Общие сведения об уравнительных вычислениях.

По дисциплине: «Высшая геодезия и основы координатно-временных систем» для студентов 3-го курса Лекция ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНИТЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Уравнивание проводится с целью: 1) получения наиболее надежных значений определяемых величин; 2) некоторого повышения их точности; 3) для устранения разногласий в геометрическом соотношении сети, обусловленных неизбежными ошибками измерений; 4) для оценки точности измеренных величин и их функций. Уравнивание производится только когда измерений выполнено больше необходимых, т.е. имеются избыточные измерения. Под необходимыми понимают такие измерения, которые позволяют получить только по одному значению определяемых величин, в то время как избыточные измерения обеспечивают их несколько значений. Избыточные измерения имеют большое значение и позволяют: • проводить первичный контроль результатов измерений с целью выявления грубых ошибок и промахов; • контролировать качество производимых измерений по невязкам условных уравнений, а также установлением для них соответствующих предельных допусков; • повышать точность определения отдельных элементов сети путем использования многократных измерений и обработки по способу наименьших квадратов; • проводить оценку точности измеренных величин и их функций; • судить о правильности применяемой методики измерений по соответствию заданной и полученной точности. При уравнивании геодезических сетей важное значение имеет количество исходных данных, в зависимости от чего выделяют свободные и несвободные геодезические сети. Геодезическая сеть, в которой заданы координаты только двух пунктов, находящихся на концах исходной стороны, называется свободной. В свободной геодезической сети задано не более 4 элементов (координаты 2-х пунктов, α и b). Сеть, в которой кроме 2-х исходных пунктов имеются и другие пункты с заданными (твердыми) координатами, называется несвободной. Уравнительные вычисления могут производиться строгими или приближенными способами. Строгие способы должны удовлетворять следующим требованиям: 1) после уравнивания должны быть соблюдены все геометрические условия сети, т.е. ликвидированы невязки. 2) найденные поправки в измеренные величины Vi должны удовлетворять принципу наименьших квадратов, т.е. ∑pvv = min. 3) должнo соблюдаться условие совместной обработки всех измеренных величин сети. 4) должна быть обеспечена возможность оценки точности различных элементов сети. В приближенных способах соблюдается только требование удовлетворения геометрических условий сети. Остальные требования не выполняются или соблюдаются лишь приближенно. Все способы уравнивания можно разделить на 2 основные группы: 1. Методы, основанные на коррелатном способе уравнивания (способ условных измерений). 2. Методы, основанные на параметрическом способе уравнивания (способ непосредственных или косвенных измерений, способ необходимых неизвестных). При правильном применении оба метода дают тождественные результаты. Поэтому выбор метода уравнивания сети не имеет принципиального значения и диктуется экономическими соображениями. Например, большие или малые, но сложные по построению сети с большим числом избыточных диагоналей или сети с большим числом исходных пунктов проще уравнивать параметрическим способом (особенно при использовании ЭВМ). При уравнивании небольших и несложных сетей часто применяют коррелатный способ. Триангуляционные сети уравнивают как по направлениям, так и по углам. С точки зрения принципа наименьших квадратов из уравнивания следует определять поправки к непосредственно измеренным величинам. Т.к. в триангуляции измеряются направления, то триангуляционные сети следует уравнивать по на-правлениям. Однако на практике с целью упрощения уравнительных вычислений нередко вместо направлений уравнивают углы, которые находятся как разности направлений, и поэтому являются величинами зависимыми. В процессе уравнивания эта зависимость не учитывается, поэтому возникают некоторые искажения уравненных элементов сети и особенно результатов оценки точности. УРАВНИВАНИЕ ТРИАНГУЛЯЦИИ КОРРЕЛАТНЫМ СПОСОБОМ. В основе коррелатного способа уравнивания лежит составление условных уравнений. Сети триангуляции при коррелатном способе могут уравниваться как по углам, так и по направлениям. Уравнивание по углам является более распространенным и более подробно рассмотрено в литературе. Поэтому основное внимание сосредоточим на уравнивании по углам. Введем следующие обозначения: 1, 2, 3, … , n – уравненные значения углов; 1′, 2′, 3′, … , n′ – измеренные углы; (1), (2), (3), … , (n) – поправки к измеренным углам по результатам уравнивания. В общем случае имеет место следующее соотношение С учетом принятых обозначений можно записать условное уравнение в общем виде F(1, 2, 3, … , n) = 0 или Учитывая, что поправки к измеренным углам есть величины небольшие, разложим последнее уравнение в ряд, ограничиваясь первыми членами разложения. Введем обозначение F[1′, 2′, 3′, … n′] = ω . Тогда условное уравнение в линейном виде будет иметь следующий вид: Математические соотношения, определяющие условные уравнения, зависят от вида сети, от того является она свободной или несвободной. УСЛОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В СВОБОДНЫХ СЕТЯХ ТРИАНГУЛЯЦИИ. В свободных сетях при уравнивании по углам возникают следующие условия: 1) условия фигур; 2) условия горизонта; 3) условия полюсов. Условия фигур. В замкнутой фигуре, в которой измерены все внутренние углы при всех вершинах, сумма уравненных значений этих углов должна быть равна теоретической. Для треугольника ABC это условие запишется следующим образом 1 + 2 + 3 −180o = 0 . Заменяя уравненные углы через измеренные и поправки к ним, получим: Окончательный вид условия фигур Условие горизонта. Если на пункте измерены углы с замыканием горизонта, то это приводит к условию, чтобы сумма уравненных углов была равна 360°. Для случая, показанного на рисунке можно записать 1 + 2 + 3 + 4 + 5 − 360o = 0 . Условие в окончательном виде запишется так (1)+ (2)+ (3) + (4 ) + (5 )+ ω = 0 , где ω = 1′ + 2′ + 3′ + 4′ + 5′ −180o . Условия горизонта обычно учитывается только для пунктов, расположенных внутри контура сети, например, только для пункта К. Условия горизонта не возникают, если уравнивание выполняется по направлениям, т.