Ошибка репрезентативности и доверительный интервал для генерального параметра

Лекция 2. Ошибка репрезентативности и доверительный интервал для генерального параметра Выборочные характеристики, представляющие собой числа (точки на шкале) называют точечными оценками (существуют также и интервальные оценки). Оценки должны удовлетворять следующим требованиям: быть состоятельными, эффективными, несмещенными. Только при удовлетворении этих требований оценки хорошо представляют соответствующие параметры. В математической статистике введено понятие статистической ошибки или ошибки репрезентативности; она связана с точностью, с которой выборочная оценка представляет, репрезентирует свой параметр. Когда ошибка оценивания генерального параметра стремится к нулю при возрастании объема выборки, т.е. значение оценки стремится к значению параметра, то такая оценка называется состоятельной. Оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками. К примеру, из трех показателей, описывающих положение центра нормального распределения (средняя, медиана, мода), наиболее эффективной является средняя арифметическая, наименее эффективной - мода. Оценка ожидание) называется ее несмещенной, выборочного если распределения среднее совпадает (математическое со значением генерального параметра. Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней, а тогда как выборочная дисперсия представляет собой смещенную оценку. Например, чтобы получить несмещенную оценку, надо при вычислении выборочной дисперсии использовать формулу, где в знаменателе (N - 1): D=S2= 1 2 ( Xi  X )  N 1 Для понимания смысла этих требований нужно рассмотреть понятие выборочного распределения оценок какого-либо параметра. Рассмотрим условный пример для такого понятия, как арифметическое среднее: пусть ГС представляет собой 5 результатов выполнения некоторого психологического теста: 8 16 20 24 32: = 8  16  20  24  32 = 20 5 Таким образом, 20 - это значение генерального параметра. Заменим изучение генеральной совокупности изучением выборок объемом n = 4. Рассмотрим все возможные варианты таких выборок: 1) 8 16 20 24  = 17 2) 16 20 24 32  = 23 3) 8 16 24 32  = 20 4) 8 16 20 32  = 19 Из нашего примера видно, что из 5 оценок средних лишь одна совпала с параметром. Заранее мы не можем знать, как составить (отобрать) выборку, чтобы оценка параметра по ней была близка к параметру. Однако очевидно, что чем больше объем выборки, тем меньше вероятность того, что  , определяемое по выборке, будет значительно отличаться от генерального среднего (крайние случаи n=N-1 и n=2 ,т.е. N>>n) . Когда генеральная совокупность велика и, соответственно, число возможных выборок велико, то совокупность выборочных оценок средних для каждой из этих концентрирующееся выборок вокруг «концентрация» (дисперсия) Дисперсия образует генерального тем выше, нормальное среднего, чем больше распределение, причем эта объемы выборок. распределения средних имеет особое название, она именуется ошибкой репрезентативности. Выше речь шла о распределении выборочных средних. Это же рассуждение можно повторить для оценок дисперсии, моды, коэффициентов корреляции и т.д. В теории математической статистики доказано, что нормального распределения при достаточном объеме выборки (на практике n  30), стандартное отклонение среднего арифметического равно: Sx = S N ; где S - стандартное отклонение N - объем выборки. Эту величину называют также статистической ошибкой или ошибкой репрезентативности, т.е. это средняя ошибка, которая допускается, когда  рассматривается как генеральный параметр. Для других параметров ошиб ки репрезентативности таковы: Ошибка репрезентативности дисперсии: Ss2=S2/ 2N Ошибка репрезентативности стандартного отклонения Ss=S/ 2N Ошибка репрезентативности показателя асимметрии: Sa= 6 / N Ошибка репрезентативности показателя эксцесса: Se= 24 / N Теперь перейдем к понятию доверительного интервала, которое применяется для любого параметра. Мы рассмотрим его для генеральной средней. По известным выборочным характеристикам можно построить интервал, в котором с той или иной степенью вероятности находится генеральное среднее. Понятие доверительного интервала связано с понятием доверительной вероятности. Согласно этому принципу, маловероятные события считаются практически невозможными, а события, вероятность которых близка к единице, принимаются за почти достоверные. Обычно в психологии в качестве доверительных используют вероятности р = 0,95 и р = 0,99. Это означает, что при оценивании генерального параметра по известной выборочной оценке риск ошибиться в первом случае - один раз на 20 испытаний, во втором случае 1 раз на 100 испытаний. С доверительной вероятностью связано понятие уровня значимости  = 1- р Геометрически - это площадь под нормальной кривой выборочного распределения, выходящая за пределы той его части, которая соответствует Р%, поскольку в сумме они соответствуют всей площади под кривой. Иначе говоря,  означает площадь двух хвостов под кривой нормального распределения. При при р = 0,95 и  = 0, 05 на каждый «хвост» приходится по 2,5 % площади. Вероятность того, что  будет находиться в пределах доверительного интервала x - t SX     + t SX, описывается особой функцией, которая сведена в таблице (обычно это таблица 1 в приложении учебников по математической статистике) для р= 0,95 t=1,96 для р=0,99 t = 2,58 для p=0, 999 t =3,29 График нормальной кривой Выбор того или иного уровня доверительной вероятности зависит от исследователя, от его оценки ответственности за ошибочность выводов относительно генерального параметра . Пример: При измерении объема памяти у 100 испытуемых получено среднее значение числа запоминаемых сигналов было = 9 и стандартное отклонение S = 3. 27. Построить доверительный интервал для генеральной средней . Вычисления проводятся по формуле: x - t SX     + t SX 9 - 1,96 3271 . 327 .    92+1,96 100 100 или 9+ 0.196  3,27    9 + 1..96  3,27 или 8. 36    9.64. Таким образом, с вероятностью р = 0.95 генеральный параметр  находится в интервале 8.36 - 9.64. 95%