Оптимизация электроэнергетических систем

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт высокоточных систем им. В.П. Грязева Кафедра «Электроэнергетика» Горелов Ю.И. доцент кафедры «Электроэнергетики», доцент КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ учебной дисциплины (модуля) «Оптимизация электроэнергетических систем» Уровень профессионального образования: высшее образование –бакалавриат Направление (специальность) подготовки: 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» Профиль (специализация) подготовки: «Электроснабжение» Квалификация выпускника: бакалавр Форма обучения: (очная, заочная) Тула 2015 г. Рассмотрено на заседании кафедры «Электроэнергетики» протокол заседания кафедры № 6 от "03" июня 2015 г. Зав. кафедрой________________В.М. Степанов 2 Введение При проектировании и эксплуатации технических систем постоянно приходится решать задачи поиска наилучшего решения из некоторого множества допустимых решений. Такое решение называют оптимальным, процесс поиска такого решения оптимизацией, а задачи, в которых ищется такое решение - оптимизационными задачами. Стремление к оптимальному решению – естественное состояние человека, который должен экономить запасы ресурсов (финансовых, энергетических, сырьевых) и времени. Естественное поведение человека – это, как правило, его действия для получения оптимального результата. Для решения оптимизационных задач будущему специалисту необходимы знания основ математического моделирования технических систем, методов решения оптимизационных задач, современного программного обеспечения персональных компьютеров. Формулировка любой технической задачи должна быть переведена на формальный математический язык, т.е. записана с помощью определенных математических выражений. Будущий специалист должен знать основы математического моделирования и уметь составлять математические модели оптимизационных задач. Для конкретной оптимизационной задачи не разрабатывается специальный метод решения. Существуют математические методы, предназначенные для решения любых оптимизационных задач - методы математического программирования. Будущий специалист должен знать эти методы математического программирования и уметь выбрать целесообразный метод для решения конкретной технической задачи. Решение задач небольшой размерности можно выполнить традиционными вычислениями с помощью калькулятора. Решение же реальных задач, размерность которых может быть достаточно большой, возможно лишь с помощью персонального компьютера. Будущий специалист должен знать программное обеспечение современных персональных компьютеров и уметь пользоваться этим обеспечением. Целью и основной задачей дисциплины «Оптимизация электроэнергетических систем» являются получение будущими специалистами основ знаний, необходимых для решения оптимизационных задач в области электроэнергетики. 1. Основные понятия и определения Показатель, по величине которого оценивают, является ли решение оптимальным, называется критерием оптимальности. В качестве критерия оптимальности наиболее часто принимается экономический критерий, представляющий собой минимум затрат (финансовых, сырьевых, энергетических, трудовых) на реализацию поставленной задачи. При заданной или ограниченной величине указанных затрат экономический критерий выражается в получении максимальной прибыли. В электроэнергетике в зависимости от требований поставленной задачи могут приниматься и другие критерии оптимальности, в частности: критерий надежности электроснабжения; критерий качества электроэнергии; критерий наименьшего отрицательного воздействия на окружающую среду (экологический критерий). Решение оптимизационной задачи включает в себя следующие этапы: 1. Сбор исходной информации (исходных данных). 2. Составление математической модели, под которой понимается формализованное математическое описание решаемой задачи. 3. Выбор метода решения, определяемого видом математической модели. 3 4. Выполнение математических вычислений, поручаемое, компьютеру. 5. Анализ решения задачи. Рассмотрим подробнее эти этапы поиска оптимального решения. как правило, 1.1. Исходная информация Очевидно, что без достоверной исходной информации остальные этапы поиска оптимального решения не имеют смысла. Без достоверной информации никакие, даже самые точные вычислительные методы и сверхмощные компьютеры не дадут достоверного оптимального решения. Как говорится, «Что посеешь, то и пожнешь». При сборе исходной информации необходимо правильно разделить информацию на главную и второстепенную, а также оценить категорию принимаемой исходной информации. Исходная информация может быть определенной и однозначной. Такая информация и называется определенной или детерминированной. Исходная информация может носить случайный характер и подчиняться законам теории вероятностей. Такая информация и называется случайной. Исходная информация может носить неопределенный характер и не подчиняться законам теории вероятностей. Такая информация называется неопределенной или недетерминированной. Рассмотрим существующее промышленное предприятие. Мощность, потребляемая предприятием, может быть непосредственно измерена ваттметром. Такая информация будет детерминированной. Если предприятие проектируется, то мощность, которую будет потреблять предприятие, непосредственно измерить невозможно. О величине этой мощности можно судить лишь с некоторой вероятностью, имея, например, статистические данные об аналогичных объектах. Такая информация будет случайной. Если аналогичные объекты отсутствуют, о величине мощности, которую будет потреблять предприятие, нельзя судить ни однозначно, ни с какой-то вероятностью. В этом случае информация будет недетерминированной. 1.2. Математическая модель Формализованное математическое описание оптимизационной задачи, другими словами, математическая модель включает в себя: целевую функцию; ограничения; граничные условия. Целевая функция представляет собой математическую запись критерия оптимальности. При решении оптимизационной задачи ищется экстремум целевой функции, например минимальные затраты или максимальная прибыль. Обобщенная запись целевой функции имеет следующий вид: Z  x1 , x2 ,..., xn   extr , (1.1) где x1 , x2 ,..., xn – искомые переменные, значения которых вычисляются в процессе решения задачи; общее количество переменных равно n. Искомые переменные по своему характеру делятся на непрерывные, дискретные и целочисленные. Если переменная может принимать любые значения, такая переменная называется непрерывной. Примером непрерывной переменной может служить мощность, передаваемая по линии электропередачи. Если переменная может принимать только значения целых чисел, такая переменная называется целочисленной. Примером целочисленной переменной может служить 4 количество трансформаторов для электроснабжения объекта или количество изделий, выпускаемых промышленным предприятием. Если переменная может принимать только определенные значения, такая переменная называется дискретной. Примером дискретной переменной может служить искомая мощность трансформатора или искомое сечение линии электропередачи. Значения таких величин регламентируются ГОСТами. Например, мощности . трансформаторов составляют ряд … 630, 1000, 1600, … кВ А, а сечения линии 2 электропередачи – ряд … 50, 70, 95 … мм . Распространенной задачей с дискретными переменными является задача выбора варианта из числа заданных. Зависимость между переменными в целевой функции (1.1) может быть линейной или нелинейной. Напомним, что линейной называется такая зависимость, в которую переменные xi(i=1, 2, 3, … n) входят только в первой степени и с этими переменными выполняются только действия сложения, вычитания и умножения на постоянный коэффициент. Во всех других случаях зависимость будет нелинейной. Нелинейная целевая функция в заданном диапазоне изменения переменных может иметь один экстремум или несколько экстремумов. В первом случае функция будет одноэкстремальной, во втором – многоэкстремальной. На рис. 1.1 приведены примеры одноэкстремальной (один минимум) и многоэкстремальной (два минимума и один максимум) функции Z(x) одной переменной в диапазоне изменения этой переменной d m система (1.2) имеет бесконечное множество решений, из которых можно выбрать оптимальное решение. Например, одно уравнение m=1 с двумя неизвестными n=2 х +х =4 1 2 имеет бесконечное множество решений: х =0, х =4; х =1, х =3; х =5, х =-1; … 1 2 1 2 1 2 Следовательно, поиск оптимального решения возможен лишь в случае, когда n > m. Граничные условия устанавливают диапазон изменения искомых переменных d <х 0, где i = 1, 2, ... n. (1.3а) i При наличии ограничений и граничных условий ищется уже не абсолютный, а относительный экстремум целевой функции. На рис. 1.2 показана некоторая функция одного переменного Z(x). Указан диапазон изменения переменной х (нижняя граница d и верхняя граница D). Видно, что абсолютный минимум функции соответствует точке 1, а относительный минимум – точке 2, принадлежащей заданному диапазону изменения переменной х. Рис. 1.2. Абсолютный (точка 1) и относительный (точка 2) минимумы функции 1.3. Методы решения оптимизационных задач Для решения подавляющего большинства оптимизационных задач используются методы математического программирования, позволяющие найти экстремальное значение целевой функции (1.1) при соотношениях между переменными, устанавливаемых ограничениями (1.2), в диапазоне изменения переменных, определяемом граничными условиями (1.3). Математическое программирование представляет собой, как правило, многократно повторяющуюся вычислительную процедуру, приводящую к искомому оптимальному решению. Выбор метода математического программирования для решения оптимизационной задачи определяется видом зависимостей в математической модели, характером искомых переменных, категорией исходных данных и количеством критериев оптимальности. Если в математической модели имеются только линейные зависимости между переменными, для решения оптимизационной задачи используются методы линейного программирования. Если в математической модели имеются нелинейные зависимости между переменными, для решения оптимизационной задачи используются методы нелинейного программирования. Если среди переменных имеются целочисленные или дискретные переменные, для решения оптимизационных задач такого класса используются, соответственно, методы целочисленного или дискретного программирования. В случае, когда исходные данные или их часть являются случайными величинами, решение оптимизационной задачи выполняется методами стохастического программирования. При недетерминированной (неопределенной) исходной информации оптимизационные задачи могут быть решены с применением математического аппарата теории игр. Задачи, в которых оптимизация проводится не по одному, а по нескольким критериям, относятся к классу задач многокритериальной оптимизации. Решение таких 7 задач заключается оптимальности. в нахождении компромисса между принятыми критериями 1.4. Выполнение вычислений Решение оптимизационных задач с небольшим количеством переменных х (i = 1, 2) i при знании алгоритмов методов математического программирования можно выполнить традиционными вычислениями с использованием калькулятора. Решение реальных задач, размерность которых может быть достаточно большой, возможно только с помощью компьютера. При этом компьютер должен иметь соответствующее программное обеспечение. Время составления инженерами программ, реализующих тот или иной метод математического программирования для решения оптимизационных задач одного класса, ушло в прошлое. Разработка новых методов решения – дело ученых-математиков. Разработка программного обеспечения компьютеров – дело высококлассных программистов. Инженер, непосредственно решающий оптимизационные задачи в области своей деятельности, должен уметь пользоваться существующим программным обеспечением современных компьютеров. От выделенного курсивом слова и произошел термин «пользователь». Появление такого мощного программного средства, как Excel 7.0, дает возможность пользователю решать практически любые оптимизационные задачи, совершенно различные по своему классу и содержанию. Совершенно нельзя полагать, что компьютер может выполнить все. Такие этапы, как формулировка конкретной задачи оптимизации, сбор и подготовка исходной информации, составление математической модели, ввод в компьютер исходных данных и анализ решения должны выполняться пользователем. В приложениях даются некоторые рекомендации и примеры решения оптимизационных задач различного класса с помощью программного обеспечения Excel 7.0. 1.5. Анализ решения оптимизационной задачи Никогда не стоит принимать окончательное решение оптимизационной задачи без результатов ее анализа. В качестве главного средства анализа используется математическая модель, позволяющая выполнить параметрический, структурный и многокритериальный анализ задачи. Параметрическим называется такой анализ, при котором задача решается многократно при различных значениях некоторого исходного данного (параметра). Оценивается влияние этого параметра на результаты решения. При структурном анализе многократное решение задачи выполняется при различной структуре ограничений и граничных условий. Оценивается влияние ограничений и граничных условий на результаты решения. Решение задачи по различным критериям (с различными целевыми функциями) составляет суть многокритериального анализа. Окончательное решение задачи принимается после исследования всех решений, полученных при параметрическом, структурном и многокритериальном анализах. В качестве примера составления математической модели рассмотрим задачу распределения ресурсов. Под ресурсами понимают, например финансы, энергию, сырье, необходимые для выпуска продукции и получения в конечном итоге прибыли. Естественно стремятся к максимальной прибыли при ограниченном количестве ресурсов. 8 Пример 1. Определить максимальную прибыль предприятия, выпускающего продукцию в виде изделий трех видов (i = 1, 2, 3). Для изготовления каждого i-го изделия требуются три вида ресурсов: энергетические, финансовые и сырьевые (j = 1, 2, 3). Исходные данные: наличие на предприятии каждого j-го ресурса b ; j норма расхода j-го ресурса на одно изделие i-го вида a ; ji прибыль z от реализации одного i-го изделия; i минимальное количество b всех видов изделий, которое предприятие должно 4 выпустить. Решение. Обозначим искомые количества 1-го, 2-го и 3-го видов изделий через х , 1 х их . 2 3 Поскольку необходимо найти максимальную прибыль предприятия, этот экономический критерий и выразим целевой функцией. Прибыль от реализации изделий iго вида есть произведение z x . Подлежащая максимизации суммарная прибыль от i i реализации трех видов изделий (целевая функция) будет иметь следующий вид: Z = z x + z x + z x → max. (1.4) 1 1 2 2 3 3 Перейдем к составлению ограничений. Поскольку на одно изделие 1-го вида требуется а единиц энергии, на искомое количество х потребуется а х единиц энергии. 11 1 11 1 Для искомых количеств изделий 2-го и 3-го видов потребуется соответственно а х и а х 12 2 13 3 единиц энергии. Суммарный расход энергии на выпуск трех видов изделий составит а х 11 1 + а х + а х единиц энергии. Эта величина ограничена наличием на предприятии 12 2 13 3 энергетических ресурсов в количестве b . Таким образом, ограничение по энергетическим 1 ресурсам будет иметь вид а х + а х + а х b . 1 2 3 4 В итоге, вся система ограничений будет иметь вид а х + а х + а х b . 1 2 3 4 Поскольку количество изделий любого вида не может быть отрицательным числом, граничными условиями будут неотрицательные значения искомых переменных x >0, i = 1, 2, 3. (1.6) i Выражения (1.4), (1.5) и (1.6) представляют собой математическую модель поставленной оптимизационной задачи. Выражения (1.4) и (1.5) являются линейно зависимыми от искомых переменных х , i следовательно, рассматриваемая оптимизационная задача относится к классу линейных задач, решаемых методами линейного программирования. 9 2. Линейные оптимизационные задачи Если целевая функция (1.1) и система ограничений (1.2) являются линейно зависимыми от переменных x1 , x2 ,..., xn , для решения оптимизационной задачи используются методы линейного программирования. Линейная математическая модель в общем случае имеет следующий вид: Z  z1x1  z2 x2      zn xn  extr , a11 x1  a12 x2      a1n xn  b1 , a12 x1  a22 x2      a2 n xn  b2 , ........................................... am1 x1  am 2 x2      amn xn  bm , . . . . . (2.1) xi  0, i  1,2,..., n; где zi , b j , a ji - заданные постоянные величины, i = 1.2,…n; j = 1, 2, ... m. Задача линейного программирования формулируется следующим образом: найти экстремальное значение линейной целевой функции Z при ограничениях, заданных в форме линейных равенств и (или) неравенств, и граничных условиях, указывающих диапазон изменения переменных. В реальных оптимизационных задачах ищется или минимум или максимум целевой функции. Методы линейного программирования работают совершенно одинаково, как при поиске минимума целевой функции, так и при поиске ее максимума. Допустим, что в линейной математической модели (2.1) ищется минимум целевой функции Z  z1 x1  z 2 x2      zn xn  min Если по этой же математической модели нужно найти максимум целевой функции Z, то у коэффициентов целевой функции меняются знаки на противоположные и вновь ищется минимум функции Z Z   z1 x1   z2 x2      zn xn  min . Таким образом, min( z1 x1  z2 x2      z n xn )  max z1 x1  z2 x2      zn xn  . 2.1. Графическое решение задачи линейного программирования Этот метод является достаточно простым, наглядным и позволяет сделать некоторые общие выводы по решению оптимизационных задач методами линейного программирования. Однако применение графического метода ограничено задачами относительно небольшой размерности. Рассмотрим математическую модель линейной оптимизационной задачи, в которой требуется найти минимум целевой функции Z  z1 x1  z2 x2  min при ограничениях a11 x1  a12 x2  b1 a21 x1  a22 x2  b2 a31 x1  a32 x2  b3 и граничных условияхнеотрицательности переменных xi  0, i  1,2. После введения дополнительных переменных x3 , x4 , x5 перейдем от ограниченийнеравенств к равенствам 10 a11 x1  a12 x2  x3  b1 a21 x1  a22 x2  x4  b2 (2.2) a31 x1  a32 x2  x5  b3 Отметим, что граничные условия неотрицательности переменных распространяются и на дополнительные переменные: xi  0, i  3,4,5. Отложим по горизонтальной оси значения переменной x1 , а по вертикальной оси значения переменной x2 . (рис. 2.1). Учитывая граничные условия ( x1  0, x2  0 ), штриховкой выделим полуплоскости допустимых значений переменных x1 и x2 (вправо от оси x2 и вверх от оси x1 ). Рассмотрим одно из ограничений-равенств, например, первое a11 x1  a12 x2  x3  b1 и перепишем его в виде x3   a11 x1  a12 x2  b1 . Приравняем переменную х к нулю 3 x3  a11 x1  a12 x2  b1  0 . Последнее соотношение представляет собой уравнение прямой линии в плоскости x1 x2 . На этой прямой значение x3  0 . Следовательно, по одну сторону от этой прямой x3  0 , по другую x3  0 . Учитывая граничное условие x3  0 , штриховкой выделим полуплоскость, в которой x3  0 . Рис. 2.1. Иллюстрация графического решения задачи Аналогичные графические построения выполним для второго и третьего ограничений системы (2.2). В результате выполненных графических построений на плоскости x1 x2 выделится область Ω допустимых значений переменных x1 , x2 , x3 , x4 , x5 (рис. 2.1). Эта область представляет собой выпуклый многогранник abcde. Все допустимые решения задачи, в том числе и оптимальное решение, будут принадлежать области Ω. Рассмотрим выражение целевой функции и приравняем его к нулю Z  z1 x1  z2 x2  0 . В плоскости x1 x2 это уравнение прямой линии, проходящей через начало координат (рис. 2.1). 11 Приравняем выражение целевой функции к любому отличному от нуля значению, например, к единице Z  z1 x1  z2 x2  1 и построим в плоскости x1 x2 соответствующую прямую (рис. 2.1). Прямые Z = const являются линиями равного уровня целевой функции, поскольку на каждой такой линии значение целевой функции неизменно. Линии равного уровня параллельны между собой. По взаимному расположению линий равного уровня Z=0 и Z=1 определим направление возрастания целевой функции Z. Это направление указано на рис. 2.1 стрелкой. Перемещая прямую целевой функции Z в направлении ее возрастания параллельно самой себе, определим ближайшую точку, принадлежащую области Ω допустимых значений переменных. В соответствии с графическими построениями такой точкой будет вершина е многогранника Ω (рис. 2.1). Эта вершина и будет соответствовать минимуму целевой функции, т.е. оптимальному решению задачи. Минимальное значение целевой функции Z достигается при следующих значениях переменных: x2  0, x3  0, x4  0, x1  0, x5  0 . Три переменные отличаются от нуля, две переменные равны нулю. Видно, что количество не равных нулю переменных равно количеству ограничений. Остальные переменные равны нулю. Пусть в рассмотренной выше линейной задаче требуется найти максимум целевой функции Z. Как было отмечено выше, в этом случае ищется минимум целевой функции с измененными знаками коэффициентов z i Z   z1 x1  z2 x2  min . Ограничения и граничные условия при этом не меняются. На рис. 2.2 выполнено графическое решение задачи. Из построения прямых Z   z1 x1  z2 x2  0 и Z   z1 x1  z2 x2  1 или Z   z1 x1  z2 x2  1 видно, что изменение знаков коэффициентов z1 и z2 обусловило изменение направления возрастания целевой функции на противоположное (см. стрелку на рис. 2.2). Очевидно, что в этом случае минимуму целевой функции отвечает вершина b многогранника Ω. Таким образом, задачи минимизации и максимизации целевой функции решаются совершенно одинаково. Рис. 2.2. Определение максимума целевой функции 12 На основании выполненного графического решения задачи линейного программирования можно сделать следующие общие выводы по решению линейной оптимизационной задачи: оптимальное решение задачи всегда находится в одной из вершин многогранника Ω, поэтому для отыскания оптимального решения достаточно рассмотреть только конечное количество решений, лежащих в вершинах многогранника Ω, и не рассматривать бесконечное количество решений, лежащих на гранях и внутри этого многогранника; в каждом решении, отвечающем одной из вершин многогранника Ω, количество положительных (не равных нулю) переменных равно количеству ограничений m, остальные (n - m) переменные равны нулю; для отыскания оптимального решения следует рассмотреть только те решения, в которых содержится m переменных, не равных нулю, и (n-m) переменных, равных нулю. В дальнейшем отличные от нуля положительные переменные будем называть базисными, нулевые переменные - свободными. В каждом рассматриваемом решении количество базисных переменных равняется количеству ограничений m, а количество свободных переменных равняется (n-m). Поскольку количество базисных и свободных переменных в рассматриваемых решениях не меняется, при переходе от одного решения к другому (от одной вершины многогранника Ω к другой) одна из базисных переменных становится свободной, а одна из свободных переменных становится базисной. 2.2. Алгебраические преобразования систем линейных уравнений Рассмотрим, как преобразуется исходная система ограничений-равенств в математической модели (2.2) при переходе от одного решения к другому, т.е. при переводе одной из свободных переменных в разряд базисных, а одной из базисных переменных в разряд свободных. Перепишем систему (2.2): a11 x1  a12 x2  x3  b1 a21 x1  a22 x2  x4  b2 (2.3) a31 x1  a32 x2  x5  b3 Начальный выбор свободных и базисных переменных может быть произвольным. Однако структура системы (2.3) такова, что в качестве базисных переменных удобно принять переменные x3 , x4 , x5 а в качестве свободных - переменные x1 и x2 . В этом случае сразу же получаем некоторое исходное решение системы (2.3): свободные переменные x1  0, x2  0 ; базисные переменные x3  b1 , x4  b2 , x5  b3 . Каждая базисная переменная входит только в одно уравнение системы и имеет коэффициент, равный единице. Поэтому количество базисных переменных равно количеству ограничений. Остальные переменные свободные. Запишем исходную систему (2.3) в более подробном виде, а базисные переменные и коэффициенты при них выделим жирным шрифтом . . . a x +a x +1 х +0 х +0 х =b ; 11 1 12 2 . 3 . 4 . 5 1 a x + a x + 0 х + 1 х + 0 х = b ; (2.4) 21 1 22 2 . 3 4 . 5 2 . a x +a x +0 х +0 х +1 х =b . 31 1 32 2 3 4 5 3 Допустим, что свободную переменную х следует перевести в разряд базисных, а 1 базисную переменную х - в разряд свободных. Эта процедура достаточно проста и 3 13 неоднократно использовалась при решении систем линейных уравнений в школьном курсе алгебры. Суть процедуры заключается в следующем: из первого уравнения системы выражается переменная х и подставляется во второе и третье уравнения системы. В 1 результате такого преобразования свободная переменная х становится базисной, а 1 базисная переменная х становится свободной. 3 Рассмотрим подробнее указанное преобразование. Столбец, отвечающий свободной переменной х , переводимой в разряд базисных (первый столбец), назовем 1 разрешающим столбцом. Строку, отвечающую базисной переменной х , переводимой в 3 разряд свободных (первую строку), назовем разрешающей строкой. Коэффициент, стоящий на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца (а ), назовем 11 разрешающим коэффициентом. Поделив первое уравнение на разрешающий коэффициент, получим a 1 b 1 x1  12 x2  x3  x4  x5  1 . (2.5) a11 a11 a11 a11 a11 Выразим из этого уравнения переменную х 1 b a 1 1 x1  1  12 x2  x3  x4  x5 a11 a11 a11 a11 a11 Подставляя значение х во второе и третье уравнения системы (2.4), после 1 несложных преобразований получим совместно преобразованную систему уравнений a 1 b 1x1  12 x2  x3  x4  x5  1 a11 a11 a11 a11 a11 с уравнением (2.5) новую   1  a21   0 × a 21   0× a 21  a a  b1a21 0x1   a22  21 12  x2   0  (2.6)  x3   1  x4 +  0  x5  b2  a11  a11  a11  a11  a11       1  a31   0 × a31   0 × a 31  a a  b1a31 0x1   a32  31 12  x2   0   x3   0  x4 +  0  x5  b3  a11  a11  a11  a11  a11     Коэффициенты преобразованной системы (2.6) пометим штрихом и запишем эту систему в более простом виде . . . 1 х + а' х + а' х + 0 х + 0 х = b' ; . 1 12 2 13 3 4 . 1 5 . 0 x + a' x + a' х + 1 х + 0 х = b' ; (2.7) . 1 22 2 23 3 4 . . 2 5 0 x + a' x + a' x + 0 х + 1 х = b' . 1 32 2 33 3 4 3 5 В этой системе свободными будут переменные х и х , а базисными – переменные 2 3 х , х и х . Новое решение: 1 4 5 свободные переменные х =0, х =0; 2 3 базисные переменные х =b’ , х =b’ , х =b’ . 1 1 4 2 5 3 Переменная х стала базисной, а переменная х - свободной. В системах (2.6) и (2.7) 1 3 базисные переменные и коэффициенты при них выделены жирным шрифтом. Анализ систем (2.6) и (2.7) позволяет сформулировать три правила пересчета коэффициентов при переводе одной из базисных переменных в разряд свободных, а одной из свободных переменных в разряд базисных: 14 1. Все коэффициенты, не принадлежащие разрешающей строке и разрешающему столбцу, пересчитываются по выражению aij  aij  a jr ari / arr , (2.8) где a - коэффициент, лежащий на пересечении i-й строки и j-го столбца; ij a ' - новое пересчитанное значение коэффициента a ; ij ij a - разрешающий коэффициент; rr a - коэфффициент, лежащий на пересечении i-й строки и разрешающего столбца; ir a - коэфффициент, лежащий на пересечении разрешающей строки и j-го столбца. rj 2. Все коэффициенты разрешающей строки делятся на разрешающий коэффициент а . Разрешающий коэффициент при этом становится равным единице а =1. rr rr 3. Все коэффициенты разрешающего столбца, кроме разрешающего коэффициента, заменяются нулями. Таким образом, переход от одного решения к другому заключается в пересчете коэффициентов системы уравнений по правилам 1, 2 и 3, изложенным выше. При решении реальных оптимизационных задач удобно пользоваться табличной формой записи систем уравнений. Запишем исходную систему (2.4) в виде табл. 2.1, выделив разрешающие строку и столбец. Т а б л и ц а 2.1 х х b х х х 1 a а а 2 a 11 a 21 a 31 3 12 22 32 4 5 1 b 1 b 1 b 1 2 3 Пересчитав по правилам 1, 2 и 3 коэффициенты этой таблицы, получим новую таблицу 2.2, отвечающую преобразованной системе (2.7). Т а б л и ц а 2.2 х х b x х х 2 1 3 1 а' =a /a а' =a -a 12 12 22 22 11 21 a /a 12 13 32 32 23 a /a 11 4 5 1 21 /a 31 11 . а' =0-a 1 11 а' =a -a 12 а' =1/a 1 2 31 1 11 b’ =b 3 3 a b /a 11 11 2 21 1 а' =0- a 1/a 1 b’ =b a b /a 11 33 . b' =b /a 31 1 11 В таблицах 2.1 и 2.2 базисные переменные и коэффициенты при них выделены жирным шрифтом. 