Определение первообразной и неопределенного интеграла.

Литература: Дм.Письменный Конспект лекций по высшей математике. 1часть, глава 7, параграф 29 (неопределенный интеграл) Определение первообразной и неопределенного интеграла. В теме «Неопределённые интегралы» изучается действие, обратное дифференцированию, целью которого является восстановление функции одной переменной по известной её производной. Функция F(x) называется первообразной для данной функции f(x), если её производная равна данной функции, то есть F ( x) = f ( x) . f ( x) = x 2 Например, для функции первообразными являются 1 3 1 3 1 3 следующие функции: F ( x) = x3 , F ( x) = x 3 + 7 , … , F ( x) = x 3 + C , где С – это произвольная величина, постоянная относительно х. В этом можно убедиться, если найти производные этих функций. Как видим, существует бесконечное множество первообразных для функции f ( x) = x 2 . Теорема (об основном свойстве первообразных): Любые две первообразные одной функции f(x) могут отличаться друг от друга только на постоянное слагаемое. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции:  f ( x)dx = F ( x) + C , где F ( x) = f ( x) , C — произвольная постоянная. В этом определении: х — переменная интегрирования, dx — дифференциал переменной интегрирования, f(x) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение,  — знак неопределённого интеграла. Нахождение неопределённого интеграла (или первообразной) от данной функции f(x) называется действием интегрирования функции f(x). Отметим, что достаточным условием для существования первообразной F (x) для функции f (x) является непрерывность f (x) . Общие замечания о вычислении неопределённых интегралов. 1. Операция интегрирования является технически более сложной, чем операция дифференцирования, так как нет универсального правила для вычисления любых неопределённых интегралов. 1 2. Основой при выполнении действия интегрирования является таблица и свойства неопределённых интегралов, а также два основных метода: замена переменной интегрирования и применение формулы интегрирования по частям (об этих методах речь пойдет в следующих лекциях) 3. К практическому интегрированию можно применять «большие» таблицы интегралов, которые находятся в математических справочниках, а также компьютерные прикладные пакеты по математике. 4. Нельзя утверждать, что можно найти неопределённый интеграл от любой элементарной функции, даже если эта функция непрерывна и, следовательно, известно, что ее первообразная существует. Это означает, что первообразные для некоторых элементарных функций нельзя записать через основные элементарные функции. Такие случаи обычно описаны в справочной литературе как «неберущиеся интегралы». Например, “неберущимися являются следующие интегралы”  sin x dx, x x  ln x dx,  sin (x )  dx,  e 2 − x2  dx и другие. Таблица интегралов. x  +1 + C (  -1) 1.  