Оптимизация разработки группы залежей

ТЕМА ЛЕКЦИИ № 6 ОПТИМИЗАЦИЯ РАЗРАБОТКИ ГРУППЫ ЗАЛЕЖЕЙ Введение Цель лекции – знакомство с моделями и методами оптимизации разработки группы залежей нефти (газа). Под группой залежей понимается некоторый перечень объектов добычи, связанных либо общими затратами ресурсов, либо общим планом по добыче нефти (газа), либо общим показателем эффективности, который нельзя представить в виде простой суммы показателей эффективности отдельных залежей. Таким образом, группа представляет собой систему залежей, состоящую из взаимосвязанных элементов. Необходимость в рассмотрении системы залежей возникает, к примеру, при проектировании разработки многопластового месторождения или эксплуатации группы объектов, имеющих выход на один магистральный трубопровод. Кроме того, залежи могут разрабатываться одной нефтегазодобывающей компанией. В этом случае компания, обладая ограниченным объемом финансовых ресурсов (инвестиций), заинтересована в получении приемлемых значений технико-экономических показателей эффективности разработки не по отдельной залежи, а по всей группе в целом. Это означает, что оптимизация разработки отдельной залежи (эксплуатационного объекта) теряет смысл, т.к. оптимизация одной залежи будет влиять на возможности оптимизации остальных. Совместная оптимизация группы залежей предполагает, что возможны ситуации, когда на какой-либо отдельной залежи не достигаются наилучшие показатели ее разработки, но за счет этого улучшаются общие результаты разработки. Ниже будет рассмотрена одна из возможных моделей оптимизации разработки группы взаимосвязанных залежей и приведен пример решения полученной задачи оптимизации. 1 1. Постановка задачи и ее математическая формулировка Проектируется разработка морского нефтяного многопластового месторождения, состоящего из n продуктивных пластов (залежей). Каждая залежь разрабатывается своей сеткой скважин. Известна функция fi(xi), представляющая собой зависимость объема накопленной добычи нефти на i-й залежи за весь срок ее разработки от xi – числа скважин, i=1,2,...,n. Т.к. разбуривание месторождения ведется с платформы (платформ), то общее число скважин, с помощью которых будет разрабатываться месторождение ограниченно. Пусть N – суммарное допустимое число скважин, которое выделяется на разработку всех залежей. Требуется найти такое распределение ограниченного числа скважин по залежам, которое обеспечит максимум суммарной накопленной добычи нефти за весь срок эксплуатации месторождения. Решение задачи сводится к поиску таких xi, i=1,2,...,n, что 𝑛 ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 ) → max (1) 𝑥 𝑖=1 𝑛 ∑ 𝑥𝑖 ≤ 𝑁 (2) 𝑖=1 𝑥𝑖 ∈ {0,1,2, … }. (3) Задача (1)-(3) относится к классу моделей нелинейного дискретного программирования. Для ее решения требуется знать вид функций fi(xi), i=1,2,...,n, что рассмотрено ниже. 2. Построение зависимости объема накопленной добычи нефти от числа скважин Для построения функций fi(xi), i=1,2,...,n, воспользуемся упрощенной моделью разработки нефтяной залежи (см. лекцию 4): 𝑑𝑄(𝑡) = 𝑞𝑐 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦(𝑄(𝑡)), 𝑑𝑡 2 𝑄(0) = 0. (4) В модели (4) qc – дебит по жидкости одной скважины (рассматривается стратегия разработки с постоянным дебитом); х – число скважин; y(Q(t)) – доля