Основные понятия и определения безотказности АС.

Лекция 2. Основные понятия и определения безотказности АС (10.09.2015) Учебные вопросы 1. Классификация отказов АС 2. Количественные характеристики безотказности. Вероятность безотказной работы. 3. Количественные характеристики безотказности. Средняя наработка до отказа. 4. Основное уравнение безотказности. 5. Взаимосвязь показателей безотказности Введение Одним из основных допущений теории надежности является гипотеза о случайном характере события, связанного с переходом изделия из одного технического состояния в другое. Термин «событие» широко используется в теории вероятностей и обозначает факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. В теории вероятностей для количественного сравнения между собой событий по степени их возможности используют такую меру как вероятность. Наибольший интерес в инженерной практике вызывает анализ вероятностных характеристик отказа, как случайного события перехода из исправного, работоспособного состояния в неработоспособное. Вопрос 1. Классификация отказов АС Критерии отказа, то есть признак, или совокупность признаков неработоспособного состояния АС, устанавливаются в нормативно-технической или конструкторской документации (НТД и КД). Работоспособность АС, главным образом, характеризуется нахождением значений заданных параметров изделия в пределах допусков, установленных для этих параметров. Поэтому критериями отказов могут быть несоответствия заданных параметров тем значениям, которые указаны, например, в техническом описании, руководстве пользователя или инструкции по эксплуатации. Для сложных технических систем, работоспособность которых может характеризоваться значениями многих тысяч параметров в НТД могут указываться последствия отказа, то есть явления, процессы, события и состояния, обусловленные возникновением отказа изделия. Для построения системы классификации отказов АС в первую очередь следует установить признаки классификации, которые могут как признаками самих отказов, так и характеристиками их последствий. 1. Признак классификации – Область (домен) возникновения отказ Элемент АС Нарушение правил эксплуатации АС Отказ элемента Частичный отказ АС Полный отказ АС Возможны случаи, когда отказ элемента одновременно означает и отказ изделия. Также возможны случаи, когда отказ элемента не означает отказа изделия. Возможно также нарушение работоспособности изделия при отсутствии отказавших элементов (нарушение правил эксплуатации, эксплуатация изделия в режимах и условиях, не предусмотренных НТД и КД). 2. Признак классификации – зависимость отказов элементов системы. Независимые отказы – отказ объекта, не обусловленный отказом другого объекта. Зависимые отказы – отказ объекта, обусловленный отказом другого объекта. Применяется также термин множественные отказы или отказы по общим причинам (ООП). Например, отказ блока питания типа «короткое замыкание» может привести к отказам нескольких технических объектов. Часто причинами ООП называют как ошибки операторов, так и такие явления как, пожары, наводнения и т.д. Иногда используют термин первичный отказ, то есть переход элемента в неработоспособное состояние, причиной которого стало несоответствие параметров самого элемента требованиям НТД. При вторичном отказе элемента причиной его неработоспособного состояния могут быть внешние факторы или процессы (Хенли, Кумамото -1984). 3. Признак классификации – скорость перехода в неработоспособное состояние. Внезапный отказ – отказ, характеризующийся скачкообразным изменением значений одного или нескольких заданных параметров изделия. Постепенный отказ – отказ, характеризующийся постепенным изменением значений одного или нескольких заданных параметров изделия. Внезапному отказу не предшествует направленное изменение какого-нибудь из наблюдаемых диагностических параметров изделия, в связи с чем прогнозирование момента возникновения внезапного отказа практически невозможно. Понятие внезапного отказа относительно в том смысле, что при более глубоком проникновении в сущность процессов, связанных с возникновением отказа, может появиться возможность обнаружения таких постепенных изменений в изделии, которые закономерно предшествуют возникновению данного отказа, ранее относившегося к внезапным. Постепенный отказ характеризуется наличием, по крайней мере, тенденции или закономерности изменения эксплуатационного параметра изделия за время, предшествующее моменту возникновения отказа. Это обычно позволяет с заданной вероятностью прогнозировать интервал времени или наработки, на котором следует ожидать возникновение постепенного отказа. 4. Признак классификации - устойчивость проявления последствий отказов Перемежающийся отказ Многократно возникающий самоустраняющийся отказ объекта одного и того же характера. Сбой (halting) Самоустраняющийся отказ, приводящий к кратковременному нарушению работоспсобности Перемежающийся отказ – многократно возникающий самоустраняющийся отказ объекта одного и того же характера. В практике эксплуатации АС часто используют термин сбой как кратковременную потерю работоспособности или временную ошибку. Введение этого термина связано с трудностью определения характера того или иного самоустраняющегося отказа. Часто признаком сбоя является возможность устранения отказа незначительным вмешательством оператора. 