Основные понятия и законы электрических цепей

ЛЕКЦИЯ 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Введение 1.1. Основные электрические величины 1.2. Электрическая цепь и ее элементы 1.3. Схема замещения электрической цепи 1.3.1. Активные элементы 1.3.2. Пассивные элементы 1.4. Законы электрических цепей ВВЕДЕНИЕ Электротехника – область науки и техники, связанная с применением электрических и магнитных явлений для практических целей. Электрические и магнитные явления были предметом наблюдений, а затем изучения и применения с древнейших времен (электризация трением, грозовые разряды, отклонение магнитной стрелки). Первое обстоятельное научное сочинение о магнитных и электрических явлениях, положившее начало исследованиям в области электричества и магнетизма, написано У. Гильбертом в 1600 г. В 18-м веке были изучены основные явления электростатики – извлечение трением и накопление статического электричества, его измерение (Рихман), разделение на положительные и отрицательные заряды (Франклин), изучение атмосферного электричества (Ломоносов, Рихман, Франклин), открытие явления электростатической индукции (Эпинус), закон взаимодействия электрически заряженных тел (Кулон, 1785 г.). В 19-м веке были изучены фундаментальные электрические и магнитные явления. Гальвани в 1791 г. открыл физиологическое действие тока – животное электричество. В 1800 г. был построен Вольтом первый генератор электрического тока – вольтов столб (серебряно-цинковый гальванический элемент). После известия о гальвани-вольтовских опытах в 1803 г. Петровым была написана первая монография о новом источнике и проведены опыты с самой мощной батареей (2100 медно-цинковых элементов). В результате этих опытов была открыта электрическая дуга. Эрстед в 1820 г. открыл явление электромагнетизма. Он обнаружил вокруг проволоки с током магнитное поле, действующее на ток. В 1826г. Ампер издает основы электродинамики – учения о движении и взаимодействии электрических зарядов «теория электродинамических явлений». Фарадей в 1831 г. сформулировал закон электромагнитной индукции. Устанавливаются фундаментальные законы теории электрических и магнитных цепей – закон Ома (1827 г.), Кирхгофа (1847 г.). Максвеллу принадлежит создание теории электромагнитного поля («Трактат об электричестве и магнетизме», 1873 г.). В 1886-1889 гг. Герцу и в 1895 г. Попову принадлежит открытие и изучение явления распространения электромагнитных волн. Изучение электрических и магнитных явлений создало теоретическую и практическую базу для овладения человечеством новым видом энергии – электрической. 1. Электрические и магнитные явления обусловлены существованием, движением и взаимодействием заряженных частиц и окружающих их электромагнитных полей (из которых состоят все тела в природе). 2. Заряженные частицы и окружающие их электромагнитные поля обладают энергией (электрической энергией). 2 3. Задача электротехники заключается в получении (высвобождении, выделении) электрической энергии, ее передаче и преобразовании в другие необходимые потребителю виды энергии. Достоинства электрической энергии: 1. Универсальность преобразования в любой вид энергии и наоборот. 2. Передача на огромные расстояния с малыми потерями и исключительно быстро. 3. Простота дробления. 4. Простота управления. 5. Постоянная готовность к работе. 6. Отсутствие загрязнения среды. Электрическая энергия широко используется во всех трех сферах деятельности человека: – переработка энергии (генераторы, двигатели, энергосистемы), преобразование и передача первичной энергии, запасенной в природе, потребителю; – переработка информации (радиотехника, электроника, измерительная техника, системы автоматического контроля, электронновычислительная техника); – переработка материалов (электрофизические методы обработки). С конца 19 века и по настоящее время человечество переживает процесс сплошной электрификации всех отраслей материального производства. В промышленно развитых странах каждые 10 лет потребление энергии удваивается. В слаборазвитых странах удвоение происходит каждые 4 года. (Для сравнения: потребление всех видов энергии в мире удваивается каждые 15 лет). К 2000 году доля потребления электрической энергии составила 40% от общего потребления энергии (15% в 1975г.). 3 в мире Курс ТОЭ является фундаментальным для подготовки инженеровэлектриков. Основная задача изучения курса ТОЭ – изучение одной из форм материи – электромагнитного поля и его использования в различных устройствах техники, изучение методов анализа, синтеза и расчета электрических и магнитных полей для понимания и успешного решения проблем специально. Литература 1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники т. 1-Л.: Энергоиздат, 1981. -536 с. 2. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники т. 2-Л.: Энергоиздат, 1981. -416 с. 3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. -8-е изд- М.: Высш. Школа, 1984. -559 с. 4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. -8-е изд- М.: Высш. Школа, 1986. –263 с. 5. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. - М.: Высш. Школа, 1981. -333 с. 6. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи. - М.: Высш. Школа, 1986. –352 с. 7. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники. Под ред. П.А. Конкина. - М.: Энергоиздат, 1982. -760 с. 8. Сборник задач по теоретическим основам электротехники Под ред. Бессонова Л.А. -2-е изд. - М.: Высш. Школа, 1980. -472 с. 9. Сборник задач по теории электрических цепей. Под редакцией П.Н. Матханова и Л.В. Данилова. -М.: Высш.школа, 1980. -224с 10. Понятия и термины, КПИ, 1988. 11. Задачи по 1 части, КПИ, 1984. Задачи по 2 части, КПИ, 1984. 4 1.1. Основные электрические величины Электромагнитные процессы в электрических цепях характеризуются следующими основными электрическими величинами: – Э.Д.С., – электрический потенциал, – электрическое напряжение, – электрический ток, а также энергетическими величинами: – электрическая энергия, – электрическая мощность. Потенциал ϕ некоторой точки электрической цепи – величина, равная потенциальной энергии W, которой обладает единичный положительный заряд, находящийся в данной точке. ϕ= W q [Дж]/[Кл]=[В]. Если соединить данную точку электрической цепи с точкой с нулевым потенциалом (заземленную точку), то энергия по перемещению заряда из данной точки в нулевую равна W (независимо от пути !). Разность потенциалов двух точек электрической цепи (ϕ1–ϕ2) равна работе по перемещению единичного положительного заряда из одной данной точки в другую. ϕ1 − ϕ 2 = W1 W2 . − q1 q 2 В источнике за счет внешних сил неэлектрического происхождения (сторонних сил), взаимодействия действующих заряженных навстречу частиц 5 электростатическим внутри источника, силам происходит разделение зарядов, создается и поддерживается разность потенциалов на зажимах источника э.д.с. Э.д.с. e(t), E – энергия, которую приобретает единичный положительный заряд, перемещаясь под действием сторонних сил внутри источникам (работа, совершенная сторонними силами при переносе единичного заряда между зажимами источника). Э.д.с. равна также разности потенциалов на зажимах источника. E= A . q Под действием э.д.с. источника (разности потенциалов на зажимах источника, электрического поля источника) в электрической цепи, составленной из проводников, начнется направленное, упорядоченное движения электрических зарядов – потечет электрический ток. Электрический ток – направленное, упорядоченное перемещение электрических зарядов в электрической цепи. Мгновенное значение тока: i(t )= dq(t ) . dt Постоянный ток: I= Под направлением Q t [Кл]/[с]=[А]. тока понимают направление перемещения положительных зарядов. Величина тока (сила тока) определяется количеством электричества (зарядом), перемещающимся через поперечное сечение проводника в единицу времени. Плотность тока – сила тока через единицу площади поперечного сечения проводника. Для равномерно распределенного тока по сечению: δ= I S [А/м2]. 6 Напряжение (падение напряжения на участке цепи, разность потенциалов на зажимах приемника) u(t), U – работа, совершаемая силами электрического поля источника по перемещению единичного положительного заряда по этому участку цепи. U12 = A12 . q Понятие напряжения имеет смысл для двух точек электрической цепи. Диапазоны напряжений: – аккумуляторные батареи 1 – 12 В; – сеть 127 – 220 В; – кабельные сети 6 – 11 кВ; – воздушные линии 110 – 1000 кВ; – молния 100000 кВ. Диапазоны токов: – электроника мкА, мА; – лампы накаливания до 1 А; – нагревательные приборы до 10 А; – электродвигатели десятки, сотни А, кА. Электрическое сопротивление – препятствие упорядоченному движению электрических зарядов. Природа сопротивления и энергетические процессы в нем могут быть различны. Наличие сопротивления связано с расходом энергии источником и преобразовании на элементе, обладающем сопротивлением, электромагнитной энергии источника в другие виды энергии. 7 Энергия, израсходованная в цепи к моменту времени t при прохождении тока i(t) под действием напряжения u(t): t t −∞ −∞ W(t )= ∫ u (t )⋅ dq = ∫ u (t )⋅ i (t )⋅ dt = t ∫ p(t )⋅ dt [Дж], −∞ где p(t) – мгновенная мощность – интенсивность энергетического процесса; p(t)=u(t)i(t). Для постоянного тока: P=UI [Вт]. 8 ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Электрическая цепь – совокупность устройств (элементов), предназначенных для направленного движения электрических зарядов (электрического тока) и связанных с ним электромагнитных процессов. 1.2. Электрическая цепь и ее элементы Электрическая цепь служит для генерирования, передачи и преобразования электрической (электромагнитной) энергии и сигналов. Основные элементы электрической цепи – источники, приемники и линии передачи. Источник электрической энергии и сигналов – устройство, преобразующее различные виды энергии неэлектромагнитной природы в электромагнитную (гальванический элемент, аккумулятор, электромеханический генератор). Приемник электрической энергии и электрических сигналов – устройство, преобразующее электрическую энергию в другие виды энергии (электротермические устройства, электрические лампы, резисторы, электрические двигатели). Линия передачи электрической энергии и электрических сигналов – проводники (материалы, среды, имеющие свободные заряды) и электромагнитные поля, с помощью которых осуществляется передача электрической энергии и сигналов от источников к приемникам. Кроме того, преобразовательные, элементами электрической коммутационные и цепи могут измерительные быть устройства (приборы). Преобразователь электрической энергии – устройство, преобразующее параметры (напряжение, ток, их 9 форму, величину, частоту) электромагнитной энергии (трансформаторы, выпрямители, инверторы, преобразователь частоты). Коммутационные устройства – предназначены для изменения режима работы электрической цепи: отключение и включение источников, приемников, изменения параметров участков цепи. Это контакторы, переключатели, выключатели, разъединители. Измерительные устройства – приборы для измерения различных параметров электромагнитных процессов, протекающих в электрической цепи (амперметры, вольтметры, ваттметры и т.д.). Схема электрической цепи – графическое изображение электрической цепи, содержащее условные изображения ее элементов и показывающее соединение этих элементов. ЕСКД «Обозначения условные графические в схемах». ГОСТ 2.721-74 – 2.758-81. Приемники, источники: – элемент гальванический; 6-8 – лампа накаливания; 9 G 12 – генератор постоянного тока электромеханического типа; 10 4 – резистор; 10 – потенциометр; – реостат; – катушка индуктивности; 1,5 - 4 8 1,5 – конденсатор. Коммутационные устройства: – нормально разомкнутый контакт; – нормально замкнутый контакт; – переключающий контакт. Показывающие приборы (A, V, W): A 10 Преобразовательные устройства: – воздушный трансформатор; – диодный мост (двухполупериодный выпрямитель); ~ – инвертор. 11 Принципиальная схема электрической цепи – схема электрической цепи, изображающая соединение реальных элементов этой цепи. Пример. Простейшая электрическая цепь – гальванический элемент, соединенный с лампой накаливания через выключатель с помощью соединительных проводов. Для измерения напряжения и тока в цепь включены вольтметр и амперметр. A Функциональная (структурная, блок-схема) – схема электрической цепи, изображающая соединение отдельных блоков сложной электрической цепи, выполняющих определенные функции (усиление, выпрямление, инвертирование т.д.) Двухполюсник – часть электрической цепи, которая рассматривается относительно двух каких-либо зажимов. Четырехполюсник – часть электрической цепи, имеющая два входных и два выходных зажима. Активная цепь – часть электрической цепи, в которой действуют источники электрической энергии. Пассивная цепь – часть электрической цепи, в которой нет источника электрической энергии. 1.3. Схема замещения электрической цепи Ни функциональная, ни принципиальная схемы электрических цепей не отражают количественную сторону электромагнитных процессов, которые имеют место в элементах цепи и которые определяют режим работы этой цепи независимо от конструкции и физической природы этих элементов. 12 Схема замещения (расчетная математическая модель, эквивалентная) электрической цепи – схема электрической цепи, изображающая соединения абстрактных, идеальных элементов, с достаточным приближением отображающих электромагнитные процессы в электрической цепи. В теории электрических цепей реальные элементы, из которых составляется электрическая цепь, заменяются абстрактными идеальными элементами с определенными свойствами. Какие же это элементы? И какие электромагнитные процессы они отражают? 1.3.1. Активные элементы Идеальный источник напряжения (э.д.с.) В любом источнике электрической энергии существует электрическое поле за счет разделения зарядов внешними силами неэлектрического происхождения. Источники электрической энергии делятся на источники напряжения и источники тока. Источник напряжения – напряжение на зажимах практически не зависит от тока, идущего от источника в приемник, и внутреннее сопротивление которых мало, так что напряжение на зажимах источника сравнительно мало изменяется при изменении протекающего через него тока. Источник напряжения характеризуется внешней характеристикой U=f(I). U E идеальный реальный I Вольт-амперная характеристика источника э.д.с. 13 Идеальный источник напряжения (источник э.д.с.) – Ri=0, E=const, U=E=const. I E E U Ri Rн U=E – RiI Изображение источника э.д.с. и его схема замещения Идеальный источник тока Источник тока – источник электрической энергии, в котором ток практически не зависит от напряжения, которое создается источником на зажимах приемника. Источник тока имеет большое внутреннее сопротивление Ri (малую проводимость Gi), так что ток, поступающий в приемник, мало изменяется при изменении напряжения на зажимах источника. Источник тока характеризуется внешней характеристикой I=f(U). I J идеальный Ri=∞ реальный Ri≠∞ U Вольт-амперная характеристика источника тока Идеальный источник тока – Ri = ∞ (Gi=0), J=const, I=J=const. 14 I Gi J Rн U J I=J –UGi I=J – U/Ri Изображение источника тока и его схема замещения 1.3.2. Пассивные элементы Идеальный резистивный элемент 4 10 Идеальный резистивный элемент – элемент схемы замещения электротехнического устройства, отображающий имеющий место в этом устройстве необратимый процесс преобразования электрической энергии источника в другие виды энергии (в большинстве случаев в тепловую энергию). Природа ИРЭ в большинстве случаев (в цепях постоянного тока всегда) обусловлена столкновением заряженных частиц с атомами кристаллической решетки проводника и необратимым преобразованием электрической энергии источника посредством кинетической энергии движущихся электронов во внутреннюю (тепловую) энергию проводника. Параметр G= ИРЭ – сопротивление I 1 = [См] – определяется отношением: U R R_ = P – для постоянного тока; I2 R≈ = p (t ) – для переменного тока. i 2 (t ) 15 R= U [Ом] I или проводимость Напряжение и ток на ИРЭ: u R(t )= R ⋅ iR(t ); i R(t )= u R(t ) . R Электротехнический прибор, реальный элемент электрической цепи, специально изготовленный, единственным свойством которого является необратимый процесс преобразования электрической энергии источника в тепловую – резистор. Условное обозначение на схемах резистора такое же, как и ИРЭ: 4 10 Зависимость тока от напряжения на зажимах ИРЭ называют вольтамперной характеристикой элемента (ВАХ). I нелинейный линейный U Если ВАХ линейна, то элемент линейный и электрическая цепь линейна. Если ВАХ нелинейна, то элемент нелинейный и электрическая цепь нелинейна. Идеальный индуктивный элемент (ИИЭ) 1,5 - 4 Идеальный индуктивный элемент – элемент схемы замещения электротехнического устройства, отображающий имеющий место в этом устройстве процесс преобразования электрической энергии источника в энергию магнитного поля. Этот процесс обратим. 16 Параметр ИИЭ – индуктивность L, характеризует способность электротехнического устройства к созданию магнитного поля при протекании через него электрического тока (коэффициент самоиндукции). L определяется соотношением для катушек индуктивности: L− = ψ [Гн]; I L≈ = ψ (t ) . i (t ) Напряжение и ток на ИИЭ: u L (t ) = L di L (t ) ; dt i L (t ) = 1 u L (t )dt . L∫ Зависимость потокосцепления элемента или участка цепи от тока в ней называют вебер-амперной характеристикой. Реальный элемент, близкий к ИИЭ – индуктивная катушка. реальный Ψ=LI идеальный I Идеальный емкостный элемент (ИЕЭ) 8 1,5 Идеальный емкостный элемент – элемент схемы замещения электротехнического устройства, отображающий имеющий место в этом устройстве процесс преобразования электрической энергии источника в энергию электрического поля. Этот энергетический процесс обратим. Параметр ИЕЭ электротехнического – емкость устройства C, характеризует накапливать электрическое поле. 17 заряды способность и создавать C− = Q [Ô ] ; U C≈ = q(t ) . u (t ) Напряжение и ток на ИЕЭ: u C (t ) = du (t ) 1 iC (t )dt ; iC (t ) = C C . ∫ dt C Зависимость заряда элемента или участка цепи от приложенного к нему напряжения называют кулон-вольтной характеристикой. Реальный элемент, близкий по своим свойствам к ИЕЭ – конденсатор. Q=CU реальный идеальный U Идеальный элемент взаимоиндукции M L1 L2 Если две катушки индуктивности расположены рядом или намотаны на общем сердечнике, то магнитный ток одной катушки будет пронизывать витки другой катушки и наоборот. Такие катушки индуктивности с общим (взаимным) магнитным полем называются связанными (индуктивно связанными). Идеальный элемент взаимоиндукции – связанные катушки при отсутствии потерь в них. Параметр ИЭВ – взаимная индуктивность M характеризует способность двух индуктивно связанных элементов к созданию магнитного потока одного из элементов в связи с протеканием тока в другом элементе. 18 M= Φ 21 Φ 12 . = I1 I2 Реальный элемент, близкий по своим свойствам к ИЭВ – воздушный трансформатор. 1.4. Законы электрических цепей Закон Ома для участка цепи без э.д.с.: I = Закон Ома для полной цепи: I = U12 ϕ1 − ϕ 2 . = R R E . Ri + R Закон Ома для участка цепи с э.д.