Основы молекулярно-кинетической теории и термодинамики

Лекция №2 Основы молекулярно-кинетической теории и термодинамики. Цели: В результате изучения данной темы вы будете знать: • статистический и термодинамический методы изучения макроскопических систем; • идеальный газ. Законы идеального газа; • основное уравнение МЕСТ; • распределения Максвелла и Больцмана; • основные характеристики термодинамических систем; • первое начало термодинамики, его применение к изопроцессам; • принцип работы тепловой машины, КПД теплового двигателя; • обратимые и необратимые процессы, понятие энтропии, второе начало термодинамики. Перечень основной литературы, необходимой при изучении раздела: 1. Трофимова Т.И. «Курс физики», учебное пособие. 2008 г. 2. Трофимова Т.И. 500 основных законов и формул. Справочник, 2003 г. Дополнительная литература: 1. Дмитриева Е.И., Иевлева Л.Д., Костюченко Л.С. Физика в примерах и задачах, учебное пособие - М: Форум, ИНФРА, 2008 г. 2. Иевлева А.Д. Физика. Учебное пособие, 2-е издание исправленное - Лань, СПб. 2009 г. С данным разделом связаны: Раздел 1. Физические основы механики. Учебные вопросы 1. Статистический и термодинамический методы изучения макроскопических систем. 2. Идеальный газ. Законы идеального газа. 3. Основное уравнение МЕСТ. 4. Распределения Максвелла и Больцмана. 5. Внутренняя энергия идеального газа. Работа и теплота. 6. Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам и адиабатическому процессу. 7. Принцип работы и КПД тепловой машины. 8. Понятие об энтропии. Второе начало термодинамики 1. Статистический и термодинамический методы изучения макроскопических систем. Молекулярная физика основывается на молекулярно- кинетической теории строения вещества. Согласно этой теории все тела состоят из атомов, находящихся в непрерывном хаотическим движении, которое называется тепловым. Основоположником этой теории является М.В.Ломоносов, который сформулировал основные положения теории и применил ее к объяснению различных явлений. Первый русский ученый-естествоиспытатель мирового значения, поэт, заложивший основы современного русского литературного языка, художник, историк, поборник отечественного просвещения, развития русской науки и экономики. По его инициативе основан Московский Государственный Университет в 1755 году. Ломоносов М. В.(171L-1765). Так, например, во времена Ломоносова считалось, что нагревание тел связано с передачей им особого невесомого вещества - теплорода. Ломоносов был противником этой точки зрения. Он утверждал, что теплота тел зависит от интенсивности движения частиц этих тел, т.е. Ломоносов сформулировал основы МЕСТ. Согласно современным представлениям молекулярно - кинетическая теория изучает строение и свойства вещества, исходя из того, что все тела состоят из огромного числа молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении, называемом тепловым. Экспериментальными подтверждениями молекулярно - кинетической теории являются: броуновское движение, явления переноса и другие явления. Рис.1. Траектория броуновской частицы Число атомов в любом теле огромно. В 1 м воздуха при нормальных 25 условиях содержится 2,7 • 10 молекул, в жидком и твердом состоянии ~ 10 28 . Хотя движение каждой молекулы подчиняется законам динамики, поведение всей совокупности молекул не может быть изучено методами классической физики. Макроскопические свойства систем, состоящих из очень большого числа частиц, изучаются статистическим методом. Статистический метод основан на теории вероятностей и определенных моделях строения изучаемых систем. В совокупном поведении большого числа частиц проявляются особые закономерности - статистические закономерности. В этих системах существуют некоторые средние значения физических величин, характеризующих всю совокупность частиц в целом. Так в газе существуют средние значения скоростей теплового движения молекул и их энергий. Кроме статистического метода исследования физических явлений существует термодинамический метод, в котором не учитывается внутреннее строение тел. Он основан на изучении различных превращений энергии, происходящих в системе. В основе термодинамики лежат законы (или начала), которые являются обобщением огромного числа опытных данных. С помощью этих общих законов можно, не делая никаких предположений о молекулярном строении изучаемых тел, о характере движения молекул, а также о взаимодействии между ними, получить сведения о свойствах термодинамических систем в различных условиях. 