2.3. Симплекс-метод Симплекс-метод является универсальным аналитическим методом решения задач линейного программирования. Симплекс – понятие геометрическое, означающее совокупность вершин многомерного тела. Идея симплекс-метода заключается в последовательном переборе решений – в последовательном переходе от одной вершины к другой. Однако этот перебор не хаотичный, а таков, что на каждом шаге решение улучшается [4]. Метод состоит из двух этапов: на первом этапе ищется допустимое решение; на втором этапе это допустимое решение улучшается до оптимального. 15 Алгоритм метода рассмотрим на примере линейной модели п.2.1, где требуется найти минимум целевой функции Z = z x +z x → min, (2.9) 1 1 2 2 при ограничениях-равенствах a x +a x + х = b , 11 1 12 2 3 1 a x +a x + х = b , (2.10) 21 1 22 2 4 2 a x +a x + х = b 31 1 32 2 5 3 и граничных условияхнеотрицательности переменных х >0, i = 1, 2,...5. (2.11) i Перейдем к табличной форме записи. В отличие от табл. 2.1 в исходную таблицу введем строку целевой функции (нижняя строка табл. 2.3). Т а б л и ц а 2.3 х х 1 a a а z 2 a 11 a 21 а 31 z 1 х х 1 b 1 b 1 b -Z 3 12 22 32 2 b х 4 5 1 2 3 Исходное решение: х =0, х =0, х =b , х =b , х =b . (2.12) 2 1 3 1 4 2 5 3 В соответствии с выражением (2.9) исходное значение целевой функции Z=0. 1 этап. Получение допустимого решения. Любое допустимое решение должно удовлетворять системе ограничений-равенств и граничным условиям. Исходное решение (2.12) удовлетворяет системе ограничений-равенств (2.10). Это решение будет удовлетворять граничным условиям (2.11) в том случае, когда свободные члены b >0, b >0 и b >0. Следовательно, условием получения допустимого решения 1 2 3 является неотрицательность свободных членов ограничений-равенств. Если все b >0 (j=1,2,...m), то полученное решение является допустимым. Далее j осуществляется переход ко 2-му этапу метода. Если среди свободных членов есть отрицательные, то выбирается любой из них и соответствующая строка принимается в качестве разрешающей. Базисная переменная, отвечающая разрешающей строке, будет переводиться в разряд свободных. Просматривается разрешающая строка. Из коэффициентов этой строки выбираются отрицательные коэффициенты. Если в разрешающей строке нет отрицательных коэффициентов, то оптимизационная задача не имеет решения. Если в разрешающей строке имеется несколько отрицательных коэффициентов, то выбирается любой из них и соответствующий этому коэффициенту столбец принимается в качестве разрешающего. Свободная переменная, соответствующая разрешающему столбцу, будет переводиться в базис. Разрешающий коэффициент находится на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца. Выполняется пересчет всех коэффициентов табл. 2.3 по правилам 1, 2 и 3 п. 2.2. Пересчету подвергаются и коэффициенты z (i=1,2,...n) целевой функции и значение i целевой функции, которое находится в правом нижнем углу табл. 2.3. В силу принятой формы записи таблицы значение целевой функции получается с обратным знаком. Поэтому в соответствующей ячейке табл. 2.3 стоит величина -Z. 16 Разрешающая строка выбрана по отрицательному коэффициенту b <0. j Разрешающий столбец выбран по отрицательному коэффициенту a <0, который и ji является разрешающим коэффициентом a . В результате пересчета коэффициентов табл. rr 2.3 в соответствии с правилом 2 п.2.2 (b '=b /a ) новый свободный член b ' сменит знак и j j rr j станет положительным. Вычислительная процедура, т.е. выбор разрешающих строки, столбца и пересчет всех коэффициентов табл. 2.3, продолжается до выполнения условия b >0, j=1,2,...m, при j котором полученное решение будет допустимым. Предположим, что допустимому решению соответствует табл. 2.4. Переменные х , 1 х и х базисные, а переменные х и х свободные. Допустимое решение: 4 2 5 3 х =0, х =0, х =b ', х =b ', х =b ', Z=Z . (2.13) 2 3 1 1 4 2 5 3 Напомним, что значение целевой функции в правом нижнем углу табл. 2.4 имеет обратный знак. Т а б л и ц а 2.4 х х B х х х 2 3 1 a ' а ' a ' а ' а ' z' 1 12 4 b' 1 b' а ' 1 b' z' -Z=-Z 13 22 23 32 33 2 5 3 1 2 3 2 этап. Получение оптимального решения. Пусть оптимальному решению соответствует минимальное значение целевой функции Z. Необходимо проверить возможность улучшения полученного на первом этапе допустимого решения, то есть проверить возможность уменьшения значения целевой функции Z. Перевод свободной переменной в базис соответствует увеличению этой переменной от нуля до некоторого положительного значения. Просмотрим коэффициенты строки целевой функции (нижней строки табл. 2.4). Очевидно, что перевод любой из свободных переменных (х или х ) в базис приведет к уменьшению целевой функции, если 2 3 коэффициент при этой переменной будет отрицательным (z '<0 или z '<0). Если 2 3 коэффициенты z '>0 и z '>0, перевод любой из свободных переменных (х или х ) в базис 2 3 2 3 приведет к увеличению целевой функции. Следовательно, условием получения оптимального решения при минимизации целевой функции является неотрицательность коэффициентов целевой функции z '>0. i Если среди коэффициентов целевой функции есть отрицательные, то берется любой из них и соответствующий этому коэффициенту столбец принимается в качестве разрешающего. Свободная переменная, отвечающая разрешающему столбцу, будет переводиться в базис. Допустим, что коэффициент z '<0. Свободную переменную х будем переводить в 3 3 базис, а третий столбец табл. 2.3 будет разрешающим. Для выбора разрешающей строки рассмотрим систему ограничений-равенств, соответствующую допустимому решению x + a 'x + a 'х = b ', 1 12 2 31 3 1 a 'x + a 'x + х = b ', (2.14) 22 2 32 3 4 2 a 'x + a 'x + х = b '. 32 2 33 3 5 3 17 Переменная х свободная (х =0). С учетом этого перепишем систему (2.14) в более 2 2 простом виде x + a 'х = b ', 1 13 3 1 a 'x + х = b ', (2.15) 23 3 4 2 a 'x + х = b '. 33 3 5 3 При переводе переменной х в базис (при увеличении этой переменной от нуля в 3 положительную сторону) базисные переменные х , х и х будут изменяться в соответствии 1 4 5 с равенствами (2.15). Если коэффициенты разрешающего столбца а '>0, a '>0 и a '>0, 13 23 33 базисные переменные будут уменьшаться. При каком-то положительном значении переменной х одна из базисных переменных первой достигнет нуля и станет свободной. 3 Если есть отрицательные коэффициенты, например, a '<0, то соответствующая 23 базисная переменная х будет увеличиваться и в разряд свободных не перейдет. Поэтому в 4 разрешающем столбце принимаются во внимание только положительные коэффициенты a. ji Допустим, что коэффициенты a '>0 и а '>0. Базисная переменная х достигнет 13 33 1 нуля при значении х =b '/a '. Базисная переменная х достигнет нуля при значении 3 1 13 3 х =b '/a '. Очевидно, что из двух базисных переменных х и х первой достигнет нуля и 3 3 33 1 5 станет свободной та переменная, для которой отношение b '/a '=min. j ji Для выбора разрешающей строки вычисляются все положительные отношения b '/a '. Строка, отвечающая наименьшему из этих отношений b '/a '=min, принимается в j ji j ji качестве разрешающей. Базисная переменная, соответствующая разрешающей строке, будет переводиться в разряд свободных. Разрешающий коэффициент находится на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца. Выполняется пересчет всех коэффициентов табл. 2.4 по правилам 1, 2 и 3 п. 2.2. Вычислительная процедура, т.е. выбор разрешающих строки, столбца и пересчет всех коэффициентов, продолжается до выполнения условия z >0, i=1,2,...n, при котором i полученное решение будет оптимальным (достигнут минимум целевой функции Z). При поиске максимума целевой функции Z первый этап (поиск допустимого решения) выполняется совершенно аналогично. На втором этапе условием получения оптимального решения при максимизации целевой функции будет неположительность коэффициентов целевой функции z ' <0. i Алгоритм симплекс-метода: 1. Система ограничений преобразуется к виду (2.10), удобному для разделения переменных на свободные и базисные. 2. Система ограничений и целевая функция записываются в виде таблицы 2.3. 3. Записывается исходное решение, в котором свободные переменные равны нулю, базисные переменные равны свободным членам ограничений, значение целевой функции равно нулю. 4. Просматривается столбец свободных членов b . Если все b >0, то решение j j является допустимым и осуществляется переход к п. 7. Если есть свободные члены b <0, j то выбирается любой из них и соответствующая строка будет разрешающей. 5. Просматриваются коэффициенты a разрешающей строки. Если все эти ji коэффициенты положительны, задача не имеет решения. Если среди коэффициентов 18 a разрешающей строки ji есть отрицательные, то выбирается любой из них и соответствующий столбец будет разрешающим. 6. Выполняется пересчет всех коэффициентов таблицы, включая значение целевой функции, которое имеет противоположный знак. Осуществляется переход к п.4. 7. Просматриваются коэффициенты z строки целевой функции. Если все эти i коэффициенты z <0 (при поиске минимума Z) или z >0 (при поиске максимума Z), то i i текущее решение будет оптимальным. Вычислительная процедура заканчивается. 8. Если есть коэффициенты z > 0 (при поиске минимума Z) или z < 0 (при поиске i i максимума Z), то выбирается любой из них и соответствующий столбец будет разрешающим. Вычисляются отношения свободных членов b к положительным j коэффициентам а разрешающего столбца. Строка, отвечающая минимальному из этих ji отношений, будет разрешающей. 9. Выполняется пересчет всех коэффициентов таблицы. Осуществляется переход к п. 7. Пример 2. Решить задачу примера 1 симплекс-методом при следующих исходных данных: прибыль от реализации одного изделия 1, 2 и 3 видов: z = 8; z = 11; z = 12 у.е./изд.; 1 2 3 нормы расхода энергии на одно изделие: а = 2; а = 2; а = 3 е.э./изд. (единиц энергии/изделие) 11 12 13 нормы расхода финансовых средств на одно изделие: а = 6; а = 5,5; а = 4 у.е./изд. 21 22 23 нормы расхода сырья на одно изделие: а = 4; а = 6; а = 8 е.с./изд. (единиц сырья/изделие) 31 32 33 наличие на предприятии энергетических, финансовых и сырьевых ресурсов: b = 50 е.э.; b = 100 у.е.; b = 150 е.с. 1 2 3 минимальное количество всех видов изделий, которое предприятие должно выпустить b = 15 изд. 4 Решение. В соответствии с выражением (1.5) и исходными данными целевая функция запишется в виде Z=8х +11х +12х → max. (2.16) 1 2 3 В соответствии с выражениями (1.6) и исходными данными система ограничений запишется в виде 2х + 2х + 3х <50, 1 2 3 6х + 5,5х + 4х <100, (2.17) 1 2 3 4х + 6х + 8х <150, 1 2 3 x + x + x >15. 1 2 3 После введения дополнительных переменных х , х , х 4 5 6 и х 7 перейдем от ограничений-неравенств к равенствам 2х + 2х + 3х + х = 50, 1 2 3 4 6х + 5,5х +4х + х = 100, (2.17а) 1 2 3 5 4х + 6х + 8х + х = 150, 1 2 3 6 - x - x - x + x = -15. 1 2 3 7 Граничные условия неотрицательности переменных имеют вид 19 x >0, x >0, x >0, 1 2 3 x >0, x >0, x >0, x >0. (2.18) 4 5 6 7 Для получения исходного решения удобно принять в качестве базисных переменные x , x , x , x , остальные переменные x , x , x – свободные. Запишем систему 4 5 6 7 1 ограничений и целевую функцию в виде табл. 2.5. Т а б л и ц а 2.5 х х х х х 1 2 2 2 6 5,5 6 8 -1 -1 8 11 Исходное решение: свободные переменные х 1 3 4 5 3 4 -1 12 1 1 1 2 3 х 6 х b; Z 1 50 100 150 -15 -Z=0 7 = х = х = 0; 2 3 базисные переменные: х =50, х =100, х =150, х = -15; 4 5 6 7 значение целевой функции Z=0. В исходном решении имеем отрицательную переменную х = -15. Граничные 7 условия не выполняются. Исходное решение не является допустимым. Четвертую строку (строку с отрицательным свободным членом b =-15) принимаем 4 в качестве разрешающей. Базисную переменную х , находящуюся в разрешающей строке, 7 будем переводить в разряд свободных. Просматриваем разрешающую строку. Из трех отрицательных коэффициентов этой строки произвольно выбираем коэффициент -1 при переменной х и третий столбец табл. 3 2.5 принимаем в качестве разрешающего. Свободную переменную х будем переводить в 3 базис. Разрешающий коэффициент, находящийся на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца выделен. Производим пересчет всех коэффициентов табл. 2.5 по правилам 1, 2 и 3 п. 2.2. В результате пересчета получим табл. 2.6, отвечающую новому решению. Т а б л и ц а 2.6 x x х b; Z х х х х 1 2 3 -1 -1 2 1,5 -4 -2 1 1 1 -4 -1 В новом решении: свободные переменные х =0, х 1 2 4 5 6 7 1 1 1 3 4 8 -1 12 5 40 30 15 -Z=-180 =0, х =0; 7 базисные переменные х =15, х =5, х =40, х =30; 3 4 5 6 значение целевой функции Z = 180. В этом решении все переменные неотрицательные. Граничные условия выполняются. Полученное решение является допустимым. Для проверки этого решения на оптимальность просматриваем коэффициенты строки целевой функции. В этой строке имеется один положительный коэффициент целевой функции, равный 12. Следовательно, имеется возможность увеличения целевой функции. Седьмой столбец принимаем в качестве разрешающего, а свободную переменную х будем переводить в базис. 7 20 Вычисляем положительные отношения свободных членов к коэффициентам разрешающего столбца: 5/3=1,67, 40/4=10 и 30/8=3,75. Первую строку, отвечающую минимальному из этих отношений, принимаем в качестве разрешающей. Базисную переменную х , отвечающую разрешающей строке, будем переводить в разряд свободных. 4 Разрешающий коэффициент выделен. Производим пересчет всех коэффициентов табл. 2.6 и получаем табл. 2.7, отвечающую новому допустимому решению. Т а б л и ц а 2.7 х х х b; Z х x х х 1 2 4 5 6 7 -0,33 -0,33 0,33 3,33 2,83 -1,33 1 -1,33 0,67 -2,67 0,67 0,67 0,33 1 3 -4 В этом допустимом решении: свободные переменные х =0, х =0, х =0; 3 1 1 1 2 1,67 33,33 16,67 16,67 -Z=-200 4 базисные переменные х =16,67, х =33,33, х =16,67, х =1,67; 3 5 6 7 значение целевой функции Z = 200. В строке целевой функции есть положительный коэффициент, равный 3. Следовательно, полученное решение не является оптимальным. Второй столбец принимаем в качестве разрешающего и свободную переменную х переводим в базис. 2 Для положительных коэффициентов разрешающего столбца вычисляем положительные отношения свободных членов к коэффициентам разрешающего столбца: 33,33/2,83=11,78; 16,67/0,67=25 и 16,67/0,67=25. Вторую строку, отвечающую минимальному из этих отношений, принимаем в качестве разрешающей. Базисную переменную х будем переводить в разряд свободных. Разрешающий коэффициент 5 выделен. Производим пересчет всех коэффициентов табл. 2.7 и получаем табл. 2.8, отвечающую новому допустимому решению. Т а б л и ц а 2.8 x х x b; Z х х х х 1 2 4 3 5 0,06 0,17 0,12 1,18 -0,47 0,35 1 2,12 -2,36 -0,12 0,64 -0,24 1 -3,53 -2,59 -1,06 В этом допустимом решении: свободные переменные х =0, х =0, х =0; 1 4 6 7 1 1 5,59 11,76 8,82 8,82 -Z=-235,29 5 базисные переменные х =11,76, х =8,82, х =8,82, х =5,59; 2 3 6 7 значение целевой функции Z = 235,29. Полученное решение является оптимальным, поскольку все коэффициенты в строке целевой функции неположительны и, следовательно, нет возможности дальнейшего увеличения целевой функции. Максимальная прибыль Z = 235,29 у.е. Несложно проверить, что все четыре ограничения (2.17а) и граничные условия (2.18) выполняются. Количество изделий не может быть дробным числом. Поэтому округляем результаты до ближайших целых чисел. 21 Итак, для получения предприятием максимальной прибыли изделия 1-го вида выпускать не следует; изделия 2-го и 3-го видов следует выпустить в количестве х ≅12 и 2 х ≅9 соответственно. 3 Значение дополнительной переменной х ≅ 6 свидетельствует о том, что суммарный 7 выпуск изделий (12+9=21) на 6 изделий превышает минимальное количество изделий (15), которое предприятие должно выпустить. Нулевые значения дополнительных переменных х =0 и х =0 свидетельствуют о 4 5 полном расходовании финансовых и энергетических ресурсов. Сырьевые ресурсы остаются в количестве 9 е.с. (дополнительная переменная х ≅ 9). 6 Решение рассмотренной оптимизационной задачи с помощью программного обеспечения Excel 7.0 приведено в приложении 2. 3. Транспортные задачи электроэнергетики 3.1. Постановка транспортной задачи Транспортная задача - это задача отыскания таких путей перевозки продукта от пунктов производства к пунктам потребления, при которых общая стоимость перевозок оказывается минимальной. Математический аппарат транспортной задачи применим и к задачам электроэнергетики. Здесь под продуктом подразумевается электрическая мощность, передаваемая от источников питания к потребителям по линиям электропередачи. Источниками питания являются электрические станции или подстанции, потребителями промышленные, городские, сельскохозяйственные потребители электроэнергии. Оптимизации подлежат затраты на схему электрической сети, состоящей из линий электропередачи, связывающих узлы источников питания с узлами потребителей. Пусть в проектируемой системе электроснабжения имеется i = 1, 2, ... n узлов источников питания и j = 1, 2, ... m узлов потребителей. Мощность каждого из источников составляет A , а мощность каждого из потребителей - B единиц мощности (е.м.). Известно i j взаимное расположение узлов источников и потребителей. Стоимость передачи единицы мощности от источника i к потребителю j (удельная стоимость) составляет z у.е./е.м. ij Общее количество возможных к строительству линий электропередачи, связывающих источники с потребителями, составляет nm. Мощности, передаваемые по этим линиям, являются искомыми переменными x , следовательно, количество искомых ij переменных составляет nm. Затраты на электрическую сеть равны сумме произведений удельных стоимостей на величины передаваемых мощностей от источников i к потребителям j. Поэтому подлежащая минимизации целевая функция имеет следующий вид: n m Z   zij xij  min (3.1) i 1 j 1 С позиций теоретической электротехники электрическая сеть является электрической цепью и для этой сети применимы все законы, известные из курса электротехники, в частности 1-й закон Кирхгофа. Для каждого i-го источника питания сумма мощностей, оттекающих по линиям ко всем j=1,2,...m узлам потребителей, равна мощности A этого источника i m x ij  Ai (3.2) j 1 22 Для каждого j-го потребителя сумма мощностей, притекающих по линиям от всех i=1,2,...n источников, равна мощности B этого потребителя j n x ij  B j (3.2а) i 1 Соотношения (3.2) и (3.2а), представляющие собой балансы мощности в каждом из узлов, являются ограничениями при решении транспортной задачи. Общее количество ограничений равно количеству узлов источников и потребителей n+ m. Из теоретической электротехники известно, что для любой электрической сети количество независимых уравнений, составленных по 1-му закону Кирхгофа, на единицу меньше количества узлов и составляет (n+m-1). Следовательно, количество независимых ограничений составляет (n+m-1). Количество базисных (не равных нулю) переменных равняется количеству независимых ограничений и составляет (n+m-1). Остальные переменные являются свободными (равными нулю). Количество свободных переменных составляет (nm-(n+m-1)). Каждая базисная переменная x соответствует присутствию в схеме линии между ij узлами i и j, поскольку мощность, протекающая между узлами i и j, не равна нулю. Каждая свободная переменная x соответствует отсутствию в схеме линии между узлами i ij и j, поскольку мощность, протекающая между узлами i и j, равна нулю. В рассматриваемой постановке транспортной задачи все искомые мощности х , ij передаваемые от источников к потребителям, являются неотрицательными. Следовательно, граничные условия имеют вид xij  0 , i=1, 2, ... n; j=1, 2, ... m. (3.3) Выражения (3.1), (3.2), (3.2а) и (3.3) представляют собой математическую модель транспортной задачи. Видно, что выражения целевой функции (3.1) и ограничений (3.2) и (3.2а) являются линейными. Следовательно, транспортная задача может быть решена симплекс-методом. Однако непосредственное применение этого метода к решению транспортной задачи оказывается нецелесообразным. В силу своей универсальности симплекс-метод имеет достаточно сложную вычислительную процедуру и без учета специфическихособенностей транспортной задачи ее решение оказывается слишком громоздким. Особенности транспортной задачи следующие: все ограничения имеют форму равенств; все коэффициенты при переменных в системе ограничений равны плюс единице; каждая переменная дважды входит в систему ограничений; один раз в балансы узлов источников (3.2), второй раз в балансы узлов потребителей (3.2а). С учетом этих особенностей для решения транспортных задач разработаны специальные методы решения, более простые, чем симплекс-метод. Пример 3. В проектируемой системе электроснабжения имеется два узла с источниками питания и три узла потребителей. Мощности источников составляют A и А , 1 2 а мощности потребителей - B , В и В е.м. Взаимное расположение узлов и возможные к 1 2 3 сооружению линии электрической сети показаны на рис. 3.1. Удельные затраты на передачу мощностей по линиям между узлами источников и потребителей составляют z , 11 z , z , z , z , z у.е./е.м. 12 13 21 22 23 Составить математическую модель для решения транспортной задачи. Решение. Целевая функция, представляющая собой суммарные денежные затраты на электрическую сеть, в соответствии выражением (3.1) будет иметь вид Z = z x +z x +z x +z x +z x +z x → min. 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 23 Ограничения, представляющие собой балансы мощности в узлах электрической сети, в соответствии с выражениями (3.2) и (3.2а) будут иметь следующий вид: x +x +x =A , 11 12 13 1 x +x +x =A , 21 22 23 2 x +x =B , 11 21 1 x +x =B , 12 22 2 x +x =B . 13 3 23 Рис. 3.1. Взаимное расположение узлов и возможные к сооружению линии электрической сети Граничные условия в соответствии с соотношением (3.3) запишутся как x >0, x >0, x >0, x >0, x >0, x >0. 11 12 13 21 22 23 Полученные выражения представляют собой транспортной задачи для схемы, приведенной на рис. 3.1. математическую модель 3.2. Получение допустимого решения При решении транспортных задач удобно пользоваться табличной формой записи. В этом случае ограничения (3.2) и (3.2а) записывают в виде транспортной матрицы размерностью nm. Для рассмотренного выше примера 3 транспортная матрица представлена в виде табл. 3.1. Т а б л и ц а 3.1 Справа указаны заданные мощности источников A и A , снизу - заданные 1 2 мощности потребителей B , B и B , справа внизу - значение целевой функции Z. 1 2 3 Непосредственно в клеткахтранспортной матрицы записаны подлежащие определению искомые переменные x и заданные значения удельных стоимостей передачи мощности z . ij ij Каждая i-я строка матрицы соответствует уравнению баланса мощности i-го источника питания, каждый j-й столбец - уравнению баланса мощности j-го потребителя. Исходное допустимое решение может быть получено по алгоритму минимальной удельной стоимости: 24 1. В транспортной матрице выбирается клетка с минимальным значением z . Если ij имеется несколько таких клеток, то выбирается любая из них. 2. В выбранную клетку в качестве базисной переменной заносится наименьшая из двух величин A или B , т.е. x =min(A ,B ). При этом выполняется баланс мощности по i j ij i j строке i или столбцу j, в которые входит переменная x . ij 3. В остальные клетки строки i или столбца j, для которых выполнен баланс мощности, заносятся нули, соответствующие свободным переменным. Большая из двух величин A и B условно заменяется разностью этих двух величин. i j 4. Из оставшихся незаполненных клеток транспортной матрицы вновь выбирается клетка с минимальным значением z . Далее пункты 2 и 3 повторяются до полного ij заполнения всех клеток транспортной матрицы. Следует напомнить, что общее количество переменных составляет nm. Количество отличных от нуля базисных переменных составляет (n+m-1). Количество равных нулю свободных переменных составляет (nm-(n+m-1)). Пример 4. Найти допустимое решение для задачи примера 3 при следующих исходных данных: A =50, A =30, B =20, B =25, B =35 е.м. 2 1 1 2 3 z =1,2; z =1,8; z =1,5; 11 12 13 z =1,6; z =2,3; z =2,1 у.е./е.м. 21 22 23 Решение. Изобразим транспортную матрицу размерностью 2х3 (табл. 3.2) и будем заполнять ее в соответствии с алгоритмом минимальной удельной стоимости. В транспортной матрице выбирается клетка с минимальным значением z . Это ij клетка с переменной x и удельной стоимостью z =1,2. 11 11 Т а б л и ц а 3.2 В эту клетку в качестве базисной переменной заносим меньшее из двух значений мощностей х =min(А =50, В =20)=20. Баланс для 1-го столбца (1-го потребителя) 11 1 1 выполнен (20=20). В остальные клетки этого столбца заносим нули (свободная переменная х =0). 21 Поскольку от источника А отобрано 20 е.м., отходящих к потребителю В , 1 1 мощность этого источника условно заменяется величиной 50-20=30. Из оставшихся незаполненных клеток транспортной матрицы выбирается клетка с наименьшей удельной стоимостью z =1,5. В качестве базисной переменной в эту клетку 13 заносится меньшее из двух значений мощностей х =min(А =30, В =35)=30. Баланс для 1-й 13 1 3 строки (1-го источника) выполнен. В остальные клетки этой строки заносим нули (свободная переменная х =0). 12 Поскольку потребителю В поставлено 30 е.м., мощность этого потребителя 3 условно заменяется величиной 35-30=5. 25 Из оставшихся незаполненных клеток транспортной матрицы выбираем клетку с наименьшей удельной стоимостью z =2,1. В качестве базисной переменной в эту клетку 23 заносим меньшее из двух значений мощностей х = min(А =30, В =5)=5. Баланс для 3-го 23 2 3 столбца (3-го потребителя) выполнен. Поскольку от источника А отобрано 5 е.м., отходящих к потребителю В , мощность 2 3 этого источника условно заменяется величиной 30-5=25. Последнее значение заносится в оставшуюся незаполненную клетку транспортной матрицы в качестве базисной переменной х =25. 22 Итак, вся транспортная матрица заполнена. Балансы мощности по строкам (по узлам источников) и по столбцам (по узлам потребителей) выполняются. Все переменные неотрицательны. Полученное исходное решение является допустимым. В этом решении свободные переменные: х =0, х =0; 12 21 базисные переменные: х =20, х =30, х =25, х =5 е.м.; 11 13 22 23 значение целевой функции Z = z x +z x +z x +z x +z x +z x = 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 = 1,2.20+1,8.0+1,5.30+1,6.0+2,3.25+2,1.5=137 у.е. показано справа внизу табл. 3.2. Схема электрической сети, отвечающая полученному допустимому решению, показана на рис. 3.2. Рис. 3.2. Схема электрической сети, отвечающая допустимому решению 3.3. Распределительный метод Как и в симплекс-методе, улучшать полученное допустимое решение будем за счет перевода одной из базисных переменных в разряд свободных и одной из свободных переменных в разряд базисных. Количество свободных и количество базисных переменных при этом не меняются. Процесс улучшения допустимого решения рассмотрим как продолжение примера 4 (п. 3.2). В полученном допустимом решении имеются две свободные переменные х и х . 12 21 Произвольно выберем переменную х и увеличим значение этой переменной от нуля до 21 единицы х =1 (табл. 3.3.). При этом нарушаются балансы мощности по 1-му столбцу и 221 й строке. Т а б л и ц а 3.3 26 Для восстановления этих балансов уменьшим на единицу значения базисных переменных, входящих в 1-й столбец и 2-ю строку (х =19, х =4). При этом нарушаются 12 23 балансы по 1-й строке и 3-му столбцу. Базисную переменную х , находящуюся на 13 пересечении 1-й строки и 3-го столбца, увеличим на единицу (х =31). Балансы мощности 13 по всем строкам и столбцам оказываются восстановленными. В результате выполненных действий в транспортной матрице получен замкнутый цикл, вершины которого отмечены знаками "+" и "-". Начальная вершина цикла лежит в клетке свободной переменной х , которая переводится в базис. Все остальные вершины 21 цикла лежат в клетках базисных переменных х , х 11 13 и х . Знак "+" в вершине цикла 23 соответствует увеличению переменной, знак "-" - ее уменьшению. При увеличении на единицу свободной переменной изменение целевой функции определится как алгебраическая сумма удельных стоимостей, стоящих в вершинах цикла. Изменение целевой функции при увеличении на единицу свободной переменной х 21 составит ΔZ= z - z + z - z = 1,6 - 1,2 +1,5 - 2,1= - 0,2<0. (3.4) 21 11 13 23 Видно, что при увеличении свободной переменной х значение целевой функции 21 уменьшается. Эту свободную переменную следует перевести в базис. Совершенно аналогичные действия можно выполнить и для свободной переменной х . Несложно показать, что увеличение этой переменной на единицу даст увеличение 12 целевой функции ΔZ = z - z + z - z =1,8 - 1,5 + 2,1 - 2,3 = 0,1>0. (3.5) 12 13 23 22 Поэтому свободную переменную х не следует переводить в базис. 12 Итак, в базис переводится переменная х . В соответствии со знаками вершин цикла 21 (табл. 3.3) при увеличении этой переменной в положительную сторону базисные переменные х и х будут уменьшаться, а базисная переменная х будет увеличиваться. 