Основы автоматики и теории управления

Федотов Б.К. Конспект лекций по дисциплине «Основы автоматики и теории управления» Лекция.1.1 Введение Содержание: - понятие АВТОМАТИКА и автоматика как наука; - понятия СИСТЕМА и КОМПЛЕКС - пример комплекса; -некоторые основные понятия автоматики ( цель управления; задача управления, кибернетика, техническая кибернетика, мехатроника) -некоторые основные понятия теории управления (динамическая система, воздействия, состояние системы, вектор состояния, движение системы ); --классификация систем автоматического управления (системы регулирования ; экстремальные системы; адаптивные системы; системы c искусственным разумом- самоорганизующиеся системы ) - литература по дисциплине Понятие АВТОМАТИКА и автоматика как наука Под автоматикой, в широком смысле, понимается область знаний о принципах организации, методах исследования и методах построения систем различной физической природы, выполняющих свои задачи без непосредственного участия человека. Автоматика как наука, содержит все необходимые классификационные признаки присущие этому понятию, - то есть имеет свой предмет, «язык» и теорию. Предмет данной науки– системы автоматического управления -САУ «Язык»– математические модели процессов в САУ, получаемые с помощью разнообразного математического аппарата. Например, в области интересующей нас техники к таким процессам относятся: процессы в электрических цепях; процессы в жидкости, газе, процессы преобразования сигналов в усилия и моменты электрических, гидравлических и пневматических двигателей, процессы в механической части системы, процессы в измерителях переменных системы, используемых для организации управляемого процесса. Основой для математического описания этих процессов являются законы физики, изучаемые в курсах по : теоретической механике; гидромеханике; термодинамике ; аэродинамике; электротехнике. Для математического моделирования этих процессов в данном курсе применяется такие разделы математики как : теория пределов и математический анализ, теория дифференциальных уравнений и теория функций комплексного переменного, интегральные преобразования Лапласа и Фурье, методы линейной алгебры и векторно-матричного анализа. Как каждая наука автоматике присуще своя терминология. Рассмотрим некоторые основные понятия этой науки Понятия СИСТЕА и КОМПЛЕКС Сложное понятие - «система» можно представить как единство следующих частных понятий : целостность, организация, интегративность. 1.Под целостностью понимается наличием таких устойчивых связей между элементами системы, сила которых превосходит силу связей между элементами системы и окружающей средой. В автоматике под элементом системы понимается часть системы с однозначно определенными свойствами и известным поведением, а под связью - физический канал обмена информацией (энергией, веществом) между элементами системы, а также между элементами и окружающей средой. Понятие целостность разделяет систему и окружающую среду. 2.Понятие организация определяет причинно-следственную упорядоченность элементов и связей в пространстве и времени. 3. Интегративность - говорит о том, что система, как образование взаимодействующих элементов с учетом их связей с внешней средой обладает особым свойством, присущим только ей в целом. Данное свойство невоспроизводимо ни одним элементом системы, ни их группой ( изучение отдельных элементов не дает полного знания о системе) Для удобства изучения , выделяют понятие сложной и простой системы. Сложная система представляет объединение взаимосвязанных простых систем (подсистем) В инженерной практике разработок сложные системы часто называют комплексами, под которыми понимают объединение взаимосвязанных подсистем, функционирующих в интересах достижения определенной цели. В качестве примера комплекса рассмотрим систему управления движением беспилотного ЛА, в процессе которого решается задача встречи с некоторым подвижным объектом На рис .1 показана физическая модель БПЛА, рассматриваемого в качестве твердого тела вращения , которая предназначена для изучения движения БПЛА в вертикальной (продольной) плоскости Действующими силами , влияющими на движение ЛА являются :сила тяги -Р, суммарная подъемная сила, создаваемая крыльями, фюзеляжем и рулями -У, сила аэродинамического сопротивления -Х, сила тяжести -G. Рассматривается такой БПЛА для которого, в первом приближении, для удобства исследования возможно разделение общего движения в пространстве на движение центра масс (его называют траекторным движением ) и движение относительно центра масс. Положение БПЛА в пространстве относительно центра масс определяется с помощью двух систем координат : невращаемой СК (положение ее на борту материализуется с помощью ГСП или БИНС) и связанной СК ,оси которой совпадают с главными осями инерции. Начала этих СК располагают в центре масс Регулируемыми переменными при управлении движением относительно центра масс являются : углы Эйлера (тангаж,курс,крен) и перегрузка. Соответствующие переменные, при движении в продольной плоскости, показаны на рис1. При движении относительно центра масс рассматриваются моменты действующих сил – моменты, вызванные аэродинамическими особенностями конструкции БПЛА – момент, определяемый отличием центра давлений и центра масс, создаваемый подъемной силой, демпфирующие моменты, зависящие от угловых скоростей вращения относительно центра масс, управляющие моменты, вызванные поворотом рулевых поверхностей. При составлении уравнений движения эти моменты проектируются на оси связанной системы координат. Согласно физической модели ЛА, изменение направления полета достигается изменением подъемной силы, величина которой зависит от угла между направлением вектора линейной скорости и продольной осью ЛА –угла атаки. Изменение угла атаки достигается поворотом ЛА на yгол тангажа ,определяющий положение продольной оси БПЛА, относительно «невращающейся» системы координат. Изменение угла тангажа реализуется с помощью рулевого привода (РП) , поворачивающего рулевую поверхность на угол , и создающего момент относительно центра масс БПЛА. При управлении движением центра масс ЛА : управляемой переменной является вектор линейной скорости ЛА, определяемый угловыми переменными :углами наклона траектории и значением модуля линейной скорости. На Рис.2. показана блок-схема комплекса управления движением БПЛА. В состав комплекса (как сложной системы) входя следующие подсистемы: - подсистема бортового локатора (автоматический визир координатор цели, головка самонаведения -ГСН) –определяет угловые координаты цели относительно оси локатора и обеспечивает автоматическое сопровождение наблюдаемого объекта, в процессе которого ось антенны АВ , перемещающейся относительно корпуса ЛА приводом, стремится совместиться с направлением на цель (с линией визирования). Ось антенны отслеживает изменение углового положения линии визирования . На Рис.3 показана физическая модель опорно-поворотного устройства АВ, работающего в оптическом диапазоне, поясняющая принцип его действия. - подсистема формирования закона наведения - вычисляет сигнал управления БПЛА в соответствии с применяемым законом наведения, определяющим динамику сближения и встречи БПЛА с целью. Сигнал пропорциональный разности входной и выходной переменными АВ (смещение проекции объекта на плоскости приемного окна оптического локатора от его центра ) поступает на вход ВЗН , и совместно с другими необходимыми для формирования этого закона переменными (например, при методе пропорционального наведения - производной дальности до объекта ), участвует в вычислении желаемого входного сигнал подсистемы (СУЛА) , реализующей разворот БПЛА относительно центра масс. - подсистема управления ЛА (СУ ЛА) содержит : измеритель отклонения выходных координат объекта управления относительно их желаемых текущих значений, поступающих с ВЗН (сравнивающее устройство ); регулятор – устройство управления, обеспечивающее желаемое качество процессов в этой подсистеме ; внутреннюю подсистему рулевого привода, объект управления - БПЛА; датчики выходных переменных БПЛА (угловой скорости и перегрузки ), используемые для реализации управления движением этой подсистемы. Конкретные примеры подсистем данного комплекса лежат в основе практических занятий и курсовых работ в обоих семестрах этого учебного года. Для изучения полного движения БПЛА (по траектории к цели) необходимо дополнить данную схему блоком, отражающем естественную пространственную связь между угловыми переменными цели и объекта управления в процессе их взаимного движения, приводящую к появлению входной переменной АВ (угловому положению линии визирования объекта наблюдения- ). Условно назовем этот блок кинематическим звеном (КЗ). При математическом моделировании комплекса процессы в этом блоке описываются трансцендентными уравнениями кинематики взаимного движения. Входными переменными блока КЗ являются – векторы линейной скорости БПЛА и Цели, определяемые динамикой движения их центров масс. Рассмотренная схема комплекса является основой для его цифрового имитационного моделирования. Цель управления Функционирование системы подчинено определенной цели. Особенности предмета автоматики, для конкретно изучаемой нами дисциплины, связаны с такими системами, задачей которых является управление механическим движением различных объектов (их называют объектами управления). В таких системах цель управления – стремление обеспечить желаемое протекание процесса механического движения объекта управления. Задача управления В процессе работы системы реализуется решение задачи управления. Под задачей управления понимается синтез критерия качества управления. Например, - критерия, объединяющее в единое целое отдельные показатели системы: требуемое быстродействие, точность, минимальный расход энергии, стоимость. Решение задачи управления Поиском и разработкой методов решения задач управления занимается кибернетика. Кибернетика - наука об управлении. Основы заложены Норбертом Винером (1894-1964г.). Первая публикация - "Кибернетика или управление и связь в животном и машине" - 1948г. В общем случае , предметом кибернетики являются системы любой физической природы (технические, биологические, административные, социальные) способные воспринимать, хранить, преобразовывать информацию и использовать ее для решения задач управления. Раздел кибернетики, связанный с техническими системами называют технической кибернетикой. Теорией автоматики является теория автоматического управления (ТАУ). Данная теория разрабатывает методы исследования, позволяющие изучать процессы в САУ на основе таких математических образов, которые не зависят (инвариантны) от физической сущности явлений в различных элементах системы. Результатами применения таких методов являются способы управления. Некоторые основные понятия ТАУ Динамическая система Таким математическим образом является динамическая система. В широком смысле - это такой абстрактный образ реальной системы, процессы в в котором определяются только структурой, параметрами, воздействиями и начальными условиями. Это позволяет отображать процессы различной физической природы (механика, гидравлика, электротехника, термодинамика, аэродинамика) с единых позиций. Воздействия