Основные понятия и определения теории множеств

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1.1. Понятие n-мерного арифметического евклидова пространства Определение. Множество всевозможных упорядоченных совокупностей (𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) из n действительных чисел называется n-мерным пространством, при этом каждая совокупность (𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) называется точкой nмерного пространства, которую будем обозначать 𝑀(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ), где числа 𝑥1 , 𝑥2 , …, 𝑥𝑛 называются координатами точки M. Определение. N-мерным евклидовым пространством называется такое nмерное пространство, в котором для любых двух его точек 𝑀′ (𝑥1′ , 𝑥2′ , . . . , 𝑥𝑛′ ), 𝑀″ (𝑥1″ , 𝑥2″ , . . . , 𝑥𝑛″ ) введено расстояние по формуле 2 2 𝜌(𝑀′ , 𝑀″ ) = √(𝑥1′ − 𝑥1″ ) + (𝑥2′ − 𝑥2″ ) +. . . +(𝑥𝑛′ − 𝑥𝑛″ )2 . Обозначение: 𝑅𝑛 или 𝐸 𝑛 . Частные случаи пространства 𝑹𝒏 . Если 𝑛 = 1, то 𝑅1 – множество точек 𝑀(𝑥) – множество точек числовой прямой (рис. 1.1). Если 𝑛 = 2, то 𝑅2 – множество точек 𝑀(𝑥, 𝑦) – вся координатная плоскость (рис. 1.2). Рис. 1.1 Рис. 1.2 3 Если 𝑛 = 3, то 𝑅 – множество точек 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) – все координатное пространство (рис. 1.3). Рис. 1.3 Основные множества в пространстве Rn Определение. Множество всех точек 𝑀(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝑅𝑛 , таких, что их координаты удовлетворяют неравенствам: 𝑎𝑖 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛, где 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 – заданные числа, называется n-мерным замкнутым параллелепипедом. Обозначение: [𝑎1 , 𝑏1 ; 𝑎2 , 𝑏2 ; . . . ; 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ]. Если же выполняются неравенства 𝑎𝑖 < 𝑥𝑖 < 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛, то множество всех точек называется n-мерным открытым параллелепипедом. Обозначение: (𝑎1 , 𝑏1 ; 𝑎2 , 𝑏2 ; . . . ; 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ). Если 𝑛 = 2, то в пространстве 𝑅2 n-мерный параллелепипед становится прямоугольником: замкнутым (рис. 1.4.а) или открытым (рис. 1.4.б). Рис. 1.4.а Рис. 1.4.б Определение. n-мерным замкнутым шаром с центром в точке 𝑀0 радиуса 𝑟 называется множество всех таких точек 𝑀 ∈ 𝑅𝑛 , для которых 𝜌(𝑀, 𝑀0 ) ≤ 𝑟. N-мерный открытый шар – это множество точек 𝑀 ∈ 𝑅𝑛 , для которых 𝜌(𝑀, 𝑀0 ) < 𝑟. В пространстве 𝑅2 , то есть на координатной плоскости, расстояние между точками 𝑀(𝑥, 𝑦) и 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) определяется формулой 𝜌(𝑀, 𝑀0 ) = √(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 . Следовательно, неравенство 𝜌(𝑀, 𝑀0 ) ≤ 𝑟 после возведения в квадрат дает (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 ≤ 𝑟 2 . Это – замкнутый круг с центром в точке 𝑀0 радиуса 𝑟 (рис. 1.5.а). В случае, когда 𝜌(𝑀, 𝑀0 ) < 𝑟, на плоскости получаем открытый круг (рис. 1.5.б). Рис. 1.5.а Рис. 1.5.б Определение. Окрестностью точки 𝑀0 называется всякий n-мерный открытый шар с центром в точке 𝑀0 (в пространстве 𝑅2 это будет открытый круг). Если радиус окрестности обозначить через 𝛿, то окрестность обозначается так: 𝑈(𝑀0 , 𝛿). Если из окрестности точки 𝑀0 удалить саму точку 𝑀0 , то полу∘ ченное множество называется проколотой окрестностью точки 𝑀0 : 𝑈(𝑀0 , 𝛿). -2- 1.2. Основные понятия из теории множеств Определения, которые даны ниже, справедливы в любом пространстве 𝑅𝑛 , но иллюстрация будет даваться на плоскости. Определение. Точка 𝑀0 называется предельной точкой множества E, если в любой окрестности этой точки существует хотя бы одна точка 𝑀 из множества E, отличная от точки 𝑀0 . Пример 1.1. Пусть 𝐸1 – открытый круг (рис. 1.6). 1. Пусть 𝑀0 ∈ 𝐸1 . Точка 𝑀0 является предельной точкой для множества 𝐸1 . 2. Пусть 𝑀1 ∉ 𝐸1 , но 𝑀1 лежит на окружности. Тогда точка 𝑀1 является предельной точкой для множества 𝐸1 . 3. Пусть 𝑀2 ∉ 𝐸1 и не лежит на окружности. Тогда точка 𝑀2 не является предельной точкой для множества 𝐸1 , так как найдется Рис. 1.6 окрестность этой точки, в которой вообще нет точек множества 𝐸1 . Замечание. Предельная точка множества может как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству. Определение. Множество E называется замкнутым, если оно содержит в себе все свои предельные точки. В примере 1.1 множество 𝐸1 не является замкнутым, так как не содержит предельные точки, лежащие на окружности. Пример 1.2. Пусть 𝐸2 – замкнутый круг (рис. 1.7). Очевидно, что предельными точками для множества 𝐸2 будут те же, что и в примере 1.1. При этом все предельные точки содержатся в 𝐸2 . Следовательно, 𝐸2 – замкнутое множество. Определение. Точка 𝑀0 называется внутренней точРис. 1.7 кой множества E, если существует окрестность точки 𝑀0 ,целиком принадлежащая множеству E, то есть если точка 𝑀0 содержится во множестве E вместе с некоторой своей окрестностью. -3- Пример 1.3. Множество 𝐸2 – замкнутый круг (рис. 1.8). 1. Пусть 𝑀0 ∈ 𝐸2 , 𝑀0 не принадлежит окружности. Очевидно, 𝑀0 – внутренняя точка, так как можно указать окрестность точки 𝑀0 , целиком принадлежащую множеству 𝐸2 . 2. Пусть 𝑀1 принадлежит окружности. Тогда 𝑀1 не является внутренней точкой, так как не существует Рис. 1.8 ни одной окрестности точки 𝑀1 , целиком лежащей во множестве 𝐸2 . Определение. Множество E называется открытым, если любая точка этого множества является внутренней. Множество 𝐸1 (рис. 1.6) является открытым, так как любая его точка является внутренней, то есть 𝐸1 – открытый круг. Множество 𝐸2 (рис. 1.7, 1.8) не является открытым, так как его точки, лежащие на окружности, не являются внутренними. Определение. Точка 𝑀0 называется граничной точкой для множества E, если в любой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие множеству E, так и точки, множеству E не принадлежащие (рис. 1.9). Любая точка на окружности является граничной точкой для множества 𝐸1 . Рис. 1.9 Определение. Границей множества E называется множество всех его граничных точек. Для множеств 𝐸1 и 𝐸2 границей служит окружность. Но граница множеству 𝐸1 не принадлежит, а множеству 𝐸2 принадлежит. Определение. Множество Е называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить кривой, целиком принадлежащей множеству Е. Определение. Областью называется всякое открытое, связное множество. Множество 𝐸2 (рис. 1.7) не является областью, так как оно не является открытым. Множество 𝐸1 (рис. 1.10) является областью, так как 1) 𝐸1 – открытое множество; 2) 𝐸1 – связное множество, то есть любую пару точек 𝑀1 и 𝑀2 из множества 𝐸1 можно соединить кривой, целиком принадлежащей множеству 𝐸1 . -4- Пример 1.4. Пусть 𝐸3 – множество, состоящее из точек двух вертикальных углов, исключая прямые, образующие эти углы (рис. 1.11). Очевидно, что любая точка этого множества является внутренней, так как входит в это множество вместе с некоторой своей окрестностью, поэтому 𝐸3 – открытое множество. Но не любую пару точек можно соединить кривой, целиком принадлежащей этому множеству. Следовательно, множество 𝐸3 не является областью. Рис. 1.10 Рис. 1.11 Определение. Если к области 𝐸 присоединить ее границу, то такое множество называется замкнутой областью. Если границу области 𝐸 обозначить через 𝛤, то замкнутую область обозначают 𝐸 = 𝐸 ∪ 𝛤. Пример 1.5. Множество 𝐸2 (рис. 1.7) не является областью, но его можно рассмотреть как объединение множества 𝐸1 (рис. 1.10), которое является областью, и границы (окружности). Поэтому множество 𝐸2 – замкнутая область. § 2. ФУНКЦИИ ДВУХ И БОЛЕЕ ПЕРЕМЕННЫХ 2.1. Определение функции двух переменных. Область существования функции двух переменных Определение. Даны три переменные действительные величины 𝑥, 𝑦 и 𝑧. Если каждой паре значений переменных 𝑥 и 𝑦 соответствует по некоторому закону определенное единственное значение переменной 𝑧, то переменная 𝑧 называется функцией двух независимых переменных 𝑥 и 𝑦. Обозначение функции двух переменных: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Например, 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑧 = cos 𝑥 + sin(𝑥𝑦). Положение точки на плоскости в декартовой системе координат определяется парой чисел, а именно абсциссой и ординатой этой точки: 𝑀(𝑥, 𝑦). Поэтому функцию двух переменных 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) можно рассматривать как функцию точки плоскости и писать 𝑧 = 𝑓(𝑀), где 𝑀 и есть точка плоскости с координатами 𝑥 и 𝑦. -5- В дальнейшем мы будем рассматривать функции, заданные аналитически, то есть заданные какой-нибудь конкретной формулой. Определение. Множество всех тех и только тех пар действительных чисел (𝑥, 𝑦), для которых в области действительных чисел определено соответствующее значение функции 𝑧, называется областью существования функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Областью существования функции двух переменных может быть вся плоскость или часть плоскости. Замечание 1. Множество точек плоскости, заданное неравенством 1) 𝑦 > 𝑓(𝑥), лежит выше кривой 𝑦 = 𝑓(𝑥) (рис 2.1.