11 23 13 Естественно, что первой достигнет нулевого значения и станет свободной переменная х , 23 меньшая из базисных переменных в отрицательных вершинах цикла. Свободная переменная х примет значение переменной х и станет базисной. Базисные переменные 21 х 11 и х 13 23 изменятся на величину переменной х 23 в соответствии со знаками в вершинах цикла. Получено новое допустимое решение (табл. 3.4 и рис. 3.3). Т а б л и ц а 3.4 27 Рис. 3.3. Схема электрической сети В этом новом решении свободные переменные х =0, х =0; 12 23 базисные переменные х =15, х =35, х =5, х =25 е.м.; 11 13 21 22 значение целевой функции Z = z x +z x +z x +z x +z x +z x = 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 = 1,2.15+1,8.0+1,5.35+1,6.5+2,3.25+2,1.0=136 у.е. Видно, что значение целевой функции улучшилось по сравнению с предыдущим решением (136<137). В новом решении строятся циклы пересчета и определяются изменения целевой функции ΔZ для каждой свободной переменной х и х . Если для каждой свободной 12 23 переменной изменение целевой функции ΔZ>0, то полученное решение будет оптимальным. 3.4. Метод потенциалов Рассмотренный выше распределительный метод получения оптимального решения достаточно трудоемок. В каждом допустимом решении для каждой свободной переменной необходимо строить циклы и определять изменение целевой функции. Ниже рассмотрена модификация распределительного метода, получившая название метода потенциалов [2]. Этот метод рассмотрим как дальнейшее продолжение примера 4. В соответствии с методом потенциалов каждой строке и каждому столбцу транспортной матрицы присваивается свой потенциал: строкам - потенциалы V (i=1, 2, ... i n), столбцам - потенциалы U (j=1, 2, ... m), как показано в табл. 3.5 для рассматриваемого j примера. Т а б л и ц а 3.5 Эти потенциалы таковы, что для каждой базисной переменной сумма потенциалов равна удельной стоимости 28 V + U = z , (3.6) i j ij Вернемся к соотношению (3.4), по которому вычислено изменение целевой функции при увеличении на единицу свободной переменной х , и заменим в этом 21 соотношении потенциалами удельные стоимости базисных переменных ΔZ= z - z + z - z = z -V -U +V +U -V -U = 21 11 13 23 21 1 1 1 3 2 3 = z -V -U < 0. 21 2 1 Из последнего соотношения видно, что при условии V +U >z 2 1 21 перевод свободной переменной х в базис уменьшит целевую функцию Z. 21 Аналогично в соотношении (3.5), по которому вычислено изменение целевой функции при увеличении на единицу свободной переменной х , заменим потенциалами 12 удельные стоимости базисных переменных ΔZ = z - z + z - z = z -V -U +V +U -V -U = 12 13 23 22 12 1 3 2 3 2 2 = z - V -U > 0. 12 1 2 Из последнего соотношения видно, что при условии V +U z (3.7) i j ij перевод свободной переменной x в базис уменьшает целевую функцию Z, а при ij условии V +U < z (3.8) i j ij перевод свободной переменной х в базис увеличивает целевую функцию Z. ij Количество неизвестных потенциалов составляет (n+m), а количество базисных переменных (n+m-1). В системе уравнений (3.6) число неизвестных потенциалов на единицу больше числа уравнений. Следовательно, система (3.6) является неопределенной и имеет бесконечное количество решений. Для получения одного из решений системы (3.6) произвольно зададимся величиной одного из потенциалов, например U =1. После этого все остальные потенциалы 1 однозначно определятся по уравнениям (3.6). В рассматриваемом случае имеем (табл. 3.5) U =1; 1 V = z - U = 1,2 - 1 = 0,2; 1 11 1 V = z - U = 1,6 - 1 = 0,6; 2 21 1 U = z - V = 2,3 - 0,6 =1,7; 2 22 2 U = z - V = 1,5 - 0,2 = 1,3. 3 13 1 Проверим условия (3.7) и (3.8) для свободных переменных в транспортной матрице табл. 3.5. Для свободной переменной х 23 V +U = 0,6+1,3=1,9 z =1,8. 1 2 12 29 Следовательно, свободную переменную х 12 следует перевести в базис, поскольку этот перевод приведет к уменьшению целевой функции Z. Для свободной переменной х строим цикл пересчета (табл. 3.6) и из 12 отрицательных вершин цикла выбираем меньшую базисную переменную х =15. Эта 11 переменная перейдет в разряд свободных х =0, а переменная х станет базисной х =15. В 11 12 12 соответствии со знаками в вершинах цикла базисная переменная х 21 увеличится на 15 единиц и станет равной х =5+15=20, а базисная переменная х уменьшится на 15 единиц 21 22 и станет равной х =25-15=10. 22 Т а б л и ц а 3.6 Новому допустимому решению соответствует транспортная матрица табл. 3.7. Т а б л и ц а 3.7 В этом решении свободные переменные х =0, х =0; базисные переменные х =15, 11 23 12 х =35, х =20, х =10 е.м. Значение целевой функции 13 21 22 Z = z x +z x +z x +z x +z x +z x = 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 = 1,2.0+1,8.15+1,5.35+1,6.20+2,3.10+2,1.0=134,5 у.е. Проверим это решение на оптимальность. Произвольно зададимся значением одного из потенциалов U =1. В соответствии с уравнениями (3.6) остальные потенциалы 1 будут равны V = z - U = 1,6 - 1 = 0,6; 2 21 1 U = z - V = 2,3 - 0,6 = 1,7; 2 22 2 V = z - U = 1,8 - 1,7 = 0,1; 1 12 2 U = z - V = 1,5 - 0,1 = 1,4. 3 13 1 Для свободных переменных х 11 и х 23 сумму потенциалов сопоставим с удельной стоимостью V +U =0,1+1=1,1z , то выбирается i j ij любая из этих свободных переменных и переводится в базис. Для этого строится цикл пересчета (замкнутая ломаная линия), начальная вершина которого лежит в клетке выбранной свободной переменной. Остальные вершины цикла лежат в клетках, соответствующих базисным переменным. Начальной вершине цикла присваивается знак "+", соответствующий увеличению переменной. Далее знаки вершин цикла чередуются. Знаки "+" соответствуют увеличению базисных переменных, знаки "-" – их уменьшению. 7. Из отрицательных вершин цикла выбирается вершина с наименьшим значением базисной переменной и на эту величину изменяются все переменные, лежащие в вершинах цикла. В положительных вершинах переменные увеличиваются, в отрицательных - уменьшаются. При этом выбранная свободная переменная становится базисной, а наименьшая по величине базисная переменная в отрицательной вершине цикла становится свободной (равной нулю). 8. Для вновь полученного решения вычислительная процедура повторяется, начиная с пункта 3. 31 3.5. Учет пропускной способности линий При проектировании систем электроснабжения часто сталкиваются с задачей ограничения пропускной способности линии. В частности, ограничение передаваемой мощности по существующей линии обусловлено допустимым нагревом ее проводов. Пусть для линии x между источником i и потребителем j передаваемая мощность ij ограничена величиной S (x z =1,6. 2 1 21 32 переводим эту переменную в базис. Цикл пересчета переменных отмечен в табл. 3.8. знаками "+" и "-". В разряд свободных перейдет базисная переменная х . Новое 22 допустимое решение показано в табл. 3.9. Т а б л и ц а 3.9 Рис. 3.5. Оптимальная схема электрической сети Это решение является оптимальным, поскольку для всех свободных переменных выполняется условие (3.8) V +U z = 2. 3 4 34 Следовательно, свободную переменную х 34 следует перевести в базис. Для этой переменной строим цикл (табл. 3.10). Начальная вершина цикла лежит в клетке свободной переменной х . Остальные вершины цикла лежат в клетках, соответствующих базисным 34 переменным х , х и х . Начальной вершине присваиваем знак "+", далее знаки вершин 13 14 44 цикла чередуются. При увеличении свободной переменной х 43 базисная переменная х 14 будет увеличиваться, а базисные переменные х и х будут уменьшаться. Поскольку транзитная 13 базисная переменная х 44 44 входит в решение задачи со знаком "минус", ее изменение в отрицательную сторону не ограничено. Уменьшение базисной переменной х =40 13 36 ограничено нулевым значением. Поэтому значения всех переменных в вершинах цикла следует изменить на 40 е.м. В новом допустимом решении (табл. 3.11) свободные переменные х = х = х = х = х =х = х = х = х = 0; 12 13 21 24 31 32 34 41 42 базисные переменные х = х = х = 0, х = -40, х =100, х =50, х =40 е.м.; 11 22 33 44 14 23 43 значение целевой функции Z= z х + z x + z x = 14 14 23 23 43 43 = 2.100 + 4.50 + 2.40 = 480 у.е. Т а б л и ц а 3.11 В этом решении для всех свободных переменных выполняется условие (3.8) V +U < z . i j ij Следовательно, перевод любой свободной переменной в базис не улучшит решения. Полученное решение является оптимальным. Оптимальная схема электрической сети показана на рис. 3.7,б. 4. Нелинейные оптимизационные задачи 4.1. Общие положения Общая задача оптимизации заключается в отыскании экстремума целевой функции Z(x , x , ... x ) → extr (4.1) 1 n 2 n переменных, при m ограничениях, заданных в форме равенств и (или) неравенств f (x , x , ... x )= b , 1 1 n 2 1 f (x , x , ... x )>b , (4.2) 2 1 n 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .. f (x , x , ... x )0, i = 0, 1, 2, ... n. (4.5) i Ниже будут рассматриваться задачи безусловной и условной оптимизации, в которых ищется один экстремум целевой функции при граничных условиях вида (4.5). 4.2. Графическая иллюстрация задачи нелинейного программирования Графическую иллюстрацию нелинейной оптимизационной задачи рассмотрим для случая двух переменных х и х . Пусть нелинейная целевая функция 1 2 Z(х ,х ) (4.6) 1 2 имеет вид, показанный на рис. 4.1. Рис. 4.1. Нелинейная целевая функция Z(x , x ) и ее представление линиями равного 1 2 уровня Z = const 38 Пересечем функцию Z плоскостями, параллельными горизонтальной плоскости х ,х . Точки пересечения спроектируем на плоскость х ,х . На плоскости х ,х получим 1 2 1 2 1 2 замкнутые концентрические кривые. На каждой из этих замкнутых кривых значение целевой функции неизменно Z = const. (4.7) Полученные замкнутые кривые Z = const называются линиями равного уровня целевой функции Z. Напомним, что для линейной задачи линии равного уровня Z=const представляли собой прямые линии (рис. 2.2). Таким образом, нелинейную функцию двух переменных Z(x , x ) можно 1 представить в двумерной плоскости х ,х 1 2 2 линиями равного уровня Z=const. Эти концентрические линии стягиваются в точку с координатами х 10 и х , являющуюся 20 минимумом целевой функции Z. Ограничения (4.2) могут быть линейными и нелинейными, заданными в виде неравенств или равенств. Как было показано при рассмотрении задач линейного программирования, линейные ограничения представляют собой прямые линии. Очевидно, что нелинейные ограничения будут представлять собой кривые линии. При ограниченияхравенствах допустимые значения переменных принадлежат прямой (кривой) линии, при ограничениях-неравенствах допустимые значения переменных принадлежат полупространству, расположенному по одну сторону от прямой (кривой) линии. На рис. 4.2 показан случай, когда два ограничения 1 и 2 являются линейными неравенствами, а одно ограничение 3 - нелинейным неравенством. Штриховка у каждого ограничения направлена в сторону допустимых значений переменных. Рис. 4.2. Иллюстрация области Ω допустимых значений переменных и относительного минимума функции Z Как и в случае линейной задачи, система ограничений (4.2) образует в пространстве переменных х и х область Ω допустимых значений переменных. В общем 1 2 случае эта область представляет собой замкнутый многогранник (многогранник abcна рис. 4.2) с прямолинейными и криволинейными гранями. При рассмотрении линейной задачи было показано, что оптимальное решение всегда лежит в одной из вершин многогранника Ω. Для нелинейной оптимизационной задачи это условие может не выполняться. Оптимальное решение может лежать на одной из граней области Ω или внутри этой области. Для случая, приведенного на рис. 4.2, оптимальному решению соответствует точка с координатами х ' и x ', лежащая на грани ас области Ω. Эта точка представляет собой 10 20 относительный минимум функции Z, т.е. минимум функции Z при наличии ограничений. 39 4.3. Градиентные методы Как следует из названия, эти методы решения нелинейных оптимизационных задач используют понятие градиента функции. Градиентом функции Z(х , х , ... х ) называется 1 2 n вектор gradZ  Z Z Z i  j    k (4.8а) x1 x2 xn где i , j ,..., k - единичные вектора (орты). Величина этого вектора определяется по выражению 2 2 2  Z   Z   Z  gradZ           . (4.8)  x n  x1   x2    Из (4.8) и (4.8а) видно, что функция, градиент которой определяется, должна быть дифференцируемой по всем n переменным. Физический смысл градиента функции в том, что он показывает направление (4.8а) и скорость (4.8) наибольшего изменения функции в рассматриваемой точке. Если в некоторой точке |grad Z| = 0, функция вэтой точке не изменяется (не возрастает и не убывает). Эта точка соответствует экстремуму функции. Сущность градиентных методов решения нелинейных оптимизационных задач поясним для случая отыскания абсолютного минимума функции двух переменных Z(х ,х ), 1 2 иллюстрируемого рис. 4.3. Этот минимум находится в точке с координатами х и х . 10 20 В соответствии с граничными условиями (4.5) областью Ω допустимых значений переменных будет первый квадрант системы координат х и х . В этой области 1 2 произвольно выберем исходное (нулевое) приближение - точку с координатами х , х . 1 2 Значение целевой функции в этой точке составляет Z . В соответствии с выражением (4.8) вычислим в этой точке величину градиента функции Z. Рис. 4.3. Иллюстрация градиентного метода с постоянным шагом λ=1 Выполним шаг единичной длины (λ=1) в направлении убывания функции Z. В 1 результате выполненного шага получим первое приближение - точку с координатами х , 1 1 1 х . Значение целевой функции в этой точке составляет Z . 2 Далее вычислительная процедура повторяется: последовательно получаем 2-е, 3-е и 2 2 3 3 4 4 4-е приближения - точки с координатами х ,х ; х ,х и х ,х . Значения целевой функции 1 2 2 3 1 4 2 1 2 в этих точках соответственно составляют Z , Z и Z . 40 Из рис. 4.3 видно, что в результате вычислительного процесса последовательно осуществляется "спуск" к минимуму функции Z. Вычислительная процедура заканчивается, когда относительное изменение целевой функции на предыдущем i-м и последующем (i+1)-м шагах оказывается меньше заданной точности вычислений ε: (Z - Z )/Z <ε. (4.9) i i+1 i Рассмотренная вычислительная процедура носит название градиентного метода с постоянным шагом. В этом методе все шаги выполнялись одинаковой длины λ=1. Метод достаточно прост. Основной его недостаток - большая вероятность зацикливания вычислительного процесса в окрестности минимума функции Z. В соответствии с рис. 4.3 3 3 4 4 вычислительный процесс зациклится между точками с координатами х , х и х , х . При 1 2 1 2 этом в качестве искомого решения следует принять одну из этих точек. Для получения более точного результата необходимо выбрать шаг меньшей длины. При этом объем вычислений (количество шагов) увеличится. Таким образом, точность и объем вычислений в градиентном методе с постоянным шагом определяются величиной этого шага. Метод покоординатного спуска. Как и в предыдущем методе, выберем исходное (нулевое) приближение - точку с координатами х , х (рис. 4.4). Значение целевой 1 2 функции в этой точке составляет Z . В соответствии с выражением (4.8) вычислим частные производные целевой функции Z. Из совокупности частных производных выберем наибольшую по модулю производную. Пусть это будет производная ∂Z/∂x . 2 Следовательно, в направлении переменной х функция Z имеет наибольшее изменение. 2 Если производная положительная, при увеличении переменной х функция увеличивается. 2 Если производная отрицательная, при увеличении переменной х функция уменьшается. 2 Рис. 4.4. Иллюстрация метода покоординатного "спуска" Осуществляем "спуск" по переменной х в направлении уменьшения целевой 2 функции (выполняем единичные шаги λ=1). Последовательно получаем 1-е, 2-е, 3-е 1 2 3 приближения - точки с координатами х ,х ; х ,х ; х ,х . На каждом шаге вычисляем 1 2 1 1 2 2 3 1 2 1 2 3 значение целевой функции: Z , Z , Z . Пусть Z >Z >Z 0. (4.12) 1 2 При наличии указанного ограничения минимум целевой функции следует искать в области Ω, расположенной по одну сторону от прямой ах + bx + c = 0, например выше 1 2 этой прямой (рис. 4.6). Рис. 4.6. Иллюстрация метода проектирования градиента Начало вычислительной процедуры такое же, как и в предыдущих методах: в области Ω принимается исходное (нулевое) приближение х ,х ; 1 2 вычисляется значение целевой функции в этой точке Z ; в соответствии с выражением (4.8) в этой точке вычисляется градиент целевой функции gradZ; из исходной точки в направлении убывания целевой функции выполняется шаг. 43 Выбор величины шага может осуществляться различным образом. Выберем шаг в соответствии с алгоритмом метода скорейшего "спуска" и получим первое приближение 1 1 1 точку с координатами х , х . Вычисляется значение целевой функции в этой точке Z . 1 2 1 1 Необходимо проверить, принадлежит ли точка с координатами х , х области Ω 1 2 допустимых значений переменных. Для этого проверяется неравенство (4.12), в которое 1 1 подставляются координаты х , х : 1 1 1 2 ах + bх + c >0. (4.13) 1 2 Если это неравенство выполняется, вычислительный процесс продолжается. 1 1 Из точки с координатами х , х выполняется следующий шаг. В результате этого 1 2 2 2 шага имеем второе приближение - точку с координатами х ,х . Значение целевой 2 1 2 функции в этой точке Z . Пусть для этой точки неравенство 2 2 ах + bx + c >0 1 2 2 2 не выполняется. Следовательно, точка с координатами х ,х вышла из области Ω и 1 2 необходимо выполнить возврат в эту область. Возврат в область Ω выполняется следующим образом. Из точки с координатами 2 2 х ,х 1 2 2 2 1 1 опускается перпендикуляр на прямую ах +bx +c=0, т.е. конец вектора (х ,х ; 1 2 1 2 х ,х ) проектируется на эту прямую. В результате получается новое приближение 1 2 3 3 точка с координатами х ,х , которая принадлежит области Ω. В этой точке вычисляется 1 2 3 значение целевой функции Z . Дальнейший "спуск" к относительному минимуму целевой функции продолжается 3 3 из точки х ,х . На каждом шаге вычисляется значение целевой функции и проверяется 1 2 принадлежность нового приближения к заканчивается при выполнении условия (4.9). области Ω. Вычислительный процесс 4.4. Метод неопределенных множителей Лагранжа Естественно, что решение задач условной оптимизации значительно сложнее решения задач безусловной оптимизации. Естественно стремление сведения задачи условной оптимизации (поиска относительного экстремума) к более простой задаче безусловной оптимизации (поиска абсолютного экстремума). Такаяпроцедура осуществляется в методе Лагранжа. Рассмотрим сущность этого метода. Необходимо найти условный экстремум нелинейной функции Z(x , x , ... x ) → extr (4.14) 1 2 n n переменных, при m ограничениях f (x , x , ... x ) >b , 1 1 2 n 1 f (x , x , ... x ) = b , (4.15а) 2 1 2 n 2 ................. f (x , x , ... x ) 0, i=1, 2, … n. (4.21) i Соотношения (4.19), (4.20) и (4.21) представляют собой математическую модель поставленной оптимизационной задачи. Для решения воспользуемся методом Лагранжа. Составим функцию Лагранжа L = В (P ) + В (P ) + … В (P ) +λ( Р +Р +…+Р - Р ) → min. (4.22) 1 1 2 2 n n 1 2 n потр Для определения минимума функции Лагранжа вычислим все ее частные производные и приравняем их к нулю: ∂L/∂P = ∂B /∂P + λ = 0, 1 1 1 ∂L/∂P = ∂B /∂P + λ = 0, 2 2 2 . . . . . . . . . . . . . . (4.23) ∂L/∂P = ∂B /∂P + λ = 0, n n n ∂L/∂λ = Р +Р +…+Р - Р 1 2 n = 0. потр Из системы (4.23) следует, что она имеет решение при условии ∂B /∂P = ∂B /∂P = … = ∂B /∂P (4.24) 1 1 2 2 n n и выполнении баланса мощности (4.20). Таким образом, оптимальное распределение активной мощности между электростанциями имеет место при равенстве между собой производных от расходных характеристик каждой станции. 4.6. Задачи оптимального распределения компенсирующих устройств в системах электроснабжения Большинство потребителей электроэнергии кроме активной мощности потребляет и реактивную мощность. В отличие от активной мощности реактивную мощность можно получить непосредственно у потребителей от специальных источников реактивной мощности. Расстановка источников реактивной мощности в схеме электроснабжения называется компенсацией реактивной мощности, а сами источники – компенсирующими устройствами. Подробно вопросы компенсации реактивной мощности рассматриваются в специальных курсах. Основная идея компенсации реактивной мощности заключается в следующем. Рассмотрим простейшую схему электроснабжения (рис. 4.7), включающую в себя линию с 46 активным сопротивлением R, связывающую источник питания напряжением U и потребитель мощностью P+jQ. Рис. 4.7. Простейшая схема компенсации реактивной мощности Потери активной мощности в линии компенсирующего устройства (Q =0) составляют 2 2 при отсутствии у потребителя k 2 ΔР=(Р + Q )R / U , (4.25) при установке у потребителя компенсирующего устройства (Q ≠0) эти потери k уменьшатся до величины 2 2 2 ΔР =(Р + (Q - Q ) R) / U . (4.26) k Таким образом, компенсация реактивной мощности позволяет уменьшить потери активной мощности в схеме электроснабжения и, следовательно, улучшить техникоэкономические показатели этой схемы. Из выражений (4.25) и (4.26) видно, что потери мощности ΔРимеют две составляющие: потери от протекания по линии активной мощности Р и потери от протекания по линии реактивной мощности Q или (Q-Q ). Поскольку компенсация k реактивной мощности влияет только на вторую составляющую потерь, в дальнейшем будем рассматривать потери от протекания по линиям только реактивных мощностей. При проектировании схемы электроснабжения, как правило, минимизируются денежные затраты на эту схему. Снижение потерь мощности за счет установки компенсирующих устройств уменьшает затраты на схему, поскольку каждый потерянный кВт мощности необходимо выработать на электростанциях и, следовательно, затратить на это денежные средства. Однако и компенсирующие устройства требуют денежных затрат. В связи с этим возникает задача определения оптимальной мощности компенсирующих устройств, отвечающей минимуму суммарных затрат. Такая задача относится к задаче безусловной оптимизации и может быть решена, например, градиентными методами. Для системы электроснабжения величина суммарной мощности компенсирующих устройств Q может быть заданной какими-то техническими условиями. В этом случае k заданную мощность Q требуется оптимальным образом распределить внутри системы k электроснабжения. Это уже задача условной оптимизации и решается, например, методом Лагранжа. Рассмотрим такую задачу для радиальной схемы электроснабжения (рис. 4.8). Источник питания имеет напряжение U. От этого источника питаются n потребителей с реактивными мощностями Q , Q , … Q . Активные сопротивления линий между 1 n 2 источником и потребителями составляют R , R , … R . У каждого i-го потребителя может 1 2 n устанавливаться компенсирующее устройство мощностью Q . ki Требуется найти оптимальное распределение между потребителями 1, 2, … n заданной суммарной мощности компенсирующих устройств Q . Критерий оптимальности k – минимум потерь активной мощности в схеме. 47 Подлежащая минимизации целевая функция, представляющая собой потери активной мощности в схеме, имеет следующий вид: n P    Qi  Qki  2 Ri  min . (4.27) U2 i 1 Рис. 4.8. Радиальная схема электроснабжения Относительный минимум целевой функции ищется при ограничении n n  Qki  Qk или Q i 1 i 1  Qk  0 . (4.28) ki Запишем функцию Лагранжа: n  Qi  Qki  2  n    Qki  Qk   min . (4.29)   2 U i 1  i 1  Для отыскания минимума функции L вычислим ее частные производные и приравняем их к нулю: L  P   Ri 2 ∂L/∂Q = -2R (Q - Q )/U +λ = 0, k1 1 k1 1 2 ∂L/∂Q = -2R (Q - Q )/U +λ =0, k2 2 k2 2 ....................... 2 ∂L/∂Q = -2R (Q - Q )/U + λ =0, (4.30) ki i i ki ....................... 2 ∂L/∂Q = -2R (Q - Q )/U +λ =0, kn n n kn ∂L/∂λ= Σ Q - Q =0. ki k Анализ системы (4.30) показывает, что оптимальное распределение заданной суммарной величины компенсирующих устройств Q в радиальной схеме k электроснабжения подчиняется равенству R (Q -Q )=R (Q -Q )=...=R (Q -Q )=...=R (Q -Q ). (4.31) 1 1 k1 2 2 k2 i i ki n n kn Рассмотрим задачу оптимального распределения заданной мощности компенсирующих устройств Q между потребителями 1, 2, … n в магистральной схеме k электроснабжения (рис. 4.9). Подлежащая минимизации целевая функция имеет следующий вид: 2 2 n n  n   n  R1   Qi   Qki  R2   Qi   Qki     i2     i 1 i2 P   i 1 2 2 U U 2 (4.32) n  n  R j   Qi   Qki  2 Rn  Qn  Qkn  i j i j        min U2 U2 48 Рис. 4.9. Магистральная схема электроснабжения Относительный минимум целевой функции ищется при ограничении n n  Qki  Qk или Q i 1 i 1 ki  Qk  0 Запишем функцию Лагранжа 2 2 n n  n   n  R1   Qi   Qki  R2   Qi   Qki  i 1 i2    i2     L   i 1 2 2 U U (4.34) 2 n  n  R j   Qi   Qki  2 Rn  Qn  Qkn   n  i j i j         Qki  Qk   min   2 2 U U  i 1  Для отыскания минимума функции L вычислим ее частные производные и приравняем их к нулю: n L  n    a1   Qi   Qki     0, Qk1 i 1  i 1  n n L  n   n    a1   Qi   Qki   a2   Qi   Qki     0, Qk 2  i 1   i2  i 1 i 2 n n n L  n   n   n    a1   Qi   Qki   a2   Qi   Qki   a3   Qi   Qki     0, Qk 3  i 1   i 2   i 3  i 1 i 2 i 3 .......................................................................................................................... n n n L  n   n   n    a1   Qi   Qki   a2   Qi   Qki   a3   Qi   Qki     Qkn  i 1   i 2   i 3  i 1 i 2 i 3 n  n   a j   Qi   Qki     an  Qn  Qkn     0, i j  i j  n L   Qki  Qk  0,  i 1 где ai  2 Ri / U 2 . Из 1-го уравнения системы (4.35) следует, что n  n  a1   Qi   Qki    . (4.36) i 1  i 1  С учетом этого соотношения из 2-го уравнения системы следует, что n  n  (4.37)   Qi   Qki   0 . i2  i2  Подставив соотношения (4.36) и (4.37) в 3-е уравнение системы, получим 49 n  n  (4.38)   Qi   Qki   0 . i 3  i 3  и так далее. Из третьего снизу уравнения системы (4.35) получим, что Qn 1  Qn  Qk , n 1  Qk , n  0 , (4.39) Из предпоследнего уравнения системы получим Qn  Qk , n  0 или Qn  Qk , n . (4.40) Как следует из (4.40), у последнего n-го потребителя следует установить компенсирующее устройство мощностью, равной реактивной мощности этого потребителя. В таком случае говорят о полной компенсации реактивной мощности потребителя. Из (4.39), (4.38) и (4.37) следует, что у (n-1)-го, … 3-го и 2-го потребителей также следует выполнить полную компенсацию реактивной мощности. Однако при расстановке компенсирующих устройств необходимо учитывать ограничение - последнее уравнение системы (4.34). Таким образом, в магистральной схеме электроснабжения компенсирующие устройства следует устанавливать в соответствии с условиями полной компенсации реактивной мощности Q = Q , начиная от конца магистральной схемы к ее началу (от n-го ki i n потребителя к 1-му потребителю), до выполнения условия Q ki  Qk . i 1 Если у i-го потребителя это условие выполнилось, то у потребителей 1, 2, … i-1 компенсирующие устройства не устанавливаются. Пример 7. В существующей схеме электроснабжения (рис. 4.10) требуется определить мощности компенсирующих устройств Q и Q в узлах 1 и 2 исходя из к1 к2 условия минимума суммарных затрат на установку этих устройств и покрытие потерь активной мощности в схеме. Исходные данные: напряжение схемы U= 10 кВ; сопротивления линий R =6 Ом, R =4 Ом; 1 2 реактивные нагрузки узлов 1 и 2 Q =600 квар и Q =800 квар; 2 1 удельные затраты на установку компенсирующих устройств z =0,5 у.е./квар; о удельные затраты на покрытие потерь активной мощности с =10 у.е./кВт. о Рис. 4.10. Схема электроснабжения Решение. Целевая функция, представляющая собой суммарные затраты на установку компенсирующих устройств и покрытие потерь активной мощности в схеме, имеет следующий вид 2 2 Z=z (Q +Q )+ a (Q +Q -Q -Q ) + a (Q -Q ) → min, k1 k2 -3 1 2 1 2 k1 k2 2 2 k2 гдеa = R c 10 /U =0,0006; 1 o -3 1 2 a = R c 10 /U =0,0004. 2 2 o 50 -3 Введение числового коэффициента 10 необходимо для приведения всех составляющих целевой функции к одной размерности (у.е.). Для решения задачи выберем метод покоординатного "спуска". Определим частные производные целевой функции Z по переменным Q и Q : k1 k2 ∂Z/∂Q = z - 2a (Q +Q -Q -Q ); k1 1 2 1 k1 k2 ∂Z/∂Q = z - 2a (Q +Q -Q -Q )-2a (Q -Q ). k2 1 2 1 k1 k2 2 2 k2 Примем исходное приближение: Q =0 Q =0. Для этих значений вычислим k1 k2 значения целевой функции и ее частных производных: 2 2 Z =0,5(0+0)+0,0006(600+800-0-0) +0,0004(800-0) =1432у.е.; ∂Z/∂Q =0,5 - 2.0,0006(600+800 - 0 - 0)= -1,18; k1 ∂Z/∂Q =0,5 - 2.0,0006(600+800-0-0) - 2.0,0004(800 - 0)= -1,8. k2 Очевидно, что в направлении переменной Q целевая функция Z убывает сильнее, k2 чем в направлении переменной Q , поскольку |∂Z/∂Q |>|∂Z/∂Q |. k1 k2 k1 В направлении переменной Q и начнем "спуск". k2 Примем величину шага λ=400 квар. Первое приближение (первый шаг) будет 1 1 1 Q =0, Q =400 квар. Значение целевой функции Z = 0,5(0+400)+0,0006(600+800 - 0 k1 k2 400)2+0,0004(800 - 400)2=864 у.