Основы гидродинамики

Основы гидродинамики Лекция 1. Литература: а) Основная 1. Гидравлика Лаптев Н.Н. М: «Академия», 2008 2. Основы гидравлики и аэродинамики. Калицун В.И. Дроздов Е.В. М: Стройиздат, 1980. -248 с. 3. Насосы и насосные станции Карелин В.Я. Минаев А.В. М: ООО «БАСТЕТ», 2009 4. СП 31.13330.2012. Водоснабжение. Наружные сети и сооружения 5. СП 32.13330.2012. Канализация. Наружные сети и сооружения б) Дополнительная 1. Справочник по гидравлическим расчетам Под редакцией П.Г. Киселева. М: "Энергия", 1974. 313 с. 2. Лабораторный курс гидравлики, насосов и гидропередач. М: "Машиностроение", 1974, 415 с. 3. Шевелев Ф.А. Шевелев А.Ф. Таблицы для гидравлического расчета водопроводных труб. М: ООО «БАСТЕТ», 2007 . - 350 с. 4. Лукиных А.А. Лукиных Н.А. Таблицы для гидравлического расчета канализационных сетей и дюкеров. М: ООО «БАСТЕТ» , 2010. . -384 с. 5. Справочник проектировщика. Водоснабжение населенных мест и промышленных предприятий. / Под редакцией А.И. Назарова/. М: Стройиздат 1977. - 288 с. 6. Справочник проектировщика. Канализация населенных мест и промышленных предприятий. /Под редакцией В.Н.Самохина/. М: Стройиздат, 1981. - 639 с. 7. Сомов М.А. Журба М.Г. Водоснабжение. М: Стройиздат, 2008.-260 с. 8. Абрамов Н.Н. Водоснабжение. М: М.: Стройиздат, 1974, 480 с. 9. Воронов Ю.В. Яковлев С.Я. Водоотведение и очистка сточных вод. М: ИАСВ, 2006. -760 с 10. Лобачев П.В. Шевелев Ф.А. Расходомеры для систем водоснабжения и канализации. М: Стройиздат, 1980. -304 с. 11. Справочник строителя. Монтаж систем внешнего водоснабжения и канализации. /Под редакцией А.К.Перешивкина /. М: Стройиздат, 2003. -828 с. 12. Справочник по специальным работам. Оборудование водопроводно - канализационных сооружений. /Под редакцией Москвитина А.С.М: Стройиздат, 1980. -291 с. Гидродинамика - раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости и ее взаимодействие с неподвижными и подвижными телами при их относительном движении. Жидкостью - называют физическое тело, которое легко изменяет свою форму под действием самых незначительных сил, Оно обладает свойством текучести. По механическим свойствам жидкости разделяют на два класса: мало сжимаемые (капельные) и сжимаемые (газообразные). Капельные жидкости отличаются тем, что в малых количествах принимают сферическую форму, а в больших обычно образуют форму сосуда и имеют свободную поверхность. Газы же способны к весьма значительному уменьшению своего объема под действием давления и к неограниченному расширению при отсутствии давления, т. е. они, обладают большой сжимаемостью. Гидравликой называется наука о законах равновесия и движения жидкостей. Название «гидравлика» происходит от сочетания греческих слов "хюдор - вода и "аулос" - труба, желоб и первоначало обозначало учение о движении воды по трубам. На законах гидравлики основан расчет разнообразных гидротехнических сооружений (плотин, каналов, водосливов), трубопроводов для подачи различных жидкостей, гидромашин (насосов, гидротурбин, гидропередач), а также других гидравлических устройств, применяемых во многих областях техники. Аэродинамикой называется наука о законах равновесия и движения газов. На законах аэродинамики основаны расчет летательных аппаратов, трубопроводов, транспортирующих различные газы (воздухопроводов, газопроводов, паропроводов), конструирование газовых машин (турбин, компрессоров, вентиляторов), котельных агрегатов, печных и сушильных установок, воздухо- и газоочистных аппаратов и пр. Жидкости и газы по физическим свойствам пропорционально подобны. Поэтому, гидравлику и аэродинамику в настоящее время рассматривают в качестве единой науки - механики жидкости, а при моделировании процессов жидкости и газы взаимозаменяются. С законами гидравлики человеку приходиться знакомится повсюду: на работе, дома, в транспорте. Сама природа подсказала человеку устройство гидравлических систем. Сердце - насос, печень - фильтр, кровеносные сосуды - трубопроводы, общая длина которых в человеческом организме около 100 000 км. Наше сердце перекачивает за сутки 60 м3 крови (это целая железнодорожная цистерна). Знание законов механики жидкости необходимо для решения многих технических вопросов в области санитарной техники, в частности в области водоснабжения, канализации, теплогазоснабжения и вентиляции, при конструировании машин и механизмов Гидравлика зародилась в Древней Греции. Первым научным трудом по гидравлике считается работа Архимеда (287—212 гг. до н. э.) «О плавающих телах», содержащая его известный закон о равновесии тела, погруженного в жидкость. Им же была разработана конструкция механизма для подъема воды, названная "архимедовым винтом. Развитие гидравлики как науки продолжилось только через 17 веков после Архимеда. В конце XV в. Леонардо да Винчи (1452-1519 гг.) написал