Основные направления электротехники. Особенности электрической энергии

Кафедра «Электротехники и микропроцессорной электроники» М.С. Анисимова Опорный конспект лекций по курсу «Электротехника» Москва Издательский Дом МИСиС 2014 Под ЭЛЕКТРОТЕХНИКОЙ – понимают область науки и техники, использующую электрические и магнитные явления для практических целей. Можно выделить три основных направления электротехники: • Преобразование различных видов энергии в электрическую и обратно • Превращение одних веществ природы в другие • Обработка и передача информации -1- Особенности электрической энергии: • Универсальность – возможность преобразования электрической энергии в другие. • Достаточно простые устройства для получения электрической энергии. • Возможность ее транспортировать на большие расстояния. Недостатки электрической энергии: • Невозможность накопления электрической энергии. • Невозможность хранения электрической энергии. -2- 2 Основные определения и параметры электрических цепей Электрическая цепь – это совокупность соединенных с помощью проводов источников электрической энергии и приемников, по которым может протекать электрический ток. Изображение электрической цепи с помощью условных знаков называют электрической схемой. Любая электрическая цепь характеризуется: • • • током, электродвижущей силой (ЭДС), напряжением -3- 3 • • • • В Международной системе единиц: ток измеряют в амперах (А), ЭДС, напряжение и потенциалы – вольтах (В), сопротивление – в омах (Ом), проводимость – в сименсах (См). Токи могут быть: • постоянными – значение и направление которых не изменяется во времени, • переменными – значение и направление которых изменяется во времени. Постоянный ток – это направленное движение носителей электрического заряда в веществе или вакууме. -4- • Постоянные значения ЭДС, напряжений и токов в соответствии с ГОСТ 19880-74 обозначают прописными буквами: E, U, I • Переменные значения (мгновенные - т.е. значения в рассматриваемый момент времени) - строчными буквами: e, u, i • Электрическое сопротивление обозначают буквой R • Электрическая проводимость - величина, обратная G сопротивлению: • Электрический потенциал принято обозначать буквой φ • Разность потенциалов между двумя точками электрического поля называется напряжением: U12 = φ1 – φ2 -5- 4 Приборы для измерения электрических величин: величин: Амперметры – обладают незначительным внутренним сопротивлением, которое при расчетах полагают равным нулю. Вольтметры – имеют большое внутренне сопротивление, которое при расчетах принимают стремящимся к бесконечности. Ваттметры – используются для измерения активной мощности. -6- 5 Топологические понятия теории электрических цепей - участок электрической цепи с последовательным соединением элементов и с одинаковым током во всех элементах Ветвь - точка электрической цепи, сходятся три и более ветви Узел в которой Различают понятия геометрического и потенциального узлов Контур - замкнутый участок электрической цепи Независимый контур - контур, в состав которого входит хотя бы одна ветвь, не принадлежащая другим контурам - часть электрической цепи с двумя выделенными зажимами. Двухполюсники бывают Двухполюсник активные и пассивные - часть электрической цепи с четырьмя выделенными зажимами. Четырехполюсники Четырехполюсник бывают активные и пассивные -7- Классификация электрических цепей:   по числу источников  питания  по роду тока постоянные переменные с одним источником с двумя источниками и более  линейные  нелинейные по параметру элементов цепи по способу соединения элементов     последовательные параллельные смешанные мостовые Цепи подразделяются простые сложные неразветвленные разветвленные -8- 6 Элементы цепи Источники Приемники Вспомогательныесвязывают источники и приёмники     генераторы постоянного тока, аккумуляторы, гальванические элементы, термоэлементы     электродвигатели, лампы накаливания, электрическая печь, резистор электрические провода, реле, предохранители, выключатели и переключатели, приборы для измерения электрических величин, -9 преобразующие устройства     7 Элементы электрической цепи делятся на активные и пассивные. Пассивные элементы обозначение в схемах Линейный сопротивление не зависит от напряжения Нелинейный сопротивление зависит от напряжения ВАХ Основными характеристиками элементов электрических цепей являются зависимости их напряжения от тока. Которые называются вольтамперными характеристиками (ВАХ). -10- Активные В зависимости от того, какая электрическая величина (ЭДС или ток) на их выходе поддерживается постоянной делятся на: ВАХ: Источник ЭДС характеризуется величиной, направлением ЭДС и величиной внутреннего сопротивления Uab = E - I·Rвн Идеальный источник ЭДС – напряжение, на зажимах которого постоянно и равно ЭДС, а внутреннее сопротивление равно нулю. ВАХ: Источник тока I = Е⋅Gвн - Uab⋅Gвн I = I0 – Iвн 8 -11- Режимы работы источников постоянного тока Режим холостого хода Режим короткого замыкания Согласованный режим Номинальный режим R н= ∞ R н= 0 Rн = Rвн η = max соответствует выделению максимальной активной мощности пассивного приемника Uхх ab = Е Iс = Iк.з / 2 Uab = 0 Рн = Rн ⋅Iс2 I=0 Iк.з = Е / Rвн Рн = 0 Рн = 0 соответствует режиму работы источников и приемников электрической энергии при тех значениях токов и напряжений, на которые они рассчитаны заводамиизготовите лями -12- 9 Эквивалентные преобразования пассивных участков электрической цепи Соединение Последовательное R экв = Rэкв = R 1+ R 2 Формула разброса напряжений: U1 = U ab ⋅ Параллельное R1 , R 1+ R 2 R 1⋅ R 2 R 1+ R 2 Смешанное R 2⋅ R3 Rэкв = R1 + R 2+ R3 Формула разброса токов: I1 = Iвх ⋅ R2 , R 1+ R 2 R 2 U =U ⋅ 2 ab R + R 1 2 I2 = Iвх ⋅ R1 R1+ R 2 -13- Преобразование «Треугольника в звезду» Соединение «треугольник» - три сопротивления, образующие собой стороны треугольника. R12⋅ R31 R1 = , R12+R23+ R31 R3 = R2 = R12⋅ R 23 , R12+ R 23+ R31 R 23⋅ R 31 R12+ R 23+ R31 -14- 10 Преобразование «Звезды в треугольник» Три сопротивления, имеющие вид трехлучевой звезды называют соединением «звезда». R12 = R 1 + R 2 + R 1⋅ R 2 , R3 R23 = R 2 + R 3 + R31 = R 3 + R 1 + R 2⋅ R 3 , R1 R 1⋅ R 3 R2 -15- 11 Закон Ома: для замкнутого контура для участка цепи содержащего источник ЭДС для участка цепи не содержащего источник ЭДС в общем случае: U I= , U = I ⋅R ∑ Ri I= ± ∑ Еi ± U ∑ Ri I= ∑ ± Еi ∑ Ri пример: I= U ab R 1+ R ϕa − ϕ b = 2 I= R1 + R 2 −Е 1 Е1 −Uba R1 I= R 1+ R 2 + R 3 Правило знаков:  Со знаком «плюс» записываются напряжение и ЭДС, если они совпадают по направлению с выбранным условно-положительным направлением тока.  Со знаком «минус» записываются не совпадают по направлению с током. напряжение и ЭДС, если они -16- Распределение потенциалов вдоль контура цепи. цепи. График распределения потенциалов вдоль участка цепи или замкнутого контура называется потенциальной диаграммой. диаграммой. Если выбирается контур из сложной цепи, то токи у каждого сопротивления свои. В таком случае общий ток контура не определяется. 