5. Признак классификации - стадия жизненного цикла изделия Конструкционный отказ – отказ, возникший в результате несовершенства или нарушений установленных правил и (или) норм конструирования изделия. Производственный отказ – отказ, возникший в результате несовершенства или нарушений установленного процесса изготовления или ремонта изделия, выполнявшегося на ремонтном предприятии. Эксплуатационный отказ – отказ, возникший в результате нарушений установленных правил и (или) условий эксплуатации изделия. 6. Признак классификации – возможность наблюдения последствий Явный отказ - Скрытый отказ - Отказ, обнаруживаемый визуально или штатными методами и средствами контроля и диагностирования при подготовке объекта к применению или в процессе его применения по назначению Отказ, не обнаруживаемый визуально или штатными методами и средствами контроля в диагностирования, но выявляемый при проведении технического обслуживания или специальными методами диагностики Вопрос 2. Количественные характеристики безотказности невосстанавливаемых АС. Вероятность безотказной работы элемента АС. Принятие гипотезы о случайном времени возникновения отказа элемента АС предопределяет математический аппарат, который должен быть использован для определения показателей надежности и построения на их основе теории надежности. Как известно, количественной характеристикой случайного события является его вероятность, которая по физическому смыслу близка к частоте появления события в достаточно длинной последовательности наблюдений при неизменных условиях (свойство однородности выборки). Поэтому основным математическим аппаратом теории надежности является теория вероятностей и математическая статистика. Согласно стандарта ГОСТ Р 27.004-2009 модель отказов определяет механизм развития процессов, приводящих к отказу изделия. Для описания случайного характера возникновения отказов применяют вероятностно-статистические методы. Обозначим:  - случайная величина времени (наработки) от момента включения АС до первого отказа (наработка до первого отказа). Исчерпывающей характеристикой любой случайной величины является закон распределения. Законом распределения случайной величины называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями, соответствующими этим значениям. Для дискретных случайных величин разновидностями закона распределения случайной величины являются ряд распределения и функция распределения. Для непрерывных случайных величин разновидностями закона распределения случайной величины являются функция распределения, плотность вероятности и функция риска. Функция распределения случайной величины  - это такая функция F(t) действительной переменной t , значение которой при каждом t равно вероятности выполнения неравенства   t, то есть F(t) = Pr {   t } Функция F (t) называется функцией распределения случайной величины  и является интегральной характеристикой этой случайной величины  в смысле, что любая количественная оценка случайного события однозначно определяется данной интегральной характеристики. Функция распределения обладает следующим 4-мя свойствами: 1. F(t) – непрерывна справа, т.е. . 2. F(t) – неубывающая положительная функция на всей числовой оси. 3. . 4. . Из теории вероятностей известно, что i) Pr( > t)=1- F(t); ii) Pr(a<   b)= F(b)- F(a). Согласно ГОСТ 27.002-2015 – вероятность безотказной работы (ВБР) определяется как вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ устройства не возникнет. Принимая момент первого включения за начало отсчета, запишем ВБР в виде R(t)= p ( t ) =Pr { >t }=1- F(t), t  0 . (1) R(t)=p(t) - вероятность того, что наработка до первого отказа превышает заданную величину t . Обозначение R(t) используется в англоязычной научно-технической литературе, R – reliability –безотказность. Далее для обозначения ВБР элемента будем использовать обозначения p(t), r(t), а для АС - Р(t), R(t). Из физических соображений очевидно, что функция p(t) монотонно убывает от 1 до 0 в предположении, что в момент включения средство работоспособно. График функции p ( t ) показан на рис.1. Рисунок 1 – Вероятность безотказной работы, вероятность отказа и плотность распределения вероятности Вероятность q (t) того, что отказ произойдет после включения через время, не превышающее заданной величины t , то есть   t, определяется функцией распределения случайной величины наработки до отказа, то есть q(t)=Pr{   t }=F(t)=1-R(t), t  0. (2) Будем обозначается как q (t) вероятность отказа элемента и Q (t)- вероятность отказа АС. График функции q (t) представлен на рис.1. Функция распределения случайной величины является неубывающей функцией и для задач определения показателей безотказности АС q ( )=1. Если функция F(t) является гладкой или, по крайней мере дифференцируемой, то можно найти плотность вероятности случайной величины - времени первого отказа в виде . (3) Функция плотности вероятности является дифференциальной характеристикой случайной величины. Плотность вероятности случайной величин t (по физическому смыслу производной) может рассматриваться как предел отношения вероятности попадания этой случайной величины