблицах 10.8- 10.16. Таблица 10.8 Коэффициент коррекции k2 для конструктивных элементов со свободными отверстиями (ασ=3,1). Тип сплава Ra Сверление по разметке Сверление + развертывание по кондуктору Сверление + развертывание по кондуктору + «холодное» упрочнение отверстий Кромки отверстий не скруглены Отверстия со скругленными кромками Отверстия со скругленными кромками Д16чТ, 1163Т, 12,5 6,3 3,2 1,00 1,00 1,00 0,83 0,91 1,00 0,85 0,92 1,00 1,00 1,00 1,00 В95пчТ2 В95очТ2 12,5 6,3 3,2 1,00 1,00 1,00 0,83 0,91 1,00 0,85 0,92 1,00 1,00 1,00 1,00 Таблица 10.9 Коэффициент коррекции k2 для конструктивных элементов с геометрическими вырезами. Сплав Полуфабрикат Без поверхностного упрочнения Поверхностное упрочнение Ra Химическое травление 12,5 6,3 3,2 Д16чТ, 1163Т Листы, плиты 1,00 1,05 1,1 0,95 1,15 Прессованные панели, профили 0,95 1,00 1,05 1,15 В95пчТ2, В95очТ2 Листы, плиты 1,00 1,05 1,1 0,95 1,15 Прессованные панели, профили 0,95 1,00 1,05 1,15 Таблица 10.10 Коэффициент коррекции k2 для соединений. Сплав Полуфабрикат Без поверхностного упрочнения Поверхностное упрочнение Д16чТ, 1163Т Плакированные листы t<6 мм 0,95 Неплакированные листы, плиты, прессованные панели, профили 1,00 1,10 Химически фрезерованные листы 0,85 1,05 В95пчТ2, В95очТ2 Плиты 1,00 1,10 Прессованные профили 1,00 1,10 Таблица 10.11 Коэффициент коррекции k3 для заклепочных соединений. Материал заклепки Тип заклепки Отверстия без упрочнения Дорнированные отверстия до 3 % В65 С плоской головкой, без компенсатора 1,05 1,15 С потайной головкой, без компенсатора 1,05 1,15 С плоской и потайной головками, с компенсаторами 1,15 Универсальная 1,25 Стержневая 1,5 Таблица 10.12 Коэффициент коррекции k3 для болтовых соединений. Сплав Материал болтов Отверстия без упрочнения Дорнированные отверстия до 3 % Отверстия со свободными размерами Переходная посадка Посадка с натягом Переходная посадка Д16чТ, 1163Т Титан, сталь 0,8 0,85 1,05 1,1 В95пчТ2, В95очТ2 Титан, сталь 0,8 0,85 1,05 1,25 Таблица 10.13 Коэффициент коррекции k4 в зависимости от относительной глубины hзенк /tлиста зенковки отверстия. hзенк /tлиста 0,2 0,4 0,67 0,8 1 (1) k4 1,00 1,00 0,98 0,96 0,72 0,4 0,8 hзенк- глубина зенковки; tлиста- толщина листа. Примечание. (1)- случай ошибочного зенкования внутреннего листа (элемента). Таблица 10.14 Коэффициент коррекции k5 в зависимости от степени σзат/σв осевой затяжки болтов. σзат/σв % 15 (срезные болты) 25 30 >40 k5 0,9 1,00 1,1 1,2 σзат- напряжение в болте от осевой затяжки; σв- предел прочности материала болта. Примечание. Для заклепочных соединений k5=1,00 Таблица 10.15 Коэффициент коррекции k6 в зависимости от соотношения tпакета /d соединения. tпакета /d 2,0 3,0 4,0 k6 1,00 0,9 0,8 tпакета- толщина пакета; d- диаметр отверстия для крепежного элемента. Таблица 10.16 Коэффициент коррекции k7 в зависимости от числа однотипных концентраторов Число однотипных концентраторов 1 5 10 15 25 50 75 100 k7 1,15 1,1 1,08 1,06 1,05 1,02 1,01 1,00 Примечание. Для элементов с возможным возникновением обширных усталостных повреждений рекомендуют k7= 0,9. 3.2.1 Расчет рейтинга усталости для элементов с геометрическими концентраторами К элементам с геометрическими концентраторами относят: - элементы со свободными отверстиями; - элементы с вырезами. Значения рейтингов усталости σR для элементов с геометрическими концентраторами можно определить на основании соотношения: σR=σR0× k1 × k2 ×k7; где: σR0- базовое значения рейтинга усталости; k1, k2, k7 - коэффициенты, учитывающие влияние на усталость конструктивно‑технологических особенностей. Значения σR0 (МПа) для конструктивных элементов со свободным, не компенсированным отверстием (ασ= 3,1) из алюминиевых сплавов приведены в таблице 10.17. Таблица 