Под воздействиями понимаются физические причины в виде сигналов, сил, моментов, вызывающие изменение состояния системы. Они могут быть управляющими (полезными) и возмущающими (вредными). Управляющие воздействия направлены на достижение цели управления; возмущающие воздействия препятствуют достижению этой цели. Возмущающие воздействия могут генерироваться и элементами системы («шумы» элементов). Состояние системы и ее движение Состояние динамической системы однозначно определяется в каждый момент времени значениями минимально-необходимого количества независимых внутренних переменных (координат). Эти переменные связанны уравнениями, описывающими физические процессы в элементах системы. Понятие независимости переменных подразумевает то, что ни одна из них не может быть представлена линейной комбинацией других. Такие переменные в теории управления называют переменными состояния, фазовыми координатами ( в теоретической механике они известны как обобщенные координаты). В каждый момент времени эти координаты в многомерном пространстве определяю вектор состояния (или - фазовый вектор). Изменение этих переменных (изменение вектора состояния) связывают с понятием - движение системы. Обобщенная модель системы имеет вид Рис.4.,где управляющие воздействия;возмущающие воздействия; переменные состояния;выходные переменные. Такой математический образ системы называют "черным ящиком", имея в виду то, внутренние переменные, в отличие от внешних переменных скрыты от наблюдения. Данной математической модели соответствует более строгое понятие - динамическая система (в узком смысле). Согласно нему, динамическая система - это любая система, состояние которой характеризуется совокупностью фазовых координат (переменных состояния) в каждый момент времени, причем задание этих координат в конкретный момент времени полностью определяет их значения в любой другой момент времени. В зависимости от способа решения задачи управления системы классифицируют 1.Системы автоматического регулирования Один из широко применяемых методов управления в технических системах, связан с понятием - регулирование. В системах автоматического регулирования (САР) решается задача управления, целью которой является поддержание в каждый момент времени значений выходных переменных объекта управления, равными значениям входных переменных системы, рассматриваемых в той же физической размерности, что и выходные переменные. Поэтому, в системах регулирования, - процесс изменения входные переменных системы является идеальным желаемым процессом для поведения ее выходных переменных. Например, управление сложным движением объекта с помощью манипулятора, входное звено которого соединено с оператором, задающим желаемый процесс движения объекта управления. Теорией анализа и синтеза таких систем является теория автоматического регулирования (САР), которая представляет раздел более общей теории - ТАУ (теории автоматического управления ). ТАУ включает кроме методов исследования задач регулирования и другие, связанные с более сложными способами управления. Этим способам управления обязано появление следующих автоматических систем: 2Экстремальные системы управления - находят и автоматически поддерживают значение сигнала управления , обеспечивающего экстремум отдельного показателя качества процесса - например, минимальный расход энергии 3.Самонастраивающиеся и адаптивные системы Автоматически изменяют параметры и структуру системы при изменении условий работы системы ( например изменение аэродинамических параметров, давления, температуры , характера и интенсивности внешних воздействий); характерно, что алгоритмы изменения параметров и структуры заранее разрабатываются на этапе их проектирования ( под структурой системы понимается причинно-следственную связь частей в целом). 4. Системы с искусственным разумом (самоорганизующиеся системы) Последующее развитие автоматики было вызвано необходимостью создания таких систем, принципиальным отличием которых( от рассмотренных выше) является то, что алгоритмы управления параметрами и структурой создаются в ее вычислительном устройстве в процессе ее функционирования (а не на этапе разработки). Такие системы называют – самоорганизующимися. Теоретическое обеспечение для их исследования и построения дает –современная теория управления (СТАУ). Важно, что методы современной ТАУ применяются и для повышения качества работы систем автоматического регулирования (например, в классе многомерных нестационарных систем автоматического регулирования). Литература 5 семестр 1.В.А Бессекерский, Е.П. Попов. Теория систем автоматического регулирования, М, Наука,1975 г. 2. .И.М.Макаров, Б.М. Менский. Линейные автоматические системы.- М. Машиностроение, 1982 г. 3. Солодовников В.В. Плотников В.Н, Яковлев А.В, Основы теории и элементы систем автоматического регулирования.- М. : Машиностроение, 1985 4 Бесекерский В.А.. Теория систем автоматического управления. Профессия, 2007. - 747 с. (электронный каталог) 5. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. Наука, 1989. - 301 с. - Наука, 1989. (электронный каталог) Дополнительная 6. Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования/-М. : Машиностроение, 1989 г. 7.Терсков В.Г, Федотов Б.К., Огольцов И.И. Системное проектирование многомерных систем автоматического сопровождения комплексов бортового оборудования, М, МАИ,1991 6 семестр 1. Динамика следящих приводов, под.ред. Л.В. Рабиновича, Машиностроение, 1982г. 2..Справочник по теории автоматического управления, под ред.А.А. Красовского, М, Наука,1987 г. 3..К. Браммер, Г. Зиффлинг. Фильтр Калмана – Бьюси, М, Наука, 1982 г. Дополнительная .Методы классической и современной теории автоматического управления. Учебник в трех томах. Под ред. К.А. Пупкова.- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000г. Тома 1 и 2. Раздел 1. Математическое моделирование динамики линейных непрерывных систем регулирования (классическая теория). Лекция 1.2. Классификация систем регулирования. Принципы регулирования, описание движение системы, переходная функция Содержание: -классификация систем регулирования; - принципы регулирования (принцип обратной связи, принцип разомкнутого регулирования, принцип комбинированного регулирования); - понятие линейной системы, принцип суперпозиции; - математическое описание процесса движения линейной системы; - переходная функция системы. Классификация систем автоматического регулирования (САР) Для удобства изучения и проектирования, САР принято классифицировать, в соответствии со следующими признаками: • по принципам регулирования (замкнутые, разомкнутые, с комбинированным управлением); • по цели регулирования (системы стабилизации, программного регулирования, следящие системы); • по характеру сигналов управления (непрерывные, дискретные); • по количеству входных и выходных воздействий (одномерные, многомерные); • по типу математических моделей (линейные стационарные, линейные нестационарные, нелинейные стационарные и нестационарные) В большей части данной дисциплины рассматриваются непрерывные стационарные линейные системы. Принципы регулирования Рассмотрим классификацию САР по первому признаку - по принципу регулирования Принцип обратной связи Системы, построенные по данному принципу, называют замкнутыми системами Построение системы согласно этому принципу предполагает реализацию следующих функций и условий: - формирование входного воздействия, определяющего желаемый вид выходного процесса системы -получение, информации о результате регулирования; -сравнение входной и выходной переменных системы в каждый момент времени путем вычитания из входной переменной выходной переменной и определение динамической ошибки регулирования. Результат такого сравнения является первичным сигналом в контуре системы управления и оценкой ее точности в каждый момент времени (динамической ошибкой регулирования). - преобразование первичного сигнала управления в движение объекта управления (регулятор и исполнительное устройство). Регулятор (устройство управления, корректирующее устройство) выполняет преобразование первичного сигнала управления (и других измеренных переменных объекта управления ) в сигнал управления исполнительным устройством. Задача регулятора – обеспечить требуемое качество процесса поведения объекта управления – желаемые динамические свойства системы. Блок- схема системы с замкнутым принципом управления приведена на Рис.1.5 Заметим, что в этой схеме каждой функции, приведенной выше, соответствует конкретный элемент. Схема показывает, что в такой системе на основании оценки результата управления ( то есть - следствия управления) формируется сам сигнал управления. Другими словами - причина, вызывающая изменение состояния объекта управления ( сигнал на входе исполнительного устройства) ставится в зависимость от следствия – движения объекта управления. Такая связь между причиной и следствием называется обратной связью. Показанная на Рис.1.5 схема, характерна для организации управления в классической САР. Важными особенностями замкнутой системы являются следующие : - тенденцией поведения системы в процессе ее функционирования является автоматическое стремление к уменьшению ошибки слежения (разности между входной и выходной переменной),причем, независимо от того, какими причинами она вызвана(входным воздействием, возмущающими воздействиями, изменениями параметров элементов системы). -возможная потеря устойчивости движения системы, вызванная запаздыванием информации в элементах системы. Первичный сигнал управления (ошибка рассогласования) - теряет свою полезную функцию и приобретает противоположную ; -принципиальное ограничение точности, так как, в общем случае, при воздействии произвольного вида, для движения исполнительного устройства необходима ошибка разности "вход-выход". Рассмотренный принцип регулирования реализован во всех системах построенных в соответствии со вторым признаком классификации систем регулирования – по цели регулирования ( по способу формирования входного воздействия). К таким системам относятся следующие замкнутые системы. 1. Системы стабилизации обеспечивают поддержание равенства выходных переменных соответствующим постоянным значениям таких переменных на входе системы. Примерами являются: - система, обеспечивающая стабильное положение оси пеленгатора цели относительно его основания, расположенная на КЛА (астрофизические КЛА, предназначенные для изучения удаленных космических объектов, космические и авиационные системы аэрофотосъемки земной поверхности); - системы навигационного комплекса ЛА, обеспечивающие стабильное угловое положение «невращаемой» системы координат ЛА, относительно которой измеряются углы курса, тангажа и крена ЛА, необходимые для управления его движением (например - ГСП); - системы стабилизации скорости вращения генераторов энергопитания различных систем бортового оборудования , обеспечивающие постоянство частоты напряжения бортовой сети ЛА, - электронные системы стабилизации уровня выходного напряжения блоков питания приборов. 