нефти в продукции скважин (функция Баклея-Леверетта) в зависимости от Q(t) – объема накопленной добычи нефти к моменту времени t. Типичный вид функции y(Q(t)) представлен на рисунке 1. y(Q) Q Qк Рисунок 1 – Функция Баклея-Леверетта (зависимость доли нефти в продукции скважин от объема накопленной добычи нефти), Qк – предельный объем добычи нефти С целью упрощения модели аппроксимируем функцию БаклеяЛеверетта линейной зависимостью от Q: y(Q)=a – bQ. Определим a и b – параметры этой функции. Будем считать, что при t=0 (начало разработки) доля нефти в продукции скважин равняется 1 (обводнение отсутствует). Тогда y(0)=a – b 0=1, поэтому a=1. При Q=Qк доля нефти в продукции скважин падает до нуля: y(Qк)=1 – b Qк =0, поэтому b=1/Qк. Следовательно, y(Q)=1 –Q/Qк. (5) Если теперь подставить формулу (5) в формулу (4) и воспользоваться примером п.3 лекции 4, то не трудно получить: 𝑄(𝑡) = 𝑄к [1 − ехр (− 𝑞𝑐 𝑥 𝑡)]. 𝑄к (6) Вернемся к задаче (1)-(3). Пусть Тi – срок разработки i-й залежи, Qi – предельный объем накопленной добычи нефти на i-й залежи за весь срок ее 3 разработки, а qi – дебит по жидкости скважины i-й залежи, i=1,2,...,n. Для упрощения записи введем параметр i: 𝛼𝑖 ≡ 𝑞𝑖 𝑇𝑖 . 𝑄𝑖 (7) Учитывая формулы (6) и (7), получим, окончательный вид функций fi(xi), i=1,2,...,n: 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 ) = 𝑄𝑖 (1 − 𝑒 −𝛼𝑖 𝑥𝑖 ). (8) 3. Решение задачи (1)-(3) Рассмотрим алгоритм приближенного решения задачи, основанный на методе неопределенных множителей Лагранжа (см. лекцию 5). Для этого отбросим условие целочисленности (3), заменив его менее жестким условием неотрицательности искомых переменных: xi0, i=1,2,...,n. Тогда, учитывая, что функции fi(xi) возрастающие (см. формулу (8)), можно сделать вывод: ограничение-неравенство (2) можно без введения дополнительных искомых переменных заменить ограничением-равенством. Отбросим на время условия неотрицательности искомых переменных: xi0, i=1,2,...,n. Если и без учета этих условий будут получены значения искомых переменных, не меньших нуля, то полученные значения будут являться оптимальными. В противном случае придется использовать модификацию метода неопределенных множителей Лагранжа (метода Лагранжа), приспособленную к решению задач с ограничениями- неравенствами (см. лекцию 5, п.2). Итак, задача, подлежащая решению, с учетом (8) имеет вид: 𝑛 ∑ 𝑄𝑖 (1 − 𝑒 −𝛼𝑖 𝑥𝑖 ) → max 𝑥 𝑖=1 (9) 𝑛 ∑ 𝑥𝑖 − 𝑁 = 0 . 𝑖=1 4 (10) Составим функцию Лагранжа – L(x1, …,xn,) для задачи (9),(10), учитывая, что имеется только одно ограничение (9): 𝑛 𝑛 𝐿(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜆) ≡ ∑ 𝑄𝑖 (1 − 𝑒 −𝛼𝑖𝑥𝑖 ) + 𝜆 (∑ 𝑥𝑖 − 𝑁) , 𝑖=1 (11) 𝑖=1 где  - множитель Лагранжа, подлежащий определению наряду с искомыми переменными - xi, i=1,2,...,n. Найдем производные функции (11) по каждому xi, i{1,2,...,n}, приравняем их нулю и добавим к полученным уравнениям ограничение (10): 𝜕𝐿 = 𝑄1 𝛼1 𝑒 −𝛼1 𝑥1 + 𝜆 = 0, 𝜕𝑥1 ……………………………. 𝜕𝐿 = 𝑄𝑛 𝛼𝑛 𝑒 −𝛼𝑛𝑥𝑛 + 𝜆 = 0, 𝜕𝑥𝑛 (12) 𝑛 ∑ 𝑥𝑖 − 𝑁 = 0. 𝑖=1 Рассмотрим n первых уравнений системы (12). Выразим из каждого такого уравнения xi, i=1,2,...,n через : 𝑒 −𝛼𝑖 𝑥𝑖 = 𝜆 𝜆 1 𝑄𝑖 𝛼𝑖 ⇒ −𝛼𝑖 𝑥𝑖 = ln ( ) ⇒ 𝑥𝑖 = ln ( ) , 𝑖 = 1, 𝑛. (13) 𝑄𝑖 𝛼𝑖 𝑄𝑖 𝛼𝑖 𝛼𝑖 𝜆 Подставим в ограничение (10), т.