с.: I = ± U 12 ± E ± (ϕ 1 − ϕ 2 ) ± E . = R R Знак (+) – если направление величины совпадает с направлением тока; знак (-) – если противоположно. Пример: I= + U 12 − E1 + E 2 R R E1 I E2 U12 1-й закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов сходящихся в узле равна нулю. n ∑I i = 0 – узловые уравнения. i =1 Выходящие(вытекающие) из узла (+). Входящие(втекающие) в узел (-). I1 I2 I3 19 2-й закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма падений напряжений на элементах контура равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в этом же контуре. n m i =1 i =1 ∑ I i R i = ∑ E i – контурные уравнения I E UR2 U UR1 R1 R2 2-й закон Кирхгофа распространяется и на мысленно образованные замкнутые контуры разомкнутых цепях. nв ∑u i = 0 – сумма произведений напряжений и токов всех ветвей k k k =1 графа, удовлетворяющих законам Кирхгофа равна нулю. Основывается на теореме Теллегена. Закон сохранения энергии (энергообмена) Сумма мощностей, потребляемых приемниками электрической энергии в электрической цепи равна сумме мощностей источников э.д.с. и тока в этой цепи. n m k i =1 i =1 i =1 ∑ I i2 R i = ∑ E i I i + ∑ U i J i Примечание. 1. Мощность, выделяемая на внутренних сопротивлениях источников, входит в левую часть уравнения. 2. Если направления э.д.с. и тока в источнике противоположны, то источник работает в режиме приемника. 20 Условно-положительное направление: э.д.с. – направление переноса положительного заряда внутри источника; тока – направление перемещения положительных зарядов; напряжения – от большего потенциала к меньшему (совпадает с положительным направлением тока). Режимы работы элементов и участков электрической цепи Холостой ход – отсутствие тока. Короткое замыкание – сопротивление элемента или участка цепи равно нулю. Номинальный режим – максимально допустимый при длительной работе без повреждений. 2 I E φ 1 UR1 φ2 UR2 R1 φ1 R2 φ0 φ0 R1 R1+R2 R Потенциальная диаграмма – график распределения потенциалов вдоль любого участка цепи или контура. При этом по оси абсцисс откладывается сопротивление участков цепи, а по оси ординат – потенциалы между этими участками. 21 ЛЕКЦИЯ 2 АНАЛИЗ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ 2.1. Основные принципы, теоремы и преобразования линейных электрических цепей 2.2. Методы анализа резистивных цепей по уравнениям 2.2.1. Анализ линейных электрических цепей постоянного тока 2.2.2. Метод непосредственно применения законов Кирхгофа 2.2.3. Метод контурных токов 2.2.4. Метод узловых потенциалов 2.2.5. Метод суперпозиции (наложения) 2.2.6. Метод эквивалентного генератора 2.3. Матричные методы анализа электрических цепей 2.3.1. Матрично-топологический метод анализа электрических цепей 2.3.2. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа в матрично-топологической форме 2.3.3. Матрично-топологическая форма метода контурных токов 2.3.4. Матрично-топологическая форма метода узловых потенциалов 2.1. Основные принципы, теоремы и преобразования линейных электрических цепей Принципы (свойства) 1. Принцип наложения (суперпозиции) – ток в каждой ветви равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых каждым из источников (э.д.с. и токов) схемы в отдельности. Принцип справедлив для всех линейных электрических цепей 2. Принцип взаимности (Максвелла) – ток в каждой ветви Ik вызванный единственным источником э.д.с. E, включенным в i-ю ветвь, равен току в i-ой ветви при включении этого же источника в каждую ветвь. Ri E Rk Ri Ik Ii= Ik Rk E Цепи для которых выполняется принцип взаимности называются взаимными, обратимыми. Нелинейные цепи – необратимые. 3. Принцип линейности – две любые величины (токи и напряжения) двух любых ветвей связаны друг с другом линейным соотношением вида y=a+bx независимо от изменения э.д.с. (тока) источника или сопротивления в какой-либо одной ветви. Линейное соотношение между двумя любыми величинами двух любых ветвей не зависит от изменения э.д.с., тока источника тока или сопротивления в какой-либо третьей ветви. R E I1 I2 I1=a+b·I2, при R=R1 и при Теоремы 1. Теорема компенсации – токораспределение в электрической цепи не изменится, если любой пассивный элемент цепи заменить источником э.д.с., величина э.д.с. которого равна напряжению на этом элементе, а направление противоположно току в этом элементе. 2 a a I A R I E=I·R A b b ! 2. Теорема об эквивалентном источнике (теорема об активном двухполюснике) – активный двухполюсник по отношению к рассматриваемой ветви можно заменить эквивалентным источником, э.д.с. которого равна напряжению холостого хода двухполюсника, а внутреннее сопротивление – входному сопротивлению двухполюсника. a a R A Rэкв " R Eэкв b b a a Uхх= Uэкв A Rвх= Rэкв П b b Активный двухполюсник можно заменить эквивалентным источником тока, ток которого равен току короткого замыкания двухполюсника, а внутренняя проводимость – входной проводимости двухполюсника. a a Gэкв R A " R Jэкв b 3 b a A a Gвх= Gэкв П Jкз= Jэкв b b 3. Теорема вариации (теорема о взаимных приращениях) Изменение токов в ветвях, обусловленное изменением сопротивления какой-либо ветви электрической цепи на величину ±∆R, будет таким же как при действии в этой ветви э.д.с., направленной противоположно первоначальному току этой ветви и равной по величине и знаку ±∆R (I+∆I). I-й вариант I+ΔI II-й вариант I I+ΔI R A R ΔE=ΔR·(I+ΔI) ΔR I+ΔI E=ΔR·(I+ΔI) A 4 Эквивалентные преобразования 1. Преобразование звезда - треугольник Y⇒∇ и треугольник - звезда ∇⇒Υ. a a Ra Rc Rca Rab Rb c b c b Rbc ∇⇒Υ Y⇒∇ Ra = Rab Rca Rab + Rbc + Rca Rab = Ra + Rb + Ra Rb Rc Rb = Rbc Rab Rab + Rbc + Rca Rbc = Rb + Rc + Rb Rc Ra Rc = Rca Rbc Rab + Rbc + Rca Rca = Rc + Ra + Rc Ra Rb 2. Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источники э.д.с. и источники тока, одной эквивалентной. E c E a c d b " e a E b d E e 5 c c b J a b " d a d J J J 3. Преобразования источников электрической энергии. I I E U Rн J " Ri U Rн Ri J = U/Ri E = Ri·I 2.2. Методы анализа резистивных цепей по уравнениям Линейные цепи – параметры (R, L, C, M) элементов схемы замещения не зависят от величины и направления протекающих к ним напряжений. Задачи теории электрических цепей делятся на задачи анализа и задачи синтеза. Анализ – расчет электрических процессов в заданных электрических цепях, т.е. с заданной структурой и заданными характеристиками всех элементов цепи. Синтез – отыскание структуры цепи и характеристика ее элементов при которых электрический процесс в цепи будет подчиняться заданным закономерностям. 6 2.2.1. Анализ линейных электрических цепей постоянного тока Даны: величины э.д.с. и токов источников энергии их внутренние сопротивления, величины сопротивлений приемников; дана схема электрической цепи. Определить: величины токов во всех элементах цепи. Постоянный ток – неизменный по величине и по направлению. Идеальные емкостный и индуктивный элементы, а также элемент взаимоиндукции при анализе цепей постоянного тока не учитываются т.к.: сопротивление идеального индуктивного элемента постоянному току равно нулю. Идеальный емкостный элемент не пропускает постоянный ток. Цепи с одним источником питания. Метод эквивалентных преобразований Анализ основан на законе Ома и методе эквивалентных преобразований (эквивалентного сопротивления, свертки). Эквивалентное преобразование – замена группы элементов этого участка одним (или несколькими элементами с другой конфигурацией соединений) при условии, что режим работы в остальной части цепи не меняется. Алгоритм расчета 1. Путем последовательных упрощений с помощью эквивалентных преобразований рассчитывают эквивалентное сопротивление цепи. В результате получают неразветвленную электрическую цепь с одним источником и эквивалентным сопротивлением цепи. 2. Определяют ток через источник при помощи закона Ома для полной цепи I= E . Ri + Rэкв 7 3. Используя полученное значение тока через источник питания определяют токи во всех ветвях цепи. 4. Для проверки правильности расчета цепи составляют энергетический баланс цепи (или строят потенциальную диаграмму для любого контура). Примечание. 1. Если цепь питается от источника тока, то расчет ведут по п.3, 4. 2. В случае сложно разветвленной цепи необходимо воспользоваться эквивалентным преобразованием: Y⇒∇ и ∇⇒Υ Преобразование Y⇒∇ Rab = Ra + Rb + R ⋅R Ra ⋅ Rb R ⋅R ; Rbc = Rb + Rc + b c ; Rca = Rc + Ra + c a . Rc Ra Rb Преобразование ∇⇒Υ Ra = Rab ⋅ Rca Rbc ⋅ Rab Rac ⋅ Rbc ; Rb = ; Rc = . Rab + Rbc + Rca Rab + Rbc + Rca Rab + Rbc + Rca Пример 1 I1 R1 I1 1 R2 R14 1 R3 R23 ! E I2 R4 I3 2 R14 = R1 + R4 ; R23 = I1 = I1 E 2 R2 R3 ; Rэкв = R14 + R23 ; R2 + R3 R3 R2 E ; I2 = I1 ; I3 = I1 . Rэкв R2 + R3 R2 + R3 Проверка: I12 R1 + I22 R2 + I32 R3 + I12 R4 = EI1 . 8 Пример 2 J R1 J 1 R2 J R1 R3 R23 ! U I2 J U I3 J 2 Rэкв = R1 + 1 2 R2 R3 R3 R2 ; U = JRэкв ; I2 = J ; I3 = J . R2 + R3 R2 + R3 R2 + R3 Проверка: I12 R1 + I22 R2 + I32 R3 = UJ . Пример 3 1 1 Ri R1 R4 R2 2 E R3 R4 Ri ! R12 R13 R23 E R5 2 R5 3 3 Используется преобразование звезда – треугольник Y⇒∇. Цепи с несколькими источниками питания В основе расчета лежат законы Кирхгофа, принцип наложения, теорема об эквивалентном генераторе, принцип взаимности. Методы расчета, основанные на применении законов Кирхгофа и их модификации (метод контурных токов, метод узловых напряжений) – методы общего анализа цепей (определяются токи во всех ветвях). Методы наложения, эквивалентного генератора, взаимности – методы частичного анализа (определяется ток в одной ветви). 9 2.2.2. Метод непосредственно применения законов Кирхгофа Алгоритм расчета 1. Выбирают произвольное положительное направление искомых токов в ветвях и обозначают их на схеме. Число неизвестных токов равно числу всех ветвей схемы без учета ветвей содержащих источники тока, т.к. токи в ветвях, содержащих источники тока, известны – (в – вит). R3 1 I2 I1 R1 R2 E1 E2 I3 2 R4 – ветвей в=5; J5 – ветвей с источниками I4 тока вит=1; – узлов у=3. 3 2. Составляют уравнение по 1-му закону Кирхгофа для (y-1) узлов схемы, с учетом токов от источников тока, где y – число узлов схемы. Уравнение для последнего узла не составляют, т.к. оно совпало бы с уравнением, полученным при суммировании уже составленных уравнений для предыдущих узлов (т.е. линейно-независимых уравнений – (y-1)). При составлении уравнений следуют правилу: если ток выходит из узла, то его записывают со знаком (+), если входит – то со знаком (-). В рассматриваемом примере: + I1 − I 2 − I3 = 0 (для узла 1); − I1 + I 2 − I 4 + J = 0 (для узла 3). 3. Составляют [(в - вит) - (у - 1)] уравнений по 2 закону Кирхгофа для независимых контуров. 3.1. Выбирают независимые контуры. а) Их число равно [(в - вит) - (у - 1)]; 10 б) Независимый контур – контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры. Эффективно использовать метод ячеек, по которому каждый независимый контур – это ячейка сети (рыбацкой) – внутри отсутствуют ветви. в) При выборе контуров ветви с источником тока исключаются (в противном случае при составлении уравнений в них вошли бы бесконечно большие слагаемые и они не имели бы смысла (E=∞; R=∞)). 3.2. Выбирают положительное направление обхода контуров (обычно по часовой стрелке). R3 1 I1 R1 I2 I3 R2 2 R4 J5 E2 I4 E1 3 3.3. При составлении уравнений следуют правилу: если направление тока и э.д.с. на элементе совпадает с направлением обхода, то падение напряжения и э.д.с. записывают со знаком (+), если не совпадает, то со знаком (–). В рассматриваемом примере: − I1 R1 − I 2 R2 = E1 − E2 (для независимого контура E1# R1# R2# E2); + I 2 R2 − I3 R3 + I 4 R4 = E2 (для независимого контура E2# R2# R3# R4). 4. Решают тем или иным методом полученную систему линейных алгебраических уравнений. + I1 − I 2 − I3 = 0   −I +I −I +J =0 1 2 4 В рассматриваемом примере:  .  − I1 R1 − I2 R2 = E1 − E2 + I 2 R2 − I3 R3 + I 4 R4 = E2 11 5. На основании полученного решения проставляют на схеме реальное положительное направление токов в ветвях. 6. Проверяют правильность полученного решения с помощью энергобаланса или (и) потенциальной диаграммы: ∑ Ii2 Ri =∑ ± E j I j + ∑ ± J kU k . i j k В рассматриваемом примере: I12 R1 + I22 R2 + I32 R3 + I42 R4 = − E1I1 + E2 I2 + J5U 23 . 2.2.3. Метод контурных токов Метод основан на введении промежуточной неизвестной величины – контурного тока и использовании 2 закона Кирхгофа. Контурный ток – собственный ток каждого независимого контура. Реальный ток в ветвях определяется как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа, т.е. числу независимых контуров [(в - вит) - (у - 1)]. Алгоритм расчета (после вывода расчетных уравнений по 2 закону Кирхгофа): 1. Проставляют направления контурных токов на расчетной схеме. Для единообразия в знаках сопротивлений все контурные токи направляют в одну и туже сторону (например, по часовой стрелке). R3 1 I1 R1 I2 R2 I11 I3 I22 R4 J5 E2 E1 2 I4 3 12 I22=-J 2. Для каждого независимого контура (ячейки) составляют расчетное контурное уравнение согласно правилу: левая часть равна сумме произведений контурного тока на собственное сопротивление этого контура, взятое со знаком плюс, и контурных токов прилегающих контуров на сопротивления смежных ветвей, взятых со знаком минус: правая часть равна алгебраической сумме э.д.с. этого контура – контурной э.д.с. Примечание: При наличии ветвей с источниками тока либо источники тока преобразуют в эквивалентные источники э.д.с.; либо рассматривают контурный ток контура, в который входит ветвь с источником тока, как известный и равный току этого источника тока. Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными контурными токами. Напряжение на элементе от тока источника тока записывается в правой части уравнения со знаком (+), если направление обхода совпадает с направлением этого контурного тока (противоположно направлению этого тока на элементе). В рассматриваемом примере: I11( R1 + R2 )− I 22 R2 = E1 − E2  (для  − I11 R2 + I 22 ( R2 + R3 + R4 )+ JR4 = E2 контуров E1# R1# R2# E2 и E2# R2# R3# R4). 3. Решают тем или иным методом полученную систему линейных алгебраических уравнений. 4. На основании полученного решения определяют величину и направление реальных токов в ветвях, для чего: - в расчетной схеме изменяют на противоположное направление контурного тока полученного со знаком минус; - в ветвях внешнего контура расчетной схемы найденный контурный ток является действительным током ветви; - в смежных ветвях реальный ток ветви определяют алгебраической суммой контурных токов смежных контуров, в том числе и от источников 13 токов: при этом направление тока в ветви совпадает по направлению с общим по величине контурным током. В рассматриваемом примере: I1 = − I11 ; I 2 = − I11 + I 22 ; I 3 = − I 22 ; I 4 = I 22 + J . 5. Проверяют правильность полученного решения с помощью энергобаланса или (и) потенциальной диаграммы. 2.2.4. Метод узловых потенциалов Метод основан на введении промежуточной неизвестной величины – потенциала узла и использовании 1-го закона Кирхгофа. Если будут известны потенциалы узлов схемы, то ток в любой ветви можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего э.д.с., т.к. любая точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней (т.е. её потенциал можно принять равным нулю). В этом случае число неизвестных составляет (y-1) (т.е. равно числу независимых уравнений по 1-му закону Кирхгофа). Алгоритм расчета (после вывода расчетных уравнений по 1-му закону Кирхгофа): 1. Принимают потенциал одного из узлов равным 0. R3 1 I2 I1 R1 R2 E1 E2 I3 2 R4 J5 I4 3 2. Составляют уравнение для каждого из оставшихся (y-1) узлов согласно правилу: левая часть уравнения равна сумме произведений потенциала рассматриваемого узла на сумму проводимостей всех ветвей, 14 сходящихся в этом узле, взятое со знаком плюс, и потенциалов остальных узлов на сумму проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы с рассматриваемым узлом, взятые со знаком минус; правая часть уравнения равна алгебраической сумме произведений э.д.с. ветвей, сходящихся в рассматриваемом узле на проводимости этих ветвей (так называемый узловой ток рассматриваемого узла). При этом произведения берутся со знаком плюс, если э.д.с. направлены к рассматриваемому узлу. Примечание При наличии ветвей с источником тока необходимо учесть следующее: - проводимость ветви с источником тока равна пулю; - в правую часть уравнения добавляется алгебраическая сумма токов от источников тока в ветвях, сходящихся в рассматриваемом узле. При этом ток источника тока берется со знаком плюс, если он направлен к рассматриваемому узлу. В рассматриваемом примере: ϕ1(G1 + G2 + G3 )− ϕ 2G3 = E1G1 − E2 G2 (для узлов 1 и 2).  − ϕ1G3 + ϕ 2 (G3 + G4 )= J  3. Решают тем или иным способом полученную систему линейных алгебраических уравнений. 4. На основании полученного решения определяют величину и направление токов в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего э.д.с. В рассматриваемом примере: I1 = ϕ1 ϕ ϕ − ϕ1 ϕ ; I2 = − 1 ; I3 = 2 ; I4 = 2 . R1 R2 R3 R4 5. Проверяют правильность полученного решения с помощью баланса мощностей или (и) потенциальной диаграммы. 15 Метод двух узлов Этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов. 1 I2 I1 R1 E1 R2 I3 R3 E2 J3 I4 I5 R4 R5 2 Алгоритм расчета 1. Принимают потенциал одного из узлов равным нулю. Проставляют условно-положительные направления напряжения между узлами и токов в ветвях. 2. Определяют величину и реальное положительное направление напряжения между узлами по формуле U12 = ± ∑ Ek Gk ± ∑ J k . ∑ Gk При этом узловые токи ΣEkGk и ΣJk берутся со знаком плюс, если э.д.с. и ток источника тока направлены к узлу с условно взятым большим потенциалом. 3. Определяют величины и направления токов в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего э.д.с. 4. Проверяют правильность полученного решения с помощью энергобаланса или (и) потенциальной диаграммы. Замена нескольких параллельных ветвей с источниками на одну эквивалентную Использую формулу для определения напряжения между 2-мя узлами получают 16 n Eэкв = m ∑ ± EkGk + ∑ ± J k k=1 k=1 n ∑ Gk , k=1 где действует правило знаков: если э.д.с. и ток источника тока направлены к узлу с большим потенциалом, то берут (+), если нет, то (–). n При этом Gэкв = ∑ Gk . k =1 1 R1 E1 1 I R3 R2 E2 J3 Rэкв R4 R5 ! Eэкв 2 2 2.2.5. Метод суперпозиции (наложения) Метод наложения основывается на общефизическом принципе независимости действия сил в линейной системе (принцип наложения). В частности, для электрических цепей принцип положения формулируется так: ток в каждой ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из источников линейной электрической цепи в отдельности. Алгоритм расчета 1. Рассчитывают величину и направление частичных токов во всех ветвях электрической цепи, возникающих от действия каждого из источников в отдельности при удалении в цепи всех остальных источников (э.д.с. и токов). При этом в расчетной схеме остаются внутреннее сопротивление удаленных источников э.д.с. Ветви с источниками токов из схемы исключаются, т.к. их внутреннее сопротивление равно бесконечности. 17 R3 1 R1 R2 E1 E2 R3 1 2 R2 R1 R4 J5 E1 I`4= -I`3 3 3 R3 1 I``3 R4 I```3 2 I```2 I```1 R2 R3 1 2 I``2 R1 2 R4 I4 I``1 I`3 I`2 I`1 I2 I1 I3 R2 R1 R4 J5 E2 I``4=- I``3 3 2. Находят величины I```4 и направления 3 токов в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов. В рассматриваемом примере: I1 = I1′ + I1′′ + I1′′′ ; I 2 = I2′ + I2′′ + I 2′′′ ; I3 = I3′ + I3′′ + I3′′′ ; I 4 = I4′ + I4′′ + I 4′′′ . 3. Проверяют правильность полученного решения с помощью энергобаланса или (и) потенциальной диаграммы. 