x dx =  +1  ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 (частный случай) 2.  dx = ln x + C x ax +C , ln a   4.  sin x dx = - cos x + C 5.  cos x dx = sin x + C 3. 6. a x dx =  cos dx 2 e x dx = e x + C 7.  sin 8.  dx 9. ∫ 2 x dx = - ctg x + C = arcsin a2 − x2 𝑑𝑥 = ln |𝑥 + √𝑥 2 ± 𝑎2 | + 𝐶; √𝑥 2 ±𝑎2 10. x 11. x dx 2 + a2 dx 2 −a x +C ; a 2 = 1 x arctg + C ; a a = 1 x−a ln +C . 2a x + a = tg x + C x В дальнейшем таблица интегралов будет нами дополнена. Основные свойства неопределённого интеграла Свойство 1. Производная неопределённого интеграла по переменной интегрирования равна подынтегральной функции: (  f ( x)dx)x = f ( x) Это свойство используется интегрирования. для 2 проверки результата действия  ln xdx = x ln x − x + C , Например, чтобы убедиться в том, что нужно 1 x продифференцировать результат: ( x ln x − x + C ) = ln x + x  − 1 = ln x - верно. Свойство 2 (о линейности неопределенного интеграла). 1. Неопределённый интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме неопределённых интегралов от каждой функции:  ( f1 ( x) + f 2 ( x))dx =  f1 ( x)dx +  f 2 ( x)dx 2. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого  af ( x)dx = a  f ( x)dx , интеграла: где a – постоянная величина относительно переменной интегрирования. Заметим, что свойство линейности неопределенного интеграла можно привести в более общей форме, суммируя любое конечное число функций. Пример (использование свойства линейности неопределенного интеграла) св − во 3 3 1 2 (5 x − + 9) dx = 5 x dx − 3    cos2 xdx + 9 dx = cos 2 x x3 5 = 5( + C1 ) − 3(tg x + C2 ) + 9( x + C3 ) = x3 − 3tg x + 9 x + (5C1 − 3C2 + 9C3 ) 3 3 5 = x3 − 3tg x + 9 x + C . 3 По решению примера заметим, что при вычислении суммы нескольких интегралов одну произвольную постоянную интегрирования следует добавлять только в конце после того, как закончено все интегрирование. 2 1. Примеры вычисления неопределенных интегралов. Отработаем формулу 1 таблицы интегралов 𝑥 10+1 7 ∫ 7𝑥 10 𝑑𝑥 = 7 ∫ 𝑥 10 𝑑𝑥 = 7 10+1 + 𝐶 = 11 𝑥 11 + 𝐶 a) 1 1 6 6 б) ∫ 5 √𝑥 𝑑𝑥 = 5 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 5 1 𝑑𝑥 𝑥6 𝑑𝑥 = ∫ 3 = ∫ 𝑥 −3 𝑑𝑥 = 𝑥3 𝑥 г)∫ 6 √𝑥 1 2 𝑑𝑥 = 6 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 6 +𝐶 =5 1 +1 6 𝑥 −3+1 в)∫ − −3+1 1 − +1 2 1 − +1 2 𝑥 7 +1 𝑥6 7 6 +𝐶 = 𝑥 −2 1 +𝐶 =6 𝑥2 1 2 +𝐶 = −2 30 7 +𝐶 = 7 𝑥6 + 𝐶 1 −2𝑥 2 +𝐶 1 + 𝐶 = 12𝑥 2 + 𝐶 Необходимо напомнить, что конечный результат должен быть приведен к виду без отрицательных степеней x. 2. Отработаем формулы 1-7 таблицы и свойство линейности. 