1). ϕа = 0 В; ϕb = ϕa + I1⋅R1; ϕc = ϕb + E1; ϕd = ϕc – I2⋅R2; 2). Пример: Определить напряжение Ubf и Uch. Ubf = ϕb - ϕf ; Uch = ϕс - ϕh. ϕf = ϕd + E2; ϕq = ϕf – I3⋅R3; ϕh = ϕq – E3; ϕa = ϕh + I4⋅R4 = 0 B. B. -17- 12 Энергетический баланс в электрических цепях Для проверки правильности расчётов токов в электрической цепи составляют баланс мощностей. Сумма активных мощностей вырабатываемых источниками ЭДС равна сумме активных мощностей приемника. Σ Рист = Σ Рп Σ Еn⋅In = Σ In2 ⋅ Rn Правило знаков: Если направление ЭДС и тока совпадают по направлению, то их произведение записывают со знаком «+», не совпадают – со знаком «-». Пример: (Е2 – E3)⋅I3 – E1⋅I1 = I12⋅ (R1+ R2)+ I32⋅ R3+ I42⋅ R4 -18- 13 Пример: Преобразовать схему. • Преобразуем «треугольник cab» в «звезду»: Ra = R 6⋅ R 5 , R 6 + R 5+ R 7 Rb = R 5⋅ R 7 , R 6 + R 5+ R 7 Rc = R 7⋅ R 6 R 6 + R 5+ R 7 2. В полученной схеме определим Rэкв: а ) R пар = ( R а + R 3) ⋅ ( R b + R 4 ) , R а + R 3+ R b + R 4 б ) R экв = Rпар + Rс . 3. Схема принимает вид: -19- Пример: Дано: Е = 120 В, Rвн = 4 Ом. Определить: ток I, при Rн = 2, 4, 6 Ом. При каком значении Rн в нем выделится максимальная мощность? Определить эту мощность. Построить график Uн = f(Iн), при 0 < Rн < ∞. a • Решение: Решение: 1) Найдем ток I по закону Ома при различных значениях сопротивлений: I = E / (Rвн + Rн) (при Rн = 2 Ом): I = 120/(4 + 2) = 120/6 = 20 A; (при Rн = 4 Ом): I = 120/(4 + 4) = 120/8 = 15 A; (при Rн = 6 Ом): I = 120/(4 + 6) = 120/10 = 12 A. Rвн I Rн E Uab • b b 2) Определим при каком значении Rн в нем выделиться максимальная мощность (Pmax). P = U·I = Rн· I2 = 2 · 202 = 800 Вт, P = U·I = Rн· I2 = 4 · 152 = 900 Вт, P = U·I = Rн· I2 = 6 · 122 = 864 Вт. Максимальная мощность Pmax выделиться при Rн = 4 Ом – при согласованном согласованном режиме режиме работы (источника и приемника, приемника, когда Rн = Rвн). -20- 14 3) Построение графика Uн = f(Iн), при 0 < Rн < ∞. Режим холостого хода Режим короткого замыкания R н= ∞ R н= 0 разомкнуть ветвь «ab» замкнуть сопротивление Rн Uхх ab= Е = 120 В Uab = 0 I=0 Iк.з= Е/Rвн=120/4 = 30 А Рн = 0 Рн = 0 ВАХ Pmax = 900 Вт -21- 15 Законы Кирхгофа и их универсальность Определение Первый закон Кирхгофа Второй закон Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю алгебраическая сумма падений напряжений в замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур m Формула n ∑ Ik = 0 знаков Количество m m ∑U k =1 k =1 k =1 Правило m ∑Ek =∑Rk Ik =∑Uk или k =1 k =1 k =0 токи втекающие в узел записывают со знаком «+», вытекающие из узла – со знаком «-» если направление ЭДС и токов совпадают по направлению с обходом контура, то их записывают со знаком «+», не совпадают – со знаком «-» n = (у - 1) n =b - (у - 1) уравнений где b - количество ветвей в схеме где n - количество уравнений у - количество узлов в схеме -22- Алгоритм решения задач по законам Кирхгофа: • произвольно выбрать условно-положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; • произвольно выбрать направления обхода контуров и обозначить их на схеме; • составить уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа; • Записать систему из «n» уравнений и решить ее относительно токов. Пример: В заданной схеме: 4 узла, 6 ветвей и 3 независимых контура По первому закону Кирхгофа: n = (у - 1) = 4 – 1 = 3 ур. Количество уравнений: для узла «а»: I4 – I6 – I3 = 0; для узла «d»: I3 + I2 + I1 = 0; для узла «с»: I6 – I5 – I1 = 0 -23- 16 По второму закону Кирхгофа: Количество уравнений: n = b - (у - 1) = 6 - (4 – 1) = 3 ур. для контура «1»: I1⋅R1 – I2⋅R2 – I5⋅R5 = E2 + E1; для контура «2»: I2⋅R2 – I4⋅R4 = -E3 – E2; для контура «3»: I4⋅R4 + I6⋅R6 + I5⋅R5 = 0 Система принимает вид: ⎧ I4 − I3 − I6 = 0 ⎪I + I + I = 0 3 1 ⎪ 2 ⎪ I − I − I ⎪ 6 5 1 = 0 ⎨ ⎪ I 1 ⋅ R1 − I 2 ⋅ R 2 − I 5 ⋅ R5 = E1 + E 2 ⎪ I 2 ⋅ R2 − I 4 ⋅ R4 = − E 3 + E 2 ⎪ ⎪ ⎩ I 4 ⋅ R 4 + I 6 ⋅ R 6 + I 5 ⋅ R5 = 0 -24- 17 Методы анализа цепей постоянного тока 1. Метод контурных токов (МКТ) • Для уменьшения количества уравнений иногда удобнее применять метод контурных токов. • Вводя понятие контурных токов, можно исключить составление уравнений по первому закону Кирхгофа. • Под контурными токами понимают условные (расчетные) токи, замыкающиеся в соответствующих контурах. В общем случае система уравнений для цепи, имеющей n независимых контуров, имеет следующий вид: ⎧ R11 I11 + R12 I 22 + R13 I 33 + ..... + R1n I nn = E11 ⎪ R I + R I + R I + ..... + R I = E 21 11 22 22 23 33 2 n nn 22 ⎪ ⎪ R I + R I + R I + ..... + R I = E ⎨ 31 11 32 22 33 33 3n nn 33 ⎪................................................................. ⎪ ⎪ ⎩ Rn1 I11 + Rn 2 I 22 + Rn 3 I 33 + ..... + Rnn I nn = Enn -25- где R11, R22, R33, …. Rnn — собственные сопротивления тех же контуров, равные сумме сопротивлений всех резисторов, принадлежащих соответствующему контуру; R12 = R21, R23 = R32 и т. д. — взаимные сопротивления контуров. Это сопротивления резисторов смежных ветвей, принадлежащих как первому, так и второму контурам и т. д. При этом взаимные сопротивления надо принимать: а) положительными, если контурные токи в них направлены одинаково; б) отрицательными, если они направлены встречно; в) равными нулю, если контуры не имеют общей ветви. Е11, Е22, Е33, …. Еnn — контурные ЭДС, равные алгебраической сумме ЭДС в соответствующих контурах. Причем, ЭДС считают положительными, если их условно-положительные направления совпадают с направлением обхода контура (контурного тока), и отрицательными, если их направления противоположны. -26- 18 Алгоритм решения задач по МКТ: • При расчете цепи этим методом полагают, что в каждом независимом контуре «n» протекает свой контурный ток Inn, условное положительное направление которого совпадает с направлением обхода этого контура. • Задать условно-положительные направления токов в ветвях и выразить их через контурные токи. • Составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа для всех независимых контуров. • После решения системы уравнений относительно контурных токов определить токи в ветвях. Пример: В заданной схеме: 2 узла, 4 ветви и 3 независимых контура. I11 – контурный ток I-го контура; I22– контурный ток II-го контура; I33 – контурный ток III-го контура I1 = I11; I2 = I11 – I22; I3 = I22 – I33; I4 = I33 ⎧ I11⋅(R1 + R2) – I22⋅R2 = E1; ⎪ ⎨ - I11⋅R2 + I22⋅(R2 + R3) – I33⋅R3 = E3; ⎪ ⎩ - I22⋅R3 + I33⋅(R3 + R4) = -E3 -27- 19 2. Метод узловых потенциалов (МУП) • Ток, в любой электрической цепи, можно определить по известным потенциалам узлов, к которым она подключена, или напряжению между этими узлами. • Метод расчета электрических цепей, в котором в качестве неизвестных принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. • Метод более эффективен в случае, если число узлов в схеме меньше или равно числу независимых контуров. • Так как, в любой электрической цепи потенциал одного из узлов можно принять равным нулю, а число узлов, потенциалы которых следует определить относительно этого узла, станет равным: n = (y - 1) • Число неизвестных равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по 1-му закону Кирхгофа. • После решения системы относительно узловых потенциалов определяют напряжение между узлами Ukm и токи в ветвях по закону Ома. -28- Если токи в ветвях выразить через потенциалы узлов, то система в общем случае имеет вид: ⎧ G 1 1 ϕ 1 + G 1 2 ϕ 2 + G 1 3 ϕ 3 + ...... + G 1 n ϕ n = I 1 n , ⎪ G ϕ + G ϕ + G ϕ + ...... + G ϕ = I , ⎪ 21 1 22 2 23 3 2n n 2n ⎨ ................................................................ ⎪ ⎪ ⎩ G n 1 ϕ 1 + G n 2 ϕ 2 + G n 3 ϕ 3 + ...... + G n n ϕ n = I n n где: ϕ1, ϕ2 …ϕn — потенциалы узлов 1, 2 … n относительно узла «q», потенциал которого принят равным нулю; G11 — сумма проводимостей всех ветвей, подключенных к узлу «1» и т.д.; G12=G21 — сумма проводимостей ветвей между узлами «1» и «2», взятая со знаком «минус». Если же между узлами нет ветвей, то принимают G12 = G21 = 0; I1n — узловой ток, равный сумме токов всех ветвей, содержащих источники ЭДС и подключенных к узлу «1» и т.д. Правило знаков: Токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а от узла — со знаком «минус». -29- 20 3. Метод двух узлов (МДУ) (как частный случай метода узловых потенциалов) • Метод узловых потенциалов особенно эффективен при расчете электрических цепей с двумя узлами и большим количеством параллельных ветвей. • Если принять потенциал одного из узлов равным нулю, то напряжение между узлами будет равно потенциалу другого узла. m U 12 = ϕ 1 = I 1n = G 11 ∑ ±E k ⋅ Gk k =1 n ∑G k k =1 Правило знаков: Произведения Ek⋅Gk, берутся со знаком «плюс», когда Ek направлены к узлу с первым индексом (потенциал узла «1» - условно принят положительным). • После определения напряжения между узлами U12, определяют токи в ветвях по закону Ома. -30- 21 Метод узловых потенциалов – пример В заданной схеме: 3 узла, 7 ветвей и 5 независимых контура. Примем потенциал узла «3» равным нулю (ϕ3 = ϕ4 = 0), количество уравнений: n = (3 - 1) = 2 ур. и система уравнений будет иметь вид: ⎧G11ϕ1 + G12ϕ2 = I11 , ⎨ ⎩G21ϕ1 + G22ϕ 2 = I 22 I11 = − I 22 = E1 E4 − , R1 R4 E4 E5 E6 − + , R4 R5 R6 G11 = 1 1 1 1 1 + + + + , R 1 ( R 2 + R 2* ) R 3 R4 R7 G 22 = 1 1 1 1 1 + + + + , R3 R4 R5 R6 R7 G12 = G 21 = − 1 1 1 − − . R3 R4 R7 -31-  Определить токи в ветвях по закону Ома: I1 = E1 + (ϕ1 − ϕ3 ) ; R1 I2 = (ϕ 3 − ϕ1 ) ; R2 + R2* I3 = (ϕ 2 − ϕ1 ) ; R3 , , I6 = , I4 = E4 + (ϕ1 − ϕ 2 ) ; R4 E6 + (ϕ 4 − ϕ 2 ) ; R6 I7 = E + (ϕ 2 − ϕ 4 ) I5 = 5 ; R5 (ϕ 2 − ϕ1 ) . R7 -32- 22 Метод двух узлов - пример В заданной схеме: 2 узла, 4 ветви и 3 независимых контура.  По расчётной формуле определяют напряжение между узлами Uab: E1 − E3 ( R3 + R3* ) , 1 + 1 + 1 1 * + R1 R2 R4 ( R3 + R3 ) R1 U ab =  Определяют токи в ветвях по закону Ома. I1 = E1 − U ab ; R1 I3 = I2 = −U ab ; R2 E3 + U ab ; R3 + R3∗ I4 = U ab . R4 -33- 23 4. Метод эквивалентного генератора (МЭГ) • Метод позволяет в ряде случаев относительно просто определить ток в одной ветви сложной электрической цепи и исследовать поведение этой ветви при изменении ее сопротивления. • Сущность метода заключается в том, что по отношению к выделенной ветви, активный двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором (ЭГ), ЭДС которого равно Еэкв = Uхх ab на выделенной ветви, а Rвн = Rэкв пассивного двухполюсника. Алгоритм решения задач по МЭГ: 1. Разомкнуть ветвь, в которой необходимо определить ток, и на зажимах «a» и «b» определить напряжение Uxx ab (рассчитать любым из известных способов); 2. Определить эквивалентное сопротивление Rэкв всей схемы по отношению к зажимам «a» и «b» при закороченных источниках ЭДС; 3. Определить ток ветви In по закону Ома. -34- Метод эквивалентного генератора - пример В заданной схеме необходимо определить ток I1. 1. Определить Еэкв (при разомкнутой ветви с R1): Еэкв = Uхх 21 = φ2 – φ1 а) Определить токи Iхх1 хх1 и Iхх2 хх2 : I хх1 = E2 + E4 E − E3 , I хх 2 = 5 . R2 + R4 R3 + R5 б) Определить потенциалы точек «1» и «2»: φ3 = 0; 0; φ1*= φ3 + Е4, φ1= φ1* - Iхх1 хх1·R4, φ2*= φ3 - Iхх2 хх2·R3, φ2= φ2* + Е3. в) Еэкв = Uхх 21 = φ2 – φ1 -35- 24 2. Определить Rэкв относительно зажимов «1» и «2» (при закороченных источниках ЭДС): Rэкв = R2 ⋅ R4 R ⋅R + 3 5 R4 + R2 R3 + R5 3. Определить ток I1 по закону Ома: I1 = E1 + Eэкв R1 + Rэкв -36- 25 5. Метод наложения (МН) • В методе наложения используется принцип наложения, который формулируется следующим образом: ток в ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из ЭДС схемы в отдельности. • Этот принцип справедлив для всех линейных электрических цепей. Алгоритм решения: • Задать произвольно условно-положительное направление токов схеме. • Поочередно рассчитывают частичные токи, возникающие от действия каждой из ЭДС, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников. При этом выбрать условно-положительные направления частичных токов для каждой схемы. • Определить токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов. -37- Метод наложения – пример. В заданной схеме: 3 узла и 5 ветвей. 1. а) Нарисуем схему используя первый источник ЭДС Е1, отбросив все остальные источники. б) Обозначаем и выбираем условно-положительные направления частичных токов в схеме. в) Определяем Rэкв, свертывая схему относительно источника ЭДС Е1: R э1 = R 2⋅ R 3 + R 5, R 2+ R 3 R э2 = R э1⋅ R 4 , R э1+ R 4 R экв = Rэ 2 + R1 г) Определяем частичные токи: I1* = E1 , Rэкв I 4 ∗ = I1∗ ⋅ I 2 ∗ = I 5∗ ⋅ R3 , R2 + R3 Rэ1 , Rэ1 + R4 I 3∗ = I 5 ∗ ⋅ I 5∗ = I1∗ ⋅ R4 , Rэ1 + R4 R2 . R2 + R3 -38- 26 2. а) Нарисуем схему используя второй источник ЭДС Е2,отбросив все остальные источники. б) Обозначаем и выбираем условно-положительные направления частичных токов в схеме. в) Определяем Rэкв*, свертывая схему относительно источника ЭДС Е2: R э1 = R 1⋅ R 4 + R 5, R 1+ R 4 R э2 = R э1⋅ R 3 , R э1+ R 3 R *экв = Rэ 2 + R2 г) Определяем частичные токи: I 2** = E2 , * Rэкв I1∗∗ = I 5∗∗ ⋅ I 3∗∗ = I 2 ∗∗ ⋅ R4 , R1 + R4 Rэ1 , Rэ1 + R3 I 4 ∗∗ = I 5∗∗ ⋅ I 5∗∗ = I 2 ∗∗ ⋅ R3 , Rэ1 + R3 R1 . R1 + R4 3. Определяем реальные токи в ветвях исходной схемы: Причем частичные токи записываются со знаком «плюс», если они совпадают по направлению с реальным током и со знаком «минус» - если не совпадают. I1 = I1∗ − I1∗∗, I2 =− I2∗ + I2∗∗, I3 = I3∗ + I3∗∗, I4 = I4∗ + I4∗∗, I5 = I5∗ − I5∗∗ -39- 27 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА - ЦЕПИ цепи, содержащие нелинейные элементы (НЭ), нелинейные сопротивления (НС), нелинейные индуктивности или нелинейные емкости. • • • • • При помощи нелинейных элементов можно: можно: Выпрямлять переменный ток. Стабилизировать напряжение и ток. Преобразовывать форму сигналов. Генерировать и усиливать сигналы различной формы. Производить вычислительные операции и т.