2.2.6. Метод эквивалентного генератора Метод основан на замене активного двухполюсника эквивалентным генератором и служит для расчета тока в отдельной ветви. В любой электрической цепи можно выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы независимо от ее структуры и сложности можно 18 рассматривать по отношению к выделенной ветви как двухполюсник – активный или пассивный. Теорема об активном двухполюснике – по отношению к выделенной ветви двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором, э.д.с. которого равна напряжению холостого хода (на зажимах выделенной ветви двухполюсника), а внутреннее сопротивление равно входному внутреннему эквивалентному сопротивлению двухполюсника. Алгоритм расчета 1. Выделяют двухполюсник по отношению к ветви, для которой рассчитывается ток. R3 1 I 1 2 I R1 E1 R2 R4 " J5 E2 R1 Rэкв E1 Eэкв 3 3 2. Тем или иным методом рассчитывают величину и полярность напряжения на зажимах двухполюсника при отключенной рассчитываемой ветви – напряжение холостого хода двухполюсника (э.д.с. эквивалентного генератора). R3 1 R2 Uхх=Eэкв E2 3 19 2 R4 J5 3. Определяют входное (внутреннее) сопротивление двухполюсника при закороченных источниках э.д.с. и разомкнутых ветвях с источниками тока (т.к. внутреннее сопротивление источников тока равно бесконечности) как эквивалентное сопротивление внутренней схемы двухполюсника по отношению к его выходным зажимам. R3 1 R2 2 R4 Ri=Rэкв 3 4. Рассчитывают искомый ток ветви I= E экв ± E . Ri + R Метод эквивалентного определении входного генератора внутреннего эффективен при сопротивления опытном активного двухполюсника. 1. Измеряют Uxx при разомкнутой ветви U xx = Eэкв . 2. Измеряют Iкз при закороченной ветви I кз = 3. Определяют Ri = Е экв . Ri U xx . I кз Метод эквивалентного генератора называют также методом ХХ и КЗ (холостого хода и короткого замыкания). 20 2.3. Матричные методы анализа электрических цепей Рассмотренные ранее методы анализа сложных цепей (метод непосредственного применения законов Кирхгофа – МНЗК, метод контурных токов – МКТ, метод узловых потенциалов – МУП) представляют собой методы составления системы уравнений цепи, т.е. методы получения математической модели цепи. Для выполнения анализа процессов в цепи эта система должна быть решена относительно искомых величин (токов). В случае традиционного (развернутого) метода составления и записи уравнений системы наиболее распространенными способами решения системы уравнений являются: – формула Крамера, т.е. непосредственное раскрытие определителей (n<5, т.к. число арифметических операций при этом равно n·n!; при n=5, число операций 600). – метод исключения по Гауссу (n<1000, т.к. число операций равно 2n 3 ). n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 Метод Крамера n·n! 4 18 96 600 4320 Метод Гаусса 2·n3 16 54 128 250 432 Использование метода Гаусса при n>1000 нецелесообразно, т.к. а) при n=1000 число операций равно 2·109 и ЭВМ с быстродействием 106 операций в секунду будет решать такую задачу 33 мин; б) метод Гаусса (как и формула Крамера) дает точное решение задачи, однако при использовании ЭВМ неизбежны ошибки округления, а потому при большом числе уравнений полученное решение может заметно отличаться от точного; 21 в) существенным параметром вычислительного процесса является и число используемых ячеек памяти, которое при n=1000 достигает 106. Поэтому при большом числе уравнений приходится использовать те или иные итерационные методы, когда решение находится как предел последовательных приближений (итераций), например, метод Зейделя. Особенность развития современных электрических цепей является: – увеличение количества элементов в цепях (ЭВМ, преобразовательная техника); – широкое применение ЭВМ для расчетов электрических цепей, что требует формализации записи уравнений, умения составлять экономичные алгоритмы. В этом смысле широкое распространение получил матричный метод записи и решения систем линейных алгебраических уравнений. Матрица – совокупность величин (элементов), расположенных в виде прямоугольной таблицы. Математическая символика и правила матричной алгебры позволяют: 1) упростить, сократить запись систем уравнений, получающихся при расчете сложных электрических цепей; в этом отношении матричную алгебру можно сравнить со стенографией, облегчающей и ускоряющей запись; цепи 2) упорядочить решение систем уравнений; 3) аналитически описать топологические свойства электрической и использовать их для машинного анализа проектирования электрических цепей; 4) решение системы уравнений в матричной форме сводится к нахождению обратной матрицы сопротивлений (ее обращению) и умножению ее на матрицу-столбец контурных э.д.с. (свободных членов уравнений) в соответствии с правилами матричной алгебры; 22 5) обращение матрицы есть довольно большой по объему вычислений процесс, однако эффективность нахождения решения системы уравнений в матричной форме резко возрастает, если требуется решить несколько линейных систем уравнений с одной и той же матрицей параметров [A] (сопротивлений) и различными свободными столбцами (меняются источники). Пример:  R11  R11 I 11 + R12 I 22 + ! + R1n I nn = E11 R R I + R I + ! + R I = E  21 11 22 22 2 n nn 22 !  21  ! !    Rn1 I 11 + Rn 2 I 22 + ! + Rnn I nn = E nn  Rn1 R12 R22 ! Rn 2 ! R1n   I 11   E11  ! R2 n   I 22   E 22  ! × = ! !  !   !       ! Rnn   I nn   E nn  [R] x [I] = [E] ! [I] = [R]-1 [E] – метод контурных токов в матрично-топологической форме. 2.3.1. Матрично-топологический метод анализа электрических цепей Свойства любой электрической цепи определяются ее структурой и параметрами ее элементов и изображаются в виде схемы электрической цепи. Топология занимается изучением свойств цепи в зависимости только от ее структуры. Структуру исследуемой схемы электрической цепи отражает граф электрической схемы – условное изображение схемы электрической цепи, в котором ветви схемы представлены отрезками-ветвями графа, а узлы точками – узлами графа (ГОСТ 19874). Таким образом, узлы и ветви графа соответствуют узлам и ветвям электрической схемы. Свойства графа, а, следовательно, свойства структуры электрической цепи, могут быть описаны аналитическим или геометрическим способами. 23 Аналитическое описание топологии цепи, введенное ещё Кирхгофом (в 1847 г. Кирхгоф ввел понятие граф, но оно 50 лет было в забвении; затем Максвелл в 1892 развивает теорию графов. Современную теорию графов создал в 1949 г. Рид) (Сешу, Рид. Линейные графы и электрические цепи/ Перевод-М.: Высш. школа, 1971). Матрично-топологический метод основывается на применении матричной алгебры. При чисто геометрическом описании топологии цепи используют правила по преобразованию графа и правило Мэзана – топологический метод. Основные топологические понятия и определения Топология – изучение свойств любой электрической цепи в зависимости от ее структуры. Схема электрической цепи – графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов и показывающее соединения этих элементов. Граф схемы цепи – изображение структуры схемы цепи, в котором ветви схемы представлены отрезками кривых – ветвями графа, а узлы схемы – точками – узлами графа. Направленный (ориентированный) граф схемы цепи – граф, в котором указаны условно-положительные направления токов ветвей стрелками на ветвях графа. Примечание 1. При составлении графа ветви, содержащие только идеальные источники э.д.с. или тока, необходимо преобразовывать. 2. Ветвь источника тока в граф не входит. 24 2 1 2 2 1 2 1 3 " 1 5 3 4 3 3 5 4 4 4 6 6 Схема электрической цепи Граф схемы Подграф схемы – часть графа схемы: дерево, связи, главный контур, главное сечение. Дерево графа – любая совокупность ветвей графа, соединяющая все его узлы без образования контура – число ветвей дерева (у–1). 2 1 1 5 3 3 4 Связь – ветвь графа, не принадлежащая выбранному дереву графа – число связей [в–(у–1)]. Контур – замкнутая цепь из нескольких ветвей. Главный (независимый) контур – контур, образованный ветвями дерева и только одной ветвью связи. 25 2 2 1 1 5 4 4 3 Ветви связи – 2, 4, 6 Ветви дерева – 1, 3, 5 3 6 Нумерация главных контуров определяется нумерацией входящих в них ветвей связи. За положительное направление обхода главного контура принимается направление ветвей связи, входящей в этот контур. Сечение графа – поверхность, охватывающая совокупность узлов и ветвей графа и рассекающая граф схемы на два изолированных подграфа (на две части). Главное сечение – сечение, рассекающее только одну ветвь дерева. Нумерация главных сечений соответствуют номеру ветви дерева, пересекаемому сечением. За положительное направление сечения принимается направление ветви дерева, пересекаемой сечением. Путь графа – непрерывная последовательность ветвей, проходящих не более одного раза через любой узел графа. Топологические матрицы Структура графа может быть описана в алгебраической форме, в виде таблиц чисел – топологических матриц. Используют матрицы соединений, контурную матрицу, матрицу главных сечений – топологические матрицы. 26 Зная матрицы графа можно легко построить сам граф цепи, а, следовательно, и саму цепь. Такое построение графа цепи и, соответственно, определение её структуры может быть произведено с помощью ЭВМ, в память которой заложены топологические матрицы. Если при этом машинное описание цепи содержит такие параметры элементов цепи, то по заданной программе ЭВМ может производить любые расчеты для цепи заданной структуры. Матрица соединений (узловая, структурная) Для описания структуры графа в алгебраической форме, составим прямоугольную матрицу, у которой: – строки матрицы соответствуют узлам графа; – столбцы матрицы соответствуют ветвям графа; – элементы матрицы: (+1), если ветвь направлена от узла; (–1), если ветвь направлена к узлу; (0), если ветвь не соединяется с узлом. 2 2 1 1 5 4 4 3 6 27 3 узлы Aп = 2 3 4 5 6 ветви 1 1 0 +1 0 −1 +1 0 2 0 +1 0 −1 +1 0 3 0 −1 −1 0 0 +1 4 0 +1 −1 −1 0 – это полная матрица соединений направленного графа схемы. По этой матрице можно воспроизвести направленный граф схемы. С другой стороны это алгебраическое выражение, с которым можно производить алгебраические операции, заносить в память ЭВМ. Очевидно, что полная матрица соединений представляет собой таблицу коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Однако полная матрица соединений обладает избыточностью, т.к. для воспроизведения (описания) графа достаточно взять число строк (y-1), т.е. вычеркнуть любую одну строку. Узел, соответствующий вычеркнутой строке – базисный. Полученная матрица – узловая, независимая. узлы A= 2 3 4 5 6 ветви 1 1 0 +1 0 −1 +1 0 2 0 +1 0 −1 +1 0 3 0 −1 −1 0 0 +1 – узловая матрица (независимая матрица соединений, структурная матрица). 28 2.3.2. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа в матрично-топологической форме Запись 1-го закона Кирхгофа с помощью топологических матриц С помощью топологических матриц можно описывать не только структуру цепи, но и основные законы токопрохождения, связанные с топологическими свойствами цепи (законы Кирхгофа). Для описания этих законов в топологической форме вводят понятия матриц-столбцов токов и напряжений, а также нулевой матрицы-столбца:  I1  I  [I ] =  2  ; "  в×1    Iв  U1  U  U =  2 ; в×1 "    U в  01  0  [0] =  2  . "  в×1   0 в  Если перемножить узловую матрицу и матрицу токов, то получил новую матрицу-столбец, у которой каждая строка равна алгебраической сумме токов, сходящихся в узлах 1,2,3:  I1  0 + 1 0 − 1    I1 + I 4 − I 6  0 + 1 0 I − 1 + 1 0 0 + 1 0 ×  2  = − I1 + I 2 + I 5  = 0 .   "     0 − 1 − 1 0 0 + 1   − I 2 − I 3 + I 6  0 ( у−1 )×в Iв  ( у−1 )×1 в×1 Согласно 1-му закона Кирхгофа эта сумма равна 0, т.е. полученное матричное произведение можно приравнять нулевой матрице. Или в матричной форме: [A] ⋅ [I ]= [0] ( у−1 )×в в×1 ( у−1 )×1 Однако, в общем случае необходимо учесть наличие источников тока в схеме электрической цепи. Для этого к матрице-столбцу токов ветвей необходимо прибавить матрицу-столбец токов источников тока. 29 Матрица источников тока – столбцовая, число строк которой равно числу ветвей графа. Токи источников маркируют по номерам ветвей, параллельно которым подключены источники этих токов. Знак тока берут положительным (+), если он ориентирован одинаково с параллельной ему ветвью графа:  J1  J  [J ] =  2  . "  в×1    Jв  Uв Rв Iв Eв +Jв Обобщенная ветвь Тогда [A] ⋅ [I ]+ [J ] = [0] или ( у−1 )×в  в×1 в×1  ( у−1 )×1 [A] ⋅ [I ]= − [A] ⋅ [J ] – 1-й закон Кирхгофа в матрично-топологической ( у−1 )×в в×1 ( у−1 )×в в×1 форме. Контурная матрица Независимые контуры – контуры, в каждый из которых входит только по одной ветви связи. Нумерация и направления обхода независимых контуров соответствуют нумерации и направлению входящих в них ветвей связи. 30 2 2 1 1 4 5 2 4 3 4 6 Ветви связи – 2, 4, 6 3 6 Контурные матрицы контуров составляют для независимых контуров выбранного дерева. Число строк контурной матрицы [С] равно числу [в–(у–1)] независимых контуров. Число столбцов контурной матрицы [С] равно числу ветвей [в]. При составлении матрицы [С] независимые контуры обходят в направлении ветви связи, входящей в этот контур. При обходе контура в ячейках матрицы [С]: – ставят (+1), если направление стрелки на какой-либо ветви этого контура совпадает с направлением обхода контура; – ставят (-1), если направление стрелки на какой-либо ветви этого контура не совпадает с направлением обхода контура; – ставят 0, ветвь не входит в этот контур. независимые контруры 2 3 4 5 6 ветви 1 2 0 +1 −1 0 −1 0 C = 4 0 +1 −1 0 −1 0 [в −( у−1 )]×в 6 +1 0 +1 0 +1 +1 Контурная матрица – таблица составленных по 2-му закону Кирхгофа. 31 коэффициентов уравнений, Запись 2-го закона Кирхгофа с помощью топологических матриц. Если перемножить контурную матрицу и матрицу напряжений, то получим матричное уравнение, описывающее второй закон Кирхгофа в матричной топологической форме: [C] ⋅ [U ]= [0] [в −( у−1 )]×в в×1 [в −( у−1 )]×1 . Матрица э.д.с. – столбцовая матрица, число строк которой равно числу ветвей графа. Э.д.с. Е записывают с положительным знаком, если её направление совпадает с выбранным направлением ветви (токи ветвей):  E1  E  [E] =  2  . "  в×1    Eв  Произведение [C]x[E] – алгебраическая сумма э.д.с. Матрица сопротивлений ветвей – квадратная, по её диагонали записывают собственные сопротивления ветвей:  R1 0 [R] =  " в×1  0 0 ! 0 R2 ! 0  . " # "   0 ! Rв  Если же выразить напряжения на участках как произведения токов ветвей на сопротивления этих ветвей, то получим запись 2-го закона Кирхгофа в матрично-топологической форме: [C] ⋅ [R]⋅ [I ]= [C] ⋅ [E]. [в −( у−1 )]×в в×в в×1 [в −( у−1 )]×в в×1 32 Алгоритм расчета электрической цепи по законам Кирхгофа в матрично-топологической форме: 1. Выбирают произвольное положительное направление искомых токов в ветвях и обозначают их на схеме. 2. Составляют матрицы параметров схемы электрической цепи.  E1  E  Матрицу э.д.с.: [E] =  2  . "  в×1    Eв   J1  J  Матрицу токов источников тока: [J ] =  2  . "  в×1    Jв   R1 0 Матрицу сопротивления ветвей: [R] =  " в×1  0 0 ! 0 R2 ! 0  . " # "   0 ! Rв  3. Изображают граф схемы электрической цепи и одно из деревьев графа и составляют для них узловую и контурную топологические матрицы [A] и [C]. 4. Подставляют полученные матрицы в матричное топологическое уравнение по законам Кирхгофа и решают его относительно искомых токов:  − [A] ⋅ [J ]  [ ]    ⇒  × [I ] =  ⋅ [E] [ ] [R] [ ] C    A  ( у−1 )×в  ⋅ [в −(C у 1 ) в − × ]  [I ] в×1 в×в  в×1 [ ]  [ ] [R]  A  ( у−1 )×в = ⋅ [в −(C  у−1 )]×в в×в  −1 ( у−1 )×в в×1 [в −( у−1 )]×в в×1  [ ][] [ ] [ ] − A ⋅ J    ×  ( у−1 )×в в×1  . ⋅ E [в −(C   у−1 )]×в в×1  5. Проверяют правильность полученного решения с помощью баланса мощности или (и) и топографической диаграммы. 33 2.3.3. Матрично-топологическая форма метода контурных токов Для одного из деревьев графа вводятся контурные токи независимых контуров. Направление контурных токов берут совпадающим с направлением связей графа. 2 2 1 1 4 5 2 4 3 4 6 Ветви связи – 2, 4, 6 3 6 Можно показать, что матрица-столбец токов ветвей [I] может быть записана через матрицу-столбец контурных токов [Iкк] и транспонированную контурную матрицу [С]Т: [I ]= [C]T ⋅ [Ikk] − [J ]. [ ] в×[в −( у−1 )] в −( у−1 ) ×1 в×1 в×1 При этом:   C × [в −( у−1 )]×в  T × C  × Ikk = C × в×[в −( у−1 )]  [в −( у−1 )]×1 [в −( у−1 )]×в [ ] [ ] [R] [ ] в×в  Ikk =  C × [в −( у−1 )]×1  [в −( у−1 )]×в [ ] −1 в×1   × C T  × C × [в −( у−1 )]×в в×[в −( у−1 )]  [ ] [R] [ ] в×в [ ] [E]+ [C] × [R]× [J ] ⇒ [в −( у−1 )]×в в×в в×1  [ ] [E]+ [C] × [R]× [J ] в×1 [в −( у−1 )]×в в×в в×1  или [Ikk] [в −( у−1 )]×1 где = [Rkk] −1 [в −( у−1 )]×[в −( у−1 )] [Rkk] [в −( у−1 )]×[в −( у−1 )] сопротивлений: = [Ekk] , [в −( у−1 )]×1 [C] × [R]× [C]T ] [в −( у−1 )×в по × в×в – квадратная матрица контурных в×[в −( у−1 )] диагонали собственные сопротивления контуров, остальные элементы – смежные сопротивления соответствующих контуров: 34  R11 R [Rkk ] =  21 [в −( у−1 )]×[в −( у−1 )]  "   Rn1 R12 R22 " Rn 2 ! R1n  ! R2 n  ; # "   ! Rnn  [Ekk] = [C] × [E]+ [C] × [R]× [J ] [в −( у−1 )]×1 [в −( у−1 )]×в в×1 [в −( у−1 )]×в в×в – матрица-столбец контурных в×1 э.д.с.. Алгоритм расчета электрической цепи по методу контурных токов в матрично-топологической форме: 1. Выбирают произвольное положительное направление токов в ветвях и обозначают их на схеме. 2. Составляют матрицы параметров [R], [E], [J]. 3. Изображают граф схемы контурных токов [Ikk] и одно из деревьев графа и составляют для них контурную топологическую матрицу [C]. 4. Подставляют полученные матрицы в матрично-топологическое уравнение по методу контурных токов и решают его. 5. Определяют токи в ветвях. 6. Проверяют правильность полученного решения с помощью баланса мощности и (или) топографической диаграммы. 2.3.4. Матрично-топологическая форма метода узловых потенциалов Можно показать, что матрица напряжений обобщенных ветвей [U] равна матричному произведению транспонированной узловой матрицы [A]T и матрицы-столбца потенциалов узлов [ϕ]: [U ]= [A]T × [ϕ у ] . в×1 в×( у−1 ) ( у−1 )×1 35 При этом [I у ] = [G у ] × [ϕ у ], ( у−1 )×1 где ( у−1 )×( у−1 ) ( у−1 )×1 [Gу] – квадратная матрица узловых проводимостей G12  G11  G G 22 21 Gу =  " " ( у−1 )×( у−1 )  G( у−1 )1 G( у−1 )2 [ ] G1( у−1 )  ! G2( у−1 )  ! ;  # "  ! G( у−1 )(у−1 ) [Iу] – матрица–столбец узловых токов. Тогда, по закону Ома:  [ ] [I ] [ ] [ ] [E] ,  = в×1 где  × Gв  A T × ϕ у + в×в в×( у−1 ) ( у−1 )×1 в×1 [Gв] – квадратная матрица проводимостей ветвей: G1 0 0 G 2 [Gв ] =  " " в×1  0 ! 0 ! 0  . # "   ! Gв  При этом   A × ( у−1 )×в [ ] [ ][ ] [ ] [ ]   T Gв × A  × ϕ у = − A × ( у−1 )×в в×в в×( у−1 )  ( у−1 )×1  ϕ у = − A × ( у−1 )×в ( у−1 )×1  [ ] [Gв ]× [E]+ [A] × [J ] −1 в×в   Gв × A T  ×  A × в×в ( у−1 )×в в×( у−1 )  [ ] [ ][ ] в×1 ( у−1 )×в в×1  ⇒  [ ] [Gв ]× [E]+ [A] × [J ] . в×в в×1 ( у−1 )×в в×1  Алгоритм расчета электрической цепи по методу узловых потенциалов в матрично-топологической форме: 1. Выбирают произвольное положительное направление токов в ветвях и обозначают их на схеме. 2. Составляют матрицы параметров [Gв], [E], [J]. 3. Изображают граф и составляют матрицу [A]. 36 4. Решают уравнение в матрично-топологической форме по методу узловых потенциалов. 5. Определяют токи в ветвях. 6. Проверяют правильность полученного решения с помощью баланса мощности и (или) топографической диаграммы. 