2. Системы с программным управлением, целью которых является воспроизведение (отслеживание) входного воздействия, формируемого специальным устройством - «задатчиком программного сигнала» . Так построены системы управления программным траекторным движением баллистической ракеты, а также ракеты-носителя КЛА на участке выведения на орбиту, системы наведения наземных РЛС и телескопов космической информационной связи для сопровождения КЛА, находящихся на стационарных орбитах, станки с программным управлением в машиностроении работающие по «копиру» 3. Следящие системы - обеспечивают воспроизведение (отслеживание) входного воздействия объектом управления, когда это воздействие является заранее неизвестной функцией времени, определяемой некоторым внешним по отношению к данной системе процессом (например, взаимным перемещением цели и ЛА). В рассмотренном выше примере бортового комплекса –это подсистема автоматического визира, подсистема управления ЛА, подсистема рулевого привода. По сравнению с предыдущими классами систем, этот класс систем является наиболее общим ( предыдущие системы можно рассматривать, как частные случаи следящей системы) и поэтому при изучении САР представляет наибольший интерес. Принцип разомкнутого регулирования (без обратной связи) Используется в системах, в которых влиянием возмущающих воздействий и отклонений параметров на точность системы можно либо пренебречь, либо, если это возможно, учесть их заранее в алгоритме формирования управляющего сигнала. Схема, поясняющая принцип управления приведена на Рис.1.6 Достоинство принципа – высокая надежность функционирования, так как отсутствует возможность потери устойчивости. Недостаток - высокая чувствительность точности регулирования к изменению условий работы системы, отличающихся от расчетных условий. Принцип комбинированного регулирования Реализует функционирование двух основных принципов регулирования в единой структуре. Схема системы приведена на Рис.1.7. Согласно Рис.7, структура системы, с обратной связью , дополнена каналом связи по непосредственно измеряемому воздействию, реализующим принцип разомкнутого регулирования. При этом канал разомкнутого регулирования реализован так, чтобы им была, в основном, обеспечена необходимая точность воспроизведения входного воздействия, а обратная связь выполняет дополнительную функцию - уменьшает ошибку, вызванную внешними возмущениями и погрешностями разомкнутого канала регулирования. Данный принцип регулирования используется для построения следящих систем с повышенными требованиями к точности слежения. Понятие линейной системы, принцип суперпозиции ,математическое моделирование движения системы в классической теории управления Понятие линейной системы В общем случае, для построения математических моделей системы управления применяется разнообразный математический аппарат. Это вызвано многообразием реальных свойств элементов системы, связанных с особенностями их физической природы, способами их объединения в системе, а также с различным характером воздействий. Так, - изменения параметров системы, в процессе их функционирования, требуют применения аппарата теории нестационарных дифференциальных уравнений; нелинейности характеристик элементов (ограничения сигналов, люфты, зоны нечувствительности, гистеререзис магнитных цепей, и тд) - методы решения нелинейных уравнений, случайность воздействий и внутренние шумы элементов - методы теории случайных процессов; многосвязность и многомерность объектов управления - векторно- матричные методы линейной алгебры ; дискретность сигналов управления (применение цифровой обработки сигналов) - методы дискретной математики (разностные уравнения,дискретные преобразования Лапласа, Z-преобразования). Поскольку в реальной современной системе все данные особенности и факторы действуют совместно и одновременно, то представление о динамике системы, достаточно близкое к реальному, можно получить только при интегрировании полной системы уравнений на ЭВМ. Такое математическое моделирование применяется на завершающем этапе проектирования системы (для окончательной коррекции результатов проектирования) На начальной фазе проектирования системы необходимо представление об основных закономерностях ее динамики, о влиянии основных параметров элементов определяющих ее свойства, о характеристиках наиболее важных связей между воздействиями и координатами системы. Такую информацию (о качественной связи ) могут предоставить упрощенные модели. Более того, практикой разработки показано, что для многих сложных задач грубое (упрощенное) решение оказывается достаточным. В общем случае, начинать исследование надо с упрощенной математической модели Это целесообразно даже в случае , когда заранее известно, что придется изучать более сложную модель. Это объясняется тем, что закономерности, полученные на грубой математической модели, позволяют рационально организовать исследование более сложной модели. Для большого числа реальных систем удается решить задачи их построения , рассматривая систему как непрерывную, стационарную (параметры постоянны) и линейную (связи между переменными описываются линейными зависимостями и линейными дифференциальными уравнениями). Если такая система имеет один вход и один выход, то она называется одномерной(скалярной). Принцип суперпозиции Важным для изучения линейной системы является ее особое свойство заключающееся в выполнении принципа суперпозиции. Согласно этому принципу – реакция линейной системы на сумму воздействий равна сумме реакции на каждое воздействие в отдельности. Выполнение данного принципа существенно упрощает исследование и проектирование систем управления. Полную информацию о динамике процессов в линейной системе содержит обыкновенное дифференциальное уравнение (или система дифференциальных уравнений). В классической теории регулирования для построения моделей динамики одномерных (скалярных) систем применяется дифференциальное уравнение, связывающее входную и выходную переменную. Такие уравнения часто называют - уравнение "вход-выход". В современной теории управления базовой математической моделью является система уравнений, разрешенных относительно первых производных переменных состояния (фазовых координат, обобщенных координат). Такая форма записи более удобна для применения векторно-матричных методов. Вопросам построения и применения таких математических моделей уделяется внимание в одном из разделов курса лекций последующего семестра. Математическое описание процесса движения линейной системы в классической теории регулированиия Исходным материалом для получения такой модели является функциональная схема системы. Такая схема отражает функции элементов в системе, их соединение, направление передачи информации, показывает регулируемые величины и место приложения внешних воздействий. По функциональной схеме системы составляются физические модели элементов системы. Физическая модель системы представляет изображение элемента в форме схем удобных для составления уравнений, описывающих законы физики явлений в различных элементах и их объединениях ( например, схема взаимодействия подвижных масс и воздействий со стороны окружающей среды для составления уравнений механики, схема замещения в электрических цепях – уравнения электротехники) После составления уравнений описывающих физические явления в отдельных элементах, и их последующей линеаризации, промежуточные переменные (к ним относятся все переменные, кроме входной и выходной переменной системы ) исключаются и образуется одно уравнение, связывающее производные входной и выходной переменной системы (уравнение "вход-выход"). Такое уравнение, в классической форме записи, имеет вид: В левой части уравнения содержится линейная комбинация выходной переменной системы и ее производных , в правой- линейная комбинация входной переменной и ее производных. Интегрирование (решение) данного дифференциального уравнения, при заданных начальных условиях и воздействии, дает полное описание процесса изменения выходной переменной. Если изучать движение при , , при ненулевых начальных условиях по выходной переменной и нулевых начальных условиях для входной переменной, то решение уравнения будет описывать две основные составляющие процесса изменения выходной переменной. Первая составляющая процесса описывается общим решением однородного уравнения. Поскольку это движение не зависит от воздействия, и инициируется только ненулевыми начальными условиями, то ее называют свободным (или собственным ) движением. Вторая составляющая процесса описывается частным решением уравнения и называется вынужденным движением системы. Характер свободного (собственного) движения зависит от корней характеристического уравнения системы: где комплексная переменная. Каждому вещественному корню соответствует слагаемое в решении: Каждой паре комплексно-сопряженных корней: соответствует слагаемое в решении: Постоянные интегрирования A,C,D определяются системой линейных алгебраических уравнений, составляемых на основании начальных условий для производных выходной переменной системы. Значения круговых частот периодических составляющих процесса часто называют собственными частотами системы. Если в линейной системе сводное движение со временем «затухает» , то такую (линейную) систему называют устойчивой. Анализ выражения показывает, что такое возможно , если все корни характеристического уравнения системы будут иметь отрицательную действительную часть. Вторая составляющая движения - вынужденное движение системы зависит от изменения входного воздействия и описывается частным решением дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях. Оно существует, пока существует воздействие. В общем процессе вынужденного движения выделяют две составляющие: переходную и установившуюся. В подавляющем большинстве случаев, если свободное движение со временем затухает, то переходная составляющая вынужденного движения также затухает и в последующем движении системы сохраняется только составляющая установившегося движения. Переходная функция системы Для сравнения динамических свойств различных систем, или одной системы при различных параметрах, используются характеристики, представляющие их реакции на типовые воздействия. Одним из таких типовых воздействий является единичная функция. Переходной функцией называют реакцию системы на такое воздействие. Математически единичная функция описывается выражением: Переходная функция обозначается . Переходная функция широко используется при экспериментальных исследованиях динамики системы. По ней оцениваются такие показатели качества системы как: быстродействие и колебательные свойства системы. Математическое описание переходной функции соответствует решению дифференциального уравнения при воздействии в виде единичной функции и при нулевых начальных условиях. Рассмотрим, в качестве примера систему, описывающуюся дифференциальным уравнением второго порядка: Ему соответствует характеристическое уравнение: 1. Допустим, что это уравнение имеет действительные отрицательные корни. Представим эти корни в виде: Назовем параметры - постоянными времени системы (имеют размерность времени). В этом случае характеристическое уравнение приводится к виду: При этом, дифференциальное уравнение системы приобретает вид: Общее решение однородного уравнения при действительных корнях характеристического уравнения, имеет вид: Полное решение при имеет виду : +b=b(+1) Определяем постоянные интегрирования переходной функции: При t=0 , Получаем первое уравнение : При , получаем второе уравнение : Решение системы уравнений дает выражения для постоянных интегрирования переходного процесса : ; Получаем окончательное выражение ; График такой переходной функции показан на Рис 1.8 а. Процесс является монотонным, постепенно приближается к постоянному значению, колебания отсутствуют, показывает, что система устойчива. 