Одномерные фотонные кристаллы

Лекция N 28 Фотонные кристаллы. II. Одномерные фотонные кристаллы 1. Расчет коэффициентов отражения и преломления для системы, состоящей из n-слоёв (s-поляризация) ⃗ ⃗ ⃗ θ0 ⃗ x ⃗ ⃗ Рисунок 1. Геометрия отражения от слоистой системы s-поляризация Для случая s - поляризации вектор-столбец имеет вид: = (1) Связь между вектор-столбцами дается соотношением: ⃗(0 ) = ( ) ⃗( ) (2) Характеристическая матрица системы слоев имеет вид ( )= (3) Граничные условия на границах z =0 и z = h слоистой системы приводят к соотношению: − + + = − Откуда получаем: − + + = − = − Обозначим − − ≡ ≡ Или ( ( ) ) − − = = Введем еще одно обозначение ( ( )= )= − − Подставляя в записанное ранее соотношение, получим: = = + − ( = − )= Следовательно, получаем систему уравнений ( + − = )=− Умножая первое уравнение системы на ( ( + − (4) , получаем: )= )=− Складывая уравнения системы: 2 = − = − = Выразим отсюда амплитуду прошедшей волны = Подставляя сюда − , получим: = : (5) − Тогда амплитуда отражённой волны буде равна: = − − = 2 − − = 2 −( − ) 2 = − − + − + − = Следовательно, амплитуда отражённой волны равна: + − = (6) Амплитудный коэффициент прохождения : 2 = − = = 2 ( − ) = 2 − Следовательно, амплитудный коэффициент прохождения равен: = (7) − Амплитудный коэффициент отражения : = + − = + − = Следовательно, амплитудный коэффициент отражения равен = Подставим и + − (8) , получим выражение для амплитудного коэффициента прохождения : = ( − )−( − ) − − ) ) (9) Амплитудный коэффициент отражения : = ( ( − − )+( )−( (10) 2. Расчет коэффициентов отражения и преломления для системы, состоящей из n-слоёв (p-поляризация) ⃗ ⃗ ⃗ θ0 ⃗ ⃗ ⃗ Рисунок 2. Геометрия отражения от слоистой системы p-поляризация В этом случае вектор-столбец имеет вид: = (11) Связь вектор-столбцов через характеристическую матрицу записывается в виде: ⃗( )= ( ) ⃗( ) Характеристическую матрицу запишем обычным образом: ( )= Граничные условия приводят к матричному уравнению: + 1 − 1 1 = Расписывая, получаем: ⎧ ⎨1 ⎩ + − = 1 1 − = − 1 (12) Введем обозначения: ⎧ − ⎨ ⎩ − 1 1 = = = = Тогда: ⎧ − ⎨ ⎩ − 1 1 = = Или ⎧ − ⎨ ⎩ − 1 1 = = Подставляя эти обозначения в (12), получим: + 1 ( = − (13) )= Умножая второе уравнение этой системы на ( ( получаем: + )= − )= Складывая уравнения системы 2 = + = Тогда амплитуда прошедшей волны = ( 2 + + будет равна: (14) ) Подставляя (14) в первое уравнение (13), можно найти = − = − = : = ( 2 + ) − = 2 − − = + − + = Таким образом, амплитуда отраженной волны равна: − + = (15) Амплитудный коэффициент прохождения : = = 2 + ( ) = ( 2 + ) Следовательно, амплитудный коэффициент прохождения равен = ( + ) (16) Амплитудный коэффициент отражения : = − + = Следовательно, амплитудный коэффициент отражения равен: = − + (17) Расчеты для конкретных слоистых материалов будут представлены на следующей Лекции.