37 ЛЕКЦИЯ 3 АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ (ДИНАМИЧЕСКИХ) ПРОЦЕССОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ 3.1. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Основные понятия 3.2. Классический метод расчета переходных процессов 3.2.1. Подключение катушки индуктивности к источнику постоянного напряжения 3.2.2. Отключение катушки индуктивности от источника постоянного напряжения 3.2.3. Включение катушки индуктивности к источнику синусоидальной э.д.с. 3.2.4. Заряд конденсатора от источника постоянного напряжения 3.2.5. Разряд конденсатора на резистор 3.2.6. Подключение конденсатора к источнику синусоидального напряжения 3.2.7. Разряд конденсатора на RL-цепь 3.2.8. Подключение RLC-цепи к источнику постоянного напряжения 3.2.9. Расчет переходных процессов в сложной цепи 3.3. Метод переменных состояний 3.4. Расчет цепи при воздействии э.д.с. произвольной формы. Интеграл Дюамеля 3.1. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Основные понятия Переходный процесс – процесс, возникающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Установившийся режим – режим, устанавливающийся в электрической цепи в результате длительного воздействия на эту цепь постоянных или периодических э.д.с. Переходный процесс возникает в электрической цепи в результате коммутаций. Коммутации – действия, вызывающие переходный процесс в электрической цепи отключение или включение источников, отдельных ветвей, изменение параметров цепи, изменение фазы, частоты, амплитуды напряжения и тока и др. Задача анализа переходных процессов заключается в определении характера изменения u(t) и i(t) на элементах электрической цепи во время переходного процесса и длительности протекания этого переходного процесса. Анализ переходных процессов основывается на описание состояния электрической цепи с помощью законов Кирхгофа для мгновенных значений. В результате получаем систему интегро-дифференциальных уравнений. Задача анализа переходных процессов сводится к отысканию решения (интеграла, интегрированию) исходной системы уравнений. Пример: uR(t) R uL(t) L C u(t) i(t) u R(t )+ u L(t )+ uC (t )= u(t ); i(t )R + L L di(t ) 1 + ∫ i(t )dt = u(t ); dt C d 2 i(t ) di(t ) 1 du(t ) +R + i(t )= ; 2 dt C dt dt d 2 i(t ) R di(t ) 1 1 du(t ) + + i(t )= . 2 L dt LC L dt dt 2 uC(t) В зависимости от используемого метода интегрирования различают: 1) классический метод анализа переходных процессов; 2) операторный метод анализа переходных процессов; 3) частотный метод анализа переходных процессов; 4) метод с использованием интеграла Дюамеля; 5) метод переменных состояния. Законы (правила) коммутации Будем полагать, что процесс коммутации происходит мгновенно (хотя реально – это микросекунды для тиристоров, транзисторов). Условно обозначать через t=0 – момент коммутации t = 0– – момент времени непосредственно до коммутации; t = 0+ – момент времени непосредственно после коммутации. В реальных электрических цепях не может быть мгновенного изменения накопленной в электрических и магнитных полях энергии. Действительно, в реальных электрических цепях мгновенная мощность p всегда конечна (т.к. u и i конечны). Следовательно, прирост энергии ∆W за время коммутации ∆t ⇒ 0 равен 0: ∆W = p∆t ⇒ 0 , при ∆t ⇒ 0 , т.е. W(0 − )= W(0 + ). Таким образом: 1-е правило коммутации. Ток в ветви с катушкой индуктивности не может изменяться скачком: 2 LiL2 (0 − ) LiL(0 + ) = ⇒ 2 2 i L(0 − )= i L(0 + ). 2-е правило коммутации. Напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком: 3 Cuc2 (0 − ) Cuc2 (0 + ) = ⇒ 2 2 uc (0 − )= u c (0 + ). Или: В момент коммутации напряжения на конденсаторах и токи в катушках индуктивности остаются неизменными. Пример: uC iL iL uC t 3.2. Классический метод расчета переходных процессов Согласно классическому методу: полное решение (интеграл) линейного неоднородного диф. уравнения равно сумме частного решения исходного диф. уравнения и общего решения этого уравнения при равенстве нулю правой части (однородного диф. уравнения): an d ni d n−1i di + a + ...+ a1 + a0 i = f (t ) ⇒ n−1 n n−1 dt dt dt i = iпр + iсв . Частное решение (одно из решений, удовлетворяющее исходному неоднородному диф. уравнению) определяют путем расчета установившегося режима в послекоммутационной схеме. Эта составляющая переходного тока (напряжения) называется принужденной: iпр = i уст . Общее решение диф. уравнения без правой части (без источников э.д.с., тока) определяет свободную составляющую переходного тока (напряжения). 4 Из курса математики известно, что решение однородного линейного диф. уравнения вида an n d iсв dt n + an−1 d iсвn−1 di + ...+ a1 св + a0iсв = 0 n −1 dt dt представляет собой сумму экспонент n i св = ∑ A k e p k t , k =1 где pk – показатели затухания, определяемые как корни характеристического уравнения, полученного из исходного путем замены d2 dn d 1 ⇒ p ; 2 ⇒ p 2 ; ... ; n ⇒ p n ; ∫ dt ⇒ dt p dt dt и получения линейного алгебраического уравнения n-ого порядка a n p n + a n−1 p n−1 + ...+ a1 p + a0 = 0 ; Ak – постоянные интегрирования, определяемые по значениям искомой функции и ее производных в момент коммутации (начальные условия). Начальные условия определяем с помощью законов коммутации. n Действительно: i = i пр + ∑ A k e p t . k k =1 При t = 0 + : n i (0 + ) = iпр + ∑ Ak ⇒ k=1 n ∑ Ak = i(0 + ) − iпр k=1 n n k=1 k=1 ' iсв (0 + ) = ∑ Ak ; iсв (0 + ) = ∑ pk Ak . Тогда составляем систему из n алгебраических уравнений и находим Ak:  n  ∑ Ak = i (0 + ) − iпр k=1 . n ' ' ∑ Ak pk = i (0 + ) − iпр k=1 5 3.2.1. Подключение катушки индуктивности к источнику постоянного напряжения uR(t) R uL(t) L U– i(t) 1. На основании законов Кирхгофа для мгновенных значений и с учетом, что u L = L du di L 1 ; u c = ∫ ic dt или ( ic = C c ) составляем диф. уравнение dt C dt для послекоммутационной схемы: uR + uL = U ⇒ iR + L di =U . dt 2. Записываем искомое решение: i = i пр + i св . di = 0 – подставляем в исходное диф. dt 3. Находим i пр = i уст (при t ⇒ ∞ ; уравнение и получаем i уст = i пр ): iпр = U . R 4. Находим показатели затухания pk. Характеристическое уравнение: Lp + R = 0 ⇒ p=− R . L 5. iсв = Ae pt , где p – показатель затухания, c −1 ; A – постоянная интегрирования, А. Таким образом: iсв = R − t Ae L . Характеристическое уравнение для определения p часто составляют более простым путём. С этой целью составляют выражение для входного 6 сопротивления цепи на переменном токе [Z(jω)], а затем заменяют в нем jω на p и приравнивают Z(p) нулю: Z( jω) = R + jωL; jω ⇒ p . Тогда p = − R −1 ,c . L Важнейшая характеристика переходного процесса τ – постоянная времени: τ= 1 L = ,c . p R 6. Определяем постоянную интегрирования. R − t U 6.1. i = iпр + iсв = + Ae L R При t = 0 + : i (0 + ) = U U + A ⇒ A = i (0 + ) − . R R 6.2. i (0 − ) = 0 На основании 1-го закона (правила) коммутации: i L (0 − ) = iL (0 + ) = 0 . 6.3. Следовательно A = 0 − U U =− . R R 7. Определяем искомую функцию: i= R R − t U U − Lt U  − e = 1− e L   R R R   di dt Определяем u L = L ; u R = iR : R R R − t d  U U − Lt  U − Lt  R  − e = − L⋅ e ⋅ −  = Ue L ; uL = L  dt  R R R  L  uL R − t = Ue L ; R  − t u R = U 1 − e L  .     7 i_ iуст iуст= iпр 0,632 1,0 0,865 0,95 2τ τ 0,982 0,993 3τ 4τ 5τ t iсв u uR U uL t За время τ величина i уменьшится в e раз: t τ 2τ 3τ 4τ 5τ 1–exp(-t/τ) 0,632 0,865 0,95 0,982 0,993 exp(-t/τ) 1 0,308 0,135 0,05 0,018 0,007 Примечание 1. Длительность переходного процесса характеризуется τ Переходный процесс практически завершается через t= (3÷5)τ. 2. Длительность переходного процесса определяется только параметрами цепи (R, L, C) Пример: U=10 В; R=10 Ом; L=0,01 Гн t t − −  10  U  −3  τ 10  i= 1− e 1− e =   10 R      = 1,01 − e −103 t  ;     3 3 u R = 1001 − e −10 t  ; u L = 100e −10 t .   Время, через которое закончится переходный процесс: tпер = 5 мс. 8 3.2.2. Отключение катушки индуктивности постоянного напряжения uR(t) R U– uL(t) L Rш i(t) 1. Диф. уравнение: u R + u L = 0 ⇒ iR + L di = 0. dt 2. Искомая величина: i = iпр + iсв . 3. Принужденная составляющая: iпр = 0 , т.к. di = 0. dt 4.Характеристическое уравнение: R + Lp = 0 ; p=− R L ⇒ постоянная времени τ = . L R 5.Свободная составляющая: iсв R + L 6. i = R − t Ae L ⇒ diсв = 0 ; icв = Ae pt . dt i (0 + ) = A . По 1-ому закону коммутации: i (0 − ) = U U ⇒ A= . R R 7. Искомая функция: t U − i= e τ; R u R = Ue − t τ ; t t t t − d U −τ U −  1  − LUR − τ uL = L e = L e τ ⋅−  = e = −Ue τ . dt R R RL  τ 9 от источника i_ I0 0,368 1,0 0,125 0,05 0,018 0,007 i= τ 2τ 3τ 4τ 5τ t Примечание При отключении катушки индуктивности от источника питания на ее зажимах возникает напряжение, определяемое соотношением: u k (0 + ) = I0 Rш = В U Rш . R частности, при отключении шунтирующего сопротивления катушек индуктивности без (Rш = ∞ ) перенапряжения на зажимах катушек могут достичь опасных величин. t u k = iRш = U t t − − Rш − τ U е = Rш e τ = I0 Rш e τ ; R R u k + u L + u R = 0 ⇒ u k = u ш = −u L + u R . 3.2.3. Включение катушки индуктивности синусоидальной э.д.с. uR(t) R ~U i(t) 1. u R + u L = u iR + L di = U m sin (ωt + ψ u ) dt 10 uL(t) L к источнику 2. i = iпр + iсв 3. iпр = Im sin(ωt + ψ u − ϕ) , где Im = R L 4. R + Lp = 0 ; p = − ; τ = 5. iсв R + L Um 2 R + ωL2 L R diсв = 0 ; iсв = Ae pt dt 6. i = iпр + iсв = I m sin(ωt + ψ u − ϕ) + R − t Ae L i (0 − ) = i (0 + ) = 0 i (0 + ) = I m sin(ψ u − ϕ) + A = 0 ⇒ A = − I m sin (ψ u − ϕ) R − t e L 7. i = I m sin(ωt + ψ u − ϕ) − I m sin(ψ u − ϕ) i; φ=ψu u ψu iпр iсв t φ Примечание 1. Начальное значение свободного тока (и характер переходных процессов) зависит от момента включения (начальной фазы ψ u ). Если ψ u − ϕ = 0 , т.е. ψ u = ϕ , то iсв = 0 , т.е. коммутация не повлечет за собой переходный процесс. Если ψu − ϕ = ± π π , т.е. ψ u = ϕ ± , то i св максимально и равно I m . 2 2 2. При неблагоприятных условиях коммутации постоянной времени цепи L R π  ψu − ϕ = ±  2  и максимальное значение переходного тока 11 может достичь почти двойной амплитуды установившегося тока (через время π после коммутации). 3.2.4. Заряд конденсатора от источника постоянного напряжения uR(t) R C U– uC(t) i(t) 1. u R + uC = U ; iR + C 1 idt = U ⇒ C∫ du c di i R + uc = U ; R + = 0 dt dt C 2. i = iпр + iсв 3. iпр = 0 4. Zвх ( jω) = R + R+ 1 jωC 1 1 = 0; p = − ; τ = RC pC RC 5. iсв = A1e pt ; ucсв = A2e pt 6. i = A1e − t RC − u c = U + Ae ; i (0 + ) = A1 t RC ; u c (0 + ) = U + A2 ; u c (0 − ) = u c (0 + ) = 0 ⇒ A2 = −U Начальные условия – значения токов через катушки индуктивности и напряжений на конденсаторах, известные из докомутационного режима. 12 Значения u и i на всех элементах схемы при t = 0 + – зависимые начальные условия. Они определяются из независимых с помощью исходного диф. уравнения. i (0 + )R + u c (0 + ) = U ⇒ i (0 + )R + 0 = U ⇒ i (0 + ) = U = A1 R t 7. i = t − U − RC e ; u c = U − Ue RC R uC, i uC i t Примечание При включении ток изменяется скачком от 0 до i(0) = U R и при небольшом активном сопротивлении цепи может достичь больших значений, значительно превышающих номинальное (например, при подключении нагрузки через кабель, распределенная емкость которого велика, а сопротивление проводов низкое). 3.2.5. Разряд конденсатора на резистор uR(t) R U– C i(t) 13 uC(t) 1. u c + u R = 0 ; u c + iR = 0 ; uc + C du c du R = 0 ; RC c + u c = 0 dt dt 2. u C = uCпр + u Cсв 3. u Cпр = 0 4. RCp + 1 = 0 ⇒ p=− 1 ; τ = RC RC 5. u c = u cсв = Ae pt − 6. uc = Ae t τ u c (0 − ) = u c (0 + ) = U 0 ⇒ u c (0 + ) = A = U 0 7. u c = U 0 e − t RC ; t i =C t t − − U 0 − RC du c − U 0 − RC d = C U 0 e RC = C e ⇒ i= e ; dt dt RC R u R = −U 0 e − t RC uC, iС U0 uC t iС 14 3.2.6. Подключение конденсатора к источнику синусоидального напряжения uR(t) R C ~U uC(t) i(t) 1. u R + u c = u ⇒ C du c R + u c = U m sin(ωt + ψ u ) dt 2. u c = uспр + u cсв ( 3. u cпр = Um X c sin ωt + ψ u + ϕ − 90 ! z 4. p = − RC ; τ = RC 4 ) 5. u ссв = Ae pt 6. uc (0 + ) = 0 ; u c (0 + ) = A= − ( ) Um Xc sin ψ u + ϕ − 90 ! + A ⇒ z Im π  sin ψ u + ϕ −  ωC  2 t I I π π − 7. u c = m sin ωt + ψ u + ϕ −  − m sin ψ u + ϕ − e RC ; ωC  2  ωC  2 t du X π −  i = C c = I m sin(ωt + ψ u + ϕ) + c I m sin ψ u + ϕ − e RC dt R 2  15 ψu u iпр t i iсв Примечание π 2 1. Если ψ u + ϕ = , то переходный процесс не возникает, и сразу же наступает установившейся режим. 2. Если включение происходит при ψu + ϕ = 0 , составляющая напряжения ucсв наибольшая. Если R << то свободная 1 , то в начальный ωC момент происходит большой всплеск тока, намного превосходящий амплитуду тока  Im   .  ωCR  Однако такой незначительную часть периода, т.к. ωCR = большой ток 2π τ << 1 , а потому τ < ω 0 , т.е. R > 2L  1 L или  R > 2  . C LC  Оба корня p1 и p2 отрицательны, вещественны и отличны друг от друга: p1 ≠ p 2 ; i = A1 pe −t τ1 p1 < 0 ; p 2 < 0 и p 2 > p1 . + A2 e −t τ2 18 При изменении t от 0 до ∞ величины e p t и e p t убывают от 1 до 0, 1 2 причем так как p2 > p1 ( т.е. τ 2 < τ1 ), то (e p1t − e p2t ) всегда положительно. Следовательно, ток i не меняет своего направления, и конденсатор все время разряжается. Такой односторонний разряд конденсатора называют апериодическим разрядом. p2 p1 di Ток достигает максимума  = 0  при tm = , а затем убывает. p1 − p 2  dt  ln Напряжение на емкости монотонно убывает, стремясь к нулю. При расчете использованы условно положительные направления тока и напряжения. Действительные направления показаны на схеме пунктиром и представлены на рисунке (см. выше). Из уравнения следует, что каждое мгновение: u c = −(u L + u R ) . При t = 0 u R = iR = 0 u L = uC . При t = tm uL = L di = 0 uC = u R . dt При t > tm ток уменьшается, u L = L di меняет знак. dt С энергетической точки зрения при t < tm катушка индуктивности запасает энергию от конденсатора, а при t > tm – отдает. uC U0 uC i2 uC= uR t i uL i1 -U0 19 tm t uR Случай 2: δ = ω0 , т.е. R = 2L  1 L или  R = 2  . C LC  Тогда p1 = p2 = −δ . Тогда i = U 0 e p1t − e p2t 0 = – неопределенность. Раскрыв по правилу L p 2 − p1 Лопиталя получим: i= − U 0 −δt te ; L u L = U 0 (δt − 1)e − δt ; u C = U 0 (δt + 1)e − δt . 1 Процесс – апериодический  tm =  .  Данный случай при δ δ = ω0 являются предельным случаем апериодического разряда, так как при дальнейшем уменьшении R < 2 разряд становится колебательным. Случай 3: δ < ω0 , т.е. R < 2L 1 LC или R < 2 L . C Корни комплексно сопряженные: p1,2 = −δ ± jω R ; p1,2 = −δ ± δ 2 − ω02 = −δ ± j ω02 − δ 2 = −δ ± jω R , где ω R = ω02 − δ 2 – угловая частота затухающих колебаний. Тогда p1,2 = −δ ± jω R = ω0 e ± jν , где ω0 = δ 2 + ω2R ; ν = arc tg ωR  π   < ν < π ; −δ 2  p1 = −δ + jω R = ω0 e − jν ; p2 = −δ − jω R = ω0 e + jν . Для тока: 20 L C i= ( ) U0 − U 0  −δt jωRt U e p1t − e p2t = − e −δt e jωRt  = − 0 e −δt sin ω Rt ⇒ e e 2 jω R L  L( p2 − p1 ) ωRL  i = − I me δt sin ω Rt ; ω0 −δt ω e sin(ω Rt + ν ) ; u C = −U 0 0 e −δt sin(ω Rt − ν ); ωR ωR u L = −U 0 u Lm = I mω0 L ; u Cm = I m 1 . ωα Процесс колебательный. Ток и напряжения на всех участках периодически меняют знак. Амплитуда колебаний убывает по показательному закону – затухающие колебания с угловой частотой ω R = ω02 − δ 2 ; TR = 2π . ωR При R = 0 ⇒ δ = 0 ; ω R = ω0 ; TR = T0 = 2π LC – формула Томпсона – незатухающие колебания с периодом T0 ; ω0 – резонансная (собственная) частота контура. При этом ν = π и в цепи устанавливается режим, полностью 2 соответствующий установившемуся процессу в нем при резонансе. U0 uR t1=tm t2 t t3 i -U0 U0 uC uL t p <0 -U0 p >0 pL <0 pL<0 L C pC<0 pR>0 pC>0 pR>0 pR>0 21 Энергетические процессы: От 0 до t1 = tm – ток возрастает и режим соответствует апериодическому, т.е. L накапливает энергию, R рассеивает, C отдает. От t1 до t2 – p c < 0 – C отдает; pL < 0 – L отдает; p R > 0 – R рассеивает. От до t2 t3 – конденсатор С полностью разрядился, ток, поддерживаемый э.д.с. самоиндукции, продолжает протекать в том же направлении и заряжает конденсатор ( p L < 0 , pC > 0 , p R > 0 ) . Энергия магнитного поля частично переходит в энергию электрического поля конденсатора и частично превращается в теплоту на сопротивлении R. К времени t 3 конденсатор С заряжается максимально. В этот момент i = 0. В следующую половину периода процессы повторяются, но знаки напряжений и тока поменяются на противоположные. Таким образом, в зависимости от соотношения параметров возможны следующие режимы разряда конденсатора: uC δ>ω0; R> uC uC L C t uC L δ=ω0; R= C δ<ω0; R< t t δ=0 22 L C t 3.2.8. Подключение RLC-цепи к источнику постоянного напряжения uR(t) R uL(t) L C U– uC(t) i(t) 1. u R + u L + uC = U ⇒ iR + L di + uC = U ⇒ dt d 2i di + 2δ + ω02 i = 0 . 2 dt dt 2. i = iпр + iсв 3. iпр = 0 4. p 2 + 2δp + ω02 = 0 ; p1,2 = −δ ± δ 2 − ω02 ; p1 = −δ + δ 2 − ω02 ; p 2 = −δ − δ 2 − ω02 5. i = iсв = A1e p1t + A2 e p2t 6. i (0 − ) = i (0 + ) = 0 ; i (0 + ) = A1 + A2 = 0 ; i (0 + )R + L di (0 + ) + uC (0 + ) = U ⇒ di (0 + ) = U ; dt dt L di di (0 + ) = A1 p1 + A2 p2 = U . = p1 A1e p1t + p 2 A2 e p2t ⇒ dt L dt Получили ту же систему уравнений для определения постоянных интегрирования, что и в предыдущем подразделе. Изменился только знак (-) 23 на (+) перед U . Причина – вместо разряда конденсатора имеет место его L заряд от источника постоянного напряжения. A1 = L 7. i = −U ; L(− p1 − p 2 ) A2 = ( +U . L(− p1 + p 2 ) ) U e p1t − e p2t ; L( p1 − p 2 ) uc = 1 U  p e p1t − p e p2t  + U ; idt = 1 ∫  ( p1 − p2 )  2 C uL = U p1e p1t − p2 e p2t . ( p1 − p2 ) ( ) Сравнивая полученные выражения для i, uc с аналогичными выражениями для этих величин, полученными в предыдущем подразделе для случая разряда конденсатора, видим, что закон изменения тока в обоих случаях один и тот же и токи отличаются только знаками, т.к. теперь рассматривается процесс зарядки конденсатора. Напряжение же на конденсаторе при разряде изменяется от начального значения до 0, а при зарядке – от 0 до напряжения питания. Характер переходного процесса как при разряде конденсатора зависит от параметров цепи, от соотношения коэффициента затухания δ и собственной частоты контура ω0, от того, будут ли корни характеристического уравнения вещественными (апериодический процесс) или комплексными (колебательный процесс). 3.2.9. Расчет переходных процессов в сложной цепи Алгоритм расчета обычный. Особенность – составление характеристического уравнения. 1. Для определения корней: а) найти главный определитель системы диф. уравнений, составленной: 1) по законам Кирхгофа; 24 2) по методу контурных токов; 3) по методу узловых напряжений; и приравнять его нулю; б) составить комплексное входное сопротивление цепи для источника синусоидальной э.д.с., включенное в любой ветви цепи, заменить jω на p и приравнять нулю. Пример: i L E i2 C R −1 ∆( p )= Rp + Lp2 1 1 1 0 =0; C −1 Rp C ∆(к )( p )= ∆( у )( p )= R + Lp + − i1 R 1 pC 1 pC 1 pC = 0; 1 R+ pC − 1 1 + pC + = 0 . R + Lp R R 1 Zвх( p )= R + Lp + Z1вх( p )= pC =0; R + pC (R + pL)R = 0 ; 1 + pC R + pL + R 1 pC Z2вх( p )= R + = 0. 1 R + pL + pC (R + pL) Корни характеристического уравнения определяются топологией цепи после коммутации и значением ее параметров. 25 только Число корней характеристического уравнения равно числу накопителей энергии. Примечание 1.Наличие особого контура, состоящего только из емкостных элементов и источников э.д.с. уменьшает число корней на 1 по сравнению с числом емкостных накопителей. n = 4–1 = 3 2. Наличие особого сечения, у которого в каждой ветви есть индуктивный элемент или источник тока уменьшает число корней на 1 по сравнению с числом индуктивных накопителей. n = 5–1 = 4 3. В особых случаях, когда цепь после коммутации распадается на отдельные ветви, общее правило не выполняется. 