труд «О движении и измерении воды», которая была опубликована только через 400 лет. Он первый установил понятие сопротивления движению твердых тел в жидкостях и газах и заложил основы экспериментальной гидравлике. Он первый в лабораторных условиях на моделях изучал движение жидкостей газов. В 1586 г. Симон Стивен (1548—1620 гг.) опубликовал книгу «Начала гидростатики», в которой описал правила оценки силы давления жидкости на дно и стенки сосудов. В 1612 г появился трактат Галилео Галилея (1564— 1642 гг.) «Рассуждение о телах, плавающих в воде, и тех, которые в ней движутся» в нем он резко критиковал метафизические теории греческого философа Аристотеля об "абсолютно тяжелых" и "абсолютно легких" телах и подчеркивал правильность закона Архимеда плавания тел. В 1643 г. ученик Галилея Эванджелиста Торричелли (1608— 1647 гг.) открыл закон истечения жидкости (невязкой, идеальной) из отверстия сосуда. В 1650 г. Белзом Паскалем (1623-1662 гг.) был опубликован закон о передаче внешнего давления в жидкости, который явился основой для расчета гидравлических прессов, подъемников и т. п. В 1687 г. Исаак Ньютон (1643—1727 гг.) разработал гипотезу о законе внутреннего трения в движущейся жидкости и ввел понятие о вязкости жидкости. Но это были все эмпирические обоснования. В развитии практической гидравлики сыграли важную роль работы французских ученых XVIII-XIX веков: Шези (1718 - 1798), работавшего в области равномерного движения жидкости; Вентури (1746 -1822), исследовавшего истечение жидкости через отверстия и насадки; Вейсбаха (1806 - 1871), в основном известного работами в области сопротивлений движению жидкости; Базена (1829 -1897), изучавшего равномерное движение и истечение жидкости через водосливы. Следует отметить работы зарубежных исследователей: Ф. Фор геймера в области гидравлических сопротивлений и теории фильтрации, Г. Вебера в области гидродинамического подобия, Л. Прандтля в области гидравлических сопротивлений и изучения процесса турбулентности. Но это были, в основном, чисто практические исследования в гидравлике, но не теоретические. Основоположниками гидравлики как науки были члены Российской Академии наук: М.В. Ломоносов (1711 - 1765 гг.) Леонард Эйлер (1707- 1783гг.), Даниил Бернулли (1700- 1782 гг.). Они с помощью математических моделей дали обоснования процессам, которые возникают при движении жидкостей и газов или при нахождении их в покое. М.В. Ломоносов опубликовал ряд работ по гидравлике, в том числе "Рассуждение о твердости и жидкости тела", в которой изложил законы сохранения энергии, массы вещества. В 1738 г. Д. Бернулли член Петербургской академии наук опубликовал труд по гидравлике "Гидродинамика", в котором привел методы изучения законов движения жидкостей, ввел понятие "гидродинамика", предложил теорему о запасе энергии движущейся жидкости, вывел важнейшее уравнение, названное его именем. В 1755 г. Леонард Эйлер член Петербургской академии наук в труде "Общие принципы движения жидкости" вывел основные дифференциальные уравнения равновесия и движения невязкой жидкости, положив начало теоретической гидромеханики, изучающей законы движения жидкостей методом математического анализа, вывел уравнение идеальной жидкости. Он разработал уравнение центробежного насоса, которое лежит в основе всех насосов, турбин, компрессоров. Трудами этих ученых была создана база для теоретической гидромеханики. Однако теоретические исследования не сразу находили применение в решении практических задач. Не было еще достаточного количества учеников этой школы. Знаменитый русский ученый Д. И. Менделеев (1834—1907 гг.) в 1880 г. впервые указал на существование в природе двух режимов движения жидкости, что несколько позже было подтверждено английским ученым О. Рейнольдсом (1842—1912 гг.). Точные экспериментальные исследования закона внутреннего трения в жидкостях при ламинарном режиме были поставлены Н. П. Петровым (1836—1920 гг.). Эти работы позволили глубже проникнуть в физическую природу гидравлических сопротивлений и положили начало учению о турбулентном движении. В 1836 г. инженером путей сообщения П. П. Мельниковым был составлен и напечатан первый в России учебник по гидравлике, названный им "Основания практической гидравлики или о движении воды в различных случаях и действие ее ударом и сопротивлением". Профессор Казанского университета И. С. Громеко в 1881 г. опубликовал ряд крупных работ по теории винтового движения жидкостей. Отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 —1921 гг.) внес огромный вклад в развитие гидравлики и аэродинамики. Им впервые была разработана теория гидравлического удара в трубах и дано классическое решение большого круга технических вопросов в области авиации, водоснабжения и гидротехники. С. А. Чаплыгин (1869—1942 гг.) в своих работах