10.17 Тип сплава и полуфабриката Сверление по разметке Сверление +развертывание по кондуктору Сверление +развертывание по кондуктору+ «холодное» упрочнение отверстий Кромки отверстий не скруглены Отверстия со скругленными кромками Отверстия со скругленными кромками Д16чАТ, лист 1,5-3 мм 88 124 135 135 Д16чТ, пресс. панель 15 мм 104 142 153 159 1163 АТВ лист 1,8-4 мм 90 127 138 138 1163 РДТВ лист 1,8-4 мм 98 139 151 151 В95 ПчТ2 лист 6-10 мм 95 133 146 152 Д16чТ, катанная плита 30 мм 96 133 143 149 1163 Т катанная плита 10-16 мм 106 147 158 164 1163 Т катанная плита 30 мм 90 138 148 154 В95 ПчТ2 катанная плита 12-30 мм 90 126 139 150 1973 Т2 катанная плита 80 мм 90 131 8 145 Д16чТ, пресс. профиль 2-15 мм 103 140 151 157 1163 Т, пресс. профиль 27-80 мм 109 149 160 166 В95 ПчТ2, пресс. профиль 65-84 мм 98 137 150 162 1163ТПП, пресс. профиль 10-40 мм 104 142 153 159 1933Т3 штамповка 90 131 138 145 АК6Т1 штамповка 90 131 138 145 Значения σR0 (МПа) для конструктивных элементов из алюминиевых сплавов с геометрическими вырезами можно определить по аппроксимирующей зависимости: σR0= a×ασb [МПа], где (1) ασ- теоретический коэффициент концентрации выреза; a, b- параметры уравнения (1). Значения параметров a, b для элементов с вырезами из различных полуфабрикатов приведены в таблице 10.18. Таблица 10.18 Марка сплава a, МПа b Д16чТ, 1163Т 340 -0,739 В95пчТ2, В95очТ2 400 -0,886 АК6Т1, 1933Т3, 1973Т2 330 -0,755 3.2.2 Расчет рейтинга усталости заклепочных и болтовых соединений Заклепочные и болтовые соединения разделяют на две категории: - слабонагруженные соединения- соединения, практически не передающие нагрузки; - нагруженные соединения-соединения, передающие значительные нагрузки. К слабонагруженным относят соединения, для которых выполняется соотношение: , где σсм- напряжение смятия на контуре отверстия; σном- номинальные напряжения в панели. Рейтинг усталости слабонагруженного соединения σR(СНС) определяют из зависимости: σR(СНС)=σR0(СНС)× k1×k2×k3×k4×k5× k6×k7 , где σR0(СНС)- базовое значение рейтинга усталости слабонагруженного соединения; k1, k2, k3, k4, k5, k6, k7- коэффициенты коррекции, учитывающие конструктивно-технологические особенности соединения. Для слабонагруженных симметричных соединений элементов из алюминиевых сплавов базовые значения рейтингов усталости σR0 (СНС) получены на основании обработки экспериментальных данных (табл. 10.19). Таблица 10.19. Значения σR0 (СНС) [МПа] для слабонагруженных симметричных соединений элементов из алюминиевых сплавов. Тип соединения ασ σR0 (СНС) [МПа] Д16чТ, 1163Т В95пчТ2, В95очТ2 АК6Т1, 1933Т3, 1973Т2 Одиночная крепежная точка 3,0 170 168 159 Однорядный крепеж 2,8 182 180 170 Многорядный крепеж (в шахматном порядке) 3,0 170 168 159 Рейтинг усталости нагруженных заклепочных и болтовых соединений σR определяют из зависимости: σR=σR0×k2×k3×k4×k5× k6×k7 , где σR0- базовое значение рейтинга усталости нагруженного соединения; k2, k3, k4, k5, k6, k7- коэффициенты коррекции, учитывающие конструктивно-технологические особенности соединения. Величину базового значения рейтинга усталости σR0 определим из условия, что напряжение на контуре крепежного отверстия при нагружении, рассматриваемого соединения, номинальным напряжением σR0 равно напряжению на контуре крепежного отверстия при нагружении слабонагруженного симметричного соединения номинальным напряжением σR0(СНС). Напряжение на контуре крепежного отверстия σкэ при нагружении, рассматриваемого соединения, номинальным напряжением σR0 определяется соотношением: , где (1) δп - толщина панели в регулярной зоне; δст - толщина панели в зоне стыка; δн - толщина накладки; β- доля нагрузки, передаваемая первым рядом крепежа; ασ, αсм, αизг - коэффициенты