е. 2 2 2 Второй шаг: Q =0, Q =800 квар. Значение целевой функции Z = 616 у.е. k1 3 k2 3 Третий шаг: Q =0, Q =1200 квар. Значение целевой функции Z = 689 у.е. k1 k2 3 Очевидно, что "спуск" по координате Q 3 2 2 k2 целесообразно прекратить, поскольку 2 Z >Z , и вернуться к значениям переменных Q =0, Q =800 квар, полученным на втором k1 k2 шаге. Выполним новый третий шаг λ=400 квар в направлении другой переменной Q : 3 3 3 k1 Q =400 квар, Q =800 квар. Значение целевойфункции Z = 624 у.е. Движение в k1 k2 3 2 направлении переменной Q нецелесообразно, поскольку Z >Z . k1 Точка с координатами Q =0, Q =800 квар находится в окрестности минимума k1 k2 целевой функции Z. При принятой длине шага λ=400 квар более точное решение получено быть не может. В приложении П.4 приведено решение этой нелинейной задачи с помощью программного обеспечения Excel 7.0. Результаты решения следующие: Q =183 квар, Q =800 квар, Z=596 у.е. k1 k2 Это решение более точное, значение целевой функции на 28 у.е. меньше, чем в методе покоординатного спуска с постоянным шагом. Пример 8. В существующей схеме электроснабжения (рис. 4.11) следует распределить между узлами 1, 2 и 3 суммарную мощность компенсирующих устройств, равную 1000 квар. Критерий оптимальности - минимум потерь активной мощности. Исходные данные: напряжение схемы U= 10 кВ; сопротивления линий R =0,4, R =0,5, R =0,6 Ом; 1 3 2 реактивные нагрузки узлов Q =600, Q =500, Q =400 квар. 1 2 3 51 Рис. 4.11. Схема электроснабжения Решение. В соответствии с исходными данными подлежащие минимизации потери активной мощности (целевая функция) определяются соотношением 2 2 2 ΔР= a (Q +Q +Q -Q -Q -Q ) + a (Q - Q ) +a (Q -Q ) = 1 2 1 3 k1 k2 2 k3 2 2 2 k2 3 3 k3 2 =0,004(1500-Q -Q -Q ) +0,005(500-Q ) +0,006(400-Q ) → min, k1 2 k2 k3 k2 k3 гдеa = R /U =0,004; 1 1 2 a = R /U =0,005. 2 2 2 a = R /U =0,006. 3 3 Суммарная мощность источников реактивной мощности ограничивается условием Q + Q + Q - 1000=0. k1 k2 k3 В соответствии с выражением (4.16) функция Лагранжа будет иметь вид 2 2 L = 0,004(1500 - Q - Q - Q ) + 0,005(500 - Q ) + 2 k1 k2 k3 2 k2 +0,006(400 - Q ) + λ(Q + Q - Q - 1000) → min. k3 k1 k2 k3 Для определения минимума функции Лагранжа вычислим ее частные производные по всем переменным и приравняем эти производные к нулю: ∂L/∂Q = - 0,008(1500 - Q - Q - Q )+ λ =0, k1 k1 k2 k3 ∂L/∂Q = - 0,008(1500 - Q - Q - Q )- 0,01(500 - Q ) + λ=0, k2 k1 k2 k3 k2 ∂L/∂Q = - 0,008(1500 - Q - Q - Q ) - 0,012(400 - Q )+ λ=0, k3 k1 k2 k3 k3 ∂L/∂λ = Q + Q + Q - 1000 = 0. (4.41) k1 k2 k3 Полученная система линейных уравнений легко решается. Из 1-го уравнения системы (4.41) определяется величина множителя Лагранжа: λ = 0,008(1500 - Q - Q - Q ). (4.42) k1 k2 k3 После подстановки λ во 2-е уравнение системы, получим 0,01(500 - Q ) = 0, (4.43) k2 Откуда Q = 500 квар. k2 После подстановки λ в третье уравнение системы получим (400 - Q )=0, k3 откуда Q = 400 квар. k3 Из последнего уравнения системы (4.41) Q = 100 квар. k1 И, наконец, из первого уравнения системы (4.41) найдем величину множителя Лагранжа: λ = 0,008(1500 - 100 - 500 - 400)= 4. 52 В соответствии с выражением целевой функции минимальные потери активной мощности в схеме электроснабжения приограничении суммарной мощности компенсирующих устройств величиной Q =1000 квар составят 2 k 2 ΔР= 0,004(1500 - Q - Q - Q ) + 0,005(500 - Q ) + 2 k1 k2 k3 k2 2 +0,006(400 - Q ) = 0,004(1500 - 100 - 500 - 400) + 0,005(500 k3 2 2 - 500) + 0,006(400 - 400) = 2 кВт 5. Оптимизационные задачи с целочисленными и дискретными переменными 5.1. Задачи с целочисленными переменными В изложенном выше материале по решению оптимизационных задач методами линейного и нелинейного программирования все искомые переменные имели непрерывный характер. Эти переменные в заданном диапазоне изменения могли принимать любые значения. При решении достаточно большого количества оптимизационных задач все искомые переменные или их часть должны принимать только значения целых чисел. Математическая модель таких задач аналогична рассмотренным выше линейным и нелинейным моделям и содержит целевую функцию, систему ограничений и граничные условия. Однако система ограничений в задачах с целочисленными переменными дополняется ограничениями типа х – целое, k = 1, 2, … l, (5.1) k где l – количество целочисленных переменных, l 50) и второе . (6 0+5,5 12+4 9=102>100) ограничения; x = 0, х = 12, х = 8, значение целевой функции Z = 228 у.е.; решение допустимое, 1 2 3 все ограничения выполняются; x = 0, х = 11, х = 9, значение целевой функции Z = 229 у.е.; решение допустимое, 1 2 3 все ограничения выполняются; x = 0, х = 11, х = 8, значение целевой функции Z = 217 у.е.; решение допустимое, 1 2 3 все ограничения выполняются. Видно, что требование целочисленности, как и каждое дополнительное требование, ухудшает значение целевой функции (прибыль уменьшается); округление непрерывных переменных до ближайших целых чисел привело к недопустимому решению (x = 0, х = 12, х = 9); 1 2 3 округление непрерывных переменных до целых чисел, как в большую, так и в меньшую стороны, дает некоторое множество допустимых решений. Есть ли среди этого множества допустимых решений оптимальное или нет, неизвестно. Решение целочисленной задачи можно свести к решению непрерывной задачи, вводя дополнительно более простые ограничения, чем ограничение типа (5.1). Так для задачи примера 2 можно дополнительно ввести ограничения: х <11, x <8; 2 3 х <11, x >9; 2 3 x >12, x <8; 2 3 х >12, x >9 2 3 и четыре раза решать задачу с непрерывными переменными. Однако и в этом случае нет гарантии, что среди решений будет оптимальное целочисленное решение. Существуют различные методы решения целочисленных оптимизационных задач: метод отсечений, метод Беллмана, метод ветвей и границ. В частности, метод ветвей и границ основан на переборе допустимых решений, но на переборе не отдельных решений, а их групп. Такой подход сокращает общий объем вычислений. Однако не будем разбираться в подробностях методов целочисленного программирования, а поручим, как истинный Пользователь, эту разборку компьютеру, поскольку программное обеспечение Excel 7.0 позволяет решать задачи целочисленного программирования. Ввод исходных данных целочисленной задачи отличается от ввода исходных данных задачи с непрерывными переменными заданием дополнительных ограничений вида (5.1). Решение задачи примера 2 с требованием целочисленности переменных приведено в приложении П.3. Результаты решения этой задачи с непрерывными и целочисленными переменными представлены в табл. 5.1. Т а б л и ц а 5.1 Непрерывные переменные Целочисленные переменные х х х Z х х х Z 1 2 11,76 3 8,82 235,29 1 2 3 10 10 230 Из сопоставления двух решений можно сделать следующие выводы: 1. Как и следовало ожидать, значение целевой функции Z в целочисленной задаче ухудшилось, поскольку введено дополнительное ограничение: х , х , х – целые. 1 2 3 54 2. Округление непрерывных переменных до целых чисел как в большую, так и в меньшую сторону может привести к неоптимальному и даже недопустимому решению. 3. Оптимальным решением целочисленной задачи может оказаться такое решение, в котором переменные не являются ближайшими к переменным в оптимальном решении непрерывной задачи. 5.2. Двоичные переменные Частным случаем целочисленных задач являются задачи, в которых искомые переменные могут принимать не любые целые значения, а только одно из двух: либо 0, либо 1. Такие переменные называются двоичными или булевыми. Распространенными задачами с двоичными переменными являются задачи выбора оптимального решения (варианта) из определенного числа заданных решений (вариантов). Если вариант входит в оптимальное решение, то двоичная переменная, соответствующая этому варианту, равна 1. Если вариант не входит в оптимальное решение, то соответствующая двоичная переменная равна 0. Например, если линия электропередачи входит в оптимальную электрическую сеть, то двоичная переменная, соответствующая этой линии равна 1; если линия электропередачи не входит в оптимальную электрическую сеть, то соответствующая двоичная переменная равна 0. В отличие от традиционных переменных х двоичные переменные будем обозначать i δ , где i =1, 2, … n. i Применение двоичных переменных позволяет накладывать на решаемую задачу целый ряд логических условий типа «если … , то …». Если в оптимальное решение должен входить один из двух (i и j) вариантов, то сумма переменных δ + δ = 1. (5.2) i j Если в оптимальное решение должны входить и i–й и j–й варианты, то сумма переменных δ + δ = 2. (5.3) i j Если в оптимальное решение может входить или не входить, каждый из двух (i и j) вариантов, то сумма переменных δ + δ >0. (5.4) i j Если при входе (не входе) в оптимальное решение i–го варианта в это решение должен войти (не войти) и j–й вариант, то δ = δ . (5.5) i j Аналогичные условия можно записать для трех и более вариантов. Если из n возможных вариантов в оптимальное решение должны входить только m вариантов (m < n), то δ + δ + … + δ = m. (5.6) 1 2 n Очевидно, что количество логических условий типа «если … , то …» не ограничено. 5.3. Задачи с дискретными переменными В ряде практических оптимизационных задач заранее известен набор допустимых решений, из которых требуется выбрать оптимальное решение. Например, одно компенсирующее устройство заданной мощности Q можно разместить в узлах 1, 2, … n k системы электроснабжения. Требуется выбрать оптимальный узел компенсирующего устройства, соответствующий выбранному критерию. размещения 55 В ряде других задач искомые переменные могут принимать не любые, а только определенные значения, из которых требуется выбрать значения переменных, отвечающие оптимальному решению. Например, в заданном узле системы электроснабжения нужно установить компенсирующее устройство, мощность которого может быть равной значениям Q , Q , … Q . Из этого ряда требуется выбрать k2 k1 kn оптимальное значение мощности компенсирующего устройства, соответствующее выбранному критерию. Указанные задачи относятся к задачам выбора вариантов из числа заданных и решаются методами дискретного программирования. В этих методах наряду с традиционными переменными используются двоичные переменные, возможности которых по заданию логических условий рассмотрены в п. 5.2. Математическая модель задач дискретного программирования аналогична рассмотренным выше моделям и содержит целевую функцию, систему ограничений и граничные условия. Зависимости между переменными в целевой функции и системе ограничений могут быть как линейными, так и нелинейными. Задаваемые значения дискретных переменных могут быть любыми, в том числе и целочисленными. Пусть в оптимизационной задаче имеется n искомых переменных x (i=1, 2, … n). i Дискретные значения каждой переменной заданы. В оптимальное решение должны войти k переменных (k < n). Каждой переменной x поставим в соответствие двоичную i переменную δ . Если в процессе решения задачи δ =1, то переменная x войдет в i i i оптимальное решение; если δ =0, то переменная x не войдет в оптимальное решение. i i Целевая функция включает в себя и дискретные x , x , … x и двоичные переменные 1 2 n δ , δ ,…δ 1 n 2 Z(x , x , … x , δ , δ ,…δ ) → extr. (5.7) 1 2 n 1 2 n В систему ограничений входят и дискретные и двоичные переменные f (x , x , ... x , δ , δ ,…δ , b )=0, 1 2 1 n 1 2 n 1 f (x , x , ... x , δ , δ ,…δ , b )=0, (5.8) 2 2 1 n 1 2 n 2 ......................... f (x , x , ... x , δ , δ ,…δ , b )=0. m 2 1 n 1 2 n m К этой системе добавляются ограничения вида δ + δ + … + δ = k, (5.9) 1 2 n δ – двоичные, i =1, 2, … n. i Граничные условия, как таковые, не записываем, поскольку возможные значения дискретных переменных являются заданными, а значения двоичных переменных могут быть только 0 или 1. Не вдаваясь в подробности методов дискретного программирования, отметим, что программное обеспечение Excel 7.0 позволяет решать оптимизационные задачи с дискретными переменными. Поэтому предоставим пользователю составление математической модели оптимизационной задачи и ввод исходной информации в компьютер, а вычислительную процедуру предоставим компьютеру. Пример 9. Составить математическую модель для определения в схеме электроснабжения (рис. 5.1) оптимального узла установки компенсирующего устройства, заданной мощности Q . Критерий оптимальности - минимум потерь активной мощности в k схеме. Исходные данные: напряжение схемы U= 10 кВ; сопротивления линий R =0,4, R =0,5, R =0,6 Ом; 1 2 3 56 реактивные нагрузки узлов 1, 2 и 3 Q =600, Q =500, Q =400 квар; 1 2 3 мощность компенсирующего устройства Q =1000 квар k Рис. 5.1. Схема электроснабжения Решение. В рассматриваемой схеме имеются три узла 1, 2 и 3, в каждом из которых можно установить компенсирующее устройство. Обозначим переменными Q , Q и Q k1 k2 k3 мощности компенсирующих устройств, размещаемых соответственно в узлах 1, 2 и 3. Это дискретные переменные, каждая из которых может принимать два значения 0 или 1000 квар. Каждой переменной Q , Q и Q поставим в соответствие двоичную переменную k1 k2 k3 δ ,δ иδ . 1 2 3 Целевая функция, представляющая собой потери мощности в схеме, будет иметь следующий вид: 2 ΔР= a (Q + Q + Q - Q δ - Q δ - Q δ ) + a (Q + Q - Q δ 1 1 2 2 3 k1 1 2 k2 2 k3 3 2 2 3 k2 2 - Q δ ) + a (Q - Q δ ) → min, k3 3 3 2 3 k3 3 где а =R /U (i=1, 2, 3). i i Выражение для потерь мощности предусматривает возможность установки компенсирующего устройства в каждом из трех узлов. Однако в зависимости от величины двоичной переменнойкомпенсирующее устройство в узле i должно быть установлено при δ =1 или не должно быть установлено при δ =0. i i Перейдем к системе ограничений. Поскольку компенсирующее устройство может быть установлено только в одном узле, сумма двоичных переменных должна быть равна 1 δ + δ + δ = 1, 1 2 3 δ , δ и δ – двоичные. 1 2 3 Величина дискретной переменной Q будет зависеть от значения соответствующей ki двоичной переменной δ . Переменная Q = Q при δ =1 и Q = 0 при δ =0. Запишем эти ki i k i ki i условия Q =Qδ , k1 k 1 Q =Qδ , k2 k 2 Q =Qδ . k3 k 3 Граничные условия не записываем, поскольку имеем только двоичные и дискретные переменные. Результаты решения задачи с помощью программного обеспечения Excel приведены в приложении П5: δ =0, δ =1, δ = 0, Q = 0, Q = 1000 квар, Q = 0, ΔР= 2010 Вт. 1 2 3 k1 k2 k3 Таким образом, для обеспечения минимальных потерь мощности компенсирующее устройство мощностью 1000 квар следует установить в узле 2 схемы электроснабжения. 57 Пример 10. Составить математическую модель для определения оптимальной мощности компенсирующего устройства в узле 2 схемы электроснабжения (рис. 5.1). Критерий оптимальности - минимум потерь активной мощности. Исходные данные те же, что и в примере 9. Мощность компенсирующего устройства может принимать следующие дискретные значения: 1100, 1200 или 1300 квар. Решение. В рассматриваемом примере имеем одну дискретную переменную – мощность компенсирующего устройства во 2-м узле. Эта переменная может принимать три дискретных значения Q =1100, Q =1200 и Q =1300 квар. Каждому значению k1 k2 k3 дискретной переменной поставим в соответствие двоичную переменную δ , δ и δ . 1 2 3 Целевая функция, представляющая собой потери мощности в схеме, будет иметь следующий вид: 2 ΔР= a (Q + Q + Q - Q δ - Q δ - Q δ ) + a (Q + Q - Q δ 1 1 2 2 3 2 k1 1 k2 2 k3 3 2 2 3 k1 1 - Q δ - Q δ ) + a Q → min. k2 2 k3 3 2 3 3 гдеа =R /U (i=1, 2, 3). i i Рассмотрим ограничения. Поскольку дискретная переменная должна принять только одно значение, сумма двоичных переменных должна быть равна 1 δ + δ + δ = 1, 1 2 3 δ , δ и δ – двоичные. 1 2 3 Других ограничений нет. Граничные условия не записываем, поскольку имеем только дискретную и двоичные переменные. Результаты решения задачи: δ =0, δ =1, δ = 0, Q = 0, Q = 1200 квар, Q = 0, ΔР= 1770 Вт. 1 2 3 k1 k2 k3 Таким образом, для обеспечения минимальных потерь мощности в схеме электроснабжения величину мощности компенсирующего устройства в узле 2 следует принять равной 1200 квар. 6. Оптимизационные задачи при случайной исходной информации 6.1. Основные понятия В предыдущих главах рассматривалось решение оптимизационных задач, в которых вся исходная информация была однозначно определена. Такая информация называется детерминированной. Примером детерминированной исходной информации могут служить однозначные значения коэффициентов z , a и b (i=1, 2,…n; j=1, 2,…m) в i ij j линейной математической модели (2.1). В практических задачах далеко не всегда исходная информация бывает детерминированной. Достаточно часто исходная информация или ее часть представляют собой случайные величины или случайные функции. В частности, мощности нагрузок в проектируемой системе электроснабжения можно считать случайными величинами, а изменения во времени напряжений в узлах существующей системы электроснабжения – случайными функциями. Для решения оптимизационных задач со случайной исходной информацией используются методы стохастического программирования. Известно, что случайными величинами занимается раздел высшей математики – теория вероятностей. Поэтому прежде чем перейти к методам решения оптимизационных задач вспомним некоторые понятия этой теории. Случайной величиной s называется такая величина, которая может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. 58 Случайная величина s может быть непрерывной или дискретной. В заданном диапазоне изменения случайной величины количество значений дискретной случайной величины ограничено, а количество значений непрерывной случайной величины не ограничено. Примером непрерывной случайной величины является величина напряжения в некотором узле системы электроснабжения. Примером дискретной случайной величины является количество генераторов, одновременно работающих в энергосистеме. Математическим ожиданием случайной величины называется ее среднее значение, полученное в результате n реализаций: 1 n (6.1) M  s    si , n i 1 где si - значение случайной величины в i-й реализации. Среднеквадратичное (стандартное) отклонение определяет разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания: n   s  M  s  2 i   s  i 1 . (6.2) n 1 Важной характеристикой случайной величины служит вероятность Рпоявления этой случайной величины в конкретном интервале значений. Для количественной оценки вероятности случайной величины вводится функция распределения вероятности. Допустим, что случайная величина s может принимать значения от -∞ до +∞. Функция распределения Р(s) этой случайной величины показывает вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от -∞ до s. Следовательно, Р(-∞) = 0, Р(+∞) = 1. (6.3) Наибольшее распространение на практике получил нормальный закон распределения. В соответствии с этим законом с вероятностью 0,999 случайная величина s (-∞ < s < +∞) находится в интервале М[s] - 3σ[s] b , m1 1 m2 2 m n (6.6) m d <х Р , j =1, 2,… m. (6.8) j2 2 j1 1 jn n j зад j Граничные условия в практических оптимизационных задачах, как правило, не содержат случайных величин и записываются без изменения. Итак, математическая модель задачи стохастического программирования имеет следующий вид: М[Z] → extr; P(a x +a x +...+a x Р , j =1, 2, … m; (6.9) j2 2 j1 1 jn n j зад j d <х 15; 1 2 3 x >0, i = 1, 2, 3. i В п. 5.1. к этой модели было добавлено условие целочисленности переменных: x – целое, i = 1, 2, 3. i 61 В поставленной задаче коэффициент b (количество сырьевого ресурса) является 3 случайной величиной. Поставка сырья за некоторый предыдущий период представлена в виде табл. 6.1. Т а б л и ц а 6.1 День 1 2 3 4 5 6 M[b ] σ[b ] Поставка сырья, е.с. 180 150 125 120 170 155 3 3 150 23,9 В этой же таблице приведены рассчитанные по выражениям (6.1) и (6.2) значения математического ожидания M[b ] и стандартного отклонения σ[b ] сырьевого ресурса. 3 3 Отметим, что математическоезначению (150 е.с.). Поскольку в 3-м ограничении b является случайной величиной, перепишем это 3 ограничение в соответствии с выражением (6.11): a x +a x +a x 15; 1 2 3 условие целочисленности x – целое; i граничные условия x >0, i = 1, 2, 3. i Решение этой стохастической задачи полностью аналогично решению линейной целочисленной задачи, приведенному в приложении П.2. 62 7. Оптимизационные задачи при недетерминированной исходной информации В реальных оптимизационных задачах часто приходится искать решение в условиях неопределенности. Основной причиной неопределенности является недостаток исходной информации. Применительно к области электроэнергетики примером неопределенной (недетерминированной) информации может служить перспективный рост мощностей в развивающейся электроэнергетической системе. Для решения оптимизационных задач с недетерминированной информацией методы математического программирования не пригодны. Здесь используется вычислительный аппарат теории игр. В соответствии с этой теорией оптимизационная задача представляется игрой двух игроков. Первый игрок – человек, который принимает решение. В приведенном примере человек должен принять решение по расположению в энергосистеме новых электростанций, строительству линий электропередачи и подстанций. Человек – разумный игрок. Его стратегия – максимальный выигрыш или минимальный проигрыш. Другими словами - человек минимизирует затраты. Второй игрок – энергосистема, а точнее перспективные мощности потребителей энергии. Как будет развиваться энергосистема, каковы будут мощности потребителей в перспективе – однозначно неизвестно. Стратегия энергосистемы – случайная. Она не стремится к максимальному выигрышу. Следовательно, энергосистему нельзя считать разумным игроком. При решении оптимизационной задачи составляется платежная матрица, которая представляет собой таблицу затрат в игре двух игроков. Строки матрицы соответствуют решениям (ходам), которыесделать второй игрок. Процесс составления платежной матрицы достаточно сложен и в каждом конкретном случае может быть различным. Этот этап решения задачи позднее рассмотрим на конкретном примере. Допустим, что платежная матрица составлена (табл. 7.1). Имеется набор ходов человека, которые обозначим как х , х , … х . Имеется набор 1 2 n ходов энергосистемы у , у , … у . Если человек выберет ход х , а система ответит ходом у , 1 2 m i j то затраты при таком раскладе составят z . Оптимальное решение выбирается в результате ij анализа платежной матрицы. Т а б л и ц а 7.1 Рассмотрим основные стратегии выбора решения, которые предлагает теория игр. 1. Стратегия минимума средних затрат. В соответствии с этой стратегией для каждого хода x человека определяются средние затраты по всем возможным ходам i системы n z Z cpi  j 1 m ij (7.1) 63 Выбирается решение, отвечающее минимуму из совокупности i =1, 2, … n средних затрат n xi  minZ cpi , (7.2) i 1 При этой стратегии считается, что все ходы системы имеют одинаковую вероятность, равную 1/m. Для реальных задач такое предположение, как правило, не является истиной. 2. Миниминная стратегия. В соответствии с этой стратегией считается, что на каждый ход x человека система ответит ходом y , соответствующим минимальным i j затратам n zmin i  min zij (7.3) j 1 Выбирается решение, отвечающее минимуму из совокупности i =1, 2, … n минимальных затрат n n x  min min zij (7.4) i 1 j 1 Принятие решения по этой стратегии может привести к крупным просчетам, поскольку здесь учитывается самая благоприятная ситуация. Систему нельзя считать разумным игроком, однако она не будет играть и в поддавки. 3. Минимаксная стратегия. В соответствии с этой стратегией считается, что на каждый ход x человека система ответит ходом y , соответствующим максимальным i j затратам: n zmax i  max zij (7.5) j 1 Выбирается решение, отвечающее минимуму из совокупности i =1, 2, … n максимальных затрат: n n xi  min max zij (7.6) i 1 j 1 В этой стратегии учитывается самая неблагоприятная ситуация. Считается, что система является разумным игроком и стремится к максимальному выигрышу. Такое предположение не соответствует действительности. 4. Стратегия Гурвица. Эта стратегия учитывает как самую благоприятную, так и самую неблагоприятную ситуации. Здесь решение выбирается по условию n m m i 1 j 1 j 1 xi  min(k max zij  1  k  min zij ), (7.7) где коэффициенты k и (1-k) играют роль весовых коэффициентов, с которыми учитываются минимаксная и миниминная стратегии. При k=1 имеем минимаксную стратегию, а при k=0 имеем миниминную стратегию. Наибольшую трудность при применении этой стратегии представляет определение величины весовых коэффициентов k и (1-k). Теория игр ответа на этот вопрос не дает. Для каждой конкретнойзадачи весовые коэффициенты определяются индивидуально, на основе имеющегося опыта. Таким образом, для решения оптимизационной задачи при недетерминированной исходной информации теория игр выдвигает ряд стратегий. Поскольку формально все стратегии равноправны, окончательное решение должно выбираться на основе: анализа решений, полученных по каждой стратегии; опыта проектировщика; особенностей конкретной задачи. Пример 12. В развивающейся энергосистеме требуется определить оптимальный объем ввода генерирующих мощностей электростанций. Перспективный рост 64 энергопотребления в системе недостаточно определен. Известно лишь, что суммарная мощность потребителей энергосистемы в будущем может иметь значения 15, 20, 25 и 30 е.м. (единиц мощности). На момент принятия решения мощность собственных электростанций энергосистемы составляет 10 е.м. Затраты на ввод каждой новой единицы мощности составляют 5 у.е./е.м. В перспективе энергосистема может оказаться на самобалансе (будет обеспечивать потребителей за счет собственных электростанций) или при дефиците мощности. Во втором случае недостающую мощность можно получить из соседней энергосистемы. При этом за каждую единицу мощности, взятую из соседней системы, необходимо платить 7 у.е./е.м. Решение. Имеем четыре возможных хода энергосистемы (y =15; y = 20; y =25; 1 2 3 y =30 е.м.) Примем четыре возможных хода человека (х =15; х = 20; х =25; х =30 е.м.). 4 1 2 3 4 Составим платежную матрицу и заполним ее (табл. 7.2). Т а б л и ц а 7.2 Процесс заполнения платежной матрицы поясним на следующем примере. Человек выбирает ход х = 20 е.м., а энергосистема - ход y = 25 е.м. В соответствии с ходом 2 3 . человека дополнительно вводятся 10 е.м. Затраты на их ввод составят 10 5=50 у.е. В соответствии с ходом энергосистемы дефицит мощности составит 5 е.м. Эту мощностьнеобходимо купить в соседней энергосистеме. Затраты на покупку составят . 5 7=35 у.е. Итоговые затраты составят 50+35=85 у.е. Остальные клетки платежной матрицы заполняются аналогично. Рассмотрим выбор решений по различным стратегиям теории игр. Средние затраты для каждого хода человека составят: Z = (25+60+95+130)/4 = 77,5 у.е. ср 1 Z Z Z ср 2 ср 3 ср 4 = (50+50+85+120)/4 = 76,25 у.е. = (75+75+75+110)/4 = 83,75 у.е. = (100+100+100+100)/4 = 100 у.е. По стратегии средних затрат следует принять решение x , соответствующее вводу 2 10 е.м. Минимальные затраты для каждого хода человека составят: Z = min(25+60+95+130) =25 у.е. min 1 Z Z Z min 2 min 3 min 4 = min(50+50+85+120) = 50 у.е. = min(75+75+75+110) = 75 у.е. = min(100+100+100+100) = 100 у.е. По миниминной стратегии следует принять решение x , соответствующее вводу 5 1 е.м. Максимальные затраты для каждого хода человека составят: Z = max(25+60+95+130) =130 у.е. max 1 65 Z Z Z mах 2 mах 3 mах 4 = mах(50+50+85+120) = 120 у.е. = mах(75+75+75+110) = 110 у.е. = mах(100+100+100+100) = 100 у.е. По минимаксной стратегии следует принять решение x , соответствующее вводу 20 4 е.м. При применении стратегии Гурвица примем коэффициент k=0,5. При таком коэффициенте миниминная и минимаксная стратегии учитываются с одинаковым весом, поскольку k=0,5 и (1-k)=0,5. Затраты для каждого хода человека составят: . . Z = 0,5 130+0,5 25 = 77,5 у.е. 1 . . Z = 0,5 120+0,5 50 = 85 у.е. 2 . . Z = 0,5 110+0,5 75 = 92,5 у.е. 3 . . Z = 0,5 100+0,5 100 = 100 у.е. 4 Руководствуясь стратегией Гурвица, следует принять решение х , соответствующее 1 вводу 5 е.м. Итак, по стратегии средних затрат следует принять решение х (ввод 10 е.м.); по 2 миниминной стратегии – решение х (ввод 5 е.м.); поминимаксной стратегии – решение х 1 4 (ввод 20 е.м.); по стратегии Гурвица – решение х (ввод 5 е.м.). 1 Разные стратегии предлагают разные решения. Причем две стратегии предлагают одинаковое решение х . Окончательный выбор остается за человеком. 1 Поскольку решение х (ввод 15 е.м.) не дала ни одна стратегия, это решение не 3 принимаем. Не будем принимать решения х и х , диктуемые самой благоприятной и самой 1 4 неблагоприятной ситуациями развития энергосистемы. Остается решение х , отвечающее 2 вводу в энергосистеме 10 е.