2. Идеальный газ. Законы идеального газа. Идеальным называется газ, находящийся в таком состоянии, при котором можно пренебречь размерами его молекул и взаимодействием между ними. Столкновение между молекулами и со стенками сосудов происходит по законам абсолютно упругого удара. Состояние газа описывается термодинамическими параметрами: j.7 Р = — - давление - физическая величина численно равная силе, ^ действующей на единицу поверхности перпендикулярно к ней; Г \р\ = 1—- = ХПа{паскалъ). м V- объем газа; [V\ = м.3 7/ьмасса газа; [т\ = кг. Т- абсолютная (термодинамическая) температура ; [7] = К (кельвин ) Термодинамические параметры газа связаны между собой уравнением состояния: р • V = const (1) Константа в уравнении (1) зависит от рода газа и массы. При нормальных условиях: Ро = 1,013 • 105 Па, Г0 = 273 К, объем одного моля газа VM0 = 22,4 • 10'3 м3/моль. Моль - единица количества вещества, в которой содержится столько же молекул, сколько молекул содержится в углероде массой 0,012 кг. ,5 пт < 1 а—3 Р'К _Ро' Ко _ R. R _ 1,013-10 • 22,4-ИГ _g31 Дж Т Т0 ’ 273 ’ моль-К R- универсальная газовая постоянная P^ = R (2) Т Если умножить уравнение (2) на число молей тМ, содержащихся в массе т, где М - молярная масса, то получим уравнение состояния идеального газа, называемое уравнением Клапейрона - Менделеева: откуда получаем: pV = — RT М Это уравнение связывает между собой термодинамические параметры идеального газа. Часто пользуются несколько иной формой записи уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана: где п- концентрация молекул. Таким образом, из уравнения р = пкТ, следует, что давление идеального газа при данной температуре пропорционально концентрации его молекул. З.Основное уравнение МКТ. Давление газа в сосуде есть результат столкновения молекул газа со стенками сосуда. При столкновении со стенками сосуда молекулы газа передают им свой импульс. Ввиду хаотичности теплового движения молекул газа, давление на все стенки сосуда одинаково. Если в сосуде находится N одинаковых молекул газа массой то , которые движутся с различными скоростями l>\, 1)2 ... l>n, то давление газа на стенки сосуда, рассчитанное с помощью молекулярно-кинетических представлений, определяется следующим образом: Величина получила название средней квадратичной скорости, Это уравнение называется основным так как устанавливает связь между термодинамическими параметрами состояния газа (р) и параметрами микроскопическими (т0 - масса молекулы; ь>ср. К|! - средняя квадратичная скорость молекул; п - концентрация молекул). Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа равна: Из уравнения Клапейрона - Менделеева найдем давление: р = пкТ, получаем, что s = —кТ 2 Из полученной формулы следует, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы прямо пропорциональна абсолютной температуре. Таким образом, абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа. 4. Распределения Максвелла и Больцмана. Опытным путем установлено, что молекулы газа имеют различные скорости. Понятие средней квадратичной скорости является одной из характеристик движения всей совокупности молекул. В 1860 г. Джеймс Кларк Максвелл решил задачу о распределении молекул идеального газа по скоростям поступательного движения. Он установил закон, позволяющий определить : какое число молекул dN идеального газа обладает при данной температуре Т скоростями, лежащими в интервале от и до и + dv. Закон распределения молекул газа по скоростям - статистический закон, он справедлив для любого значительного числа молекул и не выполняется при малом числе объектов. лежат в интервале от и до и + du, является функцией скорости и называется функцией распределения числа молекул по скоростям. d • N(u) N-du Применяя методы теории вероятности Максвелл нашел закон распределения молекул идеального газа по скоростям: где т() - масса молекулы газа; Т- абсолютная температура газа; v - скорость молекулы; к- постоянная Больцмана; е = 2,72- основание натуральных логарифмов. Из формулы видно, что функция распределения зависит от рода газа ( массы молекулы) и от температуры Т. Анализ функции распределения Максвелла говорит о том, что функция убывает до нуля при и—* со и и-^0 , поэтому относительное число молекул, скорости которых очень велики или малы ничтожно. Вид этой функции представлен на рисунке 2: Наиболее вероятная скорость молекул, соответствующая максимуму функции распределения: 2RT ^еер. I м Средняя квадратичная скорость молекул: 3RT VC,,KG. J м Из анализа формул следует, что эти скорости отличаются друг от друга только числовым коэффициентом и зависят от температуры и рода газа . Рис.