п. Параметры линейных элементов: R = u / i, L = Ψ / i, C=q/u • Параметры НЭ – непостоянны, часто определяются экспериментально и задаются в виде графиков, таблиц, аналитически или другими способами. -40- Классификация резистивных элементов. Активные элементы • ВАХ не проходит через начало координат, • схема замещения содержит источник ЭДС (или тока) Пассивные элементы • ВАХ проходит через начало координат, • происходят необратимые преобразования электрической энергии в другие виды По расположению ВАХ пассивного элемента относительно начало координат они делятся на Симметричные Несимметричные Лампы накаливания Не зависят от направления тока. С увеличением протекающего тока сопротивление их уменьшается Полупроводниковые диоды Зависят от направления тока и способны пропускать ток только в одном, проводящем, направлении -41- 28 Нелинейные элементы могут быть подразделены на две большие группы: группы: Неуправляемые элементы Управляемые элементы Есть только основная цепь Кроме основной цепи, есть вспомогательная (управляющая) цепь. Воздействуя на ток или напряжение которой можно менять ВАХ основной цепи. ВАХ изображается одной кривой -изображается семейством кривых Входят: диод, лампа накаливания, полупроводниковые выпрямители - транзистор, тиристор, магнитный усилитель и др. Общее свойство: односторонняя - у них управляющий параметр – электрический (напряжение или ток) проводимость – при одной полярности напряжения их сопротивление близко к нулю, при противоположной – очень большое или бесконечно большое. -42- 29 Графический метод расчета нелинейной цепи постоянного тока с резистивными элементами. Задача анализа нелинейной цепи – состоит в определении токов и напряжений на участках нелинейной цепи при заданных ВАХ нелинейных элементов, сопротивлениях линейных элементов и источников ЭДС (или тока). Расчет цепи при последовательном соединении пассивных нелинейных элементов. Метод сводится к графическому решению уравнения, составленного по 2-му закону Кирхгофа для двух последовательно соединенных НЭ1 и НЭ2. U = U1 + U2 где U – общее напряжение на элементах; U1; U2 – напряжение на соответствующих элементах. -43- Для решения задачи ВАХ нелинейных элементов строятся в одной системе координат. При последовательном соединении в НЭ протекает один и тот же ток. Поэтому: 1. Задаться несколькими значениями тока (5-6 значений): I1, I2, I3 и т.д. 2. Провести на графике линии параллельные оси абсцисс. 3. Суммировать соответствующие значения напряжений на НЭ1 и НЭ2. 4. Соединяя кривой полученные точки, построить эквивалентную (результирующую) ВАХ цепи - I(U). -44- 30 5. На суммарной ВАХ - I(U) по заданному напряжению U определить ток I. 6. По ВАХ отдельных нелинейных элементов определить напряжения U1 и U2 на этих элементах. Такие же построения для расчета тока и напряжений можно выполнить, если один из элементов линейный. Аналогично решается задача расчета цепи, состоящей из трех или более последовательно соединенных нелинейных элементов. -45- 31 Расчет цепи при параллельном соединении пассивных нелинейных элементов. Метод сводится к графическому решению уравнения, составленного по 1-му закону Кирхгофа для двух параллельно соединенных нелинейных элементов. I =I1+ I2 где I – общий ток; I1; I2 – токи в соответствующих ветвях. Для решения задачи ВАХ нелинейных элементов строятся в одной системе координат. При параллельном соединении U1 = U2 = U. Поэтому: 1. Задаться несколькими значениями напряжений (5-6 значений): U1, U2, U3 и т.д. 2. Провести на графике линии параллельные оси ординат. 3. Суммировать соответствующие значения токов на НЭ1 и НЭ2. 4. Соединить кривой полученные точки и построить ВАХ цепи I(U). -46- 5. На суммарной ВАХ по известному напряжению U определить ток I. 6. По ВАХ отдельных нелинейных элементов определить токи в ветвях I 1 и I2. Таким же способом можно рассчитать электрическую цепь с любым числом параллельно включенных нелинейных элементов. -47- 32 Расчет цепи при смешанном соединении пассивных нелинейных элементов. элементов. Расчет сводится к двум предыдущим случаям (при последовательном и параллельном соединении элементов) -48- 33 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА. Переменным называется электрический ток, величина и направление которого изменяются во времени. Все синусоидальные функции времени (например, ток) записывают в одинаковой форме: i = I m sin(ωt + ψ), Значение тока (напряжения и ЭДС) в любой момент времени называется мгновенным значением: i = Im·sinωt, u = Um·sinωt, e = Em·sinωt -49- Определения, обозначения, формулы Im , Амплитудные значения Действующие значения I, Комплексные амплитудные значения Комплексные действующие значения Среднее значение Em, Um E, U Im , I, E, U Кф = 2 ⋅ Im π I π = ≈ 1,11 I ср 2 2 Ка = Коэффициент амплитуды Im = 2 I f = Частота 1 T Угловая частота ω = 2π f =2π/T Угол сдвига фаз между напряжением и током ϕ = ψ u − ψi 34 Im 2 Em, Um I ср = Коэффициент формы кривой I= -50- • Аргумент синуса (ωt + Ψ), называется фазой. • Угол Ψ равен фазе в начальный момент времени называется начальной фазой. • Начало функции там, где функция меняет знак с «-» на «+». и поэтому Если направление начальной фазы совпадает с направлением оси, то берем со знаком «+», а если противоположно, то со знаком «-». Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой. -51- 35 Синусоидальную величину можно представить: Аналитически i(t) = Im sin(ωt + Ψi) (в виде формулы) Графически (посредством временных диаграмм) С помощью вращающегося вектора i1 = I m1 sin( ω t1 + ψ1 ) i2 = I m 2 sin( ω t2 + ψ 2 ) i = i1 + i2 = Im sin (ω t +ψ) В виде комплексного числа A = A ⋅ e jα = a ± jb -52- Комплексное число можно записать в форме: A = A ⋅ e jα показательной A = A cos α + jA sin α тригонометрической A = А1 + jA2 = а + jb алгебраической A = A ⋅ e jα = A cos α + jA sin α = a + jb где j = −1 − мнимая единица, j 2 = −1 -53- 36 Формулы перехода: из алгебраической в показательную форму из показательной в алгебраическую форму A = A1 + jA2 = Ae jα A = Ae jα = a + jb A = a 2 + b2 a = A ⋅ cos α b , при a 〉 0 a b α = 180 0 ± arctg , при a 〈 0 a α = arctg b = A ⋅ sin α Два комплексных числа, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют сопряженными. сопряженными. A = A1 + jA2 = Ae j α ; ∗ A = A1 − jA2 = Ae − jα o o где 1⋅ e j 90 = 1⋅ cos 90o + j1⋅ sin90o = j 1; 1⋅ e− j 90 = 1⋅ cos90o − j1⋅ sin90o = − j1; o 1⋅ e j 0 = 1 37 -54- Элементы цепи переменного тока Составными элементами цепей синусоидального тока являются резистор, индуктивная катушка и конденсатор. Резистивный элемент с сопротивлением R — элемент, учитывающий необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии Обозначения на схемах замещения Уравнения связи Векторные диаграммы Проводимос ть, Cм Мощности P = RI 2 = GRU R2 GR = 1 R uR = R ⋅ i Q=0 ϕ = 0о S=Р Временная диаграмма: диаграмма: -55- Индуктивный элемент с индуктивностью L учитывает энергию магнитного поля и явление самоиндукции Обозначения на схемах замещения Уравнения связи uL = L ⋅ X L = ωL = 2π f ⋅ L Векторные диаграммы di dt di eL = − L ⋅ dt Проводимость, Cм 1 1 BL = = X L ωL ϕ = 900 Мощности 2 QL = XLI 2= BU L L P=0 S =QL Временная диаграмма: диаграмма: -56- 38 Емкостной элемент (идеальный