Основные теоремы теории вероятностей

26 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Ëåêöèÿ 2. Îñíîâíûå òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü. Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé. Òåîðåìû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëà Áàéåñà. Ïîâòîðíûå íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ. Ôîðìóëà Áåðíóëëè. Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè. Ïóàññîíîâñêèé ïðåäåë. Ëîêàëüíàÿ è èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìû Ìóàâðà-Ëàïëàñà. 2.1. Òåîðåìà ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé Êàê áûëî äîêàçàíî â ëåêöèè 1 (òåîðåìà 1.2) âåðîÿòíîñòü ñóììû äâóõ íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé ðàâíà ñóììå èõ âåðîÿòíîñòåé (ôîðìóëà 1.16). Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå: 2.1. Âåðîÿòíîñòü ñóììû n ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé ðàâíà ñóììå èõ âåðîÿòíîñòåé: Ñëåäñòâèå P (A1 + . . .+An ) = P (A1 )+ . . .+P (An ), åñëè Ai Aj = V ïðè i ̸= j. (2.1)  îáùåì ñëó÷àå âåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà: Òåîðåìà 2.1 (Òåîðåìà ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé). Âåðîÿòíîñòü ñóì- ìû äâóõ ñîáûòèé ðàâíà ñóììå èõ âåðîÿòíîñòåé ìèíóñ âåðîÿòíîñòü èõ ïðîèçâåäåíèÿ: P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB). (2.2) Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì n  îáùåå ÷èñëî âîçìîæíûõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, m1  ÷èñëî èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ À, m2  ÷èñëî èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ Â, m  ÷èñëî èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ îäíîâðåìåííîìó íàñòóïëåíèþ ñîáûòèé À è  (ñì. ðèñ. 2). Êàê âèäíî èç ðèñ. 2, êîëè÷åñòâî èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A+B, ðàâíî m1 + m2 − m. Ñëåäîâàòåëüíî: m1 + m2 − m P (A + B) = = n m1 m2 m = + − = P (A) + P (B) − P (AB). n n n Ïðèìåð 2.1. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ êàðòû ïèêîâîé ìàñòè èëè òóçà ïðè îäíîêðàòíîì âûíèìàíèè êàðòû èç êîëîäû â 36 êàðò. Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 27 m1 A m m2 Ðèñ. 2. B Èëëþñòðàöèÿ òåîðåìû ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé IÎáîçíà÷èì A  ïîÿâëåíèå êàðòû ïèêîâîé ìàñòè, B  ïîÿâëåíèå òóçà è íàéäåì âåðîÿòíîñòü P (A + B). Î÷åâèäíî: 1 P (A) = , 4 1 P (B) = , 9 P (A · B) = 1 . 36  ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (2.2), ïîëó÷àåì: 1 1 1 1 P (A + B) = + − = ≈ 0,333.J 4 9 36 3 2.2. Òåîðåìà ïðîèçâåäåíèÿ âåðîÿòíîñòåé Îïðåäåëåíèå 2.1. Óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ P (A/B) = PB (A) íàçûâàþò âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A, âû÷èñëåííóþ â ïðåäïîëîæåíèè òîãî, ÷òî ñîáûòèå B óæå íàñòóïèëî. 2.2.  óðíå 3 áåëûõ è 3 ÷¼ðíûõ øàðà. Èç óðíû äâàæäû âûíèìàþò ïî îäíîìó øàðó, íå âîçâðàùàÿ èõ îáðàòíî. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ áåëîãî øàðà ïðè âòîðîì èñïûòàíèè (ñîáûòèå A) ïðè óñëîâèè, ÷òî â ïåðâîì èñïûòàíèè ïîÿâèëñÿ ÷¼ðíûé øàð (ñîáûòèå Â). Ïðèìåð IÏîñëå ïåðâîãî èñïûòàíèÿ â óðíå îñòàëîñü 5 øàðîâ, èç íèõ 3 áåëûõ. Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà: P (A/B) = 3/5 = 0,6. 28 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Îòìåòèì, ÷òî áåçóñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ìåíüøå óñëîâíîé: 3 P (A) = = 0,5, 6 ò.ê. â ïîñëåäíåì ñëó÷àå îòñóòñòâóåò èíôîðìàöèÿ îòíîñèòåëüíî èñõîäà ïåðâîãî èñïûòàíèÿ.J Òåîðåìà 2.2 (Òåîðåìà ïðîèçâåäåíèÿ âåðîÿòíîñòåé). Âåðîÿòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ñîáûòèé ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòè îäíîãî èç íèõ íà óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü äðóãîãî, âû÷èñëåííóþ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïåðâîå ñîáûòèå óæå íàñòóïèëî: P (AB) = P (A) · P (B/A). (2.3) Îáîçíà÷èì n  îáùåå êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, m1  ÷èñëî èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A, m  ÷èñëî èñõîäîâ èç ÷èñëà m1 , áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ B (ðèñ. 2). Î÷åâèäíî: P (A) = m1 /n, P (A · B) = m/n, P (B/A) = m/m1 . Òàêèì îáðàçîì: m m1 m P (AB) = = · = P (A) · P (B/A). n n m1 Äîêàçàòåëüñòâî. 2.2. Âåðîÿòíîñòü ñîâìåñòíîãî ïîÿâëåíèÿ íåñêîëüêèõ ñîáûòèé ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé îäíîãî èç íèõ íà óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè âñåõ îñòàëüíûõ: Ñëåäñòâèå P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 )P (A2 /A1 )P (A3 /A1 A2 ) . . . P (An /A1 A2 . . . An−1 ). (2.4) Îïðåäåëåíèå 2.2. Ñîáûòèå B íàçûâàþò íåçàâèñèìûì îò ñîáûòèÿ A, åñëè ïîÿâëåíèå ñîáûòèÿ A íå èçìåíÿåò âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ B : P (B/A) = P (B). (2.5) Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ñâîéñòâî íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé âçàèìíî. Äåéñòâèòåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.3) è ñ ó÷¼òîì ôîðìóëû (2.5): P (A · B) = P (A) · P (B/A) = P (A) · P (B). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, P (A · B) = P (B · A) = P (B) · P (A/B), îòêóäà, P (A) · P (B) = = P (B) · P (A/B) è P (A/B) = P (A), ò.å. â ýòîì ñëó÷àå ñîáûòèå A íåçàâèñèìî îò ñîáûòèÿ B è èõ íàçûâàþò íåçàâèñèìûìè. Äëÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé, ñ ó÷¼òîì îïðåäåëåíèÿ 2.2, òåîðåìà ïðîèçâåäåíèÿ âåðîÿòíîñòåé 2.3 ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä. Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 29 Òåîðåìà 2.3. Âåðîÿòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ èõ âåðîÿòíîñòåé. P (A · B) = P (A) · P (B). (2.6) 2.3. Íåñêîëüêî ñîáûòèé íàçûâàþò íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè êàæäîå ñîáûòèå íåçàâèñèìî ñî âñåìè îñòàëüíûìè ñîáûòèÿìè è èõ âîçìîæíûìè ïðîèçâåäåíèÿìè. Îïðåäåëåíèå Îòìåòèì, ÷òî åñëè êàæäûå äâà ñîáûòèÿ â ãðóïïå íåçàâèñèìû, ýòî åù¼ íå îçíà÷àåò èõ íåçàâèñèìîñòè â ñîâîêóïíîñòè.  ýòîì ñìûñëå òðåáîâàíèå íåçàâèñèìîñòè â ñîâîêóïíîñòè ñèëüíåå òðåáîâàíèÿ ïîïàðíîé íåçàâèñèìîñòè. Ñ ó÷¼òîì ñëåäñòâèÿ 2.2 ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ñëåäñòâèå 2.3. Âåðîÿòíîñòü ñîâìåñòíîãî ïîÿâëåíèÿ íåñêîëüêèõ ñîáûòèé, íåçàâèñèìûõ â ñîâîêóïíîñòè, ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé: P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 )P (A2 ) . . . P (An ). Òåîðåìà 2.4. Âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ õîòÿ áû îäíîãî èç ñîáûòèé A1 , A2 , . . . , An , íåçàâèñèìûõ â ñîâîêóïíîñòè, ðàâíà ðàçíîñòè åäèíèöû è ïðîèçâåäåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïðîòèâîïîëîæíûõ ñîáûòèé Ā1 , Ā2 , . . . , Ān : P (A) = 1 − P (Ā1 )P (Ā2 ) . . . P (Ān ). Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì Ā  ïðîòèâîïîëîæíîå ê A ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â íåíàñòóïëåíèè íè îäíîãî èç ñîáûòèé A1 , A2 , . . . , An : Ā = Ā1 Ā2 . . . , Ān .  ñèëó íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé A1 , A2 , . . . , An , ñîáûòèÿ Ā1 , Ā2 , . . . Ān áóäóò òàê æå íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè è P (Ā) = P (Ā1 )P (Ā2 ) . . . P (Ān ), îòêóäà P (A) = 1 − P (Ā) = 1 − P (Ā1 )P (Ā2 ) . . . P (Ān ). Ñëåäñòâèå 2.4. Åñëè ñîáûòèÿ A1 , A2 , . . . , An íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè è èìåþò îäèíàêîâóþ âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ p, òî âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ õîòÿ áû îäíîãî èç ýòèõ ñîáûòèé (ñîáûòèå A) ðàâíà: P (A) = 1 − (1 − p)n . (2.7) 30 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Ïðèìåð 2.3. Èç êîëîäû â 36 êàðò ñðàçó âûíèìàþò 2 êàðòû. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè íèõ íå áóäåò êàðòû ïèêîâîé ìàñòè (Ñîáûòèå A)? IÄëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîèçîøëî èñêîìîå ñîáûòèå A, íåîáõîäèìî ÷òîáû îäíîâðåìåííî ïðîèçîøëè äâà ñîáûòèÿ: A1  ïåðâàÿ âûíóòàÿ êàðòà íå ïèêîâàÿ; A2  âòîðàÿ âûíóòàÿ êàðòà íå ïèêîâàÿ. Ýòè ñîáûòèÿ çàâèñèìû, ïîýòîìó P (A) = P (A1 · A2 ) = P (A1 ) · P (A2 /A1 ). P (A1 ) = 24/36. Òàê êàê ñîáûòèå A1 ïðîèçîøëî, ò.å. âûíóëè êàðòó íå ïèêîâîé ìàñòè. Ïîýòîìó â êîëîäå óæå íå 36, à 35 êàðò, ïðè÷¼ì êàðò íå ïèêîâîé ìàñòè îñòàëîñü 23. Ïîýòîìó P (A2 /A1 ) = 23/35. 24 23 24 · 23 46 Ñëåäîâàòåëüíî, P (A) = · = = ≈ 0,438.J 36 35 36 · 35 105 46 Îòâåò: ≈ 0,438. 105 Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü äðóãèì ñïîñîáîì, èñïîëüçóÿ êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé è ôîðìóëû äëÿ ñî÷åòàíèé. m 2 IP (A) = , ãäå n = C36  ÷èñëî âñåâîçìîæíûõ èñõîäîâ äàííîãî n 2  ÷èñëî èñõîäîâ áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ïîÿâëåèñïûòàíèÿ, à m = C24 íèþ ñîáûòèÿ A. C2 24! 2! · 34! 24 · 23 46 P (A) = 24 = = = ≈ 0,438.J 2 C36 2! · 22! 36! 36 · 35 105 2.4. Èç ïàðòèè, ñîäåðæàùåé 100 îäèíàêîâûõ äåòàëåé, äëÿ êîíòðîëÿ ïàðòèè èçâëåêàþòñÿ 5 äåòàëåé. Óñëîâèåì íåïðèãîäíîñòè âñåé ïàðòèè ÿâëÿåòñÿ ïîÿâëåíèå õîòÿ áû îäíîé áðàêîâàííîé äåòàëè ñðåäè êîíòðîëèðóåìûõ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïàðòèÿ áóäåò ïðèíÿòà, åñëè îíà ñîäåðæèò 5% íåèñïðàâíûõ äåòàëåé? Ïðèìåð I Ïóñòü A  èñêîìîå ñîáûòèå. Ai  ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî i  àÿ ïðîâåðÿåìàÿ äåòàëü èñïðàâíà, i = 1, 2, 3, 4, 5. Î÷åâèäíî, A = A1 A2 A3 A4 A5 . Ïðèìåíÿåì òåîðåìó î ïðîèçâåäåíèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ n ñîáûòèé (2.4) P (A) = P (A1 )·P (A2 /A1 )·P (A2 /A1 A2 )·P (A3 /A1 A2 A3 )·P (A4 /A1 A2 A3 A4 )× 95 94 93 93 91 8277217 ×P (A5 /A1 A2 A3 A4 ) = · · · · = ≈ 0,7696.J 100 99 98 97 96 10755360 8277217 Îòâåò: ≈ 0,7696. 10755360 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 31 Ïðèìåð 2.5.  óðíå 2 áåëûõ è 4 ÷åðíûõ øàðà. Äâà èãðîêà ïîî÷åðåäíî èçâëåêàþò øàð (áåç âîçâðàùåíèÿ). Âûèãðûâàåò òîò, êòî ïåðâûì âûíåò áåëûé øàð IÂîçìîæíûå èñõîäû äàííîãî îïûòà çàêàí÷èâàþòñÿ âûòàñêèâàíèåì áåëîãî øàðà  ñîáûòèå Aá : Aá , A÷ Aá , A÷ A÷ Aá , A÷ A÷ A÷ A÷ Aá , A÷ A÷ A÷ A÷ Aá . Èñõîäû â êîòîðûõ âûèãðàåò ïåðâûé ó÷àñòíèê (ñîáûòèå A1 ): A1 = Aá + A÷ A÷ Aá + A÷ A÷ A÷ A÷ Aá . Èñõîäû â êîòîðûõ âûèãðàåò âòîðîé ó÷àñòíèê (ñîáûòèå A2 ): A2 = A÷ Aá + A÷ A÷ A÷ Aá . Íàéä¼ì âåðîÿòíîñòè ýòèõ ñîáûòèé. 2 4 3 2 4 3 2 1 2 1 1 1 3 P (A1 ) = + · · + · · · · = + + = . 6 6 5 4 6 5 4 3 2 3 5 15 5 4 2 4 3 2 2 2 4 2 2 P (A2 ) = · + · · · · = + = .J 6 5 6 5 4 3 2 15 15 5 3 2 Îòâåò: P (A1 ) = ; P (A2 ) = . 5 5 Ïðèìåð 2.6. Íà ïóòè äâèæåíèÿ àâòîìàøèíû äî êîíå÷íîãî ïóíêòà 3 ñâåòîôîðà, êàæäûé èç êîòîðûõ ëèáî ðàçðåøàåò äàëüíåéøåå äâèæåíèå àâòîìîáèëÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ p = 0,3, ëèáî çàïðåùàåò ñ âåðîÿòíîñòüþ q = 0,7. Íàéòè âåðîÿòíîñòü, ÷òî ÷èñëî îñòàíîâîê àâòîìîáèëÿ íà ñâåòîôîðàõ ðàâíî: à) 0; á) 1; â) 2 ã) 3? IÎáîçíà÷èì: A  ñîáûòèÿ ñîñòîÿùèå â òîì, ÷òî àâòîìîáèëü áåç îñòàíîâêè ïðîåçæàåò òåêóùèé ñâåòîôîð. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è P (A) = p = 0,3 ⇒ P (A) = q = 0,7; Ai  ñîáûòèÿ ñîñòîÿùèå â òîì, ÷òî àâòîìîáèëü ïðîåäåò ïåðâûå i ñâåòîôîðîâ áåç îñòàíîâêè. Íàéäåì âåðîÿòíîñòè P (Ai ), ïðîèñõîæäåíèÿ äàííûõ ñîáûòèé. à) Ñîáûòèå A0 îçíà÷àåò, ÷òî àâòîìîáèëü ïðîåõàë âñå òðè ñâåòîôîðà áåç îñòàíîâîê. Ýòî ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùåé ôîðìóëîé: A0 = A · A · A. Òàê êàê ñîáûòèÿ íåçàâèñèìû, òî ïðèìåíÿåì ôîðìóëó (2.3). Ïîëó÷àåì P (A0 ) = P (A) · P (A) · P (A) = p3 = 0,027. á) Ñîáûòèå A1 îçíà÷àåò, ÷òî àâòîìîáèëü ïðîåõàë äâà ñâåòîôîðà áåç îñòàíîâîê è îäèí ñ îñòàíîâêîé (îñòàíîâèëñÿ íà ïåðâîì, âòîðîì èëè òðåòüåì ñâåòîôîðàõ). Ýòî ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùåé ôîðìóëîé: A1 = A · A · A + A · A · A + A · A · A. Ïîëó÷àåì P (A1 ) = q · p · p + p · q · p + p · p · q = 3 · 0,7 · 0,32 = 0,189. 32 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. â) Ñîáûòèå A2 îçíà÷àåò, ÷òî àâòîìîáèëü ïðîåõàë îäèí ñâåòîôîð áåç îñòàíîâêè è íà äâóõ îñòàíàâëèâàëñÿ (íå îñòàíîâèëñÿ íà ïåðâîì, âòîðîì èëè òðåòüåì ñâåòîôîðàõ). Ýòî ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùåé ôîðìóëîé: A2 = A · A · A + ·A · A · A + A · A · A. Ïîëó÷àåì P (A2 ) = p · q · q + q · p · q + q · q · p = 3 · 0,72 · 0,3 = 0,441. ã) Ñîáûòèå A3 îçíà÷àåò, ÷òî àâòîìîáèëü îñòàíàâëèâàëñÿ íà âñåõ òð¼õ ñâåòîôîðàõ, ò.å. A3 = A · A · A. P (A3 ) = q 3 = 0,73 = 0,343. Ñóììà íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé A0 , A1 , A2 , A3 îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó. Ïîýòîìó P (A0 ) + P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 ) = 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 = 1.J Îòâåò: à) 0,027; á) 0,189; â) 0,441; ã) 0,343. 2.7. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè îäíîì âûñòðåëå ñòðåëîê ïîïàäàåò â öåëü, ðàâíà 0,4. Ñêîëüêî âûñòðåëîâ äîëæåí ïðîèçâåñòè ñòðåëîê, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå 0,9 îí ïîïàë â öåëü õîòÿ áû îäèí ðàç. Ïðèìåð IÎáîçíà÷èì A  ñîáûòèå: ¾ïðè n âûñòðåëàõ ñòðåëîê ïîïàäàåò â öåëü õîòÿ áû îäèí ðàç¿.  