концентрации слабонагруженного соединения при осевом растяжении-сжатии, от напряжения смятия и от изгиба; t - шаг крепежа; d - диаметр крепежного отверстия. В таблице 10.20 приведены значения β для типовых соединений, у которых шаг крепежа t=3d, расстояние между рядами крепежа 3d, соединяемые элементы - из алюминиевых сплавов с постоянной толщиной. Таблица 10.20 Число рядов крепежа β 2 0,5 3 0,37 4 0,31 Напряжение на контуре крепежного отверстия без утолщения под стык слабонагруженного соединения σк(СНС) при нагружении номинальным напряжением σR0(СНС) определяется соотношением: (2) Приравняем правые части выражений (1) и (2), и после преобразований получим соотношение для определения базового значения рейтинга усталости нагруженного соединения σR0: 3.2.3 Расчет рейтинга усталости продольного стыка панелей крыла Рейтинг усталости продольного стыка панелей крыла σR определяется зависимостью, аналогичной зависимости для определения рейтинга усталости поперечного стыка: σR=σR0×k2×k3×k4×k5× k6×k7 , где σR0- базовое значение рейтинга усталости нагруженного соединения; k2, k3, k4, k5, k6, k7- коэффициенты коррекции, учитывающие конструктивно-технологические особенности соединения. Величину базового значения рейтинга усталости σR0 определим из условия, что напряжение на контуре крепежного отверстия при нагружении, рассматриваемого соединения, номинальным напряжением σR0 равно напряжению на контуре крепежного отверстия при нагружении слабонагруженного симметричного соединения номинальным напряжением σR0(СНС). Напряжение на контуре крепежного отверстия σкэ при нагружении, рассматриваемого соединения, номинальным напряжением σR0 определяется соотношением: где (1) τxz – номинальные касательные напряжения в панелях крыла; δп - толщина панели в регулярной зоне; δст - толщина панели в зоне стыка; ασ, αсм - коэффициенты концентрации слабонагруженного соединения при осевом растяжении-сжатии и от напряжения смятия; t - шаг крепежа; d - диаметр крепежного отверстия; n- число крепежных элементов на одном шаге. Напряжение на контуре крепежного отверстия без утолщения под стык слабонагруженного соединения σк(СНС) при нагружении номинальным напряжением σR0(СНС) определяется соотношением: (2) Приравняем правые части выражений (1) и (2), и после преобразований получим соотношение для определения базового значения рейтинга усталости продольного стыка крыла σR0: Базовое значение σR0 (СНС) для слабонагруженных симметричных соединений элементов из алюминиевых сплавов определяем по таблице 10.19. 3.3 Расчет коэффициентов запаса к пределу усталости Для ряда авиационных деталей, например деталей авиационных двигателей, проводят расчеты коэффициентов запаса усталостной прочности, в опасных точках наиболее нагруженных сечений деталей. Запас усталостной прочности характеризует надежность детали при случайном возрастании переменных напряжений, при уменьшении предела усталости и т.д. Очевидно, что для надежной работы детали, действующие напряжения должны быть меньше предела усталости. Под коэффициентом запаса усталостной прочности nσ понимается отношение предела усталости к рабочим напряжениям. Характер изменения рабочих напряжений по времени разделяют на регулярный и нерегулярный. 3.3.1 Расчет коэффициентов запаса к пределу усталости при регулярном нагружении Регулярным называют нагружение, характеризующееся периодическим законом изменения напряжений с одним максимумом и одним минимумом в течение цикла при постоянстве параметров цикла напряжений в течение всего периода испытаний или эксплуатации. Типичной деталью, испытывающей такое нагружение, является клапанная пружина двигателя, которая сжимается в каждом цикле на одну и ту же величину осадки, заданной, например, профилем кулачка. Для такой пружины амплитуда напряжений в ней будет оставаься постоянной в течение всего срока службы, т.