Основы кинематики жидкости

Лекция №4 ТЕМ А: ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ ЖИДКОСТИ План лекции: 1 Методы исследования движущейся жидкости ..................................................................... 1 2 Виды движения жидкости ..................................................................................................... 2 3 Кинематические элементы и струйная модель потока ......................................................... 2 4 Гидродинамические элементы потока жидкости ................................................................. 3 5 Понятие о расходе и средней скорости одномерного потока жидкости.............................. 3 6 Уравнение неразрывности потока жидкости ........................................................................ 5 7 Контрольные вопросы к лекции ............................................................................................ 5 1 Методы исследования движущейся жидкости Раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкостей и взаимодействие их с соприкасающимися с ними покоящимися или движущимися твердыми телами, называется гидродинамикой. Движущаяся жидкость в гидродинамике представляет собой совокупность материальных частиц, движущихся с различными параметрами, изменяющимися в зависимости от времени и координат частиц. Обычно движущуюся жидкость представляют как сплошную среду, полностью заполняющую данное пространство. Кинематика жидкости – раздел механики жидкости, в котором изучаются виды и кинематические характеристики движения жидкости, но не рассматриваются силы, под действием которых происходит движение. Характерными кинематическими параметрами движения жидкости являются скорость, ускорение и положение в пространстве. При исследовании движения жидкости применяют два принципиально различных метода, предложенных Лагранжем и Эйлером. По первому методу исследуется движение отдельных частиц жидкости в пространстве. При этом переменными являются скорости, ускорения и координаты частиц. Другими словами, изучаются законы движения частиц вдоль их траектории. По второму методу исследуется движение различных частиц, проходящих через намеченные точки пространства, заполненного жидкостью. При этом переменными являются скорости и ускорения, а координаты точек остаются постоянными. Наибольшее распространение в гидравлике получил второй метод исследования движения жидкости, так как в технике и инженерной практике чаще требуется знать параметры жидкости в определенном сечении потока, а не параметры отдельной частицы вдоль ее траектории. 2 Виды движения жидкости Движение, при котором во всех точках пространства, занятого жидкостью, параметры движения меняются во времени, называется неустановившимся (нестационарным). Соответственно, движение жидкости, при котором его параметры не зависят от времени, называется установившимся (стационарным). Установившееся движение жидкости подразделяется на равномерное и неравномерное. Равномерным называется движение, когда скорость по длине потока остается постоянной, а неравномерным, когда скорость по длине потока резко изменяется по величине или направлению. Движение жидкости может быть плавно изменяющимся, если скорость по длине потока хотя и изменяется, но это изменение происходит плавно, поэтому, с достаточной для практики точностью в этом случае можно применять законы равномерного движения. 3 Кинематические элементы и струйная модель потока Линия тока – линия, в каждой точке которой в данное мгновение вектор скорости жидкости совпадает с касательной к этой линии. В установившемся движении линия тока совпадает с траекторией движения частицы жидкости. Трубка тока - поверхность, образованная линиями тока, проведенными в данное мгновение через все точки замкнутого контура, находящегося в области, занятой жидкостью. Элементарная струйка – часть движущейся жидкости, ограниченная трубкой тока бесконечно малого сечения. Исходя из определения, элементарная струйка обладает тремя свойствами. Частицы жидкости не выходят из струйки и не входят в нее через боковую поверхность, это объясняется тем, что их боковая поверхность образована линиями тока, а следовательно, в любой ее точке векторы скоростей направлены по касательным. Скорости частиц жидкости во всех точках одного и того же поперечного сечения струйки одинаковы по величине, что объясняется малостью поперечного сечения. При установившемся движении форма струйки остается неизменной. Потоком жидкости называется совокупность элементарных струек, а такое представление о потоке, струйной моделью потока. По своему назначению все потоки можно разделить на напорные, безнапорные и свободные струи. Напорным называется поток, ограниченный со всех сторон твердыми стенками, примером таких потоков является движение жидкости по трубопроводам. Безнапорным – поток, ограниченный твердыми стенками не со всех сторон и имеющий по всей длине свободную поверхность, примером является движение жидкости в открытых руслах (реках, ручьях, каналах, лотках и в трубопроводах не полным сечением). Свободные струи вообще не имеют ограничений потока в виде твердых стенок (истечение жидкости из отверстий и трубопроводов). 