в бесконечно малый интервал, к длине этого интервала, стремящейся к нулю: (4) График плотности вероятностей случайной величины наработки до первого отказа представлен на рис. 1. Из (3) следует, что вероятность безотказной работы p(t) на интервале (0, t ) равна , (5) а вероятность отказа , (6) то есть равны соответствующим площадям под кривой функции плотности (рис.1). Вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал [a,b) равна приращению функции распределения F(x) на этом интервале (рис.2): Pr(a  x < b) =F(b) – F(a) = (7) Рисунок 2 – Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал Физический смысл вероятности попадания случайной величины в заданный интервал можно интерпретировать как вероятность отказа изделия на интервале [a,b). Вопрос 3. Количественные характеристики безотказности. Средняя наработка до отказа элемента АС. Для многих практических задач необходимо знать значения моментов случайной величины наработки до отказа. Моментом -го порядка называют интеграл . (8) На практике чаще всего используют моменты первых двух порядков. Момент первого порядка - математическое ожидание случайной величины наработки устройства до первого отказа обозначают Tcp или Tо и называют средней наработкой до отказа или средним временем безотказной работы. Согласно (8) имеем . (9) Используя формулу интегрирования по частям и, приняв u( x)=t, u’(x)=1, v(x)= p ( t ), v'(x)= - f ( t ), находим из (9) . Можно показать, что , если m k < и p(0)=1. Тогда . (10) Таким образом, среднее время безотказной работы равно площади под кривой вероятности безотказной работы. Эта величина часто используется для сравнения ИС по показателю безотказности. Вопрос 4. Основное уравнение безотказности (надежности) Пусть событие A состоит в том, что после включения АС первый отказ произошел на интервале, не превосходящем величину +t , то есть A: 0 <  +t, а событие B состоит в том, что отказ наступил на интервале, превосходящем величину t, то есть на интервале {0,t} отказа не произошло: B :  > t. Вероятность события B есть вероятность безотказной работы R(t) на интервале {0,t}. Пересечение событий A и B состоит в том, что отказ произошел на интервале +t, следующем за интервалом t безотказной работы, то есть AB : t <   +t. Графическая иллюстрация этого события представлена на рис.4. Рисунок 4. Вероятность пересечения событий A и B P(AB) согласно теоремы умножения вероятностей равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события, вычисленную при условии, что первое имело место. Тогда Pr{AB} = Pr{B} Pr{A|B}. Вероятность отказа на интервале , следующем за интервалом  (11), где согласно (7) Pr{AB}=Pr{ t <   +t)=F(+t)-F(t) и Pr{B}=R(t). Тогда (12). Учитывая (1) и (2), заменим в (12) F(+t)=1-R(+t) и F(t)=1-R(t). Тогда вероятность отказа на интервале времени, следующим за интервалом безотказной работы равна. Следовательно, вероятность безотказной работы изделия на интервале времени рассчитывается следующим образом (13) То есть, вероятность безотказной работы изделия на интервале времени равна отношению значений безотказной работы в конце интервала к значению безотказной работы в начале интервала. Найдем условную плотность вероятности отказа изделия на некотором бесконечно мелом интервале времени. Для этого следует найти производную от условной вероятности отказа (12): В теории вероятностей отношение плотности вероятности к обратной функции распределения = называют функцией риска и обозначают (t). В теории надежности такое отношение называют интенсивностью отказов. . (14) Согласно ГОСТ 27.002-2015 интенсивность отказов определяется как условная плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник. Для всех t  0 функция  ( t ) неотрицательна и  (0)=0. Произведение (t)t приближенно равно вероятности того, что изделие откажет в интервале (t+t) при условии, что оно не отказало до момента времени t: q(t| t) (t)t. Одним из свойств функции риска является то, что функция риска не может быть ниже функции плотности (рис.5), что следует из формулы (1.11), при F(t) положительна и не превышает 1. Рисунок 5 – графики плотности вероятности и функции риска Этап Нормальная эксплуатация Этап старения приработки Представим (14) в виде . (15) Это преобразование выполнено с использованием основной формулы дифференцирования: . Интегрируя обе части уравнения (15) с учетом, что p(0)=0 , , откуда . (16) Уравнение (16) называется основным уравнением безотказности. Вопрос 5. Взаимосвязь показателей безотказности Интенсивность отказов, вероятность безотказной работы, следовательно, среднее время безотказной работы, функция плотности вероятности и интегральная функция распределения связаны взаимно-однозначными формулами. Зная любую из перечисленных характеристик безотказности, можно определить все показатели безотказности (Таблица 2). Таблица 2 p ( t ) q (t) f (t)  (  ) p ( t ) _ 1- p ( t ) q (t) 1 - q (t) - f (t) -  (  ) - Литература. 1. ГОСТ 27.002-2015. Надежность в технике. Термины и определения. 2. Козлов Б.А., Ушаков И.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. М.: Сов. Радио. 1975. 3. Левин Б.Р. Теория надежности радиотехнических систем. М.: Сов. Радио. 1978. 4. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. СПб, Наука, 2001.