Основные понятия и элементы линейных электрических цепей

Краткое содержание Глава 3. Линейные электрические цепи синусоидального тока. 3.1. Основные понятия и элементы линейных электрических цепей при действии синусоидальных источников ЭДС и тока 3.1.1. Основные понятия 3.1.2. Элементы цепей переменного тока 3.1.3. Мгновенная, активная, полная и реактивная мощность 1 Основную роль в электроэнергетике и промышленной электротехнике играет переменный ток (напряжение), что объясняется преимуществом его производства и распределения. Переменный ток (напряжение) можно получить с помощью машинного генератора, электронного генератора, инверторов (устройство, преобразующее постоянный ток в переменный). Основные преимущества использования переменного тока: • генераторы переменного тока более просты по устройству, надежней в работе и проще в эксплуатации по сравнению с машинами постоянного тока; • в двигателях переменного тока более просто и надежно электрическая энергия преобразуется в механическую; • возможность просто и с минимальными потерями преобразовывать напряжение (повышать и понижать, преобразовывать частоту). 2 Цепь переменного тока содержит резисторы, катушки и конденсаторы и источники ЭДС, изменяющие свое значение во времени (например, синусоидальные). Обозначения: e(t) (переменный источник напряжения), J(t) (переменный источник тока), i(t), u(t) (переменный ток и напряжение) (мгновенные значения). Токи и напряжения, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени в неизменной последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, по истечении которого мгновенные значения повторяются называется период Т: u (t ) = u (t + T ) , i (t ) = i (t + T ) В установившемся режиме в линейных цепях периодические токи и напряжения могут быть вызваны только действием источников периодических ЭДС и токов: e(t ) = e(t + T ) J (t ) = J (t + T ) 3 Синусоидальные токи и напряжения – периодические, изменяющиеся во времени по синусоидальному закону i (t ) = I m sin(t + i ), u (t ) = U m sin(t + u ) Осциллограмма напряжения Период Пер Т Осциллограмма тока Осциллограммы синусоидальных тока и напряжения 4 При описании процессов в линейных электрических цепях все токи, напряжения и ЭДС которых изменяются по синусоидальному закону, используются следующие понятия: i (t ) = Im АМПЛИТУДА sin (t + i ) ФАЗА Величину  , представляющую собой скорость изменения фаз, называют угловой частотой, а f – частотой тока, напряжения, ЭДС. За период колебаний этих величин их фазы увеличиваются на 2 или 360 . В отечественной электроэнергетике: f=50 Гц, Т=20 мС, =314 рад/с. 5 Временная диаграмма синусоидального тока (напряжения, ЭДС), т. е. зависимость значения тока (напряжения, ЭДС) от времени представляет синусоиду. График синусоидальной величины строится по заданному уравнению для мгновенного значения или по рассчитанным значениям амплитуды и начальной фазы. Частота тока (напряжения) равна частоте ЭДС, период отмечается в [с] (секундах), [мс] (миллисекундах), [мкс] (микросекундах), в угловых единицах период определяет изменение фазы на [рад/с] или [1/с]. Начальная фаза синусоидального тока (напряжения, ЭДС) i (u, e ,) определяет мгновенное значение тока при t=0, и на графике отсчитывается от начала координат до точки перехода значения тока (напряжения, ЭДС) через ноль к положительному значению. 6 Если две синусоидальные величины одной и той же частоты отличаются начальными фазами, то говорят, что они сдвинуты по фазе. При этом под сдвигом фаз понимают разность начальных фаз. Так, под сдвигом фаз синусоидального напряжения u (t ) = U m sin(t + u ) и тока i(t ) = I m sin(t + i ) понимается угол  = u − i . Этот угол определяет связь колебаний напряжения и тока, т.