а); 2) 𝑦 < 𝑓(𝑥), лежит ниже кривой 𝑦 = 𝑓(𝑥) (рис. 2.1.а); 3) 𝑥 > 𝜑(𝑦), лежит правее кривой 𝑥 = 𝜑(𝑦) (рис. 2.1.б); 4) 𝑥 < 𝜑(𝑦), лежит левее кривой 𝑥 = 𝜑(𝑦) (рис. 2.1.б). Рис. 2.1.а Рис. 2.1.б Замечание 2. Область существования функции не всегда является областью в смысле определения. Пример 2.1. Для функции 𝑧 = √(𝑥 − 1)(3 − 𝑦) областью существования будет множество всех тех и только тех пар действительных чисел (𝑥, 𝑦), для которых подкоренное выражение неотрицательно. Неравенство (𝑥 − 1)(3 − 𝑦) ≥ 0 будет 𝑥 − 1 ≥ 0, верно, если { то есть 3 − 𝑦 ≥ 0, 𝑥 ≥ 1, (2.1) { 𝑦 ≤ 3; 𝑥 − 1 ≤ 0, или если { , то есть 3 − 𝑦 ≤ 0, 𝑥 ≤ 1, (2.2) { 𝑦 ≥ 3. Отметим на плоскости местоположение точек (𝑥, 𝑦), координаты которых удовлетворяют (2.1) и Рис. 2.2 -6- (2.2) (рис. 2.2). В результате получили неограниченное, замкнутое, связное множество. Пример 2.2. Для функции, заданной формулой 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 , областью существования будет вся плоскость, так как действия, указанные в правой части формулы, выполнимы в области вещественных чисел для любых пар (𝑥, 𝑦). Пример 2.3. Для функции, заданной формулой 𝑧 = 𝑥 2 +𝑦 2 3𝑥−𝑦 , областью су- ществования будет вся плоскость, за исключением тех точек, для которых 3𝑥 − 𝑦 = 0, так как для таких пар (𝑥, 𝑦) действие деления теряет смысл. Точки, для которых 3𝑥 − 𝑦 = 0, заполняют на плоскости прямую линию. Значит, областью существования в данном случае являРис. 2.3 ется вся плоскость, за исключением точек прямой линии 𝑦 = 3𝑥 (рис. 2.3), то есть получили неограниченное, открытое, несвязное множество. Пример 2.4. Для функции 𝑧 = √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 областью существования будет множество всех тех и только тех пар действительных чисел (𝑥, 𝑦), для которых выполняется неравенство 4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ≥ 0. Отсюда 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4. Это есть замкнутый круг с радиусом, равным 2, и центром в начале координат (рис. 2.4). Рис. 2.4 Пример 2.5. Рассмотрим функцию 𝑧 = 𝑙𝑛(𝑥𝑦). Ее область существования – множество 𝑥 > 0, 𝑥 < 0, 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 |𝑥𝑦 > 0}. Отсюда { или { 𝑦>0 𝑦 < 0. Границы множества 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 – оси координат, и они не входят в это множество. Область существования функции – это объединение первого и третьего координатных углов (рис. 2.5). Выясним, является ли данное множество областью. Это множество является открыРис. 2.5 тым, так как любая точка этого множества принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью. Но не любую пару точек можно соединить кривой, целиком принадлежащей множеству 𝐷. Значит, множество 𝐷 не является областью. -7- 2.2. График функции двух переменных Если дана функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), то для каждой пары чисел (𝑥0 , 𝑦0 ) из области существования функции можно определить соответствующее значение 𝑧0 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ). Взяв координатную систему в пространстве, мы можем, следовательно, для каждой точки (𝑥0 , 𝑦0 ) из области существования функции отложить соответствующую аппликату 𝑧0 и получить точку (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) в пространстве. Множество всех таких точек в пространстве называется графиком функции двух переменных. Большей частью, графиком функции двух переменных является какая-нибудь поверхность. Сама формула, задающая функцию 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), и есть уравнение этой поверхности. Будем изображать область определения 𝐷 для функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) в плоскости 𝑥𝑂𝑦 пространственной системы координат. Возьмем точку 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ 𝐷. Найдем значение функции в точке 𝑀0 . Это будет число 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ). Строим в пространстве точку 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )). Проводя такие построения для каждой точки (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, получим график Рис. 2.6 функции двух переменных (рис. 2.6). Например, для функции 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 (𝐷(𝑧) = 𝑥𝑂𝑦) графиком является параболоид вращения. Пример 2.6. Рассмотрим функцию 𝑧 = √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 . Определим соответствующую поверхность. Возведем обе части в квадрат: 𝑧 2 = 4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 , отсюда 𝑧 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4. Таким образом, график функции 𝑧 = √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 представляет собой верхнюю половину сферы 𝑧 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 с центром в начале координат радиуса 2. 2.3. Понятие функции трех переменных По аналогии с определением функции двух переменных, дается определение функции трех переменных. Определение. Даны четыре переменные величины 𝑥, 𝑦, 𝑧 и 𝑢. Если каждой тройке значений переменных 𝑥, 𝑦 и 𝑧 соответствует по некоторому закону определенное единственное значение переменной 𝑢, то переменная 𝑢 называется функцией трех независимых переменных 𝑥, 𝑦 и 𝑧. -8- Обозначение функции трех переменных: 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧). Областью существования всякой функции трех переменных является часть трехмерного пространства или все пространство. Например, функцию 𝑢 = 4 √𝑧 𝑙𝑛(𝑦+2) √𝑥−5 можно рассматривать только для таких 𝑥 > 5, троек чисел (𝑥, 𝑦, 𝑧), для которых 𝑧 ≥ 0, 𝑦 + 2 > 0, 𝑥 − 5 > 0, то есть {𝑦 > −2, 𝑧 ≥ 0. График функции трех переменных мы не можем наглядно изобразить или представить себе, он является совокупностью точек в так называемом четырехмерном пространстве. Четырехмерным пространством называется множество всех возможных четверок чисел (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢); сама четверка чисел (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) называется точкой в четырехмерном пространстве, а числа 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢 называются координатами этой точки. Эта терминология вводится по образцу геометрической терминологии одномерного, двумерного и трехмерного пространств, то есть по образцу тех случаев, когда термины точка и пространство имеют доступный для нас наглядный смысл (одномерный случай – прямая, двумерный случай – плоскость, трехмерный случай – трехмерное пространство, в котором мы находимся). 2.4. Понятие функции n переменных Пусть 𝐷 – некоторое подмножество n-мерного евклидова пространства 𝑅𝑛 . Определение. Если каждой точке 𝑀(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝐷 поставлено в соответствие единственное действительное число 𝑧, то такое соответствие называется функцией n переменных 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 , а само множество 𝐷 называется областью определения функции. Обозначение функции: 𝑓, 𝜙, 𝐹, 𝛷. 