3 а)∫ (3 sin(x) + 8 𝑥2 − 3𝑥 + 6√𝑥) 𝑑𝑥 = 3 ∫ sin(𝑥 ) 𝑑𝑥 + 8 ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑥 1 𝑑𝑥 + 1 1 +6 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 −2+1 𝑥2 𝑥 2+1 = 3 ∗ (− cos(𝑥 )) + 8 −3 +6 +𝐶 = 1 −2 + 1 2 +1 2 3 𝑥 −1 3 2 𝑥2 8 3 12 3 = −3 cos(𝑥 ) + 8 − 𝑥 +6 + 𝐶 = −3 cos(𝑥 ) − − 𝑥 2 + 𝑥 2 + 𝐶 3 −1 2 𝑥 2 3 2 4 1 б)∫ (4𝑒 𝑥 − 7 cos(𝑥 ) + + 6) 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 − 7 ∫ cos(𝑥 ) 𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑥 +6 ∫ 𝑑𝑥 = 4𝑒 𝑥 − 7 sin(𝑥 ) + 4 ln(𝑥 ) + 6𝑥 + 𝐶 в) ∫(𝑥 3 + 4 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 3𝑥 − 11) 𝑑𝑥 = 𝑥4 4 + 4𝑡𝑔(𝑥 ) + 3𝑥 𝑙𝑛3 − 11𝑥 + 𝐶 3. Отработаем формулы 8-11 таблицы. Прежде чем применять эти формулы, нужно проанализировать пример – есть ли корень, какой знак между слагаемыми. 𝑑𝑥 а) ∫ 2 𝑥 −9 применяем формулу 11 (между слагаемыми минус), здесь а2=9, откуда а=√9=3, тогда получаем ∫ 4𝑑𝑥 б) ∫ 2 𝑥 +7 𝑑𝑥 𝑥 2 −9 = 1 2∗3 𝑙𝑛 | 𝑥−3 𝑥+3 1 𝑥−3 6 𝑥+3 | + 𝐶 = 𝑙𝑛 | |+𝐶 применяем формулу 10 (между слагаемыми плюс), здесь а2=7, тогда а=√7, получаем ∫ 4𝑑𝑥 𝑥 2 +7 =4 1 √7 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 √7 +𝐶 𝑑𝑥 в) ∫ 2 здесь х2 с плюсом под корнем, поэтому применяем формулу 9, √𝑥 −17 тогда ∫ г) ∫ 𝑑𝑥 √𝑥 2 −17 𝑑𝑥 √10−𝑥 2 = 𝑙𝑛|𝑥 + √𝑥 2 − 17| + 𝐶 здесь х2 с минусом под корнем, применяем формулу 8, а=√10 ∫ 𝑑𝑥 √10 − 𝑥 2 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 √10 +𝐶 𝟏 Применение формулы ∫ 𝒇(𝒂𝒙 + 𝒃)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝑪. 𝒂 Обращаю внимание, что эта формула используется только для линейного выражения ax+b, для случая х2 эта формула неверна. 1 а) ∫ cos(5𝑥 ) 𝑑𝑥 = sin(5𝑥 ) + 𝐶; 5 1 б) ∫ 𝑒 4𝑥−2 𝑑𝑥 = 𝑒 4𝑥−2 + 𝐶 4 4 𝑥 1 1 4 1 4 в) ∫ sin ( ) 𝑑𝑥 = ∫ sin ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 4 𝑥 𝑥 4 4 (− cos ( )) + 𝐶 = −4 cos ( ) + 𝐶 1 г) ∫ 𝑒 −6𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑒 −6𝑥 + 𝐶 6 д) ∫(4𝑥 − 5)12 𝑑𝑥 = е) ∫ 𝑑𝑥 (3𝑥−1)7 1 (4𝑥−5)13 4 13 +𝐶 = = ∫(3𝑥 − 1)−7 𝑑𝑥 = 1 52 (4𝑥 − 5)13 + 𝐶 1 (3𝑥−1)−6 3 −6 +𝐶 =− 1 1 18 (3𝑥−1)6 +𝐶 1 ж) ∫ √2 − 𝑥𝑑𝑥 = ∫(2 − 𝑥)2 𝑑𝑥 здесь коэффициент перед х равен -1, тогда 3 3 1 (2 − 𝑥)2 2 − + 𝐶 = − (2 − 𝑥)2 + 𝐶 3 1 3 2 𝑑𝑥 з) ∫ = 𝑙𝑛|𝑥 − 5| + 𝐶. В этом примере коэффициент перед х равен 1, 𝑥−5 поэтому и коэффициент перед первообразной равен 1. Кроме того, если пытаться записывать этот пример через степень, то выражение (х-5) будет в степени -1, а первая