2. Рассмотрим случай, при котором корни характеристического уравнения второго порядка являются комплексными. Свободное движение системы при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения, имеющих в общем виде обозначения: Записывается в виде : Представим исходное уравнение в типовом виде: Обозначим параметры : Т- постоянная времени; коэффициент демпфирования. Решение соответствующего характеристического уравнения второго порядка приводит к выражениям для составляющих корней : Определяем постоянные интегрирования, При нулевых начальных условиях равных нулю, получаем значения коэффициентов: Полное решение для переходной функции запишется в виде: Ему соответствует график на Рис.1.8б Описание процесса показывает: - переходная функция содержит периодическую составляющую, определяемую уравнением свободного (собственного) движения. Частота этого колебательного движения называется собственной частотой системы : , чем меньше постоянная времени, чем меньше коэффициент демпфирования , тем выше частота колебаний; - уровень периодической составляющей процесса с течением времени уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю; быстрота ее уменьшения зависит от величины ; - при стремление коэффициента демпфирования к нулю характер затухания процесса замедляется и в пределе при , вырождается в колебания постоянной амплитуды, что показывает предел полученного выражения (Рис.1.8в) : Лекция 1.3. Математическое описание реакции линейной системы на воздействие произвольного вида ( математическое описание вынужденного движения системы) Содержание: -импульсно-переходная (весовая) функция; - разложение непрерывной функции времени на бесконечно – большую сумму мгновенных импульсов; - применение принципа суперпозиции и весовой функции для описания реакции системы на произвольное регулярное воздействие.; - преобразование Лапласа и передаточная функция системы : - связь передаточной функции с характеристиками динамики системы в области времени; - пример определения переходной функции системы с помощью обратного преобразования Лапласа. Прежде, чем исследовать вынужденное движение системы , необходимо рассмотреть еще одну характеристику динамики в области времени -реакцию системы на «ударное» воздействие, математически описываемое -функцией Дирака. Такая характеристика называется импульсно-переходной (весовой) функцией системы. Данное типовое воздействие представляет функцию с локализованным на бесконечно-малом интервале бесконечно-большим значением: Математически такая функция является пределом единичного ступенчатого импульса ( Рис.1.8.г): при Физическое представление о функции Дирака связано с поведением ускорения при ударе двух абсолютно твердых тел. Импульсно-переходная функция в теории линейных систем играет важную роль при изучении реакции системы на воздействие произвольного вида. С этой ролью связано ее второе название - "весовая" функция. Разложение непрерывной функции времени на бесконечно –большую сумму мгновенных импульсов Покажем , что введение функции Дирака позволяет представить любое произвольное воздействие в виде бесконечно-большой суммы мгновенных импульсов. Разобьем ось времени на интервалы равной длины с шагом Рис.1.9 . Поместим в начале координат единичный ступенчатый импульс . Выберем на оси времени середину некоторого "к"-го интервала и обозначим этот момент времени . Здесь t-момент времени соответствующий середине k-го интервала. Перенесем в данную точку на оси времени единичный ступенчатый импульс. Математически этот импульс опишется выражением: . Импульс такой же продолжительности но с ординатой определится выражением: Образуем такой импульс в каждом интервале. В результате получаем ступенчатую функцию. Данная функция полностью описывается выражением суммы последовательности вида: При неограниченном уменьшении интервала ступенчатая функция преобразуется в исходную непрерывную функцию, а выражение для последовательности в интеграл вида: Если рассматривать процесс в интервале времени от 0 до t, то последнее выражение перепишется в виде: (Интеграл – бесконечно – большая сумма бесконечно-малых величин) Таким образом, получено выражение, показывающее, что непрерывная функция времени представляется в виде бесконечно большой суммы мгновенных импульсов (бесконечно малых по продолжительности), с площадями равными значениям самой функции. Применение принципа суперпозиции для описания реакции системы на произвольное регулярное воздействие Поскольку рассматривается линейная система, то можно воспользоваться принципом суперпозиции (реакция на сумму воздействий равна сумме независимых реакций на каждое воздействие в отдельности). Так как, реакция на мгновенный импульс определена, в виде импульсно-переходной функции , а значение ординаты играет роль масштабирующего множителя, то при нулевых начальных условиях и произвольном конечном времени наблюдения , получаем: Здесь момент времени наблюдения реакции(произвольный конечный момент времени); произвольный момент времени предшествующий моменту наблюдения. С точки зрения физики явления данное выражение раскрывает роль импульсно-переходной функции в формировании реакции системы на произвольное воздействие для каждого момента наблюдения этой реакции. Так, согласно данному выражению каждое значение воздействия в момент времени , предшествующий моменту наблюдения (t), вносит свой вклад в значение реакции в данный момент наблюдения. Вес этого "вклада" определяется импульсно-переходной функцией, представляющей реакцию на данное значение воздействия, начинающуюся в момент времени и заканчивающуюся в момент времени t. На Рис.1.10 . приведена иллюстрация данного явления. Поскольку реакция не может возникнуть раньше воздействия ( связь причины и следствия), то справедливо равенство: при .Это равенство выражает условие физической возможности существования системы. При выполнении расчетов по формуле свертки целесообразно обратить время для весовой функции, перенеся ее начало в точку момента наблюдения Рис.1.11 . В этом случае площадь под произведением двух функций равна значению реакции в момент времени Преобразование Лапласа и передаточная функция системы Выполним переход от произвольной непрерывной функции времени к ее изображению по Лапласу. Такой переход осуществляется с помощью интегрального преобразования вида: , где оригинал (функция времени) изображение (функция комплексной переменной) символ (сокращенное обозначение) преобразования Лапласа; символ обратного преобразования Лапласа Применение преобразования Лапласа позволяет отобразить связь между переменными системы в области времени, выражаемую дифференциальным уравнением, - в алгебраическую зависимость между ними, что делает инструмент исследования динамики более гибким и удобным (алгебраические операции менее трудоемкими, чем операции в области времени). Приведем те свойства преобразования Лапласа, которые будем использовать в дальнейшем: 1. Свойство линейности 2.Дифференцирование оригинала при нулевых начальных условиях получаем: 3 Интегрирование оригинала при нулевых начальных условиях 4. Конечное значение оригинала 5. Преобразование свертки функций 6. Преобразование функции смещенной по времени 7. Способ получения оригинала по изображению, представляющему дробно-рациональную функцию вида: полином переменной «» В результате разложения выражения на элементарные слагаемые получаем: Для каждого слагаемого находится в таблице соответствия оригинал и производится их суммирование Примем нулевые начальные условия (до момента включения система находилась в состоянии покоя) и проведем преобразование по Лапласу левой и правой части уравнения. При нулевых начальных условиях связь между производной и ее изображением отображается теоремой дифференцирования в виде: Применим преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, получаем: Рассмотрим комплексную функцию, получаемую из данного уравнения при отношении изображений выходной и входной переменных: Такая функция называется передаточной функцией (ПФ). Если система описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, то ПФ является дробно-рациональной алгебраической функцией комплексного аргумента "s". Если в ПФ не проводилось сокращение одинаковых нулей (корни числителя комплексной функции) и полюсов (корни знаменателя),то данная ПФ полностью соответствует отображаемому дифференциальному уравнению и от нее всегда можно получить это уравнение. Такая ПФ называется невырожденной. Таким образом, применение преобразования Лапласа позволяет получить алгебраическую связь между переменными системы в виде Графически такую алгебраическую связь изображают в виде прямоугольника, внутри которого записано выражение для ПФ- на входе которого изображение по Лапласу входной переменной, а на выходе изображение по Лапласу выходной переменной. Рис.1.12. Таким образом, ПФ представляет оператор связи переменных системы в функции аргумента преобразования Лапласа. Связь передаточной функции с характеристиками динамики системы в области времени Определим изображение импульсно-переходной функции, представляющей реакцию системы на мгновенный импульс. Так как, изображение мгновенного импульса равно единице, то изображением импульсно-переходной функции, согласно полученной связи является передаточная функция системы: Следовательно, передаточная функция есть изображение по Лапласу импульсно-переходной функции Импульсно-переходная (весовая) функция системы, а это означает, что эти два математических объекта характеризуют одни и те же динамические свойства системы - одна в области времени, другая в области аргумента преобразования Лапласа. Используя свойство преобразования Лапласа (теорема о свертке функций) получим выражение для реакции системы на произвольное воздействие, Пусть изображение входной переменной - х(s) Используем теорему преобразования свертки (свойство преобразования Лапласа) функций: . Обозначим : ; Тогда получаем: . Следовательно, изображение по Лапласу реакции системы на произвольное воздействие есть изображение свертки импульсно-переходной функции и этого воздействия. Выходная переменная системы в вынужденном движении описывается выражением : Такое же выражение было получено выше на основе принципа суперпозиции, при представлении непрерывного процесса в виде суммы мгновенных импульсов. Заметим, что полученное выражение представляет общую формулу для частного решения дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях . Определим изображение по Лапласу для переходной функции. Изображение ступенчатой единичной функции равно: Тогда Таким образом, если известна ПФ системы, то, обратное преобразование Лапласа выражения описывает переходную функцию. Такой результат часто используется в инженерной практике для аналитического определения переходной