Основные уравнения электромагнитного поля

Лекция 3. Основные уравнения электромагнитного поля 3.1. Уравнения Максвелла Электромагнитные волновые процессы подчиняются физическим законам, которые впервые были сформулированы и записаны в виде уравнений английским физиком Дж. К. Максвеллом. Основы теории поля опубликованы им в 1873 г. в работе «Трактат об электричестве и магнетизме». Уравнения Максвелла были получены в результате обобщения накопленных к тому времени экспериментальных данных. Уравнения принято представлять в интегральной и дифференциальной формах записи. 1. Первое уравнение Максвелла описывает закон полного тока: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру l равна полному току, пронизывающему этот контур . (3.1) Полный ток определяется потоком через поверхность S векторов объемной плотности токов проводимости, токов смещения и сторонних токов. В общем случае плотности токов имеют неравномерное распределение на произвольной поверхности S, опирающейся на контур l. В случае постоянных токов и полей выражение (3.1) представляет собой закон Ампера. Для перехода к дифференциальной форме записи закона полного тока в уравнении (3.1) циркуляцию вектора по теореме Стокса заменяем интегралом от по поверхности S . Так как поверхность S произвольная и одна и та же в поверхностных интегралах, то подынтегральные выражения равны . (3.2) Равенство (3.2) называется первым уравнением Максвелла в дифференциальной форме. Изменяющаяся в момент времени t в некоторой точке пространства плотность полного тока порождает в этой точке и в этот момент времени вихревое магнитное поле. Плотность полного тока в уравнении (3.2) содержит три слагаемых, имеющих размерность А/м2. Вектор представляет собой плотность тока проводимости, возникающего в проводящей среде под действием электрического поля. Наряду с плотностью тока проводимости Максвелл вводит вектор и называет его плотностью тока смещения (вектор имеет еще название вектора электрического смещения). Ток смещения устанавливает внутреннюю взаимосвязь переменных электрического и магнитного полей. Если даже в некоторой точке пространства в момент времени t плотность тока проводимости отсутствует, то вихревое меняющееся в пространстве магнитное поле порождается током смещения с плотностью , то есть меняющимся во времени электрическим полем. Таким образом, переменное электрическое поле, так же как и ток проводимости, сопровождается появлением магнитного поля. Плотность тока смещения может быть расписана с учетом (2.7) в виде двух слагаемых . (3.3) Первое слагаемое в правой части этой формулы представляет собой ток смещения в вакууме и соответствует только изменению электрического поля во времени, ток не сопровождается движением электрических зарядов. Второе слагаемое определяет ток смещения в диэлектрической среде, обусловленный упорядоченным движением связанных зарядов в результате действия переменного электрического поля. Примером электрической системы, в которой существует ток смещения, может служить конденсатор в цепи переменного тока. Ток смещения между обкладками конденсатора, разделенными диэлектриком, осуществляет замкнутость электрической цепи. Третий вектор в плотности полного тока (3.2) – вектор называется плотностью стороннего электрического тока и является первичным возбудителем электромагнитного поля. Сторонние токи берут энергию со стороны, не зависят от возбуждаемого ими поля и считаются заданными функциями координат и времени. Например, сторонние токи в антеннах вызываются внешними источниками (генераторами) и не зависят от возбуждаемых антеннами волн. Векторное уравнение (3.2) эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые в декартовой системе координат имеют вид (3.4) 2. Второе уравнение Максвелла является законом электромагнитной индукции: в замкнутом контуре, пронизываемом переменным магнитным потоком, возникает электродвижущая сила, равная скорости изменения этого потока. , (3.5) где l – произвольный замкнутый контур в любой среде; S – произвольная поверхность, опирающаяся на контур. Закон (3.5) устанавливает факт возникновения и величину электрического поля под действием переменного магнитного поля. Если на месте воображаемого контура l разместить реальный контур, выполненный из проводника, то наличие электродвижущей силы приведет к протеканию в проводнике электрического тока в направлении вектора – это известный закон электромагнитной индукции Фарадея, открытый опытным путем. От интегральной формы записи второго уравнения Максвелла (3.5) перейдем к дифференциальной форме. Циркуляцию вектора в (3.5) заменяем по теореме Стокса интегралом от по поверхности S . Так как поверхность S произвольна, то это равенство возможно только при равенстве подынтегральных выражений . (3.6) Это второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме. Оно справедливо в любой точке пространства в любой момент времени и выражает количественную связь между величинами в законе электромагнитной индукции. Векторное уравнение (3.6) эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые в декартовой системе координат имеют вид (3.7) 3. Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса для постоянных и переменных электромагнитных полей: поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S порождается свободным электрическим зарядом Q, находящимся в объеме V, ограниченном поверхностью S . (3.8) Заряд может быть произвольно распределен внутри объема V, ограниченного поверхностью S, поэтому он задается объемной плотностью распределения , имеющей размерность Кл/м3 . (3.9) Подставляем (3.9) в (3.8), получаем . (3.10) Равенство (3.10) представляет собой третье уравнение Максвелла в интегральной форме. Преобразуем левую часть выражения (3.10) по теореме Остроградского-Гаусса . Это равенство должно выполняться при произвольном объеме, что возможно, если равны подынтегральные выражения . (3.11) Выражение (3.11) называется третьим уравнением Максвелла в дифференциальной форме. Из (3.11) следует, что дивергенция вектора отлична от нуля в тех точках пространства, где имеются свободные электрические заряды. В этих точках линии вектора начинаются на положительных зарядах (источники поля) и заканчиваются на отрицательных зарядах (стоки поля). Уравнение (3.11) скалярное и в декартовой системе координат x, y, z оно записывается в виде . (3.12) Аналогично сторонним токам вводятся сторонние заряды, объемная плотность распределения которых добавляется в правые части третьего уравнения Максвелла (3.10) и (3.11) , . (3.13) 4. Четвертое уравнение Максвелла называется законом непрерывности магнитных силовых линий: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю . (3.14) Это означает, что не существует линий вектора , которые только входят в замкнутую поверхность S (или, наоборот, только выходят из поверхности S), линии вектора всегда пронизывают ее. Векторное поле не имеет источников, магнитные заряды не существуют. Линии магнитной индукции непрерывны, они не имеют ни начала, ни конца. От интегральной формы записи четвертого уравнения (3.14) можно перейти к дифференциальной с помощью теоремы Остроградского-Гаусса . Поскольку объем произвольный, то это равенство может выполняться только при условии, что . (3.15) Уравнения (3.15) представляет собой четвертое уравнение Максвелла в дифференциальной форме. 3.2. Система уравнений электромагнитного поля Анализ электромагнитных волновых процессов возможен только на основе системы уравнений, включающей в себя четыре уравнения Максвелла и материальные уравнения, в которых фиксируется влияние среды на протекающие в ней электромагнитные явления (3.16) (3.17) Выделим основные выводы относительно свойств электромагнитного поля. Первые два уравнения Максвелла обладают симметрией в следующем смысле: по первому уравнению изменение во времени электрической индукции порождает вихревое магнитное поле, вектор напряженности которого изменяется в пространстве; по второму уравнению изменение во времени магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле, изменяющееся в пространстве. Электрическое и магнитное поля могут существовать, взаимно порождая друг друга. Из этого следует важный вывод: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно вдали от источника. Возмущения электромагнитного поля (изменения его состояния), распространяющиеся в пространстве, называют электромагнитными волнами. Источниками электромагнитного поля являются электрические заряды и токи. Силовые линии магнитного поля всегда непрерывны. Силовые линии электрического поля непрерывны и могут прерываться на электрических зарядах. Применим операцию дивергенции к обеим частям первого уравнения Максвелла, получим . (3.18) Из (3.18) следует, что линии вектора плотности полного тока непрерывны. Используя третье уравнение Максвелла и (3.18), получаем закон сохранения зарядов: всякое изменение заряда во времени порождает электрический ток , . (3.19) Большинство используемых на практике материальных сред являются линейными. В этом случае электромагнитные поля удовлетворяют принципу суперпозиции: поле, созданное несколькими источниками, можно рассматривать как сумму полей, созданных каждым источником. Системы (3.16) и (3.17) описывают любые поля (статические, стационарные, квазистационарные, нестационарные) в любой среде. 3.3. Система уравнений монохроматического электромагнитного поля Большинство реальных источников возбуждают гармонические электромагнитные поля, то есть поля, изменяющиеся во времени по синусоидальному закону с определенной частотой. Такие поля получили еще название монохроматические, то есть «одноцветные» (термин взят из оптики). Монохроматические поля обладают энергией, но не несут информации. Информация будет передаваться, если в соответствии с заданным законом или случайным образом будут меняться амплитуда, частота и фаза электромагнитных волн. Это эквивалентно использованию группы (спектра) монохроматических волн, определенное суммирование которых дает электромагнитный сигнал, переносящий информацию. Связь составляющих спектра с этим сигналом производится с помощью преобразования Фурье. Знание поведения монохроматических волн с произвольными частотами в реальных условиях (естественные трассы распространения, линии передач, и т.