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 – независимые переменные или аргументы функции. Если точке 𝑀(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) функция 𝑓 ставит в соответствие число 𝑧, то принято писать 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) или 𝑧 = 𝑓(𝑀), при этом символ 𝑓(𝑀) называется значением функции 𝑓 в точке 𝑀(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ). -9- § 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3.1. Понятие частных производных Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) определена в окрестности точки 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ). Если зафиксировать переменную 𝑦, положив 𝑦 = 𝑦0 , то получим функцию 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) – функцию одной переменной 𝑥. Применяя определение производной для функции одной переменной 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) в точке 𝑥 = 𝑥0 , мы должны точке 𝑥0 задать приращение 𝛥𝑥 так, чтобы точка (𝑥0 + 𝛥𝑥, 𝑦0 ) не выходила за пределы окрестности точки 𝑀0 . Тогда функция получит приращение 𝛥𝑥 𝑧 = 𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥, 𝑦0 ) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ), которое называется частным приращением функции 𝑓(𝑥, 𝑦) по переменной x в точке (𝑥0 , 𝑦0 ). Аналогично, фиксируя первую переменную 𝑥0 и придавая точке 𝑦0 приращение 𝛥𝑦, получаем частное приращение функции 𝑓(𝑥, 𝑦) по переменной 𝑦 в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ): 𝛥𝑦 𝑧 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 + 𝛥𝑦) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ). Определение. Частной производной по переменной x для функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) называется предел отношения частного приращения функции по переменной x в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) к приращению соответствующего аргумента в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) при 𝛥𝑥 → 0, при условии, что этот предел существует и конечен. Обозначение: 𝜕𝑧 𝜕𝑥 , 𝑧𝑥′ , 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ), 𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑥 𝛥𝑥 𝑧 то есть по определению 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 , . Определение. Частной производной по переменной y для функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) называется предел отношения частного приращения функции по переменной 𝑦 в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) к приращению соответствующего аргумента в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) при 𝛥𝑦 → 0, при условии, что этот предел существует и конечен. Обозначение: 𝜕𝑧 𝜕𝑦 , 𝑧𝑦′ , 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ), 𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑦 𝛥𝑦 𝑧 то есть по определению 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim 𝛥𝑦→0 𝛥𝑦 , . Из определения следует, что частная производная функции двух переменных равна обычной производной функции одной переменной, полученной при условии, что вторая независимая переменная сохраняет постоянное значение. - 10 - Правило нахождения частной производной 1. Чтобы найти частную производную по 𝑥 функции 𝑓(𝑥, 𝑦), надо считать 𝑦 постоянной и применять формулы и правила нахождения производной от функции одной переменной 𝑥. 2. Чтобы найти частную производную по 𝑦 функции 𝑓(𝑥, 𝑦), надо считать 𝑥 постоянной и применять формулы и правила нахождения производной от функции одной переменной 𝑦. Пример 3.1. Найти частные производные от функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 1. 𝑧 = 2𝑥 2 𝑦 + √𝑥𝑦 5 − 𝑥 3 + 𝑦 4 𝑥 − 1. ′ 𝑧𝑥′ = (2𝑥 2 𝑦)′𝑥 + (√𝑥𝑦 5 )𝑥 − (𝑥 3 )′𝑥 + (𝑦 4 𝑥)′𝑥 − (1)′𝑥 = = 2𝑦(𝑥 2 )′𝑥 +𝑦 5 1 ′ (𝑥 2 ) 𝑥 − (𝑥 3 )′𝑥 + 𝑦 4 (𝑥)′𝑥 − (1)′𝑥 = 1 1 1 5 = 2𝑦 ⋅ 2𝑥 + 𝑦 5 ⋅ 𝑥 −2 − 3𝑥 2 + 𝑦 4 ⋅ 1 − 0 = 4𝑥𝑦 + 𝑦 − 3𝑥 2 + 𝑦 4 ; 2 2 √𝑥 ′ 𝑧𝑦′ = (2𝑥 2 𝑦)′𝑦 + (√𝑥𝑦 5 )𝑦 − (𝑥 3 )′𝑦 + (𝑦 4 𝑥)′𝑦 − (1)′𝑦 = = 2𝑥 2 (𝑦)′𝑦 + √𝑥(𝑦 5 )′𝑦 − (𝑥 3 )′𝑦 + 𝑥(𝑦 4 )′𝑦 − (1)′𝑦 = = 2𝑥 2 ⋅ 1 + √𝑥 ⋅ 5𝑦 4 − 0 + 𝑥 ⋅ 4𝑦 3 − 0 = 2𝑥 2 + √𝑥 ⋅ 5𝑦 4 + 4𝑦 3 𝑥. 2. 𝑧 = 𝑥 𝑦 . Если 𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, то это функция вида 𝑥 𝛼 . Тогда Если 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, то это функция вида 𝑎 𝑥 . Тогда 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑦 ⋅ 𝑥 𝑦−1 . = 𝑥 𝑦 ⋅ 𝑙𝑛 𝑥. 3. 𝑧 = 𝑥 3 𝑦 2 + 2𝑥 ln 𝑦 + 𝑥 𝑦 . 𝑧𝑥′ = (𝑥 3 𝑦 2 )′𝑥 + (2𝑥 ln 𝑦)′𝑥 + (𝑥 𝑦 )′𝑥 = 𝑦 2 (𝑥 3 )′𝑥 + 2 ln 𝑦 (𝑥)′𝑥 + (𝑥 𝑦 )′𝑥 = = 𝑦 2 ⋅ 3𝑥 2 + 2 ln 𝑦 ⋅ 1 + 𝑦 ⋅ 𝑥 𝑦−1 = 3𝑥 2 𝑦 2 + 2 ln 𝑦 + 𝑦𝑥 𝑦−1 ; 𝑧𝑦′ = (𝑥 3 𝑦 2 )′𝑦 + (2𝑥 ln 𝑦)′𝑦 + (𝑥 𝑦 )′𝑦 = 𝑥 3 (𝑦 2 )′𝑦 + 2𝑥(ln 𝑦)′𝑦 + (𝑥 𝑦 )′𝑦 = 1 = 𝑥 3 2𝑦 + 2𝑥 ⋅ + 𝑥 𝑦 ln 𝑥. 𝑦 4. 𝑧 = 𝑒 𝑥2𝑦 . 2 ′ 𝑧𝑥′ = (𝑒 𝑥 𝑦 )𝑥 = 𝑒 𝑥 2 ′ 𝑧𝑦′ = (𝑒 𝑥 𝑦 )𝑦 = 𝑒 𝑥 2𝑦 2𝑦 ⋅ (𝑥 2 𝑦)′𝑥 = 𝑒 𝑥 ⋅ (𝑥 2 𝑦)′𝑦 = 𝑒 𝑥 2𝑦 2𝑦 ⋅ 𝑦 ⋅ (𝑥 2 )′𝑥 = 𝑒 𝑥 ⋅ 𝑥 2 ⋅ (𝑦)′𝑦 = 𝑒 𝑥 2𝑦 2𝑦 ⋅ 2𝑥𝑦; ⋅ 𝑥2 ⋅ 1 = 𝑒 𝑥 5. 𝑧 = sin(𝑥 2 − 5𝑦 3 ). 𝑧𝑥′ = (sin(𝑥 2 − 5𝑦 3 ))′𝑥 = cos(𝑥 2 − 5𝑦 3 ) ⋅ (𝑥 2 − 5𝑦 3 )′𝑥 = - 11 - 2𝑦 ⋅ 𝑥 2. = cos(𝑥 2 − 5𝑦 3 ) ⋅ ((𝑥 2 )′𝑥 − (5𝑦 3 )′𝑥 ) = cos(𝑥 2 − 5𝑦 3 ) ⋅ (2𝑥 − 0) = = 2𝑥 cos(𝑥 2 − 5𝑦 3 ) ; 𝑧𝑦′ = (sin(𝑥 2 − 5𝑦 3 ))′𝑦 = cos(𝑥 2 − 5𝑦 3 ) ⋅ (𝑥 2 − 5𝑦 3 )′𝑦 = = cos(𝑥 2 − 5𝑦 3 ) ⋅ ((𝑥 2 )′𝑦 − (5𝑦 3 )′𝑦 ) = cos(𝑥 2 − 5𝑦 3 ) ⋅ (0 − 15𝑦 2 ) = = −15𝑦 2 cos(𝑥 2 − 5𝑦 3 ). Замечание. Определения частных производных функций трех и более переменных формулируются аналогично, и вычисляются по указанным выше правилам. Пример 3.2. Найти частные производные от функции 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦𝑧. 𝑢𝑥′ = (𝑥 2 )′𝑥 + (𝑦 2 )′𝑥 + (𝑥𝑦𝑧)′𝑥 = 2𝑥 + 0 + 𝑦𝑧 ⋅ 1 = 2𝑥 + 𝑦𝑧; 𝑢𝑦′ = (𝑥 2 )′𝑦 + (𝑦 2 )′𝑦 + (𝑥𝑦𝑧)′𝑦 = 0 + 2𝑦 + 𝑥𝑧 ⋅ 1 = 2𝑦 + 𝑥𝑧; 𝑢𝑧′ = (𝑥 2 )′𝑧 + (𝑦 2 )′𝑧 + (𝑥𝑦𝑧)′𝑧 = 0 + 0 + 𝑥𝑦 ⋅ 1 = 𝑥𝑦. Замечание. Если дана функция n переменных 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) и точка 𝑀0 (𝑥10 , 𝑥20 , . . . , 𝑥𝑛0 ), то аналогично вводится понятие производной по любой из переменных в точке 𝑀0 . Например, частное приращение функции по переменной 𝑥1 имеет вид: 𝛥𝑥1 𝑧 = 𝑓(𝑥1 0 + 𝛥𝑥, 𝑥2 0 , . . . , 𝑥𝑛 0 ) − 𝑓(𝑥1 0 , 𝑥2 0 , . . . , 𝑥𝑛 0 ). Тогда частная производная по переменной 𝑥1 будет равна: 𝜕𝑧 𝜕𝑥1 = lim 𝛥𝑥1 𝑧 𝛥𝑥1 →0 𝛥𝑥1 . 3.2. Частные производные высших порядков Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) определена в области 𝐷 и имеет в каждой точке этой области частные производные 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 и 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 . Эти частные производные снова являются функциями от двух переменных 𝑥, 𝑦. Поэтому можно ставить вопрос о нахождении частных производных по 𝑥 и по 𝑦 от каждой из этих производных. Это приводит к частным производным второго порядка, которые обозначаются 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕 𝜕𝑧 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕 𝜕𝑧 ″ ″ = = 𝑧 , = , ( ) ( ) = 𝑧𝑥𝑦 𝑥𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕 𝜕𝑧 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕 𝜕𝑧 ″ ″ = = . ( ) = 𝑧𝑦𝑥 , ( ) = 𝑧𝑦𝑦 2 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 - 12 - Пример 3.3. Найти частные производные второго порядка функции 𝑧 = 𝑥 5 𝑦 2 − 4𝑥 3 𝑦 + 1. Найдем частные производные первого порядка: 𝑧𝑥′ = (𝑥 5 𝑦 2 )′𝑥 − (4𝑥 3 𝑦)′𝑥 + (1)′𝑥 = 𝑦 2 (𝑥 5 )′𝑥 − 4𝑦(𝑥 3 )′𝑥 + 0 = 5𝑥 4 𝑦 2 − 12𝑥 2 𝑦, 𝑧𝑦′ = (𝑥 5 𝑦 2 )′𝑦 − (4𝑥 3 𝑦)′𝑦 + (1)′𝑦 = 𝑥 5 (𝑦 2 )′𝑦 − 4𝑥 3 (𝑦)′𝑦 + 0 = 2𝑥 5 𝑦 − 4𝑥 3 . Найдем частные производные второго порядка: ′′ 𝑧𝑥𝑥 = (𝑧𝑥′ )′𝑥 = (5𝑥 4 𝑦 2 − 12𝑥 2 𝑦)′𝑥 = (5𝑥 4 𝑦 2 )′𝑥 − (12𝑥 2 𝑦)′𝑥 = = 5𝑦 2 (𝑥 4 )′𝑥 − 12𝑦(𝑥 2 )′𝑥 = 5𝑦 2 ⋅ 4𝑥 3 − 12𝑦 ⋅ 2𝑥 = 20𝑥 3 𝑦 2 − 24𝑥𝑦, ′′ 𝑧𝑥𝑦 = (𝑧𝑥′ )′𝑦 = (5𝑥 4 𝑦 2 − 12𝑥 2 𝑦)′𝑦 = (5𝑥 4 𝑦 2 )′𝑦 − (12𝑥 2 𝑦)′𝑦 = = 5𝑥 4 (𝑦 2 )′𝑦 − 12𝑥 2 (𝑦)′𝑦 = 5𝑥 4 ⋅ 2𝑦 − 12𝑥 2 ⋅ 1 = 10𝑥 4 𝑦 − 12𝑥 2 , ′ ′′ 𝑧𝑦𝑥 = (𝑧𝑦′ )𝑥 = (2𝑥 5 𝑦 − 4𝑥 3 )′𝑥 = (2𝑥 5 𝑦)′𝑥 − (4𝑥 3 )′𝑥 = 2𝑦(𝑥 5 )′𝑥 − 4(𝑥 3 )′𝑥 = ′′ = 2𝑦 ⋅ 5𝑥 4 − 4 ⋅ 3𝑥 2 = 10𝑥 4 𝑦 − 12𝑥 2 = 𝑧𝑥𝑦 , ′ ′′ 𝑧𝑦𝑦 = (𝑧𝑦′ )𝑦 = (2𝑥 5 𝑦 − 4𝑥 3 )′𝑦 = (2𝑥 5 𝑦)′𝑦 − (4𝑥 3 )′𝑦 = 2𝑥 5 (𝑦)′𝑦 − 0 = 2𝑥 5 . Теорема Римана. Если функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет непрерывные смешанные частные производные второго порядка в области 𝐷, то они равны между со′′ ′′ бой 𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 . Частные производные от частных производных второго порядка приводят к частным производным третьего порядка: 𝜕3𝑧 𝜕 𝜕2𝑧 𝜕3𝑧 𝜕 𝜕2𝑧 = = ( ), ( ), 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 𝜕𝑥 2 𝜕3𝑧 𝜕 𝜕2𝑧 = ( ), 𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕3𝑧 𝜕 𝜕2𝑧 = ( ), 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕3𝑧 𝜕 𝜕2𝑧 = ( ), 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕3𝑧 𝜕 𝜕2𝑧 = ( ), 𝜕𝑦𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕3𝑧 𝜕 𝜕2𝑧 = ( ), 𝜕𝑥𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕3𝑧 𝜕 𝜕2𝑧 = ( ). 