функции по ПФ, представляющей отношение полиномов. К выражению ПФ применяется метод разложения, приведенный (свойство 7 преобразования Лапласа) с последующим использованием таблиц обратного преобразования Лапласа. Сравнивая изображение импульсно - переходной функции с изображением переходной функции, приходим к выражению Согласно свойству преобразования Лапласа (теорема дифференцирования) приходим к выражению , которое показывает, что импульсно-переходная функция есть скорость изменения переходного процесса рассматриваемой переменной системы. Пример определения переходной и импульсно-переходной функций системы с помощью обратного преобразования Лапласа. Например, используем предыдущий пример системы. Дифференциальному уравнению соответствует передаточная функция : Переходный процесс системы определяется выражением: Используя метод разложения определяем коэффициенты А,В,С: А=1; Используем таблицу обратных преобразований Лапласа: Окончательно получаем: Для рассмотренного выше примера системы, получаем: Заметим, что полученное выражение для весовой функции описывает изменение скорости переходного процесса выходной переменной системы. В частности , если в скорость выходного процесса , то последнее выражение есть описание ускорения выходной координаты. График весовой функции показан на Рис.13 Лекция 1.4 Математическая модель системы в виде структурной схемы Содержание: - понятие структурной схемы системы; - типовые соединения элементов структурной схемы; -преобразование структурной схемы ; -алгоритм построения структурной схемы по уравнениям ее исходной физической модели; -пример построения структурной схемы (механическая система с упругой связью) Понятие структурной схемы системы Для придания задачам анализа и проектирования систем физической осмысленности применяют модели динамики в виде структурной схемы. Под структурной схемой понимают графическое отображение причинно-следственных связей между переменными системы , представленными в виде их изображений по Лапласу. Элементами структурной схемы системы являются : -динамические звенья; -входные и выходные переменные динамических звеньев; - воздействия; - элементы суммирования переменных. Динамическое звено представляет математическую модель в виде передаточной функции , описывающую преобразование изображения входной переменной этого звена в изображение его выходной переменной. Входная и выходная переменные звена обозначаются в виде стрелок. Рядом со стрелками записывается обозначение переменной (изменение ее является передаваемой информацией - сигналом),а сама стрелка указывает направление передачи информации. Внутри прямоугольника записывается ПФ. (Рис1.14). Воздействия изображаются также в виде стрелок. Звено обладает однонаправленной передачей информации. Алгебраическое суммирование переменных удобно обозначать в виде элемента, показанного на Рис.1.15. Соединение динамических звеньев, связывающих все физические переменные системы и воздействия, представляет первичную структурную схему, отображающую все физические законы, описывающиеся уравнениями, полученным по физическим моделям элементов (именно такие схемы используются при цифровом имитационном моделировании системы - «вычислительном эксперименте»). Заметим, что для анализа систем сложной структуры используется аппарат сигнальных (направленных) графов. Граф системы в отличие от структурной схемы имеет другие обозначения: переменная (вершина графа)- кружок; стрелка (ребро графа)- оператор связи (ПФ). По сигнальному графу с помощью формулы Мезона можно получить ПФ между любыми двумя переменными сложной структуры. В теории управления аппарат графов удобно применять для исследования комплексов (имеющих подсистемы с взаимными связями). Простые структуры нагляднее отображаются структурной схемой. Путем преобразования структурной схемы можно получить ПФ, связывающие любые две переменные системы. Типовые соединения элементов структурной схемы 1. Последовательное соединение ( Рис.1.16) Соединение, в котором выходной сигнал одного звена является входным другого. ПФ соединения получается как произведение ПФ отдельных звеньев. 2.Параллельное соединение звеньев( Рис.1.17). Соединение, в котором вход является общим, а выходные переменные суммируются. ПФ соединения равна сумме отдельных ПФ. 3. Соединение с помощью обратной связи ( Рис.1.18а) Определим ПФ соединения. Согласно схеме имеем два уравнения: Разрешая их относительно выходной и входной переменной, получаем: Назовем ее «формулой замыкания контура». Преобразование структурной схемы Используя формулу замыкания, получим ПФ замкнутой следящей системы В следящей системе (единичная отрицательная обратная связь), получаем С помощью формулы замыкания можно получить ПФ, связывающую ошибку слежения с входным воздействием - ПФ ошибки следящей системы. Преобразуем структурную схему следящей системы к виду, в котором координата ошибки является выходной переменной контура единичной обратной связи, и применим формулу замыкания (Рис.1.18б) Получаем : Приведем некоторые простейшие (однако часто применяемые в практике проектирования) преобразования структурной схемы 1.Перенос точки ответвления на выход Рис.1.19.а 2.Перенос звена суммирования Рис.1.19.б Применим эти правила к преобразованиям в контуре с обратной связью 3. Перенос звена суммирования обратной связи к входному воздействию Рис.1.19.в. Применяя правила для типовых соединений убеждаемся в равенстве ПФ исходной структурной схемы и преобразованной. 4. Перенос точки ответвления обратной связи к выходной переменной системы Рис.1.19. г Применяя правила для типовых соединений убеждаемся в равенстве ПФ исходной структурной схемы и преобразованной. 5. Выделение следящего контура Рис.1.19д 6. Перенос точки ответвления обратной связи через воздействие 7. Инверсия прямой цепи и обратной связи Алгоритм построения структурной схемы по уравнениям ее исходной физической модели 1.Полученные по физической модели уравнения элементов и связей записываются в преобразованном по Лапласу виде. 2.Полученные уравнения переписываются в причинно-следственном, условно-разрешенном виде. Порядок записи, при котором выполняется принцип -от причины к следствию. Переменная «следствие» -в левой части уравнения , а переменная « причина» (совместно с другими переменными) входит в правую часть алгебраического уравнения. 3. В полученной записи выделяются ПФ, представляющие "содержимое" динамических звеньев (прямоугольников на структурной схеме) и их входные и переменные ( в уравнениях являются сомножителями ПФ). Этим переменным соответствуют стрелки на структурной схеме. 4.Последовательно (от первого уравнения к последнему) на схеме изображаются динамические звенья с их переменными, и, согласно алгебре уравнений, осуществляется их соединение между собой. Пример построения структурной схемы (механическая система с упругой связью) Рассмотрим, в качестве примера, процедуру построения структурной схемы для механической системы, представляющей упругое соединение двух вращающихся масс, физическая модель которой приведена на Рис.1.20. В частности , так выглядит физическая модель механического соединения вала двигателя с полезной нагрузкой при учете нежесткого соединения и трения при отсутствии редуктора.Согласно принятым обозначениям, уравнения движения имеют вид: 1. Уравнение Даламбера для первой подвижной массы с моментом инерции : ; где момент реакции упругого звена, воздействующий на первую подвижную массу; момент передаваемый упругим звеном на вторую подвижную массу. 2. Уравнение упругой деформации: 3. Уравнение Даламбера для второй подвижной массы: 4. Уравнение для момента вязкого трения Преобразуем уравнения по Лапласу и запишем в причинно-следственном виде согласно логике их связи в прохождении информации в системе 1. 2. 3. В данной записи уравнений все переменные являются изображениями. В соответствии с данной записью уравнений на Рис.1.21 построена структурная схема. Получим передаточную функцию для механической системы , предварительно, выполнив следующие преобразования: - «замкнем» контур связи, образованный трением; - перенесем точку ответвления момента реакции упругого звена к выходной переменной (результат переноса на рисунке показан штриховой линией); - новую обратную связь представим в виде двух параллельных каналов ( Рис.1.22). Выполним замыкание («сворачивание») контуров в последовательности –от внутреннего контура к внешнему 1. Используя формулу замыкания ,получим ПФ для первого контура ,связывающие углы поворота подвижных масс 2. Замыкание второго контура дает ПФ вида: 2. Получим ПФ « вход-выход» для всей механической системы: Анализ полученных выражений приводит следующим частным случаям: - при отсутсвии трения и бесконечной жесткости соединения «вал двигателя –нагрузка»: 1. Данное выражение показывает, что при скачке входной переменной выходная переменная в изменяется с постоянным ускорением 2. отсутствии трения : Выражение показывает, что в составе характеристического уравнения присутствую мнимые корни. Ускорение движения полезной нагрузки в установившемся движении имеет постоянную амплитуду колебаний Полное выражение показывает, что выходная переменная в установившемся движении содержит среднюю составляющую движения в виде постоянной скорости с наложенные на нее затухающие со временем колебаниям постоянной частоты. Физической причиной затухания процесса колебаний и движения с постоянной скоростью является трение, и а причиной этих колебаний- упругие свойства механического соединения . Лекция 1.5 Типовые динамические звенья Содержание: -понятие типового динамического звена и классификация типовых звеньев; -типовые динамические звенья первого (дифференциальное уравнение, передаточная функция, переходная функция): -пропорциональное звено; -интегрирующее звено; - дифференцирующее звено; -инерционное звено первого порядка; -форсирующее звено первого порядка; -неминимально –фазовые звенья первого порядка. -типовые динамические звенья второго порядка (дифференциальное уравнение, передаточная функция, переходная функция): -колебательное звено и его примеры; -инерционное звено второго порядка; - консервативное звено; -форсирующее звено второго порядка. - звено чистого запаздывания. Понятие типового динамического звена и классификация типовых звеньев Понятие типового звена связано со структурным моделированием системы управления. Такое звено рассматривается в качестве элементарного фрагмента структурной схемы. Динамика типовых звеньев характеризуется передаточными функциями, содержащими полиномы не выше второго порядка. К типовым звеньям не выше первого порядка относятся звенья: 1. Пропорциональное 2. Интегрирующее 3. Дифференцирующее 4. Инерционное первого порядка (апериодическое) 5. Форсирующее звено первого порядка 6. Неминимально-фазовые звенья первого порядка К типовым звеньям второго порядка относятся: 1. Колебательное звено 2. Инерционное звено второго порядка (рассматривается в качестве частного случая колебательного звена 3. Консервативное звено 4. Форсирующее звено второго порядка 5.