м. Это решение и будем считать оптимальным. 8. Многокритериальные оптимизационные задачи 8.1. Определение коэффициентов веса каждого критерия Рассмотренные выше решения оптимизационных задач выполнялись по одному критерию (по одной целевой функции). На практике не всегда удается свести задачу к одному критерию, поскольку желаемых целей может быть несколько. Задачи, в которых оптимизация проводится по нескольким критериям, называют задачами многокритериальной оптимизации. Такая оптимизация представляет собой попытку найти компромисс между принятыми критериями. Важным моментом нахождения такого компромисса является назначение коэффициентов веса каждого критерия. В конечном итоге решение многокритериальной задачи сводится к оптимизации по одному обобщенному критерию, в который входят все принятые критерии со своими весовыми коэффициентами. Существует достаточно много способов определения весовых коэффициентов. Рассмотрим один из них, а именно, способ экспертных оценок. Суть этого способа заключается в следующем. Пусть для решения оптимизационной задачи приняты, например, три критерия (критерийА, критерий В и критерий С). Собирается группа экспертов – специалистов в той области, к которой относится оптимизационная задача. Пусть группа экспертов состоит, 66 например, из трех человек (1-й эксперт, 2-й эксперт и 3-й эксперт). Каждому эксперту предлагается оценить в баллах от 0 до 1 каждый критерий. При этом выдвигается условие, чтобы сумма баллов каждого эксперта по всем критериям была бы равна 1. В табл. 8.1 представлены результаты экспертизы. В качестве весового коэффициента i-го критерия (i=A, B, C) принимается среднеезначение оценок каждого эксперта по этому критерию (последняя строка табл. 8.1). Т а б л и ц а 8.1 8.2. Оптимизация по обобщенной целевой функции Одним из возможных решений многопараметрической задачи является оптимизация по обобщенной целевой функции, в которую входят все принятые к рассмотрению критерии со своими весовыми коэффициентами. Эта обобщенная функция записывается следующим образом: s  Z Z об   k k  max (8.1) k 1 Z kнорм Z – k-я целевая функция, выражающая k-й критерий; k Z k норм – нормированное значение k-й целевой функции; α – коэффициент веса k-й целевой функции; k s – количество целевых функций (принятых критериев). Если k-я целевая функция максимизируется, перед ней под знаком суммы ставится плюс. Если k-я целевая функция минимизируется, перед ней под знаком суммы ставится минус. Весовые коэффициенты могут быть определены, например, с помощью экспертных оценок (см. п. 8.1). Нормированное значение k-й целевой функции Z принимается по результатам k норм решения оптимизационной задачи только по одному k–му критерию. Целевые функции в общем случае имеют разные единицы измерения. Поэтому в (8.1) введено деление каждой целевой функциина ее нормированное значение. Такое действие приводит все целевые функций к единой размерности (к относительным единицам, о.е.). Составление ограничений и граничных условий для многокритериальной задачи не имеет специфических особенностей по сравнению с однокритериальной задачей. Пример 13. Рассмотрим задачу распределения ресурсов (примеры 1 и 2), в которой требуется определить оптимальный выпуск изделий трех видов (х , х и х ), 1 2 3 обеспечивающий предприятию максимальную прибыль при минимальном расходе энергетических ресурсов. Решение. Решение задачи только по критерию максимальной прибыли выполнено ранее (см. приложение П.3) и дало следующий результат: х =0, х =10, х =10, прибыль Z =230 у.е. 1 2 3 1 67 Решим эту задачу с учетом только второго критерия – минимального расхода энергоресурсов. Подлежащая минимизации целевая функция, представляющая собой затраты энергоресурсов на выпуск продукции, имеет следующий вид: Z = 2х + 2х +3х → min. (8.2) 2 1 2 3 Из системы ограничений исключаем неравенство, ограничивающее расход энергоресурсов (2х +2х +3х <50), поскольку левая часть этого неравенства стала целевой 1 2 3 функцией. В результате имеем следующую систему ограничений, состоящую из трех неравенств: 6х + 5,5х + 4х <100, (8.3) 1 2 3 4х + 6х + 8х <150, 1 2 3 х + х + х >15. 1 2 3 Условия целочисленности переменных х – целое, i=1, 2, 3 (8.4) i и граничные условия х >0, i=1, 2, 3 (8.5) i остаются без изменений. Решение задачи по 2-му критерию Z → min приведено в приложении П.6 и дает 2 следующий результат: х =0, х =15, х =0, расход энергии Z = 30 е.э. (единиц энергии). 1 2 3 2 Для решения двухкритериальной задачи сформируем обобщенную целевую функцию Z = α Z /Z - α Z /Z → max. об 1 1 1норм 2 2 2норм Предположим, что в результате экспертных оценок получены следующие весовые коэффициенты: α = 0,6 и α = 0,4. 1 2 Обобщенная целевая функция будет иметь следующий вид Z =0,6(8 х + 11 х + 12х ) / 230 – 0,4(2х + 2х + 3х ) / 30. об 1 2 3 1 2 3 Система ограничений остается в виде (8.3), условие целочисленности переменных – в виде (8.4), граничные условия – в виде (8.5). Решение рассматриваемой двухкритериальной задачи приведено в приложении П.6 и дает следующий результат: х =4, х =1, х =16; 1 2 3 обобщенная целевая функция . . Z = 0,6 235 / 230 + 0,4 58 / 30 = 0,28 о.е. об Результаты решений (значения переменных х , х , х ), полученных при 1 2 3 максимизации прибыли (Z → max), минимизации энергетических ресурсов (Z → min) и 1 2 максимизации обобщенной целевой функции (Z → max), приведены в табл. 8.2. об Т а б л и ц а 8.2 68 Видно, что результат решения двухкритериальной задачи отличается от результатов решения задачи по каждому из двух критериев. 9О рациональном управлении энергосистемой Управление энергосистемой должно обеспечивать: • – необходимые значения параметров режима узловых точек; • – максимальную экономичность режима системы в целом; • – удовлетворение заказа потребителей, как по надежности электроснабжения, так и по качеству электроэнергии. Управление производится за счет изменения состояния энергосистемы или параметров ее режима. 9.1 Параметры системы Состояние ЭЭС определяется схемой системы, генераторным оборудованием, устройствами регулирования, устройствами автоматики и др., т.е. параметрами системы - это параметры конструктивных элементов энергетической системы (номинальные мощности генераторов, трансформаторов, синхронных компенсаторов, сечения и длины линий электропередачи, номинальные напряжения оборудования и т.д.). Параметры системы являются неуправляемыми, если речь идет об эксплуатации энергосистемы, однако они становятся управляемыми параметрами, когда мы говорим о развитии энергетических систем. 9.2 Параметры режима Параметры режима – это текущие значения показателей режима энергосистемы в конкретный момент времени. Параметры режима разделим на технологические и электрические. Примером технологических параметров служат уровни воды (напоры) ГЭС, открытия направляющих аппаратов гидротурбин, расход пара и охлаждающей воды на тепловой станции и т.д. Примеры режимных электрических параметров - это напряжения в отдельных точках сети, активные и реактивные нагрузки узлов, токи по линиям, коэффициенты трансформации трансформаторов и т.д. Главным параметром управления является активная мощность ЭЭС. Она может изменяться за счет состава включенного генераторного оборудования на станциях и за счет его загрузки. Поэтому для электростанций введем понятия: Установленная мощность энергосистемы Руст равна сумме установленных номинальных мощностей Рэлектростанций всех типов: Руст  РГЭС  РКЭС  РТЭЦ  РАЭС  РГТС  РГАЭС  Рпр , здесь индексы означают: ГЭС - гидроэлектростанция, КЭС -тепловая конденсационная электрическая станция, ТЭЦ -теплоэлектроцентраль, АЭС - атомная электрическая станция, ГТС - газотурбинная станция, ГАЭС - гидроаккумулирующая электростанция, пр - прочие типы станций (приливные, геотермальные, ветровые, дизельные станции и другие, удельный вес которых еще очень невелик). Разделим обе части этого уравнения на Руст и введем обозначение 69 Рi*  Pi Pуст тогда соотношение РГЭС*  РКЭС*  РТЭЦ *  РАЭС*  РГТС*  РГАЭС*  Рпр*  1, определит структуру системы. 9.3 Рабочая мощность Рабочая мощность электростанции Рр меньше, чем установления Руст , на величину мощности, выведенной в ремонт плановый или вынужденный Рр.п , Р р.в , в консервацию Рк ,по причине технического перевооружения Рп.в , а также на снижение мощности за счет ограничений, не зависящих от персонала Рог . Итак, Рр  Руст  Рр.п  Рр.в  Рк  Рп.в  Рог . (9.1) Отношение рабочей мощности к установленной называется коэффициентом эффективности использования установленной мощности электростанции (агрегата или энергосистемы): К эф  Рр / Руст . Подставив в (9.1) и разделив почленно, получим К эф  1  Рр.п*  Рр.в*  Рк*  Рп.в*  Рог* . Рабочую мощность за рабочий день можно определить иначе -как сумму мощностей станции в период прохождения максимума нагрузки Рнаг и резерва (холодного и вращающегося) Ррез . Тогда коэффициент эффективности К эф  Рнаг  Р рез Руст . Коэффициент эффективности для электростанций определяется для конкретного интервала времени. Он всегда меньше единицы и характеризует реальные возможности участия той или иной станции в балансе мощности. Для увеличения эффективности надо ускорить проведение ремонтов, не допускать аварийного отключения агрегатов (снижать Рр.в ), добиваться снятия технических ограничений, которые зависят от усилий персонала станции. 9.4 Процесс Переход системы из одного состояния в другое называется процессом. Он происходит под действием сигналов управления или внешних возмущений. Зафиксированное состояние энергосистемы можно уподобить моментальной фотографии непрерывного процесса ее работы. Предполагается, что поведение системы можно достаточно полно охарактеризовать набором таких фотографий - состояний системы. Обычно выбирают характерные состояния: режим нормального рабочего дня, максимальный, минимальный, послеаварийный режимы и т.д. 9.5 Типовые задачи установившегося режима Для нормальных режимов наиболее характерными являются следующие задачи: 70 − составление балансов мощности и энергии; − определение перетоков мощности между энергосистемами; − выбор состава работающих агрегатов на электростанциях; − распределение нагрузки потребителей между агрегатами, станциями, энергосистемами, объединениями; − выбор эксплуатационной схемы электрической сети; − расчет потокораспределения и напряжения в электрической сети; − выбор и размещение оперативных резервных мощностей в ЭЭС; − регулирование частоты; − регулирование напряжения; − настройка систем автоматики и релейной защиты; − распределение топливных ресурсов; − регулирование стока водохранилищами ГЭС; − планирование ремонтов; − определение технико-экономических показателей. Приведенный перечень является далеко не полным, причем в каждой из перечисленных задач имеется множество подзадач. 9.6 Особенности задач ЭЭ − системы ЭЭ – «большие системы» − системы реального времени − системы большой протяженности − параметры и характеристики различного типа (разный уровень напряжения, разного типа электростанции, показатели качества..) 9.7 Декомпозиция задач ЭЭ Для практического решения задач ЭЭ применяют методы декомпозиции общих задач на ряд более простых и взаимосвязанных подзадач. Декомпозиция осуществляется на основе иерархических принципов. В то же время при декомпозиции возникает потребность в укрупнении (эквивалентировании) частей схемы. Здесь требуется агрегатирование (сбор, композиция) информации. Рассмотрим виды иерархии и соответствующие уровни декомпозиции задач типа задачи распределения нагрузки в энергосистеме. 9.8 Иерархия в пространстве Иерархия в пространстве имеет 4 уровня, отсюда и 4 модификации задач. Первый – распределение нагрузок между объединениями ЕЭС РФ, определение режима межсистемных электропередач и графиков нагрузок отдельных энергосистем. Применяется эквивалентирование эл. сетей. Второй – распределение нагрузок между энергосистемами объединения и крупными электростанциями. Эквивалентирование. Третий – распределение нагрузок между станциями РЭС, расчеты режимов эл. сетей. Эквивалентирование. Четвертый – распределение нагрузок между агрегатами электростанций. Эквивалентирование не применяется. Все уровни взаимосвязаны. Для любого нижнего уровня нагрузки станции, перетоки мощности задаются из условий, полученных наиболее высоком уровне. В то же время эквивалентирование эл. схем производится с учетом тех. характеристик агрегатов, элементов и узлов энергетической системы, определяемых на нижних уровнях. 71 9.9 Иерархия во времени – 3 уровня, 3 задачи. 1) Составление долгосрочных планов (от 1 месяца) с определением прогнозируемых характерных графиков нагрузки. Многие детальные свойства системы опускаются. Цель расчетов – определить те режимы, которые необходимы для планирования технических и хозяйственных мероприятий в системе. 2) Составление краткосрочных планов (от суток до месяца) с определением графиков нагрузок ЕЭС, ОЭС, РЭС и отдельных электростанций. Учитываются все характеристики и свойства системы. Полученные графики нагрузок и обеспечивают в норм.условиях экономичность работы энергосистемы. Однако ввиду вероятностного характера нагрузок потребителей плановый режим может корректироваться, причем при коррекции роль факторов надежности важнее факторов экономичности. Коррекция осуществляется на третьем шаге. 3) регулирование мощностей электростанций в текущем режиме, т.е. в темпе протекающих в энергетике процессов. При этом применяется автоматическое регулирование частоты и активной мощности, напряжения и реактивной мощности, перетоков по линиям связи., производится оперативное управление режимом энергосистемы, коммутацией сетей, выводом оборудования в ремонт и др. 9.10 Ситуативная иерархия Позволяет отдельно рассматривать задачи расчета параметров в нормальных, аварийных и послеаварийных условиях работы системы. Естественно, что в аварийных режимах условия экономичности не принимаются во внимание, главное – обеспечение надежности электроснабжения и получение энергии нормируемого качества. 9.11О полученном результате Разделение задачи на подзадачи существенно упрощает алгоритм решения, упрощает расчеты, снижает порядок решаемых задач. Но нельзя не помнить, что все процессы в энергосистеме взаимосвязаны и получаемые при декомпозиции решения должны быть проанализированы, т.е. к результатам нужно относиться критически. Во многом получаемые решения могут приниматься как оценочные. 10 Оперативная координация взаимодействия подсистем энергетики Как при постановке задач, так и при анализе решения требуется выполнять координацию работы подсистем. Координацию можно выполнять двумя способами: задавая межсистемные перетоки (координация по перетоку мощности) и по цене энергоресурса каждой подсистемы путем развязывания взаимодействия. Координация по перетоку мощности осуществляется путем задания графика межсистемных перетоков между отдельными подсистемами по ВЛ. Координация путем развязывания взаимодействий осуществляется на основе управления тарифами на электроэнергию. Такой способ весьма перспективен, но в России пока не применяется. Рассмотрим объединение двух энергосистем: дефицитной и избыточной. 72 Эс . Дефицитная энергосистема покупает у избыточной электроэнергию по контракту Эк . Каждая энергосистема имеет собственную выработку электроэнергии Тариф на эту энергию должен покрывать расходы на ее производство и передачу. Кроме того, может появиться надобность в дополнительных поставках электроэнергии: экономические (для более эффективной работы энергосистемы) Ээ , внеплановые, вызванные остановками оборудования, Эд и авариями Эа . Отдельно учитываются необъявленные обмены Эн – разность между диспетчерской и фактической выработкой энергии. Тогда Э  Эс  Эк  Эд  Эа  Эн . Различные виды энергии оплачиваются по разному: самая дешевая контрактная, потом экономическая, потом дополнительная, аварийная. По особому тарифу оплачивается необъявленная энергия. Только контрактная оплачивается по жесткому тарифу, остальные –по плавающему. В таких условиях система заинтересована в точном определении потребности в электроэнергии. Стимулируется необходимость наилучшим способом использовать собственные ресурсы энергосистемы. 10.1 Оптимальность решения При решении любой задачи требуется получить наилучший (или оптимальный) результат. В такой постановке задачи, т.е. как задачи оптимизации возникают три проблемы: формирование критерия оптимальности, адекватное формализованное представление объекта или процесса, т.е. построение математической модели и выбор метода решения, т.е. способа реализации математической модели. Первые две из этих проблем требуют абсолютного понимания смысла задачи, а последняя также и глубоких знаний в области математики, называемой математическим программированием. 10.2 Баланс мощности активной В любой оптимизационной задаче в качестве уравнений-ограничений составляется баланс мощности. В энергосистеме в любой момент времени соблюдается баланса активных мощностей. Баланс мощности в момент t имеет вид P генit i   Pjt    jt j j где слева – суммарная мощность генераторов; первое слагаемое суммарная нагрузка потребителей; второе – потери мощности в сети и мощности собственных нужд станций. Правая часть уравнения - потребность (или нагрузка), левая - покрытие (или генерация). Нарушение баланса активной мощности приводит к отклонению частоты, т.е. к нарушению качества электроэнергии. Потребность: 1) совмещенный максимум нагрузки энергосистемы; 2) передача мощности в другие системы; 3) необходимый резерв; 4) потери мощности; 5) потребная мощность электростанций (1+2+3+4) Покрытие: 73 6) суммарная установленная мощность электростанций; 7) ограничение мощности (или системные ограничения); 8) располагаемая мощность электростанций (6-7); 9) получение мощности из других систем; 10) покрытие (8 + 9); 11) избыток (+) или дефицит (-) мощности (10-5). 10.3 Баланс мощности реактивной Аналогично балансу активной мощности в энергосистемах должен соблюдаться баланс реактивной мощности, который влияет на уровни напряжения: Q генit i   Qкуjt   Qk'jt  Qпjt   q jt j j j j где слева последовательно реактивная мощность генераторов электростанций, мощность компенсирующих устройств, мощность, вырабатываемая емкостной составляющей на ЛЭП; справа – реактивная мощность потребителей и потери реактивной мощности. В отличие от активной избыток реактивной мощности в одной части(районе) энергосистемы не всегда может компенсировать недостаток в другой части. 10.4 Баланс энергии Кроме баланса мощности при планировании режима на предстоящий интервал времени t составляет баланс энергии. Оно определяет предстоящий расход топлива в системе. 11 Рассмотрение 11.1 Распределение отдельных задач нагрузки энергосистем В общем случае задача распределения нагрузки сложна, что определяется большими масштабами энергетики, большим различием технических, экономических и режимных характеристик отдельных элементов ЭЭС, влиянием энергетики на другие отрасли народного хозяйства. Для создания практических методов расчета производится декомпозиция общей задачи на ряд более простых и взаимосвязанных подзадач с помощью рассмотренной нами ситуативной и временной иерархии, а также иерархии по уровням в пространстве (между объединениями ЕС РАО, энергосистемами, между станциями РЭС, агрегатами электростанций). Рассмотрим ряд задач наивыгоднейшего распределения нагрузок в условиях нормальной эксплуатации. 11.2 Распределение нагрузки между ТЭС Пусть имеется концентрированная тепловая энергосистема, в которой все станции работают на одну общую нагрузку. Сеть радиальная, напряжения в узлах станций известны и постоянны, распределение активных нагрузок не влияет на распределение реактивных. Задача: найти наивыгоднейшее распределение нагрузки с учетом потерь активной мощности в сети. Будем считать, что система имеет i  1,2,..., n тепловых электростанций, для которых известны расходные характеристики B PTi  и суммарная нагрузка PH . 74 Уравнение цели B1 PT 1   B2 PT 2       Bn PTn   min Ограничения – балансовые уравнения мощности P Ti  PH    0 , i где  –сумма мощности активных потерь. Функция Лагранжа:   B1 PT 1   B2 PT 2       Bn PTn      PTi  PH    ,  i  Т.к. выражение в скобках =0, то минимум функции Лагранжа и ЦФ совпадают. Дифференцируем и приравниваем нулю частные производные    B1     0    1  PT 1 PT 1  PT 1       Bn      0    1  PTn PTn  PTn   откуда B n B1 B 2 PTn PT 1 PT 2     .    1 1 1 PT 1 PT 2 PTn Введем обозначения: bi  Bi – относительный прирост расхода топлива электростанций, который PTi показывает, как изменится расход топлива i-й станции, если ее нагрузка изменится на величину PTi ; i   - относительный прирост потерь активной мощности в сетях, т.е. PTi величина, показывающая, насколько изменятся потери в сетях, если мощность только i-й станции изменится на PTi . Применяя эти обозначения, получаем условия наивыгоднейшего распределения нагрузки  bi  idem . 1i (11.1) При выполнении условия (11.1) минимум, а не максимум ЦФ обеспечивается, если вторые производные от расходных характеристик по мощности неотрицательны, т.е.  2 Bi  0; PTi2 bi  0. PTi Это означает, что характеристики относительных приростов электростанций должны быть монотонно возрастающими. 75 Выясним физический смысл условия (11.1). Для этого запишем его в конечных разностях и умножим числитель и знаменатель на PT , B PT PT B B    idem .  P     P    T H 1   PT  PT  Из этого следует, что при наивыгоднейшем распределении нагрузки прирост расхода топлива ΔB на прирост активной мощности PH у потребителя должен быть одинаковым для всех электростанций. Чтобы учесть потери мощности в сети даже для простой схемы, нужно решить систему уравнений установившегося режима. Для реальных систем, имеющих замкнутые контуры, большое число узлов такая задача сложна, зачастую сложнее задачи распределения нагрузки. Поэтому во многих случаях потери в сети учитываются приближенно в виде поправок к характеристикам станций. 11.3Без учета потерь активной мощности в сети Такая задача характерна для распределения нагрузки между агрегатами электростанции, чем для энергосистемы. Однако для энергосистем с высокой степенью концентрации мощности такая постановка также возможна, так как неучет потерь мощности в сетях не приводит к большим погрешностям. При неучете потерь активной мощности, т.е. при   0 , условие наивыгоднейшего распределения нагрузки имеет вид bi  idem. (11.2) Оптимальный режим соответствует равенству относительных приростов станций. Полученное условие (11.2) сохраняется для гидроагрегатов, турбин и котлов ТЭС. Если каждая электростанция работает на разном топливе, которое имеет разную цену uT в рублях за тонну условного топлива, то условие оптимизации приобретает вид: biU Ti  idem. Это приводит к большей нагрузке станций, работающих на дешевом топливе, и разгрузке станции на дорогом топливе. 11.4 Охрана окружающей среды и оптимальные режимы нагрузки При планировании и управлении режимами систем энергетики приходится учитывать влияние энергетики на окружающую среду. С учетом этого может оказаться целесообразной, например, разгрузка электростанций, расположенных в центре больших городов ниже оптимальных величин, если они выбрасывают в атмосферу значительное количество вредных веществ, а погодная обстановка (направление ветра или его отсутствие, выпадение осадков и др.) оказывается особенно неблагоприятной для здоровья населения города. Естественно, что разгрузка производится за счет догружения менее экономичных станций, что увеличит затраты. При сжигании топлива ценой uT руб/т, общие затраты, связанные с его сжиганием и с ущербом для окружающей среды ИТ  В  uT  У з  У с  У а  У в  У вд  У пр  . ЗдесьУ – ущерб от выброса соответственно золы, серы, азота, ванадия, нагретой или грязной воды, прочие ущербы. 76 Любая составляющая ущерба пропорциональна количеству расхода топлива, т.е. можно записать ИТ  ВuT kЭ , где kЭ – коэффициент пересчета цены топлива с учетом его вредного воздействия на природу. Отметим, что в определении удельного ущерба от вредного выброса есть много сложностей и спорных моментов. Еще в большей степени это относится к учету местных климатических и экономико-географических фактов. В большинстве случаев численные оценки этих величин находятся экспертным путем. Зная значение издержек от выброса вредных веществ на 1 т топлива, и приближенно считая ее независимой от режима работы энергоустановки, можно получить уравнение оптимального управления режимом распределения нагрузки в виде biuT kЭ  idem . (11.3) Уравнение справедливо для выпуклой задачи. Считается, что снижение загрязнения достигается лишь перераспределением нагрузки. Однако, выброс, например, оксидов азота существенно зависит от организации рециркуляции газов, и подавление выбросов этих веществ влияет на КПД блока. Для оптимального распределения нагрузки следует учитывать изменение расходной характеристики агрегата. По каждому виду вредных веществ существуют предельно допустимые нормы выбросов в атмосферу. Это может накладывать дополнительные ограничения в работе электростанции на грязном топливе, т.е. усложняется математическая модель системы. 11.5 Распределение нагрузки в энергосистеме с ГЭС и ТЭС Для смешанной энергосистемы задача наивыгоднейшего распределения нагрузки делится на две различные задачи. Первая – оптимизация длительных режимов системы. В этой задаче для всего цикла регулирования ГЭС находится наивыгоднейшее распределение нагрузки между станциями системы и определяется режим использования водноэнергетических ресурсов водохранилищ. Последнее и является целью расчетов. Определяются календарные графики сработки и заполнения водохранилищ всех гидростанций системы. Это особые задачи, и они в нашем курсе либо не будут рассматриваться вообще, либо на последних лекциях, исходя из наличия времени. Вторая – оптимизация краткосрочных режимов, или наивыгоднейшее распределение нагрузки в смешанной системе для суточного или меньшего периода оптимизации. Вторая задача и будет здесь рассматриваться. Ограничения по речному стоку определяются при решении первой задачи. 11.6При постоянстве напора ГЭС Допустим, что в системе имеется одна эквивалентная тепловая электростанция и j   ,  ,..., гидростанций. Каждая гидростанция за период Т может израсходовать определенное количество энергоресурса(стока). Задача заключается в том, чтобы в каждом расчетном интервале всего периодаТполучить наивыгоднейшее распределение нагрузки между станциями. Уравнение цели (ЦФ): k B   Bt  t  min . t 1 77 Расход топлива эквивалентной тепловой станции Bt зависит от того, с какой мощностью она будет работать на интервале времени t  1,2,..., k длительностью  t ,а следовательно, от мощности ГЭС. Уравнения ограничений. Для каждого расчетного интервала имеется балансовое уравнение мощностей (всего k уравнений): WPt  PTt  P t  Pt      Pt  Pt   t  0 .   Для каждой гидростанции задается ограничение по стоку (всего  уравнений) k W j  WQj   Q jt  t  0 . t 1 Условные обозначения: Pt – нагрузка системы; PTt – мощности ТЭС; Pt , Pt ,..., Pt  t – потери активной мощности в сетях; W j  WQ ,WQ ,...,WQ – заданные ограничения стока; Q jt –расход воды ГЭС. – мощности ГЭС; Функция Лагранжа принимает вид k k     Bt   tWPt    jW j . t 1 t 1 j  Неизвестными величинами являются мощности одной ТЭС и  ГЭС в каждом расчетном интервале t, всего t   1 неизвестных мощностей. Неизвестны также множители Лагранжа: t множителей λtи  множителей λj. То есть число неизвестных t  2t   , поэтому необходимо составить t  2t   уравнений. Дифференцируем функцию Лагранжа по всем неизвестным. Производные по мощности ТЭС имеют вид    Bt   t 1  t PTt PTt  PTt    0  или для разных интервалов времени  1  b1 b ,2  2 ,... 1  1 1 2 Находим производные по мощности ГЭС, считаем, что прямой зависимости расходной характеристики ТЭС от мощности ГЭС нет. Получаем уравнения     t 1  t Pjt  Pjt  Q jt   j  0,   P jt  из которых получим  1   q q q q  q 1 q    1        1 ;2    2    2        2 ;   1   1 1    1 1   1 12 1  2 1 2 ... Обобщая уравнения для ТЭС и ГЭС, получаем условия оптимизации 78 q 1 q 1  q 1 b1                  1 1 1   1 1   1 1   1 T1  q 2 q 2 q 2 b2              2  1T2 12 1 2 12  .........    Все выражения, входящие в последнюю систему за исключением множителей Лагранжа, определяются энергетическими характеристиками оборудования (относительными приростами на ТЭС и ГЭС)и параметрами электрической сети (относительными приростами потерь в сети), поэтому индексы времени можно опустить, тогда получим окончательный вид уравнения оптимизации q q q b           , (11.4) 1T 1  1  1 где BT - относительный прирост расхода топлива на ТЭС; PT Q j qj  – относительный прирост расхода воды ГЭС; Pj   T  , j  – относительные приросты потерь активной мощности в PT Pj b электрических сетях при изменении мощностей ТЭС и ГЭС соответственно. Условие (11.4) имеет следующий смысл: для наивыгоднейшего распределения нагрузки необходимо для всего периода оптимизации соблюдать постоянное соотношение λjмежду ТЭС и ГЭС. Например, нагрузка между ТЭС и ГЭС α должна распределяться по соотношению  b    1  .    