𝜕𝑦 3 𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 Пример 3.4. ′′ В примере 3.3 имеем 𝑧𝑥𝑦 = 10𝑥 4 𝑦 − 12𝑥 2 . Тогда ′ ′′′ ′′ 𝑧𝑥𝑦𝑥 = (𝑧𝑥𝑦 )𝑥 = (10𝑥 4 𝑦 − 12𝑥 2 )′𝑥 = 10𝑦(𝑥 4 )′𝑥 − 12(𝑥 2 )′𝑥 = = 10𝑦 ⋅ 4𝑥 3 − 12 ⋅ 2𝑥 = 40𝑥 3 𝑦 − 24𝑥, ′ ′′′ ′′ 𝑧𝑥𝑦𝑦 = (𝑧𝑥𝑦 )𝑦 = (10𝑥 4 𝑦 − 12𝑥 2 )′𝑦 = 10𝑥 4 (𝑦)′𝑦 − (12𝑥 2 )′𝑦 = = 10𝑥 4 ⋅ 1 − 0 = 10𝑥 4 . - 13 - Утверждение, аналогичное теореме Римана может быть доказано и для смешанных частных производных любого порядка: смешанные частные производные любого порядка при условии их непрерывности не зависят от порядка дифференцирования. 3.3. Полное приращение функции Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) определена в окрестности точки 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ). Дадим в точке 𝑀0 приращения аргументов 𝛥𝑥 и 𝛥𝑦, такие что точка 𝑀(𝑥0 + 𝛥𝑥, 𝑦0 + 𝛥𝑦) принадлежит данной окрестности точки 𝑀0 . Определение. Полным приращением функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) называется приращение функции, отвечающее произвольным приращениям обеих переменных: 𝛥𝑧 = 𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥, 𝑦0 + 𝛥𝑦) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ), при этом 𝛥𝑥 и 𝛥𝑦 не должны одновременно обращаться в ноль. Замечание. Очевидно, что если 𝛥𝑦 = 0, а 𝛥𝑥 ≠ 0, то полное приращение функции принимает вид: 𝛥𝑧 = 𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥, 𝑦0 ) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ). Это есть частное приращение функции 𝑓(𝑥, 𝑦) по переменной 𝑥, которое ранее обозначалось через 𝛥𝑥 𝑧, то есть если 𝛥𝑦 = 0, а 𝛥𝑥 ≠ 0, то 𝛥𝑧 = 𝛥𝑥 𝑧. Аналогично, если 𝛥𝑥 = 0, а 𝛥𝑦 ≠ 0, то 𝛥𝑧 = 𝛥𝑦 𝑧 – частное приращение функции 𝑓(𝑥, 𝑦) по переменной 𝑦. 3.4. Понятие дифференцируемой функции Определение. Функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) называется дифференцируемой в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде 𝛥𝑧 = 𝐴 ⋅ 𝛥𝑥 + 𝐵 ⋅ 𝛥𝑦 + 𝛼 ⋅ 𝛥𝑥 + 𝛽 ⋅ 𝛥𝑦, (3.1) где 𝐴, 𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝛼, 𝛽 зависят от 𝛥𝑥 и 𝛥𝑦, причем 𝛼, 𝛽 являются бесконечно малыми функциями при 𝛥𝑥, 𝛥𝑦 → 0. Теорема 1 (о связи дифференцируемости с непрерывностью). Если функция дифференцируема в точке 𝑀0 , то она непрерывна в этой точке. Замечание 1. Утверждение, обратное теореме 1, неверно, то есть из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке. Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке 𝑀0 , то она имеет в этой точке частные производные. - 14 - Замечание 2. Из этой теоремы следует, что для функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), дифференцируемой в точке (𝑥0 , 0𝑦0 ), полное приращение, представленное формулой (3.1), можно записать в виде: 𝛥𝑧 = где 𝜕𝑧 𝜕𝑥 , 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 ⋅ 𝛥𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 ⋅ 𝛥𝑦 + 𝛼 ⋅ 𝛥𝑥 + 𝛽 ⋅ 𝛥𝑦, (3.2) – частные производные этой функции в точке (𝑥0 , 0𝑦0 ), а 𝛼, 𝛽 – бес- конечно малые функции при 𝛥𝑥, 𝛥𝑦 → 0. Замечание 3. Утверждение, обратное теореме 2, неверно, то есть из существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Если же на частные производные, кроме их существования наложить дополнительные условия, то можно получить достаточное условие дифференцируемости. Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет в окрестности точки 𝑀0 частные производные, непрерывные в этой точке, то функция дифференцируема в точке 𝑀0 . 3.5. Дифференциал функции Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) дифференцируема в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ). Значит, ее приращение в этой точке можно представить в виде: 𝛥𝑧 = 𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑥 ⋅ 𝛥𝑥 + 𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑦 ⋅ 𝛥𝑦 + 𝛼 ⋅ 𝛥𝑥 + 𝛽 ⋅ 𝛥𝑦, (3.3) где 𝛼, 𝛽 – бесконечно малые функции при 𝛥𝑥, 𝛥𝑦 → 0. Выражение 𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑥 ⋅ 𝛥𝑥 + 𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑦 ⋅ 𝛥𝑦 линейно зависит от 𝛥𝑥, 𝛥𝑦 и имеет вид 𝐴 ⋅ 𝛥𝑥 + 𝐵 ⋅ 𝛥𝑦, при этом 𝐴, 𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Выражение 𝛼 ⋅ 𝛥𝑥 + 𝛽 ⋅ 𝛥𝑦 не линейно зависит от 𝛥𝑥, 𝛥𝑦, так как 𝛼, 𝛽 не постоянные, а бесконечно малые функции при 𝛥𝑥, 𝛥𝑦 → 0. Определение. Полным дифференциалом функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) называется линейная часть полного приращения и обозначается 𝑑𝑧 = 𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑥 ⋅ 𝛥𝑥 + 𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑦 ⋅ 𝛥𝑦. (3.4) Определение. Дифференциалами независимых переменных называются приращения этих переменных, то есть 𝑑𝑥 = 𝛥𝑥, 𝑑𝑦 = 𝛥𝑦. Тогда равенство (3.4) примет вид: 𝑑𝑧 = 𝑑𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑥 ⋅ 𝑑𝑥 + 𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑦 ⋅ 𝑑𝑦 (3.5) Если функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) дифференцируема в любой точке 𝑀(𝑥, 𝑦) области 𝐷, то формула (3.5) примет вид: 𝑑𝑧 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 ⋅ 𝑑𝑥 + - 15 - 𝜕𝑧 𝜕𝑦 ⋅ 𝑑𝑦. Пример 3.5. Найти полный дифференциал функции 𝑧 = 4𝑥 3 𝑦 2 − 2𝑥 в любой точке плоскости. Решение. По определению 𝑑𝑧 = 𝑧𝑥′ ⋅ 𝑑𝑥 + 𝑧𝑦′ ⋅ 𝑑𝑦. Так как частные производные данной функции имеют вид: 𝑧𝑥′ = 12𝑥 2 𝑦 2 − 2, 𝑧𝑦′ = 8𝑥 3 𝑦, то, 𝑑𝑧 = (12𝑥 2 𝑦 2 − 2) ⋅ 𝑑𝑥 + 8𝑥 3 𝑦 ⋅ 𝑑𝑦. 3.6. Применение дифференциала к приближенным вычислениям Формула приближенного вычисления имеет вид: 𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥, 𝑦0 + 𝛥𝑦) ≈ 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) + ⋅ 𝛥𝑥 + ⋅ 𝛥𝑦. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Можно вычислять значение функции в точке 𝑀(𝑥0 + 𝛥𝑥, 𝑦0 + 𝛥𝑦), если известно точное значение функции 𝑓(𝑥, 𝑦) в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ), близкой к точке 𝑀(𝑥0 + 𝛥𝑥, 𝑦0 + 𝛥𝑦). Пример 3.6. Найти (0,9)4,2 . Решение. Введем функцию 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 . Будем считать 𝑥0 + 𝛥𝑥 = 0,9, то есть 𝑥0 = 1, 𝛥𝑥 = −0,1, и 𝑦0 + 𝛥𝑦 = 4,2, то есть 𝑦0 = 4, 𝛥𝑦 = 0,2. 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝑓(1, 4) = 14 = 1, 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑓(1, 4) = 𝑦 ⋅ 𝑥 𝑦−1 ⇒ = = 4 ⋅ 14−1 = 4, 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑓(1, 4) = 𝑥 𝑦 ⋅ ln 𝑥 ⇒ = = 14 ⋅ ln 1 = 0. 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 Тогда получаем: (0,9)4,2 ≈ 1 + 4 ⋅ (−0,1) + 0 ⋅ 0,2 = 0,6. 3.7. Дифференциалы высших порядков Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет непрерывные частные производные до n-го порядка включительно в области D. Тогда в каждой точке области D существует дифференциал функции 𝑑𝑧 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝑑𝑦. Следовательно, дифферен- циал функции является в свою очередь функцией от 𝑥 и 𝑦. Может оказаться, что дифференциал первого порядка 𝑑𝑧, как функция от 𝑥 и 𝑦, в свою очередь имеет дифференциал. - 16 - Определение. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала, то есть 𝑑 2 𝑧 = 𝑑(𝑑𝑧). Дифференциал второго порядка 𝑑 2 𝑧, как функция от 𝑥 и 𝑦, в свою очередь может иметь дифференциал, который называется дифференциалом третьего порядка от функции 𝑧 и обозначается 𝑑 3 𝑧, то есть 𝑑 3 𝑧 = 𝑑(𝑑2 𝑧). После того, как дифференциал (𝑛 − 1)-го порядка определен, определяем дифференциал 𝑛 -го порядка: 𝑑 𝑛 𝑧 = 𝑑(𝑑 𝑛−1 𝑧). Выведем формулу дифференциала второго порядка. 𝑑 2 𝑧 = 𝑑(𝑑𝑧) = 𝑑 ( 𝜕𝑧 𝜕𝑥 ⋅ 𝑑𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 ⋅ 𝑑𝑦) = 𝑑 ( 𝜕𝑧 𝜕𝑥 ⋅ 𝑑𝑥) + 𝑑 ( 𝜕𝑧 𝜕𝑦 ⋅ 𝑑𝑦). Здесь 𝑑𝑥 и 𝑑𝑦 – дифференциалы независимых переменных, поэтому 𝑑𝑥 = 𝛥𝑥, 𝑑𝑦 = 𝛥𝑦. Тогда 𝑑𝑥 и 𝑑𝑦 являются постоянными по отношению к 𝑥 и 𝑦, ибо таковы 𝛥𝑥, 𝛥𝑦. Поэтому 𝑑𝑥 и 𝑑𝑦 можно вывести за знак дифференциала как постоянный множитель. Тогда 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑 2 𝑧 = 𝑑 ( ) ⋅ 𝑑𝑥 + 𝑑 ( ) ⋅ 𝑑𝑦. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 В этом равенстве 𝑑 ( ) и 𝑑 ( ) находим по формуле 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑧 = только роль 𝑧 играет 𝑑2𝑧 = ( 𝜕𝑧 𝜕𝑥 и 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 ⋅ 𝑑𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 ⋅ 𝑑𝑦, . Тогда 𝜕 𝜕𝑧 𝜕 𝜕𝑧 𝜕 𝜕𝑧 𝜕 𝜕𝑧 ( ) ⋅ 𝑑𝑥 + ( ) ⋅ 𝑑𝑦) ⋅ 𝑑𝑥 + ( ( ) ⋅ 𝑑𝑥 + ( ) ⋅ 𝑑𝑦) ⋅ 𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 или 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝑑 𝑧 = ( 2 ⋅ 𝑑𝑥 + ⋅ 𝑑𝑦) ⋅ 𝑑𝑥 + ( ⋅ 𝑑𝑥 + 2 ⋅ 𝑑𝑦) ⋅ 𝑑𝑦. 𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 Так как по условию 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑥 и 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 непрерывны в области 𝐷, то они равны. После приведения подобных слагаемых, получаем 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 2 2 𝑑 𝑧 = 2 ⋅ 𝑑𝑥 + 2 ⋅ 𝑑𝑥 ⋅ 𝑑𝑦 + 2 ⋅ 𝑑𝑦 2 . 