26 Расчет переходного процесса в цепях с взаимной индуктивностью осуществляется обычным путем. Учет индуктивных связей не увеличивает числа корней характеристического уравнения. 3.3. Метод переменных состояния Идея метода состоит в выделении таких искомых величин, которые определяют энергетическое состояние электрической цепи, т.к. переходный процесс и есть процесс перехода от одного установившегося энергетического состояния к другому. А так как энергетическое состояние в линейных электрических цепях полностью определяется токами индуктивных катушек и напряжениями конденсаторов, то, очевидно, что в качестве искомых величин, определяющих состояние цепи, выбирают именно их. Т.о., идея метода состоит в выделении в качестве искомых величин токов индуктивных катушек и напряжений конденсаторов. Токи индуктивных катушек и напряжения конденсаторов называют переменными состояния. Токи и напряжения резистивных элементов схемы, называемые выходными величинами, всегда могут быть выражены через переменные состояния при помощи законов Кирхгофа. 27 Очевидно, что в системе диф. уравнений для электрической цепи любой конфигурации, составленной по законам Кирхгофа, входят только первые производные переменных состояния. Это позволяет для послекоммутационной схемы вместо одного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка получить n дифференциальных уравнений первого порядка относительно выбранных переменных состояния (уравнения состояния). Метод наиболее универсален для анализа электрических цепей и может быть легко приспособлен для расчета на ЭВМ. Поэтому, разрешив исходную систему дифференциальных уравнений, составленную по законам Кирхгофа, относительно переменных состояния, получают систему дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно переменных состояния для численного решения которой можно использовать стандартное математическое обеспечение ЭЦВМ (или аналоговых вычислительных машин.) Под численными методами решения дифференциальных уравнений понимают методы, дающие приближенное решение в виде дискретного набора значений функции при некоторых значениях аргумента (Метод РунгеКутта, метод Пикара, метод Милна, экстраполяционный метод Адамса, метод с использованием ряда Тейлора). Из теории дифференциальных уравнений известно, что всякое уравнение или система уравнений разрешенная относительно старших производных всех искомых функций [y (n ) (x ) = f (x, y, y1 ,..., y (n −1) )] может быть приведена путем введения новых неизвестных функций к нормальной форме Коши: ( y1' (x ) = f1 x 1 y1 y 2 ...y n ) y '2 (x ) = f 2 (x y1 y 2 ...y n ) y1n (x ) = f n (x y 1 y 2 ...y n ) Задача нахождения решения уравнений при заданных начальных данных называется задачей Коши. 28 Алгоритм расчета 1. Составляем дифференциальные уравнения для производных от переменных состояния (уравнения состояния). Для этого составляем уравнения по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы и решаем их относительно производных переменных состояния в зависимости от самих переменных состояния u C и i L , источников э.д.с. и токов. Получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояний. 2. Уравнения состояния записываем в матричной форме и решаем аналитически или численными методами с использованием стандартного математического обеспечения ЭЦВМ (Метод Рунге-Кутта, Эйлера, трапеции, Пикара, Милна, экстраполяционный метод Адамса, метод с использованием ряда Тейлора). i L1 i L1 i L2 i L2 e1 . . u Cк . . uCk e2 . u Ck+1 . . u Cn где = A1 × . uCk+1 . . uCn . . + B1 × Jk . . Jq A1 – квадратная матрица порядка n; B1 – матрица размера n × q , где q –общее число источников э.д.с. и тока; X – столбцовые матрицы размера n × 1 переменных состояния и их производных: x = A1 × x + B1 × V ; 29 V – столбцовая матрица размера q × 1 напряжений источников э.д.с. и токов источников тока. Элементы A1 и B1 определяются только параметрами схемы и ее топологией. 3. Токи и напряжения резистивных элементов схемы, называемые выходными параметрами, всегда могут быть выражены и рассчитаны через переменные состояния при помощи законов Кирхгофа. В результате устанавливающую получим связь систему между алгебраических искомыми выходными уравнений, параметрами, переменными состояния и источниками энергии (уравнения выходных параметров). 4. Записываем уравнения для выходных параметров в матричной форме и решаем их аналитически или с помощью ЭЦВМ. i L1 i1 i2 . . uk e2 . . . = A2 × uCk + B2 × . или Y = A2 × x + B2 × V Jk . . um где e1 . uCn . Jq Y – столбцовая матрица размера m × 1 выходных параметров; m – число выходных параметров; A 2 , B2 – матрицы размера m× n и определяются параметрами и топологией схемы. 30 m× q , элементы которых Пример 1: i1 R E i C R iС R i2 − i1 + iC + i2 + i = 0  Ri + u = E  C  − u Ri 2 =0 C   u C − Ri = 0 Учтем, что u L = L du du C di L 3 1 ; ic = C c . Тогда =− uC + E. dt dt dt RC RC Пример 2: L R C U– i(t)=? iR + L di + uC = U . dt Учтем, что u L = L du di L ; ic = C c . Тогда dt dt 1  duC  dt = 0 ⋅ uC + C i + 0 ⋅U .  di 1 R 1  = − uC − i + ⋅ U L L L  dt Пример 3: i1 R U– L i2 31 C i3  i1 = i 2 + i3  di1 =U .  Ri2 + L dt   Ri2 − u C = 0 Учтем, что u L = L du di L ; ic = C c . Тогда dt dt 1 1  du C  dt = − RC ⋅ uC + C i L + 0 ⋅ U .  di 1 1  = − uC + 0 ⋅ iL + ⋅ U L L  dt 3.4. Расчет цепи при воздействии э.д.с. произвольной формы. Интеграл Дюамеля Анализ переходных процессов показал, что ток на входе цепи i(t) пропорционален входному напряжению, вызвавшему этот ток: − U i (t ) = 1 − e L R  Rt  т.к. − 1 Y(t ) = 1 − e L R  ,   Rt   – переходная проводимость цепи.   Таким образом, цепь в общем случае может рассматриваться как пассивный двухполюсник с переходной проводимостью Y(t). Идея метода Заменим действительную кривую u(t) приближенно ступенчатой с интервалами по оси t, равными ∆x. Тогда ток в любой момент времени t можно рассматривать как результат воздействия серии скачкообразных постоянных напряжений, следующих друг за другом через промежутки ∆x в интервале от 0 до t. 32 Скачки напряжения: ∆u ≈ du ∆x ; du = u' (x)dx . dx Составляющая тока, вызванная отдельным скачком напряжения, действующим в момент x равна ∆i = ∆u ⋅ Y(t − x − ∆x) , где Y(t − x − ∆x) – переходная проводимость от момента (x + ∆x ) возникновения данного скачка напряжения до момента t отсчета значения тока. Весь ток i(t) является суммой составляющих тока, вызванных отдельными скачками напряжений. x=t i (t ) ≈ u (0)Y(t ) + ∑ Y(t − x − ∆x)u' (x)∆x x=0 или t i (t ) = u (0)⋅ Y(t ) + ∫ Y(t − x)u' (x)dx – интеграл Дюамеля. R L u(t ∆u u(t) u(t) i(t)=? u(0) где x ∆x t  du  u' (x) =   .  dt  t= x Интеграл Дюамеля позволяет решить задачу о включении цепи под действием напряжения u(t) произвольной формы, причем Y(t) определяется в итоге решения более простой задачи – включения той же цепи под действием постоянного напряжения. 33 Пример: R u(t C u(t) i(t)=? t Дано: t  −  u (t ) = U 1 − e τ  , R, C.     Найти: i(t) – ? Решение: 1. Определяем Y(t) при включении цепи на постоянном напряжении. Тогда Y(t ) = i (t ) U U − i (t ) 1 − τ i (t ) = e τ ⇒ Y(t ) = = e . R U R t 2. 3. 4. t 1 Y(t − x) = e R −[t − x] τ u (0) = 0 ; u ' (t ) = t x 1 − = e τe τ R t x U −T U − e ; u ' (x) = e T T T t i (t ) = u (0)⋅ Y(t ) + ∫ Y(t − x)u' (x)dx 5. t x t x −x t −x t −  1 −τ τ U T U −τ t τ T U τ  − T τ ∫ Y(t − x)u (x)dx = ∫ R e e T e dx = RT e ∫ e e dx = R T − τ  e − e  .   t ' t 34 ЛЕКЦИЯ 3 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Основные понятия Интегрально-дифференциальное уравнение RLC-цепи Основные методы расчета Законы коммутации Принужденная и свободная составляющие Начальные условия Подключение RL-цепи к источнику постоянной ЭДС Классический метод. Алгоритм Постоянная времени Материалы лекции Установившийся режим – напряжения и токи цепи являются периодическими или постоянными во времени соответственно при внешнем периодическом или постоянном воздействии. Переходный режим – процесс перехода от одного установившегося состояния в другое, вызываемое коммутацией в схеме с реактивными элементами в цепи. Практически длительность переходного процесса может составлять доли секунды, теоретически – стремится к бесконечности. Коммутация – различные включения, переключения пассивных и активных элементов цепи, приводящие к изменению цепи и ее параметров. Во многих случаях считают, что коммутация совершается мгновенно. Рисунок 1 – RLC-цепь d 2 i (t ) R di (t ) d 1 + + i t = e(t ) , ( ) L dt LC dt dt 2 (1) где i(t) – мгновенный ток в цепи; R – активное сопротивление; L – индуктивность катушки; С – емкость конденсатора; e(t) – мгновенная ЭДС. Основные методы расчета: а) Классический метод – искомую переходную функцию (ток, напряжение) записывают в виде суммы принужденной и свободной составляющих этой функции. Постоянные интегрирования, входящие в свободную составляющую, находят, исходя из начальных условий искомой функции и ее производных. Число постоянных интегрирования определяется порядком диф. уравнения n. Необходимое число производных в момент коммутации (t=0) равно n-1. Вид свободной составляющей зависит от корней характеристического уравнения. Классический метод применяют для решения диф. уравнений первой и второй степени. При более высоких степенях определение постоянных интегрирования и решение характеристического уравнения затруднительно. б) Операторные методы. Метод преобразования Лапласа и ДТ-метод (метод Пухова) – интегрально-дифференциальные уравнения преобразовывают в алгебраические относительно новой переменной. Переход к алгебраическим уравнениям в методе Лапласа осуществляется интегральным преобразованием, а в новом ДТ-методе дифференциальным преобразованием, Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно изображения искомой функции. Затем, искомую функцию в методе Лапласа 2 восстанавливают в зависимости от вида изображения — по таблицам соответствия изображения и оригинала, формулам разложения и интегралу Бромвича. В ДТ-методе возвращение к исходной функции происходит с помощью ряда Тейлора (Пуховым этот метод методом ДТ-преобразований, так как искомая функция преобразовывается путем ее дифференцирования, и восстанавливается применением ряда Тейлора). В операторных методах применяют операторные схемы замещения, которые рассчитывают методами анализа установившихся процессов при источниках с постоянными ЭДС и токами. в) Спектральный (метод преобразования Фурье) – метод основан на преобразовании Фурье. Представляет собой частный случай преобразования Лапласа и в основном применяется к абсолютно интегрируемым функциям. Преобразование Фурье устанавливает связь между спектральным составом напряжения (тока) на входе, выходе и частотной характеристикой цепи, что необходимо при решении многих задач по электротехнике Достоинством метода является сведение расчета переходного процесса к расчету установившегося процесса при гармонических источниках. Однако при этом приходится интегрировать сложные функции. Применение метода особенно целесообразно, когда известна частотная характеристика схемы, а не сама схема г) Интеграл Дюамеля – переходный процесс в схеме с нулевыми начальными условиями при воздействии источника ЭДС (тока) произвольной формы рассчитывают по уравнению, называемому интегралом Дюамеля. Применению интеграла предшествует расчет переходного процесса при включении рассматриваемой схемы к единичному источнику постоянного напряжения (единичному источнику постоянного тока). При этом определяют переходную функцию (для тока или напряжения) Данный метод применяют при расчете схем с входным импульсным напряжением сложной формы. 3 д) Метод переменных состояния – токи и напряжения ветвей определяются по предварительно найденным значениям независимых переменных, называемых переменными состояния. В качестве независимых переменных, обычно, принимают непрерывные во времени переменные iL и uC. Формируются 2 системы уравнений: систему уравнений состояния цепи и систему уравнений выходных переменных (искомых токов и напряжений). Законы коммутации. В электрических цепях энергия, накопленная в электрических (емкостной элемент) и магнитных (индуктивный элемент) полях, не может изменяться скачком: W(0-)=W(0+); Wэл.поля=(CU2)/2; (2) Wм.поля=(LI2)/2. I) Ток и потокосцепление индуктивного элемента не могут изменяться скачком и в момент коммутации равны тем значениям, которые они имели непосредственно перед коммутацией: iL(0-)= iL(0+); Ψ(0-)= Ψ(0+). (3) II) Напряжение и заряд на емкостном элементе не могут изменяться скачком и в момент коммутации равны тем значениям, которые они имели непосредственно перед коммутацией: uC(0-)= uC(0+); Q(0-)= Q(0+). (4) Принужденная составляющая – определяется частным решением диф. уравнения для послекоммутационной схемы. Принужденный режим задается источниками энергии, действующими в цепи. Свободная составляющая – разность переходного и установившегося тока или напряжения. Это общее решение однородного диф. уравнения для послекоммутационной схемы без источников ЭДС и тока. Свободная составляющая со временем затухает. 4 Начальные условия – значения величин и их производных в момент коммутации t=0+. Независимые условия – значения токов в индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах в момент коммутации t=0+. Зависимые условия – остальные значения токов и напряжений в момент коммутации t=0+. Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом 1. В послекоммутационной схеме известными методами находят принужденные составляющие искомых токов и напряжений. 2. Составляют характеристическое уравнение и определяют его корни. Исходя из характера корней, записывают выражение для искомых свободных составляющих токов и напряжений через постоянные интегрирования. Переходные значения искомых функций рассматривают как сумму найденных значений принужденной и свободной составляющих данной функции, например, it = iпр + iсв. (5) 3. Рассчитывают токи до коммутация в индуктивных iL(0-) и напряжения на емкостных uC(0-) элементах, в соответствии с которыми по законам коммутации определяют независимые начальные условия: iL(0-)= iL(0+); uC(0-)= uC(0+). 4. Зависимые начальные условия находят, например, по уравнениям Кирхгофа для послекоммутационной схемы с учетом независимых начальных условий. Постоянные интегрирования вычисляют с помощью начальных условий для искомых функций и их производных. Найденные начальные условия подставляют в уравнение искомой переходной функции для t=0+ и в уравнения его производных, записанных для t=0+. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно постоянных интегрирования. 5 Рисунок 2 – RL-цепь. Переходные токи и напряжения Уравнение по 2-му закону Кирхгофа: u R (t ) + u L (t ) = E ; di (t ) R E + i (t ) = ; dt L L pL + R = 0 , (6) где uR (t), uL(t) – мгновенные напряжения на элементах; E – ЭДС источника; р – оператор Лапласа. Корни характеристического уравнения и постоянная времени: p=− τ= R ; L (7) L . R (8) Ток через катушку индуктивности и напряжение на ней i L (t ) = E t  1 − exp(− )  ; τ  R (9) t u L (t ) = E exp(− ) . τ (10) 6 Постоянная времени τ — время, в течение которого свободная составляющая тока iLсв в цепи RL и свободная составляющая напряжения uСсв в цепи RC убывают по абсолютной величине в e=2,718 раза. Постоянная времени может быть определена графически как величина подкасательной к экспоненте. Величина подкасательных к одной и той же экспоненте постоянная, поэтому τ называют постоянной времени. Постоянная времени зависит от конфигурации и параметров послекоммутационной схемы. Таблица 2 – Постоянная времени t τ 2τ 3τ 4τ 5τ 1–exp(-t/τ) 0,632 0,865 0,95 0,982 0,993 exp(-t/τ) 1 0,308 0,135 0,05 0,018 0,007 7 Литература 1. Репьев Ю.Г., Семенко Л.П., Поддубный Г.В. Теоретические основы электротехники: Теория цепей: Учебное пособие для самостоятельного изучения. – Краснодар: КПИ, 1990. – 290 с. (ПЗ №12) 2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1984. – 750 с. (§§ 8.1 – 8.27) 3. Татур Т.А., Татур В.Е. Установившиеся и переходные процессы в электричексих цепях: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2001. – 407 с. (§§ 9.1 – 10.7) 4. Евдокимов Ф.Е. Теоретические основы электротехники: Учеб. для средн. спец. учеб. заведений. – 7-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 2001. – 495 с. (§§ 25.1 – 25.7) 5. Прянишников В.А. Теоретические основы электротехники: Курс лекций. – СПб.: КОРОНА принт, 2000. – 368 с. (Лекции 18-19) Вопросы к лекции 1. Как выполняется расчет цепей в переходном режиме по мгновенным значениям напряжения и тока? 2. Зависит ли принужденная составляющая напряжения или тока от начальных запасов энергии в реактивных элементах? 3. Какая составляющая реакции цепи называется свободной? 4. От чего зависит порядок дифференциального уравнения электрической цепи? 5. Для чего используются законы коммутации при расчете переходных процессов в электрической цепи? 6. Зависит ли постоянная времени от характера изменения во времени параметров источников энергии? 8 ЛЕКЦИЯ 4 АНАЛИЗ СХЕМ С ИСТОЧНИКАМИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ЭДС И ТОКОВ 4.1. Основные понятия 4.2. Формы представления гармонических величин. Комплексные числа 4.3. Пассивные элементы R, L, C в цепи синусоидального тока 4.3.1. Идеальный резисторный элемент 4.3.2. Идеальный емкостный элемент 4.3.3. Идеальный индуктивный элемент 4.4. Символический или комплексный метод расчета 4.5. Мощность гармонического тока 4.1. Основные понятия Гармонический ток (напряжение, э.д.с.) – это периодический электрический ток (напряжение, Э.Д.С.), являющийся синусоидальной или косинусоидальной функцией времени: i = Im sin(ωt + ϕ). Генератор гармонического (синусоидального) напряжения: обмотка e Em N e(t) e(t) t S статор ротор Э.д.с. и обмотка возбуждения ток на генераторе гармонического напряжения: e(t ) = E m sin (ωt ± ϕ e ) ; i (t ) = I m sin (ωt ± ϕ i ) . (синусоидального) i T Im 2π π ϕ >0 ωt ϕ1 <0 Амплитуда Im – максимальное значение функции. Период T – наименьший интервал времени, между которым мгновенные значения повторяются, [c]. Частота ƒ – величина обратная периоду f = 1 [ Гц]. T Угловая частота ω – число периодов Т в интервале времени, равном 2π:  рад  ω = 2πƒ,  .  с  Фаза – аргумент гармонической функции (ωt ± ϕi ), который линейно увеличивается во времени. Начальная фаза ψ i – значение фазы в начальный момент времени (t = 0). e(t) e1(t) e2(t) ωt α e2 = Em2 sin (ωt + α ) ; e1 = Em1 sin ωt ; 2 Если α = 0 – то e2(t) совпадает по фазе c e1(t); α =π – в противофазе; e1 α < 0 – e2 (t ) отстает по фазе !; α > 0 – e2 (t ) опережает по фазе !. e2 e2 e1 Сдвиг фаз между током и напряжением – разность между начальной фазой тока и фазой напряжения. ϕ = ψi − ψu . Мгновенное значение напряжения (тока, э.д.с.) – функция времени: u (t ) = U m sin(ωt ± ϕe ) – обозначается прописными буквами u(t), i(t), e(t). Действующее значение напряжения (тока, э.д.с.) – такое значение напряжения (тока, э.д.с.), которое за период оказывает такой же тепловой и другие эффекты, что и синусоидальное напряжение (ток, э.д.с.) – обозначается заглавными буквами U, I, E. Т.к. количество теплоты, выделяемой на резисторе: R Q = I 2R ⋅ k ⋅T , то действующее значение тока – это среднеквадратичное значение этой функции за период: I= 1 T 2 i dt . T ∫0 Если i = Im sin ωt , то действующее значение тока I= Im ; 2 u = Um sin ωt , то действующее значение напряжения U = 3 Um 2 ; e = Em sin ωt , то действующее значение э.