конденсатор) с емкостью C — элемент электрической цепи, учитывающий энергию электрического поля Обозначения на схемах замещения Уравнения связи i=C⋅ Векторные диаграммы Проводимость, Cм du c dt QC=XC I 2=BCUC2 BC = XC = 1 ωC uC = 1 idt C∫ Мощности ϕ=- 900 1 = ωC XC P=0 S = QС Временная диаграмма: диаграмма: -57- 39 Комплекс полного сопротивления - Z схема уравнение Z = пример U m U Ue jψ u = = = Ze jϕ Im I Ie jψ i ZR = R Z R = R = 2 = 2 ⋅ e j 0° Ом Z L = jX L Z L = jX L = j3 = 3 ⋅ e j 90° Ом Z C = − jX C ZC = − jXC = − j4 = 4⋅ e− j90° Ом Z = R + jX = R + jX L − jXC где Х = XL − Хс реактивное Z = R + jXL − jXC = = 2 + j3 − j4 = 2 − j1Ом − сопротивление -58- Полное сопротивление Z – модуль комплексного сопротивления: Z= R2 + (X Треугольник сопротивлений: L − X C )2 R = Z ⋅ cos ϕ X = Z ⋅ sin ϕ ϕ = arctg cos ϕ = R Z sin ϕ = X Z tg ϕ = X L − XC R X R -59- 40 Знак угла сдвига фаз определяется знаком реактивного сопротивления Х. Реактивное сопротивление положительно и сопротивление цепи носит активно-индуктивный характер, если Реактивное сопротивление отрицательно и сопротивление цепи носит активно-емкостной характер, если X L > XC XL < XC Схема замещения цепи имеет следующий вид, вид, при: при: -60- 41 Закон Ома и законы Кирхгофа для цепи синусоидального тока Законы Ома и Кирхгофа рассмотренные для цепей постоянного тока, справедливы и для мгновенных значений синусоидальных токов, напряжений и ЭДС. u R i= Закон Ома: Закон Ома в комплексной форме имеет вид: I= U = U ⋅Y , Z U = Z ⋅I = I Y где Z и Y — комплексные сопротивление и проводимость цепи. -61- Первый закон Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю: n ∑i k =0 k =1 Второй закон Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на всех элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС в том же контуре в тот же момент времени: n n ∑е = ∑u k k =1 k k =1 Методы расчета сложных цепей постоянного тока, основанные на законах Ома и Кирхгофа можно применять для расчета цепей синусоидального тока. -62- 42 Мощность в цепи синусоидального тока мощность определение, формулы ед. измерения Активная - характеризует интенсивность необратимого преобразования электрической энергии в другие виды энергии. ватт (Вт), Активная мощность всегда положительна (кВт) 2 киловатт 2 P = U ⋅ I cos ϕ = U ⋅ I a = Ua ⋅ I = I ⋅ R = U ⋅ G Реактивная - характеризует интенсивность колебательного обмена энергией между источником и реактивными элементами приемника электрической энергии без ее преобразования. Реактивная мощность в цепи, имеющей индуктивный характер, - положительна, а в цепи с емкостным характером - отрицательна. вольт-ампер реактивный (Вар), киловольтампер реактивный (кВар) Q = U ⋅ I sin ϕ = U ⋅ I p = Up ⋅ I = I 2 ⋅ X = U2 ⋅ B Полная - это наибольшее значение активной мощности, которое может быть получено при заданных значениях напряжения и тока (т.е. характеризует предельные возможности источника). вольт-ампер (В·А), киловольтампер S = U ⋅ I = P2 + Q2 = I 2 ⋅ Z = U 2 ⋅Y (кВ·А) -63- 43 Комплекс полной мощности: * S =U ⋅ I =U ⋅ Ie± jϕ =UI cosϕ ± jUI sinϕ = P ± jQ = Р ± j(QL −QC ), где I* - сопряженное значение тока ο Пример: ο дано: U = 10е − j 25 В, I = 5е − j 80 A. ο * ο ο S = U ⋅ I = 10е − j 25 ⋅ 5е + j 80 = 50е − j 55 = 28,7 − j 40,9 В ⋅ А; P = 28,7 Вт, Q = −40,9 Вар. Баланс мощностей: ∑S и = ∑ Sп 2 ∑ P =∑ Р =∑ I R и п ∑Q = ∑Q = ∑I и 2 п ⋅ X = ∑I 2 ⋅ ( X L − XC ) -64- Из треугольника мощностей имеем соотношения, широко используемые при расчетах: S = P 2+ (QL −QC ) 2 ; Q = S 2− P 2 ; ϕ = arctg Q P Коэффициент мощности cos φ – важнейший энергетический параметр системы переменного тока. cos ϕ = P P = = S UI P = 2 P +Q 2 R Z Допустимая минимальная величина коэффициент мощности cos φ – нагрузки цеха, участка и т.д. определена ГОСТом: cos ϕ ≥ 0,8 -65- 44 Повышение коэффициента мощности в цепях синусоидального тока cosφ=1 (φ=0°) – наиболее благоприятный режим (по энергетическим соображениям) работы системы (цепи, устройства, цеха и т.д.). • При В этом случае вся подводимая полная мощность S=U⋅I преобразуется в тепловую (механическую, световую и т.д.) энергию, т.е. используется полезно. • При cosφ=0 (φ=90°) активная мощность Р=0, т. е имеет место бесполезная циркуляция реактивной мощности между источником энергии и его потребителями. Большинство современных потребителей электрической энергии имеют резистивно-индуктивный характер нагрузки, токи которой отстают по фазе от напряжения источника. Для повышения значения cosϕ – используют батарею конденсаторов, подключаемую параллельно нагрузке, уменьшая тем самым полную реактивную мощность Q нагрузки. а) б) в) -66- 45 Цепи синусоидального тока при последовательном соединении элементов При протекании синусоидального тока i = I m sin( ωt + ψ i ) по цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R , L , C, на ее зажимах создается синусоидальное напряжение, равное алгебраической сумме синусоидальных напряжений на отдельных элементах (второй закон Кирхгофа): u = u R + uC + u L Для комплексных действующих значений: U = R ⋅ I + jX L ⋅ I − jX C ⋅ I U = U R +U C +U L; Закон Ома в комплексной форме: I = U U = Z R + j( X L − X C ) -67- Векторная диаграмма – построение для последовательной цепи начинают с вектора тока I , который является одним и тем же для всех элементов. • Вектор напряжения на резисторе совпадает по фазе с вектором тока, • на конденсаторе он отстает от вектора тока на 90°, • а на катушке опережает вектор тока на 90°. • Сумма этих векторов напряжения на элементах цепи, дает вектор напряжения источника. • Учтено, что при построении векторной диаграммы, неравенству X L > X C , соответствует условие: U L > UC . Из векторной диаграммы определяют входное напряжение: U = U R2 + (U L − U C ) 2 , ток и полное сопротивление: U I= = 2 R + (X L − XC ) 2 U , Z Z = R2 + ( XL − XC )2 . -68- 46 Пример: Дано: U = 220 B; R = 1 Oм; X L = 3 Ом; X C = 2 Ом. Определить: токи I , I , i, напряжения на каждом элементе. Решение: в комплексном виде общее сопротивление цепи по модулю Z = R + jX L − jX C = Z= = 1 + j 3 − j 2 = 1 + j1 = 1, 41 ⋅ e j 45ο Ом 2 R + ( X L − X C )2 = = 12 + (3 − 2) 2 = 1 + 1 = 1, 41 Ом j0 ток I= U 220 ⋅ e − j 45ο = A ο = 155, 6 ⋅ e Z 1, 41 ⋅ e j 45 UR = I ⋅ZR = на каждом ο = 155, 6e − j 45 ⋅ 1e j 0 = 155, 6e − j 45 B UL = I ⋅ZL = ο элементе U 220 = = 155, 6 A Z 1, 41 U R = I ⋅ R = 155, 6 ⋅ 1 = 155,6 B ο напряжения I= ο = 155, 6e − j 45 ⋅ 3e j 90 = 466, 7 ⋅ e j 45 B U L = I ⋅ X L = 155, 6 ⋅ 3 = 466, 7 B UC = I ⋅ ZC = ο ο ο = 155, 6e − j 45 ⋅ 2e − j 90 = 311,1 ⋅ e − j135 B Мгновенное значение тока U C = I ⋅ X C = 155, 6 ⋅ 2 = 311,1 B i = I ⋅ 2 sin( ωt + ψ i ) = 220sin(ωt − 45ο ) A -69- 47 Цепи синусоидального тока при параллельном соединении элементов Цепь с двумя параллельными ветвями. I = I1 + I2 Из 1-го закона Кирхгофа: Токи в ветвях по закону Ома: Пример: Дано: U = 220 B; U . I2 = Z2 U , I1 = Z1 U I = , Z R1 = 2 Oм; X L = 2 Ом; R2 = 1 Oм; X C = 1 Ом. Определить: все токи. Решение: задача решается