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 Правая часть этого равенства напоминает формулу квадрата суммы. Для ее запоминания условно запишем в виде: 2 𝜕 𝜕 𝑑 𝑧 = ( ⋅ 𝑑𝑥 + ⋅ 𝑑𝑦) 𝑧. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Аналогично получаем условный вид дифференциала третьего порядка: 2 3 𝜕 𝜕 𝑑 𝑧 = ( ⋅ 𝑑𝑥 + ⋅ 𝑑𝑦) 𝑧, 𝜕𝑥 𝜕𝑦 3 - 17 - то есть 𝜕3𝑧 𝜕3𝑧 𝜕3𝑧 𝜕3𝑧 3 2 2 𝑑 𝑧 = 3 ⋅ 𝑑𝑥 + 3 2 ⋅ 𝑑𝑥 ⋅ 𝑑𝑦 + 3 ⋅ 𝑑𝑥 ⋅ 𝑑𝑦 + 3 ⋅ 𝑑𝑦 3 . 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 Дифференциал n-го порядка условно запишется в виде: 𝑛 𝜕 𝜕 𝑛 𝑑 𝑧 = ( ⋅ 𝑑𝑥 + ⋅ 𝑑𝑦) ⋅ 𝑧. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 3 § 4. СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ 4.1. Понятие сложной функции Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) определена в области 𝐷, при этом 𝑥 и 𝑦 в свою очередь являются функциями одной переменной 𝑡: 𝑥 = 𝜙(𝑡), 𝑦 = 𝜓(𝑡), определенными на отрезке [𝛼, 𝛽]. Тогда функция 𝑧 = 𝑓(𝜙(𝑡), 𝜓(𝑡)) называется сложной функцией двух промежуточными переменных 𝑥, 𝑦 и одной независимой переменной 𝑡. Пусть для функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑥 и 𝑦 являются функциями двух переменных 𝑢 и 𝑣: 𝑥 = 𝜙(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝜓(𝑢, 𝑣). Тогда функция 𝑧 = 𝑓(𝜙(𝑢, 𝑣), 𝜓(𝑢, 𝑣)) называется сложной функцией двух промежуточных переменных 𝑥, 𝑦 и двух независимых переменных 𝑢, 𝑣. Теорема (о непрерывности сложной функции). Если функция 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) непрерывна на множестве 𝐷 ⊂ 𝑅𝑛 , а функции, 𝑥1 = 𝜙1 (𝑡1 , 𝑡2 , . . . , 𝑡𝑘 ), 𝑥2 = 𝜙2 (𝑡1 , 𝑡2 , . . . , 𝑡𝑘 ), …, 𝑥𝑛 = 𝜙𝑛 (𝑡1 , 𝑡2 , . . . , 𝑡𝑘 ), непрерывны на множестве 𝐸 ⊂ 𝑅𝑘 , причем функции 𝜙1 , 𝜙2 , …, 𝜙𝑛 отображают множество 𝐸 во множество 𝐷, то сложная функция 𝑧 = 𝑓(𝜙1 (𝑡1 , 𝑡2 , . . . , 𝑡𝑘 ), 𝜙2 (𝑡1 , 𝑡2 , . . . , 𝑡𝑘 ), … , 𝜙𝑛 (𝑡1 , 𝑡2 , . . . , 𝑡𝑘 )) непрерывна на множестве 𝐸. Пример 4.1 Рассмотрим функцию 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 , где 𝑥 = sin 𝑡, 𝑦 = 𝑒 𝑡 . Так как – функция 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 непрерывна на множестве 𝑅 2 (как целая рациональная функция двух переменных), – функции 𝑥 = sin 𝑡, 𝑦 = 𝑒 𝑡 непрерывны на множестве 𝑅, – функции 𝑥 = sin 𝑡, 𝑦 = 𝑒 𝑡 отображают множество 𝑅 во множество 𝑅2 , то сложная функция 𝑧 = sin2 𝑡 + 𝑒 2𝑡 непрерывна на множестве 𝑅. - 18 - 4.2. Производная сложной функции Случай 1. Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) определена в области 𝐷, при этом 𝑥 и 𝑦 в свою очередь являются функциями одной переменной 𝑡: 𝑥 = 𝜙(𝑡), 𝑦 = 𝜓(𝑡), определенными на отрезке [𝛼, 𝛽]. Рассмотрим сложную функцию 𝑧 = 𝑓(𝜙(𝑡), 𝜓(𝑡)) двух промежуточных переменных 𝑥 и 𝑦 и одной независимой переменной 𝑡. Теорема 1. Если функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет непрерывные частные производные в области 𝐷, функции 𝑥 = 𝜙(𝑡), 𝑦 = 𝜓(𝑡) дифференцируемы в интервале (𝛼, 𝛽) и отображают интервал (𝛼, 𝛽) в область 𝐷, то сложная функция 𝑧 = 𝑓(𝜙(𝑡), 𝜓(𝑡)) имеет в интервале (𝛼, 𝛽) производную по переменной 𝑡 и она имеет вид: 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 = ⋅ + ⋅ . 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 Пример 4.2. Найти производную сложной функции 𝑧 = ln( 𝑥 2 + 𝑦 2 ), где 𝑥 = sin 2 𝑡, 𝑦 = 𝑒 3𝑡 . Решение. Задана функция двух промежуточных переменных 𝑥, 𝑦 и одной независимой переменной 𝑡. Найдем частные производные функции 𝑧 = ln( 𝑥 2 + 𝑦 2 ): 𝜕𝑧 1 1 2 2 )′ (𝑥 = 𝑧𝑥′ = (ln(𝑥 2 + 𝑦 2 ))′𝑥 = 2 ⋅ + 𝑦 = ⋅ (2𝑥 + 0) = 𝑥 𝜕𝑥 𝑥 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 2𝑥 = 2 , 𝑥 + 𝑦2 𝜕𝑧 1 1 2 2 )′ (𝑥 = 𝑧𝑦′ = (ln(𝑥 2 + 𝑦 2 ))′𝑦 = 2 ⋅ + 𝑦 = ⋅ (0 + 2𝑦) = 𝑦 𝜕𝑦 𝑥 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 2𝑦 = 2 . 𝑥 + 𝑦2 Найдем производные функций 𝑥 = sin 2 𝑡 и 𝑦 = 𝑒 3𝑡 : 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = (sin 2𝑡)′ = 2 cos 2𝑡 , = (𝑒 3𝑡 )′ = 3𝑒 3𝑡 . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Тогда искомая производная сложной функции имеет вид: 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 2𝑥 2𝑦 = ⋅ + ⋅ = 2 ⋅ 2 cos 2𝑡 + ⋅ 3𝑒 3𝑡 , 2 2 2 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝑥 + 𝑦 𝑥 +𝑦 3𝑡 где 𝑥 = sin 2 𝑡 и 𝑦 = 𝑒 . Случай 2. Пусть для функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑥 и 𝑦 являются функциями двух переменных 𝑢 и 𝑣: 𝑥 = 𝜙(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝜓(𝑢, 𝑣). Рассмотрим сложную функцию - 19 - 𝑧 = 𝑓(𝜙(𝑢, 𝑣), 𝜓(𝑢, 𝑣)) двух промежуточных переменных 𝑥, 𝑦 и двух независимых переменных 𝑢, 𝑣. Теорема 2. Если функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет непрерывные частные производные в области 𝐷, функции 𝑥 = 𝜙(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝜓(𝑢, 𝑣) дифференцируемы в области 𝐸 и отображают область 𝐸 в область 𝐷, то сложная функция 𝑧 = 𝑓(𝜙(𝑢, 𝑣), 𝜓(𝑢, 𝑣)) имеет в области 𝐸 частные производные по 𝑢 и по 𝑣, которые вычисляются по формулам: 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = ⋅ + ⋅ , 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = ⋅ + ⋅ . 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑣 Пример 4.3. Найти частные производные сложной функции 𝑧 = 𝑥 ln 𝑦, где 𝑥 = 𝑢 − 𝑣, 𝑦 = sin(𝑢𝑣). Решение. Задана функция двух промежуточных переменных 𝑥, 𝑦 и двух независимых переменных 𝑢, 𝑣. Найдем частные производные функции 𝑧 = 𝑥 ln 𝑦: 𝜕𝑧 = 𝑧𝑥′ = (𝑥 ln 𝑦)′𝑥 = ln 𝑦 (𝑥)′𝑥 = ln 𝑦 ⋅ 1 = ln 𝑦, 𝜕𝑥 𝜕𝑧 1 𝑥 = 𝑧𝑦′ = (𝑥 ln 𝑦)′𝑦 = 𝑥(ln 𝑦)′𝑦 = 𝑥 ⋅ = . 𝜕𝑦 𝑦 𝑦 Найдем частные производные функций 𝑥 = 𝑢 − 𝑣, 𝑦 = sin(𝑢𝑣): 𝜕𝑥 = 𝑥𝑢′ = (𝑢 − 𝑣)′𝑢 = 1 − 0 = 1, 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝑥𝑣′ = (𝑢 − 𝑣)′𝑣 = 0 − 1 = −1, 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 𝑦𝑢′ = (sin(𝑢𝑣))′𝑢 = cos(𝑢𝑣) ⋅ (𝑢𝑣)′𝑢 = 𝑣 ⋅ cos(𝑢𝑣), 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑦𝑣′ = (sin(𝑢𝑣))′𝑣 = cos(𝑢𝑣) ⋅ (𝑢𝑣)′𝑣 = 𝑢 ⋅ cos(𝑢𝑣). 𝜕𝑣 Теперь найдем частные производные сложной функции: 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝑥 = ⋅ + ⋅ = ln 𝑦 + ⋅ 𝑣 ⋅ cos( 𝑢𝑣) 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝑥 = ⋅ + ⋅ = − ln 𝑦 + ⋅ 𝑢 ⋅ cos( 𝑢𝑣), 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝑦 где 𝑥 = 𝑢 − 𝑣, 𝑦 = sin(𝑢𝑣). - 20 - Правило вычисления производной сложной функции: чтобы найти частную производную сложной функции по независимой переменной, надо найти частные производные этой функции по всем промежуточным аргументам, каждую из которых умножить на частную производную соответствующего промежуточного аргумента по заданной независимой переменной и сложить эти произведения. 4.3. Дифференциал сложной функции Если x, y – независимые переменные, то дифференциал функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет вид: 𝜕𝑧 𝜕𝑧 (4.1) 𝑑𝑧 = ⋅ 𝑑𝑥 + ⋅ 𝑑𝑦. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Пусть 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), где 𝑥 = 𝜙(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝜓(𝑢, 𝑣), и пусть эти функции дифференцируемы в соответствующих областях. Найдем дифференциал сложной функции 𝑧 = 𝑓(𝜙(𝑢, 𝑣), 𝜓(𝑢, 𝑣)) по формуле (4.1): 𝜕𝑧 𝜕𝑧 (4.2) 𝑑𝑧 = ⋅ 𝑑𝑢 + ⋅ 𝑑𝑣. 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑧 𝜕𝑧 , находим как частные производные сложной функции: 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 = ⋅ + ⋅ , 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 = ⋅ + ⋅ . 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑑𝑣 𝜕𝑦 𝑑𝑣 Тогда равенство (4.2) примет вид: 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝑑𝑧 = ( ⋅ + ⋅ ) ⋅ 𝑑𝑢 + ( ⋅ + ⋅ ) ⋅ 𝑑𝑣 = 𝜕𝑥 𝑑𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 = ⋅ 𝑑𝑣) + ⋅ 𝑑𝑣) = ⋅ 𝑑𝑥 + ⋅ 𝑑𝑦. (4.3) ( ⋅ 𝑑𝑢 + ( ⋅ 𝑑𝑢 + 𝜕𝑥 ⏟𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑦 ⏟𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑦 дифференциал 𝑑𝑥 функции 𝑧=𝑓(𝑥, 𝑦) дифференциал 𝑑𝑦 функции 𝑧=𝑓(𝑥, 𝑦) Сравнивая формулы (4.2) и (4.3), видим, что форма дифференциала (4.1) сохранилась и для случая, когда 𝑥, 𝑦 зависят от других переменных. Теорема. Если 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), где 𝑥 = 𝜙(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝜓(𝑢, 𝑣) – дифференцируемые функции, то дифференциал сложной функции 𝑧 = 𝑓(𝜙(𝑢, 𝑣), 𝜓(𝑢, 𝑣)) имеет вид: 𝑑𝑧 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 ⋅ 𝑑𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 ⋅ 𝑑𝑦, то есть сохраняет свою форму. Свойство дифференциала сложной функции сохранять свою форму называется инвариантностью формы дифференциала. - 21 - 4.4. Дифференциалы высших порядков сложной функции Пусть 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), где 𝑥 = 𝜙(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝜓(𝑢, 𝑣), где каждая из функций 𝜙 и 𝜓 имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в соответствующих областях. Найдем 𝑑2𝑧 сложной функции 𝑧 = 𝑓(𝜙(𝑢, 𝑣), 𝜓(𝑢, 𝑣)). По свойству инвариантности дифференциала первого порядка находим 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑧 = ⋅ 𝑑𝑥 + ⋅ 𝑑𝑦. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Тогда 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑 2 𝑧 = 𝑑(𝑑𝑧) = 𝑑 ( ⋅ 𝑑𝑥 + ⋅ 𝑑𝑦) = 𝑑 ( ⋅ 𝑑𝑥) + 𝑑 ( ⋅ 𝑑𝑦). 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Здесь 𝑑𝑥 и 𝑑𝑦 не являются постоянными, поэтому применим формулу дифференциала произведения. 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑 2 𝑧 = 𝑑 ( ) 𝑑𝑥 + 𝑑(𝑑𝑥) + 𝑑 ( ) 𝑑𝑦 + 𝑑(𝑑𝑦) = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝜕𝑧 2 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝜕𝑧 2 = ( 2 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑑 𝑥+( 𝑑𝑥 + 2 𝑑𝑦) 𝑑𝑦 + 𝑑 𝑦= 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕2𝑧 2 𝜕2𝑧 𝜕 2 𝑧 2 𝜕𝑧 2 𝜕𝑧 2 = 2 𝑑𝑥 + 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 2 𝑑𝑦 + 𝑑 𝑥+ 𝑑 𝑦. 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Сравнивая эту формулу с формулой (4.1) видим, что форма записи (4.1) не сохраняется для сложной функции. Поэтому дифференциал второго порядка сложной функции не обладает свойством инвариантности. - 22 - § 5. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 5.1. Неявная функция одной переменной Пусть дано уравнение 𝑥 2 + 𝑦 3 − 1 = 0. (5.1) 3 Это уравнение содержит две переменные. Выразим y через x: 𝑦 = √1 − 𝑥 2 . Получили функцию от одного переменного x с областью определения 𝑋 = (−∞, +∞). Очевидно, полученная функция обращает уравнение (5.1) в тождество. В таком случае говорят, что уравнение (5.1) определяет неявную функцию на множестве 𝑋 = (−∞, +∞). Определение. Говорят, что уравнение 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 (5.2) определяет y как неявную функцию от x на множестве X, если существует функция 𝑦 = 𝜙(𝑥), определенная на этом множестве и обращающая уравнение (5.2) в тождество на множестве X, то есть 𝐹(𝑥, 𝜙(𝑥)) ≡ 0 для любого 𝑥 ∈ 𝑋. В предложенном примере неявной функцией являются функции 3 𝑦 = √1 − 𝑥 2 , заданные уравнением 𝑥 2 + 𝑦 3 − 1 = 0 на множестве 𝑋 = (−∞, +∞). Пример 5.1. Рассмотрим уравнение 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟏 = 𝟎. Здесь 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1. Очевидно, что какое бы 𝑥 = 𝑥0 ни взяли, уравнение 𝒙𝟐𝟎 + 𝒚𝟐 + 𝟏 = 𝟎 не имеет решений. Поэтому данное уравнение не определяет неявную функцию. Пример 5.2. Рассмотрим уравнение 𝒙𝟐 𝟒 + 𝒚𝟐 − 𝟏 = 𝟎. (5.3) 𝒙𝟐 Выразим y через x: 𝒚 = ±√𝟏 − , −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐. Получили две функции от 𝟒 одного переменного x с областью определения 𝑋 = [−2, 2]. Очевидно, что каждая из этих функций обращает уравнение (5.3) в тождество. То есть каждому 𝒙 = 𝒙𝟎 ∈ [−𝟐, 𝟐] соответствует не единственное 𝒚, являющееся решением уравнения 𝒙𝟐𝟎 𝟒 + 𝒚𝟐 − 𝟏 = 𝟎. Поэтому чтобы уравнение задавало неявно функцию 𝒚 = 𝝓(𝒙) нам надо ограничить 𝒚. Например, 𝒚 ∈ (𝟎, 𝟏]. Не всегда из уравнения вида (5.2) удается выразить y через x. Например, 𝑥 5 𝑦 7 + 2𝑥 3 𝑦 4 − 4𝑥𝑦 + 2𝑦 = 0. - 23 - Но, тем не менее, это уравнение определяет неявную функцию 𝑦 = 𝜙(𝑥). Встает вопрос: в каком случае уравнение (7.2) определяет неявную функцию. Ответ дает следующая теорема. Теорема существования неявной функции одной переменной. Если левая часть уравнения (5.2) обладает свойствами: 1) 𝐹(𝑥, 𝑦), 𝐹𝑥′ (𝑥, 𝑦), 𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦) непрерывны в окрестности точки 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ), 2) 𝐹(𝑥0 , 𝑦0 ) = 0, 3) 𝐹𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) ≠ 0, то уравнение (5.2) определяет неявную функцию 𝑦 = 𝜙(𝑥) в окрестности точки 𝑥0 , причем эта функция обладает свойствами: 1) функция 𝑦 = 𝜙(𝑥) непрерывна в окрестности точки 𝑥0 , 2) 𝑦0 = 𝜙(𝑥0 ), 3) функция 𝑦 = 𝜙(𝑥) имеет непрерывную производную в окрестности точки 𝑥0 , которая имеет вид: 𝑑𝑦 𝐹𝑥′ (𝑥, 𝑦) =− ′ . 𝑑𝑥 𝐹𝑦 (𝑥, 𝑦) Пример 5.3. Доказать, что уравнение 𝑥 3 𝑦 + 𝑥 2 𝑦 4 − 3𝑥 + 4𝑦 + 3 = 0 (5.4) определяет y как неявную функцию от x в окрестности точки (1, 0). Решение. Здесь 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 + 𝑥 2 𝑦 4 − 3𝑥 + 4𝑦 + 3. Тогда 𝐹𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 4 − 3, 𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 4𝑥 2 𝑦 3 + 4. 1) 𝐹(𝑥, 𝑦), 𝐹𝑥′ (𝑥, 𝑦), 𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦) – целые рациональные функции двух переменных, поэтому они непрерывны в 𝑅2 , следовательно, они непрерывны в окрестности точки (1, 0); 2) 𝐹(1, 0) = 0 + 0 − 3 + 0 + 3 = 0; 3) 𝐹𝑦′ (1, 0) = 1 + 0 + 4 = 5 ≠ 0. Тогда по теореме о существовании неявной функции уравнение (5.4) определяет неявную функцию 𝑦 = 𝜙(𝑥), обладающую свойствами: 1) функция 𝑦 = 𝜙(𝑥) непрерывна в окрестности точки 𝑥 = 1, 2) 0 = 𝜙(1), 3) функция 𝑦 = 𝜙(𝑥) имеет непрерывную производную в окрестности точки 𝑥 = 1, которая имеет вид: - 24 - 𝑑𝑦 𝐹𝑥′ 3𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 4 − 3 =− ′=− 3 , где 𝑦 = 𝜙(𝑥). 𝑑𝑥 𝐹𝑦 𝑥 + 4𝑥 2 𝑦 3 + 4 6.2. Неявная функция двух переменных Определение. Говорят, что уравнение 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 (5.5) определяет z как неявную функцию от двух переменных x, y на множестве D, 𝐷 ∈ 𝑅2 , если существует функция 𝑧 = 𝜙(𝑥, 𝑦) с областью определения D, обращающая уравнение (5.5) в тождество на этом множестве, то есть 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝜙(𝑥, 𝑦)) ≡ 0 для любой точки (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷. Теорема существования неявной функции двух переменных. Если левая часть уравнения (5.5) удовлетворяет следующим условиям: 1) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐹𝑥′ (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐹𝑧′ (𝑥, 𝑦, 𝑧) непрерывны в окрестности точки 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ), 2) 𝐹(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) = 0, 3) 𝐹𝑧′ (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) ≠ 0, то уравнение (5.5) определяет неявную функцию 𝑧 = 𝜙(𝑥, 𝑦) в окрестности точки (𝑥0 , 𝑦0 ), причем эта функция обладает свойствами: 1) функция 𝑧 = 𝜙(𝑥, 𝑦) непрерывна в окрестности точки (𝑥0 , 𝑦0 ), 2) 𝑧0 = 𝜙(𝑥0 , 𝑦0 ), 3) функция 𝑧 = 𝜙(𝑥, 𝑦) имеет непрерывные частные производные в окрестности точки (𝑥0 , 𝑦0 ), которые имеют вид 𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑧 𝐹𝑥′ (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑧 =− ′ , =− ′ . 𝜕𝑥 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑦 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) Пример 5.4. Пусть уравнение 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 3 + 2𝑥𝑧 2 − 4𝑦𝑧 + 5𝑥 − 1 = 0 определяет z как неявную функцию от x, y. Найти 𝜕𝑧 𝜕𝑧 , , 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 (5.6) . На практике можно не пользоваться выведенными формулами, а рассуждать так, считая, что уравнение (5.6) определяет z как функцию от x, y, получим, что 𝑧 = 𝜙(𝑥, 𝑦) обращает уравнение (5.6) в тождество. Тогда для нахождения 𝑧𝑥′ дифференцируем обе части равенства (5.6) по x, считая 𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и помня, что в (5.6) 𝑧 = 𝜙(𝑥, 𝑦). (𝑥 3 𝑦 2 𝑧 3 )′𝑥 + (2𝑥𝑧 2 )′𝑥 − (4𝑦𝑧)′𝑥 + (5𝑥)′𝑥 − (1)′𝑥 = 0, 𝑦 2 (𝑥 3 𝑧 3 )′𝑥 + 2(𝑥𝑧 2 )′𝑥 − 4𝑦(𝑧)′𝑥 + 5(𝑥)′𝑥 − 0 = 0, - 25 - 𝑦 2 ((𝑥 3 )′𝑥 ⋅ 𝑧 3 + 𝑥 3 ⋅ (𝑧 3 )′𝑥 ) + 2((𝑥)′𝑥 ⋅ 𝑧 2 + 𝑥 ⋅ (𝑧 2 )′𝑥 ) − 4𝑦 ⋅ 𝑧𝑥′ + 5 ⋅ 1 = 0, 𝑦 2 (3𝑥 2 ⋅ 𝑧 3 + 𝑥 3 ⋅ 3𝑧 2 𝑧𝑥′ ) + 2(1 ⋅ 𝑧 2 + 𝑥 ⋅ 2𝑧𝑧𝑥′ ) − 4𝑦𝑧𝑥′ + 5 = 0, 3𝑥 2 𝑦 2 𝑧 3 + 3𝑥 3 𝑦 2 𝑧 2 𝑧𝑥′ + 2𝑧 2 + 4𝑥𝑧𝑧𝑥′ − 4𝑦𝑧𝑥′ + 5 = 0, 𝑧𝑥′ ⋅ (3𝑥 3 𝑦 2 𝑧 2 + 4𝑥𝑧 − 4𝑦) = −(3𝑥 2 𝑦 2 𝑧 3 + 2𝑧 2 + 5), 3𝑥 2 𝑦 2 𝑧 3 + 2𝑧 2 + 5 ′ 𝑧𝑥 = − 3 2 2 . 