q 1  ГЭС могут различаться напором и расходом, поэтому для каждой ГЭС имеется свой множитель λj. 11.7 Размерность и физический смысл коэффициентов λj Рассмотрим простейшую энерготепловую систему, состоящую из одной ТЭС и одной ГЭС. Поскольку считаем, что сети нет (электростанции рядом), условие наивыгоднейшего распределения нагрузки примет вид и   jq , тогда 1 B  B  Q   j    .   Q  P  P  Следовательно, λj – мера эффективности использования гидроресурсов в системе. Этот коэффициент показывает, какая экономия условного топлива (тонн), будет получена 79 на ТЭС, если на ГЭС дополнительно используется расход воды ΔQ (м3/c). Наивыгоднейшим будет такой режим, при которой ресурсы каждой ГЭС будут использованы с одинаковой эффективностью в течение всего времени оптимизации и λj=idem Коэффициент λjсвязан с параметрами ГЭС, т.е. с ее напором и расходом. Если напор постоянный, а расход меняется, то ГЭС меняет и свою мощность. Эффективность использования гидроресурсов λjобратно пропорциональна расходу воды и прямо пропорциональна напору, так как при увеличении напора и постоянстве мощности уменьшается расход ГЭС. 11.8При переменном напоре ГЭС Изменение напора ГЭС может вызываться непостоянством уровней верхнего и нижнего бьефов в течение периода оптимизации. На приплотинных ГЭС с большими водохранилищами уровень верхнего бьефа меняется мало (на сантиметры), а уровень нижнего бьефа достаточно сильно. Например, на Камской ГЭС изменение нижнего бьефа за сутки – 3,5 м. На деривационных ГЭС на несколько метров может меняться напор за счет изменения уровня напорного бассейна. Изменение напора вызывает «эффект последствий», т.е. влияние режима ГЭС на текущем интервале на последующие. Это усложняет оптимизационные задачи. Пусть в системе имеются две станции: тепловая и гидравлическая. Между ними произвольно распределен заданный график нагрузки с соблюдением баланса мощности. По графику мощностей ГЭС определен график ее расходов. Перераспределим нагрузку и посмотрим, к каким изменениям в системе это может привести. В момент tαна интервале dtувеличим расход ГЭС на величину dQ,а в дальнейший момент tб интервале dtуменьшим расход ГЭС на туже величину dQ. Как изменятся мощности станций в период от tα до tб? Увеличение расхода приведет к увеличению мощности на dP  q1dQ и к такому же снижению мощности тепловой станции. Экономию топлива на тепловой станции можно записать как dB  b dP dt  b q1dQdt   dV , где qα, bα – относительные приросты ГЭС и ТЭС;   b q1 −множитель Лагранжа, dV  dQ  dt – дополнительный сток ГЭС. Экономия топлива найдена без учета изменчивости напора. В действительности увеличение расхода приводит к увеличению уровня нижнего бьефа. Так как этот процесс затухает медленно, то он будет продолжаться от tα до бесконечности. Мощность ГЭС при этом снижается на dP нб  P dH tнб . H Таким образом, чтобы судить о мощностях, нужно знать изменчивость уровня нижнего бьефа dH tнб . Методы определения этой зависимости сложны, трудоемки, поэтому применяются упрощенные методы. Дополнительный расход топлива ТЭС за счет увеличения нижнего бьефа на dH tнб 80  dBaнб   dPtнб bat dt  aнб dV , ta где принято обозначение  aнб 1  dPtнб bat dt . V ta Такое обозначение введено потому, что величина àíá имеет ту же размерность, что и λ – эффективность использования гидроресурсов в(11.4). Аналогичные рассуждения можно применить в моменту tб, когда будет восстановлен баланс стока ГЭС, тогда получим: dBб  б dV , dBбнб  бнб dV . Но напор меняется и за счет изменчивости верхнего бьефа, поэтому необходимо учесть эффект последствия. В течение периода от tα до tб ГЭС работает с пониженными на dH вб по сравнению с первоначальным режимом уровнями верхнего бьефа. Можно так определить снижение мощности ГЭС в этот период: dPаб  P H dV Н V причем P - показывает изменение мощности ГЭС от напора, Í H – изменение напора от объема. V Всего же объем изменился на dV. Пережог топлива на ТЭС за счет понижения верхнего бьефа определится как tб dBаб   dРабbt dt  аб dV , tа где t 1 б P H аб  bt dt , dV tа H V причем видно, что размерность и этой величины совпадает с размерностью эффективности использования гидроресурсов λ. Общее изменение расхода топлива системы суммируется из уменьшения расхода топлива за счет увеличения расхода на ГЭС в момент tа, дополнительного расхода топлива за счет увеличения уровня нижнего бьефа, увеличения расхода топлива за счет уменьшения расхода на ГЭС в момент tб, экономии топлива за счет уменьшения уровня нижнего бьефа и дополнительного расхода топлива при изменении уровня верхнего бьефа и равно dBс  dBа  dBанб  dBб  dBбнб  dBаб . Если первоначальное распределение нагрузки было лучше второго, то dBс  0 ; если же последующий режим лучше, то dBс  0 , т.е. в системе будет экономия. Примем условие равноэкономичности режимов за расчетное, что соответствует dBс  0 . Подставляем выражения, сокращаем dV, в результате получаем б  бнб  а  анб  аб , (11.5) где 81 а  bа − множитель Лагранжа, являющийся мерой эффективности расходования qа водных ресурсов ГЭС, определяемый относительным приростом расхода топлива на ТЭС(b) при уменьшении расхода воды на ГЭС(q) ; бнб , анб – относительный дополнительный расход топлива за счет изменения нижнего бьефа на ГЭС; аб – относительный дополнительный расход топлива, обусловленный изменением верхнего бьефа. Из(11.5) следует, что при изменении напора ГЭС значение λ не остается постоянным. Поэтому на каждом расчетном интервале времени требуется определять свой коэффициент эффективности λ. 11.9 Распределение реактивной мощности Генерация реактивной мощности влияет на режим напряжений и потокораспределение мощностей системы. Следовательно, распределение реактивных мощностей также может быть задачей оптимизации. Предположим, что генерация реактивной мощности не связана с какими-либо затратами. Тогда единственной целью оптимизации распределения реактивной мощности является минимизация потерь активной мощности в сетях. Минимизируя потери активной мощности, можно снизить и расход топлива станций системы. Следовательно, минимум потерь активной мощности   min . Потери активной мощности являются функцией как от активных, так и от реактивных мощностей     Q  . Условно считаем, что активные мощности заданы и неизменны, хотя изменение потерь мощности в сетях требует изменения активной мощности какой-либо станции(потери должны быть скомпенсированы!). Но мы принимаем, что потери зависят только от реактивной мощности. Уравнение ограничения - балансовое уравнение суммарная реактивная нагрузка Qн и сумма мощностей источников реактивной мощности Qi , т.е. r Qн  Q   Qi  0 i 1 Уравнение оптимизации получим с использованием метода множителей Лагранжа. Функция Лагранжа принимает вид r       W  Q       Qн  Q   Qi  . i 1   Неизвестными в этой задаче являются r мощностей источников реактивной мощности и множитель Лагранжа, всего r+1 неизвестное. Для решения составляют r уравнений дифференцированием ЦФ по всем независимым переменным, а одно уравнение– это уравнение баланса реактивной мощности. Дифференцируя функцию Лагранжа по реактивной мощности станций, получаем r уравнений:  Q       1    0 .  Q j Q j  Q j   Отсюда следует 82    Q1 Q2 Qr       idem . (6)  Q   Q   Q  1   1   1   Q1   Q2  Qr    Это условие справедливо только для случаев, когда генерация реактивной мощности не связана непосредственно с затратами топлива или мало влияет на них. В противном случае задачи распределения активных и реактивных мощностей должны решаться совместно. Условие(6) упрощается, если пренебречь потерями реактивной мощности, т.е. принять ΔQ=0, тогда условие оптимальности примет вид:         idem . Q1 Q2 Qr 11.10 Физический смысл условия оптимального распределения реактивной нагрузки Запишем выражение (6) в конечных разностях   Q j  idem .    Q   1    Q j   Домножим числитель и знаменатель на  Q j , получим   Q j Q j    Q   Q j 1    Q j        idem .  Q j    Q   Qн Полученное условие показывает, что оптимальным будет такой режим, при котором для всех источников реактивной мощности будет иметь равенство прироста потерь активной мощности на единицу прироста реактивной нагрузки потребителей. 11.11 Комплексное распределение мощностей Анализ допущений, при которых возможно разделение задачи: 1) активные и реактивные нагрузки потребителей во всех узловых точках не зависят от величины модулей напряжения в этих точках. Отказ от этого допущения означает необходимость учета изменений нагрузок потребителей при перераспределении как активных, так и реактивных мощностей генерирующих источников, так как оптимального распределения мощностей нагрузок при этом будут другими модули напряжений в узлах нагрузок, а, следовательно, и активные и реактивные нагрузки потребителей. Поэтому всякое перераспределение одного вида мощности влияет на распределение другого, независимое их распределение будет невозможно; 2) потери активной мощности в сетях можно разделить на две части, она из которых зависит только от распределения активной мощности, другая – только от реактивной. Значит, каждая из них не зависит от модулей и фазовых углов векторов 83 напряжений в узловых точках. На самом деле такая зависимость существует, т.е. изменение распределения мощностей одного вида влияет на потери мощности обоих видов; 3) генерация реактивной мощности не связана с какими-либо затратами на электростанциях. Т.е. не учитываются затраты на потери мощности в обмотке возбуждения и стали на электростанциях, а на подстанциях– потери активной мощности в компенсаторах реактивной мощности. Отказ от названных допущений требует рассмотрения задачи комплексного распределения мощностей. 11.12 Упрощенный алгоритм комплексной оптимизации Если не учитывать ограничения в форме неравенств по пропускной способности ЛЭП и мощностям электростанций, то задача может решаться методом множителей Лагранжа. Пусть в энергосистеме на параллельную работу включено n активных и m реактивных источников мощности, связанных с узлами нагрузки сетью произвольной конфигурации. ЦФ имеет вид n B   Bi . i 1 Ограничение по балансу активной мощности имеет вид т WP   Pi  Pн    0 . i 1 Аналогично по реактивной мощности т WQ   Qi  Qн  q  0 . i 1 Здесь π и q – потери активной и реактивной мощностей в электрической сети. Функция Лагранжа примет вид n  т   т     Bi  1   Pi  Pн     2   Qi  Qн  q  i 1  i 1   i 1  При условии неизменности нагрузок решение находится из уравнений: n уравнений m уравнений     Bi q   1 1   0;   2 Pi Pi Pi  Pi     q   1  2 1    0; Qi Qi  Qi  Найдем из уравнений второй группы отношение    Qi Qi . Ji  2   1  q  1   Qi 1    Qi    Здесь 84 Q  i q дифференциальный показатель относительного прироста потерь реактивной Qi мощности. Он показывает, как возрастают потери реактивной мощности во всей сети при изменении реактивной нагрузки i-го источника на Qi . Записав это уравнение для каждого из m источников и приравняв правые части, получим условие наивыгоднейшего распределения реактивных мощностей системы.  Qi  idem . 1   Qi  (11.6)  Обратимся теперь к уравнениям первой группы. Запишем одно из них в виде bi  1 1   i   1 J i q  0; Pi где Bi – относительный прирост затрат на топливо; Pi  i  – относительный прирост потерь активной мощности в сети. Pi Подставим выражение для Ji в последнее выражение  Qi q bi  1 1   i   1 0. 1   Qi Pi bi    Умножим на знаменатель     bi 1   Qi  1 1   i  1   Qi  1 Раскрываем скобки, выражаем источников активной мощности: 1   q  0. Qi Pi и распространяем полученное равенство на все n bi 1   Qi   q 1   i   Qi   i Qi  Qi Pi  idem . (11.7) Это общее условие наивыгоднейшего распределения активной и реактивной нагрузки в сложной энергосистеме с учетом потерь мощности в электрической сети. Если активная и реактивная мощности распределяются независимо, уравнение распадается на 2, первое из которых мы уже получали; q bi Pi  idem;  idem . (11.8) 1i 1   Qi Можно показать, что для однородной электрической сети, т.е. для сети, у которой отношение удельных сопротивлений активного и реактивного r0  const , (11.7) x0 упрощается. Для таких сетей выполняется условие 85  q  q    i Qi . Qi Pi Pi Qi Тогда условие наивыгоднейшего распределения нагрузки в однородных сетях примет вид:  bi 1   Qi   idem . (11.9) 1   i   Qi 12 Определение производных потерь в электрических сетях 12.1 Однородная сеть q  , . Pi Qi Нахождение их – трудоемкая задача. Зависимость производных от нагрузок станции не линейна. Кроме того, производная потерь зависит не только от суммарной нагрузки системы, но и от ее распределения по отдельным узлам. Самый простой случай– случай однородной сети. Потери в сети В общем случае необходимо найти 4 производные:  ,  Q , Ps2  Qs2   rs , U s2 s 1 l где l – число линий, rs – активное сопротивление линии; U s – напряжение линии; Ps, Qs – активная и реактивная нагрузки линии. В однородной сети активные нагрузки не зависят от реактивных, поэтому l  i   Pi s 1 Ps Pi 2 Ps U s2 2 l P rs  2  Ps rs s , U s 1 Pi (считаем, что напряжение по всей сети приведено к одному номинальному, поэтому выносим за знак суммы) Ps rs – характеризует потери напряжения от узла s до балансирующего узла, они одинаковы по всем параллельным ветвям, поэтому тоже выносим за знак суммы; Ps – Pi коэффициент потокораспределения. Сумма коэффициентов потокораспределения по всем ветвям равна1. Тогда окончательно i  2 Ps rs . U2 Аналогично Ps2  Qs2 q xs , U s2 s 1 l и Q  i 2 Qs xs . U2 12.2 Неоднородная сеть 86 В неоднородной сети потери активной мощности можно представить через узловые нагрузки n1 n 1      Big  PP i g  Qi Qg   Cig  PQ i g  Pg Qi   . i 1 g 1 Потери реактивной мощности n 1 n 1  q    Dig  PP i g  Qi Qg   Fig  PQ i g  Pg Qi   . i 1 g 1 где i и g – номера узлов; P и Q – активная и реактивная узловые нагрузки; В, С, D, F – коэффициенты потерь. Они являются функциями модуля и фазы напряжений. Формулы для их расчета следующие(не для запоминания): Big  Bgi  Dig  Dgi  rig cos ig U iU g ; Cig  C gi  xig cos ig U iU g ; Fig   Fgi  rig sin  ig U iU g ; xig sin  ig U iU g Здесь r и x – активное и реактивное сопротивления линий; U – напряжения в узлах;  – разность фаз векторов напряжений в соответствующих узлах. Изменение любой из узловых мощностей приводит к изменению модулей и фаз напряжения во всех узлах, кроме балансирующего. Это усложняет расчет производных. Обычно применяют допущение о постоянстве модулей и фаз. Тогда, дифференцируя полученные выражения по соответствующим нагрузкам, получаем n1  i   2 ( Big Pg  Сig Qg );  g  i  , Pi g 1 n 1   2 ( Big Qg  Сig Pg );  g  i  , Qi g 1 n 1 q  2 ( Dig Pg  Fig Qg );  g  i  , Pi g 1 n 1 q  Qi   2 ( Dig Qg  Fig Pg );  g  i  . Qi g 1 Подчеркнем, что полученные зависимости приближенные. Выводы Используя (11.8), можно поэтапно оптимизировать режим энергосистемы. На первом этапе определяются активные мощности станций и приближенно рассчитывается режим электрической сети, в которой считаются известными реактивные мощности в ветвях, напряжения в узлах, коэффициенты трансформации трансформаторов. На втором этапе считаются известными активные мощности станций и рассчитываются все параметры электрической сети. Кроме ограничений по балансу мощностей, могут быть и другие: по напряжениям, углу сдвига фаз в передачах и др. Тогда растет число множителей Лагранжа и процесс оптимизации усложняется. 87 При высокой размерности задачи и необходимости учета разнообразных ограничений процесс расчета плохо сходится. Это является недостатком рассмотренного алгоритма, поэтому он применяется для концентрированных энергосистем или в совокупности с другими методами оптимизации. 12.3 Решение комплексной задачи распределения мощностей методами нелинейного программирования При комплексной оптимизации любые изменения потоков мощности влияют на узловые напряжения, а значит, изменение потоков активных мощностей влияет на потоки реактивных и наоборот. Для решения задачи комплексного распределения мощностей с учетом взаимовлияния потоков применяются методы нелинейного программирования. Рассмотрим схематично решение комплексной задачи. Имеется функция многих переменных F  Z , D  . Компоненты Z являются искомыми параметрами режима, а исходную информацию о состоянии системы. Для нахождения оптимального решения нужно получить D включает F  Z   min при ограничениях в виде равенств и неравенств W  Z   0; Z min  Z  Z max . Компоненты вектора параметров режима системы Z разделяются на 2 подмножества: X и Y . Подмножество Y включает независимые переменные, т.е. параметры, которые в системе могут регулироваться, на которые можно воздействовать, а X включает зависимые параметры режима, т.е. те, которые могут быть вычислены по параметру Y , тогда Z  X , Y   Z X Y  , Y ,   отсюда min F  Z   min F  X , Y   min F Y  , а ограничения принимают вид W  X , Y   0; X min  X Y   X max ;Ymin  Y  Ymax . В качестве уравнения связи Y  X  используются уравнения установившегося режима электрической системы, например, уравнения узловых напряжений или узловых мощностей. Чтобы найти зависимые переменные, требуется рассчитать установившийся режим. Это самостоятельная и трудоемкая сетевая задача. В алгоритмах оптимизации режима активных и реактивных мощностей ее удельный вес наибольший. Деление параметров режима Z на два подмножества X и Y понижает размерность задачи и, следовательно, облегчает вычислительный процесс. 12.4 Задача комплексной оптимизации для энергосистемы, состоящей только из тепловых электростанций Рассмотрим основные этапы решения задачи комплексной оптимизации для энергосистемы, состоящей только из тепловых электростанций. Пусть энергосистема состоит из M обобщенных и отдельных узлов, и в ней имеются только тепловые станции. 88 Параметры режима: PГi , QГi – активные и реактивные мощности генераторных узлов; U i ,  i – модули и фазы напряжений в узлах системы. Известны активные и реактивные нагрузки в узлах, причем они не зависят от напряжений и частоты в сети. Требуется определить оптимальное распределение нагрузки по условию минимума расхода условного топлива системы. 1) Уравнение цели B  Z   min Вектор параметров Z разделяется на вектор независимых переменных Y U i ,  i  и зависимых переменных X  PГi , QГi  , тогда ЦФ принимает вид B U i ,  i , PГi U i ,  i  , QГi U i ,  i    min , 2) Уравнения связи включают эквивалентные характеристики генераторных узлов вида Bi  PГi  ; связи между параметрами X и Y (связи в основном неявные); уравнения ограничений, которые задаются в виде неравенств PГi min  PГi  PГi max ; QГi min  QГi  QГi max ; U i min  U i  U i max ;  i min   i   i max . Задаются также балансовые ограничения по активным и реактивным мощностям в виде системы уравнений установившегося режима. Для каждого узла баланс мощности равен WPi  PГi  Pi  PНi ,WQi  QГi  Qi  QНi , где W – небалансы по соответствующим мощностям в узле, P, Q без индекса– нагрузки на сеть далее; P, Q с индексом "н" – на нагрузку; с индексом "г" – мощности от генераторных узлов. В стационарном установившемся режиме величины небалансов равны 0. Если в стационарном режиме изменятся параметры U i ,  i , то появится небаланс. Изменяя PГi , QГi , можно получить новый стационарный режим для новых значений U i ,  i . Задача состоит в том, чтобы найти такое решение, при котором B  min . 3) Уравнения оптимального управления формируются с использованием, например, градиентных методов. Они позволяют от допустимого стационарного режима системы перейти к оптимальному режиму. Решение считается оптимальным, если модуль градиент-вектора B функции B  X ,Y  будет меньше заданного малого значения, т.е. B   . Алгоритм комплексной оптимизации может применяться для решения разнообразных режимных задач. Можно по нему проверить допустимость напряжений в узлах и токов в ветвях при различной нагрузке системы. Можно определить мероприятия по поддержанию определенного режима. В их числе уставки по напряжению для АРН (автоматических устройств регулирования напряжения на электростанциях), положение отпаек трансформаторов при регулировании их коэффициентов трансформации, мощности синхронных компенсаторов и др. 13 Выбор оптимального состава агрегатов 13.1 Характеристика задачи 89 До сих пор при рассмотрении оптимального распределения мощностей предполагалось, что включенные в работу агрегаты на электростанциях заданы. Однако, состав работающих агрегатов значительно предопределяет экономичность и надежность системы. Неравномерность графиков нагрузки системы делает целесообразным, а иногда и необходимым периодические остановки агрегатов при снижении нагрузки и включение их при увеличении. Включение в работу отдельных агрегатов влияет на величину и размещение резервов, на режим электрической сети, на перетоки по межсистемным линиям электропередач, на расход топлива системы и т.п. Поэтому задача выбора оптимального состава агрегатов относится к числу важнейших. В общем случае для системы, содержащей m гидроэлектростанций и k тепловых станций, задача заключается в том, чтобы для каждого расчетного интервала времени определить: 1) состав агрегатов; 2) моменты пуска и остановки агрегатов; 3) распределение нагрузки между ними, обеспечивающее минимум эксплуатационных затрат и выполнение всех требований по надежности. При постановке математического описания задачи необходимо учитывать: 1) энергетические характеристики; 2) пусковые расходы агрегатов(котлы или турбины при остановке охлаждаются, поэтому при новом пуске требуют тепло. Эти затраты зависят от длительности остановки агрегата, если она меньше суток, если больше – не зависят); 3) вид, сорт, стоимость топлива на ТЭС, ограничения по стоку на ГЭС; 4) потери мощности, ограничения в электрических сетях; 5) ограничения на комбинации работающих агрегатов; и др. В соответствии с вышеназванным задача выбора состава агрегатов является: – нелинейной, – целочисленной, – многоэкстремальной, – имеет высокую размерность( 2n , n - число агрегатов) Нельзя непосредственно решать задачу методом неопределенных множителей Лагранжа, т.к. изменение числа работающих агрегатов является дискретным, при этом характеристики станции меняются скачком. Можно использовать метод динамического программирования, но только для числа агрегатов до 20-30. Нет достаточно общих методов для организации вариантного анализа различных составов. Все существующие методические приемы являются приближенными. В связи со сложностью решения общей задачи рассмотрим принципы выбора оптимальных агрегатов для простейших случаев. 13.2 Выбор оптимального состава агрегатов в тепловой энергосистеме Пусть имеется энергосистема только с ТЭС, т.е. все агрегаты установлены на тепловых электростанциях. Нагрузку энергосистемы примем неизменной и вначале не будем учитывать пусковые расходы. Далее примем, что все активные мощности распределяются между включенными агрегатами оптимально по критерию (1)  bi  idem . 1i Определим критерий выгодности остановки одного из работающих агрегатов, например, агрегата j . Удельные расходы затрат обозначим  , тогда 90 Bj j  Pj . Пусть агрегат j , об остановке которого идет речь, работает до остановки с мощностью Pj 0 и с удельным расходом затрат  j 0 . Тогда экономия затрат от остановки агрегата составит Э j 0   j 0 Pj 0 . При остановке агрегата j придется мощность Pj 0 возложить на другие агрегаты энергосистемы по принципам оптимального распределения мощностей. Рассмотрим более детально этот процесс. Пусть мощность агрегата j получает малое приращение dPj при неизменности мощностей всех остальных агрегатов системы и нагрузок всех узловых точек, кроме балансирующей. Такое положение может иметь место только при отклонении нагрузки в балансирующей точке на dPнб . При этом изменятся и потери в сетях на величину d   dPj Pj и dPнб  dPj  d   dPj   dPj  1   j  dPj . Pj Процесс уменьшения мощности агрегата j на величину dPj рассмотрим в два этапа. На первом этапе нагрузка балансирующей точки снижается на величину 1    dP , а мощности остальных агрегатов и нагрузок не меняются. На втором этапе нагрузка балансирующей токи увеличивается на 1    dP , т.е. восстанавливается j j j j фактическая нагрузка, и для получения баланса мощности остальных агрегатов увеличиваются в соответствием с критерием оптимального распределения (1). При этом затраты возрастают на величину  1   j  dPj , где  характеризует удельный прирост затрат системы на единицу увеличения мощности нагрузки. Таким образом, рост затрат в энергосистеме при остановке агрегата определяется интегралом j Pj 0 З j0    1    dP j j , где  и  j зависят от Pj . Если мощность агрегата j очень мала по сравнению с мощностью энергосистемы, то  изменяется очень мало, точно также мало изменяется и величина коэффициента  j . В этом случае З j 0  ср 1   jср  Pj 0 , где ср  0   к 2 ; jср   j 0   jк 2 . 91 Здесь  0 и к – начальное и конечное значение удельного прироста затрат в системе при остановке агрегата j ;  j0 и  jк – начальное и конечное значение удельного прироста потерь мощности в сети. Если мощность агрегата j достаточно велика, то более точное значение затрат при остановке агрегата j З j 0   ср 1   jср   Pj , где суммирование ведется по интервалам снижения мощности «ср» – средние значения для каждого интервала  Pj , а  и j с индексом  Pj . Остановка агрегата выгодна при Э j 0  З j 0 , т.е. если Pj 0  j 0 Pj 0    1    dP , j j или приближенно  j 0 Pj 0  ср 1   jср  Pj 0 , т.е.  j 0  ср 1   jср  . (10а) Экономия от остановки составит Э  Pj 0  j 0  ср 1   jср   . (11) Более точно  j 0 Pj 0   ср 1   jср   Pj . (10б) При этом экономия составляет  P Э  Pj 0   j 0   ср 1   jср  j  Pj 0    . (11а)  Алгоритм. На основе данного критерия можно принять следующий алгоритм выбора оптимального состава агрегатов. Для каждого рассматриваемого периода, например суток, выбирают оптимальные агрегаты. Вначале предполагают, что работают все и находят оптимальное распределение активных мощностей при этом условии. Затем находят экономию от остановки для каждого агрегата в отдельности по формулам(11), а также удельную экономию на единицу номинальной мощности Э0  Э . Pjном При остановке в первую очередь выбирают агрегат, дающий наибольшую удельную экономию. Учет ведется по удельной экономии потому, что в любой час можно остановить агрегаты с номинальной мощностью не более, чем  P  Pном  P  Rопт б где Pном – номинальная мощность всех агрегатов, P – суммарная нагрузка потребителей, Rопт – заданная величина оптимального резерва мощности в системе. После остановки первого агрегата, дающего наибольшую удельную экономию, вновь производят оптимальное распределение мощностей по работающим агрегатам, затем– расчет удельных экономий от остановки дополнительных агрегатов. Опять 92 выбирают для остановки агрегат, дающий наибольшую удельную экономию и т.д. до тех пор, пока или вообще не будет агрегатов, или остановка очередного не будет приводить к недопустимому снижению резерва мощности. Таким образом выясняется, какие агрегаты должны стоять в течение отдельных часов суток. Для приближенного учета пусковых расходов агрегатов считаем, что их выгодно останавливать только на некоторое число часов в сутки  , тогда в остальные часы суток повышают удельные расходы агрегата путем добавки к фактическим затратам  j Pj пусковых расходов за часов, разделенных на число рабочих часов. Исправленный удельный расход затрат для нагрузки Pj будет  j   j Pj  Pj Tуд 24    j Tуд Pj  24  Pj  , где Tуд – пусковые расходы за час стоянки. Затем производят новый выбор оптимальных агрегатов без учета пусковых расходов и вновь корректируют удельные расходы. Ввиду сложности расчетов задачу выбора оптимального состава агрегатов рекомендуется решать с использованием ЭВМ. 14 Оценка области равноэкономичных режимов 14.1 Введение в задачу При рассмотрении задачи оптимального распределения нагрузок в энергетической системе существует некоторая неопределенность решения, обусловленная следующими факторами: 1) исходные параметра системы и ее режима (сопротивления ее отдельных элементов, мощности нагрузок, экономические характеристики станций и т.п.) известны лишь приближенно, т.