Неминимально-фазовые звенья второго порякда . Особое звено : - звено чистого запаздывания. Типовые динамические звенья первого порядка Пропорциональное звено Описывается передаточной функцией . Моделирует операцию масштабирования сигнала. Вид переходной функции выходного сигнала такой же как и входного сигнала. Интегрирующее звено Звено моделирует операцию интегрирования входного сигнала: Согласно теореме интегрирования преобразования Лапласа, получаем передаточную функцию звена: Весовая функция звена : Показывает, что звено обладает свойством «памяти». Переходная функция (Рис.1.23),: Пример. 1.Физическая модель механики вращающегося тела, без учета нагрузочных связей (Рис.1.24 а) Рассматривается связь момента и скорости вращения. Уравнение динамики: ; Преобразование по Лапласу при нулевых начальных условиях: Передаточная функция: Соответствующая структурная схема (1.24б) содержит последовательное соединение пропорционального звена и двух интегрирующих звеньев. Первое звено интегрирует угловое ускорение тела, втрое – скорость. Дифференцирующее звено (идеальное) Моделирует операцию идеального дифференцирования входного сигнала: у Согласно теореме дифференцирования преобразования Лапласа, получаем: Выражение для ПФ: Переходная функция: Инерционное звено первого порядка Соответствует дифференциальному уравнению первого порядка: Преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях дает ПФ - постоянная времени звена, имеет размерность - Как было показано, импульсно- переходная функция есть обратное преобразование Лапласа передаточной функции . Поэтому получаем: Переходная функция имеет вид (Рис.1.25): Чтобы получит обратное преобразование Лапласа представим выражение в скобках в виде: Применяя обратное преобразование Лапласа к слагаемым ПФ, получаем Характер процесса связан со вторым названием этого звена – «апериодическое звено». Процесс приближенно можно построить. как показано на Рис 1.26 Примеры. 1.Физическая модель движения– вращение тела с учетом вязкого трения (Рис.1.27а) Уравнения динамики: Рассмотрим динамику связи между моментом и скоростью движения . Для этого понизим порядок уравнения, заменив переменные Тогда уравнение преобразуется к виду: В преобразованном по Лапласу виде при нулевых начальных условиях получаем: Рассмотрим отношение изображения скорости к изображению момента: Структурная схема соответствует последовательному соединению пропорционального звена и инерционного звена первого порядка (Рис 1.27б) 2. Схема электрического фильтра, показанная на Рис.1.28 Согласно схеме замещения имеем: Где Откуда следует: где - постоянная времени Форсирующее звено (идеальное) первого порядка Передаточная функция звена Согласно ПФ сигнал на выходе звена содержит сумму составляющих, одна из которых пропорциональна самому входному сигналу, а вторая его идеальной производной. Согласно принципу суперпозиции переходная функция имеет вид: , импульсно-переходная функция : Неминимально-фазовые звенья первого порядка Типовые звенья, содержащие в составе ПФ полиномы с положительными коэффициентами, относятся к разряду минимально-фазовых звеньев. Звенья ,имеющие такой же вид ПФ и содержание отрицательные коэффициенты, называют неминимально-фазовыми. Название связано с особым видом частотных характеристик (см. последующие лекции). Неустойчивое апериодическое звено ПФ звена имеет вид: Импульсно-переходная функция: Переходная функция звена: Характеристики показаны на Рис.1.29 С течением времени функция стремится к бесконечности. При ограниченном входном сигнале , выходной сигнал становится неограниченно большим. Неминимально-фазовое форсирующее звено Передаточная функция имеет вид: Типовые динамические звенья второго порядка (дифференциальное уравнение, передаточная функция, переходная функция) Колебательное звено и его примеры Данное звено моделирует преобразование переменных в системе , описывающейся дифференциальным уравнением второго порядка, с характеристическим уравнением содержащим комплексные корни. Преобразование по Лапласу такого диф. уравнения приводит к передаточной функции стандартного вида: ; Передаточная функция содержит комплексные корни в знаменателе где Т- постоянная времени звена ; - коэффициент демпфирования. Данное неравенство является признаком комплексного корня и соответственно признаком колебательного звена. Переходная функция (в соответствии с таблицей соответствия –оригинал –изображение) может приведена к удобному для построения переходного процесса виду: Частота , равная значению мнимой части комплексного корня характеристического уравнения, является собственной частотой данного звена. Она равна частоте колебательного процесса свободного (собственного) движения данной системы – движения, не зависящего от воздействия и инициирующегося только ненулевыми начальными условиями. В вынужденном движении, вызванным входным воздействием в виде единичной функции характер этого движения полностью сохраняется (составляющая общего решения дифференциального уравнения). Таким образом, если ПФ системы имеет в числителе полином нулевого порядка, то форма переходного процесса полностью зависит только от значения корней знаменателя. Данное свойство широко используется при синтезе регулятора определенного типа следящих систем по критерию качества переходного процесса. Важнейшие параметры переходной функции, согласно Рис.1.30. , оцениваются выражениями : Перерегулирование (оценка максимального значения переходной функции) Время переходного процесса по уровню 2% определяется по огибающей процесса: После взятия натурального логарифма от левой и правой части получаем: Время нарастания Примеры. Примеры. Резонансный электрический фильтр (Рис.1.31 ) Механическая система с упругим элементом, (Рис.1.32 ): Сравнение параметров ПФ приводит к энергетическим аналогам механики и электротехники: - трение и активное сопротивление характеризуют рассеяние энергии; - емкость и упругость характеризуют способность аккумулировать энергию; -- момент инерции и индуктивность характеризуют способность к изменению состояния движения (быстроту изменения энергии) Из общего выражения для ПФ колебательного звена следуют частные случаи. Инерционное звено второго порядка Можно рассматривать в качестве частного случая ПФ колебательного звена при . Полином знаменателя, в этом случае, содержит вещественные корни, а ПФ приобретает вид: Переходный процесс является апериодическим, (Рис.1.33). Весовая функция имеет экстремум при значении: Консервативное звено Соответствует частному случаю ПФ колебательного звена при . ПФ имеет вид: Переходная функция, получается из общего выражения для переходного процесса при : Представляет гармоническую функцию. Колебания продолжаются бесконечное время с постоянной амплитудой (Рис.1.34.) Физически соответствует такой идеальной системе, в которой отсутствует рассеяние (потери) энергии. В механике такие системы называют консервативными. Отсюда –и название звена. Пример. Две вращающиеся массы связанные идеальной пружиной при отсутствии трения. Примером неминимально-фазовых звеньев второго порядка являются -неминимально фазовое (неустойчивое) колебательное звено с ПФ вида: К числу особых звеньев относится звено чистого запаздывания Моделирует операцию сдвига во времени входного сигнала на постоянное значении равное . Используя теорему сдвига преобразования Лапласа, получаем выражение для ПФ звена: Переходная функция (Рис.1.35) соответствует выражению: Лекция 1.6 Математическое моделирование динамики линейной системы на основе частотного метода . Частотные характеристики системы. Содержание: -основа частотного метода; - понятие частотной характеристики особенности ее применения в теории управления; -спектральное представление процесса; -аналитическое определение частотных характеристик системы :АЧХ,ФЧХ, АФЧХ; - экспериментальное определение частотных характеристик В основе частотного метода лежит особое свойство преобразования линейной системой воздействия, имеющего вид гармонической функции, которое заключается в том, что линейной системой гармоническое воздействие преобразуется в гармоническую реакцию той же частоты, что и воздействие (и это касается любой переменной системы). Важно , что преобразование отдельной гармонической функции, представляющей установившийся процесс, позволяет судить и о преобразовании сигнала произвольной формы. Такая возможность существует в связи с тем, что - воздействия произвольного вида могут быть представлены конечной (ряд Фурье) или бесконечно-большой (интегральное преобразование Фурье) суммой гармонических функций ,а это позволяет использовать принцип суперпозиции для получения представления о преобразовании сигналов произвольного вида в системе управления. Понятие частотной характеристики особенности ее применения в теории управления Частотная характеристика представляет оператор (являющийся функцией частоты), преобразующий спектр входного сигнала в спектр выходного сигнала. Важным достоинством этой характеристики динамики системы является простота получения, наглядная связь с параметрами элементов системы, и что особенно важно - возможность их экспериментального получения. Все многообразие способов анализа и синтеза систем управления с использованием частотных характеристик системы обобщается в понятии – частотный метод. Так, частотные характеристики являются основой единого математического аппарата для следующих этапов проектирования системы управления: - формирование требований к динамическим свойствам системы: -выбор исполнительного устройства; - расчет устройств управления; - учет нелинейностей и погрешностей элементов; - учета случайных воздействий . Представление процесса с помощью ряда Фурье Как известно, спектральное представление периодического установившегося процесса состоит в замене его суммой гармонических функций. Для существования такого представления данный процесс должен удовлетворять условиям Дирихле: быть однозначным, кусочно-непрерывным, иметь конечное число экстремумов. Такая сумма гармонических функций, дающих в каждый момент времени t значение функции называется тригонометрическим рядом Фурье. Ограничиваясь исследованиями функции в области времени , данное разложение в вещественной форме можно записать: где коэффициенты ряда, круговая частота Принципиальной особенностью ряда Фурье является то, что он дает описание установившегося процесса. Такой установившийся процесс исследуется на интервале от t до t+T, при произвольном t - в той области, в которой отсутствует переходная составляющая этого процесса. Амплитудный спектр такого сигнала является линейчатым ( Рис.1.36 ). Представление процесса с помощью преобразования Фурье Полное описание процесса ( на всех стадиях его существования –возникновения, установления и затухания ) дает интегральное преобразование Фурье, которое можно рассматривать, как обобщение ряда Фурье при . Если отображается процесс, удовлетворяющий условию: при , то нижний предел принимается равным нулю, тогда: Результат такого преобразования называют комплексный спектром процесса (функция мнимого частотного аргумента) Заметим, что данное выражение адекватно интегралу Лапласа при замене аргумента s на j. Это позволяет получить выражение для комплексного спектра по изображению Лапласа данного процесса, заменой аргумента s на . При этом, следует учитывать, что такая замена аргументов справедлива только в том случае, если изображение Лапласа данного процесса не содержит полюсов с положительной действительной частью и чисто мнимых. Комплексный спектр можно представить в алгебраической форме Где - вещественный спектр процесса (функция действительного аргумента -); Im F(j) – мнимый спектр процесса (функция действительного аргумента) Данное выражение можно записать в показательной форме: Где A()- амплитудный спектр процесса; - фазовый спектр процесса. Эти спектры являются непрерывными функциями частоты Применение обратного преобразования Фурье дает непрерывную функцию времени. Следует подчеркнуть, что однозначно отображаются только процессы, удовлетворяющие условию: при , Существенно, что нижний предел в интеграле обратного преобразования Фурье должен быть равным бесконечности. Переход к области времени можно упростить , если известен вещественный спектр,: В выражении используется только половина вещественного спектра. Рассмотрим примеры. 