е. взаимное расположение их временных графиков. Если >0, то напряжение опережает ток на угол , если  <0, то напряжение отстает от тока на угол . 7 i (t ) = I m sin(t + i ) u (t ) = U m sin(t + u ) Синусоидальное напряжение отстает от синусоидального тока; сдвиг фаз  = u − i  0 t t временной сдвиг i (t ) = I m sin t u (t ) = U m sin(t − )  8 i(t ) = I m sin(t + i ) 0 Синусоидальное напряжение отстает от синусоидального тока; сдвиг фаз u (t ) = U m sin(t + u )  = u − i  0 t t временной сдвиг u (t ) = U m sin t i (t ) = I m sin(t + )  9 Действующее значение переменного тока (напряжения, ЭДС) - важнейшее расчетное понятие, так как связано с определением активной мощности. Действующее значение переменного тока численно равно постоянному току, который в одном и том же резисторе за один и тот же отрезок времени, равный периоду, выделяет одинаковое количество тепла (токи равны по тепловому действию). 10 Под действующим значением переменного тока понимают среднее квадратичное его значение за период: T 1 2 I= i dt  T0 i(t ) = I m sin t 2 1 2 2 I = ( I m sin t ) dt =  2 0 2 I m2 1 I m2 = (1 − cos 2t ) dt =  2 0 2 2 Im 2 I I= I2 = m 2 11 2 Для синусоидального тока (напряжения, ЭДС) действующее значение: Im I=  0,707 I m 2 Um U= = 0,707U m 2 Em E= = 0,707 Em 2 Приборы (амперметры, вольтметры) измеряют действующие значения. 10 А 220 В Показание вольтметра U=220 В. Амплитуда напряжения Um=310 В. Показание амперметра I=10 А. Амплитуда тока Im=14,1 А. 12 Элементами цепей переменного тока являются источники и приемники электромагнитной энергии: потребитель – резистор и накопители – катушка и конденсатор. Для упрощения исследования процессов реальную электрическую цепь переменного тока, как и цепь постоянного тока, представляют схемой замещения, составленной из идеализированных линейных элементов – приемников (резистор, индуктивный элемент, емкостной элемент) и идеальных (или реальных) источников ЭДС и тока. Параметры R, L и С идеализированных резистивного, индуктивного и емкостного элементов отражают основные свойства и параметры соответственно резисторов, индуктивных катушек и конденсаторов, обусловленные физическими процессами необратимого рассеяния энергии и обратимого накопления энергии, связанной с магнитным и электрическим полями. 13 Элемент Резистор Идеальная катушка Идеальный конденсатор Обозначение, параметр Компонентное уравнение u (t ) = Ri (t ) uL (t ) = L diL dt iC (t ) = C duC dt Уравнения ЭЦ Система линейных дифференциальных уравнений для переменных токов и напряжений 14 Резистор - элемент электрической цепи, предназначенный для использования его электрического сопротивления. Термину "сопротивление" соответствует несколько понятий: 1. Электрическое сопротивление в проводящих материалах связано с явлением электрического тока проводимости; вследствие этого явления проводник нагревается, часть электромагнитной энергии поглощается и выделяется в виде тепла. Способность какого-либо участка цепи поглощать электромагнитную энергию при прохождении по нему электрического тока характеризуют электрическим сопротивлением этого участка. 2. Скалярная величина, коэффициент пропорциональности между напряжением и током при записи закона Ома, параметр линейного резистора. Определяется отношением напряжения на участке цепи к току в нем. Единицей сопротивления является [Ом]. 3. Иногда в литературе "сопротивлением" называют устройство для регулирования, ограничения тока в цепи (например, реостат с плавной или ступенчатой регулировкой сопротивления). 