ñèëó íåçàâèñèìîñòè îòäåëüíûõ ïîïàäàíèé ïðèìåíèìà ôîðìóëà (2.7): P (A) = 1 − (1 − 0,4)n . Ïðèíÿâ âî âíèìàíèå óñëîâèå P (A) > 0,9, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî: 1 − 0,6n > 0,9, îòêóäà: n ln 0,6 6 ln 0,1 è, ò.ê. ln 0,6 < 0, ïîëó÷àåì: n > ln 0,1/ ln 0,6. Ïîñêîëüêó ln 0,1/ ln 0,6 ≈ 4,5 ïîëó÷àåì: n > 5.J Îòâåò: > 5. 2.3. Íàä¼æíîñòü ñõåì Ïðèìåð 2.8. Ðåëåéíàÿ ñõåìà ñîñòîèò èç 10 ýëåìåíòîâ òð¼õ òèïîâ A1 , A2 è A3 , ðèñ. 3,a). Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çà âðåìÿ T ýëåìåíòû íå âûéäóò èç ñòðîÿ èçâåñòíà è ðàâíà: P (A1 ) = 0,7, P (A2 ) = 0,6, P (A3 ) = 0,9. Íàéòè âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñõåìû. I Ñîáûòèå ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ñõåìà ðàáîòàåò áåçîòêàçíî â òå÷åíèè âðåìåíè T îáîçíà÷èì A. Âåðîÿòíîñòü òàêîãî ñîáûòèÿ A íàçûâàåòñÿ íàä¼æíîñòüþ ñõåìû. Îáîçíà÷èì íàä¼æíîñòè ýëåìåíòîâ P (A1 ) = p1 = 0,7, P (A2 ) = p2 = 0,6, P (A3 ) = p3 = 0,9. Òîãäà âåðîÿòíîñòè îòêàçà ýëåìåíòîâ qi = 1 − pi áóäóò ðàâíû P (A1 ) = q1 = 0,3, P (A2 ) = q2 = 0,4, P (A3 ) = q3 = 0,1. Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Ðèñ. 3. 33 Ïðèìåð 2.8 Âûäåëèì èç èññëåäóåìîé ñõåìû áëîêè B1 ðèñ. 3,b) è B2 , ðèñ. 3,c). Íàéä¼ì èõ íàä¼æíîñòü. Áëîê B1 â ñâîþ î÷åðåäü ñîñòîèò èõ äâóõ ïàðàëëåëüíî ñîåäèí¼ííûõ áëîêîâ ñîäåðæàùèõ ïî äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýëåìåíòà, íàçîâ¼ì èõ C1 è C2 , ðèñ. 3,d).  áëîêå B2 òàêæå âûäåëèì àíàëîãè÷íûé áëîê C3 . Íàéä¼ì íàä¼æíîñòü áëîêîâ C1 , C2 è C3 , ñîñòîÿùèõ èç äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ. Ýòè áëîêè áóäóò ðàáîòîñïîñîáíû, êîãäà ðàáîòàþò îáà ýëåìåíòà. Òàê êàê îíè ðàáîòàþò íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, ïîýòîìó ìîæíî ïðèìåíèòü òåîðåìó î âåðîÿòíîñòè ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé. P (C1 ) = P (A1 ) · P (A2 ) = p1 · p2 = 0,42, P (C2 ) = P (A1 ) · P (A3 ) = = p1 · p3 = 0,63, P (C3 ) = P (A2 ) · P (A3 ) = p2 · p3 = 0,54. Íàéä¼ì òåïåðü íàä¼æíîñòü áëîêîâ B1 è B2 . Ñ ó÷¼òîì îáîçíà÷åíèé ðèñ. 3,d), ïîëó÷àåì ñõåìû ïàðàëëåëüíî ñîåäèí¼ííûõ ýëåìåíòîâ, ðèñ. 3,e) è f). Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ ñõåìà ðàáîòîñïîñîáíà, êîãäà ðàáîòàåò õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàä¼æíîñòè ïàðàëëåëüíîãî áëîêà íàõîäèì ñíà÷àëà âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ  âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áëîê âûøåë èç ñòðîÿ, ò.å. ÷òî âñå ýëåìåíòû íåðàáîòîñïîñîáíû, à çàòåì ïðèìåíÿåì ôîðìóëó äëÿ ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ. 34 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. P (D1 ) = 1−P (C1 )·P (C2 ) = 1−(1−P (C1 ))·(1−P (C2 )) = 1−0,58·0,37 = = 1 − 0,2146 = 0,7854. P (D2 ) = 1 − P (A1 ) · P (A2 ) · P (C3 ) = 1 − (1 − P (A1 )) · (1 − P (A2 )) × × (1 − P (C3 )) = 1 − 0,3 · 0,4 · 0,46 = 1 − 0, 0552 = 0,9448. Íàêîíåö, çàìåíÿåì áëîêè B1 è B2 ýëåìåíòàìè D1 è D2 , ïîëó÷àåì ñõåìó ÷åòûð¼õ ïîñëåäîâàòåëüíûõ áëîêîâ, ðèñ. (3,g). Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ïðîèçâåäåíèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé, ïîëó÷àåì P (A) = P (A1 ) · P (D1 ) · P (D2 ) · P (A1 ) = 0,72 · 0,7854 · 0,9448 = 0,3636.J Çàìå÷àíèå 2.1. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè îòêàçà ñõåìû Q = P (A),íàõîäèì ñíà÷àëà íàä¼æíîñòü ñõåìû P = P (A), à çàòåì íàõîäèì âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ Q = P (A) = = 1 − P (A). Äëÿ òåõ êòî íå ïîíÿë ðåøåíèÿ ïðèìåðà (2.8) ðàññìîòðèì áîëåå ïðîñòûå çàäà÷è íà ýëåêòðè÷åñêèå öåïè. V1 bb R b  b b b  b b ∼ V2 bb  L @@  Ðèñ. 4. Ê ïðèìåðó 2.9 Ïðèìåð 2.9.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ðèñ. 4) âûêëþ÷àòåëè V1 è V2 íåçàâèñèìî çàìêíóòû ñ âåðîÿòíîñòÿìè p1 = 0,2 è p2 = 0,6 ñîîòâåòñòâåííî. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ïðè âêëþ÷åíèè ðóáèëüíèêà R ëàìïî÷êà L: à) çàãîðèòñÿ á)íå çàãîðèòñÿ? Ïóñòü A1  ñîáûòèå ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ëàìïî÷êà çàãîðèòñÿ. Òîãäà ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèå A1 = A2  ëàìïî÷êà íå çàãîðèòñÿ. a) IÏðè ïàðàëëåëüíîé êîììóòàöèè âûêëþ÷àòåëåé ëàìïî÷êà L çàãîðàåòñÿ, åñëè çàìêíóò õîòÿ áû îäèí âûêëþ÷àòåëü, è íå çàãîðàåòñÿ, åñëè âñå îíè îäíîâðåìåííî ðàçîìêíóòû. Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 35 Ïîýòîìó íàõîäèì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáà âûêëþ÷àòåëè ðàçîìêíóòû P (A2 ) = P (A1 ) = (1 − p1 ) · (1 − p2 ) = 0,8 · 0,4 = 0,32. P (A1 ) = 1 − P (A2 ) = 1 − 0,32 = 0,68.J á) Çàäà÷à ðåøåíà â ïðîöåññå ðåøåíèÿ çàäà÷è à). Îòâåò: a) 0,68; á) 0,32. 2.10.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ðèñ. 4) âûêëþ÷àòåëè V1 è V2 íåçàâèñèìî ðàçîìêíóòû ñ âåðîÿòíîñòÿìè q1 = 0,2 è q2 = 0,6 ñîîòâåòñòâåííî. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ïðè âêëþ÷åíèè ðóáèëüíèêà R ëàìïî÷êà L: à) çàãîðèòñÿ á)íå çàãîðèòñÿ? Ïðèìåð IÎáîçíà÷èì A1 , A2  èñêîìûå ñîáûòèÿ äëÿ çàäà÷è a) è á), ñîîòâåòñòâåííî.  äàííîì ïðèìåðå çàäàíû âåðîÿòíîñòè q1 è q2 ðàçîìêíóòîñòè âûêëþ÷àòåëåé. Âåðîÿòíîñòè çàìêíóòîñòè âûêëþ÷àòåëåé ðàâíû p1 = = 1 − q1 = 0,8 è p2 = 1 − q2 = 0,4. Íî äëÿ ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è îíè íå ïîíàäîáÿòñÿ. a)IËàìïî÷êà çàãîðèòñÿ êîãäà áóäåò çàìêíóò õîòÿ áû îäèí âûêëþ÷àòåëü. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèìåíÿåì ôîðìóëó P (A1 ) = 1 − P (A1 ). P (A1 ) = q1 · q2 = 0,2 · 0,6 = 0,12. ⇒ P (A1 ) = 0,88.J á) IP (A2 ) = q1 · q2 = 0,2 · 0,6 = 0,12. JJ Îòâåò: a) 0,88 ) 0,12. R b ∼ b  b b   b b V1  b  b V2  b  b L  @ @  Ðèñ. 5. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå äâóõ ýëåìåíòîâ Ïðèìåð 2.11.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ðèñ. 5) âûêëþ÷àòåëè V1 è V2 íåçàâèñèìî ðàçîìêíóòû ñ âåðîÿòíîñòÿìè q1 = 0,3 è q2 = 0,1 ñîîòâåòñòâåííî. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ïðè âêëþ÷åíèè ðóáèëüíèêà R ëàìïî÷êà L: à) çàãîðèòñÿ (ñîáûòèå A1 ) á)íå çàãîðèòñÿ (ñîáûòèå A2 )? I  äàííîì ïðèìåðå çàäàíû âåðîÿòíîñòè ðàçîìêíóòîñòè âûêëþ÷àòåëåé (q1 è q2 ). Âåðîÿòíîñòè çàìêíóòîñòè âûêëþ÷àòåëåé ðàâíû p1 = 1 − q1 = 0,7 è p2 = 1 − q2 = 0,9. 36 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. à) IÎ÷åâèäíî, ÷òî ëàìïî÷êà çàãîðèòñÿ êîãäà îáà âûêëþ÷àòåëÿ çàìêíóòû. Ñëåäîâàòåëüíî, P (A1 ) = p1 · p2 = 0,7 · 0,9 = 0,63.J á) IËàìïî÷êà íå çàãîðèòñÿ êîãäà õîòÿ áû îäèí âûêëþ÷àòåëÿ ðàçîìêíóò. Ïîýòîìó íàéä¼ì âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ êîòîðûì ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèå ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî îáà âûêëþ÷àòåëÿ çàìêíóòû. P (A2 ) = 0,7 · 0,9 = 0,63. P (A2 ) = 1 − P (A2 ) = 1 − 0,63 = 0,37.JJ Îòâåò: a) 0,63 á) 0,37. V1 bb V2 bb R b b b  b  b b ∼ V3 bb  L @@  Ðèñ. 6. Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå òð¼õ ýëåìåíòîâ 2.12.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ðèñ. 6) âûêëþ÷àòåëè V1 , V2 è V3 íåçàâèñèìî çàìêíóòû (èëè ðàçîìêíóòû) ñ âåðîÿòíîñòÿìè p1 = 0,2, p2 = 0,6 è p3 = 0,3 ñîîòâåòñòâåííî. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ïðè âêëþ÷åíèè ðóáèëüíèêà R ëàìïî÷êà L: à) çàãîðèòñÿ; á) íå çàãîðèòñÿ? Ïðèìåð IÂâåä¼ì ñîáûòèÿ: A1  ëàìïî÷êà çàãîðèòñÿ, à A2  ëàìïî÷êà íå çàãîðèòñÿ. a, á) Ëàìïî÷êà çàãîðèòñÿ ïðè âêëþ÷åíèè ðóáèëüíèêà R êîãäà áóäåò çàìêíóò õîòÿ áû îäèí âûêëþ÷àòåëü. Ïîýòîìó íàõîäèì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âñå âûêëþ÷àòåëè ðàçîìêíóòû. Ýòî è áóäåò ðåøåíèåì çàäà÷è á). P (A2 ) = (1 − p1 ) · (1 − p2 ) · (1 − p3 ) = 0,8 · 0,4 · 0,7 = 0,224. Òåïåðü íàõîäèì âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ îçíà÷àþùåãî, ÷òî ëàìïî÷êà çàãîðèòñÿ. P (A1 ) = 1 − F (A2 ) = 0,776.J Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Îòâåò: a) 0,77 37 á) 0,224. 2.4. Ñõåìà ãèïîòåç. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè Òåîðåìà 2.5 (Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè). Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A, êîòîðîå ìîæåò íàñòóïèòü òîëüêî âìåñòå ñ îäíèì èç ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé H1 , H2 . . . Hn , íàçûâàåìûõ ãèïîòåçàìè, ðàâíà ñóììå ïðîèçâåäåíèé âåðîÿòíîñòåé êàæäîãî èç ýòèõ ñîáûòèé íà ñîîòâåòñòâóþùóþ óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A: P (A) = P (H1 )P (A/H1 ) + P (H2 )P (A/H2 ) + . . . . . . + P (Hn )P (A/Hn ). (2.8) Êðàòêî ýòó ôîðìóëó ìîæíî çàïèñàòü â âèäå P (A) = n X P (Hk )P (A/Hk ). i=k Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèþ, ïîÿâëåíèå ñîáûòèÿ A îçíà÷àåò îñóùåñòâëåíèå îäíîãî èç ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé: H1 A, H2 A, . . . , Hn A. Ïîëüçóÿñü ñëåäñòâèåì 2.1 èç òåîðåìû ñëîæåíèÿ è òåîðåìîé ïðîèçâåäåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, ïîëó÷àåì: P (A) = P (H1 A + · · · + Hn A) = P (H1 A) + · · · + P (Hn A) = = P (H1 )P (A/H1 ) + P (H2 )P (A/H2 ) + · · · + P (Hn )P (A/Hn ). 2.13. Ïÿòü ýêçàìåíàòîðîâ ïðèíèìàþò ýêçàìåí. Èçâåñòíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ñäàòü ýêçàìåí äâóì èç íèõ (¾ñòðîãèì¿ ðàâíà 0,6, à òð¼ì îñòàëüíûì (¾íåñòðîãèì¿) 0,8 . Íàéòè âåðîÿòíîñòü ñäàòü ýêçàìåí ïðîèçâîëüíîìó ýêçàìåíàòîðó. Ïðèìåð IÎáîçíà÷èì A  ñîáûòèå ¾ýêçàìåí ñäàí¿. Ýêçàìåí ìîæåò áûòü ñäàí ëèáî ¾ñòðîãîìó¿ ýêçàìåíàòîðó (ãèïîòåçà H1 ), ëèáî ¾íåñòðîãîìó¿ (ãèïîòåçà H2 ): P (H1 ) = 2/5 = 0,4; P (H2 ) = 3/5 = 0,6. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ñäàòü ýêçàìåí: P (A/H1 ) = 0,6; P (A/H2 ) = 0,8. Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè: P (A) = P (H1 )P (A/H1 ) + P (H2 )P (A/H2 ) = 0,72.J 38 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Îòâåò: 0,72. Ïðèìåð 2.14. Äåòàëè ñ òð¼õ êîíâåéåðîâ ïîñòóïàþò íà îáùèé ñêëàä. Âåðîÿòíîñòè áðàêà íà ïåðâîì, âòîðîì è òðåòüåì êîíâåéåðàõ 1 5 2 ðàâíû p1 = , p2 = è p3 = . Îòíîøåíèå ïðîèçâîäèòåëüíîñòåé 3 7 5 ëèíèé V1 : V2 : V3 = 4 : 7 : 3. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ íàóãàä âçÿòàÿ äåòàëü áóäåò áðàêîâàííîé? I Èñêîìîå ñîáûòèå A íàáëþäàåòñÿ íà ôîíå òð¼õ ãèïîòåç Hi = {äåòàëü ñ i-ãî êîíâåéåðà} (i = 1, 2, 3). Èç îòíîøåíèÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòè êîíâåéåðîâ 4 : 7 : 3 ñëåäóåò, ÷òî èç êàæäûõ 4 + 7 + 3 = 14 äåòàëåé â ñðåäíåì 4 ñõîäÿò ñ 1-ãî êîíâåéåðà, 7  ñî âòîðîãî è 3  ñ òðåòüåãî. 4 7 3 Çíà÷èò, P (H1 ) = , P (H2 ) = , P (H3 ) = . 14 14 14 Äàííûå âåðîÿòíîñòè p1 = 0,3, p2 = 0,7 è p3 = 0,4 åñòü íå ÷òî èíîå, êàê P (A/H1 ), P (A/H2 ) è P (A/H3 ). Ïîäñòàâèì âñå çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó (2.8): 7 5 3 2 113 4 1 · + · + · = .J P (A) = 14 3 14 7 14 5 210 113 Îòâåò: . 210 2.5. Ôîðìóëà Áàéåñà Òåîðåìà 2.6 (Ôîðìóëà Áàéåñà).  óñëîâèÿõ ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè äëÿ i = 1, . . . , n: P (Hi /A) = P (Hi )P (A/Hi ) . P (H1 )P (A/H1 ) + · · · + P (Hn )P (A/Hn ) Äîêàçàòåëüñòâî. (2.9) Ïî òåîðåìå ïðîèçâåäåíèÿ âåðîÿòíîñòåé: P (Hi · A) = P (A)P (Hi /A) = P (Hi )P (A/Hi ), îòêóäà ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòåé äëÿ P (A) ïîëó÷àåì: P (Hi /A) = P (Hi )P (A/Hi ) P (Hi )P (A/Hi ) . = P n P (A) P (Hk )P (A/Hk ) k=1 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 39 Ôîðìóëà Áàéåñà ïîçâîëÿåò ïåðåñ÷èòûâàòü âåðîÿòíîñòè ãèïîòåç ïîñëå òîãî, êàê ñòàíîâèòñÿ èçâåñòíûì ðåçóëüòàò èñïûòàíèÿ, â èòîãå êîòîðîãî ïðîèçîøëî ñîáûòèå A. Ïðèìåð 2.15.  óñëîâèÿõ ïðèìåðà 2.13 èçâåñòíî, ÷òî ñòóäåíò ñäàë ýêçàìåí. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí ñäàâàë ¾íåñòðîãîìó¿ ýêçàìåíàòîðó. IÏî ôîðìóëå Áàéåñà: P (H2 ) · P (A/H2 ) P (H2 /A) = = P (H1 ) · P (A/H1 ) + P (H2 ) · P (A/H2 ) 2 0,6 · 0,8 = .J = 0,4 · 0,6 + 0,6 · 0,8 3 2.16.  äâóõ óðíàõ íàõîäÿòñÿ øàðû: â ïåðâîé  4 áåëûõ è 6 ÷åðíûõ, âî âòîðîé  5 áåëûõ è 3 ÷åðíûõ. Èç ïåðâîé óðíû âî âòîðóþ íàóäà÷ó ïåðåëîæèëè äâà øàðà, à çàòåì èç âòîðîé óðíû íàóäà÷ó èçâëåêëè îäèí øàð. 1) Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòîò øàð áåëûé. 2) Øàð, èçâëå÷åííûé èç âòîðîé óðíû, îêàçàëñÿ áåëûì. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç ïåðâîé óðíû âî âòîðóþ áûëè ïåðåëîæåíû 2 áåëûõ øàðà. Ïðèìåð 1) IÏóñòü A  èñêîìîå ñîáûòèå: èç âòîðîé óðíû èçâëå÷åí áåëûé øàð. Âîçìîæíû 3 ãèïîòåçû: H1  èç ïåðâîé óðíû âî âòîðóþ áûëè ïåðåëîæåíû 2 áåëûõ øàðà; H2  èç ïåðâîé óðíû âî âòîðóþ áûëè ïåðåëîæåíû îäèí áåëûé è îäèí ÷¼ðíûé øàð; H3  èç ïåðâîé óðíû âî âòîðóþ áûëè ïåðåëîæåíû 2 ÷¼ðíûõ øàðà. Âåðîÿòíîñòè îñóùåñòâëåíèÿ ãèïîòåç ðàâíû P (H1 ) = C42 2 = , 2 C10 15 P (H2 ) = C41 · C61 8 = , 2 C10 15 P (H3 ) = C62 1 = . 2 C10 3 Åñëè ãèïîòåçû âûïîëíÿþòñÿ, òî óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèÿ A áóäóò ðàâíû P (A/H1 ) = 5+2 = 0,7, 5+3+2 P (A/H2 ) = 0,6, P (A/H3 ) = 0,5. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷èì P (A) = P (H1 )P (A/H1 ) + P (H2 )P (A/H2 ) + P (H3 )P (A/H3 ) = = 2 8 1 · 0,7 + · 0,6 + · 0,5 = 0,58.J 15 15 3 40 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 2) IÂî âòîðîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî óòî÷íèòü âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ãèïîòåçû H1 . Ïî ôîðìóëå Áàéåñà íàõîäèì P (H1 )P (A/H1 ) (2/15) · 0,7 P (H1 /A) = = = 0,16.J P (A) 0,58 Îòâåò: 1)0,58, 2) 0,16. 2.17. Âñõîæåñòü ìîðêîâè ñîñòàâëÿåò 60%, ñâ¼êëû  80%.  