З При изменении температуры газа будут изменяться и скорости движения молекул. При возрастании температуры максимум кривой распределения сдвигается вправо (рис.З), однако площадь, ограниченная кривой, останется неизменной, т.к. общее число молекул не зависит от температуры. В связи с этим при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться. Распределение Больцмана. Обычно газ находится в потенциальном поле тяготения Земли. Если бы этого поля не было, то атмосферный воздух рассеялся во Вселенной. С другой стороны, если бы не было теплового движения, то молекулы атмосферного воздуха упали бы на Землю. Тяготение и тепловое движение приводят к стационарному распределению воздуха в атмосфере, при этом концентрация молекул с увеличением высоты уменьшается по закону, установленному Больцманом: Это выражение определяет распределение концентрации молекул газа по высоте. Учитывая, что М R т0 = к получаем ^Ав ^ л<> m0gh Ер п = п0 • е кт =п0-е т где niogh = Ер - потенциальная энергия молекулы на высоте И. Следовательно, распределение молекул по высоте является одновременно распределением их по значениям потенциальной энергии. Это выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Людвиг Больцман (1844-1906) - выдающийся австрийский физик - один из основателей статистической физики. Вывел функцию распределения, названную его именем, и основное уравнение МЕСТ. Дал статистическое обоснование второго закона термодинамики, определил связь между вероятностью и энтропией. Кроме того, вывел один из законов теплового излучения. Больцман доказал, что такое распределение справедливо в любом потенциальном поле для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического движения. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул (рис.4). ■ \ 1 п 1 V А 1 J i 1 1 I «4 Ч \ ц 1 а 01 ' ‘ 1 >1 1 Число частиц -> Рис.4. Распределение молекул в зависимости от высоты 5. Внутренняя энергия идеального газа. Работа и теплота Термодинамика - эта наука об условиях и количественных соот­ношениях возможных превращений одних видов энергии в другие. В основе термодинамики лежат два закона, являющиеся обобщением опыта - I и II начала термодинамики. С помощью этих законов можно, не делая никаких предложений о молекулярном строении тел, изучить многие свойства тел в различных условиях. Совокупность тел, обменивающихся энергией между собой и другими внешними телами, называется термодинамической системой. Состояние системы, ее физические свойства описываются термодинамическими параметрами p,V,T. Внутренняя энергия системы молекул складывается из кинетической энергии движения молекул и внутримолекулярной энергии самих молекул. Она полностью определяет состояние системы, т.е. является функцией состояния. Для самой простой модели вещества - идеального газа - внут­ренняя энергия представляет собой кинетическую энергию движения молекул, т.к. взаимодействие молекул мы не учитываем. Для вывода формулы внутренней энергии необходимо ввести понятие число степеней свободы. Числом степеней свободы называется число независимых координат, полностью определяющих положение тела в пространстве. Положение материальной точки в пространстве определяется тремя координатами, т.е. материальная точка обладает тремя степенями свободы (/ = 3).Т.к. она может двигаться только поступательно, следовательно, одноатомная молекула (материальная точка) имеет три поступательные степени свободы. Если молекула состоит из двух атомов, то ее положение в пространстве можно описать с помощью 5-и независимых координат - три поступательных и две вращательных (/=5),см. рис. 5. Если молекула состоит из 3-х атомов, то число степеней свободы таких молекул равно 6-ти - три поступательных и три вращательных (/ =6). А. Больцман высказал гипотезу о равномерном распределении энергии по степеням свободы, согласно которой на одну степень свободы приходится ш энергия 1/2 кТ. Внутренняя энергия любой массы газа, содержащей — молей, будет равна 7 ТП U=--RT 2 М Изменить внутреннюю энергию можно путем совершения работы или теплопередачей, т.е. сообщением системе количества тепла О. Подсчитаем работу при изменении объема газа при постоянном давлении (рис. 6). При расширении газа в цилиндре он будет совершать работу против внешних сил: А = F Al; F = р S А = pSAl = pAV Количество теплоты определяется по формулам: dQ=^ С MdT ^ м м где: с - удельная теплоемкость; (С - молярная теплоемкость - величина численно равная количеству теплоты, которое необходимо для нагревания одного моля газа на 1К). Работа и количество теплоты являются формами передачи энергии от одной системы к другой. Работа и количество теплоты являются мерами изменения внутренней энергии. 6. Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам Связь между изменением внутренней энергии системы, совершенной газом работой против внешнего давления и количеством тепла, сообщенным системе, устанавливает первое начало термодинамики - закон сохранения энергии в тепловых процессах: dQ=dU+dA или Q=A+AU Количество тепла, сообщенное системе, идет на изменение внутренней энергии системы и на совершение газом работы против внешних сил. Применим первое начало термодинамики к различным изопроцессам, а) Изохорическим процессом называется процесс, протекающий при постоянном объеме ({ —const) поэтому dV= 0, следовательно, с1А = 0 и первое начало термодинамики будет иметь вид: dQ=dU. Количество тепла, сообщенное газу: dQ=C$ dT, где Су - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме Внутренняя энергия газа равна: i т dU = --RT. гм Сравнивая эти выражения, получаем: C$=-R. v 2 б) Изобарическим процессом называется процесс, протекающий при постоянном давлении (/?=const). В этом случае первое начало термодинамики имеет вид: dO=dU+dA. Для изобарического процесса из уравнения Менделеева- Клапейрона следует: т clA = pdV = —RclT М dQ = C^-dT ^ р м Подставляя эти выражения в формулу для первого начала получаем, что молярная теплоемкость при постоянном давлении равна: С"=— R р 2 в) Изотермическим процессом называется процесс, протекающий при неизменной температуре (7=const), поэтому dU= 0. Первое начало термодинамики принимает вид: dO=dA. Расчет показывает, что работа газа против внешних сил при изотермическом расширении равна: A=-RT\n^ М V1 г) Адиабатный процесс - это процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой (dQ=0). Первое начало термодинамики для адиабатного процесса имеет вид: dA - dU, то есть работа газа совершается за счет изменения внутренней энергии. Если газ адиабатно расширяется (т.е. совершает работу против внешних сил), то его внутренняя энергия уменьшается (температура газа уменьшается). Если газ адиабатно сжимают, то внутренняя энергия газа увеличивается (газ нагревается). Адиабатный процесс описывает уравнение Пуассона: pVy = const, см где у= -fjj - показатель адиабаты. cv 7.0братимые и необратимые процессы. Принцип работы и КПД тепловой машины Особое значение представляют с точки зрения техники циклически действующие устройства для превращения теплоты в работу, то есть в этих устройствах процессы передачи тепла и преобразования его в работу периодически повторяются. Рис. 7 Обратимым называется такой процесс, при котором система приходит в начальное состояние при условии, что ни внутри системы, ни вне ее никаких изменений не произошло. Если процесс не удовлетворяет этому условию, то он является необратимым. Примером обратимого процесса является колебание маятника без трения и сопротивления. Обратимых процессов в природе нет, это идеализированное понятие, но в большинстве конкретных задач реальные процессы можно рассматривать как близкие к обратимым. Французский инженер Карно впервые теоретически определил коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины, которая интересна тем, что описывает основную черту применяемых в технике тепловых машин - машин, преобразующих тепловую энергию в механическую. Машина Карно состоит из цилиндра, под поршнем которого находится идеальный газ, нагревателя и холодильника. Стенки цилиндра и поршень абсолютно не пропускают тепло; дно цилиндра, наоборот, сделано из материала с большей теплопроводностью, но оно может быть закрыто непроводящей тепло заслонкой. Без заслонки идеальный газ обменивается теплом с нагревателем и холодильником (рис.8). Рис. 8 Пусть от нагревателя подается тепло 0\ , под действием которого газ изотермически расширяется при температуре нагревателя 7„ = Г](см. рис. 9). Р а • ер. Адиабати- сжятир ^ ^ Г*г*° и Адиабатическое сжатие + Ti « расширение “ йзар-»»». *с Рис. 9 При этом совершается работа: Aa=Oa=—RT [• In—. 1 М Vi Если закрыть заслонку и дать газу адиабатно расшириться, то он совершит работу за счет внутренней энергии, в результате чего температура газа станет Т2<Тi . Если газ внешней силой изотермически при температуре 7 2 = Тх сжать, то газ отдает тепло Oi холодильнику (дно соединить с холодильником, температура которого Т2). Работа сжатия равна: А2=02=-- R-Tr\n\ ~ М v4 Затем газ адиабатно сжимается (при закрытой заслонке). При этом газ нагревается до температуры нагревателя. Т\. . Коэффициент полезного действия любой тепловой машины равен: Qi~Qz 7? = — Qi Расчеты показывают, что к.