4 Гидродинамические элементы потока жидкости Живое сечение (ω) – поверхность в пределах потока, нормальная в каждой своей точке к проходящей через нее линии тока. При равномерном или плавно-изменяющемся потоке живое сечение является плоским. Смоченный периметр (χ) – часть общего периметра потока, на котором жидкость соприкасается с твердыми стенками. При напорных потоках длина смоченного периметра равна длине всего периметра живого сечения, а в безнапорных потоках смоченный периметр составляет лишь часть полного периметра. Гидравлический радиус (R) – отношение площади живого сечения (ω) к смоченному периметру (χ) R=   (4.1) Для напорного потока круглого поперечного сечения в трубе диаметром (d) гидравлический радиус равен  d2 d R=  4   d 4 (4.2) Если напорный поток находится в трубе некруглого поперечного сечения, то для такого потока вводится понятие эквивалентного диаметра dэ=4R. 5 Понятие о расходе и средней скорости одномерного потока жидкости Расходом называется количество жидкости, проходящее через данное живое сечение в единицу времени. В зависимости от того, в чем выражено количество жидкости (в единицах объема, массы или веса ) расход называют объемным, массовым или весовым. Рассмотрим элементарную струйку жидкости, через живое сечение которой dω за время dt прошел элементарный объем жидкости dVж. При скорости жидкости в сечении u он сможет пройти на расстояние ds dVж= ds·dω (4.3) Разделим левую и правую часть уравнения (4.3) на dt dVж ds   d dt dt (4.4) dQ  u  d (4.5) где dQ – элементарный объемный расход жидкости в сечении dω. Массовый dMр и весовой dGр расход жидкости в сечении элементарной струйки, соответственно, будут равны dM р    u  d (4.6) dG р    g  u  d (4.7) Расход потока жидкости, согласно струйной модели потока, определяется суммой расходов элементарных струек его составляющих Q   dQ   u  d  M р   dM р     u  d  (4.8)   G р   dG р    g   u  d   ( 4.9) (4.10) Решить интегралы (4.8 - 4.10) можно, если известен закон изменения скорости по живому сечению потока жидкости. Как правило, закон этот не известен (за исключением ламинарного режима движения жидкости), поэтому расходы на практике подсчитываются по средней скорости потока в его живом сечении Q V  M р   V   G р    g V   (4.11) (4.12) (4.13) 6 Уравнение неразрывности потока жидкости Рассмотрим установившееся движение жидкости в потоке переменного сечения по его длине. Выберем два произвольных сечения нормальных к оси потока на некотором расстоянии друг от друга. Через первое сечение за время dt пройдет масса жидкости dm1 , а через второе сечение выйдет масса жидкости dm2 . Капельная жидкость практически несжимаема (крайне мало изменяет свой объем под воздействием давления ρ=const), твердые стенки, ограничивающие поток, жесткие, а разрыв сплошности потока отсутствует, в этом случае dm1= dm2 ρQ1dt= ρQ2dt или Q1=Q2=Q=const (4.14) (4.15) Уравнение (4.15) называется уравнением постоянства расхода, из него следует, что при установившемся движении несжимаемой жидкость, расход в любых сечениях потока по его длине постоянен. Если объемный расход Q выразить через среднюю скорость потока V , то получившееся уравнение называется уравнением неразрывности потока V1ω1=V2ω2=Vω=const (4.16) Данное уравнение показывает, что при установившемся движении несжимаемой жидкости произведение площади живого сечения на среднюю скорость потока является постоянной величиной. Для газообразной жидкости 1   2 , поэтому уравнение постоянства расхода и уравнение неразрывности принимают вид M1=M2=M=const (4.17) ρ 1 V1ω1=ρ2 V2ω2=ρV ω=const (4.18) 7 Контрольные вопросы к лекции 1 Перечислите методы исследования движущейся жидкости. В чем отличие этих методов? 2 Какое движение жидкости называют установившимся (не установившимся)? 3 Какое движение называют равномерным (неравномерным)? Приведите примеры. 4 Может ли равномерное движение быть неустановившимся? 5 Что такое линия тока? 6 Чем линия тока отличается от траектории движения частицы жидкости? 7 Какими свойствами обладает элементарная струйка? 8 Что подразумевается под понятием струйная модель жидкости? 9 Какие потоки называют напорными (безнапорными)? 10 Что такое свободные струи? 11 Какое сечение в канале (трубопроводе) называют живым? 12 Как определить смоченный периметр в безнапорном канале прямоугольного сечения? 13 Что такое гидравлический радиус? 14 Дайте определение расхода жидкости. 15 Чем объемный расход отличается от массового? В каких единицах измеряются эти расходы? 16 Какую скорость называют средней скоростью движения жидкости? 17 Что показывает уравнение неразрывности движения жидкости? 18 Каково уравнение неразрывности для газообразных жидкостей?