Определение усилий в конструкции с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений

Лекция 3. Определение усилий в конструкции с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим ферму, нагруженную силами F1 и F2, действующими в направлении возможных перемещений нагруженного узла (рис. 3.1, а). Вырезая узел и проецируя внешние и внутренние силы (рис. 3.1, б) на вертиа) кальную и горизонтальную оси (с соответствии с (2.3)), получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для плоской системы сил: F1 = s1 cos α + s2 + s3 cos φ, F2 = s1 sin α – s3 sin φ. (3.1) б) В матричной форме данные уравнения будут иметь вид: Рис. 3.1. Расчётная схема фермы (а) и внутренние усилия в её стержнях (б)  s1   F1  cosα 1 cos φ     F    sin α 0  sin φ   s2     2   s3  или F = A × S. (3.2) Здесь: F и S – векторы, соответственно, внешних узловых сил и усилий в cosα 1 cosφ  стержнях фермы; А =   – статическая матрица, выражаю sin α 0  sin φ  щая внешние силы через усилия в стержнях. Решив СЛАУ (3.1), можно определить неизвестные усилия si в стержнях фермы, которые будут удовлетворять условиям равновесия (2.3). Для решения СЛАУ существует большое количество методов, которые можно разбить на два класса: прямые и итерационные. Прямые методы (методы Гаусса, Крамера, прогонки, матричный метод и др.) – это методы, которые приводят к решению за конечное число арифметических операций. Если операции реализуются точно, то и решение будет точным (поэтому к классу прямых методов применяют еще название точные методы). Итерационные методы (методы Якоби (метод простой итерации), Гаусса-Зейделя, релаксации и др.) – это методы, точное решение в которых 1 может быть получено лишь в результате бесконечного повторения единообразных (как правило, простых) действий. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений. Рассмотрим многопролётную статически определимую балку, изображённую на рис. 3.2, а. Найдём величины и направления опорных реакций (рис. 3.2, б), составив систему уравнений равновесия по типу (2.3) и решив таким образом СЛАУ. q а) ql2 2ql l MA XA l l l q б) A B D C 2ql YA ql2 E YD YE Рис. 3.2. Расчётная схема многопролётной балки (а) и реакции опор (б) Балка нагружена системой параллельных вертикальных сил и сосредоточенным моментом, поэтому можно заключить, что реакция XA = 0. Для нахождения 3-х других реакций – YA, YD, YE – оставшихся двух уравнений из системы (2.3) – уравнений проекций на ось OY и моментов относительно оси OZ – будет недостаточно, поэтому дополним данную систему ещё двумя уравнениями – уравнениями моментов для правой части балки относительно точек B и С. Запишем эти уравнения:  Fi y  Y  2ql  q  2l  Y  Y  0;  M z , A  F   M A  2ql  l  q  2l  2l  YD  3l  YE  4l  ql  M z ,С  F   YD  l  YE  2l  q  l   l / 2   ql  0;  M z ,B  F   YD  2l  YE  3l  q  2l  l  ql  0. A D E i прав 2 i прав 2 i 2 2  0; Преобразуем полученную запись к виду, где в левой части содержатся неизвестные величины, а в правой – нагрузка: YA MA YD  YD  3l  YD  l YE   YE  4l   YE  2l   YD  2l  YE  3l  2ql  2ql  l q  2l ;  q  2l  2l  ql 2 ;  q  l   l / 2   ql 2 ;  q  2l  l  ql 2 , и представим её в матричной форме (3.2): Матрица А 1 0  0  0 1 1 3l l 0 2l S F 1   YA   0      3ql 2   4l  M A   .   1,5ql 2  2l   YD      2  3l   YE   3ql  (3.3) Для решения системы уравнений (3.3) воспользуемся матричным методом (методом обратной матрицы). В этом случае решение будет представляться в виде: S = A–1 × F. (3.4) Решение системы (3.4) будет существовать в том случае, если можно вычислить обратную матрица A–1. Это будет возможным при ненулевом определителе данной матрицы. Проверим это, используя программу MathCAD 15. Как видно из приведённого решения (см. рис. 3.3), определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Рис. 3.3. Вычисление определителя статической матрицы в программе MathCAD 15 3 Далее в той же программе получим решение СЛАУ (3.2) из (3.4) и выполним проверку решения – см. рис. 3.4. Рис. 3.4. Решение СЛАУ методом обратной матрицы в программе MathCAD 15 Реакция YA направлена вниз, т.к. результат получился отрицательным (первый элемент в векторе S), момент MA направлен по часовой стрелке (второй элемент в векторе S), реакция YD направлена вверх (третий элемент в векторе S), реакция YE равна нулю (четвёртый элемент в векторе S). 4