е. в последнее уравнение системы (12), выражение xi через , используя последнюю из формул (13): 𝑛 ∑ 𝑖=1 1 𝑄𝑖 𝛼𝑖 ln ( )−𝑁 =0 𝛼𝑖 𝜆 или 𝑛 ∑ 𝑖=1 1 [ln(𝑄𝑖 𝛼𝑖 ) − ln 𝜆] = 𝑁, 𝛼𝑖 откуда 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 1 1 ∑ [ln(𝑄𝑖 𝛼𝑖 )] − 𝑁 = ∑ ln 𝜆 , 𝛼𝑖 𝛼𝑖 5 тогда 𝑛 𝑛 1 1 ln 𝜆 = {∑ [ln(𝑄𝑖 𝛼𝑖 )] − 𝑁} ∙ [∑ ] 𝛼𝑖 𝛼𝑖 𝑖=1 −1 . (14) 𝑖=1 Вернемся к последней из формул (13), изменив индекс искомой переменной, чтобы его не путать с индексом, по которому выполняется суммирование: 𝑥𝑗 = 1 [ln(𝑄𝑗 𝛼𝑗 ) − ln 𝜆], 𝑗 = 1, 𝑛 . 𝛼𝑗 (15) Подставляя формулу (14) в формулу (15), получим окончательные значения искомых переменных: −1 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 1 1 1 𝑥𝑗∗ = [ln(𝑄𝑗 𝛼𝑗 ) − {∑ ln(𝑄𝑖 𝛼𝑖 ) − 𝑁} ∙ [∑ ] ] , 𝑗 = 1, 𝑛 . (16) 𝛼𝑗 𝛼𝑖 𝛼𝑖 Проверим: выполнение ограничения (10) для xj*: 𝑚 𝑚 𝑛 𝑛 ln(𝑄𝑗 𝛼𝑗 ) 1 1 − {∑ ln(𝑄𝑖 𝛼𝑖 ) − 𝑁} ∙ [∑ ] ∑ 𝑥𝑗∗ = ∑ 𝛼𝑗 𝛼𝑖 𝛼𝑖 𝑗=1 𝑗=1 𝑖=1 −1 𝑖=1 𝑚 𝑛 𝑗=1 𝑖=1 𝑛 ∙ [∑ 𝑗=1 1 ]= 𝛼𝑗 ln(𝑄𝑗 𝛼𝑗 ) 1 =∑ − {∑ ln(𝑄𝑖 𝛼𝑖 ) − 𝑁} = 𝑁. 𝛼𝑗 𝛼𝑖 Если к тому же полученные по формуле (16) значения искомых переменных не меньше нуля, то эти значения представляют собой оптимальное решение задачи (9),(10). Обратим, еще раз, внимание на систему (12). Нули производных функции Лагранжа по xi соответствуют точкам максимума функции Лагранжа. Нестрогое доказательство этого утверждения состоит в том, что вторая производная функции Лагранжа по xi меньше нуля: 𝜕2𝐿 2 −𝛼𝑖 𝑥𝑖 < 0. 2 = −𝑄𝑖 𝛼𝑖 𝑒 𝜕𝑥𝑖 Обычно вид функций, включенных в задачу «подсказывает» будет ли необходимое условие максимума (минимума) достаточным условием. 6 После решения задачи (9),(10), округляя до целых чисел значения, рассчитанные по формуле (16) так, чтобы не нарушить ограничение (3), можно получить приближенное решение исходной задачи (1)-(3). Выводы Веской причиной использования упрощенной модели разработки (формулы (6)-(8)) с последующим применением метода Лагранжа для решения задачи (1)-(3) является возможность с их помощью получать аналитические решения, т.е. результаты решения представляют собой аналитические зависимости числа скважин залежи от природных и технологических параметров (см. формулу (7)), а также от заданного общего числа скважин. Это позволяет выразить в аналитическом виде зависимость Qсум(N), где N – суммарное допустимое число скважин, а Qсум – суммарный максимальный объем накопленной добычи нефти за весь срок разработки многопластового месторождения. Для построения функции Qсум(N) достаточно подставить функции xj*(N), т.е. формулы (16), в функцию цели (9). Функция Qсум(N) может оказаться полезной месторождения для для первоначальных освоения его оценок запасов привлекательности (технико-экономического обоснования разработки). Имея функцию Qсум(N), можно обосновать необходимость изменения N, а, следовательно, необходимость изменения числа платформ и т.п. Незначительным усложнением модели (1)-(3) можно учесть большее количество параметров, влияющих на выбор числа скважин для каждого пласта некоторого месторождения. Обычно пласты залегают на разной глубине, что приводит к различной стоимости строительства скважин. В этом случае задачу можно поставить следующим образом: найти такое распределение числа скважин по залежам, которое обеспечит максимальный суммарный объем накопленной добычи нефти за весь срок эксплуатации месторождения при выполнении ограничения на суммарные затраты, выделяемые на строительство скважин. 7