д.) позволяют анализировать поведение сложных сигналов в тех же условиях. При изучении монохроматических полей, подчиняющихся линейным уравнениям Максвелла, эффективно используется метод комплексных амплитуд. Суть метода заключается в том, что векторным и скалярным величинам, входящим в системы (3.16), (3.17), приводятся в соответствие комплексные амплитуды. Связь между физическими величинами и их комплексными амплитудами покажем, например, для вектора напряженности электрического поля . Мгновенное значение вектора , изменяющегося во времени по гармоническому закону, в некоторой точке пространства записывается так: . (3.20) Здесь – амплитуды и фазы отдельных составляющих вектора , которые все являются действительными величинами. Фазы будут определены далее при решении волновых уравнений и учете особенностей поляризации волн. Запись (3.20) может быть переписана как действительная часть (Re) комплексного вектора . (3.21) Вектор (3.22) не зависит от времени и называется комплексной амплитудой. Здесь и в дальнейшем комплексные амплитуды будут помечаться точками сверху. Мгновенное значение вектора (3.20), гармонически изменяющегося во времени, выражается через комплексную амплитуду следующим образом: . (3.23) Аналогичным образом вводятся комплексные амплитуды для всех физических величин, входящих в уравнения (3.16), (3.17) и колеблющихся с частотой . Например, для скалярных функций объемных плотностей свободных и сторонних зарядов имеем , . (3.24) Уравнения Максвелла являются линейными дифференциальными уравнениями. В случае монохроматического поля этим же уравнениям будут удовлетворять соответствующие комплексные векторные и скалярные функции. Возьмем первое уравнение Максвелла из системы (3.16), подставим комплексные векторы , продифференцируем по времени, сократим и получим уравнение для комплексных амплитуд . (3.25) Преобразуем уравнение (3.25) к следующему виду: , (3.26) где – комплексная диэлектрическая проницаемость среды. Третье уравнение Максвелла для комплексных амплитуд примет вид . (3.27) В теории монохроматических электромагнитных полей свободные заряды в среде обычно не рассматриваются, поскольку в силу уравнения непрерывности (3.19) они однозначно определяются токами проводимости . Последнее соотношение подставляем в (3.27), получаем . (3.28) Второе и четвертое уравнения Максвелла системы (3.16), а также материальные уравнения системы (3.17) без дополнительных преобразований сразу записываются для комплексных амплитуд. Система уравнений для монохроматического электромагнитного поля принимает следующий вид (3.29); (3.30) Такая форма записи уравнений монохроматического поля применима в достаточно широком диапазоне частот и наиболее употребительна для практических расчетов. Уравнения записаны для комплексных амплитуд, являющихся функциями трех пространственных координат и не зависящих от времени. Таким образом, из уравнений исключена временная переменная. Если решением электродинамической задачи найдены комплексные амплитуды векторов поля, то их мгновенные значения восстанавливаются по формуле (3.23). Вернемся к введенной комплексной диэлектрической проницаемости . Введя этот параметр, можно одновременно учесть диэлектрические (поляризационные) и проводящие свойства среды. Комплексная диэлектрическая проницаемость может быть изображена на комплексной плоскости (рис. 3.1) Рис. 3.1. Угол диэлектрических потерь Соотношение между действительной и мнимой частями можно описать тангенсом угла . (3.31) Величина (3.31) называется тангенсом угла диэлектрических потерь. С другой стороны тангенс угла потерь равен отношению амплитуды плотности тока проводимости к амплитуде плотности тока смещения . (3.32) Для монохроматического поля комплексные амплитуды векторов плотности тока проводимости и плотности тока смещения равны соответственно . Тангенс угла диэлектрических потерь является критерием деления сред на проводники и диэлектрики. Если , то в веществе плотность тока проводимости намного больше плотности тока смещения, и вещество называется проводником. Если , то в веществе плотность тока смещения намного больше плотности тока проводимости, и вещество называют диэлектриком. Металлы имеют большую удельную проводимость, поэтому у металлов на всех частотах радиодиапазона. У типичных диэлектриков, наоборот, удельная проводимость очень мала, например, у кварца , у стекла . Существуют среды, у которых проводимость незначительна: у морской воды , у влажной почвы . Такие среды на низких частотах проявляют свойства проводников (), а на высоких частотах – свойства диэлектриков (). При математическом анализе электромагнитных волн применяют понятие идеального диэлектрика и идеального проводника. Если , то среда (вещество) называется идеальным диэлектриком. Идеальный проводник – это среда с бесконечно большой удельной проводимостью (). Переменное электромагнитное поле не проникает в идеальный проводник, т.е. в нем и . Предположим от противного, что внутри идеального проводника , тогда плотность тока проводимости . Сторонних источников, которые могли бы компенсировать бесконечные потери на нагревание, не существует. Остается предположить, что при поле . Тогда из второго уравнения Максвелла следует, что , т.е. внутри идеального проводника в отсутствии электрического поля переменное магнитное поле существовать не может. Таким образом, в идеальном проводнике и , поэтому идеальный проводник, находящийся в электромагнитном поле, тепловых потерь в поле не вносит. Понятия идеальных проводников и диэлектриков упрощают решение практически значимых задач, результаты которых могут быть использованы для реальных сред, близких по свойствам к идеальным.