15 Сопротивление проводника определяется геометрическими размерами проводника и физическими свойствами его материала. Для проводника цилиндрической формы сопротивление постоянному току может быть найдено по формуле: l R=  где -  удельное сопротивление материала [Ом∙м], l - длина проводника [м], S - площадь поперечного сечения [м2] S l  R1 l S R2 Сопротивление изоляции коаксиального кабеля (в случае реального диэлектрика и наличия токов утечки между жилой и оболочкой) может быть рассчитано по формуле R ln 2 R1 R изоляции = l 2  где - удельная проводимость изоляции [См∙м], l - длина проводника [м], R1 - радиус жилы [м], R2 - внутренний радиус оболочки [м] 16 Синусоидальное напряжение и ток в резисторе связаны законом Ома: u (t ) U m i (t ) = = sin(t + u ) = I m sin(t + i ) R R Ток и напряжение имеют одинаковую начальную фазу или совпадают по фазе. Амплитуды и действующие значения тока и напряжения связаны законом Ома Um U = =R Im I 17 Индуктивная катушка - элемент электрической цепи, предназначенный для использования его индуктивности и [или] его магнитного поля. Самоиндукция - электромагнитная индукция, вызванная изменением сцепляющегося с контуром магнитного потока, обусловленного электрическим током в этом контуре. Взаимная индукция - электромагнитная индукция, вызванная изменением сцепляющегося с контуром магнитного потока, обусловленного электрическими токами в других контурах. Магнитный поток ( Φ ) - скалярная величина, равная потоку магнитной индукции сквозь рассматриваемую поверхность. Потокосцепление ( Ψ ) - скалярная величина, равная произведению магнитного потока на число витков. 18 Линейная индуктивность (буквенное обозначение L ) численно равна отношению потокосцепления к току. Единицей индуктивности является [Генри]. Взаимная индуктивность (буквенное обозначение М ) равна отношению потокосцепления первой катушки к току второй катушки, обусловившим это потокосцепление вследствие явления взаимоиндукции. Единицей индуктивности является [Генри]. Ψ L= i Схемное изображение индуктивного элемента Схемное изображение индуктивносвязанных элементов 19 Цепями с большой индуктивностью являются обмотки генераторов, электродвигателей, трансформаторов и индукционных катушек со стальными сердечниками. Меньшей индуктивностью обладают прямолинейные проводники. Лампы накаливания, электронагревательные приборы индуктивностью почти не обладают. l Концентрический кабель с тонким цилиндрическим обратным проводом h R1 l R2  r  0 L= ( 0 ln + ) 2 R1 4 R2  r - магнитная проницаемость материала жилы Двухпроводная линия электропередачи r0 d 2r0 Lвозд d r = 1 d  0 ln r0 = l  20 Пусть в идеальной катушке ток iL (t ) = I Lm sin(t + i ) . Напряжение на индуктивном элементе diL  uL = L = LI Lm cos(t + i ) = I m sin(t + i + ) dt 2 Ток и напряжение имеют не совпадают по фазе, u  u = i + 2   = u − i = 2 Синусоидальный ток отстает по фазе от приложенного синусоидального напряжения на  2 (90) Амплитуды и действующие значения тока и напряжения связаны законом Ома U Lm U L = = L I Lm IL 21 Электрический конденсатор - элемент электрической цепи, предназначенный для использования его электрической емкости. Конденсатор представляет собой устройство для накопления электрических зарядов, систему проводников (обкладок), разделенных между собой диэлектриком. Линейная емкость (буквенное обозначение С) численно равна отношению заряда на обкладках конденсатора к напряжению (разности потенциалов) между ними . Единицей емкости является [Фарад]. q C= u Схемное изображение емкостного элемента 22 Емкость конденсатора зависит как от вида материала, образующего диэлектрик конденсатора, так и от геометрических размеров и формы конденсатора. r S Плоский конденсатор C=  r 0 S d  r1 S r 2 Плоский конденсатор с двумя слоями диэлектрика d1 d2 d l Цилиндрический конденсатор (кабель с изоляцией) r R1 R2 0 S C= d1 d 2 +  r1  r 2 2 r  0l C= R2 ln R1 23 Линии передачи высокого напряжения можно рассматривать как обкладки конденсатора. Емкость провода определяют не только относительно других проводов, но и относительно земли, стен помещений и других поверхностей. Значительной емкостью