1. Используем замену аргументов для получения преобразования Фурье Преобразование Лапласа и комплексный спектр процесса: Вещественный и мнимый спектры (действительные функции): ; Амплитудный спектр: Графики спектров приведены на Рис.1.37 2. Пусть - единичная функция. Тогда, используя полученное выражение для выше рассмотренного примера, получаем: Заметим, что ступенчатая функция изменяется более интенсивно, чем первичная. Данная особенность учитывается в спектре сигнала, имеющем большие амплитудные значения во всем диапазоне частот. 3. Пусть известен вещественный спектр процесса с уровнем равным единице ( Рис.1.38 ) Найдем процесс, соответствующий такому спектру: На Рис.1.39 показан график данной функции. Заметим, что интеграл от данной функции всегда равен единице. При возрастании график функции стремится к единичной импульсной функции . Такой функции будет соответствовать спектр с бесконечной полосой пропускания, содержащей одинаковые амплитуды. Поскольку энергия сигнала пропорциональна квадрату амплитуды, то это соответствует сигналу с бесконечно большой энергией. Аналитическое определение частотных характеристик системы Вернемся к понятию частотной характеристики динамической системы, рассматриваемой в качестве оператора в виде комплексной функции , преобразующей спектр входного сигнала в спектр выходного сигнала. Рассмотрим связь изображений сигналов с помощью передаточной функции Заменим в данном выражении аргументы s на . Комплексные спектры сигналов связаны комплексной функцией частоты, получившей название - частотная характеристика (частотная передаточная функция). Согласно этому выражению, частотную характеристику можно представить как отношение комплексных спектров сигналов: Как и обратное преобразование Лапласа передаточной функции, так и обратное преобразование Фурье, поученной характеристики дает импульсно-переходную функцию системы. АЧХ и ФЧХ Отношение амплитудных спектров выходной и входной переменных ( при одной и той же частоте) называют амплитудной частотной характеристикой системы(АЧХ): ; Разность фазовых спектров (при одной и той же частоте) называют фазовой частотной характеристикой ( ФЧХ). Представим комплексную функцию в алгебраической форме записи : = Здесь А- амплитудная частотная характеристика (АЧХ) ; - фазовая частотная характеристика (ФЧХ). Изображение частотной характеристики на графике, где координатными осями являются действительная и мнимая составляющие комплексной функции называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (Рис.1.40). Каждой точке годографа соответствует значение модуля ЧПФ(длина радиуса-вектора),и значение аргумента ЧПФ. Фазовый угол отсчитывается против часовой стрелки. Рассмотрим пример. Пусть ПФ системы имеет вид: Представим данную ПФ в виде сомножителей: и рассмотрим частотные характеристики отдельных сомножителей: , Для данных комплексных функций определим модуль и аргумент: ; ; Получим АЧХ системы (при произведении комплексных функций модули перемножаются, аргументы складываются): , затем ФЧХ системы Частотные характеристики показаны на Рис.1.41 Построим АФЧХ, изменяя частоту от нуля до бесконечности Рис.1.42 Заметим, что если диапазон изменения функции и аргумента является большим, возникают трудности ( в дальнейшем они преодолеваются при переходе к логарифмическим координатам). Экспериментальное определение частотных характеристик Возьмем некоторую линейную систему(Рис.1.43), на вход которой подадим гармоническое воздействие вида . После окончания переходного процесса на выходе устанавливается реакция гармонического вида с той же частотой : у Изменяя частоту воздействия будем измерять для каждого установившегося колебания на выходе значения амплитуды и фазы. После регистрации этих параметров построим зависимость отношения амплитуды выходного установившегося процесса к амплитуде входного воздействия в функции частоты (Рис.1.44): Функция частоты, описывающую построенную зависимость является амплитудно-частотной характеристикой ( в линейной системе это отношение не зависит от амплитуды входного воздействия и в этом смысле является ее характеристикой). Далее, для каждого значения частоты определим разность фазовых сдвигов: построим зависимость и получим функцию описывающую ее(Рис1.45 ).Это - фазовая частотная характеристика. Как и в предыдущем случае, данная разность фазовых углов не зависит от фазы входного воздействия. Располагая такими характеристиками системы можно определить изменения каждой гармоники спектра входного сигнала произвольной формы (если он известен) и просуммировав результат получить полную реакцию. Именно так организуется современный вычислительный эксперимент, использующий алгоритмы быстрых преобразований Фурье. Таким образом, описать результат преобразования полного процесса входного воздействия можно по установившемуся процессу для каждой отдельной гармоники спектра воздействия. Для систем, воспроизводящих (или парирующих) гармонические воздействия( контур стабилизации отрабатывающий колебания ЛА относительно центра масс) частотные характеристики непосредственно оценивают качество работы системы (локальное свойство ЛЧХ). Параметры частотных характеристик и ее интегральные свойства ( как будет показано ниже) дают оценку поведения переходной функции системы, характеризуют близость системы к границе устойчивости, позволяют оценить ее динамическую точность при воспроизведении воздействия произвольного вида. Лекция 1.7 Логарифмические частотные характеристики системы (ЛЧХ). Содержание: - переход от ЧХ к ЛЧХ; -асимптотическое свойство -общее правило построения ЛАХ; - частотные характеристики типовых звеньев; -практическая методика построения ЛЧХ по передаточной функции Переход от ЧХ к ЛЧХ 1.Для компактного изображения амплитудной частотной характеристики применяют логарифмический масштаб. По оси частотного аргумента откладывается ее десятичный логарифм - , а по оси модуля значения 20lgA.Поскольку начало шкалы логарифма частот отсутствует ( логарифм нуля равен бесконечности) появляется возможность ось ординат располагать в любом месте оси абсцисс. Это позволяет исследовать поведение характеристики в различных диапазонах частот ,начинающихся с необходимых для исследования значений. Например, если интересоваться свойствами системы в диапазоне частот от 0.001 до 1,то разметка оси аргумента должна выглядеть так, как показано на Рис.1.46.Если интересоваться свойствами в диапазоне частот от 10 до 1000,то разметка оси частот приобретает вид, показанный на Рис.1.47. 2.Отрезки оси частот, крайние значения которых отличаются в 10 раз, называются декадами. 3.Единицей измерения функции 20lgA является децибелл [дБ]. Это внесистемная дольная единица логарифмической величины ( Белл используется для оценки отношения мощностей, децибел -часть Белла). 4.При построении ФЧХ в логарифмическом масштабе откладывается только частота. Фазовый угол оценивается в градусах и откладывается по оси в равномерном масштабе. Для удобства исследования ФЧХ изображается на том же графике, что и ЛАЧХ. Условно ось ординат для ФЧХ сдвигается в крайнее правое положение. 5.ЛЧХ удобно строить на миллиметровой бумаге, используя следующие масштабы: 1 декада - 50 мм; 1 децибелл - 1 мм; 2 градуса -1 мм. Шкала оси ординат выглядит, как показано на Рис.1.48. Асимптотическое свойство ЛАЧХ Это свойство заключается в том, что - степенные функции при использовании логарифмического масштаба преобразуются в прямые линии. Такое свойство позволяет при построении ЛЧХ по передаточным функциям, представляющим отношение полиномов, заменять на отдельных диапазонах частот точные ЛАЧХ их асимптотами. Переход к асимптотическим ЛАХ, позволяет : - во-первых - значительно упростить их построение; -во-вторых – проекции точек пересечения соседних асимптот на ось абсцисс (сопрягающие частоты) представляют обратные значения постоянных времени передаточной функции системы Благодаря этому - устанавливается наглядная и простая связь основных параметров динамики системы с ее характеристиками в частотной области. Асимптоты, как правило, имеют наклоны кратные значению 20дБ/дк. Обозначения наклонов асимптот можно упростить, вводя обозначения: Пусть ПФ имеет вид: АЧХ запишется в виде степенной функции: Выражение для ЛАЧХ имеет вид: В логарифмических координатах график этой функции прямая линия с наклоном +3 (Рис.1.49). На том же рисунке показаны ЛЧХ для степенных функций степени «-1» и «-2» . Частотные характеристики типовых звеньев 1. Пропорциональное звено ЛЧХ приведены на Рис.1.50 2.Инерционное звено первого порядка ( апериодическое звено) Частотная ПФ имеет вид : Годограф (АФЧХ) представляет полуокружность единичного радиуса АЧХ имеет вид Рис. 1.51: ЛАХ определяется выражением: График функции имеет две асимптоты пересекающиеся на сопрягающей частоте . Точное значение ЛАЧХ на данной частоте - 3 Рис.1.52 ФЧХ определяется выражением: ФЧХ имеет особые точки, которые используют для ее приближенного построения. Точка пересечения касательной при сопрягающей частоте пересекается с ее начальным уровнем на расстоянии от сопрягающей частоты (Рис.1.53). Точное значение ФЧХ относительно точек пересечения с нулевым уровнем фазы и уровнем -90 определяется поправкой . 3. Интегрирующее звено Частотная ПФ: АФЧХ совпадает с мнимой осью. При имеет разрыв. Точная ЛАХ определяется прямой с наклоном «– 1». ФЧХ определяется постоянным значением: . Характеристики динамики приведены на Рис.1.54 4.Дифференцирующее (идеальное) звено Частотная ПФ: АФЧХ совпадает с мнимой осью. Точная ЛАХ отображается прямой линией с наклоном «+1». ФЧХ определяется постоянным значением «+90». Характеристики показаны на Рис.1.55 Реальное дифференцирующее звено ( операция физического дифференцирования) Имеет ПФ вида : Т- постоянная времени ограничивающая уровень сигнала при частоте стремящейся к бесконечности. Характеристики динамики приведены на Рис.1.56 5. Форсирующее звено первого порядка Графики АЧХ и ФЧХ симметричны по отношению к графикам апериодического звена(Рис.1.57). 6.