е. процесс нагружения будет регулярным. 3.3.1.1 Расчет коэффициентов запаса при однокомпонентном напряженном состоянии При однокомпонентном напряженном состоянии и регулярном нагружении ассиметричным циклом с амплитудой σа, и средним напряжением σm расчет коэффициента запаса усталостной прочности выполняют на основании условия усталостного разрушения. Экспериментальными исследованиями установлено, что, в диапазоне изменения коэффициента ассиметрии цикла -1 ) ΔK – амплитуда цикла КИН, Cp, np, p - постоянные уравнения Уолкера-Пэриса. Подставим в уравнение Уолкера-Пэриса ΔK=Kmax-Kmin, R=Kmin/Kmax , тогда уравнение принимает вид: Интегрируя уравнение Уолкера-Пэриса, получим соотношение для определения длительности развития усталостной трещины от начальной длины lнач до критического размера lкр: 4.2 Расчет длительности развития усталостной трещины при нерегулярном циклическом нагружении Наиболее распространенное циклическое нагружение элементов авиаконструкций является существенно нерегулярным. В этом случае проводят «поцикловой» расчет, т.е. определяют приращение длины трещины в каждом цикле. Из циклограммы напряжений последовательно выделяют восходящие ветви циклов в виде минимального напряжения σmin i и непосредственно следующего за ним максимального напряжения σmax i. Предполагается, что сжимающие напряжения не приводят к росту трещины, поэтому в случае, если σmin i и σmax i меньше нуля, то такой цикл исключается, а в случае если σmin i отрицательный, а σmax i положительный, тогда σmin i принимается равным нулю. Для полученной таким образом последовательности циклов, каждый из которых характеризуется своим значением минимального σmin i и максимального σmax i напряжения в соответсвием с уравнением Уолкера-Пэриса приращение длины трещины за цикл будет равно: , где , Поциклово суммируя приращения, получим, что длина трещины после действия i–го цикла нагружения равна: Использование линейной модели означает, что эффектами взаимодействия нагрузок просто пренебрегают. Это приводит к заниженным оценкам, поскольку данные эффекты приводят к задержке роста трещины. Для оценки длительности роста усталостной трещины с учетом взаимодействия нагрузок можно использовать обобщенную модель Уилленборга, в которой используется понятие зоны пластичности, образованной при перегрузке напряжением σ0 (рис. 10.33). Рисунок 10.33 Расстояние от границы этой зоны до середины трещины равно [17]: , где l0 – полудлина трещины, σ0 - растягивающее напряжение действуещее при перегрузке; r0 – размер зоны пластичности; ξ – корректирующий множитель; σ0.2 – предел текучести. Уилленборг рассматривал интенсивность напряжений, необходимую для образования зоны пластичности (при вершине текущей трещины li), которая вышла бы за границы зоны пластичности, образовавшейся во время перегрузки. Это означает, что следует определить величину Kmax торм нужную для выполнения следующего условия: где rторм – размер зоны пластичности, необходимый для того чтобы достигнуть границы существующей зоны. Нужная для этого величина Kmax торм определяется из следующего соотношения: Уилленборг предположил, что эффективное значение Kmax i, действующее в тот момент, когда размер трещины равен li, уменьшается до величины Kред, заданной соотношением: , Остаточные сжимающие напряжения, появившиеся при перегрузке, уменьшают действительное значение напряжения при вершине трещины. Это означает, что действительное напряжение определяется разностью между действующими и остаточными напряжениями. Отсюда следует, что величина Kmax i и Kmin i в i-ом цикле уменьшатся на величину Kред. Следовательно, эффективная