обладают кабельные линии ввиду близкого расположения токоведущих жил между собой. r0 d d 2r0 Двухпроводная линия электропередачи 0 C= l d ln r0 r0 d h1 , h2 2r0 2r0 h2 h1 Двухпроводная линия электропередачи вблизи поверхности земли C= 1 11 +  22 − 212 h Провод вблизи поверхности земли l  - потенциальные коэффициенты 20 C= l 2h ln r0 24 Пусть к идеальному конденсатору приложено напряжение uC (t ) = U Cm sin(t + u ) . Ток в емкостном элементе duC  iC = C = CU Cm cos(t + u ) = I Cm sin(t + u + ) dt 2 Ток и напряжение имеют не совпадают по фазе, i  i = u + 2   = u − i = − 2 Синусоидальный ток опережает по фазе приложенное синусоидальное напряжение на  2 (90) Амплитуды и действующие значения тока и напряжения связаны законом Ома U Cm U C 1 = = I Cm I C C 25 Осциллограмма напряжения Осциллограмма тока Синусоидальный ток отстает от синусоидального напряжения на π/2 t =T 4 Временная диаграмма соответствует диаграмме тока и напряжения на индуктивном элементе 26 Осциллограмма напряжения Осциллограмма тока Синусоидальный ток отстает от синусоидального напряжения t T 4 Временная диаграмма соответствует диаграмме тока и напряжения на неидеальной катушке 27 Осциллограмма тока Осциллограмма напряжения Синусоидальный ток совпадает по фазе с синусоидальным напряжением резистор Осциллограмма напряжения Осциллограмма тока Осциллограмма напряжения Осциллограмма тока Синусоидальный ток отстает по фазе от синусоидального напряжения на π/2 Синусоидальный ток опережает по фазе синусоидальное напряжение на π/2 индуктивный элемент емкостной элемент 28 Для индуктивного и емкостного элементов отношение амплитуд синусоидального напряжения и синусоидального тока зависит от частоты и параметра элемента U Lm = LI Lm U L = LI L UL = X LIL U Cm 1 1 = I Cm U C = IC U C = X C IC C C По аналогии с законом Ома U m = RI m U = RI величину L = 2fL называют реактивным сопротивлением идеальной катушки на заданной частоте или индуктивным сопротивлением и обозначают X L = L 1 1 = величину C 2fC называют реактивным сопротивлением идеального конденсатора на заданной частоте или 1 емкостным сопротивлением и обозначают X C = 29 C Закон Ома для действующих значений Показание амперметра 5 А. Определить показание вольтметра. Резистор 50 R = 10 Ом U = R  I = 10  5 = 50 B 5 Идеальная катушка 31,4 5 L = 20 мГн = 0,02 Гн U L = L  I L = X L  I L X L = L = 2fL f = 50 ? Гц  = 314 рад/с X L = 314  0,02 = 6,28 Ом U L = 6,28  5 = 31,4 B 30 Закон Ома для действующих значений Идеальный конденсатор 79,6 C = 200 мкФ = 2 10−4 Ф 5 1 UC = IC = X C IC C 1 1 f = 50 Гц  = 314 рад/с XC = = C 2fC 1 1 XC = = = 15,92 Ом C 314  2 10 −4 ? U C = 15,92  5 = 79,6 B 31 Для двухполюсника с напряжением u (t ) = U m sin(t + u ) и током i (t ) = I m sin(t + i ) мгновенная мощность p = p (t ) = u (t )  i (t )  = u − i  0 мгновенная мощность положительна, энергия поступает от источника в приемник (потребляется резистором, запасается в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора). мгновенная мощность отрицательна, энергия частично возвращается к источнику 32 Мгновенной мощностью называется произведение мгновенных значений напряжения и тока p = p (t ) = u (t )  i (t ) Полной мощностью – произведение действующего значения напряжения и тока S = U  I ВА [вольт-ампер] Активной мощностью двухполюсника называют среднее значение мгновенной мощности за период T 1 P =  p (t )dt T0 P= Um Im cos  = UI cos  = S cos  2 Вт [Ватт], где  = u − i разность начальных фаз синусоидального напряжения и синусоидального тока. Множитель cos называют коэффициентом мощности. 