в комплексном виде Сопротивления ветвей Z1 = R1 + jX L = Общее сопротивление цепи Z общ = ο = 2 + j2 = 2,8 ⋅ e j 45 Ом; Общий ток Z1 ⋅Z 2 = Z1 + Z 2 I= U = Z U 220 ⋅ e j 0 = ο = Z1 2, 83 ⋅ e j 45 ο = = = ο = 77, 74 ⋅ e − j 45 A . ο = 1,26 ⋅ e− j18,4 3,16 ⋅ e j 18 ,4 = 1 − j1 = 1,4 ⋅ e− j 45 Ом I1 = 220 ⋅ e j 0 ο 4 ⋅ e j0 Z 2 = R2 − jX C = Токи в ветвях I2 = U 220 ⋅ e j 0 = ο = Z 2 1, 41 ⋅ e − j 45 ο j18,4 A. = 156 ⋅ e j 45 A. = 1, 26 ⋅ e − j 18 ,4 О м. = 173,8 ⋅ e ο ο -70- Проводимость Y = Y1 +Y 2 = 1 комплексная активная реактивная Z 1 1 1 = = ⋅ e − jϕ = Y ⋅ e − jϕ Z Z ⋅ e jϕ Z в показательной форме Y= в алгебраической форме Y = G + jB = (G1 + G2 ) + j ( BL − Bc ) G= R R = R2 + X 2 Z 2 B= X X = R2 + X 2 Z 2 Y = (G1 + G2 ) 2 + ( BL − BC ) 2 полная Треугольник проводимостей: проводимостей: G = Y ⋅ cos ϕ, cos ϕ = B = Y ⋅ sin ϕ, B B G , sin ϕ = , tg ϕ = Y G Y -71- 48 Векторная диаграмма для параллельной цепи напряжение на выводах всех ветвей одинаковое, поэтому построение начинают с вектора U , (начальная фаза U равна нулю). ► Т.к. сопротивление 1-ой ветви активно-индуктивное, то ток I1 отстает по фазе от напряжения. ► Сопротивление 2-ой ветви активноактивно-емкостное - ток I2 опережает по фазе напряжение. ► Общий ток I строят по правилу параллелограмма. Ia, I1a, I2a - активно-составляющие тока; Iр, I1р, I2р - реактивно-составляющие тока. Построение треугольника тока очевидно из векторной диаграммы. Ia = I ⋅ cos ϕ = G ⋅U; cos ϕ = R ; Z I p = I ⋅ sin ϕ = B ⋅ U ; sin ϕ = X . Z -72- 49 Резонанс напряжений - режим, при котором в цепи с последовательным соединением R, L, C напряжение на входе совпадает по фазе с током. Режим резонанса может быть достигнут при изменении L, C, ω. Особенности резонанса напряжений X L = XC Условие резонанса Полное сопротивление цепи – равно активному сопротивлению и минимально или ωL = 1 ωC Z рез = R Ток цепи- совпадает по фазе с напряжением источника и достигает максимального значения I рез = U Напряжения UL =UC =U Z рез R > UR =U -на реактивных элементах равны. Особенность - усиление напряжения (каждое напряжение в отдельности может во много раз превышать напряжение на зажимах цепи) UL = X L⋅I рез ; UС = X С ⋅I рез U R = I рез ⋅ R Активная мощность - 2 P = R ⋅ I рез максимальна, т.к максимален ток Реактивная мощность – Q L = QC ; реактивные мощности равны 2 2 X L ⋅ I рез = X C ⋅ I рез φ = 0, Угол сдвига фаз cosφ = 1 -73- Векторная диаграмма: Частотные характеристики – это зависимость параметров цепи от частоты. Зависимость индуктивного и емкостного сопротивлений от частоты определяются формулами: XC = X L = ω ⋅ L = 2π ⋅ f ⋅ L При резонансе напряжений частота источника равна собственной частоте колебаний контура: контура: 1 1 = ω ⋅ C 2π ⋅ f ⋅ C Резонансная частота: 1 f = = f0 - формула Томсона. 2π LC ω рез = 1 LC -74- 50 Резонанс токов - режим, при котором в цепи, содержащей параллельные ветви с L и C элементами, ток неразветвленного участка цепи совпадает по фазе с напряжением. Резонанса можно достичь путем изменения L, C, ω или R1, R2 Особенности резонанса токов (если R1 и R2 – не изменяются) X XL Условие резонанса BL = BC или = C 2 R12 + X L2 R2 + X C2 Полная проводимость цепи – Y = (G1 +G2)2 +(BL − BC )2 = G1 +G2 = G равна активной проводимости и практически минимальна Полное сопротивление цепи – Z рез = 1 = R Y I рез = U ⋅ GЭ равно активному сопротивлению и максимально Общий ток цепи – минимальный Токи в ветвях - реактивные составляющие токов равны, - ток в общей цепи численно равен активно-состовляющей тока I p = I 1 p + I 2 p = 0; I= I 1p = I 2 p 2 I a + ( I1 p − I 2 p ) 2 = I a Особенность - усиление тока (каждый ток может во много раз превышать ток в неразветвлённой части цепи) QL = QC ; Реактивная мощность – реактивные мощности равны Q L = BL ⋅ U 2 Угол сдвига фаз ϕ = arctg φ=0 QC = BC ⋅ U 2 BL − BC G1 + G2 -75- 51 Частотная характеристика «идеального» идеального» контура при параллельном соединении ветвей, ветвей, т. е. контура у которого R1=R2=0. ► Индуктивная проводимость такого контура: ► Емкостная проводимость контура: ► Этим выражениям соответствуют характеристики: BC = BL = 1 1 . = X L ωL 1 = ωC. XC Частотные характеристики: B = BL + BC = 0 Резонансные кривые: Векторная диаграмма: -76- Пример: В цепи добиться резонанса напряжений , если U=220 В, R =1 Ом, XL = 3 Ом, XC = 2 Ом. Определить ток во время резонанса напряжений. Решение: Резонанса напряжений добиваются в схемах замещения по виду комплексного сопротивления цепи. Схема замещения: Z = 1 + j1 = R + jX L Ом. Характер цепи активно-индуктивный. Необходимо добавить в цепь емкостной элемент ХС= т.к. условие резонанса напряжений: 1 Ом, ХL = XC. • Комплексное сопротивление всей цепи становится чисто активным: Z рез = 1 + j1 − j1 = 1 Ом, Z рез = R • Ток в момент резонанса напряжений: I рез = U 220 ⋅ e j 0 = = 220 ⋅ e j 0 A. j0 Z рез 1⋅ е • Действующее значение тока: I рез = 220 A. 52 -77- Пример: В цепи добиться резонанса токов , если U=220 В, R1 =2 Ом, XL = 2 Ом, R2 =1 Ом, XC = 1 Ом. Определить ток во время резонанса токов. Решение: Резонанса токов добиваются в схемах замещения по виду комплексного сопротивления цепи. Z общ = 1, 2 − j 0, 4 = R − jX c Схема замещения - характер цепи активно-емкостной. В схему замещения необходимо включить индуктивный элемент XL параллельно входным зажимам. Условие резонанса токов: ВL = ВC . BL = XL 1 X 0, 4 BС = 2 С 2 = = 0, 25 См; = ; R + X С 1, 2 2 + 0, 4 2 R 2 + X L2 X L 1 = 0, 25 ⇒ X L = 4 Ом. XL ο • Комплексное сопротивление цепи в момент резонанса токов: • Ток в момент резонанса токов: • Действующее значение тока: Z рез = I рез = Z1 ⋅ Z 2 5 ⋅ e j 71,6 j 0ο = Ом. ο = 1, 3 ⋅ e Z 1 + Z 2 3,8 ⋅ e j 71,6 U 220 ⋅ e j 0 = = 169,2 ⋅ e j 0 A. Z рез 1,3 ⋅ е j 0 I рез = 169,2 A. 53 -78- Трёхфазные электрические цепи. Трехфазная цепь представляет собой совокупность трех электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, отличающиеся по фазе одна от другой на угол 1200 и создаваемые общим источником энергии . Основные преимущества трехфазных цепей : • Экономичность передачи энергии. • Трехфазный генератор дешевле, чем три однофазных генератора такой же общей мощности. • Возможность получения кругового вращающегося магнитного поля. • Получение двух различных эксплуатационных напряжений в одной установке – фазного и линейного. линейного. -79- Получение трехфазного тока с помощью асинхронного генератора. генератора. Трехфазная цепь состоит из трех типов элементов: • источника электрической энергии • • линии передачи приемников. (трехфазного генератора или трансформатора), Каждую из частей трехфазной цепи, характеризующуюся одинаковым током, принято называть фазой. Последовательность прохождения ЭДС через одинаковые значения (например, максимум) называют последовательностью фаз. Последовательность чередования фаз определена ГОСТ: А – В – и обратный порядок (А-С-В) не допустим, т.