е. носят вероятностный характер, имеют погрешность; 2) алгоритмы, применяемые для поиска оптимальных решений, неизбежно содержат те или иные допущения и упрощения, следовательно, также вносят в решение задачи некоторую неточность. Как правило, затраты на выработку мощности станциями в окрестности оптимального режима можно представить функцией, имеющей пологий характер. Таким образом, существует не точка оптимального решения, а некоторая область равноэкономичных решений, которой соответствует отвечающий области диапазон изменения мощностей станций, входящих в энергосистему. Иначе говоря, зная размеры области равноэкономичных режимов, можно задавать точность реализации оптимального режима энергосистемы. 14.2 Задача определения размеров области равноэкономичных режимов Определение взаимосвязи размеров области равноэкономичных режимов с отклонениями мощностей станций – сложная задача. Поэтому рассмотрим упрощенное решение. Пусть имеется теплоэнергетическая система, содержащая n станций. При определенных значениях активных мощностей станций Pi  Pi 0 затраты на их выработку минимальны Bmin  B1  B2     Bn . 93 Для всех Pi  Pi 0 значение B  Bmin . Пусть B  Bmin  B   , (12) где  – малая в сравнении с положительная величина. Условие (12) вместе с уравнением баланса активной мощности определит множество режимов, в которых затраты на выработку активной мощности в энергосистеме не превосходят минимальных на величину  . Это множество можно считать множеством режимов, равноэкономичных(с точностью до  ) с оптимальным. Точное определение размеров этого множества– чрезвычайно сложная задача. Однако сравнительно просто можно получить приближенную оценку размеров этой области, построив ее в виде сферической окрестности точки, отвечающей минимуму затрат, т.е. в виде сферы с центром, находящимся в точке оптимума. Допущение: экономические характеристики зависят только от активной мощности. Запишем экономические характеристики станций вблизи оптимальных значений мощностей Pi 0 полиномами второй степени Bi  Pi    i  i Pi   i Pi 2 . При отклонении мощности станций от ее оптимального значения Pi 0 затраты изменяются на величину 2 Bi  Bi  Pi   Bi  Pi 0    i   i  Pi 0  Pi    i  Pi 0  Pi   2 2  i  i Pi 0   i Pi 02   i Pi  2 i PP i i 0   i Pi  bio Pi   i Pi Здесь bi 0 – удельный прирост затрат i-той станции в оптимальном режиме, bi 0  i  2 i Pi 0 . Используем формулы потерь активной мощности для неоднородной сети с применением коэффициентов потерь n1 n 1      Big  PP i g  Qi Qg   Cig  PQ i g  Pg Qi   ; (а) i 1 g 1 i  n 1 n 1   2 Big Pg  2 Cig Qg ;  g  i  (б) Pi g 1 g 1   P . Считая, что реактивные мощности не зависят от изменения активных, изменение потерь в сетях из-за отклонения режима от оптимального запишется в следующем виде:   P    Bij  Pi 0  Pi   Pj 0  Pj   Bij Pi 0 Pj 0  i j i j  2 Bij Pi 0Pj   Bij Pi Pj i j i j Из (б) первый член в последнем выражении можно представить n 2 Bij Pi 0 Pj   i j i 1   P  Pi . Pi Изменение потерь в сетях должно быть равно изменению мощ-ностей всех станций энергосистемы: n   P    Pi , i 1 поэтому 94 n n   P  Pi   Pi   Bij Pi Pj ,  Pi i 1 i 1 i 1 j 1 n n откуда n n    P   1   Pi   Bij Pi Pj . (с)  Pi  i 1  i 1 j 1 Рассмотрим пространство  n  1 измерений, в котором n соответствуют приращениям Pi мощностей n станций, а n измерений  n  1 -е измерение– перерасходу затрат B . За начало координат в этом пространстве выберем точку, соответствующую оптимальному режиму, считая его известным. Перерасход B представит собой некоторую поверхность, имеющую минимум в начале координат. Переменные Pi образуют также некоторую поверхность рассматриваемого пространства. При анализе величины B можно рассматривать только точки, для которых выполняется условие баланса мощностей, т.е. точки, лежащие внутри области пересечения поверхностей. Предположим, что вокруг точки оптимального решения описана сфера радиусом  , величина которого n   P i 2 . i 1 2 Пусть величина затрат Bmax  M  , где M – число, подлежащее определению. Если радиус сферы выбрать из равенства M 2   , то для всех Pi , лежащих внутри этой сферы, суммарный перерасход затрат в энергосистеме не будет превышать величину  :   B . Тем самым функция   M определит размер сферической окрестности, полностью лежащий внутри области равноэкономичных (с точностью до ε) режимов. Чтобы найти эту функцию, надо определить величину M , оценивающую рост изменения затрат с увеличением радиуса сферы. Оценим максимум B . B   Bi    bi 0 Pi   i Pi 2  . (d) i i Так как в точке, соответствующей оптимальному режиму,    P   bi 0  c 1  ,  P i   то    P   bi 0 Pi  c 1   Pi , Pi      P   i bi 0Pi c i 1  P  Pi . i   Принимая во внимание равенство (с), запишем 95 b i0 i Pi c  Bij Pi Pj . i j Подставляя в (d), найдем B  c  Bij Pi Pj    i Pi 2 . (е) i Оценивая первое j слагаемое, i из Bij множества выберем максимальный коэффициент потерь Bmax . Тогда очевидно  B   n  1 B ij max , i и c  Bij Pi Pj  c  n  1 Bmax  Pi 2 . i j i Оценивая второе слагаемое, также из множества коэффициентов максимальный, тогда   P i 2 i i  выберем   max  Pi 2 . i В результате выражение (е) может быть записано B   c  n  1 Bmax   max   Pi 2 . i При  P i 2 2 2   и B  M  искомая величина M определится i M  c  n  1 Bmax   max , а радиус области равноэкономичных (с точностью до  ) режимов   . (13) c  n  1 Bmax   max Полученное выражение позволяет проанализировать влияние параметров системы и режима на величину радиуса оцениваемой области равноэкономичных режимов. Если задаваться значениями  , то при известных параметрах оптимального режима и системы  B,  ,   можно найти зависимость     или обратную ей зависимость   . При известных характеристиках    или   возможны 2 задачи: 1) если известны отклонения мощностей станций от их оптимальных значений Pi , то можно определить радиус n   P i 2 , i 1 а затем величину получающегося при таких отклонениях мощностей перерасхода затрат в энергосистеме  ; 2) если задаться величиной перерасхода затрат  , то по величине радиуса  можно найти отклонения мощностей станций, при которых перерасход затрат не превысит заданной величины. 14.3 Оптимальное распределение потоков мощности в замкнутых контурах электрической сети 96 Взаимосвязь между расчетом установившегося режима и его оптимизацией При расчете установившегося режима обычно не берутся во внимание какие-либо неопределенности, напряжения узлов сети рассчитываются, исходя из заданных параметров схемы в виде матрицы узловых проводимостей и заданных значений токов или мощностей нагрузок или генераторов. Тогда как же ставить оптимизационную задачу, какие параметры можно варьировать? Поясним этот момент. Имеем систему уравнений вида W  Z   0 или W  Z , Y   0 , описывающих установившийся режим. Параметры режима Z делятся на независимые Y и зависимые X . Число уравнений установившегося режима 2n равно числу зависимых параметров режима X (комплексных напряжений в узлах). Общее число параметров режима Z m , входящих в уравнение, больше 2n – числа этих уравнений. Такие системы уравнений называются недоопределенными. Избыточными переменными являются независимые переменные, ими могут быть именно узловые проводимости, токи или мощности нагрузок или генераторов или их составляющие, производные величины. Избыток числа переменных по сравнению с числом уравнений равен m  2n и физически означает, что эл-эн система имеет m  2n степеней свободы. Наличие свободы позволяет регулировать режим. Рассмотрим это на простом примере. Пусть имеется система из двух генераторных станций и одного нагрузочного узла (см. рисунок 1). Рисунок 1. Система из двух электростанций и одной нагрузки. Допустим, что уравнений установившегося режима имеют вид баланса мощностей для нагрузочного узла. PГ 1  PГ 2  PН  0, QГ 1  QГ 2  QН  0. Нагрузки в третьем узле заданы. Тогда 2 уравнения баланса содержат4 переменные. Этот баланс можно удовлетворить при разных сочетаниях мощностей PГ 1 , PГ 2 , QГ 1 , QГ 2 . Две из них можно задавать произвольно в пределах допустимого, тогда 2 других определяться из уравнений баланса. В данном случае имеются2 степени свободы. Реально степени свободы определяются возможностью регулирования активных и реактивных мощностей электростанций, наличием регулируемых трансформаторов, возможностью отключения и включения оборудования и т.д. Именно наличие степеней свободы определяет существование множества возможных решений, из которых нас могут интересовать только допустимые, при которых параметры режима остаются в допустимых пределах. Цель управления – среди допустимых режимов найти наиболее экономичный, т.е. оптимальный режим. Чем больше степеней свободы, тем лучшее оптимальное решение можно найти, но и тем труднее его отыскать, т.к. одновременно усложняется задача. При фиксированных степенях свободы, т.е. при фиксированных, иначе говоря, известных независимых параметрах расчет режима представляет собой задачу расчета установившегося режима. 97 Разделение параметров на зависимые и независимые при расчете УР определяется постановкой задачи и способом задания исходных данных. Напомним, для генераторных узлов независимыми параметрами являются, как правило, активная мощность и модуль напряжения, зависимыми– реактивная мощность и фаза напряжения. Для нагрузочных узлов независимые переменные – активная и реактивная составляющая мощности нагрузки, зависимые– модуль и фаза напряжения. При оптимизации режима электрической сети за счет наличия степеней свободы параметров режима выбирают такие их значения, которые обеспечивают наименьшие суммарные потери активной мощности в сети 15 Оптимизация распределения мощностей в замкнутом контуре 15.1 Постановка задачи Будем считать, что в узлах сети заданы неизменные токи к нагрузкам и от генераторов, т.е. уравнения установившегося режима линейны. Если в узлах заданы мощности, то токи определим через номинальное напряжение: * Sk Jk  . (а) 3U HOM Тем не менее, решать задачу оптимального распределения мощностей удобнее через мощности, поэтому в уравнениях перейдем к мощностям, домножив обе части уравнений на 3U HOM . Рисунок 2. Замкнутая сеть. Найдем распределение мощностей в сети на рисунке 2, соответствующее наименьшим потерям активной мощности в сети P  min , (б) при выполнении ограничений-равенств по первому закону Кирхгофа для узлов 2 и3: S12  S 23  S 2 ; S13  S 23  S3. (в) или для активных и реактивных мощностей P12  P23  P2 ; P13  P23  P3 ; Q12  Q23  Q2 ; (г) Q13  Q23  Q3. 98 Потери активной мощности в сети с учетом (а) равны S122 S 222 S132 P  2 r12  2 r22  2 r13 . U HOM U HOM U HOM Условие минимума потерь запишем так:  P122  Q122 P222  Q222 P132  Q132  min P  min  r12  r22  r13  . (д) 2 2 2 U U U HOM HOM  HOM  (д)=ЦФ, (г)=ограничения-равенства. Формулировка задачи в виде (г,д) –одна из самых простейших. Система ограничений (г) содержит 6 неизвестных перетоков активной и реактивной мощности и 4 уравнения, т.е. 2 степени свободы. Напомним, что при расчете УР кроме комплексных уравнений (в) по 1 закону Кирхгофа еще записывалась уравнений по 2 закону Кирхгофа для замкнутого контура. Тогда степеней свободы нет, нет возможности регулировать потери мощности в сети. 15.2 Решение методом дифференциального исчисления Для решения задачи методом дифференциального исчисления нужно в уравненияхограничениях оставить только 2 неизвестных величины. Поэтому выразим P23 , P13 , Q23,Q13 через P12 , Q12 и заданные нагрузки в узлах: P23  P12  P2 ; P13   P12  P2  P3 ; Q23  Q12  Q2 ; Q13  Q12  Q2  Q3. Подставим полученные выражения в ЦФ (д) 2 2  P  P2    Q12  Q2  r  P122  Q122 P  r12  12 23 2 2 U HOM U HOM   P12  P2  P3   2 2   Q12  Q2  Q3  r13 . 2 U HOM Теперь задача определения экстремума функции 6 неизвестных с ограничениями свелась к задаче отыскания экстремума функции 2 переменных без ограничений. Экстремум находим из условия равенства нулю частных производных от ЦФ по переменным P 1  2  2 P12r12  2  P12  P2  r23  2   P12  P2  P3  r13   0, P12 U HOM P 1  2  2Q12 r12  2  Q12  Q2  r23  2  Q12  Q2  Q3  r13   0. Q12 U HOM Раскрыв скобки и выразив неизвестные, получим аналитические выражения для оптимальных потоков мощности P12  P2  r23  r13   P3r13 , (14а) r12  r23  r13 99 Q12  Q2  r23  r13   Q3r13 . (14б) r12  r23  r13 Из сравнения условий (14а) и (14б) следует, что минимум потерь активной мощности в рассматриваемой замкнутой сети соответствует распределению мощностей в сети только с активными сопротивлениями ветвей. Это распределение называется экономическим. 15.3 Решение методом неопределенных множителей Лагранжа Решим эту же задачу методом НМЛ. Т.е. ЦФ– уравнение (б). Введем дополнительное допущение, что потоки реактивной мощности отсутствуют. Это означает, что в узлах 2 и3 имеет место полная компенсация реактивной мощности. Тогда задача формулируется несколько иначе: определить  P2  P2 P2 min P  min  212 r12  222 r22  213 r13  , (д1) U HOM U HOM   U HOM при выполнении ограничений-равенств P12  P23  P2 , P13  P23  P3 . (г1) Функция Лагранжа P122 P222 P132 L  2 r12  2 r22  2 r13  1  P12  P23  P2   2  P13  P23  P3  . U HOM U HOM U HOM В функции 5 переменных: 3 потока мощности и 2 множителя Лагранжа. Решаем, приравнивая 0 частные производные по всем переменным:  L 2 P12 r12  1  0;  P  U 2 12 HOM   L 2 P23r23  1  2  0;  P  U 2 HOM  23  L 2 P13r13  2  2  0;   P U 13 HOM   L  P12  P23  P2  0;    1   L  P13  P23  P3  0.   2 Из трех первых уравнений системы исключим множители Лагранжа, получим уравнение, соответствующее2 закону Кирхгофа P12 r12  P23r23  P13r13  0. Подставим P23 из 4-го уравнения и P13 из 5-го с учетом P23 из4-го P12r12   P12  P2  r23    P12  P2  P3  r13  0. Раскрываем скобки, выражаем P12 , получаем выражение, соответствующее условию (14а). 100 Поскольку реактивная мощность входит в выражения аналогично активной, то условие(14б) может быть записано по аналогии. Таким образом, решение задачи методом дифференциального счисления и методом неопределенных множителей Лагранжа дает одинаковый результат, что подтверждает правильность решения и возможность применения любого метода. 15.4 Оптимизация распределения мощностей в сложной сети Запишем соответствующие выражения для сложной сети в матричном виде для случая отсутствия потоков реактивной мощности. Потери мощности в линиях в матричной форме запишутся следующим образом: P  1 U 2 HOM PBT RB PB , где PB – вектор-столбец потоков активных мощностей в ветвях, RB – диагональная матрица активных сопротивлений ветвей. Для сети, рассмотренной в предыдущем примере, потери мощности в матричном развернутом виде запишутся P  1 P12 2 U HOM P23 P13 r12 r23 r13  P12  P .  23   P13  Уравнения-ограничения по1 закону Кирхгофа в матричной форме имеют вид MPB  P , где P – вектор-столбец активных мощностей в узлах, M – первая матрица инциденций, в которой  n  1 строк ( n узлов), m столбцов( m ветвей). Для сети в примере P12 P 1 1 0 P23  2 . P3 0 1 1 P13 Задача оптимизации: определить  1  min P  min  2 PBT RB PB  ,  U HOM  при выполнении условия MPB  P . В математическом плане– это задача квадратичного программирования. Запишем функцию Лагранжа в матричном виде: L где 1 U 2 HOM PBT RB PB   T  MPB  P  ,  – вектор-столбец множителей Лагранжа. Производим дифференцирование функции Лагранжа по вектор-столбцам PB и При взятии производных учитываем, что . 101 T ( X T C ) T  (C X ) C ;  C ;  C T A   AT C ; X X L 1 1  2  RBT PB  PBT RB    T M  2 2 RBT PB  M T   0; PB U HOM U HOM L  MPB  P  0.  Из первого уравнения выразим PB PB   2 U HOM RB1M T  , 2 индекс транспонирования опущен в силу симметричности матрицы RB 1 Подставим во второе и, учитывая RB  GB , получим 2 U HOM  MGB   P  0. 2 T Знаем, что матрица узловых проводимостей GY  MGB M , тогда  2 U HOM G y   P  0. (15) 2 Здесь λ – нормированный вектор столбец узловых напряжений, т.е. деленный на  U 2 HOM 2 . Полученное уравнение – это уравнение узловых напряжений для сети только с активными сопротивлениями, отсюда следует, что задача оптимизации потоков в ветвях сложной сети сводится к решению уравнений узловых напряжений с активными сопротивлениями ветвей. Повторив подобный вывод выражений, можно получить аналогичный результат для сложной сети, в которой потоки реактивной мощности не равны нулю. режима питающей сети по реактивной мощности Q , напряжению U , коэффициентам трансформации n 15.5 Оптимизация Задача состоит в определении установившегося режима электрической сети, при котором были бы выдержаны технические ограничения и были бы минимальна потери активной мощности в сети P  min . В этой задаче заданы: – активные мощности генераторных станций за исключением балансирующей; – активные и реактивные мощности узлов нагрузок. Ограничения-равенства в виде уравнений установившегося режима W  X ,Y   0 . Ограничения неравенства на контролируемые величины f j  f j max  0; f j  f j min  0. Эта задача может решаться как самостоятельная задача минимизации потерь мощности по Q , U , n в случаях, когда отсутствует резерв активной мощности и все 102 активные мощности генераторных станций, кроме балансирующего, фиксированы на их наибольших значениях. Это задача нелинейного программирования. Часто задача оптимизации по Q , U , n не может решаться в полном объеме из-за отсутствия технических средств регулирования и управления режимом. Может в системе не быть резерва реактивной мощности, отсутствуют или имеются в недостаточном количестве средства регулирования напряжения, иногда не очень надежно работают регуляторы напряжения на трансформаторах с РПН. Поэтому в инженерной практике чаще решают задачи оптимизации режима сети отдельно по Q , U и n . При этом соблюдается следующая иерархия задач: 1) регулирование уровня напряжения по сети; 2) снижение влияния неоднородности сети за счет регулирования комплексных коэффициентов трансформации; 3) размыкание сетей; 4) оптимальное распределение реактивной мощности между ее источниками. Но здесь необходимо учитывать, что в некоторых случаях минимум частной задачи может приводить к увеличению потерь активной мощности во всей системе, т.е. условия минимумов частной и общей задача оптимизации по Q , U , n могут быть противоречивы. 15.6 Уровень напряжения в питающей сети Регулирование напряжения в сети весьма целесообразно, поскольку его увеличение приводит к уменьшению потерь в сети. Примем, что потери в исходном режиме в относительных единицах P  1 . При повешении напряжения на U  U потери U HOM PU  1 1  U  2 . Видно, что функция монотонно убывает при росте U . Следовательно, поддержание рабочего напряжения в сети на предельно допустимом высшем уровне рационально с точки зрения снижения потерь активной мощности. Уровни напряжения в энергетике выбираются из дискретного ряда значений. Вопрос об оптимальном напряжении питающей точки является достаточно сложным. В большинстве случаев номинальное напряжение сети не является оптимальным для данной потребительской установки. Вычисление значения оптимального напряжения в узлах потребления энергии базируется на минимизации ущерба, вызванного отклонением номинального напряжения от оптимального. После того, как будут определены близкие к оптимальным значения напряжений в узлах нагрузки, определяется оптимальное значение напряжения в питающей точке путем проведения расчетов по потокораспределению. 16Остальные задачи Снижение неоднородности сети, размыкание контуров сети – это мероприятия, позволяющие уменьшить потери активной мощности в сети. Задача состоит в том, чтобы изменить сечения проводов, применить устройства продольной компенсации, определить точки размыкания сети, добиваясь минимума потерь активной мощности в сети. Оптимизация проводится с учетом дискретности переменных. 103 Существуют компьютерные программы оптимизации, в которых расчет установившегося режима производится методом Ньютона по параметру(мы его знаем), а оптимизация сети выполняется градиентным методом с учетом ограничений-неравенств с помощью штрафных функций. ЦФ выглядит следующим образом n1 n2 n3   P   Ш iU   Ш jQ   Ш kn i 1 j 1 k 1 где n1 – число узлов в сети; n 2 – число узлов, в которых можно регулировать реактивную мощность(с синхронными компенсаторами или с генераторами, вырабатывающими свободную реактивную мощность), n3 – число трансформаторов с регулируемым коэффициентом трансформации. Таким образом, задача решается методом перебора при разных вариациях перечисленных параметров. Оптимизация распределения реактивной мощности между ее источниками менее всего влияет на уменьшение потерь, поскольку в режимах больших нагрузок возможности изменения распределения реактивных мощностей очень малы, т.к. недостаточно ее резерва. В режимах малых нагрузок не получается значительного эффекта. Поэтому задача распределения реактивной мощности по существу сводится к наиболее полному использованию ближайших к месту потребления компенсирующих устройств, т.е. к уменьшению загрузки линий передач. 16.1 Оптимизация качественных показателей электроэнергии Энергосистемы должны обеспечить всех своих потребителей энергией надлежащего качества. Существует ГОСТ по качеству электроэнергии, согласно которому вводятся несколько десятков параметров качества электроэнергии. Основными параметрами являются модуль напряжения в питающей точке и частота в энергосистеме. Наряду с этим, для каждой установки имеются технические пределы отклонений частоты и напряжения от номинальных значений, при нарушении которых устройство может быть повреждено или не сможет выполнить свое назначение. В указанных технических пределах изменения напряжения или частоты приводят к изменению экономичности работы установки. Таким образом, для каждой установки имеется номинальное значение частоты и напряжения, оптимальное их значение, соответствующее минимуму затрат потребителя, и технические пределы отклонений от номинального значения. Наилучшим решением задачи регулирования частоты и напряжений было бы поддержание у всех установок оптимальных для данной установки качественных показателей. Однако это потребовало бы неоправданно больших затрат, так как следовало бы иметь дорогие электрические сети, очень большое число специальных регулирующих устройств и пр. Поэтому приходится допускать отклонения от оптимальных значений качественных показателей. Чем больше допускаемые отклонения, тем меньше затраты в энергосистеме, но тем больше ущерб потребителей. Очевидно, что оптимальные отклонения соответствуют минимуму суммарных затрат. Одна величина максимальных отклонений от оптимального значения качественного параметра еще не характеризует ущерба потребителей. Очень важными показателями являются число и длительность каждого отклонения. Назовем ущербом потребителя от недостаточного качества напряжения разность его затрат при данном U (текущем) и оптимальном U 0 значении напряжения. Разлагая в ряд значения затрат при данном напряжении U , получим выражение затрат за некоторый интервал времени при U  const : 104 З 1  2З 2 З  З0  U  U      , 2  U 2 U где З и З0 – затраты при напряжении U и оптимальные затраты при U  U 0 ; U  U  U 0 ; частные производные определяются при U  U 0 . Ущерб за данный интервал времени З 1 2З 2 У  З  З0  U   U     . 2  U 2 U З  0. Если затраты З при U  U 0 действительно минимальны, то U Учитывая это и пренебрегая высшими членами разложения, при малых значениях  U и U  U 0 получим 1 2З 1 2З 2 2 У U   U  U0  . 2  2  2 U 2 U Таким образом, величина ущерба пропорциональна квадрату отклонения напряжения от оптимального значения в данном интервале. Здесь предполагается, что в течение рассматриваемого интервала времени напряжение не изменяется. Обозначим коэффициент пропорциональности через 1 2З K , 2 U 2 тогда У  K U  U 0  2 Ущерб за некоторый интервал времени T 2 УT   K U  U 0  dt. (а) Раскрываем интеграл T T 1T 2  2U 0 2 УT  K  U  2U 0U  U  dt  KT   U dt  Udt  U  . (б)  T T  0  2 2 Рассматривая напряжение как случайную величину, рассмотрим выражения для среднего напряжения U ср и дисперсии D U  : T T 2 1 1 U ср   Udt;D U    U  U ср  dt T0 T0 T T T 2U 1 1   U 2 dt  ср  Udt  U ср2   U 2 dt  U ср2 . T0 T 0 T0 Отсюда T 1 U 2 dt  D U   U ср2 .  T0 Подставим это выражение в (б) УT  KT  D U   U ср2  2U 0U ср  U 02  , или 105 2 2 УT  KT  D U   U ср  U 0    KT  D U    U ср   , (16)     где T 1  U ср  U ср  U 0   U  U 0  dt. T0 Таким образом, ущерб представляет собой сумму двух составляющих. Одна пропорциональна дисперсии, другая – квадрату среднего отклонения напряжения от оптимального значения. Следовательно, уменьшить ущерб можно двумя путями: снижением отклонения напряжения от его среднего значения или снижением отклонения среднего значения от оптимального. Первое достигается путем применения специальных регулирующих устройств, второе – установкой правильного коэффициента трансформации трансформаторов, применением компенсирующих устройств. Выражение (16) с учетом (а) сократим на K и разделим обе части на T , получим 2 T 1 T  1 2 U  U 0  dt  D U     U  U 0  dt  .  T0 T 0  Для оценки дисперсии применяют интегральный вольтметр. На выходах можно измерить оба интеграла, дисперсия – их разность. Если известны дисперсия и квадрат отклонения среднего от оптимального значения напряжения, можно решить, какие мероприятия более актуальны для снижения ущерба. Например, если измерения дали такую статистику: T T 1 1 2 U  U dt  25%,   U  U 0  dt  2%, T 0 T 0 тогда D U   21% основная доля ущерба (84%) вызвана большой отклоняемостью напряжения от своего среднего значения, т. е. большой дисперсией. При этом ущерб, связанный с отклонением среднего значения от оптимального значения, относительно невелик (16%). Мы рассмотрели некоторый обобщенный параметр напряжения сети. Чтобы произвести оптимизацию по какому-то конкретному параметру, нужно представить напряжение в виде ряда Фурье, где амплитуда, частота напряжения, время провала напряжения и т.п. могут быть параметрами, по которым производится оптимизация. 17 Оптимизация долгосрочных режимов энергосистемы 17.1 Текущее планирование режимов системы В эксплуатируемых энергосистемах текущее планирование является первой стадией решения режимных задач. Главная задача текущего планирования– получение основных рекомендаций об использовании энергоресурсов и мощностей системы на периоды от месяца до года, поэтому режимные задачи имеют характер долгосрочной оптимизации. В общем случае решаются следующие основные задачи: 1) определение запасов гидроресурсов и оптимизация режима их использования; 2) определение топливных ресурсов системы и оптимизация топливоиспользования; 3) составление балансов мощности и энергии системы; 4) планирование капитальных ремонтов энергетического оборудования; 106 5) определение технико-экономических показателей работы системы и станций. Каждая задача является оптимизационной и в значительной мере определяет экономические показатели системы. Задачи долгосрочной оптимизации зачастую дают более значительный эффект, чем задачи кратковременной оптимизации. Например, оптимизация режима водохранилищ позволяет повысить выработку электроэнергии ГЭС на5-10%, оптимизация капитальных ремонтов снижает на несколько процентов затраты на их проведение и позволяет существенно увеличить располагаемые мощности. Особенностью алгоритмов долгосрочной оптимизации является следующее: 1) использование статистической информации, например, данные о нагрузках системы за прошедшие периоды, о различных показателях системы, ее оборудования, гидрологическая информация и т.п. (это выдвигает особые требования к накоплению и переработке статистической информации); 2) необходимость достаточно полного представления энергетической системы при решении задач текущего планирования: учитывать все виды электростанций, виды и марки топлива, варианты передачи энергопотоков и т.д. 3) периодическая корректировка, вызываемая уточнением и накоплением исходной информации; 4) многостадийность планирования, учет приоритета задач; 5) взаимовлияние задач краткосрочной и долгосрочной оптимизации. Все это приводит к усложнению алгоритмов оптимизации. Рассмотрим укрупненные алгоритмы некоторых задач. 17.2 Оптимизация режимов водохранилищ гидростанций Вся задача строится поэтапно. Начальная формулировка задачи: при заданной приточности воды в водохранилищах необходимо определить такой режим водохранилища ГЭС, при котором обеспечивается минимум расхода эксплуатационных издержек или топлива системы. Исходная информация, а именно: нагрузки системы, гидрограф, прочее прогнозируются на основании статистических данных. При поступлении новых прогнозов исходный режим корректируется. Корректировка обеспечивает связь долгосрочных и краткосрочных режимов. Сначала корректировку делают на месячном интервале времени, затем на декадном и, наконец, на суточном. Последовательные корректировки основаны на многократно повторяющихся оптимизационных расчетах. На обобщении серий таких расчетов строятся диспетчерские графики. Они являются управляющими функциями и дают рекомендации об оптимальном ведении режима ГЭС. Если характерные для ГЭС условия изменяются, диспетчерские графики строят заново. Особенностью задачи является то, что для больших периодов оптимизации режима приходится увеличивать и расчетные интервалы времени. Невозможно осуществить расчет годового регулирования режима водохранилища по часовым интервалам. При укрупнении интервалов снижается размерность задачи, что облегчает расчеты, но уменьшается достоверность информации. При расчете суточного периода требуется учитывать влияние внутрисуточного изменения нагрузки(ночь), при расчете месячного – изменение нагрузки по дням недели(выходные, праздники), при расчете годового периода– сезонные изменения нагрузки(лето, зима). Для энергетики нашей страны типично каскадное использование ресурсов рек(каскады ГЭС на Волге, Днепре, Ангаре). Это вносит особенности при оптимизации использования гидроресурсов. 