формула таблицы интегралов не применяется для этой степени. В ЭТОМ СЛУЧАЕ ИСПОЛЬЗУЮТ ФОРМУЛУ 2 таблицы. и) ∫ 𝑑𝑥 √𝑥+6 3 1 2 = ∫(𝑥 + 6) 𝑑𝑥 = (𝑥+6)2 3 2 +𝐶 𝑑𝑥 к) ∫ 2 в этом примере присутствует х2, а значит, применять формулу √𝑥 +6 нельзя, этот пример решается с помощью таблицы интегралов (формула 9). Рассмотрим также некоторые алгебраические приемы, используемые для решения неопределенных интегралов. а) ∫ 5𝑥(𝑥 2 − 6)2 𝑑𝑥. В этом примере подынтегральное выражение, используя умножения, и правило раскрытия скобок. необходимо формулу упростить сокращенного ∫ 5𝑥 (𝑥 4 − 12𝑥 2 + 36)𝑑𝑥 = ∫(5𝑥 5 − 60𝑥 3 + 180𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑥6 𝑥4 𝑥2 5 = 5 − 60 + 180 + 𝐶 = 𝑥 6 − 15𝑥 4 + 90𝑥 2 + 𝐶 6 4 2 6 1 2 б) ∫ (2 − 3𝑥 2 )𝑑𝑥 = ∫ ( − 𝑥 𝑥 3𝑥 2 𝑥 2 𝑥2 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 3𝑥𝑑𝑥 = 2 ln(𝑥 ) − 3 В этом примере были раскрыты скобки. в) ∫ 3𝑥 5 −6 𝑥 𝑑𝑥. В этом примере выполним почленное деление. 5 +𝐶 3𝑥 5 6 6 𝑥5 4 ∫( − ) 𝑑𝑥 = ∫ (3𝑥 − ) 𝑑𝑥 = 3 − 6 ln(𝑥 ) + 𝐶 𝑥 𝑥 𝑥 5 г) ∫ 𝑥 𝑥+5 𝑑𝑥. Прибавим и вычтем в числителе 5, а далее выполним почленное деление. ∫ (𝑥+5)−5 𝑥+5 д) ∫ е) ∫ 𝑥 2 −5 𝑥 2 −7 𝑑𝑥 = ∫( 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 7𝑥 2 +5 𝑥+5 𝑥+5 − 5 𝑥+5 (𝑥 2 −7)+7−5 𝑥 2 −7 5 )𝑑𝑥 = ∫ (1 − 𝑑𝑥 = ∫(1 + 𝑥+5 2 𝑥 2 −7 ) 𝑑𝑥 = 𝑥 − 5𝑙𝑛|𝑥 + 5| + 𝐶 )𝑑𝑥 = 𝑥 + 2 1 2 √7 𝑙𝑛 | 𝑥−√7 |+C 𝑥+√7 необходимо вынести в знаменателе за скобку 7, получаем ∫ 𝑑𝑥 5 7 7(𝑥 2 + ) Далее выносим постоянную 1/7 за знак интеграла и используем формулу 10 5 𝑑𝑥 7 5 7(𝑥 2 + ) 7 при условии, что а=√ . Получаем ∫ ж) ∫ з)∫ 𝑑𝑥 √6−5𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 +4𝑥+5 =∫ 𝑑𝑥 6 5 √5( −𝑥 2 ) = 1 ∫ √5 𝑑𝑥 6 5 = √ −𝑥 2 1 √5 = 1 1 7 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 5) + 𝐶 5 √ √ 7 7 𝑥 arcsin ( 6) + 𝐶 √ 5 в знаменателе выполним выделение полного квадрата 𝑥 2 + 4𝑥 + 5 = 𝑥 2 + 2 ∗ 2𝑥 + 22 − 22 + 5 = (𝑥 + 2)2 − 4 + 5 = (𝑥 + 2)2 + 1 Используем формулу 𝑎2 + 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)2 𝑑𝑥 Тогда ∫ решаем по формуле 10 таблицы, только вместо х будет (𝑥+2)2 +1 𝑑𝑥 1 выражение (х+2), а=√1, тогда получаем ∫ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑥+2)2 +1 1 (𝑥+2) 1 +𝐶 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 + 2) + 𝐶 и) ∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 −6𝑥−1 в знаменателе выполним выделение полного квадрата 𝑥 2 − 6𝑥 − 1 = 𝑥 2 − 2 ∗ 3𝑥 + 32 − 32 − 1 = (𝑥 − 3)2 − 9 − 1 = (𝑥 − 3)2 − 10 Тогда ∫ 𝑑𝑥 (𝑥−3)2 −10 решаем по формуле 11 таблицы, вместо х будет выражение 𝑑𝑥 (х-3), а= √10 Тогда получаем ∫ = (𝑥−3)2 −10 2 6 1 √10 (𝑥−3)−√10 | √10 𝑙𝑛 |(𝑥−3)+ + 𝐶,