интенсивность напряжений определяется соотношениями: Kmax эфф i=Kmax i-Kред i, Kmin эфф i=Kmin i-Kред i. Если Kmin эфф i ≤0, либо обе величины Kmax эфф i и Kmin эфф i получаются отрицательными, то их полагают равными нулю. Эффективный коэффициент ассиметрии цикла определяют по формулам: С помощью полученных эффективных значений в соответсвием с уравнением Уолкера-Пэриса приращение длины трещины за цикл будет равно: Таким образом, расчет сводится к тому, что задают начальный размер трещины lнач. Вычисляют прирост трещины от первого восходящего размаха в циклограмме. Тогда длина трещины будет равна: l1=lнач+Δl1. Второй восходящий размах приводит к новой длине трещины: l2=l1+Δl2 и т.д. Этот процесс продолжают до завершений циклограммы. Раздел 5 Расчет остаточной прочности Наличие трещин, образующихся на стадии изготовления элементов конструкции или в процессе эксплуатации вследствии усталости, нередко становится причиной хрупкого разрушения, носящего катастрофический характер. Разрушающая нагрузка зависит от длины трещины, формы конструкции, типа нагружения и предела текучести. Потеря несущей способности конструкции может происходить по различным механизмам, среди которых можно выделить два крайних случая: хрупкое разрушение (при наличии больших трещин) и пластическое разрушение (в отсутсвие больших трещин). В первом случае разрущающие напряжения низки и могут быть определены с позиций линейной механики разрушения, а во втором они определяются пределом текучести. Основное предположение линейной механики разрушения состоит в том, что трещина распространяется в том случае, когда величина коэффициента интенсивности достигает критического значения, характерного для данного материала и условий нагружения. 5.1 Метод расчета остаточной прочности по предельной трещиностойкости Согласно концепции линейной упругой механики разрушения разрушение элемента конструкции происходит при достижении коэффициента интенсивности напряжений (КИН) своего предельного значения Kc (KIc), называемого вязкостью разрушения (вязкостью разрушения при плоской деформации). Далее в этом разделе вместо пары величин Kc (KIc) используется для краткости Kc. Условие разрушения по модели нормального отрыва можно записать в виде равенства коэффициента интенсивности напряжений KI критическому значению Kc: , , где σс- критические напряжения; l- длина трещины; f(KI)- поправочная функция, которая зависит от размеров и типа конструктивного элемента, а также способа нагружения. В расчет вводится напряжение, действующее перпендикулярно плоскости трещины. Остальные компоненты напряжения не принимаются во внимание. 5.2 Метод расчета остаточной прочности по R - кривым Однако приведенный выше подход к анализу остаточной прочности не учитывает устойчивое подрастание трещины перед разрушением. Экспериментально установлено, что перед наступлением критического состояния равновесия (когда трещина начинает быстро лавинообразно развиваться при постоянной внешней нагрузкой) почти всегда наблюдается стадия медленного устойчивого докритического роста трещины. Это медленное подрастаниие трещины приводит к тому, что критическая длина трещины lкр превышает исходную длину l0. Для учета подрастания используют метод, который основан на применении R‑кривых материала обшивки. Расчет выполняют в несколько этапов. 