107 Дополнительно должны быть учтены гидравлические связи– связи по расходу гидроресурса. Чем меньше объем водохранилища, вышележащих, тем сильнее связи, т.е. расходы нижележащих ГЭС зависят от расхода Гидравлические связи имеют асинхронность, т.к. время добегания волны расхода от одной ГЭС до другой составляет несколько суток и зависит от множества факторов (приточность, уровень водо-хранилища, ветер, состояние водной поверхности и др.) Например, для Новосибирской ГЭС волна расхода в разных условиях проходит расстояние200 км за время от2 часов до3 суток. Задача оптимизации каскада ГЭС решается на уровне энергообъединения. Гидроузлы чаще всего имеют комплексное назначение. Гидроресурсы водохранилищ используются в нескольких отраслях народного хозяйства. Тогда оптимизация уже не может осуществляться в интересах только одной отрасли, например, энергетики. Наиболее типичными задачами комплексного использования гидроузла являются две: 1) оптимальное распределение водных ресурсов между компонентами(отраслями) по минимуму эксплуатационных затрат комплекса, т.е. И к  И э WГ    Иi WГ   min , i где И э WГ  – эксплуатационные затраты по энергетике, которые зависят от объема используемых гидроресурсов WГ ; Иi WГ  – эксплуатационные затраты i -ой отрасли. 2) оптимизация нормируемых параметров регулирования водных ресурсов гидроузла(уровней, расходов, объемов воды). Критерием также являются эксплуатационные затраты, связанные с рассматриваемым оптимизируемым параметром Пвх И к  И э  Пвх    И i  Пвх   min . i Пока задача оптимизации режимов комплексных гидроузлов не решается систематически. Обычно она возникает в крайних ситуациях и решается специально. Пример: Волжский комплекс гидроузлов призван удовлетворять интересы энергетики, сельского хозяйства, водного транспорта, рыбного хозяйства, водоснабжения, санитарного состояния реки. Требования этих отраслей противоречивы. Для энергетики целесообразно использовать гидроресурсы зимой, для сельского хозяйства – летом, речного транспорта – весной, летом и зимой. В весеннее время для рыбного хозяйства необходимы паводковые воды для нерестилища рыбы. Однако не заполнение водохранилищ этими водами влечет серьезные проблемы для энергетики. 17.3 Оптимизация балансов условного и натурального топлива 17.3.1 По условному топливу В энергетике на всех уровнях производственного управления составляется баланс по условному и натуральному топливу. Потребность в условном топливе определяется, исходя из плановых значений выработки электроэнергии тепловыми станциями и удельных затрат условного топлива на киловатт-час электроэнергии. По потребностям в условном топливе можно определить потребность в натуральном топливе и составить баланс натурального топлива по системе. Если по условному топливу все тепловые станции равноправны, то по натуральному их возможности резко различаются. Наиболее качественным топливом является газ и продукты нефтепереработки. Тепловые станции, работающие на этих видах топлива, имеют более высокийк.п.д. 108 В классической теории оптимизация режимов энергосистем ведется по условному топливу, что мы рассматривали для ТЭС. Для планирования квартального производства электроэнергии станциями, распределения топлива между ними с учетом складских запасов постановка задачи несколько видоизменяется: требуется найти n k l B   Bi t  min, i 1  1 t 1 где Bi t – суммарный расход условного топлива на отпуск тепловой и электрической энергии на i -ой электростанции на  ν–ом виде топлива на t -й интервал времени при учете эквивалентных расходных характеристик и ограничений 1) по отпуску энергии и максимальным мощностям электростанций; 2) по балансу энергии в сети; 3) по балансу мощности в сети; 4) по межсистемным перетокам мощности; 5) по выполнению планов отпуска энергии и тепла; 6) по возможности снабжения электростанций топливом от заданных месторождений; 7) по поставкам контролируемого вида топлива(ограничения по дефицитным видам топлива); 8) по емкости топливных складов – запас топлива должен быть не меньше страхового значения и больше емкости склада; 9) по разгрузочным возможностям топливно-транспортных цехов; 10) по запасам топлива на конец планируемого периода. Решение производится градиентным методом. 17.3.2 По натуральному топливу Баланс по натуральному топливу может составляться с использованием метода линейного программирования. Для всех объектов задаются марки и виды топлива, возможные к использованию, технологические пределы по их использованию. ЦФ имеет вид F  Bijt cijt  min ,  ijt где cijt – коэффициенты, учитывающие эффективность использования j -го вида топлива на i -й электростанции в интервал времени t . Они отражают цены на топливо, КПД его использования на станциях, конъюнктуру и др. Учитываются ограничения: –суммарный объем энергоресурсов должен обеспечить производство электроэнергии; – на определенные объекты должно поступать топливо определенного вида и количества; – поставки топлива должны быть положительные(требование метода линейного программирования). 17.4 Долгосрочное планирование балансов мощности и выработки энергии в системе 109 Эта задача решается, как правило, с годовой заблаговременностью, цели ее: оценка и планирование расхода топлива в энергосистеме; планирование капитальных ремонтов, межсистемных перетоков, ограничений по режимным параметрам и др. Имеется две основные модификации алгоритмов задачи: 1) расчет режимов по характерным суточным графикам нагрузки; 2) расчет только распределения потребления электрической энергии между станциями системы. 17.5 Долгосрочная оптимизация балансов мощностей системы по типовым графикам нагрузки Пусть имеется энергетическая система, имеющая ГЭС, ТЭС, КЭС. Для этой системы требуется запланировать состав и режим агрегатов по типовым графикам электрической нагрузки и определить рас-ход топлива в системе. Рассмотрим ряд допущений, которые вполне оправданы, поскольку точность метода расчетов оказывается в противоречии с погрешностью исходной информации. 1) можно применить приближенные способы распределения нагрузки между ГЭС и ТЭС, причем ввиду экономичности ГЭС распределение идет по принципу максимального вытеснения ТЭС. 2) можно использовать нормативные характеристики удельных расходов топлива на ТЭЦ, следовательно, не решать задачу выбора состава их агрегатов. 3) ряд электростанций имеют вынужденный режим(ГЭС, АЭС, крупноблочные КЭС во время паводка), они в оптимизации не участвуют. 4) состав оборудования КЭС можно определить на основе библиотеки характеристик, построенных с использованием оптимизационных методов. С учетом допущений задача формулируется так: определить режим станций системы и выбрать состав оборудования КЭС по минимуму расхода топлива системы при выполнении всех ограничений. ЦФ: B   B  t Гt ,Tt , Kt   min, t где  Гt ,Tt , Kt – векторы параметров режима ГЭС, ТЭС, КЭС. Уравнения связи: а) расходные характеристики КЭС В(Р), представленные в библиотеке и заданные для разного состава оборудования; б) характеристики удельных нормативных расходов топлива на электрическую   энергию для ТЭЦ типа bУДj Pj . Ограничения: а) баланс мощности Pt   PГit   PTjt   PKkt  PПt , i j k PПt – перетоки мощности из соседних систем. б) условие обеспечения резерва мощности   Pрез  Pt    PГit   PTjt   PKkt  PПt  , j k  i  в) ограничения по допустимым мощностям станций; г) ограничения по среднеинтервальной и базовой выработкам ГЭС; д) ограничения по тепловой нагрузке ТЭЦ. Метод оптимизации заключается в выборе наилучшей характеристики КЭС из библиотеки эквивалентных характеристик группы электростанций, определение 110 вынужденного режима ТЭЦ и распределение нагрузки между ГЭС и ТЭС системы упрощенными методами. Задача решается в виде взаимосвязанного комплекса подзадач: 1. Определение режима ГЭС. (максим. вытеснение ТЭС в пиковых частях графика нагрузки системы – просто, большая погрешность, но приемлемо для практики). 2. Определение графика мощностей и показателей станций по вынужденному режиму. 3. Определение режима КЭС. Задача рассматривается как внутри-станционная. График нагрузки без смены состава агрегатов выбирается из библиотеки по графику, полученному в задаче1. 4. Распределение нагрузок между регулируемыми ТЭС системы. Подзадача возникает, если мощностей всех КЭС недостаточно для покрытия потребности в мощностях нагрузки. ТЭС с регулируемой мощностью загружаются в очередности, определяемой эквивалентной расходной характеристикой. Могут возникнуть дополнительные подзадачи, например, распределение мощности между ГЭС и ТЭС. 17.6 Долгосрочная оптимизация распределения выработки электрической энергии В этой задаче порядок расчета сохраняется таким же, как и в предыдущей, но рассматривается баланс энергии. Распределение производства электроэнергии осуществляется между регулируемыми ТЭС. (Принципиальная разница в 4-й подзадаче) Мы рассматривали задачу оптимизации для краткосрочных периодов. Поскольку интервалы времени независимы, то оптимизацию можно вести энергии по минимуму расхода условного топлива системы для каждого интервала в отдельности. ( Bi  idem ). 18 Оптимальное планирование ремонтов энергетического оборудования Ремонт– это работа по поддержанию оборудования в состоянии эксплуатационной готовности и сохранению им номинальной мощности и необходимых эксплуатационных качеств. Ремонты характеризуются высокой трудоемкостью(более половины экспл. состава энергослужб – ремонтные службы), высокой стоимостью, большой материалоемкостью. Различают капитальный, текущий и средний ремонт. Капитальный – полный анализ состояния, восстановление, модернизация. Текущий – для поддержания в рабочем состоянии между кап.ремонтами. Средний– расширенный текущий ремонт. Режимы энергосистем прямо зависят от того, какие агрегаты находятся в ремонте, в какое время осуществляется ремонт, какова его продолжительность. Это требует взаимосвязанного решения задач планирования балансов мощности в энергосистеме и проведения ремонта. Вводится понятие – ремонтная площадь годовых графиков максимальных мощностей, которая определяет возможности системы по выполнению ремонтов. На каждый календарный период в энергосистеме известна максимальная нагрузка и располагаемая мощность электростанции. Это дает возможность определить ремонтную площадку на годовом отрезке времени. Планирование ремонтов осуществляется в границах ремонтной площадки. Так планируются капитальные и средние ремонты. Текущие– в дни с пониженной нагрузкой(праздники, выходные). Постановка задачи 111 Прежде чем приступить к поиску оптимального графика ремонтов, следует проверить достаточность ремонтной площадки – достаточность зоны провала по условию n  Pt i ремi S рем  i 1 k рем , где k рем =0,85 – коэффициент полезного использования площади провала. Если ремонтная площадка мала, либо уменьшают объем ремонтных работ, что вызывает снижение надежности оборудования, либо вводятся ограничения(лимиты) мощности для потребителей. Критерием оптимальности при составлении графиков кап.и ср. ремонтов являются затраты, включающие затраты на кап. ремонт и на топливо в системе. При заданном объеме ремонтных работ затраты на их выполнение можно считать не зависящими от времени проведения ремонта, тогда критерием оптимизации будет минимум расхода топлива при прочих равных условиях. Особенность задачи– дискретность переменных. ЦФ: Bt   B  P 1  x   min . ti ti ti i Здесь xti – вспомогательная переменная, равная1, если агрегат в ремонте, и равная 0, если он не ремонтируется. Дополнительная нагрузка, образовавшаяся за счет вывода в ремонт оборудования, должна быть распре-делена на работающие агрегаты, что нужно учесть в расходных характеристиках. Ограничения: - по заданной длительности ремонта каждого агрегата, - по максимальному числу агрегатов, которые могут быть в ремонте на t -м интервале, - по максимально возможному снижению располагаемой мощности, - по одновременному ремонту агрегатов одной группы. Решение поставленной задачи осуществляется с применением комбинаторных методов, в которых рассматриваются варианты возможных комбинаций вывода в ремонт m групп агрегатов. Число возможных вариантов n ( n – число интервалов, m – число агрегатов, выводимых в ремонт). Сокращение числа вариантов достигается применением направленного перебора с использованием приоритетной последовательности вывода агрегатов в ремонт и с учетом ограничений или метода ветвей и границ. Библиографический список 1. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами EXCEL 7.0.- СПб.: ВНV – Санкт-Петербург, 1997. 2. Применение цифровых вычислительных машин в электроэнергетике./ Под ред. О.В Щербачева.-Л.: Энергия, 1980. 3. Аввакумов В.Г. Постановка и решение электроэнергетических задач исследования операций.- Киев: Вища школа, 1983. 4. Модели и методы оптимизации развития энергосистем. Арзамасцев Д.А., Липес А.В, Мызин А.Л. – Свердловск, 1976. Приложения 112 П1. Общие сведения об Excel Материал приложений рассчитан на пользователя, знакомого с основами работы в Excel. Напомним лишь некоторые основные моменты. Общий вид электронной таблицы показан на рис. П.1. В верхней части таблицы указано имя файла, с которым работает пользователь (Книга 1), ниже располагается главное меню (Файл, Правка, … Сервис, …), далее – панель инструментов, строка ввода и рабочее поле электронной таблицы. Рабочее поле состоит из строк (1, 2, 3, …) и столбцов (А, В, С, …). На пересечении строк и столбцов находятся рабочие ячейки. Каждая ячейка таблицы имеет свой адрес, например А1, В4, С7, … Рис. П.1. Общий вид таблицы Excel В рабочие ячейки заносится различная информация: текстовая или комментарии (слово «задача» в ячейке В2; комментарий «Z=» в ячейке В3); цифровая (число «7,34» в ячейке С6; число «12,5» в ячейке D6); вычислительная. Рассмотрим подробнее вычислительную информацию. Вычисления могут выполняться по различным выражениям, как с числами, так и с содержимым рабочих ячеек. В ячейку F4 занесено выражение «=5,3+3,5*2». Это выражение автоматически вычисляется и в ячейке F4 приводится результат (12,3). В ячейку F6 занесено выражение «=С6+D6». Это выражение автоматически вычисляется и в ячейке F6 приводится результат суммы содержимых ячеек С6 и D6 (19,84). В ячейку Е2 занесено выражение «4,5-С6». Это выражение автоматически вычисляется и в ячейке Е2 приводится результат разности между числом 4,5 и содержимым ячейки С6. Этот результат равен -2,84. Таким образом, после внесения в рабочую ячейку вычислительной информации внешний вид ячейки и ее содержание отличаются по виду. Внешний вид отражает результат вычислений, а содержание – вычисляемое выражение. Содержимое любой ячейки можно просматривать, изменять и удалять. Для этого к ячейке мышкой подводится курсор, и после нажатия левой кнопки мышки (МЛ) ячейка выделяется. Содержимое ячейки отражается в строке ввода. На рис. П.1 в строке ввода показано содержимое ячейки Е2. Для исправления или удаления содержимого ячейки мышкой вводится курсор в строку ввода, МЛ курсор фиксируется на нужном месте и с клавиатуры компьютера вводится исправление или удаление содержимого ячейки. 113 Последовательность операций при решении оптимизационных задач с помощью программного обеспечения Excel следующая [1]: 1. Размещение комментариев и исходной информации в ячейках рабочего поля. 2. Вызов из главного меню МЛ команды «Сервис»; из содержания этой команды вызвать МЛ команду «Поиск решения»; на экране появляется диалоговое окно «Поиск решения»; в это диалоговое окно вводится исходная информация (адрес ячейки целевой функции, вид экстремума целевой функции, адреса ячеек искомых переменных, ограничения). 3. Активируется МЛ клавиша «Параметры»; автоматически раскрывается диалоговое окно «Параметры поиска решения». В это диалоговое окно вводится информация по алгоритму поиска решения и активируется МЛ клавиша «ОК», автоматически выполняется возврат к диалоговому окну «Поиск решения». 4. Получение решения. В диалоговом окне «Поиск решения» активируется МЛ клавиша «Выполнить»; компьютер выполняет вычисления; в ячейках рабочего поля появляются результаты решения; открывается диалоговое окно «Результаты поиска решения». П.2. Решение задач линейного программирования Последовательность операций по решению задач линейного программирования рассмотрим на примере 2. 1. Размещение комментариев и исходной информации в ячейках рабочего поля. Процедура ввода исходных данных может быть достаточно разнообразной, как по последовательности ввода, так и по выбору рабочих ячеек. Примем следующий порядок ввода: если в некоторую рабочую ячейку вводится цифровая или вычислительная информация, то в соседнюю левую ячейку вводится поясняющий текст. Один из вариантов ввода исходной информации для решения задачи приведен на рис. П.2. Рис. П.2. Исходная информация задачи примера 2 на рабочем поле Во всех ячейках столбцовА, С, E, G находится поясняющий текст, не влияющий на решение задачи. Этот текст служит только для наглядности исходной информации. В ячейки В2…В13, D10…D12, F10…F12 помещена цифровая информация, соответствующая тексту слева. В ячейках Н2…Н4 помещены нули - начальные нулевые значения искомых переменных х , х и х . В ячейку Н7 помещено выражение целевой функции 1 2 3 114 =В2*Н2+В3*Н3+В4*Н4, начальное значение которой равно нулю при начальных нулевых значениях искомых переменных. В ячейки В16…В19 помещены левые части ограничений-неравенств: = В10*Н2+D10*H3+F10*H4, = В11*Н2+D11*H3+F11*H4, = В12*Н2+D12*H3+F12*H4, =Н2+Н3+Н4, значения которых равны нулю при начальных нулевых значениях искомых переменных. При работе в Excel не нужно переходить от ограничений неравенств к равенствам. Эту операцию выполнит компьютер. 2. Команда «Cервис» и ввод исходной информации в диалоговое окно «поиск решения». Раскрывается МЛ команда «Cервис» в главном меню; из содержания команды «Cервис» раскрывается МЛ команда «Поиск решения»; на экране появляется диалоговое окно «Поиск решения» (рис. П.3); Рис. П.3. Диалоговое окно «Поиск решения» В этом диалоговом окне устанавливается адрес ячейки с выражением целевой функции. В рассматриваемом примере это адрес Н7. В перечне «Равной:» отмечается МЛ кнопка «максимальному значению», поскольку требуется найти максимум целевой функции. В окно «Изменяя ячейки» вводятся адреса ячеек с искомыми переменными х , х и 1 2 х . В рассматриваемом случае это массив адресов Н2, Н3 и Н4. Массив адресов ячеек 3 вводится через знак «точка с запятой». С целью сокращения, массив адресов ячеек, идущих по порядку, вводится адресами начальной ячейки и конечной ячейки через знак «двоеточие» Н2:Н4 (рис. П.3). При вводе данных в диалоговые окна у адресов ячеек автоматически появляется знак $. Например, на рис. П.3 адрес целевой ячейки будет выглядеть как $H$7. Пусть этот факт не смущает пользователя, и он продолжает ввод исходных данных. Ввод ограничений осуществляется в окне «Ограничения» через активирование МЛ клавиши «Добавить», в результате чего раскрывается диалоговое окно «Добавление ограничения» (рис. П.4). 115 Рис. П.4. Диалоговое окно «Добавление ограничения» В окно «Ссылка на ячейку» вводится адрес ячейки, содержащей левую часть ограничения. В среднем окне после активирования МЛ клавиши « » вводится вид ограничения (<=, >=, =). В окне «Ограничение» вводится адрес ячейки с правой частью ограничения. Рис. П.4 иллюстрирует ввод ограничения по энергетическим ресурсам В16<=В6. После ввода очередного ограничения активируется МЛ клавиша «Добавить» и вводится следующее ограничение. После ввода всех ограничений активируется МЛ клавиша «ОК», в результате чего автоматически осуществляется переход к диалоговому окну «Поиск решения» (рис. П3). В окне «Ограничения» на рис. П.3 показаны все ограничения решаемой задачи. Граничные условия неотрицательности искомых переменных учитываются в виде ограничения Н2:Н4>= 0. Введенные ограничения можно изменять и удалять. Для этого МЛ выделяется ограничение и с помощью активирования МЛ клавиш «Изменить» или «Удалить» выполняется соответствующее действие. 3. Ввод информации в диалоговое окно «Параметры поиска решения». После ввода исходных данных в диалоговом окне «Поиск решения» активируется МЛ клавиша «Параметры» этого диалогового окна, в результате чего раскрывается диалоговое окно «Параметры поиска решения» (рис. П.5). Рис. П.5. Диалоговое окно «Параметры поиска решения» В этом диалоговом окне устанавливается МЛ флажок «V» у линейной модели, что обеспечивает решение задачи методом линейного программирования (симплекс-методом). Все остальные окна и команды можно использовать по умолчанию, поскольку они подходят для решения большинства оптимизационных задач. Активизируется МЛ клавиша «ОК»; на экране появляется уже знакомое диалоговое окно «Поиск решения». 116 4. Получение решения. В диалоговом окне «Поиск решения» активируется МЛ клавиша «Выполнить». Компьютер проводит вычисления. На рабочем поле появляются результаты вычислений (рис П.6): значения искомых переменных х , х и х в ячейках Н2, Н3 и Н4; 1 2 3 максимальное значение целевой функции в ячейке Н7; левые части ограничений в ячейках В16, В17, В18 и В19. Рис. П.6. Результаты решения задачи на рабочем поле Рис. П.7. Диалоговое окно «Результаты поиска решения» Здесь же на рабочем поле появляется диалоговое окно «Результаты поиска решения» (рис. П.7). После активирования МЛ клавиши «ОК» этого окна на экране остается рабочее поле с результатами решения (рис. П.6). П.3. Решение задач целочисленного программирования При учете целочисленности переменных ввод исходной информации в рабочее поле полностью аналогичен таковому предыдущей задачи. Однако в ячейки А20 и В20 для напоминания введем текстовую информацию о целочисленности переменных х , х и х 1 2 3 (рис. П.8). 117 Рис. П.8. Исходная информация целочисленной задачи на рабочем поле В диалоговом окне «Поиск решения» дополнительно вводится информация о целочисленности переменных х , х и х . Этой информации соответствует нижняя строка 1 2 3 «Н2:Н4=целое» окна «Ограничения» (рис. П.9). Ввод этой информации после активирования МЛ клавиши «Добавить» осуществляется через диалоговое окно «Добавление ограничения» (рис. П.10). В окно «Ссылка на ячейку» вводится массив адресов ячеек с целочисленными переменными (Н2:Н4). В среднем окне после активирования МЛ клавиши « » выбирается обозначение «цел». Рис. П.9. Диалоговое окно «Поиск решения» для целочисленной задачи Рис. П.10. Диалоговое окно «Добавление ограничения» для целочисленной задачи После возврата через клавишу «ОК» в диалоговое окно «Поиск решения» активируется МЛ клавиша «Выполнить». 118 Результат решения целочисленной задачи, выданный компьютером на рабочее поле, представлен на рис. П.11. Рис. П.11. Результаты решения целочисленной задачи на рабочем поле Значения искомых переменных х , х и х находятся в ячейках Н2, Н3 и Н4; 1 2 3 максимальное значение целевой функции - в ячейке Н7; левые части ограничений - в ячейках В16, В17, В18 и В19. П.4. Решение задач нелинейного программирования Ввод исходных данных и получение результатов решения задач нелинейного программирования принципиально не отличаются от таковых при решении линейных и целочисленных задач. Рассмотрим решение оптимизационной задачи примера 7. Рабочее поле ввода исходной информации показано на рис. П11. В ячейках В2…В10 находится числовая исходная информация. Искомые значения переменных Q и k1 Q k2 находятся в ячейках F2 и F3. Начальные значения этих переменных принимаются нулевыми. Целевая функция задачи имеет вид 2 2 Z=z (Q +Q )+ a (Q +Q - Q -Q ) + a (Q -Q ) , k1 k2 -3 1 2 1 2 k1 k2 2 -3 2 2 k2 где a = R c 10 /U =0,0006; a = R c 10 /U =0,0004. 1 1 o 2 2 o В ячейку F7 вводится выражение для вычисления значения этой целевой функции= B7*(F2 + F3) + B9*(B2 + B3 - F2 - F3)^2 + B10*(B3 - F3)^2. В диалоговом окне «Поиск решения» (рис. П.12); устанавливается адрес ячейки целевой функции F7; отмечается, что ищется минимальное значение целевой функции; указываются адреса ячеек с искомыми переменными F2, F3; в качестве ограничений вводятся граничные условия неотрицательности искомых переменных Q >0 и Q >0. k1 k2 119 Рис. П.12. Исходная информация нелинейной задачи на рабочем поле Рис. П13. Диалоговое окно «Поиск решения» В диалоговом окне «Параметры поиска решения» следует снять флажок «V» с позиции «линейная модель», поскольку решается нелинейная задача. Результат решения нелинейной задачи, выданный компьютером на рабочее поле, представлен на рис. П.14. Рис. П.14. Результаты решения нелинейной задачи на рабочем поле 120 П.5. Решение задач дискретного программирования Рассмотрим решение дискретной задачи примера 9. Рабочее поле ввода исходной информации показано на рис. П11. В ячейках В2…В8 находится числовая исходная информация. Искомые значения дискретных переменных Q , Q , Q и двоичных k1 k2 k3 переменных δ , δ , δ находятся в ячейках F2… F7. Начальные значения всех переменных 1 2 3 принимаются нулевыми. Целевая функция задачи имеет вид 2 ΔР= a (Q + Q + Q - Q δ - Q δ - Q δ ) + a (Q + Q - Q δ 1 2 1 2 3 k1 1 2 k2 2 k3 3 2 2 3 k2 2 - Q δ ) + a (Q - Q δ ) , k3 3 3 2 3 k3 3 где a = R /U =0,004; 1 1 2 a = R /U =0,005; 2 2 2 a = R /U =0,006. 3 3 В ячейку Е10 вводится выражение для вычисления значения этой целевой функции = B5*(B2+B3+B4-E2*E5-E3*E6-E4*E7)^2+B6*(B3+B4-E3*E6-E4*E7)^2+B7*(B4-E4*E7)^2 Рис. П.15. Исходная информация дискретной задачи на рабочем поле В ячейки В11 … В14 вводятся выражения для вычисления левых частей ограничений: =Е5+Е6+Е7; . =В8 Е5 - Е2; . =В8 Е6 - Е3; . =В8 Е7 - Е4. В диалоговом окне «Поиск решения» (рис. П.16): устанавливается адрес ячейки целевой функции Е10; отмечается, что ищется минимальное значение целевой функции; указываются адреса ячеек с искомыми переменными Е2…Е7. Через диалоговое окно «Добавление ограничения» вводятся равенства В11 = 1, В12 = 0, 121 В13 = 0, В14 = 0 и ограничение вида Е5:Е7 =двоичное. Результат решения дискретной задачи, выданный компьютером на рабочее поле, представлен на рис. П.17. Рис. П16. Диалоговое окно «Поиск решения» Рис. П.17. Результаты решения дискретной задачи на рабочем поле П.6. Решение многокритериальных задач Рассмотрим решение двухкритериальной задачи примера 13. Результаты решения задачи по первой целевой функции – максимальной прибыли, получены в приложении П.3 и представлены на рис. П.18. Эта целевая функция обозначена через Z и ее максимальное 1 значение находится в ячейке Н7. 122 Рис. П.18. Результаты решения задачи по критерию максимальной прибыли Результаты решения задачи по второй целевой функции – минимуму затрат энергоресурсов, представлены на рис. П.19. Подлежащая минимизации целевая функция Z = а x +a x +a x → min 2 11 1 12 2 13 3 представляет собой левую часть первого ограничения – расход энергоресурсов. Соответственно первое ограничение удалено. Также удалена, как ненужная, информация по прибыли от реализации продукции. Рис. П.19. Результаты решения задачи по критерию минимального расхода энергоресурсов Результаты решения двухкритериальной задачи представлены на рис. П.20. Восстановлена, как необходимая, информация по прибыли от реализации продукции. В ячейках В14 и В15 помещены значения весовых коэффициентов первой и второй целевых функций. Подлежащая максимизации обобщенная целевая функция имеет вид Z = α (z x +z x +z x )/Z - α (а x +a x +a x )/Z → max. 1 1 1 2 2 3 3 1 норм 2 11 1 12 2 13 3 2 норм Сюда входят и первая 123 Z = z x +z x +z x 1 1 1 2 2 3 3 и вторая Z = а x +a x +a x 2 11 1 12 2 13 3 целевые функции со своими весовыми коэффициентами α и α . 1 2 Знаки перед целевыми функциями разные, поскольку первая максимизируется, а вторая минимизируется. В ячейку Н7 введено следующее выражение для вычисления значения обобщенной целевой функции: = B14*(B2*H2 + B3*H3 + B4*H4) / 230 - B15*(B10*H2 + D10*H3 + F10*H4) / 30. Значение обобщенной целевой функции получено в относительных единицах (о.е.), поскольку каждая целевая функция делится на ее нормирующее значение. Рис. П.20. Результаты решения двухкритериальной задачи 124