3𝑥 𝑦 𝑧 + 4𝑥𝑧 − 4𝑦 Для нахождения 𝑧𝑦′ дифференцируем обе части равенства (5.6) по y, считая 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и 𝑧 = 𝜙(𝑥, 𝑦). (𝑥 3 𝑦 2 𝑧 3 )′𝑦 + (2𝑥𝑧 2 )′𝑦 − (4𝑦𝑧)′𝑦 + (5𝑥)′𝑦 − (1)′𝑦 = 0, 𝑥 3 (𝑦 2 𝑧 3 )′𝑦 + 2𝑥(𝑧 2 )′𝑦 − 4(𝑦𝑧)′𝑦 + 0 − 0 = 0, 𝑥 3 ((𝑦 2 )′𝑦 ⋅ 𝑧 3 + 𝑦 2 ⋅ (𝑧 3 )′𝑦 ) + 2𝑥(𝑧 2 )′𝑦 − 4((𝑦)′𝑦 ⋅ 𝑧 + 𝑦 ⋅ (𝑧)′𝑦 ) = 0, 𝑥 3 (2𝑦 ⋅ 𝑧 3 + 𝑦 2 ⋅ 3𝑧 2 𝑧𝑦′ ) + 2𝑥 ⋅ 2𝑧𝑧𝑦′ − 4(1 ⋅ 𝑧 + 𝑦 ⋅ 𝑧𝑦′ ) = 0, 2𝑥 3 𝑦𝑧 3 + 3𝑥 3 𝑦 2 𝑧 2 𝑧𝑦′ + 4𝑥𝑧𝑧𝑦′ − 4𝑧 − 4𝑦𝑧𝑧𝑦′ = 0, 𝑧𝑦′ ⋅ (3𝑥 3 𝑦 2 𝑧 2 + 4𝑥𝑧 − 4𝑦𝑧) = 4𝑧 − 2𝑥 3 𝑦𝑧 3 , 4𝑧 − 2𝑥 3 𝑦𝑧 3 = 3 2 2 . 3𝑥 𝑦 𝑧 + 4𝑥𝑧 − 4𝑦𝑧 ′′ Вычислим производную второго порядка 𝑧𝑥𝑦 как производную частного, 𝑧𝑦′ считая 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и 𝑧 = 𝜙(𝑥, 𝑦). ′ ′′ 𝑧𝑥𝑦 =− = (𝑧𝑥′ )′𝑦 3𝑥 2 𝑦 2 𝑧 3 + 2𝑧 2 + 5 = (− 3 2 2 ) = 3𝑥 𝑦 𝑧 + 4𝑥𝑧 − 4𝑦 𝑦 (3𝑥 2 𝑦 2 𝑧 3 + 2𝑧 2 + 5)′𝑦 ⋅ (3𝑥 3 𝑦 2 𝑧 2 + 4𝑥𝑧 − 4𝑦) − (3𝑥 2 𝑦 2 𝑧 3 + 2𝑧 2 + 5) ⋅ (3𝑥 3 𝑦 2 𝑧 2 + 4𝑥𝑧 − 4𝑦)′𝑦 . (3𝑥 3 𝑦 2 𝑧 2 + 4𝑥𝑧 − 4𝑦)2 Так как (3𝑥 2 𝑦 2 𝑧 3 + 2𝑧 2 + 5)′𝑦 = 3𝑥 2 (𝑦 2 𝑧 3 )′𝑦 + 2(𝑧 2 )′𝑦 + (5)′𝑦 = = 3𝑥 2 ((𝑦 2 )′𝑦 ⋅ 𝑧 3 + 𝑦 2 ⋅ (𝑧 3 )′𝑦 ) + 2(𝑧 2 )′𝑦 + 0 = = 3𝑥 2 (2𝑦 ⋅ 𝑧 3 + 𝑦 2 ⋅ 3𝑧 2 𝑧𝑦′ ) + 2 ⋅ 2𝑧𝑧𝑦′ = 6𝑥 2 𝑦𝑧 3 + 9𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 𝑧𝑦′ + 4𝑧𝑧𝑦′ , (3𝑥 3 𝑦 2 𝑧 2 + 4𝑥𝑧 − 4𝑦)′𝑦 = 3𝑥 3 (𝑦 2 𝑧 2 )′𝑦 + 4𝑧(𝑧)′𝑦 − 4(𝑦)′𝑦 = = 3𝑥 3 ((𝑦 2 )′𝑦 ⋅ 𝑧 2 + 𝑦 2 ⋅ (𝑧 2 )′𝑦 ) + 4𝑧 ⋅ 𝑧𝑦′ − 4 ⋅ 1 = = 3𝑥 3 (2𝑦 ⋅ 𝑧 2 + 𝑦 2 ⋅ 2𝑧𝑧𝑦′ ) + 4𝑧𝑧𝑦′ − 4 = 6𝑥 3 𝑦𝑧 2 + 6𝑥63 𝑦 2 𝑧𝑧𝑦′ + 4𝑧𝑧𝑦′ − 4, то 1 ⋅ (3𝑥 3 𝑦 2 𝑧 2 + 4𝑥𝑧 − 4𝑦𝑧)2 ⋅ [(6𝑥 2 𝑦𝑧 3 + 9𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 𝑧𝑦′ + 4𝑧𝑧𝑦′ ) ⋅(3𝑥 3 𝑦 2 𝑧 2 + 4𝑥𝑧 − 4𝑦𝑧) − ′′ 𝑧𝑥𝑦 = −(3𝑥 2 𝑦 2 𝑧 3 + 2𝑧 2 + 5) ⋅ (6𝑥 3 𝑦𝑧 2 + 6𝑥63 𝑦 2 𝑧𝑧𝑦′ + 4𝑧𝑧𝑦′ − 4)], - 26 - где 𝑧 = 𝜙(𝑥, 𝑦), 𝑧𝑦′ = 4𝑧−2𝑥 3 𝑦𝑧 3 3𝑥 3 𝑦 2 𝑧 2 +4𝑥𝑧−4𝑦𝑧 . § 6. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 6.1. Определение максимума и минимума функции двух переменных Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) определена и непрерывна в области 𝐷 и точка 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) – точка этой области. Определение. Точка 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) называется точкой максимума функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), если существует окрестность точки 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ), такая что для любой точки 𝑀(𝑥, 𝑦) из этой окрестности, причем 𝑀 ≠ 𝑀0 , выполняется неравенство 𝑓(𝑀) < 𝑓(𝑀0 ). Например, функция 𝑧 = −(𝑥 2 + 𝑦 2 ) (рис. 6.1) имеет максимум в точке (0,0), так как в этой точке 𝑧 = 0, а в любой ее окрестности 𝑧 < 0. Рис. 6.1 Рис. 6.2 Определение. Точка 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) называется точкой минимума функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), если существует окрестность точки 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ), такая что для любой точки 𝑀(𝑥, 𝑦) из этой окрестности, причем 𝑀 ≠ 𝑀0 , выполняется неравенство 𝑓(𝑀) > 𝑓(𝑀0 ). Например, функция 𝑧 = 3 + √𝑥 2 + 𝑦 2 (рис. 6.2) имеет минимум в точке (0,0), так как в этой точке 𝑧 = 3, а в любой ее окрестности 𝑧 > 3. Максимум и минимум функции называются ее экстремумами. - 27 - 6.2. Необходимое условие существования экстремума Теорема. Если функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет экстремум в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) и в этой точке существуют частные производные 𝜕𝑧 𝜕𝑥 и 𝜕𝑧 𝜕𝑦 , то они равны нулю. Замечание 1. Теорема не является достаточным условием существования экстремума. Иначе говоря, что если в некоторой точке частные производные первого порядка одновременно равны нулю, то это не означает, что в данной точке есть экстремум. Например, для функции 𝑧 = 𝑥 ⋅ 𝑦 частные производные равны 𝑥. В точке (0,0): 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 0, 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑦, 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = = 0. Однако, какова бы ни была окрестность точки (0,0), в ней найдутся точки, для которых 𝑧 = 𝑥 ⋅ 𝑦 > 0 (например, на прямой 𝑦 = 𝑥), и найдутся точки, для которых 𝑧 = 𝑥 ⋅ 𝑦 < 0 (например, на прямой 𝑦 = −𝑥). Значит, в этой точке экстремума нет. Точки, в которых 𝜕𝑧 𝜕𝑥 и 𝜕𝑧 𝜕𝑦 одновременно равны нулю, называются стацио- нарными точками функции. Замечание 2. Может оказаться, что частные производные первого порядка 𝜕𝑧 𝜕𝑥 и 𝜕𝑧 𝜕𝑦 в некоторой точке не существуют, и в этой точке есть экстремум. Определение. Точка 𝑀0 называется критической точкой, если в этой точке частные производные либо равны нулю, либо не существуют вовсе. Теорема. Если в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет экстремум, то в этой точке частные производные по всем переменным либо обращаются в ноль, либо не существуют вовсе. 6.3. Достаточное условие существования экстремума Теорема. Если в окрестности точки 𝑀0 для функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) существуют непрерывные частные производные первого и второго порядка, и при этом в самой точке 𝑀0 частные производные функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) по всем пере𝜕𝑓2 (𝑀0 ) 𝜕𝑓2 (𝑀0 ) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥𝜕𝑦 | 𝜕𝑓2 (𝑀0 ) менным обращаются в ноль, то если определитель 𝛥 = |𝜕𝑓2(𝑀 0) 𝜕𝑦𝜕𝑥 в точке 𝑀0 есть экстремум, причем максимум, если 𝜕𝑓2 (𝑀0 ) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑓2 (𝑀0 ) 𝜕𝑥 2 > 0, то 𝜕𝑦 2 < 0, и минимум, если > 0. Если 𝛥 < 0, то экстремума нет. Замечание. Если в стационарной точке 𝑀0 определитель 𝛥 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым, то есть в точке 𝑀0 экстремум может - 28 - быть, а может и не быть. В этом случае вопрос о наличии экстремума решается с помощью производных высших порядков, необходимо дополнительное исследование; также данный вопрос можно решать, используя определение экстремумов функции двух переменных. Пример 6.1. Исследовать на экстремумы функцию 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1. Решение. 1. Найдем стационарные точки функции, то есть найдем частные производные и приравняем их к нулю: 𝑧𝑥′ = 0 2𝑥 = 0 𝑥=0 ′ ′ 𝑧𝑥 = 2𝑥, 𝑧𝑦 = 2𝑦; { ′ ⇔{ ⇒{ . 2𝑦 = 0 𝑦=0 𝑧𝑦 = 0 Итак, 𝑀(0,0) – стационарная точка. 2. Составим определитель 𝛥: ″ ″ ″ ″ 𝑧𝑥𝑥 = 2, 𝑧𝑥𝑦 = 0, 𝑧𝑦𝑥 = 0, 𝑧𝑦𝑦 = 2; 2 0 𝛥=| | = 4 > 0. 0 2 Так как 𝛥не зависит от 𝑥 и 𝑦, то он больше нуля в любой точке плоскости, в том числе и в точке 𝑀(0,0). Следовательно, в точке 𝑀(0,0) по теореме 2 экстремум ″ есть. Так как 𝑧𝑥𝑥 = 2 > 0, то в точке 𝑀 функция имеет минимум: 𝑧𝑚𝑖𝑛 . Графиком рассмотренной функции является параболоид вращения. Наименьшая аппликата поверхности 𝑧 = 1. Пример 6.2. Исследовать на экстремумы функцию 𝑧 = 𝑥 2 − 𝑦 2 . Решение. 1. Найдем стационарные точки функции: 𝑧𝑥′ = 0 2𝑥 = 0 𝑥=0 ′ ′ 𝑧𝑥 = 2𝑥, 𝑧𝑦 = −2𝑦; { ′ ⇔{ ⇒{ . −2𝑦 = 0 𝑦=0 𝑧𝑦 = 0 Итак, 𝑀(0,0) – стационарная точка. 2. Составим определитель 𝛥: ″ ″ ″ ″ 𝑧𝑥𝑥 = 2, 𝑧𝑥𝑦 = 0, 𝑧𝑦𝑥 = 0, 𝑧𝑦𝑦 = −2; 2 0 𝛥=| | = −4 < 0. 0 −2 Так как 𝛥 < 0 в любой точке плоскости (𝛥 не зависит от 𝑥 и 𝑦), то и стационарной точке 𝑀 𝛥 < 0. Следовательно, по достаточному условию существования экстремума, в этой точке экстремума нет. Графиком рассмотренной функции является гиперболический параболоид. - 29 - Пример 6.3. Исследовать на экстремумы функцию 𝑧 = 𝑥 3 + 8𝑦 3 − 6𝑥𝑦. Решение. 1. Найдем стационарные точки функции: 𝑧𝑥′ = 3𝑥 2 − 6𝑦, 𝑧𝑦′ = 24𝑦 2 − 6𝑥; 𝑧𝑥′ = 0 3𝑥 2 − 6𝑦 = 0 𝑥 2 − 2𝑦 = 0 { ′ ⇔{ ⇒{ 2 ⇒ 𝑥 = 4𝑦 2 ; 2 𝑧𝑦 = 0 24𝑦 − 6𝑥 = 0 4𝑦 − 𝑥 = 0 1 16𝑦 4 − 2𝑦 = 0 ⇒ 2𝑦(8𝑦 3 − 1) = 0 ⇒ 𝑦1 = 0, 𝑦2 = . 2 𝑥 = 0 𝑥2 = 1 1. { { 1 𝑦1 = 0 𝑦2 = 2 1 Таким образом, имеем две стационарные точки 𝑀1 (0,0) и 𝑀2 (1, ). 2 2. Составим определитель 𝛥: ″ ″ ″ ″ 𝑧𝑥𝑥 = 6𝑥, 𝑧𝑥𝑦 = −6, 𝑧𝑦𝑥 = −6, 𝑧𝑦𝑦 = 48𝑦; 6𝑥 −6 𝛥=| | = 6𝑥 ⋅ 48𝑦 − (−6)2 = 36(8𝑥𝑦 − 1). −6 48𝑦 Найдем значения определителя в стационарных точках: 𝛥(𝑀1 ) = 36(8 ⋅ 0 ⋅ 0 − 1) = −36 < 0, следовательно, в точке 𝑀1 экстремума нет. 1 𝛥(𝑀2 ) = 36 (8 ⋅ 1 ⋅ − 1) = 36 ⋅ 3 = 108 > 0, следовательно, в точке 𝑀2 экстре2 ″ (𝑀 ) 𝑧𝑥𝑥 2 мум есть. Так как = 6 > 0, следовательно, в точке 𝑀2 – минимум. Пример 6.4. Исследовать на экстремум функцию 𝑧 = 6𝑥𝑦 − 4𝑥 3 − 4𝑦 3 . Решение. 1. Найдем стационарные точки функции. 𝑧𝑥′ = 6𝑦 − 12𝑥 2 , 𝑧𝑦′ = 6𝑥 − 12𝑦 2 . 𝑧𝑥′ = 0, { ′ 𝑧𝑦 = 0; ⇒ 6𝑦 − 12𝑥 2 = 0, { 6𝑥 − 12𝑦 2 = 0; ⇒ 𝑦 = 2𝑥 2 , { 𝑥 − 8𝑥 4 = 0; 𝑥 = 0, { 𝑦 = 0; 𝑦 = 2𝑥 , 1 𝑥 = 0, ⇒ { 𝑥 = , 1 [ 2 { 𝑥= ; 1 2 𝑦 = . [ 2 1 1 Получили две стационарные точки 𝑀1 (0,0) и 𝑀2 ( , ). 