ëàáîðàòîðèè ïîñàäèëè ïî îäíîìó ñåìåíè êàæäîãî îâîùà. Ïðîðîñ îäèí ðîñòîê. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ýòî: (1) ìîðêîâü; (2) ñâ¼êëà? Ïðèìåð (1)IÑôîðìóëèðóåì íàáîð ãèïîòåç, íà ôîíå êîòîðûõ íàáëþäàåòñÿ ñîáûòèå A = {âçîø¼ë îäèí ðîñòîê}. Ïóñòü H1 = {ìîðêîâü âçîøëà}, P (H1 ) = 0,6, H2 = {ìîðêîâü íå âçîøëà}, P (H2 ) = 1 − 0,6 = 0,4.  óñëîâèÿõ ãèïîòåçû H1 ñîáûòèå A ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ñâ¼êëà íå âçîøëà, è P (A/H1 ) = 1 − 0,8 = 0,2.  óñëîâèÿõ ãèïîòåçû H2 äëÿ âûïîëíåíèÿ ñîáûòèÿ A íàäî, ÷òîáû âçîøëà ñâ¼êëà; P (A/H2 ) = 0,8. Ïî ôîðìóëå (2.9) 0,6 · 0,2 3 P (H1 /A) = = .J 0,6 · 0,2 + 0,4 · 0,8 11 3 Îòâåò: . 11 0,4 · 0,8 0,32 8 (2) IP (H2 /A) = = = .J 0,6 · 0,2 + 0,4 · 0,8 0,44 11 8 Îòâåò: . 11 Ïðèìåð 2.18.  ïåðâîé óðíå 5 áåëûõ è 8 ÷¼ðíûõ øàðîâ, âî âòîðîé  7 áåëûõ è 6 ÷¼ðíûõ. Èç êàæäîé óðíû âûíèìàþò ïî øàðó. Îíè îêàçàëèñü ðàçíîöâåòíûìè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áåëûé øàð âûíóò: (1) èç ïåðâîé óðíû; (2) èç âòîðîé óðíû. I Ïðèìåì 5 , 13 7 H2 = {øàð, âûíóòûé èç âòîðîé óðíû, áåëûé}, P (H2 ) = , 13 A = {øàðû, âûíóòûå èç îáåèõ óðí, ðàçíîöâåòíûå}. Çàìåòèì, ÷òî A = H1 · H̄2 + H̄1 · H2 . H1 = {øàð, âûíóòûé èç ïåðâîé óðíû, áåëûé}, P (H1 ) = Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. (1) PA (H1 ) = 41 P (H1 ) · P (H̄2 ) = P (H1 ) · P (H̄2 ) + P (H̄1 ) · P (H2 ) (5/13) · (6/13) 30 15 = = . (5/13) · (6/13) + (8/13) · (7/13) 30 + 56 43 15 Îòâåò: . 43 = (2) PA (H2 ) = P (H̄1 ) · P (H2 ) = P (H1 ) · P (H̄2 ) + P (H̄1 ) · P (H2 ) (8/13) · (7/13) 56 28 = = . (5/13) · (6/13) + (8/13) · (7/13) 30 + 56 43 28 Îòâåò: .J 43 Ïðèìåð 2.19.  ïåðâîé óðíå 9 áåëûõ è 7 ÷¼ðíûõ øàðîâ, âî âòîðîé  5 áåëûõ è 8 ÷¼ðíûõ. Èç êàæäîé óðíû âûíóëè ïî øàðó. Øàðû îêàçàëèñü îäíîãî öâåòà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíè: (1) áåëûå; (2) ÷¼ðíûå? = IÏóñòü A = {îáà øàðà îäíîãî öâåòà}; H1 = {îáà øàðà áåëûå}; H2 = {îáà øàðà ÷¼ðíûå}. Çàìåòèì, ÷òî A = H1 + H2 ; P (A/H1 ) = P (A/H2 ) = 1; 9 5 45 7 5 35 P (H1 ) = · = ; P (H2 ) = · = ; 16 13 208 16 13 208 45 35 80 P (A) = P (H1 + H2 ) = P (H1 ) + P (H2 ) = + = . 208 208 208 Ïî ôîðìóëå Áåéåñà: 45 80 45 9 P (H1 ) · P (A/H1 ) = : = = . (1) PA (H1 ) = P (A) 208 208 80 16 9 Îòâåò: . 16 P (H2 ) · P (A/H2 ) 35 80 35 7 (2) PA (H2 ) = = : = = . P (A) 208 208 80 16 7 Îòâåò: .J 16 Ïðèìåð 2.20.  ïåðâîé óðíå 8 áåëûõ è 7 ÷¼ðíûõ øàðîâ, âî âòîðîé  4 áåëûõ è 6 ÷¼ðíûõ, â òðåòüåé  9 áåëûõ è 5 ÷¼ðíûõ. Íàóãàä èç 42 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. îäíîé èç óðí âûíèìàåòñÿ øàð. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí áåëûé. IÈñêîìîå ñîáûòèå A íàáëþäàåòñÿ íà ôîíå òð¼õ ãèïîòåç: H1 = {âûáðàíà ïåðâàÿ óðíà}, H2 = {âûáðàíà âòîðàÿ óðíà}, H3 = {âûáðàíà òðåòüÿ óðíà}. Âåðîÿòíîñòè âñåõ ãèïîòåç ðàâíû ìåæäó ñîáîé è â ñóììå ñîñòàâëÿ1 þò 1, îòêóäà P (H1 ) = P (H2 ) = P (H3 ) = . 3  óñëîâèÿõ êàæäîé èç íèõ âåðîÿòíîñòü èñêîìîãî ñîáûòèÿ A èùåòñÿ ïî ôîðìóëå êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè P (A) = m/n. 8 8 4 2 P (A/H1 ) = = ; P (A/H2 ) = = ; 8+7 15 4+6 5 9 9 P (A/H3 ) = = . 9+5 14 Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé ïîëíîé âåðîÿòíîñòè P (A) = P (H1 )P (A/H1 ) + P (H2 )P (A/H2 ) + P (H3 )P (A/H3 ). Ïîäñòàâèì ñþäà íàéäåííûå çíà÷åíèÿ:   1 2 1 9 1 8 2 9 331 1 8 1 331 + · + · = + + = .J P (A) = · = · 3 15 3 5 3 14 3 15 5 14 3 210 630 331 Îòâåò: . 630 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 43 2.6. Ïîâòîðíûå èñïûòàíèÿ. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. 2.7. Ôîðìóëà Áåðíóëëè Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîèçâîäèòñÿ n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, â ðåçóëüòàòå êàæäîãî èç êîòîðûõ ìîæåò íàñòóïèòü èëè íå íàñòóïèòü íåêîòîðîå ñîáûòèå A. Îáîçíà÷èì P (A) = p, P (Ā) = 1 − p = q è îïðåäåëèì Pn (m)  âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñîáûòèå A ïðîèçîéäåò m ðàç â n èñïûòàíèÿõ. Áóäåì çàïèñûâàòü âîçìîæíûå ðåçóëüòàòû èñïûòàíèé â âèäå êîìáèíàöèé áóêâ A è Ā; íàïðèìåð, çàïèñü AĀĀA îçíà÷àåò, ÷òî ñîáûòèå A îñóùåñòâèëîñü â 1-ì è 4-ì èñïûòàíèÿõ è íå îñóùåñòâèëîñü âî 2-îì è 3-ì. Âñÿêóþ êîìáèíàöèþ, â êîòîðîé A âñòðå÷àåòñÿ m ðàç, à Ā âñòðå÷àåòñÿ n − m ðàç, íàçîâåì áëàãîïðèÿòíîé. Êîëè÷åñòâî áëàãîïðèÿòíûõ êîìáèíàöèé ðàâíî êîëè÷åñòâó ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ìîæíî âûáðàòü m ìåñò èç n, ÷òîáû ðàçìåñòèòü áóêâû A (áóêâû Ā íà îñòàâøèõñÿ ìåñòàõ ðàçìåñòÿòñÿ îäíîçíà÷íî), ò.å. ÷èñëó ñî÷åòàíèé èç n ïî m: n! Cnm = . m!(n − m)! Âåðîÿòíîñòè âñåõ áëàãîïðèÿòíûõ êîìáèíàöèé îäèíàêîâû, â êàæäîé èç íèõ ñîáûòèå A (òàêæå, êàê è Ā ) ïðîèñõîäèò îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ðàç, ïîýòîìó ïîñ÷èòàåì âåðîÿòíîñòü êîìáèíàöèè B1 = AA . . . AĀĀ . . . Ā, â êîòîðóþ A âõîäèò m ðàç, à Ā  (n − m) ðàç. Âåðîÿòíîñòü ýòîé êîìáèíàöèè â ñèëó íåçàâèñèìîñòè èñïûòàíèé íà îñíîâàíèè òåîðåìû óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, ðàâíà P (B1 ) = pm q n−m , òàêæå êàê è äëÿ îñòàëüíûõ êîìáèíàöèé: P (B2 ) = · · · = P (Bk ) = pm q n−m , ãäå êîëè÷åñòâî êîìáèíàöèé k = Cnm . Âñå áëàãîïðèÿòíûå êîìáèíàöèè ÿâëÿþòñÿ íåñîâìåñòíûìè, ïîýòîìó ïî òåîðåìå ñëîæåíèÿ: Pn (m) = P (B1 +· · ·+Bk ) = P (B1 )+· · ·+P (Bk ) = kpm q n−m = Cnm pm q n−m . Ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó Áåðíóëëè3: Pn (m) = Cnm pm q n−m . 3ßêîá Áåðíóëëè (27.12.1654  16.08.1705)  øâåéöàðñêèé ìàòåìàòèê (2.10) 44 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè (2.10), â ïàêåò Maxima âñòðîåíà ôóíêöèÿ pdf_binomial(m,n,p). 2.21. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü ïðè îäíîì âûñòðåëå ðàâíà 0,6. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî 8 âûñòðåëîâ äàäóò 5 ïîïàäàíèé? Ïðèìåð IÇäåñü n = 8, m = 5, p = 0,6, q = 1 − 0,6 = 0,4. Ïî ôîðìóëå (2.10) èìååì: 8! P8 (5) = · 0,65 · 0,43 ≈ 0,279.J 5!(8 − 5)! Maxima-ïðîãðàììà ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è èìååò âèä: (%i1) load(distrib); (%i2) pdf_binomial(5, 8, 0.6); (%o2) 0.27869184 Îòâåò: P ≈ 0,279. Ìîæíî íàïèñàòü ïðîãðàììó êîòîðàÿ âû÷èñëÿåò çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ âñåõ çíà÷åíèé k è ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè Pn (m), ðèñ.7. kill(all)$ load(distrib);fpprintprec:4$; n:8$ p:0.6$ P:makelist(pdf_binomial(k, n, p),k,0,n); plot2d([discrete,P],[x,1,9],[style,points],[gnuplot_postamble,"set grid"])$ (P) [0.000655,0.007864,0.04129,0.1239,0.2322,0.2787,0.209,0.08958,0.0168] P 0.3 0.2 0.1 2 Ðèñ. 7. 4 6 8m Ïðèìåð 2.21 2.22.  