д.с. E = Em 2 . Среднее значение – среднее значение за полупериод (положительный) I ср = 2 T2 i(t )dt T ∫0 2 T Если i = Im sin ωt , то среднее значение тока Iср = Im . 4.2. Формы представления гармонических величин. Комплексные числа Существуют следующие основные формы представления гармонических величин: 1. Тригонометрическая форма: i = Im sin ωt. Недостаток – трудно производить математические операции с несколькими синусоидами. 2. Графическая форма (волновая диаграмма). e Em e(t) t Недостаток – трудность изображения и низкая точность. 3. Векторы на плоскости. Длина вектора – амплитуда. Угол – начальная фаза. 4 ! Emax3 ! ! ! ! Emax = Emax1 + Emax2 + Emax3 ! Emax1 ! ! Emax1 + Emax2 ! Emax 2 Векторная диаграмма – это совокупность векторов, изображающих векторы тока, напряжения и э.д.с. цепи, исходящих из одной точки Недостаток: можно легко складывать и вычитать, трудно умножать и делить. 4. Комплексная форма представления. ось мнимых чисел (Im) +j С b -1 C ϕ a * +1 ось действительных чисел (Re) С -j Комплексное число – алгебраическая сумма действительного числа a и мнимого числа jb: C = a + jb . Сопряженное число: * С = a − jb . Мнимая единица: j = −1; j 2 = −1 . Модуль комплексного числа – длина вектора C = C : 5 C = a2 + b2 . Аргумент (фаза) комплексного числа – угол между осью действительных чисел и вектором: ϕ = arctg b a (обязателен учет четверти – если II-я или III-я четверть, то b ϕ = arctg ± 180° ). a Угол откладывается против часовой стрелки. Существуют следующие формы комплексного числа: 1. Алгебраическая форма: C = a + jb . Алгебраическая форма предпочтительна для сложения и вычитания комплексных чисел: A = a + jb A + B = (a + c ) + j (b + d ) ⇒ . B = c + jd A− B = (a − c ) + j (b − d ) 2. Показательная форма: C = C ⋅ e jϕ . Показательная форма предпочтительна для сложения и деления комплексных чисел: A = Ae jϕ1 B = Be jϕ2 3. A  A  j (ϕ1−ϕ2 ) =  e . B  B j (ϕ1 + ϕ2 ) A⋅ B = (A⋅ B)e ⇒ Тригонометрическая форма: C = C ⋅ (cos ϕ + j sin ϕ ) = a + jb , т.к. e jϕ = cosϕ + j sin ϕ . Для перевода из одной формы в другую: b С = a 2 + b 2 ; ϕ = arctg  ; a a = C ⋅ cos ϕ ; b = C ⋅ sin ϕ . 6 ! E m3 ! Em 2 ! ! ! ! Em = Em1 + Em2 + Em3 ! Em1 ! ! Em1 + Em2 Символом с индексом m обозначается комплекс амплитуды величины, например Ėm. Без индекса – действующее значение величины, например Ė. На рисунке: E" m1 = Em1e j 0 = Em1 ; E" m2 = Em2 e E" m3 = Em3e j π 2 j π 2 ; . Изображение позволяет гармонических заменить колебаний комплексным интегрально-дифференциальные числом уравнения комплексными алгебраическими уравнениями. При этом комплексами изображаются не только гармонические э.д.с., U, I, но и параметры схемы. 7 4.3. Пассивные элементы R, L, C в цепи синусоидального тока 4.3.1. Идеальный резистивный элемент (ИРЭ) iR R ~UR Мгновенное значение напряжения на ИРЭ: u R = U Rmax sin(ωt + ϕ) . Ток, протекающий через ИРЭ: iR = u R U Rmax = sin ωt = I Rmax sin ωt ; R R I Rmax = U Rmax R . Т.о. напряжение и ток на ИРЭ всегда совпадают по фазе: +j ! I Rmax -1 ! URmax +1 -j Комплексное сопротивление Z = R . U" I"R = R - закон Ома в комплексной форме для ИРЭ. R 8 Сопротивление у ИРЭ активное. Активная мощность оценивает интенсивность необратимого процесса преобразования электроэнергии в другие виды энергии. Мгновенная мощность: p(t ) = u R (t )⋅ i R (t ) ; p(t ) = U Rmax sin ωt ⋅ I Rmax sin ωt = U ⋅ I ⋅ (1 − cos ωt ), где U" R = U ; I"R = I – действующие значения напряжения и тока. PR + + 2π iR UR Среднее значение мощности на ИРЭ: Pср = I R2 ⋅ R . 4.3.2. Идеальный ёмкостный элемент (ИЕЭ) iC ~UC C Мгновенное значение напряжения на ИЕЭ: uC = U Cm ⋅ sin ωt . Ток, протекающий через ИЕЭ: 9 ωt  dq  i = dt  q C = U  ⇒ iC = C dU C dt Тогда d (UCm sin ωt) = UCm ⋅ C ⋅ ω ⋅ cos ωt = U1Cm sin ωt + π  dt 2  ωC iC = C – ток опережает напряжение на π . 2 Комплексное сопротивление ИЕЭ: Zc = где X C = 1 ωC 1 j =− = − jX C , ωC jωC [Ом] - емкостное сопротивление. U" C - закон Ома в комплексной форме для ИЕЭ. I"C = − jX C Мгновенная мощность: pC (t ) = UCm ⋅ ICm ⋅ sin ωt ⋅ cos ωt = U Cm ⋅ ICm sin 2ωt ; 2 pC (t ) = UC ⋅ IC ⋅ sin 2ωt . Средняя мощность: PCср = 1 T pC (t )dt = 0 . T ∫0 Зарядка iC it +j UC + - - + I"C ωt -1 Разрядка U" C -j 10 +1 Энергетические процессы в ИЕЭ носят объемный характер с двойной частотой по отношению к частоте цепи. Процессы обмена энергией между источником и приемником – реактивные процессы. Сопротивление ИЕЭ – реактивное. Интенсивность объемных процессов оценивается реактивной мощностью: U C2 = I C2 X C QC = U C I C = XC [ВАр]. 4.3.3. Идеальный индуктивный элемент (ИИЭ) iL ~UL eL Мгновенное значение напряжения на ИИЭ: u L = U Lm sin ωt . С учетом явления самоиндукции 2-й закон Кирхгофа для данной цепи: U L + eL = 0 . Тогда ток, протекающий через ИИЭ: eL = L U di L π π   ⇒ iL = Lm sin ωt −  = I Lm sin ωt −  dt ωL 2 2   – ток отстает от напряжения на π . 2 Комплексное сопротивление ИИЭ: ZL = jωL = jX L , где X L = ωL [Ом] - индуктивное сопротивление. 11 +j uL U" L iL π I" L = U" L jX L +1 -1 2π ωt -j I"L - закон Ома в комплексной форме для ИИЭ. Процессы в ИЕЭ и ИИЭ проходят в противофазе. Интенсивность объемных процессов мощностью: QL = U L I L = I L2 X L [ВАр] . 12 оценивается реактивной 4.4. Символический или комплексный метод расчета Комплексный метод расчета применяется при анализе цепей с гармоническими э.д.с., напряжениями и токами. Сущность символического и комплексного метода заключается в том, что в описание элементов схемы замещения (резистора, катушки индуктивности, конденсатора) цепи переменного тока в комплексной форме закладывается автоматически вся необходимая информация об этом поведении. Всякий элемент заменяют на его изображение: ⇒ E" = Ee± jϕ e = Em sin(ωt ±ϕ) ⇒ J" = Je± jα j = Jm sin(ωt ± α) R ⇒ u = Ri L U" = RI" jωL ⇒ di u=L dt U" = jωLI" − C ⇒ u= R j ωC jI" U" = − ωC 1 idt С∫ В результате получаем схему замещения в комплексной форме. К этой схеме применяют все методы расчета. 13 Алгоритм комплексного метода 1. э.д.с., Составляют комплексную схему, заменяя мгновенные значения напряжений и токов источников тока их комплексными изображениями. Параметры ветвей схемы заменяют их комплексными сопротивлениями и проводимостями. C −j R L E" ⇒ e 1 ωC В jωL I" i-? 2. R I" − ? полученной комплексной схеме произвольно выбирают направления комплексных токов в ветвях и обозначают их на схеме. 3. Составляют комплексные уравнения по выбранному методу: U" I" = ; Z Z = R + j ωL − j 4. 1 = R + j ( X L − XC ) . ωC Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины: U" I" = . Z 5. При необходимости записывают мгновенное значение найденной комплексной величины: i = I 2 sin (ωt + ϕ ). 6. Баланс мощности: ∑ E" i ⋅ I"i = ∑ I" 2j ⋅ Z j i Мощность источников j Мощность приемников 14 4.5. Мощность гармонического тока Полная мощность – произведение действующих значений тока и напряжения: S =U ⋅I ; S = P2 + Q2 . Комплекс полной мощности: * ~ S = U" ⋅ I , ~ S = S ⋅ e jϕ = S cos ϕ + j sin ϕ = UI cos ϕ + j (UI sin ϕ ) . & #%# $ &#%# $ P [Вт ] Q [ВАр ] * где I - сопряженный комплекс тока. Активная мощность P – среднее значение мгновенной мощности за период Т. Равна мощности, рассеиваемой на активном сопротивлении. Реактивная мощность Q – численно равна максимальной скорости запасания энергии в реактивных элементах. Характеризует процессы обмена энергией между цепью и источником. Коэффициент мощности cos ϕ – характеризует степень использования предельной мощности. При cos ϕ = 1 мощность используется полностью. Полная мощность у источников: ~ S = ± Pu ± Qu , причем +Pu – источник генерирует активную мощность; - Pu – приемник активной мощности; +Qu – потребитель реактивной мощности (катушка индуктивности); - Qu – генератор реактивной мощности (конденсатор). Полная мощность у приемников: ~ S = ± Pпр ± Qпр , 15 причем знаки расставляются противоположно мощности у источников. Баланс мощностей – алгебраическая сумма комплексных мощностей активных элементов в схеме равна сумме комплексных мощностей всех пассивных элементов: * * ∑ E" k I k + ∑U" Jm J m = ∑ I"i2 Zi , k m i где U" Jm – напряжение на m - ом источнике тока. Активную мощность измеряют с помощью электродинамического ваттметра: * I" W U" * Выбранные направления U" и тока İ должны быть одинаковыми относительно одноименных зажимов, обозначенных точкой. При этом ( ) cos U"I" > 0 и ( ) P = UI cos U"I" . 16 Лекция 5 ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ 5.1. Резонансные явления и частотные характеристики 5.1.1. Резонанс напряжений 5.1.2. Резонанс токов 5.1. Резонансные явления и частотные характеристики Основные понятия Под резонансным режимом пассивного двухполюсника понимают режим, при котором напряжение и ток на его входе совпадают по фазе. Условием резонанса является равенство нулю реактивного сопротивления X или реактивной проводимости B цепи, что предполагает наличие в цепи реактивных элементов различного характера (индуктивного и емкостного). В разветвленных цепях, где количество реактивных элементов N>3, возможны несколько резонансных режимов. Резонансный режим логично достичь либо изменением параметров элементов цепи, либо изменением частоты приложенного к цепи напряжения, либо сочетанием этих двух факторов. Резонансный режим в цепи с последовательным соединением участков, содержащих реактивные элементы различного характера, носит название резонанс напряжений. Признаком резонанса напряжения является равенство реактивных составляющих напряжений на последовательно включенных реактивных элементах различного характера. Резонансный режим с параллельным соединением таких участков называется резонансом токов. Характерным признаком резонанса токов является равенство реактивных составляющих токов в параллельных ветвях, содержащих реактивные элементы различного характера. Пример 1 pV2 Пример 2 pV3 R ~ pA L PA1 C pV1 U вx = 50В ; резонанс; ~ pV4 X L0 R PA2 = 10 . I A1 = 1A I A2 = 1A I A − ? Каковы показания вольтметров и амперметров? Если считать элементы идеальными, то UpV2=50 В; UpV3= UpV4=500 В и IpA=0. Частотные характеристики – зависимость от частоты параметров цепи. Резонансные кривые – зависимость действующих и амплитудных значений напряжений и токов от частоты или параметров цепи. Вид резонансных кривых определяется видом частотных характеристик. Рассмотрим наиболее часто возникающие резонансные режимы. 2 5.1.1. Резонанс напряжений i R UR L UL C U, ω XL>XC; X>0; ϕ>0 U! L U! L XLQ1 UC UL I(Q1) ωн ∆ω ωв ω Полоса пропускания контура – диапазон частот ∆ω = ωв - ωн, на границах которого справедливо условие: I= где I0 2 , ωb, ωh – верхняя и нижняя границы полосы пропускания. Очевидно, чем больше добротность контура, тем острее резонансная кривая, тем уже полоса пропускания, тем лучше избирательность контура, то есть способность пропустить сигнал одной частоты и не пропускать остальное. Можно показать, что ∆ω = ω0 = ω0 ⋅ d . Q 5 Относительная расстройка частоты – это отношение полосы пропускания к резонансной. Относительная расстройка частоты равна затуханию контура: ∆ω 1 = =d. ω0 Q Частотные характеристики – зависимости от частоты параметров цепи – (R, X L , X C , Z , ϕ ) = f (ω ): X L = ωL ; X C = 1 ωC ; Z = R2 + X 2 π 2 xL |x| Z X=XL-XC ; ϕ = arctg X ; X = X L − XC . R ϕ R ω ω0 ω0 - xC ω π 2 UC UL I UR cosϕ C Cрез Частотные характеристики можно получить расчетным или опытным путем. При снятии ЧХ опытным путем на вход двухполюсника подают напряжение, частоту которого изменяют в широких пределах и по результатам измерений рассчитывают Zвx, Rвx, Xвx. Для несложных схем частотные характеристики можно получить из простых физических соображений: если ω ⇒ ∞ , то X L = ωL ⇒ ∞; 1 XC = ⇒ 0. ωC Двухполюсник, составленный только из реактивных элементов – реактивный двухполюсник. 6 5.1.2. Резонанс токов İ i2 i1 R1 ~U İ2 R2 İ1 U! R1 1 jωC L C R2 jωL İ1 İ1p U! İ2a ϕ İ1a İ2p I BL > BC İ2 İ1 İ1p ϕ1 ϕ2 U! İ2a İ1a I İ2p İ2 BL = BC Резонансный режим с параллельным соединением таких участков называется резонансом токов. Характерным признаком резонанса токов является равенство реактивных составляющих токов в параллельных ветвях, содержащих реактивные элементы различного характера. I!1 = U! R1 − j 1 ωC ; I!2 = U! ; I! = I!1 + I!2 ; R2 − jωL 1 1     R1 1 ω ω C C !I = U! ⋅ ! ! =U = U  2 + j 2  = U! ⋅ Y 1 = U! (G1 + jBC ); 1 2 1 Z1   Z1  1  R1 − j   R12 +     ωC ω C   R1 + j 7 R ωL  I!2 = U!  22 − j 2  = U! (G2 − jBL ) = U! Y 2 ; Z2   Z2 I! = U! ⋅ Y = U! (Y 1 + Y 2 ); Y = ye − jϕ = (G1 + G2 ) − j (B L − BC ); (G1 + G2 )2 + (BL − BC )2 ; y= ϕ = arctg BL − BC . G1 + G2 Условие резонанса: Bвx = Jm[Y вx ] = 0 ; ϕвx = 0 ; BL = BC ; ωL R22 + (ωL ) 2 1 ωC = R12  1  +   ωC  2 . В частности: IC = U U = U ⋅ ωC ; I L = ; 1 ωL ωC R1 = 0; R2 ≈ 0; BC = ωC ; BL = 1 ; ωL ωC = 1 . ωL Признаки резонанса: BL = BC ; Ybx = G ⇒ min ; I 0 = UG ⇒ min ; ϕ = 0 ; Q0 = 0 ; P0 = S = const . Резонансные кривые I(ω): 8 I инд. емк. акт. R≠0 R=0 ω ω0 QI = I L0 I0 = I C0 I0 = ω 0C Y 1 = = ωL ⋅ G G G – добротность параллельного контура; γ = C [Ом] – характеристическая проводимость параллельного RLC L контура. Частотные характеристики (G , B L , BC , Y , ϕ ) = f (ω ): I1 I = I2 cosϕ2 π 2 I cosϕ ω0 I = I2a Cpез ϕ - C 9 π 2 ω Применение По виду частотной характеристики можно определить какой тип резонанса и при какой частоте возникает в двухполюснике. X PH PT ω01 ω PH ω02 ω03 Точки, в которых частотная характеристика x(ω) пересекает ось абсцисс (B(ω) претерпевает разрыв от -∞ до +∞) дают значение ω0, при которых в цепи возникает резонанс напряжений. Точки, в которых кривая x(ω) претерпевает разрыв от +∞ до -∞ (B(ω)пересекает ось абсцисс), соответствует режимам резонанса тока. 10 ЛЕКЦИЯ 6 МЕТОДЫ РАСЧЕТА СИГНАЛА ПО СПЕКТРУ 6.1. Периодические несинусоидальные сигналы 6.1.1. Основные понятия 6.1.2. Разложение в ряд Фурье 6.1.3. Расчет несинусоидальных режимов в мгновенных значениях 6.1.4. Метод эквивалентных синусоид 6.1.5. Высшие гармоники в однофазных цепях 6.1.6. Трехфазные цепи с несинусоидальными ЭДС, напряжениями и токами 6.2. Спектральный (частотный) метод 6.2.1. Прямое и обратное преобразования Фурье 6.2.2. Частотный (спектральный) метод 6.1. Периодические несинусоидальные сигналы 6.1.1. Основные понятия Причины возникновения несинусоидальных режимов Причиной возникновения несинусоидальных режимов в линейных электрических цепях является несинусоидальность ЭДС и напряжений источников: - ЭДС синхронных генераторов содержат высшие гармоники вследствие наличия зубцов и насыщения магнитопровода; вторичные источники: - выходное напряжение выпрямителя содержит постоянную составляющую и пульсации; u t - выходное напряжение релаксационных генераторов – мультивибраторов, генераторов пилы и т. д. – имеет прямоугольную, треугольную, трапецеидальную и другие формы. Принципы анализа цепей с несинусоидальными напряжениями и токами В основе анализа линейных электрических цепей с несинусоидальными напряжениями и токами лежат: - представление несинусоидальных периодических напряжений и токов в виде тригонометрического ряда Фурье; - применение принципа наложения для расчета мгновенных и действующих значений напряжений и токов; 6.1.2. Разложение в ряд Фурье Из курса математики известно, что любую периодическую функцию (e, u, i), удовлетворяющую условиям Дирихле, можно разложить в тригонометрический ряд Фурье. Условия Дирихле: 1. Функция должна иметь за период конечное число разрывов первого рода. 2. Функция должна иметь за период конечное число максимумов и минимумов. 2 y t Разрыв первого рода – функция имеет левый и правый пределы, не равные между собой В физически реальных электротехнических и электронных цепях все периодические функции условиям Дирихле удовлетворяют. Разложение в ряд Фурье, если функция e(t ) задана аналитически ∞ ∞ k =1 k =1 e(t ) = E( 0 ) + ∑ B( k ) sin( kωt ) + ∑ C( k ) cos( kωt ), где E( 0 ) 1T = ∫ e(t )dt – постоянная составляющая; T0 B( k ) = 2T e(t ) sin( kωt )dt – амплитуда синусной составляющей к-й гармоT ∫0 ники; C( k ) = 2T e(t ) sin( kωt )dt – амплитуда косинусной составляющей к-й гарT ∫0 моники. Коэффициенты можно записать в другой форме: E0 = 1 2π 1 2π 1 2π B e ( t ) sin( k t ) d t C e(t )cos( kωt )dωt . ω e ( t ) d t ; ; = ω ω = k k π ∫0 π ∫0 2π ∫0 Часто используют другую форму записи разложения Фурье. Если полагать, что B( k ) = E( k ) max cos Ψ( k ) и C( k ) = E( k ) max sin Ψ( k ) , то для любой гармоники 3 E( k )max cos Ψ( k ) sin( kωt ) + E( k )max sin Ψ( k ) cos( kωt ) = E( k )max sin( kωt + Ψ( k ) ) , где E( k ) max = B(2k ) + C(2k ) , Ψ( k ) = arctg C( k ) B( k ) . В результате: ∞ e(t ) = E( 0) + E(1) max sin(ωt + Ψ(1) ) + ∑ E( k ) max sin(kωt +Ψ( k ) ) , k =2 где E( 0) – постоянная составляющая; E(1) max sin(ωt + Ψ(1) ) – основная или первая гармоника, период которой равен периоду самой несинусоидальной функции; E( k ) max sin(kωt + Ψ( k ) ) – высшая гармоника к-го порядка. В общем случае ряд Фурье содержит бесконечное число членов ряда, но на практике ограничиваются некоторым конечным их числом. Разложение в ряд Фурье, если функция е(t ) задана графически В этом случае определеный интеграл заменяют суммой конечного числа слагаемых. С этой целью кривую разбивают на n равных интервалов и подсчитывают коэффициенты Фурье по приближённым формулам: где E( 0 ) = 1 n 2π f (p ⋅ ); ∑ n p=1 n B( k ) = 2 n 2π 2π f (p⋅ ) ⋅ sin(k ⋅ p ⋅ ) ; ∑ n h=1 n n C( k ) = 2 n 2π 2π f ( p ⋅ ) cos(k ⋅ p ⋅ ) , ∑ n p=1 n n р = 1,2,!n – номер интервала. 4 Разложение в ряд Фурье, если функция e(t ) существует в виде разности потенциалов в электрической цепи Коэффициенты разложения Вк и С к определяют приборы – гармонические анализаторы путем подачи исследуемого несинусоидального напряжения на зажимы прибора. В большинстве практических случаев пользуются разложениями, взятыми из справочников, учебников, монографий. Свойства периодических несинусоидальных функций, обладающих симметрией Еще до разложения по наличию того или иного вида симметрии можно предсказать наличие или отсутствие того или иного вида гармоник - кривая симметрична относительно оси ординат (симметрия I-го рода): e e(t)=e(-t) t e(t ) = E( 0 ) + C(1) cos ωt + C( 2) cos 2ωt + ! При разложении в ряд Фурье отсутствуют синусные составляющие гармоник ( Bk = 0 ). - кривая симметрична относительно начала координат (симметрия IIго рода): 5 e -t t t e(t)= -e(-t) e(t ) = B(1) sin ωt + B( 2) sin 2ωt + ! При разложении в ряд Фурье отсутствуют постоянная составляющая и косинусные составляющие. - кривая симметрична относительно оси абсцисс: e t e(t)= -e(t+π) e(t ) = E(1) max sin ωt + E( 3) max sin 3ωt + ! При разложении в ряд Фурье отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники. Пример разложения: e t 6 e(t ) = 8 Emax 1 1 1 (sin ωt − sin 3ωt + sin 5ωt − sin 7ωt ) 2 π 9 25 49 Симметрия относительно оси абсцисс и начала координат. 