Колебательное звено Частотная ПФ: Согласно полученному выражению АФЧХ охватывает два квадранта, Рис.1.58 АЧХ имеет вид. Выражение для точной ЛАХ : Асимптотическая ЛАХ содержит две асимптоты: -низкочастотная асимптота – совпадает с осью частот: - высокочастотная асимптота – имеет наклон «-2». Сопрягающая частота Существенная особенность ЛАХ- в области сопрягающей частоты асимптотическая характеристика может значительно отличаться от точной (Рис. 1.59) Параметры резонансного пика (точное значение ЛАХ) оцениваются значениями: - на сопрягающей частоте : На частоте резонанса (соответствует максимальному значению АЧХ) - (не совпадает с собственной частотой); Значение максимума характеристики равно: 20lg Значение собственной частоты находится в диапазоне между значениями и . При увеличении коэффициента демпфирования, частота максимума АЧХ перемещается в область низких частот, а значение максимума АЧХ уменьшается При приближении коэффициента демпфирования к значению частота максимума стремится к нулю, а величина пика к единице. При этом, колебательный процесс , как показывает выражение для переходной функции еще существует . Это процесс превращается в апериодический только после достижения коэффициента демпфирования значения равного единице. При стремлении частота резонанса АЧХ и собственная частота звена стремятся к значению сопрягающей частоты, значение максимума приближается к бесконечно большому значению. Выражение для ФЧХ, в связи с неоднозначностью функции «arctg», определяется двумя зависимостями: - при изменении частоты в интервале от 0 до - при изменении частоты в интервале от до бесконечности 7.Консервативное звено ЧХ имеет вид: При выражение скачком изменяет знак. Это соответствует скачку ФЧХ на -. АФЧХ имеет разрыв на сопрягающей частоте (Рис.1.60). Резонансный пик на ЛАХ равен бесконечности (Рис.1.61). 8.Неминимально- фазовое инерционное (неустойчивое) звено Частотная ПФ: ЛАХ имеет такое же выражение как и у минимально-фазового звена (апериодического) Рис.1.62 Отличие наблюдается в выражении ФЧХ: 9.Не минимально-фазовое форсирующее звено . Звенья такого типа встречаются в составе ПФ некоторых электронных схем( схема в виде моста), используемых для коррекции динамики. АЧХ звена совпадает с АЧХ форсирующего звена минимально-фазового типа. ФЧХ отличается знаком. Характеристики показаны на (Рис.1.63) Не минимально-фазовые звенья второго порядка 10.Не минимально-фазовое колебательное звено При При ЛЧХ такого звена приведены на Рис.1.64 11. Не минимально-фазовое идеальное форсирующее звено ЛЧХ такого звена приведены на Рис.1.65 12. Звено чистого запаздывания. АФЧХ имеет вид окружности единичного радиуса. С ростом частоты сдвиг по фазе неограниченно увеличивается. Характеристики показаны на Рис.1.66 В ограниченной области частот звено чистого запаздывания можно приближенно заменить дробно – рациональным выражением, содержащим неминимально-фазовое форсирующее звено, получающимся при ограничении разложения показательной функции в ряд . При практических расчетах следящих систем с запаздыванием используется ограничение ряда, дающего выражение: ЛЧХ показаны на Рис.1.67 Лекция 1.8. Методика построения ЛЧХ по передаточной функции. Связь частотных характеристик разомкнутой замкнутой следящей системы. Принцип ГООС и идентификации параметров ПФ . Содержание: - методика построения ЛЧХ; -связь ЧХ разомкнутой и замкнутой системы(формулы замыкания в частотной области; -понятие глубокой отрицательной обратной связи(ГООС); - определение (идентификация) ПФ и ее параметров на основе принципа ГООС Методика построения ЛЧХ Пусть ПФ представляет произведение (в числителе и знаменателе) ПФ типовых звеньев (полиномов не выше второго порядка). Заметим, что если исходные полиномы знаменателя и числителя имеют более высокий порядок, то их всегда можно свести к простейшим, определив корни этих полиномов. Итак, в этом случае, ПФ системы имеет вид: Тогда ЛАЧХопределяется выражением: 20lg а ФЧХ : Таким образом, общая ЛАЧХ представляет сумму ЛАЧХ сомножителей ПФ, а ФЧХ -сумму их ФЧХ. Таким образом прямой метод построения ЛЧХ состоит в следующем– исходную ПФ представляют в виде произведения простейших (типовых), затем выполняется построение графиков их асимптотических ЛАХ, а затем их суммирование. Такая процедура построения ЛАХ удобна для понимания роли свойств отдельных динамических звеньев в динамике системы и применяется для систем невысокого порядка. Иллюстрация такого решения приведена на Рис.1.68 для ПФ имеющей вид: Практически более удобна методика построения ЛАЧХ, исключающая операцию суммирования отдельных ЛАХ типовых звеньев, что существенно упрощает их построение, и легко распространяется на системы любого порядка. Согласно данной методике (в отличие от выше рассмотренного) построение ЛАХ производится последовательно в едином процессе увеличения частоты от минимального значения до максимального. В целом такая процедура может быть представлена в виде следующей последовательности этапов. 1 этап . Построение логарифмических координат ( 1 декада -50мм,1дБ - 1мм, 2 градуса - 1мм ) и выбор расположения осей на графике. 2 этап Определение значений сопрягающих частот динамических звеньев и вычисление их десятичных логарифмов, выбор начало отсчета декад для рассматриваемой ЛАЧХ ( при этом от наибольшего и наименьшего значений сопрягающих частот до границ графика должно быть расстояние не менее 1 декады); 3 этап. Нанесение на ось логарифмических значений сопрягающих частот и проведение вертикальных линий на этих значениях 4 этап . Построение первой (самой низкочастотной асимптоты_ЛАХ, соответствующей . Для этого обращаются в ноль все коэффициенты полиномов ПФ, находящихся в скобках, при аргументе , и таким образом, выделяется из общей ПФ - та, которая определяет положение первой асимптоты. Например: При переходе к ЛЧХ ,полученной ПФ соответствует уравнение прямой линии: , с наклоном - «-1», а ее положение относительно оси абсцисс определяется значением ординаты 20lgK на частоте =1 (lg . 5 этап Выполняется построение последующих асимптот в направлении возрастания частоты. При этом, первая асимптота продлевается в направлении возрастания частоты до значения частоты соответствующей ближайшей вертикальной линии (ближайшей сопрягающей частоты). В точке пересечения наклон асимптоты изменяется. Если сопрягающая частота) принадлежит полиному в числителе ПФ, то наклон последующей асимптоты уменьшается, если - знаменателю, то наклон увеличивается. Если данный полином имеет первый порядок, то наклон изменяется (увеличивается или уменьшается) на единицу, если - второй, то на две единицы (Рис.1.69) и т.д. Последняя асимптота ЛАХ продлевается до границы графика. 6 этап. Построение ФЧХ. Для рассматриваемого выражения ПФ, последовательно переходя от одной сопрягающей частоты к другой, в соответствии с изменением наклона асимптот ЛАХ в направлении роста частоты и с учетом ПФ типовых звеньев, составляется аналитическое выражение для ФЧХ: . При приближенном изображении ФЧХ, отдельные ее слагаемые, можно построить по упрощенному алгоритму, рассмотренному при изучении ЛЧХ типовых звеньев. Особые значения ФЧХ , важные для оценки устойчивости системы, рассчитываются по аналитическому выражению. Связь ЧХ разомкнутой и замкнутой системы(формулы замыкания в частотной области Частотная передаточная функция замкнутой стационарной системы связана с ПФ прямой цепи выражением: Переходя к тригонометрической форме записи, на основе формулы Эйлера: получаем: Выделяя модуль и аргумент получаем: Пусть ПФ разомкнутой системы имеет вид: Построим частотные характеристики разомкнутой системы (Рис.1.70) Используя их, проведем анализ формулы связи с АЧХ замкнутой системы. Он показывает, что при ,, Предельные соотношения показывают, что в области низких частот (область значительного «усиления» в разомкнутой системе) амплитудная и фазовая характеристики замкнутой системы стремятся к идеальному виду для следящей системы. Система наиболее точно воспроизводит входное воздействие, обратная связь эффективна. С ростом частоты воздействия (усиление в контуре уменьшается) эффективность обратной связи падает и при частоте воздействия превышающей значение частоты среза (частоты при которой ЛАХ пересекает ось частот) характеристики замкнутой системы приближаются к характеристикам разомкнутой системы. В области этих частот (диапазон высоких частот) обратная связь не вносит никаких изменений в характеристики прямой цепи. Низкочастотный диапазон частот, в котором обратная связь изменяет амплитудную характеристику разомкнутой системы, называют рабочим диапазоном частот (полосой пропускания системы ). Существуют различные оценки ее значения В последующем - ограничим ее частотой среза разомкнутой системы. Заметим, что для приближенного построения характеристик замкнутой системы (с учетом асимптотического свойства характеристик замкнутой системы)"формулы замыкания" достаточно применить в диапазоне "средних частот". В том случае, если обратная связь не является единичной, например, как показано на Рис.1.71 ,получаем: В этом случае для применения "формул замыкания" необходимо использовать АЧХ и ФЧХ для произведения ПФ .Затем полученные характеристики дополнить с учетом характеристик для ПФ Понятие глубокой отрицательной обратной связи(ГООС) Если допустить, что в некотором диапазоне частот выполняется неравенство вида: ,то из формул замыкания следует, что: Данное выражение указывает на то, что АЧХ замкнутой системы, в границах принятого условия , определяются только характеристикой обратной связи. Такую отрицательную обратную связь принято называть глубокой, а неравенство, приведенное выше, - условием глубокой обратной связи. В частности, для следящей системы, как показано выше (Рис.1.72), обратная (единичная) отрицательная связь является глубокой в области низких частот. Данное свойство используется при формировании характеристик системы, обеспечивающих ее желаемые динамические свойства (при решении задач динамического синтеза ). Определение (идентификация) ПФ и ее параметров на основе принципа ГООС Это же свойство можно использовать для приближенного построения асимптотической ЛАХ замкнутого контура и определения постоянных времени системы (или полюсов и нулей ПФ). Такой способ определения параметров ПФ называют способом идентификации параметров ПФ системы на основе свойства ГООС. Процедура идентификации состоит в следующем: 1. Проводится построение асимптотическая ЛАХ прямой цепи контура 2. Проводится построение асимптотическая ЛАХ для ПФ - ; 3. Асимптотическая ЛАХ замкнутого контура определяется как нижняя из построенных ЛАХ. При этом точки пересечения асимптот приближенно равно постоянным времени ПФ замкнутой системы. Данное решение дает возможность просто получить ЛАХ замкнутого контура, не прибегая к точным формулам связи частотных характеристик разомкнутой и замкнутой системы. Особенно это удобно при наличии нескольких отрицательных обратных связей. При этом исследуется роль каждой из них в динамике системы. Для уточнения поведения ЛЧХ и ФЧХ в ограниченной окрестности точек пересечения асимптот ЛАХ, можно использовать поправки для модуля и фазы по точному выражению «формулы замыкания». В приводных системах такое решение удобно при учете отрицательных нагрузочных связей исполнительного устройства : скоростного трения и позиционного момента нагрузки. В системах управления ЛА аналогичное решение достигается при учете аэродинамического момента по углу атаки и демпфирующих моментов по скорости угла тангажа и скорости угла атаки.