2 2 2 2. Составим определитель 𝛥: ″ ″ ″ ″ 𝑧𝑥𝑥 = −24𝑥, 𝑧𝑥𝑦 = 6, 𝑧𝑦𝑦 = −24𝑦, 𝑧𝑦𝑥 = 6; - 30 - −24𝑥 6 𝛥=| | = 576𝑥𝑦 − 36. 6 −24𝑦 Найдем значения определителя в стационарных точках: Так как 𝛥(0, 0) = −36 < 0, то в точке 𝑀1 (0,0) экстремума нет. 1 1 1 1 Так как 𝛥 ( , ) = 144 − 36 = 108 > 0, то в точке 𝑀2 ( , ) экстремум 2 2 2 2 есть. Учитывая, что 1 1 2 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑓2 ( , ) 1 1 = −12 < 0, то точка 𝑀2 ( , ) – точка максимума. 2 2 - 31 - § 7. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) непрерывна в замкнутом ограниченном множестве 𝐷. Тогда по теореме Вейерштрасса эта функция имеет на множестве 𝐷 наибольшее и наименьшее значения. Отсюда следует, что точка 𝑀0 , в которой функция достигает наибольшего значения, может лежать и внутри множества и на его границе. Если точка 𝑀0 окажется внутренней точкой множества 𝐷, то в точке 𝑀0 частные производные либо равны нулю, либо не существуют вовсе, то есть точка 𝑀0 будет критической точкой. Аналогично обстоит дело с наименьшим значением, которое достигается либо внутри множества 𝐷, либо на его границе. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на непрерывном замкнутом множестве D 1. Убедиться, что 𝐷 – замкнутое ограниченное множество. 2. Убедиться, что функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) непрерывна на множестве 𝐷. Сделать вывод о существовании наибольшего и наименьшего значений функции на множестве. 3. Найти точки, подозрительные на экстремум (точки, в которых частные производные функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) либо одновременно равны нулю, либо одновременно не существуют), лежащие внутри множества 𝐷. 4. Исследовать функцию 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) на наибольшее и наименьшее значения на границе множества 𝐷. Для этого: а) записать уравнение границы (кривой), б) записать вил функции на этой границе, подставив уравнение границы в функцию (получим функцию одной переменной, непрерывную на отрезке), в) найти точки, подозрительные на экстремум внутри отрезка, г) выписать найденные в пункте в) точки и точки на концах рассматриваемого отрезка. 5. Найти значения функции в точках пунктов 3 и 4г. Выбрать среди найденных значений наибольшее и наименьшее. - 32 - Замечание. Как и для функции одного переменного не надо путать наибольшее (наименьшее) значение функции на множестве с максимумом (минимумом) в точке. На рисунке 7.1 функция имеет максимум в точке 𝑀0 , а наибольшее значение в точке 𝑀1 на границе области. При этом нельзя сказать, что функция в точке 𝑀1 Рис. 7.1 имеет максимум. Пример 7.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 𝑧 = 𝑥 3 𝑦 2 − 2𝑥 2 𝑦 3 + 2𝑦 − 6 ≤ 𝑥 ≤ −𝑦 5𝑥 2 𝑦 2 на замкнутом множестве 𝐷: { . 𝑦≥0 Решение. 1. Построим множество 𝐷 (рис. 9.2), имеющее границы 𝑥 = −𝑦, 𝑥 = 2𝑦 − 6, 𝑦 = 0. 𝐷 является замкнутым ограниченным множеством. Рис. 9.2 3 2 2 3 2 2 2. Функция 𝑧 = 𝑥 𝑦 − 2𝑥 𝑦 + 5𝑥 𝑦 является целой рациональной функцией двух переменных, а такая функция непрерывна на всей плоскости, а значит и в данном замкнутом ограниченном множестве D. 3. Найдем точки, подозрительные на экстремум, лежащие внутри множества 𝐷: 𝑧𝑥′ = 3𝑥 2 𝑦 2 − 4𝑥𝑦 3 + 10𝑥𝑦 2 , 𝑧𝑦′ = 2𝑥 3 𝑦 − 6𝑥 2 𝑦 2 + 10𝑥 2 𝑦. 𝑧𝑥′ = 0, { ′ 𝑧𝑦 = 0; 3𝑥 2 𝑦 2 − 4𝑥𝑦 3 + 10𝑥𝑦 2 = 0, ⇒ { 3 2𝑥 𝑦 − 6𝑥 2 𝑦 2 + 10𝑥 2 𝑦 = 0; 𝑥𝑦 2 (3𝑥 − 4𝑦 + 10) = 0, { 2 𝑥 𝑦(2𝑥 − 6𝑦 + 10) = 0. Так как мы ищем те критические точки, которые лежат внутри области, то ни x ни y не могут быть равны нулю. Поэтому достаточно решить систему: 3𝑥 − 4𝑦 + 10 = 0, 𝑥 = −2, ⇒ { { 𝑦 = 1. 2𝑥 − 6𝑦 + 10 = 0; Точка 𝑀0 (−2, 1) лежит внутри области D. Найдем значение функции в точке 𝑀0 (−2, 1): 𝑧(−2, 1) = (−2)3 ⋅ 12 − 2 ⋅ (−2)2 ⋅ 13 + 5 ⋅ (−2)2 ⋅ 12 = 4. - 33 - 4. Найдем значение функции на границе области. 1) Исследуем функцию на участке границы 𝑂𝐴: 𝑦 = −𝑥, 𝑥 ∈ [−2, 0]. Найдем вид функции 𝑧(𝑥, 𝑦) в точках этой границы. 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑧(𝑥, −𝑥) = 𝑥 3 ⋅ (−𝑥)2 − 2𝑥 2 ⋅ (−𝑥)3 + 5𝑥 2 ⋅ (−𝑥)2 = 3𝑥 5 + 5𝑥 4 Обозначим эту функцию 𝑓(𝑥) = 3𝑥 5 − 5𝑥 4 , 𝑥 ∈ [−2, 0], то есть 𝑓(𝑥) = 𝑧(𝑥, −𝑥). Исследуем функцию 𝑓(𝑥) на наибольшее и наименьшее значения на отрезке [−2, 0]. Найдем критические точки, то есть точки, в которых 𝑓 ′ (𝑥) = 0 или не существует. 𝑓 ′ (𝑥) = 15𝑥 4 + 20𝑥 3 , 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇒ 15𝑥 4 + 20𝑥 3 = 0, 4 𝑥 = 0или𝑥 = − ∈ [−2, 0]. 3 Найдем значения функции 𝑓(𝑥) в найденных точках и на концах отрезка [−2, 0]: 𝑓(0) = 3 ⋅ 05 − 5 ⋅ 04 = 0 𝑓(−2) = 3 ⋅ (−2)5 − 5 ⋅ (−2)4 = −16 − наименьшее, 4 4 5 4 4 256 𝑓 (− ) = 3 ⋅ (− ) − 5 ⋅ (− ) = − наибольшее. 3 3 3 81 Запишем найденные значения для функции 𝑧(𝑥, 𝑦), учитывая, что 𝑓(𝑥) = 𝑧(𝑥, −𝑥): 𝑧(−2, 2) = 𝑓(−2) = −16, 4 4 4 𝑧 (− , ) = 𝑓 (− ) = 3 3 3 256 81 . 2) Исследуем функцию на участке границы 𝐴𝐵: 𝑥 = 2𝑦 − 6, 𝑦 ∈ [0, 2]. Найдем вид функции 𝑧(𝑥, 𝑦) в точках этой границы. 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑧(2𝑦 − 6, 𝑦) = (2𝑦 − 6)3 ⋅ 𝑦 2 − 2(2𝑦 − 6)2 ⋅ 𝑦 3 + 5(2𝑦 − 6)2 ⋅ 𝑦 2 = = −(2𝑦 − 6)2 ⋅ 𝑦 2 Обозначим эту функцию 𝑔(𝑦) = −(2𝑦 − 6)2 ⋅ 𝑦 2 , 𝑦 ∈ [0, 2], то есть 𝑔(𝑦) = 𝑧(2𝑦 − 6, 𝑦). Исследуем функцию 𝑔(𝑦) на наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0, 2]. Найдем критические точки, то есть точки, в которых 𝑔′ (𝑦) = 0 или не существует: 𝑔′ (𝑦) = −4(2𝑦 − 6) ⋅ 𝑦 2 − 2(2𝑦 − 6)2 ⋅ 𝑦 = −8𝑦(𝑦 − 3)(2𝑦 − 3), −8𝑦(𝑦 − 3)(2𝑦 − 3) = 0 ⇒ 𝑦 = 0, 3 𝑦 = ∈ [0, 2], 2 𝑦 = 3 ∉ [0, 2]. Найдем значения функции 𝑔(𝑦) в найденных точках и на концах отрезка [0, 2]: - 34 - 𝑔(0) = −(2 ⋅ 0 − 6)2 ⋅ 02 = 0 − 𝑔(2) = −(2 ⋅ 2 − 6)2 ⋅ 22 = −16, 3 3 2 наибольшее, 3 2 1 𝑔 ( ) = − (2 ⋅ ( ) − 6) ⋅ ( ) = −20 2 2 2 4 − наименьшее. Запишем найденное для функции 𝑧(𝑥, 𝑦), учитывая, что 𝑔(𝑦) = 𝑧(2𝑦 − 6, 𝑦). 𝑧(−6, 0) = 𝑔(0) = 0, 3 3 1 𝑧 (−3, ) = 𝑔 ( ) = −20 . 2 2 4 3) Исследуем функцию на участке границы 𝑂𝐵: 𝑦 = 0, 𝑥 ∈ [−6, 0]. Найдем вид функции 𝑧(𝑥, 𝑦) в точках этой границы. 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑧(𝑥, 0) = 𝑥 3 ⋅ 02 − 2𝑥 2 ⋅ 03 + 5𝑥 2 ⋅ 02 = 0, ∀𝑥 ∈ [−6, 0]. На участке 𝑂𝐵 наибольшее и наименьшее значения равны нулю и они достигаются во всех точках отрезка 𝑂𝐵. 5. Выберем из всех полученных значений наибольшее и наименьшее. Данная функция в замкнутой ограниченной области D имеет наибольшее значение в точке 𝑀1 (−2, 1), при этом наиб 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑧(−2, 1) = 4, и наимень𝐷 3 3 1 шее значение в точке 𝑀2 (−3, ), при этом наим 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑧 (−3, ) = −20 . 2 2 4 𝐷 - 35 - ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 1. ( C ) = 0 2. ( x ) = 1 . 3. ( u + v − w) = u + v − w . 4. ( u  v ) = u v + v u . 5. ( u  v  w) = u v w + 6. ( C u ) = C u , 15. ( ln u ) = 17. ( sin u ) = cos u  u . 1  u . u 1  u . 16. ( log a u ) = u ln a . + u v w + u v w 18. . 𝐶 - 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ( cos u ) = − sin u  u . 19. 20. ( tg u ) = ( ctg u ) = − 1  u . cos 2 u 1  u . 2 sin u  u  u v − u v 7.   = . 2 v v   21.  u  u 8.   = . C C   22. ( arccos u ) = − C  C  9.   = − 2  u  . u u   10. u =  u  −1 u . ( ) 11. ( u ) = 2 1 u u . 1  1  12.   = − 2  u  . u u u  13. e = e u  u . ( ) ( arcsin u ) = 1 1− u 2  u . 1 1− u 23. ( arctg u ) = 25. ( shu ) = chu  u . 26. ( chu ) = shu  u 27. ( thu ) = 2  u . 1  u . 2 1+ u 1  u . 24. ( arcctg u ) = − 1+ u2 - 36 - 1  u . ch 2 u 14. ( a u ) = a u ln a  u 28. - 37 - ( cthu ) = − 1  u . sh 2 u ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1. Эллипсоид 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑎 𝑏 𝑐2 + 2 + 2 = 1, где а, b, с – полуоси. z c b O a y х 2. Однополостной гиперболоид 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑎 𝑏 𝑐2 + 2 − 2 = 1, где а и b – действительные полуоси, с – мнимая полуось. z 0 b a x - 38 - y 3. Двуполостный гиперболоид 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑎 𝑏 𝑐2 + 2 − 2 = −1, где с – действительная полуось, а и b – мнимые полуоси. z c x 4. Конус 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑎 𝑏 𝑐2 + 2 − 2 y = 0. z a b c x y - 39 - 5. Гиперболический параболоид 𝑧 = 𝑥2 𝑦2 𝑎 𝑏2 − 2 . z y x 6. Эллиптический параболоид 𝑧 = 𝑥2 𝑦2 𝑎 𝑏2 + 2 z x h z y x - 40 - y . 7. Эллиптический цилиндр 𝑥2 𝑦2 𝑎 𝑏2 + 2 = 1. z у x 8. Гиперболический цилиндр 𝑥2 𝑦2 𝑎 𝑏2 − 2 z x y - 41 - = 1. 9. Параболический цилиндр 𝑦 2 = 2𝑝𝑥. z y x - 42 -