óñëîâèÿõ ïðèìåðà 2.21 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷èñëî ïîïàäàíèé áóäåò íå áîëüøå 5 è íå ìåíüøå 3-õ. Ïðèìåð IÎáîçíà÷èì èñêîìóþ âåðîÿòíîñòü P8 (3 6 m 6 5). Ýòà âåðîÿòíîñòü â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (2.10) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû âåðîÿòíîñòåé ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé: P8 (3 6 m 6 5) = P8 (3) + P8 (4) + P8 (5). Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 45 Íàõîäÿ ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè êàæäîå ñëàãàåìîå, ïîëó÷àåì: P8 (3 6 m 6 5) = C83 · 0,63 · 0,45 + C84 · 0,64 · 0,44 + C85 · 0,65 · 0,43 ≈ ≈ 0,124 + 0,232 + 0,279 = 0,635.J Maxima-êîìàíäà èìååò âèä: P:sum(pdf_binomial(m, n, p),m,3,5); Çàìå÷àíèå 2.2. Ôîðìóëó (2.7), ïîëó÷åííóþ â ïðåäûäóùåé ëåêöèè, ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Áåðíóëëè. Äåéñòâèòåëüíî, ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè ïîëó÷èì: P (Ā) = Cn0 p0 q n = (1 − p)n =⇒ P (A) = 1 − P (Ā) = 1 − (1 − p)n . 2.23.  óñëîâèè ïðèìåðà 2.21 íàéòè âåðîÿòíîñòü õîòÿ áû îäíîãî ïîïàäàíèÿ â öåëü ïðè 8 âûñòðåëàõ. Ïðèìåð IÑíà÷àëà íàéäåì âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ, ò.å. âåðîÿòíîñòü íè ðàçó íå ïîïàñòü â öåëü ïðè 8 âûñòðåëàõ: P (Ā) = (1 − p)n = 0,48 ≈ 0,001 =⇒ P (A)1 − P (Ā) ≈ 0,999. J 2.3. Ôîðìóëà Áåðíóëëè îáîáùàåòñÿ íà òîò ñëó÷àé, êîãäà â ðåçóëüòàòå êàæäîãî îïûòà âîçìîæíû íå äâà èñõîäà A è Ā, à íåñêîëüêî. Ïóñòü ïðîèçâîäèòñÿ n íåçàâèñèìûõ îïûòîâ â îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ, â êàæäîì èç êîòîðûõ ìîæåò ïðîèçîéòè òîëüêî îäíî èç ñîáûòèé A1 , A2 , . . . , Am ñ âåðîÿòíîñòÿìè p1 , p2 , . . . , pm , ïðè÷¼ì m X pi = 1. Çàìå÷àíèå i=1 Òîãäà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â k1 îïûòàõ ïîÿâèòñÿ ñîáûòèå A1 , . . . , m X  â km îïûòàõ  ñîáûòèå Am kj = n , îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé ïîëèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Pn (k1 , k2 , . . . , km ) = j=1 n! · pk11 · pk22 . . . pkmm . k1 !k2 ! . . . km ! (2.11) 2.8. Íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A ×àñòî íåîáõîäèìî çíàòü çíà÷åíèå m, ïðè êîòîðîì âåðîÿòíîñòü Pn (m) ìàêñèìàëüíà. Ýòî çíà÷åíèå m íàçûâàåòñÿ íàèâåðîÿòíåéøèì ÷èñëîì (îáîçíà÷àåòñÿ m∗ ) íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ A â n èñïûòàíèÿõ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî (n + 1)p − 1 6 m∗ 6 (n + 1)p. (2.12) 46 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Åñëè íåðàâåíñòâó (2.12) óäîâëåòâîðÿþò äâà öåëûõ çíà÷åíèÿ m∗ , òîãäà èìåòñÿ äâà íàèâåðîÿòíåéøèõ ÷èñëà m∗1 è m∗2 . Òàê, â ïðèìåðå 2.21 èìååì 9 · 0,6 − 1 6 m∗ 6 9 · 0,6. Ýòîìó íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿåò åäèíñòâåííîå öåëîå çíà÷åíèå m∗ = 5. 2.24. Íàéòè íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî âûïàäåíèé îðëà ïðè 11 áðîñàíèÿõ ìîíåòû. Ïðèìåð 1 IÇäåñü n = 1, p = .  ñîîòâåòñòâèè ñ íåðàâåíñòâîì (2.12) ïîëó2 ÷àåì: 1 1 12 · − 1 6 m∗ 6 12 · . 2 2 Ýòîìó íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿþò äâà çíà÷åíèÿ m∗1 = 5 è m∗2 = 6.  äàííîì ïðèìåðå äâà íàèâåðîÿòíåéøèõ çíà÷åíèÿ ñ îäèíàêîâûìè âåðîÿòíîñòÿìè:  5  6  6  5 1 1 1 1 5 6 P11 (5) = P11 (6) = C11 = C11 ≈ 0,226. J 2 2 2 2 2.9. Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè Ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà (q + px)n ïî ôîðìóëå Áèíîìà Íüþòîíà (q + px)n = Cn0 q n + Cn1 q n−1 p1 x + Cn2 q n−2 p2 x2 + . . . + Cnn q 0 pn xn . (2.13) Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû ýòîãî ìíîãî÷ëåíà ðàâíû âåðîÿòíîñòÿì Pn (m), âû÷èñëåííûì ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè (2.10). Ïîýòîìó ìàññèâ âåðîÿòíîñòåé Pn (m), âû÷èñëåííûé ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè (2.10), íàçûâàþò áèíîìèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì, à ôóíêöèþ φn (x) = (q + px)n  ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé. Åñëè â êàæäîì èç íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ âåðîÿòíîñòè íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèé ðàçíûå, òî âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî â n îïûòàõ ñîáûòèå A íàñòóïèò m ðàç, ðàâíà êîýôôèöèåíòó ïðè m-é ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà φn (z) = (q1 + p1 z)(q2 + p2 z) · · · (qn + pn z). Ôóíêöèÿ φn (z), íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé. (2.14) Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 47 Ïðèìåð 2.25. Ïðîèçâîäèòñÿ òðè âûñòðåëîâ ïî ìèøåíè. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ïðè ïåðâîì âûñòðåëå ðàâíî 0,5, à ïðè êàæäîì ïîñëåäóþùåì âûñòðåëå ïðîèçâîäèòñÿ êîððåêòèðîâêà ïðèöåëà, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ íà 10%. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü: à) ïðîìàõà; á) îäíîãî ïîïàäàíèÿ; â) äâóõ ïîïàäàíèé; ã) òð¼õ ïîïàäàíèé. I Ïîäñ÷èòûâàåì âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèé ïðè êàæäîì âûñòðåëå. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåì ôîðìóëó ñëîæíûõ ïðîöåíòîâ: pk = 0,5(1+0,1)k , k = 0, 1, 2, 3. Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ìàññèâîâ ïîïàäàíèé â öåëü p è ïðîìàõîâ q = 1 − p: (p)[0.5, 0.55, 0.605] (q)[0.5, 0.45, 0.395] Ïðèìåíÿåì ôîðìóëó (2.14) äëÿ n = 3 è ïîëó÷åííûõ ìàññèâîâ p è q. φ3 (z) = (0,5 + 0,5z)(0,55z + 0,45)(0,605z + 0,395). Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê ïîëó÷àåì φ3 (z) = 0,166375z 3 + 0,411125z 2 + 0,333625z + 0,088875. Èñêîìûìè âåðîÿòíîñòÿìè áóäóò êîýôôèöèåíòû ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíÿõ äàííîãî ìíîãî÷ëåíà. P3 (0) = 0,088875; P3 (1) = 0,333625; P3 (2) = 0,411125; P3 (3) = 0,166375. Äëÿ êîíòðîëÿ ïðîâåðèì, ÷òî ñóììà ýòèõ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà 1.J 2.10. Ëîêàëüíàÿ è èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìû Ìóàâðà-Ëàïëàñà Âû÷èñëåíèÿ ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè ïðè áîëüøèõ n ãðîìîçäêè è ïðèâîäÿò ê çíà÷èòåëüíûì ïîãðåøíîñòÿì. Ëîêàëüíàÿ òåîðåìà Ëàïëàñà äà¼ò àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó, ïîçâîëÿþùóþ ïðèáëèæ¼ííî íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ ðîâíî m ðàç â n èñïûòàíèÿõ, åñëè n äîñòàòî÷íî âåëèêî. Òåîðåìà 2.7 (Ëîêàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà). Åñëè âåðîÿòíîñòü p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â êàæäîì èç n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ïîñòîÿííà è îòëè÷íà îò íóëÿ è åäèíèöû, òî âåðîÿòíîñòü Pn (m) òîãî, ÷òî ñîáûòèå A ïîÿâèòüñÿ m ðàç â n èñïûòàíèÿõ, ïðèáëèæ¼ííî ðàâíà (ïðè n → ∞, p ≈ / 0, p ≈ / 1):   1 m − np Pn (m) ≈ √ φ √ , npq npq x2 1 − ãäå φ(x) = √ e 2 . 