6.1.3. Расчет несинусоидальных режимов в мгновенных значениях Для линейных цепей применим принцип наложения. Следовательно, действие несинусоидального источника напряжения на линейную цепь можно заменить действием группы источников, имеющих каждый напряжение, соответствующее разложению в ряд Фурье исходного несинусоидального напряжения. Расчет режима в цепи производят для каждой из гармоник отдельно с помощью приемов, известных из 1-й части курса. Для расчета тока каждой гармоники в отдельности целесообразно воспользоваться комплексным методом. Однако суммировать полученные комплексные токи для отдельных гармоник нельзя, так как они имеют разные частоты. Суммировать можно лишь мгновенные значения, выраженные как функции времени. Суммируя найденные таким путем мгновенные токи, получаем исходный несинусоидальный ток в цепи. 7 6.1.4. Метод эквивалентных синусоид Метод наложения позволяет рассчитать мгновенные значения несинусоидальных напряжений и токов в линейных электрических цепях. Однако практические задачи расчета электрических цепей, выбора сечений проводников, расчета средних (активных) мощностей, оценивающих преобразованную и поглощенную приемниками электрическую энергию требуют оценивать несинусоидальный режим работы с помощью некоторых средних, интегральных величин u, i, e которые можно было бы измерить с помощью обычных электрических приборов – амперметров, вольтметров электромагнитной, электродинамической и тепловой систем, которые, как известно, измеряют действующие значения u, i, e . По определению I= 1T 2 i (t )dt – действующее или среднеквадратичное значение, T ∫0 ∞ i (t ) = I ( 0) + ∑ I ( k ) m sin(kωt + Ψ( k ) ) , k =1 2 ∞ 1T  + ω + Ψ I= I I sin( k t ) ∑ ( ) ( ) ( ) k m k ∫  . T 0  k =1 тогда После преобразования и интегрирования получим: I= I 2 ( 0) + I (21) m 2 + I (22 ) m 2 + ! = I (20) + I (21) + I (22) + ! . Аналогично U = U (20) + U (21) + U (22) + ! ; E = E(20) + E(21) + E(22 ) + E(23) + ! . Действующее значение периодического несинусоидального тока (напряжения, ЭДС) равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник. Таким образом, из расчета мгновенных значений u, i, e можно рассчитать действующие значения, измеряемые приборами и являющиеся опреде8 ляющими для решения технико-экономических задач разработки и создания схем электроснабжения и различных электроустановок. Активная мощность, как это принято, есть среднее значение мгновенной мощности за период: 1T P = ∫ u (t )i (t )dt = T0 ∞ ∞ 1T   = ∫ U ( 0) + ∑U ( k ) m sin(kωt + Ψ( k ) )  I ( 0) + ∑ I ( k ) m sin(kωt + Ψ( k ) + ϕ( k ) ) . T 0 k =1 k =1   После преобразований и интегрирования получим: P = U ( 0) I ( 0) + U (1) I (1) cos ϕ(1) + U ( 2) I ( 2) cos ϕ( 2) + ! . Т.е., активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник. Полная мощность: S = UI , где U и I – действующие значения несинусоидальных u и i. Коэффициент мощности: λ= P . S Используя полученные значения U, I, P, S при анализе несинусоидальных режимов: I экв = I 02 + I12 + I 22 + ! ; U экв = U 02 + U 12 + U 22 + ! ; n Pэкв = U 0 I 0 + ∑U k I k cos ϕ k ; k =1 cos ϕ экв = Pэкв U экв I экв , применяют метод эквивалентных синусоид. 9 Согласно этому методу реально существующие в цепи несинусоидальные токи и напряжения при расчете заменяются на синусоидальные токи и напряжения, действующие значения которых равны действующим значениям несинусоидальных токов и напряжений. Эти синусоидальные токи и напряжения называются эквивалентными. Это позволяет использовать для анализа векторные диаграммы и комплексные числа. 6.1.5. Высшие гармоники в однофазных цепях 1. Реактивные сопротивления элементов цепи X(k), (а, следовательно, полные сопротивления Z(k), фазовые сдвиги ϕ(k)) зависят от номера гармоник (частоты). С ростом частоты (номера гармоник) XL(k) растет, а XC(k) уменьшается. 2. Так как реактивные сопротивления зависят от частоты, то в цепи возможны резонансные режимы для отдельных гармоник. Под резонансом на k-й гармонике понимают такой режим работы, при котором ток k-й гармоники на входе цепи совпадает по фазе с k-й гармоникой Э.Д.С. (напряжения), действующего на входе этой цепи (для остальных гармоник такого совпадения нет). Иначе говоря, реактивная составляющая входного сопротивления для k-й гармоники равна нулю. Электрические цепи, предназначенные для преимущественного пропуска или задержки токов определенных частот, называются электрическими фильтрами. 10 6.1.6. Трехфазные цепи с несинусоидальными ЭДС, напряжениями и токами ЭДС каждой фазы трехфазного трансформатора (генератора) часто оказываются несинусоидальными. Это значит, что на вход трехфазной цепи подается симметричное, несинусоидальное трехфазное напряжение. Разложение в ряд Фурье напряжений трех фаз будет содержать одинаковые составляющие, но так как период k-й гармоники в k раз меньше периода основной гармоники, то угол сдвига между фазными напряжениями k-й 2 гармоники равен k π , то есть зависит от номера гармоники. 3 U( k )A = U( k )m sin( kωt + Ψk ) = U( k )m sin( kωt + Ψk ) ; 2 2   U( k )B = U( k )m sin( kωt − k π + Ψk ) = U( k )m sin k( ωt − π) + Ψk  ; 3 3   2 2   U( k )C = U( k )m sin( kωt + k π + Ψk ) = U( k )m sin k( ωt + π) + Ψk  . 3 3   U1A U1B 240° U2A U2B Таким образом, если для 1-й гармоники сдвиг по фазе составляет 120°, то для второй гармоники этот сдвиг уже составляет 240° Запишем разложение фазных напряжений до 5-й гармоники: U A = U1m sin( ωt ) + U 2 m sin(2 ωt ) + U 3 m sin(3ωt ) + U 4 m sin(4 ωt ) + U 5 m sin(5ωt ) + ! ; 2 U B = U1m sin( ωt − π) + U 2 m sin(2ωt − 240°) + U 3 m sin(3ωt ) + 3 11 + U 4 m sin( 4ωt − 120°) + U 5 m sin(5ωt − 240°) + ! ; 2 U C = U1m sin( ωt + π) + U 2 m sin(2 ωt + 240°) + U 3 m sin(3ωt ) + 3 + U 4 m sin(4 ωt + 120°) + U 5 m sin(5ωt + 240°) + ! . Из разложения следует: – 1-, 4-, 7-, 10-я гармоники образуют симметричные системы трехфазных напряжений прямой последовательности фаз; – 2-, 5-, 8-, 11- и т. д. гармоники образуют симметричные системы трехфазных напряжений обратной последовательности фаз; – гармоники, кратные трем (3, 6, 9 и т. д.) находятся в фазе друг с другом и образуют симметричные системы нулевой последовательности. UA UC UA UA UB 1-, 4-, 7-, 10-я и др. UB UB UC UC 2-, 5-, 8-, 11-я и др. 12 3-, 6-, 9-, 12-я и др. КАКОВЫ ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ВЫСШИХ ГАРМОНИК В ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ? В источниках (генераторах, трансформаторах) При соединении "звездой": EA x A EB UЛ y B UфA EC z C N 1. В Э.Д.С. симметрично устроенного генератора отсутствуют четные гармоники, так как кривые, симметричные относительно оси абсцисс, не содержат четных гармоник. Поэтому U Ф = U 12 + U 32 + U 52 + U 72 + ! . 2. В линейных напряжениях отсутствуют гармоники, кратные трем, так как линейные напряжения равны разностям соответствующих фазных напряжений, третьи гармоники которых совпадают по фазе, а, следовательно, при составлении этой разности вычитаются: U Л = 3 U 12 + U 52 + U 72 + U 112 + ! . 3.При наличии гармоник, кратных 3-м, отношение U Л U Ф < 3 . 13 При соединении "треугольником": x y z EA A EB B EC C 1. Гармоники кратные трем совпадают по фазе во всех фазных обмотках и их сумма не равна нулю. Эта суммарная Э.Д.С. вызывает в контуре треугольника ток даже при отсутствии нагрузки генератора: I3 = 3 E 3 E3 E = ; I6 = 6 3Z 3 Z 3 Z6 I = I 32 + I 62 + I 92 + ! . ;… 2. Напряжения на зажимах обмотки не содержат гармоник, кратных трем, так как падения напряжения в обмотках от тока, вызванного гармониками Э.Д.С., кратными трем, компенсируют эти Э.Д.С. V При соединении в открытый треугольник показания вольтметра: U V = 3 E32 + E62 + E92 + ! . Т.о., действующие значения напряжения гармоник, кратных трем: U 3, 6,9,! = 14 UV . 3 Обычно, используя это свойство, стремятся соединить либо обмотку генератора, либо одну из обмоток трансформатора в треугольник с целью погасить гармоники, кратные трем, внутри обмотки и не дать им выхода в остальную цепь. В линейном напряжении всегда отсутствуют гармоники, кратные трем. A U=0 E V R R E E R B C 3. В Э.Д.С. симметрично устроенного генератора отсутствуют четные гармоники, так как кривые, симметричные относительно оси абсцисс, не содержат четных гармоник: U AB = U 12 + U 52 + U 72 + U 112 + ! . В нагрузке При соединении нагрузки "звездой": 15 1. При отсутствии нейтрального провода нагрузка находится под линейным напряжением, не содержащим гармоники кратные трем. А потому их нет в линейных токах и токах приемника. Соответственно, их нет и в фазных напряжениях приемника (хотя в разных напряжениях источника эти гармоники могут быть). 2. Напряжение смещения UNn (нейтральный провод отсутствует) в условиях несимметричной нагрузки может иметь все гармоники. При симметричной нагрузке UNn состоит только из гармоник, кратных трем и может достигать опасных для жизни значений: U Nn = E32 + E62 + ! . При синусоидальном напряжении UNn=0. 3. При наличии нейтрального провода и несимметричной нагрузке в линейных и нейтральном проводах текут токи всех гармоник. При симметричной нагрузке в нейтральном проводе будет протекать ток третьей гармоники (а также 6-й, 9-й и т. д.) E" 3 I"N 3 = Z N3 Z + N3 3 . Т.к. по методу двух узлов: • U" N' N3 3 • • • • Z N3 I 3E" 3 Z N 3 U N' N3 E3 = ; I N3 = ; I Л3 = N3 . = = Z 3 1 Z N3 3Z N 3 + Z N 3 3 + Z N3 + N3 Z N3 Z N3 3 E3 По линейным проводам будет протекать ток третьей (6-й, 9-й) гармоники IN3 : 3 I Л = I Л2 3 + I Л2 6 + I Л2 9 + I Л2 12 + ! ; I Л 3 = I N = (3 I Л 3 )2 + (3I Л 9 )2 + ! . 16 E3 E ; I Л 6 = 6 и т. д.; Z3 Z6 6.2. Спектральный (частотный) метод 6.2.1. Прямое и обратное преобразования Фурье Формы сигналов, используемых в различных областях техники делятся на: - периодические сигналы геометрически правильной формы; - периодические сигналы произвольной формы: задаются графиками, осциллограммами; - непериодические сигналы произвольной формы. Первые два типа сигналов представляются аналитически или графически в виде ряда Фурье. Третий тип сигнала представляется в виде интеграла Фурье. Ряд Фурье – тригонометрический ряд, представляющий собой изображение периодической функции суммой синусоид, амплитуды которых конечны, а аргументы кратны основной частоте. Интеграл Фурье – тригонометрический ряд, представляющий апериодическую функцию суммой бесконечно большого числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргументы соседних синусоид отличаются на бесконечно малые значения. Преобразование F ( jω) = P( jω) = S ( jω) = +∞ ∫ f (t )e − j ωt dt −∞ позволяет преобразовать функцию времени f (t ) в функцию частоты F ( jω) = P( jω) = S ( jω) – прямое преобразование Фурье, где S ( jω) – спектр функции f (t ) (спектральная плотность, спектральная функция, спектральная характеристика). Интеграл Фурье (обратное преобразование Фурье): 1 +∞ f (t ) = S ( jω)e + jωt dω . ∫ 2π −∞ 17 Представление функции времени f (t ) в виде функции частоты в комплексной форме (интеграл Фурье) привело к необходимости формально ввести отрицательную угловую частоту. Пример-пояснение: 3 sin(ωt + 30°) → 3e j 30° 3e j 30° = 3(cos 30° + j sin 30°) 3e − j 30° = 3(cos 30° − j sin 30°) 3 sin(ωt + 30°) = 1 (3e j ( ωt +30°) − 3e − j ( ωt +30°) ) 2j 3(e j 30° − e − j 30° ) = 2 ⋅ 3 j sin 30° 3 sin 30° = sin 30° = 1 3(e j 30° − e − j 30° ) 2j 1 j 30° − e − j 30° ) (e 2j   ует → e j ( +30°) sin(ωt + 30°) соответств e j 30° = cos 30° + j sin 30° e − j 30° = cos 30° − j sin 30° e j 30° − e − j 30° = 2 j sin 30° sin(ωt + 30°) = 1 j ( ωt +30°) 1 − e − j ( ωt +30°) ) = (e j 30° − e − j 30° )e jωt (e 2j 2j Сумма слагаемых подынтегральной функции интеграла Фурье при ± ω дает синусоидальные колебания частоты ω . 18 Сопоставим прямое преобразование Фурье S ( jω) = +∞ ∫ f (t )e − j ωt dt ; F( jω) = S( jω) = F [ f (t )]; F ( jω) f (t ) −∞ и прямое преобразование Лапласа F ( p) = +∞ ∫ f (t )e − pt dt ; F( p) = L[ f (t )]; F( p) f (t ) . Если учесть, что f (t ) = 0 при t < 0 и заменить p на jω то формула для спектра функции S ( jω) может быть получена из выражения для изображения по Лапласу путем замены p на jω : F( jω) = F( p)p= jω ; S( jω) = F( p)p= jω . Обратное преобразование Лапласа: f (t ) = 1 ν + jω F( p)e pt dp . ∫ 2 π ν − jω f (t ) = L−1 [F( p)] ; p = a + jb . Обратное преобразование Фурье: 1 +∞ f (t ) = S( jω)e jωt dω ; ∫ 2 π −∞ F −1 [S( jω)]. f (t ) Пример: f (t ) = e − αt – экспоненциальный импульс, тогда F ( p) = S( jω) = S( jω) = 1 p+α ; 1 α − jω α ω ; = 2 = 2 −j 2 2 2 jω + α α − ω α −ω α − ω2 1 α 2 − ω2 ; ω ϕS = arctg( − ) . α 19 f(t) t S 1/α ω ϕS π/2 -2 -1 -π/2 20 1 2 ω 6.2.2. Частотный (спектральный) метод Сущность метода заключается в представлении с помощью прямого преобразования Фурье непериодической функции f (t ) в виде суммы бесконечного множества синусоидальных функций с бесконечно малыми амплитудами и с частотами, имеющими все возможные значения от − ∞ до + ∞ (дискретный спектр функции f (t ) ). Затем, пользуясь хорошо известными приемами расчета токов в цепи при синусоидальных напряжениях, находим токи в цепи от действия отдельных составляющих напряжения, а затем, пользуясь методом наложения, получаем результирующий ток. Спектральный (частотный) метод исследования широко применяют в радиотехнике (прохождение модулированных колебаний через усилители, фильтры и т. д.) импульсной технике, теории автоматического регулирования. Алгоритм расчета такой же, как и в операторном методе. 1. Находим спектральную или частотную характеристику функции f(t) с помощью прямого преобразования Фурье (используя интеграл Фурье): F ( jω) = +∞ ∫ f (t )e − jωt dt , − jωt dt ; −∞ но при t < 0 f (t ) = 0 , т.е. F ( jω) = +∞ ∫ f (t ) e F ( jω) = F (ω)e jαt . Сопоставляя преобразование Фурье и Лапласа F ( p) = +∞ ∫ f (t )e 21 − pt dt видим, что первое есть частный случай второго при p = jω (вещественная часть равна 0). Поэтому можно получить частотные характеристики F ( jω) , воспользовавшись готовыми таблицами для F ( p) , заменив p на jω . Пример: f (t ) = U 0 e − δt ; F( jω) = ? U 0e − δt F( ω) = U0 U0 ⇒ F( jω) = = p+δ p + jδ U0 δ 2 # ω2 e − arctg ω p . U0 δ 2 + ω2 F(ω) U0/δ α(ω) ω π/2 ω -π/2 22 Величина F ( p) , характеризующая зависимость амплитуды от частоты – АЧХ. Величина α(ω) – зависимость начальной фазы от частоты – ФЧХ. 2. Зная комплексное сопротивление цепи Z ( jω) , можно получить частотную характеристику тока в цепи: I ( jω) = U ( jω) = I (ω)e jψi ( ω) , где Z ( jω) = Z (ω)e jϕ( ω) . Z ( jω) 3. Искомый переходный ток (переходная функция) находится с помощью обратного преобразования Фурье: 1 +∞ f (t )[i(t )] = F( jω)[I( jω)]e jωt dω . ∫ 2π 0 Частотный метод дает существенное преимущество перед операторным если есть возможность снять экспериментально зависимость входного комплексного сопротивления цепи от частоты, то есть получить экспериментально Z (ω) и ϕ(ω) . Тогда, вычислив спектральную характеристику U( jω) , легко определить I( ω) = U( ω) и ψ i (ω) = ψ u (ω) − ϕ(ω) , а затем определить i(t ) одним из Z( ω) приближенных методов интегрирования. При ненулевых начальных условиях можно воспользоваться (как и в операторном методе) методом наложения, рассчитав процесс при нулевых начальных условиях частотным методом и наложив на него процессы, которые получаются только от действия одних начальных напряжений на конденсаторах и токов в катушках. 23 ЛЕКЦИЯ 7 МНОГОПОЛЮСНЫЕ ЦЕПИ 7.1. Основы теории четырехполюсников 7.1.1. Уравнения четырехполюсника 7.1.2. Коэффициенты четырехполюсника 7.1.3. Эквивалентные схемы 7.1.4. Характеристические параметры четырехполюсника 7.2. Индуктивно-связанные цепи 7.2.1. Основные понятия 7.2.2. Анализ цепей с со взаимной индуктивностью 7.3. Активные цепи с зависимыми источниками и операционными усилителями 7.3.1. Основные понятия 7.3.2. Зависимые источники 7.3.3. Операционный усилитель (ОУ) 7.3.4. Схемы замещения четырехполюсных элементов 7.1. Основы теории четырехполюсников ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Четырехполюсник – часть электрической цепи, имеющая два входных и два выходных зажима (трансформатор, линия электропередачи, фильтр, электронный усилитель). Понятием "четырехполюсник" пользуются, когда нужно знать токи и напряжения на входе и выходе электротехнического устройства и нет необходимости знать токи и напряжения внутри этого устройства. İ1 1 Ú1 İ2 1' 2 2' Ú2 Пассивный четырехполюсник – четырехполюсник не содержит источника энергии (активный – содержит). Симметричный четырехполюсник – перемена местами его входных и выходных зажимов не изменяет входных и выходных напряжений и токов. 7.1.1. Уравнения четырехполюсника Связь между напряжениями и токами на входе и выходе четырехполюсника (Ú1, İ1, Ú2, İ2) выражается с помощью двух уравнений четырехполюсника, в которых по двум заданным величинам находят две другие. Всего можно записать шесть различных по форме, но по существу эквивалентных систем уравнений (число сочетаний из четырех по два). C nk = n(n − 1)!(n − k + 1) 4⋅3 = 6. , C n2 = 1⋅ 2 1,2,3! k Этим уравнениям соответствуют определенные условно положительные направления токов и напряжений во входной и выходной цепях четырехполюсника. Параметры (коэффициенты) четырехполюсника ( A; B; H ; G; Z ;Y ) зависят от структуры (схемы внутренних соединений) четырехполюсника, величин сопротивлений элементов, составляющих четырехполюсник, и представляют в общем случае комплексные числа. Для каждого четырехполюсника эти коэффициенты можно определить расчетным или опытным путем. 2 1 Ú1 İ1 İ2 1' 2 2' Ú2 U" 1 = A11U" 2 + A12 I"2 ; – тип (форма) А; "  I1 = A 21U" 2 + A 22 I"2 . или U" 1 = A ⋅ U" 2 + B ⋅ I"2 ; – основное уравнение четырехполюсника. " " " I C U D I = ⋅ + ⋅ .  1 2 2 1 Ú1 İ1 İ2 1' 2 2' Ú2 U" 2 = B11U" 1 + B12 I"1 ; – тип B; "  I 2 = B 21U" 1 + B 22 I"1 . или U" 2 = D ⋅ U" 1 + B ⋅ I"1 ; "  I 2 = C ⋅ U" 1 + A ⋅ I"1 . Уравнения связи между коэффициентами A⋅ D − B ⋅C =1 . Для симметричного четырехполюсника 2 A = D ⇒ A − B ⋅C =1 . 1 Ú1 İ1 İ2 1' 2 2' Ú2 U" 1 = Z 11 I"1 + Z 12 I"2 ; – Z - форма. Уравнение связи Z 12 = Z 21 . " " " U Z I Z I = + . 21 1 22 2  2 3  I"1 = Y 11 I"1 + Y 12 I"2 ; – Y - форма. Уравнение связи Y 12 = Y 21 . " " " I Y I Y I = + . 21 22 1 1 2 U" 1 = H 11 I"1 + H 12U" 2 ; – H - форма. Уравнение связи H 12 = − H 21 . "  I 2 = H 21 I"1 + H 22 I"2 .  I"1 = G11U" 1 + G 12 I"2 ; – G - форма. Уравнение связи G 12 = −G 21 . " " U G U G I = + . 22 2  2 21 1 Коэффициенты четырехполюсника для различных форм записи связаны между собой соотношениями, позволяющими переходить от одной формы записи уравнений к другой. Эти соотношения даются в справочниках. Поэтому достаточно установить значения коэффициентов и другие зависимости для одной формы записи и тогда можно получить все необходимые величины для любой другой формы записи. В дальнейшем все необходимые соотношения будем рассматривать для А-формы записи уравнений. Для записи уравнений четырехполюсника широко применяют матричную форму записи. Это особенно удобно и эффективно при исследовании режимов работы нескольких четырехполюсников, соединенных между собой тем или иным способом (каскадно, последовательно, параллельно и т. д.).  I"1   Y11 Y12   U" 1    =   ×   или ( I") = (Y ) × (U" ) ; " Y Y  I 2   21 22  U" 2  U"  U" 1   A B  U" 2  U"    =   ×   или  1  = ( A) ×  2  .  