п.д. идеального цикла Карно равен: Из анализа формулы вытекают способы увеличения к.п.д. тепловой машины: 1)повышать температуру нагревателя Ti; 2) понижать температуру холодильника Т2. Тепловая машина, работающая по цикл Карно, является идеальной, поэтому к.п.д. цикла Карно максимален, но даже к.п.д. идеальной тепловой машины не может быть равен 1, так как обязательно некоторое количество тепла должно быть отдано холодильнику. У реальных тепловых машин к.п.д. еще ниже из-за трения и необратимости реальных процессов. Невозможен тепловой двигатель, который получаемое от нагревателя тепло полностью переводит в работу ; часть тепла должна быть отдана холодильнику. 8. Понятие об энтропии. Второе начало термодинамики Понятие энтропии было введено в 1865 г. Р. Клаузиусом. Для выяснения физического смысла этой величины рассматривают отношение теплоты, полученной телом в изотермическом процессе, к температуре тела. Это отношение называется приведенным количеством теплоты. Функция состояния, дифференциалом которой является приведенное количество теплоты, называется энтропией и обозначается S: В термодинамике доказывается, что для обратимых процессов изменение энтропии равно нулю: AS = 0. Если система замкнута, и в ней происходит необратимый процесс, то энтропия такой системы возрастает: AS > 0. Это неравенство представляет собой математическую запись второго начала термодинамики: энтропия замкнутой системы для необратимых процессов возрастает. Первое начало термодинамики описывает количественную и качественную стороны процессов превращения энергии. Второе начало говорит о направлении процессов превращения энергии. Например, никогда не наблюдается самопроизвольного перехода тепла от холодного тела к горячему, хотя закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) такому переходу не противоречит. Другая формулировка второго начала термодинамики гласит: При необратимых процессах в замкнутой системе могут происходить самопроизвольно, «сами собой» только такие процессы, при которых энтропия системы возрастает. Таким образом, изменение энтропии определяет направление самопроизвольного процесса. В то же время все системы стремятся от состояний менее вероятных перейти к состояниям более вероятным, т.е. вероятность также определяет направление процесса и между энтропией и вероятностью должна быть связь. Л.Больцман показал, что энтропия пропорциональна логарифму термодинамической вероятности состояния системы: S = k-\nW где: к - постоянная Больцмана, W - термодинамическая вероятность состояния. Это выражение называется формулой Больцмана. Термодинамическая вероятность состояния системы W равна числу способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы (по определению W > 1, т.е. термодинамическая вероятность не есть вероятность в математическом смысле; последняя <1). Таким образом, энтропия по формуле Больцмана определяется логарифмом числа микросостояний, с помощью которых может быть реализовано данное макросостояние. Формула Больцмана позволяет дать энтропии следующее статистическое толкование: энтропия является мерой неупорядоченности системы. В самом деле, чем больше число микросостояний, реализующих макросостояние, тем больше энтропия. В состоянии равновесия - наиболее вероятного состояния системы - число состояний максимально, при этом максимальна и энтропия. Контрольные вопросы 1. Молярная масса кислорода М = 0 032 кг/моль. Масса одной молекулы равна: а) 5,3 ■10_24кг б) 5,3 ■ 10-26 кг в) 48,5 ■ 10-26 кг 2. Как связаны между собой давление (р), объем (V), число молей (у) и температура (7)? а) P-V = f; б) в) Р ■ V = yRT. 3. Какое из уравнений выражает основное уравнение МЕСТ? а) Р = 7?п0Ш'сР.кв.; б) Р = пкТ; в) Р ■ V = yRT. 4. Укажите правильную размерность постоянной Больцмана: а) Дж/К; 2 5 кг-м 5. Какой формулой связаны удельная и молярная теплоемкости? а) См = с • М; б) См = 7 м’ в) с=См • М; 6. Указать формулу внутренней энергии газа: а) U = р • AV; б) U = (^.R.T; в) U = i. = -R-T; 7. Какое число степеней свободы соответствует атомарному водороду? а) i=3; б) i=5; в) i=6; 8. При адиабатном расширении температура газа падает, при этом энтропия: а) не изменяется; б) увеличивается; в) уменьшается; 9. Коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, определяется выражением: а) Г> = Ъ^'100%: б) щ = • 100%; в) Л = ' 100%; *х 10. При кристаллизации вещества энтропия: а) не изменяется; б) уменьшается; в) увеличивается.