о газовых струях, а также других трудах решил ряд теоретических и прикладных задач аэродинамики. Работы немецкого ученого Л. Прандтля (1875—1953 гг.) продвинули вперед изучение турбулентных потоков, которое завершилось созданием полуэмпирических теорий турбулентности, получивших широкое практическое применение. Трудами советского ученого Н. Н. Павловского (1884—1937 гг.) и его учеников развита новая отрасль гидравлики — гидравлика сооружений. В настоящее время гидравлика и аэродинамика бурно развиваются, основываясь на синтезе теоретических и экспериментальных методов. Физические свойства жидкостей и газов Жидкостью - называют физическое тело, которое легко изменяет свою форму под действием самых незначительных сил, Оно обладает свойством текучести. По механическим свойствам жидкости разделяют на два класса: мало сжимаемые (капельные) и сжимаемые (газообразные). Капельные жидкости отличаются тем, что в малых количествах принимают сферическую форму, а в больших обычно образуют форму сосуда и имеют свободную поверхность. Газы же способны к весьма значительному уменьшению своего объема под действием давления и к неограниченному расширению при отсутствии давления, т. е. они, обладают большой сжимаемостью (см. рис.1). Рисунок 1. Сжатие жидкостей и газов На жидкость постоянно воздействуют внешние силы, которые разделяют на массовые и поверхностные. Массовые: силы тяжести и инерции. Сила тяжести в земных условиях действует на жидкость постоянно, а сила инерции только при сообщении объему жидкости ускорений (положительных или отрицательных). Поверхностные: обусловлены воздействием соседних объемов жидкости на данный объем или воздействием других тел. Рассмотрим емкость, наполненную жидкостью (рис.2). Если выделить в ней бесконечно малый объем жидкости, то на этот объем будут действовать силы со стороны соседних таких же бесконечно малых объемов. Кроме этого на свободную поверхность жидкости действует сила атмосферного давления Pатм. Рисунок 2. Поверхностные силы Обычно для определения давления жидкости, вызванного воздействием на нее поверхностных сил, применяется формула: , Па, (1) где F- сила, действующая на поверхность жидкости, Н (ньютон), кг, т; S- площадь, на которую действует сила, м2 Рисунок 3. Схема к определению давления. Если давление Р отсчитывают от абсолютного нуля, то его называют абсолютным давлением Рабс. Если давление отсчитывают от атмосферного, то оно называется избыточным Ризб. Атмосферное давление постоянно Ра = 103 кПа, атм, 10 м в.ст. За единицу давления в Международной системе единиц (СИ) принят паскаль - давление вызываемое силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м²: 1 Па = 1 Н/м² = 10-3 кПа = 10-6 МПа=110-5бар = 0,102 кгс/м² =0,00749 мм рт.ст.= = 1,0210-5 ат= 1,0210-4 м в. ст Размерность давления обозначается как "Па" (паскаль), "кПа" (килопаскаль), "МПа" (мегапаскаль). В технике в настоящее время продолжают применять систему единиц МКГСС, в которой за единицу давления принимается 1 кгс/м², 1 атмосфера =10 м в.ст., 1 кгс/м² = 9,81 Па. и т.д. Таким образом, общими свойствами капельных жидкостей являются текучесть и весьма малая изменяемость объема, а общими свойствами газов — текучесть и легкая изменяемость объема при изменении давления и температуры. Жидкости и газы характеризуются определенными физическими свойствами, важнейшими из которых являются удельный вес , плотность , сжимаемость  и вязкость . Удельным весом жидкости (газа), обозначаемым греческой буквой , называется вес единицы объема жидкости, т. е. , (2) где G — вес жидкости, кг, т; V — объем, занимаемый ею, л, м3. Плотностью называется масса жидкости, заключенная в единице объема, или отношение массы жидкости к ее объему. Плотность обозначается буквой  и определяется по формуле , (3) где т — масса жидкости, кг, т, в объеме V, л, м3. Между плотностью и удельным весом существует связь, которую легко найти, если учесть, что между весом тела G, его массой т и ускорением свободного падения g имеется зависимость G = mg. В соответствии с этим , (4) Плотность в системе СИ измеряется в килограммах на кубический метр ( кг/ м3). Так, для воды при t о = + 20°С имеем  =1000 кг/м3. В производственных условиях удельный вес или плотность жидкости определяют при помощи специального прибора, называемого ареометром. Ареометр представляет собой удлиненную пустотелую стеклянную трубку (рис.4), в верхней узкой части которой имеется шкала удельного веса и плотности жидкости, а в нижней широкой части — шкала температуры жидкости. Рисунок 4. Ареометр Для измерения удельного веса жидкости ареометр погружают в сосуд с ней. Благодаря грузу, помещенному в нижней части ареометра (обычно ртуть или дробь), он плавает в вертикальном положении. Деление на ареометрической шкале, до которого погружается