33 Мгновенная мощность дает более полную характеристику энергетических процессов в цепи по сравнению с активной мощностью. Графически полная мощность характеризует амплитуду колебаний мгновенной мощности относительно средней (активной) мощности (амплитуда пульсации мгновенной мощности). Полная мощность является важной расчетной величиной для электрических установок (генераторов, трансформаторов и др.), она указывается в качестве номинальной. Например, для генератора его номинальная мощность равна его максимальной активной мощности., которая может быть получена при cos  = 1 . 34 Для характеристики энергии, которой обмениваются источник энергии и приемникнакопитель (катушка и конденсатор) пользуются понятием реактивной мощности. Реактивная мощность накапливается в магнитном поле системы проводников с переменным током при возрастании тока, при уменьшении тока энергия, накопленная в магнитном поле, преобразуется в электрическую и возвращается к источнику. Реактивная мощность не потребляется приемником энергии и не участвует в процессе преобразования электрической энергии в другие виды энергии. 35 Реактивная мощность в цепях синусоидального тока определяется как Q = S sin  = UI sin  и выражается в Вар [Вольт-амперах реактивных]. Потребление реактивной мощности нагрузкой (потребителем) определяется через активную мощность потребителя по формуле Q tg  = P Основными потребителями реактивной мощности являются асинхронные двигатели , индукционные печи , вентильные преобразователи и т. д. В промышленных предприятиях основная доля потребляемой реактивной мощности относится к асинхронным двигателям (до 70%). В городских электрических сетях потребление реактивной мощности меньше, потребление зависит от количества электробытовой техники и типа плит (газовая или электрическая). 36 Для резистора с напряжением u (t ) = U m sin(t + u ) и током i (t ) = I m sin(t + i ) , i = u =  мгновенная мощность p (t ) = U m I m sin 2 (t + ) = Um Im 1 − cos(2t + 2) = UI 1 − cos(2t + 2)  2 Активная мощность T P= Um Im UmIm 1 2 p ( t )d t = cos(  −  ) = = UI = I R u i  T0 2 2 S=P cos  = 1 С энергетической точки зрения действующее значение переменного тока численно равно постоянному, который за тот же промежуток времени (период) выделит в том же резисторе то же количество теплоты (равны по тепловому действию). 37 Для индуктивного элемента с напряжением u (t ) = U m sin(t + u ) и током i(t ) = I m sin(t + i ) ,u − i =  2 мгновенная мощность p (t ) = U m I m cos(t + i )sin(t + i ) = UI sin(2t + 2i ) Активная мощность T 90 Um Im 1 P =  p (t )dt = cos(u − i ) = 0 T0 2 S =Q cos  = 0 Когда p(t)>0 энергия от источника поступает в катушку и накапливается, когда p(t)<0, накопленная в магнитном поле энергия отдается источнику. Энергия, запасенная в каждый момент в магнитном поле катушки: diL (t ) iL2 (t ) Wм =  p (t )dt =  u L (t )iL (t )dt =  L i (t )dt = L dt 2 38 Для емкостного элемента с напряжением u (t ) = U m sin(t + u ) и током i(t ) = I m sin(t + i ) , u − i = −  2 мгновенная мощность p (t ) = U m I m cos(t + u )sin(t + u ) = UI sin(2t + 2u ) Активная мощность T -90 Um Im 1 P =  p (t )dt = cos(u − i ) = 0 T0 2 S =Q cos  = 0 Когда p(t)>0 энергия от источника поступает в конденсатор и накапливается, когда p(t)<0, накопленная в электрическом поле энергия отдается источнику. Энергия, запасенная в каждый момент в электрическом поле конденсатора: duC (t ) uC2 (t ) Wэ =  p (t )dt =  uC (t )iC (t )dt =  C uC (t )dt = C dt 2 39 Основные потери реактивной мощности происходят в трансформаторах и воздушных линиях электропередачи. Потери реактивной мощности в воздушных линиях (ВЛ) зависят от параметров линии и значения тока в ней. Реактивная мощность циркулирует между источником и приемником энергии, нагружая провода обмоток и линий, соединяющих приемник энергии с источником, и увеличивая потери энергии в них. Поэтому столь важен расчет и компенсация реактивной мощности в энергетических системах. 40 Автор доц. каф. ТОЭ НИУ «МЭИ» Жохова М.П. ZhokhovaMP@mpei.ru 41