I"2   I"1   C D   I"2   I"1  4 7.1.2. Коэффициенты четырехполюсника Четырехполюсник задан, если известны его коэффициенты. Практически для расчета коэффициентов пользуются величинами входных сопротивлений четырехполюсника в режиме КЗ и ХХ. Сопротивления ХХ и КЗ могут быть либо измерены с помощью измерительного моста или амперметра, вольтметра, ваттметра и фазометра, включенных вначале со стороны входа, а затем со стороны выхода (обратное КХ и ХХ), либо вычислены по известной схеме четырехполюсника. Затем по полученным Z ХХ и Z КЗ определяют коэффициенты по известным формулам. ВХОДНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ Со входа Z 1ВХ = U" 1 AU" 2 + BI"2 AZ Н 2 + B = = . I"1 CU" 2 + DI"2 C Z Н 2 + D С выхода Z 2 ВХ = U" 2 DU" 1 + BI"1 D Z Н 1 + B = = . I"2 CU" 1 + AI"1 C Z Н 1 + A Для симметричного четырехполюсника A = D , Z 1ВХ = Z 2 ВХ = AZ Н + B . CZ Н + A При ХХ Z Н 2 = Z Н 1 = ∞ ;! Z 1 Х = При КЗ 5 A D , Z 2Х = . C C Z Н 2 = Z Н 1 = 0 ;! Z 1К = B B , Z 2К = . D A Отсюда: A= Z Z 1Х 1 A ; D = Z 2Х C = 2Х A . ; B = AZ 2 К [Ом]; C = Z 1Х Z 1Х Z 2 Х − Z 2К Легко показать, что A D − BC = 1 ; Z 1Х Z 2 Х AD = = . Z 1К Z 2 К BC Учитывая уравнение связи AD − BC = 1 для вычисления 4-х коэффициентов надо определить только 3 входных сопротивления. Для симметричного четырехполюсника A = D , а потому достаточно знать только два входных сопротивления ( Z 1 Х , Z 1К ). A C  ; A= B  = A  Z 1Х = Z 2 Х = Z 1К = Z 2 К Z 1Х 1 A ; D = Z 1Х C ; ; B = AZ 1К ; C = Z 1Х Z 1 Х − Z 1К 2 A − BC = 1 . 7.1.3. Эквивалентные схемы Любой сложный четырехполюсник можно заменить простой схемой замещения. Так как пассивный четырехполюсник характеризуется только тремя независимыми параметрами, то простейшая эквивалентная схема замещения четырехполюсника должна содержать 3 элемента: Т-образная и П-образная схема. 6 Z1 I"1 Z2 Z3 U" 1 I"2 U" 2 Z5 U"1 U" + Z 2 I"2  I"1 = I"2 + 2 Z1  ; Z3 ; A = 1 + Z 3 U" 1 = U" 2 + Z 2 + Z 1 I"1  B = Z1 + Z 2 + Z4 I"1 I"2 Z6 U" 2 Z4 Z ;B = Z 4;D =1+ 4 ; Z6 Z5 Z + Z5 + Z6 C= 4 ; Z4Z5 A =1+ Z1Z 2 Z 1 ;C = ;D =1+ 2 Z3 Z3 Z3 Для Т-образной схемы замещения: Z1 = A −1 D −1 1 ; Z2 = ; Z3 = . C C C Для П-образной схемы замещения: Z4 = B ; Z5 = B B ; Z6 = . D −1 A −1 Для симметричного четырехполюсника: Z1 = Z2 ; Z5 = Z6 . 7.1.4. Характеристические параметры четырехполюсника При прохождении сигнала через четырехполюсник важно дать оценку изменения напряжения (тока) как по модулю, так и по фазе. U" 1 = AU" 2 + BI"2  B "  " " )U 2 ;  ; U1 = ( A + "I = U 2 Z 2 Н  ZН U" 1 1 = A+ B⋅ ; U" 2 ZН jψ U" 1 U" 1 U"1e u1 U" 1 j( ψ u1 −ψ u2 ) ; b = ψ u1 − ψ u2 . e ; mu = = = U" 2 U" 2 e jψu2 U" 2 U" 2 7 Аналогично: I"1 = Z Н C + D. I"2 В полученных выражениях ослабление по модулю и изменение фазы напряжения (тока) зависит как от обобщенных параметров (коэффициентов) четырехполюсника, так и от полного сопротивления нагрузки. Для сравнения различных четырехполюсников с точки зрения прохождения через них сигналов желательно давать оценку только опираясь на коэффициенты четырехполюсника. Для этого следует взять какую-либо определенную нагрузку и связать ее с коэффициентами четырехполюсника, т.е. сравнивать четырехполюсники следует при какой-то определенной нагрузке. Известно, что входное сопротивление четырехполюсника: Z ВХ = AZ Н + B ; Z ВХ = Z ВЫХ – для симметричного четырехполюсника. CZ Н + D Для практики наибольший интерес представляет согласованный режим каскадно включенных симметричных четырехполюсников. Для согласованного режима надо подобрать Z Н = Z ВХ . Это сопротивление называется характеристическим и обозначается: Z C = Z Н = Z ВХ = Z ВЫХ ; тогда ZC = AZ C + B AB . , отсюда Z C = CZ C + D CD Условие согласования каскадов – входное сопротивление последующего каскада равно выходному сопротивлению предыдущего. При этом обеспечивается максимум передачи мощности. Характеристическим называется сопротивление нагрузки симметричного четырехполюсника, обеспечивающее ему режим согласованной нагрузки. Рассмотрим случай симметричного четырехполюсника: 8 A = D ⇒ ZC = B . C Режим симметричного четырехполюсника, нагруженного на характеристическое сопротивление ( Z Н = Z C ) называется режимом согласованной нагрузки, так как в этом случае входное сопротивление четырехполюсника равно сопротивлению нагрузки и равно Z C . Для согласованного режима симметричного четырехполюсника U" 1 1 1 = A+ B⋅ = A+ B⋅ = A + BC ; U" 2 ZC B C Аналогично: I"1 = A + BC . I"2 U" 1 I"1 = = A + BC = me jb – отношение представляет собой комплекс" U 2 I"2 ное число: U" 1 U" 1 j ( ψ1 −ψ 2 ) e = = me jb , " " U2 U2 где m= U" 1 [безразмерная величина] – модуль отношения напряжений (тоU" 2 ков) на входе и на выходе – показывает, во сколько раз изменяется по модулю напряжение (ток) при прохождении через четырехполюсник. b = ψ1 − ψ 2 [ рад] – постоянная фазы четырехполюсника, показываю- щая на сколько изменяется фаза напряжения (тока) при прохождении через четырехполюсник. Для оценки изменения напряжения (тока) при прохождении через четырехполюсник как по модулю, так и по фазе одной величиной (!) заменяют m = ea . Тогда где U" 1 I"1 g = = e a + e jb = e a+ jb = e , U" 2 I"2 g – постоянная передачи четырехполюсника; 9 a – постоянная ослабления. U1 U = e a ⇒ a = ln 1 U2 U2 U" 1 U" 2 a = ln U" 1 , Нп U" 2 [Нп ] – непер. 1 2,72 10 100 1000 1 2,3 4,6 6,9 1 Нп – затухание, при котором U1 = e ≈ 2 ,72 . U2 Затухание в неперах: aНп = ln U1 I 1 U I = ln 1 = ln 1 1 U2 I2 2 U2 I2  1 S1  = ln .  2 S2 Затухание в белах [Б]: a Б = lg U I S1 = lg 1 1 S2 U2 I2  U I  = 2 lg 1 = 2 lg 1 . U2 I2  Затухание в децибелах [дБ]: aдБ = 20 lg U1 I = 20 lg 1 . U2 I2 U"1 U" g = e ⇒ g = ln 1 = ln( A + BC ) . U" 2 U" 2 Z C и g – характеристические параметры симметричного четырехполюсника, зависящие только от структуры и параметров элементов четырехполюсника: ZC = B g ; g = ln( A + BC ) или e = A + BC . C 10 2 Если учесть, что A − BC = 1 , то можно выразить коэффициенты симметричного четырехполюсника через характеристические параметры: e −g 1 = A + BC g e +e A= 2 −g = A − BC = A − BC ; 2 A − BC = ch g ; 2 A − BC = 1 = ch 2 g − sh 2 g ; g e +e 2 −g = A + BC − A + BC = BC ; 2 sh g = BC   B ; Z C ⋅ sh g = ZC = C  sh g ZC = BC B = B; C BC C =C. B В результате преобразований получим: g e +e A= D= 2 −g = ch g ; g e +e B = Z C ⋅ sh g = Z C 2 C= −g ; 1 ⋅ sh g . ZC Тогда уравнения симметричного четырехполюсника в гиперболической форме записи: U" 1 = ch gU" 2 + Z C ⋅ sh g I"2 ;   I" = 1 sh gU" + ch g I" . 2 2  1 Z C Эти уравнения применимы при любой нагрузке и широко используются в теории фильтров и теории электрических цепей с распределенными параметрами. 11 Характеристические параметры четырехполюсника В технических устройствах источник энергии (или сигналов) соединяют с приемником через цепь, состоящую из ряда четырехполюсников, соединенных каскадно, то есть входные зажимы каждого последующего четырехполюсника соединяют с выходными зажимами предыдущего. Источник (антенна) Кабель Приемник (телевизион.) Фильтр Zi ZН E" В таких устройствах важно обеспечить максимум передачи мощности от источника к приемнику, то есть согласованный режим работы всех каскадов. Условие согласования каскадов – входное сопротивление последующего каскада равно выходному сопротивлению предыдущего. I"1 Zi I"2 U" 2 U" 1 E" Z 1ВХ Z 2ВХ 12 ZН Рассмотрим наиболее интересный для практики случай симметричного четырехполюсника: Z 1ВХ = Z 2 ВХ . Для четырехполюсника в А–форме: U" 1 = AU" 2 + BI"2 ; "  I1 = CU" 2 + DI"2 Z 1ВХ = AZ Н + B DZ i + B ; Z 2ВХ = . CZ Н + D CZ i + A Z 1ВХ = Z 2ВХ = Z Н = Z C – характеристическое (повторное) сопротивление симметричного четырехполюсника. Нагружая четырехполюсник на Z C на входе четырехполюсника будет сопротивление Z C . Тогда Z C = AZ C + B B ⇒ ZC = . CZ C + D C Для режима согласованной нагрузки симметричного четырехполюсника: " U" 2 " U A U B = + = U" 2 ( A + BC );  1 2 ZC   I" = C Z C I" + AI" = I" ( A + BC ).  1 2 2 2 13 7.2. Индуктивно-связанные цепи 7.2.1. Основные понятия Если две катушки индуктивности расположены рядом или намотаны на общем сердечнике, то часть магнитного потока одной катушки будет пронизывать витки другой катушки и наоборот. Такие катушки индуктивности с общим (взаимным) магнитным полем называются магнитно-связанными. В результате при протекании тока в двух магнитосвязанных катушках они будут пронизываться двумя магнитными потоками – собственным магнитным потоком и магнитным потоком взаимоиндукции. ψ1 ψ 21 i1 L1 = ψ1 ψ ; M 21 = 12 . i2 i1 Аналогично для второй катушки L2 = ψ2 ψ ; M 12 = 12 . i2 i2 Для конкретной системы катушек M 12 = M 12 = M и зависит от их расположения, среднего числа витков и не зависит от i1 и i2 . 14 M i1 i2 L1 U1 L2 U2 M I"1 U" 1 I"2 L1 U" 2 L2 U" 1 = Z 1I"1 + Z M I"2 ; " U 2 = Z M I"1 + Z 2 I"2 ; где Z 1 = jωL1 ; Z 2 = jωL2 ; Z M = jωLM . Схема замещения катушки со взаимной индуктивностью i1 jω L1 jω L1 Как известно, способность к созданию потока в катушке при протекании тока в этой катушке индуктивности характеризуется параметром – индуктивностью (собственной) L [Гн]. 15 Аналогично, параметр, характеризующий способность к созданию магнитного потока в катушке при протекании тока в другой катушке называется взаимной индуктивностью M [Гн]. Для оценки степени индуктивной (магнитной) связи двух катушек служит коэффициент индуктивной связи катушек. K= M , 0 < K ≤ 1. L1 L2 7.2.2. Анализ цепей с со взаимной индуктивностью В цепях переменного тока потоки самоиндукции и взаимоиндукции наводят в катушках Э.Д.С. само- и взаимоиндукции соответственно, которые должны быть учтены при анализе режимов электрических цепей. Как известно, Э.Д.С. самоиндукции учитывают в расчетах в виде индуктивного сопротивления (ωL). Аналогично, ЭДС взаимоиндукции следует учитывать при расчетах путем введения сопротивления взаимоиндукции (ωM). Потоки самоиндукции и взаимоиндукции (как и соответствующие Э.Д.С.) могут быть направлены встречно или согласно. При согласном включении потоки (а, следовательно, и Э.Д.С.) самоиндукции и взаимоиндукции складываются, а при встречном – вычитаются. При расчетах в уравнениях: при согласном включении + ωM ; при встречном включении − ωM . Учет направлений потоков само- и взаимоиндукции обусловлен: − направлением намотки катушек на сердечник; − положительным направлением токов в катушках. 16 ψ1 ψ 12 ψ2 ψ 21 i1 ∗ ∗ i2 Согласное включение ψ1 ψ 12 ψ2 ψ 21 ∗ i1 ∗ i2 Встречное включение M ∗ ∗ i1 i2 Согласное включение M ∗ ∗ i1 i2 Встречное включение 17 Практически при расчетах поступают так: 1. Маркируют точками одноименные зажимы (например, начала) катушек. Одноименными считаются зажимы катушек, для которых при подаче через них тока потоки самоиндукции и взаимоиндукции складываются. 2. Если на электрической схеме токи двух магнитосвязанных катушек одинаково ориентированы относительно одноименных зажимов (например, оба направлены к началам или оба направлены от начал катушек),то катушки индуктивности включены согласно, если нет – то встречно. При определении коэффициентов взаимоиндукции (взаимной индуктивности) и самоиндукции (собственной индуктивности) опытным путем включают катушки согласно и встречно, производят замеры и рассчитывают L и M. Опытное определение L pA pW L1 pV R1 Z12 − R12 Z = R + (ωL1 ) ⇒ L1 = ; ω 2 1 2 1 2 Z1 = UV P ; PW = I A2 R1 ⇒ R1 = W2 . IA IA Примечание: 18 R1 можно определить на постоянном токе методом амперметра- вольтметра. Опытное определение M M +jω M R1 +jω M ∗ R2 ∗ jω L1 jω L2 Z согл = R1 + R2 + jω ( L1 + L2 + 2 M ) ; Lсогл экв = L1 + L2 + 2 M ; M -jω M R1 -jω M ∗ ∗ jω L1 R2 jω L2 Z встр = R1 + R2 + jω ( L1 + L2 − 2M ) ; Lвстр экв = L1 + L2 − 2 M ; согл экв L −L встр экв встр X − X встр Lсогл экв − Lэкв . ; M = согл = 4M ; M = 4 4ω Второй способ определения M I"2 M pA U" 2 U 2 = ωMI1 ; M = 19 U2 . ωI1 pV При расчетах сложных цепей со взаимной индуктивностью возможен расчет по законам Кирхгофа, методом контурных токов и методом наложения. При этом при составлении уравнений напряжение взаимной индуктивности имеет знак плюс (+), если направление обхода элемента и направление тока в индуктивно связанном с ним элементе совпадают относительно одноименных зажимов этих элементов. Метод эквивалентного генератора применяется только тогда, когда ветвь с искомым током не имеет магнитной связи с другими ветвями. Нельзя применять для расчета магнитосвязанных цепей метод узловых напряжений, преобразование магнитосвязанных ветвей и преобразование источников ЭДС в источники тока и наоборот. Передача энергии При наличии в цепи индуктивных связей осуществляется передача энергии от одного элемента к другому электромагнитным путем. Для количественной оценки энергетических процессов в идеальном элементе взаимоиндукции необходимо рассчитывать полную мощность каждого из индуктивных элементов: ∗ ~ S = U" I . Суммарная активная мощность идеального элемента взаимоиндукции (идеальных индуктивных элементов, связанных индуктивно) равна нулю. При этом у индуктивного элемента с положительной активной мощностью наблюдается приток энергии из цепи, а индуктивный элемент с отрицательной активной мощностью отдает энергию в цепь. Суммарная реактивная мощность идеальных элементов взаимоиндукции положительна. 20 7.3. Активные цепи с зависимыми источниками и операционными усилителями 7.3.1. Основные понятия 1. Активным называется четырехполюсник, содержащий внутри себя источники напряжения и тока, действие которых внутри взаимно не компенсируется. Вследствие этого на разомкнутых зажимах такого четырехполюсника появляется напряжение. 1 2 A 1' 2' 2. В случае наличия источников напряжения и тока линейный активный четырехполюсник становится необратимым, то есть не удовлетворяющим принципу обратимости (взаимности). Принцип обратимости (взаимности): при изменении направления передачи сигнала новый выходной ток равен прежнему выходному току. 3. Источники внутри четырехполюсника могут быть независимыми и зависимыми. В независимых источниках ток и напряжение не зависят от других напряжений и токов. Это двухполюсные элементы (микрофоны, приемные антенны, различные генераторы – электронные источники сигналов, аккумуляторы, гальванические элементы, машинные генераторы – источники энергии). В зависимых источниках ток и напряжение зависят от других напряжений и токов, управляются ими. Это четырех- и трехполюсные элементы (электронные усилители, преобразователи мощности). 21 Расчет невзаимных (необратимых) четырехполюсников В случае наличия независимых источников внутри четырехполюсника расчет такого четырехполюсника сводится к расчету пассивных цепей на основе принципа суперпозиции (наложения). На основании принципа наложения активный четырехполюсник с источниками энергии, Э.Д.С. которых не зависят от токов в них, может быть заменен пассивным четырехполюсником, получающимся из данного активного четырехполюсника путем замыкания накоротко в нем всех источников Э.Д.С. с сохранением их внутренних сопротивлений, с введением в первичную и вторичную цепи пассивного четырехполюсника дополнительных источников, Э.Д.С. которых равна напряжениям на разомкнутых зажимах данного активного четырехполюсника: U"1 = Z 11I"1 + Z 12 I"2 + E" 01; " U 2 = Z 21I"1 + Z 22 I"2 + E" 02 . Для типа А  U"1 = A ⋅ U" 2 + B ⋅ ( I"2 − I"2 K ); " "  I1 − I1K = C ⋅ U" 2 + D ⋅ ( I"2 − I"2 K ). Для активного четырехполюсника справедливо AD − BC = 1 . Параметры Т- и П-образной схем замещения через коэффициенты A, B, C, D находят также, как и для пассивного четырехполюсника. Э.Д.С. E"1 и E" 2 вычисляют по значениям токов I"1K и I"2 K при одновременном КЗ (коротком замыкании) входа и выхода:  I"1K ( Z 1 + Z 3 ) − I"2 K Z 3 = E" 3 ;  " − I1K Z 3 + I"2 K ( Z 2 + Z 3 ) = E" 4 . 22 7.3.2. Зависимые источники В ряде устройств (электронные усилители) напряжение источника напряжения и ток источника тока зависят от другого тока или напряжения. Такие источники называются зависимыми (преобразователи мощности). На входе такого идеального зависимого источника (ИЗИ) потребляемая мощность должна равняться нулю. Поэтому входные зажимы ИЗИ или размыкают (режим ХХ) или замыкают (режим КЗ). К выходным зажимам подключают либо идеальный источник Э.Д.С. либо идеальный источник тока. В результате получается четыре разновидности идеальных зависимых источников: i2 1 i1=0 u1 U" 1 2 KU U" 1 e=µU1 U" 2 u2=e ИНУН 2′ 1′ I"1 = 0; U" 2 = K U U" 1 ИНУН – источник напряжения, управляемый напряжением; 1 I"2 i1 u1=0 i2 K Z I"1 e=Z0i1 2 U" 2 u2=e 2′ 1′ U" 1 = 0; U" 2 = K Z I"1 ИНУТ – источник напряжения, управляемый током; 23 ИНУТ i2=j 1 i1=0 u1 2 KU U" 1 j=y0u1 U" 1 U" 2 ИТУН u2 2′ 1′ I"1 = 0; I"2 = K Y U" 1 ИТУН – источник тока, управляемый напряжением; 1 I"2 i1 i2=j j=α i1 u1=0 1′ 2 U" 2 ИТУТ u2 2′ U" 1 = 0; I"2 = K I I"1 ИТУТ – источник тока, управляемый током. Это активные четырехполюсники. Все эти схемы допускают короткое замыкание зажимов 1′, 2′, при котором они превращаются в трехполюсники. 1 1 2 1′ Функция управления определяет связь между управляющими и управляемыми i и u. µ – коэффициент усиления по напряжению ( KU ) ; α – коэффициент усиления по току ( K I ) ; 24 Z 0 и Y0 – сопротивление и проводимость. ИНУН при µ ⇒ ∞ – операционный усилитель. Комбинация ИНУН–ИТУТ или ИТУТ–ИНУН – конверторы сопротивления – преобразуют значения сопротивления подобно идеальному транс- форматору. Комбинация ИНУТ–ИНУТ или ИТУН–ИТУН – инверторы сопротивления – преобразуют сопротивление в проводимость и наоборот, емкость в индуктивность и наоборот. 7.3.3. Операционный усилитель (ОУ) ОУ представляет собой ИНУН с KU → ∞ , бесконечным входным и нулевым выходным сопротивлениями. + 1 + Прямой вход – Инверсный вход 2 " U1 U" 2 1 3 KU (U" 1 − U" 2 ) KU → ∞ + + 3 2 – Цепь обратной связи На схеме – дифференциальный ОУ с двумя входами, выходное напряжение которого пропорционально разности напряжений на входах 25 U" 3 = KU (U"1 − U" 2 ) = KU ∆U" ( KU → ∞ ) . Полярность напряжения инвертирующего входа 2 обратна, а неинвертирующего входа 1 одинакова с полярностью напряжения на выходе 3. Реальный ОУ представляет собой многокаскадный транзисторный усилитель, выполненный в виде интегральной схемы, у которой коэффициент усиления по напряжению порядка KU = 105 , Z вх = Rвх → ∞ , Z вых = Rвых → 0 . Для получения устойчивой работы в линейном режиме ОУ всегда снабжаются цепью отрицательной обратной связи, то есть подачи с выхода части сигнала на вход в противофазе (то есть противоположной полярности). Инвертирующий ОУ Z2 Z1 + U" 1 – U" 0 U" 2 Z2 Z1 U" 1 I"2 U" 0 U" 2 − K U U" 0 U" 2 = − µ 0U" 0 ; − U"1 + Z 1 I"1 + U" 0 = 0 ; − U" 0 + Z 2 I"1 + U" 2 = 0 . Исключив U" 0 и I"1 , получаем: 26 Z U" 2 = − µ 0U"1 Z 2 Z 1 (1 + µ 0 + 2 ) . Z1 Так как µ 0 → ∞ , то KU = U" 2 Z R =− 2 =− 2 . U" 1 Z1 R1 7.3.4. Схемы замещения четырехполюсных элементов Зависимые источники позволяют получить схемы замещения любых четырехполюсных (многополюсных) элементов. Эти схемы замещения (модели) наряду с зависимыми источниками содержат обычные двухполюсники: R-, L-, C- элементы и независимые источники. Пример: транзистор n p э p + -10 В к б -1 В к э б 1. В режиме малых амплитуд сигналов используют линейные схемы замещения биполярных транзисторов. 27 Т-образная низкочастотная резистивная схема замещения αI"Э э I"Э rэ rк б′ I"К к rб I"Б б rЭ – сопротивление смещенного в прямом направлении (открытого) эмиттерного перехода ( rЭ ≈ 25 Ом ); rК – сопротивление смещенного в обратном направлении (закрытого) коллекторного перехода ( rК ≈ 2 ⋅106 Ом ); rБ – сопротивление базовой области ( rБ ≈ 500 Ом ). Параллельно сопротивлению коллекторного перехода включается зависимый источник тока, управляемый током эмиттера (ИТУТ), с управляющим параметром α , учитывающим прямую передачу тока от эмиттера в коллекторную область. Узел (б′) соответствует внутренней точке базовой области 2. Полевые транзисторы – ИТУН. МОП (МДП) Сток канал (n) Затвор Исток 3. Электронный триод – ИНУН. 28 + Анод + Сетка U2 Катод U1 – – 29