2π (2.15) 48 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè φ(x), íàçûâàåìîé ôóíêöèåé Ãàóññà , à å¼ ãðàôèê  êðèâîé âåðîÿòíîñòåé, ðèñ. 8. Òàáëè÷íûå çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè èìåþòñÿ â ó÷åáíèêàõ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé (ñì. ïðèëîæåíèå 1) è âû÷èñëÿþòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêèõ è ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðîãðàììàõ äëÿ êîìïüþòåðîâ (íàïðèìåð, â Åxcel, MathCad, Maxima, MathLab è ïðî÷èõ). Ïîëüçóÿñü î÷åâèäíûìè ñâîéñòâàìè ôóíêöèè φ(x), ìîæíî íàéòè å¼ çíà÷åíèÿ ïðè ëþáûõ x: φ(−x) = φ(x), Ðèñ. 8. ñà φ(+∞) = φ(−∞) = 0. Ãðàôèê ôóíêöèè Ãàóñ- φ(x) Ïðèìåð 2.26. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü ïðè îäíîì âûñòðåëå ðàâíà 0,6. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî 100 âûñòðåëîâ äàäóò 50 ïîïàäàíèé. IÏî óñëîâèþ n = 100, m = 50, p = 0,6. Âîñïîëüçóåìñÿ ëîêàëüíîé òåîðåìîé Ëàïëàñà:   1 50 − 100 · 0,6 P100 (40) ≈ √ ·φ √ ≈ 100 · 0,6 · 0,4 100 · 0,6 · 0,4 ≈ 0,2041 · φ(2, 04) ≈ 0,2041 · 0,0498 = 0,010. Äëÿ ðåøåíèÿ òàêîé òðóäîåìêîé çàäà÷è ëó÷øå èñïîëüçîâàòü êîìïüþòåðíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ïàêåòû. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå ïðèìåðà 2.26 â ðàìêàõ ïàêåòà Maxima. (%i1) load(distrib); numer:true; Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 49 /*Çàäà¼ì ôóíêöèþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ëîêàëüíîé òåîðåìå Ëàïëàñà*/ (%i2) L_Lapl(m, n, p):=(y:1/sqrt(n*p*(1−p)), sqrt2*%pi* exp(−0.5*((m−n*p)*y)∧ 2)); /*Âû÷èñëÿåì çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðè n = 100, m = 50 è p = 0,6*/ (%i2) PL:L_Lapl(50, 100, 0.6); (%o2) 0.01014  ïåðâîé ñòðîêå çàãðóæàåòñÿ áèáëèîòåêà distrib.  ýòîé áèáëèîòåêå ñîáðàíû ìíîãî÷èñëåííûå ôóíêöèè, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Âî âòîðîé ñòðîêå ïðîãðàììèðóåòñÿ ôîðìóëà ëîêàëüíîé òåîðåìîé Ëàïëàñà, à â òðåòüåé ñòðîêå âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå ïî ýòîé ôîðìóëå. Ôóíêöèþ pdf_binomial, âû÷èñëÿþùóþ âåðîÿòíîñòü ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè, ìîæíî ïðèìåíÿòü è ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà èñïûòàíèé. Èñïîëüçóåì ôîðìóëó Áåðíóëëè äëÿ íàøåé çàäà÷è: /*Ðåøàåì ïðèìåð 2.26 èñïîëüçóÿ òî÷íóþ ôîðìóëó Áåðíóëëè*/ (%i3) PB:pdf_binomial(50, 100, 0.6); (%o3) 0.010338 (%i4) PB−PL; (%o4) 1.9783067 ∗ 10−4 Òàêèì îáðàçîì, òî÷íîñòü ëîêàëüíîé òåîðåìû Ëàïëàñà äëÿ ïðèìåðà 2.26 ≈ 0,0002. dLapl(50, 100, 0.6) = 0.01 Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñóììàðíîé (¾èíòåãðàëüíîé¿) âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ÷èñëî ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ A íàõîäèòñÿ â çàäàííûõ ïðåäåëàõ (ñì. ïðèìåð 2.27) ïðè áîëüøèõ n òàêæå èñïîëüçóåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà, ïîçâîëÿþùàÿ âû÷èñëÿòü ýòó âåðîÿòíîñòü ïðèáëèæ¼ííî. Äëÿ ïîëüçîâàíèÿ ýòîé ôîðìóëîé ïîçíàêîìèìñÿ ñ ôóíêöèåé Ëàïëàñà. Îïðåäåëåíèå 2.4. Ôóíêöèåé Ëàïëàñà Φ(x) íàçûâàåòñÿ: Zx t2 1 Φ(x) = √ e− 2 dt. 2π Ôóíêöèÿ Ëàïëàñà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (1) Φ(x) íåïðåðûâíàÿ, âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, (2) ż îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(y) = (−∞; +∞), (3) Φ(0) = 0, (2.16) 50 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. (4) Φ(−x) = −Φ(x), (5) Φ(+∞) = 0,5, Φ(−∞) = −0,5. Ïðèìåì ñâîéñòâà 1 è 2 áåç äîêàçàòåëüñòâà. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâà 3 çàìåòèì, ÷òî Z0 t2 1 Φ(0) = √ e− 2 dt = 0. 2π Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâà 4 ïðîèçâåä¼ì çàìåíó ïåðåìåííûõ â îïðåäåë¼ííîì èíòåãðàëå:   Z−x 2 Zx u2 1 1 t = −u − t2 Φ(−x) = √ e dt = = −√ e− 2 du = −Φ(x). dt = −du 2π 2π Ñâîéñòâî 5 âûòåêàåò èç èçâåñòíîãî ðàâåíñòâà äëÿ èíòåãðàëà Ïóàññîíà: Z+∞ 2 Z+∞ 2 √ t 1 1√ 1 1 − t2 e dt = 2π =⇒ Φ(+∞) = √ e− 2 dt = √ · 2π = . 2 2π 2π 2 −∞ Z+∞ 2 Z+∞ 2 t 1 − t2 e dt = e− 2 dt â ñèëó ÷¼òíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. 2 −∞ Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Ëàïëàñà òàêæå èìåþòñÿ â òàáëèöàõ â ó÷åáíèêàõ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé (ñì. ïðèëîæåíèå 2) è âû÷èñëÿþòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêèõ è ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðîãðàììàõ äëÿ êîìïüþòåðîâ (íàïðèìåð, â EXCEL, Maxima, MathCad, MathLab). Ïîëüçóÿñü ïðèâåä¼ííûìè ñâîéñòâàìè Φ(x), ìîæíî íàéòè å¼ çíà÷åíèÿ ïðè ëþáûõ x. Òåîðåìà 2.8 (Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Ëàïëàñà). Åñëè âåðîÿòíîñòü p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â êàæäîì èç n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ïîñòîÿííà è îòëè÷íà îò íóëÿ è åäèíèöû, òî âåðîÿòíîñòü Pn (m1 6 m 6 m2 ) òîãî, ÷òî ñîáûòèå A ïîÿâèòñÿ íå ìåíåå m1 , íî íå áîëåå m2 ðàç â n èñïûòàíèÿõ ïðèáëèæ¼ííî ðàâíà (ïðè n → ∞, p≈ / 0, p ≈ / 1):     m2 − np m1 − np Pn (m1 6 m 6 m2 ) ≈ Φ √ −Φ √ , (2.17) npq npq Zx t2 1 ãäå Φ(x) = √ e− 2 dt  ôóíêöèÿ Ëàïëàñà. 2π Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 51 Òåîðåìû 2.7 è 2.8 ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà.  ïàêåòàõ Maxima è MathCad äëÿ âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè Ëàïëàñà ïðèìåíÿåòñÿ ôóíêöèÿ ñdf_normal(x,a, σ ) è pnorm(x,a, σ ), ñîîòâåòñòâåííî, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ íîðìàëü1 Rx − (t−a)2 2 íîãî çàêîíà ðàâíóþ èíòåãðàëó √ e 2σ dt. 2π −∞ Òîãäà ôóíêöèÿ Ëàïëàñà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: Φ(x) = cdf _normal(x, 0, 1) − 0,5 â ïàêåòà Maxima è Φ(x) = pnorm(x, 0, 1) − 0,5  â ïàêåòå MathCad. Ðèñ. 9. Ôóíêöèÿ Ëàïëàñà (2.16) Íàðèñóåì ãðàôèê ôóíêöèè Ëàïëàñà, ðèñ. 9. numer:true$ load(distrib)$ Phi(x):= cdf_normal(x,0 , 1 )-0.5; plot2d([Phi(x)], [x,-4,4], [gnuplot_postamble, "set grid;"])$ 2.27. Äîëÿ èçäåëèé ïðîäóêöèè çàâîäà âûñøåãî êà÷åñòâà ñîñòàâëÿåò 40%. Íàéòè âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî èç îòîáðàííûõ 300 èçäåëèé îêàæåòñÿ âûñøåãî êà÷åñòâà: à) îò 110 äî 140 èçäåëèé, á) íå ìåíåå 110 èçäåëèé, â) íå áîëåå 109 èçäåëèé. Ïðèìåð Âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðàëüíîé òåîðåìîé Ëàïëàñà. Çäåñü n = 300, p = 0,4, q = 0,6. 