ареометр, соответствует значению удельного веса (плотности) жидкости. Плотность, удельный вес и удельный объем зависят от давления и температуры, причем их пропорциональность не однозначна для капельных жидкостей и газов. Сжимаемость капельных жидкостей под действием давления характеризуется коэффициентом объемной сжимаемости V, который представляет собой относительное изменение объема, приходящееся на единицу изменения давления , (5) где V1 и V2- объемы жидкости, соответственно, начальный и конечный; P1 и Р2 - давления, соответственно, начальное и конечное. Единица коэффициента объемной сжимаемости обратна единице давления и в системе СИ выражается в паскалях в минус первой степени (Па -1). Величина, обратная коэффициенту объемной сжимаемости, называется модулем упругости жидкости и обозначается Ео: (6) Коэффициент объемной сжимаемости капельных жидкостей мало меняется при изменении давления и температуры. В среднем для воды V = 0,5  10-9 Па-1 и Е0=2109 Па. Ввиду малой сжимаемости капельных жидкостей в подавляющем большинстве практических расчетов жидкость можно рассматривать как несжимаемое тело и только при значительных увеличениях давления, например при гидравлическом ударе, следует учитывать изменение ее объема под действием давления. Изменение объема жидкости в зависимости от изменения температуры характеризуется температурным коэффициентом объемного расширения V выражающим относительное изменение объема жидкости при изменении ее температуры на 1°С или 1 К: , (7) где V1 и V2 - объемы жидкости, соответственно, начальный и конечный; t1 и t2 - температуры, соответственно, начальная и конечная. Единица температурного коэффициента объемного расширения выражается в градусах Цельсия в минус первой степени или в кельвинах в минус первой степени (оС-1 = К-1). Температурный коэффициент объемного расширения капельных жидкостей ничтожно мал. Так, для воды при температуре от +10о до +20о С и давлении 0,1 МПа=10 м в. ст., значение t = 0,00015°С-1. В связи с этим в практических расчетах температурное расширение жидкостей не учитывается. Вследствие большой сжимаемости газов их плотность и удельный вес в значительной степени зависят от давления, а также от температуры. Процессы сжатия и расширения газов подчиняются известным из термодинамики законам Бойля — Мариотта и Гей-Люссака для идеальных газов. Закон Бойля—Мариотта выражается зависимостью P1V1 = P2V2 = const, (8) где V1 и V2— объемы газа при постоянной температуре, соответственно, при давлениях Р1и Р2. Закон Гей-Люссака устанавливает связь между объемом и температурой газа при постоянном давлении и характеризуется уравнением V1/V2 = T1 /T2 = const, (9) где T1и Т2 - абсолютные температуры, т. е. температуры, измеренные в кельвинах (К). Соотношение между абсолютной температурой Т и температурой t, измеренной в градусах Цельсия (°С): Т = t + 273,15, (10) Уравнения (7) и (8) следуют из уравнения состояния идеального газа Клапейрона - Менделеева: , (11) где Rо — удельная газовая постоянная, различная для разных газов, но не зависящая от температуры и давления; для воздуха Rо = 287 Дж/(кгК). Вязкостью называется свойство жидкости оказывать сопротивление относительному движению (сдвигу) частиц жидкости. Для ознакомления с понятием вязкости жидкости рассмотрим случай движения жидкости параллельными слоями (рис. 5). Рисунок 5. Схема, для понятия вязкости жидкости Пусть скорость движения какого-нибудь слоя А равна и, а скорость движения соседнего слоя В больше на величину u+и. Величина и выражает собой абсолютный сдвиг слоя В по слою А за единицу времени. При скольжении этих слоев жидкости друг по другу между ними возникает препятствующая сдвигу сила трения, . Относя силу трения к единице площади трения, получим касательное напряжение или напряжение силы трения . Отношение и к расстоянию между слоями Аи В = называется относительным сдвигом. Ньютон установил, что сила трения, приходящаяся на единицу площади, прямо пропорциональна относительному сдвигу, т. е. =u /  , (12) Коэффициент пропорциональности  называется динамической или абсолютной вязкостью. Единица динамической вязкости в системе СИ (13) При течении вязкой жидкости вдоль твердой стенки происходит торможение потока, обусловленное вязкостью (рис.6). Скорость уменьшается по мере уменьшения расстояния y от стенки. При этом при  = 0, скорость падает до нуля, а между слоями происходит проскальзывание, сопровождающееся возникновением касательных напряжений τ. Рисунок 6. Профиль скоростей при течении вязкой жидкости вдоль стенки Величина обратная динамическому коэффициенту вязкости 1/μ называется текучестью жидкости. Наряду с динамической вязкостью  при практических расчетах применяют так называемую кинематическую вязкость :  =  / , м2/с =104 Ст (стокса) (14) Вязкость капельных жидкостей уменьшается