Основные свойства нелинейных цепей и составляющих их элементов. Расчет установившихся режимов нелинейных электрических цепей

Лекция 1 Основные свойства нелинейных цепей и составляющих их элементов. Электрические цепи, которые вы изучали в прошедших семестрах, называются линейными. Это связано с тем, что параметры элементов таких цепей не зависят от режима работы цепей. Применительно к электрическим цепям, это значит, что активные сопротивления, индуктивности и емкости элементов, слагающих цепь, остаются постоянными при любых токах и напряжениях на них. ВольтАмперные характеристики таких элементов представляют из себя прямые линии, проходящие через начало координат. Линейность характеристик большинства элементов является только первым приближением их реальных свойств. Она проявляется только в каком-то ограниченном диапазоне. Возьмем, например, металлический проводник. Из-за обладания некоторым удельным электрическим сопротивлением он, при протекании по нему электрического тока, начинает нагреваться. Пока сила тока мала и, следовательно, выделение тепловой энергии не велико, его температура мало отличается от температуры окружающей среды. По мере роста силы тока тепловыделение и температура растут. Удельное электрическое сопротивление металлов растет с увеличение температуры. Из-за этого Вольт-Амперная характеристика проволочного резистора изгибается. Такой элемент называется нелинейным. На рисунке 1 показаны ВольтАмперные характеристики нелинейного элемента (проволочное сопротивление) и линейного сопротивления величиной 2 Ома. На оси абсцисс отложена сила тока в Амперах, а на оси ординат напряжение в Вольтах. Рис. 1. Вольт-Амперные характеристики линейного uL(i) и нелинейного uN(i) сопротивлений. В пределах тока от нуля до двух Ампер характеристика нелинейного элемента почти не отличается от прямой линии и, следовательно, в этом диапазоне его можно считать линейным. Другим примером нелинейного элемента, часто используемым в электрических цепях, служит катушка с ферромагнитным сердечником. По мере роста силы тока, протекающего по ней, магнитный поток в магнитопроводе первначально увеличивается быстро, а дальнейшем, из-за наличия явления насыщения, рост величины магнитного потока все более замедляется. Весьма часто рабочие диапазоны элементов электрических цепей выбираются в зонах линейности их свойств. Это позволяет использовать для расчета режимов законы теории линейных электрических цепей. Но это удается далеко не всегда. Так, например, при конструировании электрических машин большой мощности возможности металлургии и транспортировки ограничивают их максимальные размеры. Из-за этого ферромагнитные материалы, имеющиеся в них, спользуются все более интенсивно, а их нелинейные свойства проявляются сильнее. Очень часто только использование нелинейных элементов позволяет сконструировать устройства с требуемыми потребительскими свойствами. К таким устройствам относятся выпрямители, инверторы, частотные преобразователи, ограничители перенапряжений и многие другие. Более подробно от таких устройствах и используемых в них нелинейных материалах можно прочитать в соответствующей литературе. Рекомендуемая литература: [1], Глава 19 Расчет установившихся режимов нелинейных электрических цепей при постоянном токе Рассмотрим приемы расчета нелинейных электрических цепей при воздействии источников постоянных ЭДС. Нелинейные сопротивления, имеющиеся в них, обозначаются на схемах в виде Свойства нелинейных элементов задаются их Вольт-Амперными u(i) или Ампер-Вольтными i(u) характеристиками. Методика расчета, в общем, повторяет методику для линейных цепей, но оперировать приходится не с числами, а с характеристиками. Рассмотрим расчет режима на примере схемы, изображенной на рис. 2. нэ1 i3 i1 U r3 i2 нэ2 Рис. 2. Схема цепи. Параметры цепи: U = 25 