52 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. à) IÍàéäåì àðãóìåíòû ôóíêöèè Ëàïëàñà ïðè m1 = 110 è m2 = 140: m1 − np 110 − 300 · 0,4 5 √ = − √ ≈ −1,18, x1 = √ = np q 72 3 2 m2 − np 140 − 300 · 0,4 10 √ x2 = √ = = √ ≈ 2,36. np q 72 3 2 Òîãäà P300 (110 6 m 6 140) ≈ Φ(2,36) − Φ(−1, 18) ≈ 0,491 + 0,381 = 0,872. Ýòà âåðîÿòíîñòü îêàçàëàñü äîâîëüíî âûñîêîé âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî áûëè ïðîñóììèðîâàíû âåðîÿòíîñòè âáëèçè íàèâåðîÿòíåéøåãî ÷èñëà m∗ = 120.J á)I ýòîé ÷àñòè çàäà÷è íóæíî ïîëîæèòü m1 = 110, à m2 = 300. Çíà÷åíèå x1 áûëî íàéäåíî â ïóíêòå à, äðóãîé ïàðàìåòð 300 − 120 180 √ x2 = = √ ≈ 21,21. 72 6 2 Ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåðîÿòíîñòü P300 (110 6 m 6 300) ≈ Φ(21,21) − Φ(−1,18) ≈ 0,5 + 0,381 = 0,881. J â) IÒàê êàê ñóììà âåðîÿòíîñòåé P300 (0 6 m 6 109) è P300 (110 6 m 6 300) ðàâíà 1, òî P300 (0 6 m 6 109) = 1 − P300 (110 6 m 6 300) ≈ 1 − 0,881 = 0,119. J Îòâåò: P300 (110 6 m 6 140) ≈ 0,872; P300 (110 6 m 6 300) ≈ 0,881; P300 (0 6 m 6 109) ≈ 0,119. J 2.11. Ôîðìóëà Ïóàññîíà Åñëè âåðîÿòíîñòü p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â èñïûòàíèè Áåðíóëëè áëèçêà ê 0 èëè 1, òî òåîðåìû 2.7 è 2.8 äàþò áîëüøèå ïîãðåøíîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî íåïðèìåíèìû.  ýòîì ñëó÷àå ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ ïðèáëèæ¼ííîé ôîðìóëîé Ïóàññîíà äëÿ âû÷èñëåíèÿ Pn (m) ïðè áîëüøèõ n. Òåîðåìà 2.9. Åñëè ÷èñëî èñïûòàíèé íåîãðàíè÷åííî óâåëè÷èâà- åòñÿ (n → ∞) è âåðîÿòíîñòü p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â êàæäîì èç n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé íåîãðàíè÷åííî óìåíüøàåòñÿ (p → 0), íî Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 53 òàê, ÷òî ïðîèçâåäåíèå np ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé (np = λ), òî âåðîÿòíîñòü Pn (m) óäîâëåòâîðÿåò ïðåäåëüíîìó ðàâåíñòâó λm e−λ . (2.18) n→∞ m! Âûðàæåíèå (2.18) íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëîé Ïóàññîíà. Èç äàííîé òåîðåìû âûòåêàåò ôîðìóëà Ïóàññîíà (2.19) Ñëåäñòâèå. Åñëè âåðîÿòíîñòü p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â êàæäîì èç n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ïîñòîÿííà è áëèçêà ê íóëþ, à n âåëèêî, òî âåðîÿòíîñòü Pn (m) òîãî, ÷òî ñîáûòèå A ïîÿâèòñÿ m ðàç â n èñïûòàíèÿõ ïðèáëèæ¼ííî ðàâíà (ïðè n → ∞, p → 0, λ = np → a): λm −λ Pn (m) ≈ e . (2.19) m! lim Pn (m) = 2.4. Ñëó÷àé, êîãäà p ≈ 1, ñâîäèòñÿ ê ðàññìîòðåííîìó, åñëè âìåñòî Pn (m) âû÷èñëÿòü ðàâíóþ åé âåðîÿòíîñòü Pn (n − m) ïîÿâëåíèÿ n−m ðàç ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ Ā, âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ êîòîðîãî â îäíîì èñïûòàíèè q = 1 − p ≈ 0. Çàìå÷àíèå Ïðèìåð 2.28. Âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ îïå÷àòêè íà îäíîé ñòðàíèöå êíèãè ðàâíà 0,01. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â êíèãå èç 100 ñòðàíèö èìååòñÿ áîëåå îäíîé îïå÷àòêè. IÍàéä¼ì âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ, ò.å. âåðîÿòíîñòü P (B̄) òîãî, ÷òî â êíèãå íå áîëåå îäíîé îïå÷àòêè (0 èëè 1 îïå÷àòêà). Òàê êàê np = 100 · 0,01 = 1, òî 10 −1 11 −1 e + e ≈ 0,736. 0! 1! Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà P (B) ≈ 1 − 0,736 = 0,264.J P (B̄) = P100 (0) + P100 (1) ≈ 2.29. Íà ïðåäïðèÿòèè èçãîòîâëåíî 100000 äåòàëåé. Âåðîÿòíîñòü, ÷òî äåòàëü ìîæåò îêàçàòüñÿ áðàêîâàííîé, ðàâíà 0,0001. Íàéòè âåðîÿòíîñòü, a) ÷òî ðîâíî òðè äåòàëè áóäóò áðàêîâàííûìè; á) ÷òî áîëåå 20 äåòàëåé îêàæóòñÿ áðàêîâàííûìè. Ïðèìåð Ià) Èñïîëüçóÿ ïàêåò Maxima, ðåøèì äàííóþ çàäà÷ó ïî òð¼ì ôîðìóëàì: òî÷íîé ôîðìóëå Áåðíóëëè (PB) è ïðèáëèæ¼ííûì ôîðìóëàì (2.15) (PL  ëîêàëüíîé òåîðåìå Ëàïëàñà) è (2.19) (PP  ôîðìóëå Ïóàññîíà). 54 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Pk 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 2 6 8 Ðèñ. 10. 12 16 20 k Ê ïðèìåðó 2.29 n:100000$ m:3$p:0.0001$ q:1-p$ L:n*p; PB:binomial(n,m)*p^m*q^(n-m); (PB) 0.007564914689311556 npq:sqrt(L*q); x:(m-L)/npq; PL:1/(npq*sqrt(2*%pi))*exp(-x^2/2); (PL) 0.01088438482539428 PP:L^m*exp(-L)/m!; (PP) 0.007566654960414142 Ïî ôîðìóëå Ïóàññîíà (PP= 0.010884) ïîëó÷èëè áëèçêèå ê òî÷íûì ðåçóëüòàòàì PB=0.0075649, ïîëó÷åííûì ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè. Ëîêàëüíàÿ òåîðåìà Ëàïëàñà äàëà íåïðèåìëåìûå ðåçóëüòàòû (PL=0.01088.) Ðåøèì òåïåðü çàäà÷à á). Íàéä¼ì òåïåðü ñóììó âåðîÿòíîñòåé (%i14) S:1-sum(P[k],k,1,21); (S) 0.001587 Ïîñòðîèì ãðàôèê èçìåíåíèÿ âåðîÿòíîñòåé îò ÷èñëà áðàêîâàííûõ äåòàëåé k , ðèñ.10. Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî ÷èñëî áðàêîâàííûõ äåòàëåé, ðàñïîëîæåíî â äèàïàçîíå îò 2 äî 20. P:makelist(binomial(n,k)*p^k*q^(n-k),k,0,25); plot2d ([discrete, P],[x,2,22],[style,points], [gnuplot_postamble, " set grid"])$ J Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 55 2.12. Îòêëîíåíèå ÷àñòîòû îò âåðîÿòíîñòè Ïóñòü ïðîâîäÿòñÿ èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè ñ ïîñòîÿííîé âåðîÿòíîñòüþ p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â êàæäîì èç íèõ; ñîáûòèå A ïîÿâèëîñü m ðàç â n èñïûòàíèÿõ. Íàéäåì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòêëîíåíèå îòíîm ñèòåëüíîé ÷àñòîòû îò âåðîÿòíîñòè p ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå n   m ïðåâûøàåò çàäàííîãî ÷èñëà ε, ò.å. íàéäåì P − p 6 ε . Çàìåíÿÿ n íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíûì è ïðèìåíÿÿ èíòåãðàëüíóþ òåîðåìó Ëàïëàñà, ïîëó÷èì â óñëîâèÿõ òåîðåìû 2.8:     m m −p 6ε =P −ε6 −p6ε = P n n     np + nε − np = P np − nε 6 m 6 np + nε ≈ Φ − √ npq    r    r  r  np − nε − np n n n −Φ =Φ ε −Φ −ε = 2Φ ε . √ npq pq pq pq  ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ìû âîñïîëüçîâàëèñü íå÷¼òíîñòüþ ôóíêöèè Ëàïëàñà. Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî ïðè n → ∞, p ≈ / 0, p ≈ /1    r  m n P − p 6 ε ≈ 2Φ ε . (2.20) n pq Ïðèìåð 2.30. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ëàìïî÷êà áðàêîâàííàÿ p = 0,1. Îïðåäåëèòü, ñêîëüêî ëàìïî÷åê íóæíî îòîáðàòü äëÿ ïðîâåðêè, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,9544 ìîæíî áûëî óòâåðæäàòü, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà áðàêîâàííûõ ëàìïî÷åê îòëè÷àåòñÿ îò âåðîÿòíîñòè p ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå áîëåå, ÷åì íà 0,03. IÇäåñü p = 0,1; q = 0,9; ε = 0,03;   m P − 0,1 6 0,03 = 0,9544. n Íàéä¼ì n. Ïî ôîðìóëå (2.20):   r √ n = 0,9544 =⇒ Φ(0,1 · n) = 2Φ 0,03 0,1 · 0,9 √ = 0,4772 =⇒ 0,1 n = 2 =⇒ n = 400. 56 Ëåêöèÿ 2. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò îçíà÷àåò, ÷òî â ïàðòèè èç 400 ëàìïî÷åê êîëè÷åñòâî m áðàêîâàííûõ áóäåò ñ âåðîÿòíîñòüþ áëèçêîé ê 1 çàêëþ÷åíî â ïðåäåëàõ îò 400 · 0,1 − 400 · 0,03 = 28 äî 400 · 0,1 + 400 · 0,03 = 52.J