с увеличением температуры, а вязкость газов, наоборот, возрастает. В жидкостях молекулы расположены гораздо ближе друг к другу, чем в газах, и вязкость вызывается силами молекулярного сцепления. Эти силы с увеличением температуры уменьшаются, поэтому вязкость падает. В газах же вязкость обусловлена сжатием объема при увеличении температуры, как гласит Закон Гей-Люссака, поэтому вязкость жидкости с увеличением температуры возрастает. Процесс определения вязкости называется вискозиметрией, а приборы, которыми она определяется вискозиметрами. Всем капельным жидкостям свойственна испаряемость, интенсивность которой зависит от условий, в которых находится жидкость. Характеристикой испаряемости является удавление (упругость) насыщенных паров. Давление насыщенных паров называется такое давление, при котором жидкость перестает кипеть, если давление в сосуде в процессе кипения повышается, или начинает кипеть, если давление в сосуде понижается. Давление насыщенных паров зависит от рода жидкости и ее температуры. Для всех жидкостей (не освобожденных от воздуха и других газов, обычно находящихся в жидкости в механическом смеси или в растворенном виде) давление насыщенных паров лежит в пределах между давлением в пустоте и атмосферным давлением. Таким образом, чем больше давление насыщенных паров при данной температуре, тем больше испаряемость жидкости. Кипение жидкости при понижении давления до давления насыщенных паров называется кавитацией. При кавитации в жидкости образуются полости (каверны), заполненные парами и выделившимися из жидкости воздухом и другими газами, которые были в ней растворены. Кавитация вредна. Она снижает пропускную способность труб, насадки; вызывает вибрацию, механические повреждения; снижает КПД машин и поэтому, как правило, не допускается. Растворимость газов в жидкостях наблюдается при всех условиях, но количество растворенного газа в единице объема жидкости различно для разных жидкостей и изменяется с изменением давления. Относительный объем газа, растворимого в жидкости до ее полного насыщения, можно считать прямо пропорциональным давлению, т. е. Vг/Vж=kР2/Р1, (15) где Vг-объем растворенного газа при нормальных условиях; Vж - объем жидкости; k -коэффициент растворимости, который для различных газов и жидкостей может быть найден в справочниках (для воды -0,016); Р2 и P1 — давления газа, соответственно, конечное и начальное. При понижении давления в жидкости происходит выделение растворенного в ней газа, причем выделяется газ из жидкости интенсивнее, чем растворяется в ней. Это явление может отрицательно сказываться на работе различных гидросистем и гидравлически машин. В слое жидкости, расположенном под поверхностью раздела жидкости и газа, возникает поверхностное натяжение. Это объясняется тем, что молекулы, образующие этот слой, значительно сильнее притягиваются друг к другу, чем к молекулам газа. Силы поверхностного натяжения стремятся придать объему жидкости сферическую форму и вызывают некоторое дополнительное давление в жидкости. Однако это давление заметно сказывается лишь при малых объемах и для сферических объемов (капель) характеризуется формулой P =2 /r, (16) где - коэффициент поверхностного натяжения жидкости, Н/м; r— радиус сферы, м. В области соприкосновения трех сред (жидкой, твердой и газообразной) возникает мениск-выпуклый, если молекулы жидкости притягиваются друг к другу сильнее, чем к молекулам твердого тела, или вогнутый, если молекулы жидкости притягиваются к молекулам твердого тела сильнее, чем друг к другу. Этим объясняется явление капиллярного поднятия или опускания жидкости в вертикальной трубке малого диаметра либо в узкой щели между твердыми поверхностями. Высота h подъема или опускания жидкости в стеклянной трубке диаметром d определяется по формуле , (17) где  - коэффициент поверхностного натяжения;  - удельный вес жидкости. Силы поверхностного натяжения приходится учитывать при использовании стеклянных трубок в приборах для измерения давления, а также в некоторых случаях истечения жидкостей. При обычных же гидравлических расчетах влиянием этих сил из-за их малости обычно пренебрегают. В гидравлике и аэродинамике для облегчения решения некоторых задач используются понятия идеальной жидкости и идеального газа. Под идеальной жидкостью понимают воображаемую жидкость, обладающую абсолютной-подвижностью частиц (т.е. лишенную вязкости, абсолютно несжимаемую и абсолютно неспособную сопротивляться разрыву). Под идеальным газом понимают воображаемый газ, лишенный вязкости и удовлетворяющий уравнению Клайперона-Менделеева, т. е. газ, разреженный настолько, что взаимодействие между его молекулами можно не учитывать. Таким образом, идеальная жидкость и идеальный газ представляют некоторые модели реальной жидкости и реального газа. Выводы, полученные из свойств идеальной жидкости или идеального газа, приходится, как правило, исправлять, вводя поправочные коэффициенты. Лекция 2. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ Гидравлика делится на два раздела: гидростатика и гидродинамика. Гидродинамика является более обширным разделом и будет рассмотрена в последующих лекциях. В этой лекции будет рассмотрена гидростатика. Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы равновесия жидкости и их практическое применение. Часто в гидростатике рассматриваются объемы жидкости. Силы, которые действуют на этот объем, условно делятся на две группы: 1) массовые силы, которые пропорциональны массе выделенного объема жидкости. Примером таких сил являются сила тяжести, центробежная сила. 2) поверхностные силы, которые действуют на внешней поверхности объема жидкости и пропорциональны площади этой поверхности. Примером этих сил являются: силы давления поршня на жидкость, давления стенок сосуда на жидкость, атмосферного давления на свободную поверхность жидкости и т.д. 1. Гидростатическое давление В покоящейся жидкости всегда присутствует сила давления, которая называется гидростатическим давлением. Жидкость оказывает силовое воздействие на дно и стенки сосуда. Частицы жидкости, расположенные в верхних слоях водоема, испытывают меньшие силы сжатия, чем частицы жидкости, находящиеся у дна. Рассмотрим резервуар с плоскими вертикальными стенками, наполненный жидкостью (рис.1 "а"). На дно резервуара действует сила F равная весу налитой жидкости G = γ V, т.е. F= G. Если эту силу F разделить на площадь дна Sabcd, то мы получим среднее гидростатическое давление, действующее на дно резервуара. , (1) Гидростатическое давление обладает свойствами. Свойство 1. Для доказательства этого утверждения вернемся к рис.1"а". Выделим на боковой стенке резервуара площадку Sбок (заштриховано). Гидростатическое давление действует на эту площадку в виде распределенной силы, которую можно заменить одной равнодействующей, которую обозначим P. Предположим, что равнодействующая гидростатического давления P, действующая на эту площадку, приложена в точке А и направлена к ней под углом φ (на рис. 1 обозначена штриховым отрезком со стрелкой). Тогда сила реакции стенки R на жидкость будет иметь ту же самую величину, но противоположное направление (сплошной отрезок со стрелкой). Указанный вектор R можно разложить на два составляющих вектора: нормальный Rn (перпендикулярный к заштрихованной площадке) и касательный Rτ к стенке. Рисунок 2. Схема, иллюстрирующая свойства гидростатического давления: а - первое свойство; б - второе свойство Сила нормального давления Rn вызывает в жидкости напряжения сжатия. Поскольку жидкость в резервуаре находится в состоянии покоя, следовательно все составляющие Р уравновешены R . Отсюда можно сделать вывод первого свойства гидростатического давления. Свойство 2. Гидростатическое давление неизменно во всех направлениях. В жидкости, заполняющей какой-то резервуар, выделим элементарный кубик с очень малыми сторонами Δx, Δy, Δz (рис. 1 "б"). Каждая из боковых поверхностей кубика будет находится под соответствующим давлением: Px, Py , Pz , равным произведению соответствующей силы  на элементарные площади. Обозначим вектора давлений, действующие в положительном направлении (согласно указанным координатам) как P'x, P'y, P'z, а вектора давлений, действующие в обратном направлении соответственно P''x, P''y, P''z. Поскольку кубик находится в равновесии, то можно записать равенства P'xΔyΔz=P''xΔyΔz P'yΔxΔz = P''yΔxΔz (2) P'zΔxΔy + γΔx, Δy, Δz = P''zΔxΔy где γ-удельный вес жидкости; ΔxΔy Δz - объем кубика. Сократив полученные равенства, найдем, что P'x = P''x; P'y = P''y;  P'z + γΔz = P''z (3) Членом третьего уравнения γΔz, как бесконечно малым по сравнению с P'z и P''z, можно пренебречь и тогда окончательно P'x = P''x;  P'y = P''y;  P'z=P''z (4) Вследствие того, что кубик не деформируется (не вытягивается вдоль одной из осей), надо полагать, что давления по различным осям одинаковы, т.е. P'x = P''x = P'y = P''y = P'z=P''z (5) Это доказывает второй свойство гидростатического давления. Свойство 3. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве. Это положение не требует специального доказательства, так как ясно, что по мере увеличения погружения точки давление в ней будет возрастать, а по мере уменьшения погружения уменьшаться. Третье свойство гидростатического давления может быть записано в виде P=f(x, y, z) (6) 2. Основное уравнение гидростатики Рассмотрим распространенный случай равновесия жидкости, когда на нее действует только одна массовая сила - сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Это уравнение называется основным уравнением гидростатики. Пусть жидкость содержится в сосуде (рис.2) и на ее свободную поверхность действует давление Pо . Найдем гидростатическое давление P в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h. Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем жидкости высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх. Рисунок. 2. Схема для вывода основного уравнения гидростатики Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на вертикальную ось: PdS - P0 dS - (ρ ghdS) = 0 (7) Последний член уравнения представляет собой вес жидкости, заключенный в рассматриваемом вертикальном цилиндре объемом h dS. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, т.к. они перпендикулярны к этой поверхности и их проекции на вертикальную ось равны нулю. Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, найдем P = Pо + ρg h = Pо + h  (8) Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики. По нему можно посчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления Pо на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости. Из основного уравнения гидростатики видно, что какую бы точку в объеме всего сосуда мы не взяли, на нее всегда будет действовать давление, приложенное к внешней поверхности Pо. Другими словами давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля. Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня. В обычных условиях поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости. 3. Давление жидкости на плоскую наклонную стенку Пусть мы имеем резервуар с наклонной правой стенкой, заполненный жидкостью с удельным весом . Ширина стенки в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа. равна b (рис.3). Стенка условно показана развернутой относительно оси АВ и заштрихована на рисунке. Построим график изменения избыточного гидростатического давления на стенку АВ. Так как избыточное гидростатическое давление изменяется по линейному закон P=gh, то для построения графика, называемого эпюрой давления, достаточно найти давление в двух точках, например А и B. Рисунок 3. Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на плоскую поверхность Избыточное гидростатическое давление в точке А будет равно PA = γh = γ0 = 0 (9) Соответственно давление в точке В: PB = γh = γH (10) где H - глубина жидкости в резервуаре. Согласно первому свойству гидростатического давления, оно всегда направлено по нормали к ограждающей поверхности. Следовательно, гидростатическое давление в точке В, величина которого равна γH, надо направлять перпендикулярно к стенке АВ. Соединив точку А с концом отрезка γH, получим треугольную эпюру распределения давления АВС с прямым углом в точке В. Среднее значение давления будет равно (11) Если площадь наклонной стенки S=bL, то равнодействующая гидростатического давления равна (12) где hc = Н/2 - глубина погружения центра тяжести плоской поверхности под уровень жидкости. Однако точка приложения равнодействующей гидростатического давления ц.д. не всегда будет совпадать с центром тяжести плоской поверхности. Эта точка находится на расстоянии l от центра тяжести и равна отношению момента инерции площадки относительно центральной оси к статическому моменту этой же площадки. (13) где JАx - момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной Аx. В частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника размерами bL и одна из его сторон лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления ц.д. находится на расстоянии b/3 от нижней стороны. 4. Давление жидкости на цилиндрическую поверхность Пусть жидкость заполняет резервуар, правая стенка которого представляет собой цилиндрическую криволинейную поверхность АВС (рис.4), простирающуюся в направлении читателя на ширину b. Восстановим из точки А перпендикуляр АО к свободной поверхности жидкости. Объем жидкости в отсеке АОСВ находится в равновесии. Это значит, что силы, действующие на поверхности выделенного объема V, и силы веса взаимно уравновешиваются. Рисунок 4. Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на цилиндрическую поверхность Представим, что выделенный объем V представляет собой твердое тело того же удельного веса, что и жидкость (этот объем на рис.4 заштрихован). Левая поверхность этого объема (на чертеже вертикальная стенка АО) имеет площадь Sx = bH, являющуюся проекцией криволинейной поверхности АВС на плоскость YOZ. Cила гидростатического давления на площадь Sx равна Fx = γ Sxhc. С правой стороны на отсек будет действовать реакция R цилиндрической поверхности. Пусть точка приложения и направление этой реакции будут таковы, как показано на рис. 4. Реакцию R разложим на две составляющие Rx и Rz. Из действующих поверхностных сил осталось учесть только давление на свободной поверхности Ро. Если резервуар открыт, то естественно, что давление Ро одинаково со всех сторон и поэтому взаимно уравновешивается. На отсек АВСО будет