В, r3 = 2 Ом. Вольт амперные характеристики элементов приведены на рис. 3. Рис. 3. Вольт-Амперные характеристики элементов цепи. Решение задачи графическим методом: Если бы вместо нелинейных элементов нэ1 и нэ3 в схеме имелись бы линейные сопротивления r1 и r3 то первым шагом решения был бы расчет величины сопротивления r23, эквивалентного двум параллельно соединенным сопротивлениям r1 и r3. Для этого было бы нужно сложить их проводимости g23 = r2-1 + r3-1 и получить сопротивление r23 = g23-1. В случае нелинейных элементов (или хотя бы одного) необходимо складывать абсциссы их характеристик, так как при параллельном соединении элементов напряжения на них одинаковы, а токи суммируются. Эта операция иллюстрируется рисунком 4. Рис. 4. Получение Вольт-Амперной характеристики элемента, эквивалентного нэ2 и r3. Это преобразование соответствует получению эквивалентной схемы, изображенной на рисунке 5. нэ1 U i1 нэ23 Рис. 5. Эквивалентная схема замещения после параллельного сложения элементов нэ2 и r3. Последовательному сложению элементов нэ1 и нэ23 будет соответствовать сложение ординат их Вольт-Амперных характеристик, так как в этом случае через них протекает один и тот же ток, а напряжения на них складываются. Эту операцию иллюстрирует рисунок 6. Рис. 6. Получение Вольт- Амперной характеристики всей цепи u(i). После построения характеристик u23(i) и u(i) можно приступить к расчету режима, ход которого показан на рисунке 7. Величина тока i1 находится как абсцисса точки пересечения характеристики u(i) (сиреневая кривая) и горизонтали, соответствующей напряжению питания U (черная прямая). Напряжения u1 и u2 находятся как точки пересечения вертикальной пунктирной линии черного цвета, абсцисса которой равна i1 с характеристиками u1(i) (красная линия) и u23(i) (зеленая линия). Токи i2 и i3 получаются равными абсциссам точек пересечения горизонтальной линии, ордината которой равна u2 с Вольт-Амперными характеристиками u2(i) (синяя линия) и u3(i) (коричневая линия). Если все построения выполнить аккуратно, то можно получить следующие значения токов и напряжений: i1 = 7,1 A; i2 = 1,7 A i3 = 5,4 A; u1 = 14 В; u2 = u3 = 10 В. Рис. 7. Расчет режима нелинейной цепи графическим методом. Решение задачи численным методом: Для получения решения численным методом следует воспользоваться какой либо программой автоматизации решения систем нелинейных алгебраических уравнений, например программой Mathcad. Первым пунктом решения должно стать задание исходных данных и аппроксимация Вольт-Амперных характеристик какой-либо математической зависимостью. В данной задаче использовались зависимости u1(i) = i + 0,02i3 и u2(i) = 15 atan(i/2). Вторым пунктом – задание начального приближения искомых величин. В данном случае будем искать токи и зададим их начальные значения произвольно: i1 = i2 = i3 = 0. Третьим пунктом будет само решение системы нелинейных алгебраических уравнений, составленной для данной цепи по законам Кирхгофа. В результате решения получаются следующие значения искомых величин: i1 = 7,103 A; i2 = 1,738 A i3 = 5,365 A; u1 = 14,27 В; u2 = u3 = 10,73 В. Текст программы приведен на рисунке 8. Численное решение получается более точным и менее трудоемким. Но для получения такого решения требуется наличие компьютера, программы автоматизации расчетов и умения ею пользоваться. Основы использования программы Mathcad для решения электротехнических задач давались в курсах «Компьютерные технологии» и «Математические задачи в электроэнергетике». Рис. 8. Текст программы расчета режима нелинейной электрической цепи, реализованной в среде Mathcad. Рекомендованная литература: 1. «Теоретические основы электротехники»: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 2. – 4-е изд./ К.С. Демирчян, Л.Р.Нейман, Н.В.Коровкин, В.Л.Чечурин. – СПб.: Питер 2003 – 576 с.: ил.