к. может привести к авариям. С -80- 54 Если начальную фазу ЭДС еА принять равной нулю, нулю, то мгновенные значения ЭДС можно записать: записать: eA(t) = EmA· sin ωt, В eB(t) = EmB· sin (ωt – 120°), В eC(t) = EmC· sin (ωt + 120°), В В комплексной форме действующие значения этих же ЭДС равны:: Временные диаграммы: i Е A = E·е j0° j0° В, iA iB iC ЕА ЕВ ЕС j120° В, EB = E·e –j120° t j240° = E·e j120° j120° В. EC = E·e –j240° 2π/3 2π/3 2π/3 2π -81- 55 Способы соединения обмоток источника питания трёхфазной цепи. цепи. В целях экономии обмотки трехфазного генератора соединяют звездой (а) или треугольником (б). A A EA UA EA EC UAB UCA UAB N UCA EC U B UC C EB B C B UBC EB UBC а) Звезда б) Треугольник -82- Определения Фазные напряжения Uф: U A, U B, U C Линейные напряжения Uл: UAB, UBC, UCA Линейные провода Линейные токи Iл -напряжения между началами и концами фаз генератора. За положительное направление фазных напряжений принимают направление от начала к концу фаз обмотки - напряжения генератора. между началами фаз Положительное направление линейных напряжений - от А к В, от В к С, от С к А - соединяют фазы генератора и приемника - токи в линейных проводах. Положительное направление – от генератора к нагрузке Фазные токи Iф - токи, протекающие в каждой фазе Векторная диаграмма напряжений: • Напряжения на векторной диаграмме направлены в противоположную сторону, чем на схеме. • При построении учтено, что потенциал нейтральной точки N равен нулю. -83- 56 Соотношения между линейными и фазными напряжениями и токами . Линейные и фазные напряжения приемника связаны между собой соотношениями (по 2 закону Кирхгофа): U AB = U A − U B , U BC = U B − U C , U = U − U . CA C A Фазные напряжения Линейные напряжения в комплексной форме: в комплексной форме: UA = Uф · е j0° UAB = Uл · е j30° UB = Uф · e –j120° UBC = Uл · e –j90° UC = Uф · e j120° UCA = Uл · e j150° Связь между фазными и линейными напряжениями можно получить, выделив на векторной диаграмме треугольник. При соединении генератора в «звезду» При соединении генератора в «треугольник» Uл=UAB=2Uф·cos30° => Uл=√3·Uф; Uл = Uф; I л = Iф Iл = √3 · Iф -84- 57 Анализ трехфазных цепей при соединении приемников «звездой»: 1. Четырехпроводная цепь, 2. Трехпроводная цепь. цепь, цепь Четырехпроводная цепь. цепь Схема замещения четырехпроводной цепи, в которой фазы генератора и приемника соединены «звездой». Нейтральный провод в четырехпроводной цепи предназначен для обеспечения симметрии фазных напряжений при несимметричной нагрузке.. -85- Фазные напряжения приемника равны фазным напряжениям генератора: Ua = U A ; Ub = U B ; Uc = U C Соответственно равны и линейные напряжения. Фазные токи равны соответствующим линейным токам: Ia = IA ; Ib = IB ; Ic = IC Токи в каждой фазе приемника определяют по закону Ома: U Ia = a , Za U Ib = b , Zb U Ic = c . Zc Ток в нейтральном проводе равен сумме токов трех фаз. По 1-му закону Кирхгофа: IN = Ia + Ib + Ic -86- 58 При симметричной нагрузке При несимметричной нагрузке Расчетов токов в системе упрощается и сводится к расчету тока в одной фазе. Токи в фазах будут разными. Ток в нейтральном проводе отсутствует Поэтому ток в нейтральном проводе уже не будет равен нулю IN = Ia + Ib + Ic = 0 IN ≠ 0 Векторная диаграмма: Важным преимуществом четырехпроводной цепи является то, что при изменении режима работы одной из фаз режимы других фаз не изменяются, т. к. нейтральный провод обеспечивает постоянство фазных напряжений. -87- 59 Трехпроводная цепь - трехфазные цепи при соединении фаз приемника «звездой» без нейтрального провода. Векторная диаграмма при симметричной нагрузке Напряжения: Uл = √3··Uф токи: Iл = Iф и Расчет токов, трехпроводной системы при симметричной нагрузке Za = Zb = Zc ведется на одну фазу: Напряжение для фазы «а»: Ток для фазы «а»: Ia =Ua Uа = Uф·e j0°, Za -88- Несимметричная нагрузка - Za ≠ Zb ≠ Zc , симметрия фазных напряжений и токов нарушается. Линейные напряжения UAB, UBC, UCA не изменяются, при изменении режима приемников, но потенциал нейтральной точки приемника уже не равен нулю. нулю. Его можно определить методом двух узлов в комплексной форме: U nN = E A ⋅Y a + E B ⋅Y b + E C ⋅Y c , Ya +Yb +Yc где Ya, Yb, Yc – комплексные проводимости фаз приемника, UnN – напряжение смещения нейтрали. Фазные напряжения приемника Токи в фазах приемника не равны фазным напряжениям генератора из-за смещения нейтрали: определяются по закону Ома: U Ia = a ; Za U Ib = b , Zb  U Ic = c . Zc U a = U A − U nN , U b = U B − U nN , U = U − U . c C nN -89- 60 Векторная диаграмма: Так как UnN ≠ 0, то нейтральная точка не совпадает с нейтральной точкой генератора, т.е. смещается из начала координат. Фазные напряжения изменяются во всех фазах. -90- 61 Анализ трехфазных цепей при соединении приемников «треугольником» треугольником». При соединении генератора в «треугольник»: Uл = Uф Iл= √3·Iф При соединении нагрузки в «треугольник» линейные токи не равны фазным токам нагрузки и определяются через них по 1-му закону Кирхгофа: IA = IAB − ICA , IB = IBC − IAB , IC = ICA − IBC Каждая фаза приемника оказывается включенной на линейное напряжение генератора, поэтому эти напряжения являются фазными напряжениями приемника Uл = Uф: U ab = U AB , U bc = U BC , U ca = U CA . -91- • Токи IA , IB , IC называются линейными. линейными Положительное направление – от генератора к приемнику. • Токи Iab , Ibc , Ica называются фазными. фазными Положительное направление – от «a» к «b», от «b» к «c», от «c» к «а». Токи в фазах приемника определяются по закону Ома:  I = U AB ; ab Z ab  I = U BC , bc Z bc  I = U CA . ca Z ca Линейные токи определяются по 1-му закону Кирхгофа: I A = I ab − I ca , I B = I bc − I ab , I C = I ca − I bc . При симметричной нагрузке: нагрузке I л = 3I ф . -92- 62 Важной особенностью соединения фаз приемника «треугольником» является то, что при изменении сопротивления одной из фаз режим работы других фаз остается неизменным. Т.к. линейные напряжения генератора остаются постоянными (будет изменяться только ток данной фазы и линейные токи в проводах, соединенных с этой фазой). Схема широко используется для включения несимметричной нагрузки. нагрузки. Векторную диаграмму токов строят начиная с фазных токов Iab , Ibc и Ica (с учетом сдвига фаз между током и напряжением). Затем строят векторы линейных токов IA , IB , IC в соответствии с формулами. -93- 63 Мощность трехфазной цепи. Активная мощность трёхфазной системы равна сумме активных мощностей отдельных фаз: P = PA+ PB + PC Реактивная мощность трёхфазной системы равна сумме реактивных мощностей отдельных фаз: Q = Q A + QB + QC При симметричной нагрузке: нагрузке: Pф = P A = P B = P C ; P = 3Pф Qф = QA = QB = QC ; Q = 3Qф -94- Мощность одной фазы определяется по формулам для однофазной цепи: P = UA IA cosφ cos + UB IB cosφ cos + UC IC cosφ cos = 3U UфIфcosφ cos Q = UAIA sinφ sin + UBIB sinφ sin + UCIC sinφ sin = 3UфIф Формулы мощности трехфазной sinφ sin системы записывают и через линейные токи и напряжения: напряжения: P = 3U Л I Л cos ϕ ; Q = 3U Л I Л sin ϕ ; Полная мощность трёхфазной системы: системы: S= P2 + Q2 = 3U Л I Л Коэффициент мощности: мощности: cos ϕ = P = S 64 P 3U Л I Л -95- Измерение активной мощности в трехфазной системе. системе. Для измерения активной мощности в трехпроводной цепи используют два ваттметра. Сумма показаний 2-ух ваттметров при этом определяет активную мощность всей системы: Р = Р1 + Р2 При симметричной нагрузке фаз достаточно измерить мощность одной из фаз и результат утроить: Р = 3· 3·Рф Схема измерения мощности в четырехпроводной цепи с помощью трёх ваттметров Схема измерения мощности с помощью двух ваттметров. ваттметров. Р = Р 1 + Р2 + Р 3 -96- 65 Электрические цепи с несинусоидальными периодическими токами. Периодическими несинусоидальными величинами называют любые величины (токи, напряжения, ЭДС), которые изменяются во времени по периодическому несинусоидальному закону: f(t) = f(t + T), где Т – период функции (т.