действовать сила собственного веса G = γV, направленная вниз. Спроецируем все силы на ось ОХ: Fx - Rx = 0 , откуда Fx = Rx = Sxhc (14) Теперь спроецируем все силы на ось ОZ: Rx - G = 0 откуда Rx = G = V (15) Составляющая силы гидростатического давления по оси OY обращается в нуль, значит R = F = 0. (16) Таким образом, реакция цилиндрической поверхности в общем случае равна , (17) а поскольку реакция цилиндрической поверхности равна равнодействующей гидростатического давления R=F, то делаем вывод, что (18) 5. Закон Архимеда и его приложение Тело, погруженное (полностью или частично) в жидкость, испытывает со стороны жидкости суммарное давление, направленное снизу вверх и равное весу жидкости в объеме погруженной части тела. Pвыт = жgVпогр (19) Для однородного тела плавающего на поверхности справедливо соотношение (20) где: V - объем плавающего тела; т - плотность тела. Существующая теория плавающего тела довольно обширна, поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь гидравлической сущности этой теории. Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние называется устойчивостью. Вес жидкости, взятой в объеме погруженной части судна называют водоизмещением, а точку приложения равнодействующей давления (т.е. центр давления) - центром водоизмещения. При нормальном положении судна центр тяжести С и центр водоизмещения d лежат на одной вертикальной прямой O'-O", представляющей ось симметрии судна и называемой осью плавания (рис. 5). Пусть под влиянием внешних сил судно наклонилось на некоторый угол , часть судна KLM вышла из жидкости, а часть K'L'M', наоборот, погрузилось в нее. При этом получили новое положении центра водоизмещения d'. Приложим к точке d' подъемную силу R и линию ее действия продолжим до пересечения с осью симметрии O'-O". Полученная точка m называется метацентром, а отрезок mC = h называется метацентрической высотой. Будем считать h положительным, если точка m лежит выше точки C, и отрицательным - в противном случае. Рисунок 5. Поперечный профиль судна Теперь рассмотрим условия равновесия судна: 1) если h > 0, то судно возвращается в первоначальное положение; 2) если h = 0, то это случай безразличного равновесия; 3) если h<0, то это случай неостойчивого равновесия, при котором продолжается дальнейшее опрокидывание судна. Следовательно, чем ниже расположен центр тяжести и, чем больше метацентрическая высота, тем больше будет остойчивость судна. 6. Поверхности равного давления Как уже отмечалось выше, поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем. Рассмотрим два примера такого относительного покоя. В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a (рис.6). Рисунок 6. Движение цистерны с ускорением К каждой частице жидкости массы m должны быть в этом случае приложены ее вес G = mg и сила инерции Pu, равная по величине ma. Равнодействующая этих сил направлена к вертикали под углом α, тангенс которого равен tg = (21) Так как свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной равнодействующей, то она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол α с горизонтом. Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости. Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту под углом α. Если бы движение цистерны было не равноускоренным, а равнозамедленным, направление ускорения изменилось бы на обратное, и наклон свободной поверхности обратился бы в другую сторону (см. рис.6, пунктир). В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся сосудах (например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей). В этом случае (рис.7) на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют массовые силы: сила тяжести G = mg и центробежная сила Pu = mω2r, где r - расстояние частицы от оси вращения, а ω - угловая скорость вращения сосуда. Рис. 7. Вращение сосуда с жидкостью Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил R и представит собой параболоид вращения. Из чертежа находим (22) С другой стороны: ( 23) где z - координата рассматриваемой точки. Таким образом, получаем: (24) откуда (25) или после интегрирования (26) В точке пересечения кривой АОВ с осью вращения r = 0, z = h = C, поэтому окончательно будем иметь (27) т.е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости параболоидом. Такую же форму имеют и другие поверхности уровня. Для определения закона изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и высоты выделим вертикальный цилиндрический объем жидкости с основанием в виде элементарной горизонтальной площадки dS (точка М) на произвольном радиусе r и высоте z и запишем условие его равновесия в вертикальном направлении. С учетом уравнения (2.11) будем иметь (28) После сокращений получим (29) Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу r и уменьшается пропорционально высоте z.