1. Экспериментально получают R‑кривые в виде зависимостей коэффициента интенсивности напряжений KR в образце от эффективной длины трещины ∆2аэфф для заданной начальной трещины 2а0.. Коэффициент интенсивности напряжений для центральной трещины в листе KR определяют по формуле: , где - действующие напряжения, aэфф = a0+Δa+r- эффективная полудлина трещины, a0 — начальная полудлина трещины в обшивке, ∆a — прирост полудлины трещины, -радиус пластичности в вершине трещины, 0,2 – предел текучести. В качестве условия статического разрушения в методе R-кривых используется система из двух уравнений [10]: , , (29) где K–действующий КИН для элемента конструкции с трещиной, K=K(l), l–длина (полудлина) трещины. Этот критерий разрушения является двухпараметрическим в отличие от однопараметрического критерия Kc. В последнем случае условия статического разрушения определяются уравнением K=Kc [9]. В случае подкреплённой панели необходимо вычислить также напряжения разрушения для подкрепляющих элементов (стрингеров, шпангоутов) cп. Для этого необходимо дополнительно решить систему уравнений [10]: , , (30) где в – временное сопротивление материала подкрепления, =0,8-1,0–коффициент, учитывающий ослабление подкрепления [6], L–перегрузка подкрепления. Функции K=K(l), KR=KR(lэфф), L=L(l) в данных уравнениях определены численно. Для решения систем уравнений (29) и (30) необходимо использовать численные методы. Процедура расчёта остаточной прочности с помощью R-кривых реализована в автоматизированной системе расчета живучести авиаконструкций "Алтай" [1]. Литература 1. Заславский Б.В., Краткий курс сопротивления материалов, Москва, Машиностроение, 1986 2. Беляев Н.М., Сопротивление материалов, Москва, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953 3. Феодосьев В.И., Сопротивление материалов, Москва, Наука, 1974 4. Биргер И.А., Мавлютов Р.В., Сопротивление материалов, Москва, Наука, 1986 5. Тимошенко С.П., Сопротивление материалов, том I, Москва, Наука, 1965 6. Тимошенко С.П., Сопротивление материалов, том II, Москва, Наука, 1965 7. Сборник задач по сопротивлению материалов, под редакцией Уманского А.А., Москва, Наука, 1975 8. Михарев К.К., Сухова Н.А., Сборник задач по курсу «Сопротивление материалов», Москва, Машиностроение,1980 9. Винокуров А.И., Сборник задач по сопротивлению материалов, Москва, Высшая школа, 1980 10. C.T.F. Ross, Advanced applied stress analysis, New York, Ellis Horwood Limited, 1987 11. E.F. Bruhn, Analysis and design of flight vehicle structures, USA, 1965 12. Авдонин А.С., Фигуровский В.И., Расчет на прочность летательных аппаратов, Москва, Машиностроение, 1985 13. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Метвеев В.В., Справочник по сопротивлению материалов, Киев, Наукова думка, 1975 14. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П., Сопротивление материалов, Москва, Высшая школа, 2004 15. Фесик С.П., Справочник по сопротивлению материалов, Киев, Будевильник, 1970 16. Кан С.Н., Свердлов И.А., Расчет самолета на прочность, Москва, Машиностроение, 1966 17. Броек Давид, Основы механики разрушения, Москва, Высшая школа, 1980 18. Newman J.C. Predicting failure of specimens with either surface cracks or corner cracks at holes. NASA TN D-8244, 1976. 19. Мураками Ю. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. М., Мир, 1990. 20. Zatz, I. J., Eidinoff, H. L., and Armen, H., Jr., “An Application of the Energy Release Rate Concept to Crack Growth in Attachment Lugs,” AIAA paper No. 81-0491. 21. Poe C.C. Stress-intensity factor for a cracked sheet with riveted and uniformly spaced stringers. NASA TR R-358, 1971. 22. Белайчук А.К., Воскобойник М.С., Лагосюк Г.С., Миртов К.Д., Миленький Ю.Д., Мухо В.С., Осокин Д.П.. Скрипка М.Л., Ушаков В.С., Черненко Ж.С., Сборник задач по конструкции и прочности самолетов и вертолетов, Москва, Транспорт, 1973 23. Henkener J.A., Lawrence V.B., Forman R.G. An evaluation of fracture mechanics properties of various aerospace materials. Fracture mechanics: Twenty-third Symposium, ASTM STP 496, American society for testing and materials, Philadelphia, 1993 24. www.mysopromat.ru