е. период колебания – наибольшее время, по истечению которого колебания полностью повторяются). Несинусоидальные токи возникают в электрических цепях, если в них действуют источники несинусоидальных ЭДС (напряжений) или тока, или если есть в цепи нелинейные элементы. Наиболее наглядным способом представления несинусоидальных величин являются кривые их мгновенных значений, которые можно наблюдать на экране осциллографа. -97- Представление периодических несинусоидальных функций рядом Фурье. Фурье. Вторым способом представления несинусоидальных величин является разложение функции времени в тригонометрический ряд Фурье. Фурье. Пусть задана некоторая периодически изменяющаяся несинусоидальная ЭДС, которая в общем случае может быть представлена: е(t) = Е(0) + е(1) + е(2) + … + е(к) = = Е(0) + Еm(1)·sin (ωt + Ψе(1)) + Еm(2)·sin (2· (2·ωt + Ψе(2)) + … + Еm(k)·sin (k· (k·ωt + Ψе(k)) = Е(0) + ∑ Еm(k)·sin (k· (k·ωt + Ψe(k)) Для напряжения: u = U(0) + ∑ Um(k)·sin (k· (k·ωt + Ψu(k)) Для тока: i = I(0) + ∑ Im(k)·sin (k· (k·ωt + Ψi(k)) -98- 66 где Е(0) – постоянная составляющая. • Еm(1)· sin (ωt + Ψе(1)) – основная гармоника. Гармониками называют синусоидальные составляющие кратных частот k·ωt. • К – номер гармоники.. Гармоники, для которых К – нечетное число, называют нечетными; нечетными для которых К – четное число – четными. четными. • Еm(k) – амплитуда К-ой гармоники. • Еm(2)· sin (2· (2·ωt + Ψе(2)) и т.д. – высшие гармоники. • ω – частота основной или первой гармоники. • Ψ – начальная фаза К-ой гармоники. Тригонометрический ряд Фурье, Фурье, как правило быстро сходится, сходится, поэтому для инженерных расчетов количество гармоник ограничивают и учитывают только первые 3-5 гармоник ряда. ряда. -99- 67 Величины, Величины, характеризующие периодические несинусоидальные напряжения, напряжения, токи, токи, ЭДС. ЭДС. • Максимальным значением несинусоидальной функции тока (напряжения, ЭДС) является наибольшее мгновенное значение этой функции за период. • Действующее значение несинусоидального тока (напряжения, ЭДС) определяется среднеквадратичным значением этой величины за период: I= 1 2 ∫ i dt = T 1 ∫ ( I (0) + T ∑I m(k ) ⋅ sin (k ⋅ ωt + ψi (k ) )) 2dt После интегрирования принимает вид: I = I (20) + I (21) + I (22) + I (23) + ... + I (2K ) Действующее значение несинусоидальной величины не зависит от начальных фаз гармоник. -100- • При исследовании электрических цепей несинусоидального тока пользуются средним по модулю значением, значением которое определяется как среднее арифметическое значение модуля мгновенного значения за период, т.е. I ср. мод = 1 ∫ / i /⋅ dt Т • Постоянная составляющая представляет собой среднее значение функции за период: I (0) = 1 i ⋅ dt Т ∫ • Коэффициент формы равен отношению действующего значения несинусоидального тока (напряжения) к его среднему по модулю значению: I Кф = Для синусоиды: синусоиды: Кф = π/2√2 = 1,11 I ср. мод -101- 68 • Коэффициент амплитуды равен отношению максимального значения несинусоидального тока к его действующему значению: Кa = I max I Для синусоиды: синусоиды: Ка = √2 • Коэффициент искажения равен отношению действующего значения первой гармоники к действующему значению несинусоидального тока (напряжения): Ки = I (1) Для синусоиды: синусоиды: Ки = 1 I • Коэффициент пульсаций равен отношению амплитудного значения первой гармоники к постоянной составляющей несинусоидального тока (напряжения): Кп = I m (1) I (0) -102- 69 Мощность в цепях периодического несинусоидального тока. тока.  Активная мощность Р – это среднее значение мгновенной мощности за период: p= 1 1 ∫ p ⋅ dt = ∫ ui ⋅ dt Т Т Если представить напряжение и ток рядами Фурье, и поставить их под знак интеграла, то после интегрирования получим: Р = U(0)·I(0) + ∑ U(k)·I(k)·cos cos φ(k)= P(0) + P(1) + P(2)+ P(3)+ … + P(k)  Реактивная мощность Q - определяется как алгебраическая сумма реактивных мощностей всех гармонических составляющих: Q = ∑U(k)·I(k)·sin φ(k)= Q(1) + Q(2) + Q(3) + … + Q(k)  Полная мощность S - равна произведению действующих значений несинусоидальных напряжений и тока: S =U ⋅I = ∑U 2 (к) ⋅ ∑ I (2к ) В цепях периодического несинусоидального тока: S ≠ P2 + Q2 -103- Анализ линейных электрических цепей несинусоидального тока. Расчет цепей при несинусоидальных токах и напряжениях выполняется методом наложения (принцип суперпозиции) для каждой составляющей отдельно. • Производится наложение мгновенных значений токов (напряжений) всех учитываемых гармонических составляющих и постоянной составляющей. • Определяются действующие значения и мощность по выше приведенным формулам. • Для постоянной составляющей рассчитывается цепь постоянного тока методами, рассмотренными ранее. При этом учитывается, что индуктивное сопротивление равно нулю: • X L ( k ) = L ⋅ k ⋅ ω = 0, • а емкостное сопротивление – бесконечно велико: X C (k ) = • 1 C ⋅ k ⋅ω Следовательно, участок с индуктивным элементом нужно закоротить, закоротить а с емкостным – отключить. отключить. -104- 70 При расчете отдельных гармонических составляющих с частотами k·ω можно пользоваться комплексным методом. методом. • Учитывая, что сопротивления реактивных элементов цепи для отдельных гармоник будут различными. Для К-ой гармонической составляющей с частотой ω(k)= k·ω • Индуктивное сопротивление: сопротивление: X L ( k ) = k ⋅ ωL = k ⋅ X L , • Емкостное сопротивление: сопротивление: X C (k ) = X 1 = C k ⋅ ωC k • Активное сопротивление не зависит от частоты: R = const -105- 71 Литература • Электротехника и электроника. Учебник для вузов. – в 3-х книгах. Под ред. В.Г. Герасимова. • Беневоленский С.Б., Марченко А.Л. Основы электротехники ( с СD-диском) • М.С. Анисимова, И.С. Попова. Электротехника и электроника: Электрические цепи постоянного, переменного и трехфазного тока: Практикум / Под ред. Ф.И. Маняхина.- М.: Изд. Дом МИСиС, 2009. – 117 с. №1271 Формат 60 × 90 1/16 Тираж 166 экз. Объем 4,5 п.л. Заказ 4129 Отпечатано с готовых оригинал-макетов в типографии Издательского Дома МИСиС, 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4 Тел. (495) 236-76-17, тел./факс (495) 236-76-35