к. в этом случае свободные члены всегда будут равны нулю. Условие полюса (боковое условие). Полюсное условие заключается в требовании, чтобы длина некоторой стороны, вычисленная двумя независимыми путями из решения треугольников сети, имела одно и то же значение. Эти условия возникают в геодезических четырехугольниках, центральных системах и во всех случаях, когда в сети есть диагональные направления. В этих случаях одна из сторон сети является избыточной. Рассмотрим принцип составления полюсных уравнений на примере геодезического четырехугольника. В геодезическом четырех угольнике некоторую сторону, например АС, можно вторично вычислить из последовательного решения треугольников АВС, ABD, ACD. Однако по измеренным углам получим другое значение данной стороны. Чтобы ликвидировать это расхождение измеренным углам надо при-дать соответствующие поправки. Тогда получим функцию: Разделив на АС, получим выражение полюсного уравнения в виде отношения синусов углов Заменяя отношения синусов отношением противолежащих сторон полюсное условие можно записать в виде тождества На практике удобнее составлять полюсное уравнение по отношению сторон, исходящей из одной точки (полюса). Затем заменяют отношение сторон отношением синусов противолежащих в данном треугольнике углов. Это позволяет контролировать составление условия тем, что после сокращения одинаковых сторон в левой части уравнения также должна быть единица. Для составления условных уравнений полюсов можно применять простое мнемоническое правило. Выбрав точку полюса, пишут произведение всех сторон сходящихся в полюсе. Например для точки А AB AD AC Разделив полученное произведение само на себя, переставив в знаменателе на последнее место сторону, стоящую на первом месте в числители, получим тождество Далее заменяя отношения сторон в каждом треугольнике отношением синусов противолежащих им углов, получим условное уравнение полюса. Важным является то, что в полюсное уравнение не входят углы, прилегающие к полюсу. Так, в уравнение (2) не входят углы 1 и 2, которые прилегают к точке А, которая принята за полюс. Это свойство позволяет определять ошибочные направления в сети триангуляции. В геодезическом четырехугольнике за полюс может быть принята любая из вершин и даже фиктивная точка пресечения диагоналей. Однако предпочтительней принимать либо вершину с наиболее тупым углом, либо фиктивную точку пересечения диагоналей. В первом случае коэффициенты полюсного уравнения будут иметь наибольшие по величине значения, благодаря чему неизвестные поправки определяются с большей точностью, чем при выборе полюса в другой точке. При выборе полюса в точке пересечения диагоналей при составлении полюсного уравнения используются все углы четырехугольника. Например: Полюсные уравнения возникают в геодезическом четырехугольнике и в том случае, когда в некоторых вершинах измерены не все углы или на-правления, т.е. когда в сети имеется не сплошное направление. В этом случае возможны 2 пути составления полюсного уравнения. 1) За полюс принимается вершина, к которой примыкает несплошное направление, т.е. точка С. Тогда 2) Каждый из неизмеренных углов заменяется дополнением до 180° суммы других углов, измеренных в данном незамкнутом треугольнике. Например, неизмеренный угол x в ∆ABC при составлении полюсного уравнения можно выразить следующим образом Если полюс расположить в точке А, то можно записать Для приведения полюсного уравнения к линейному виду запишем исходное уравнение (2) в общем виде В соответствии с общим подходом, который выражается уравнением (1), возьмем частную производную по одному из углов, например по углу 5 Умножим и разделим полученное выражение sin 5. Тогда получим Учитывая, что частные производные необходимо брать по измеренным углам, то последнее выражение перепишем следующим образом Аналогично можно взять частные производные по остальным углам и записать в общем виде Знак «+» относится к углам числителя, а знак «-» – к углам знаменателя. Свободный член уравнения в соответствии с общей формулой запишется следующим образом Сокращая на АС , выражая поправки в секундах и приведя подобные члены, получим: П1 , П2 – произведение синусов измеренных углов числителя и знаменателя. В центральной системе при составлении полюсного уравнения за полюс принимается полюс центральной системы – точку О. Запишем следующее соотношение сторон: Заменяя отношения сторон через синусы противолежащих уравненных углов, получим Коэффициенты условного уравнения в линейном виде представляются через котангенсы измеренных углов. Для составления полюсного уравнения центральной системы можно сформулировать следующее мнемоническое правило. Если стать в центре центральной системы и смотреть поочередно на все остальные пункты, то синусы левых углов записывают в числитель, а правых – в знаменатель, или наоборот При наличии диагонали, соединяющей вершины двух несмежных треугольников, в качестве полюса следует брать пункт, соединенный со всеми вершинами фигуры, для которой составляется полюсное уравнение. Для фигуры, изображенной на рисунке, полюс располагаем в точке А. Записывая отношение сторон, сходящихся в полюсе, получим После замены противолежащих сторон синусами соответствующих углов получим УСЛОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В НЕСВОБОДНЫХ СЕТЯХ ТРИАНГУЛЯЦИИ. В несвободных сетях триангуляции, имеющих избыточные исходные данные: базисные стороны или базисы, дирекционные углы сторон, координаты пунктов, возникают все условия, характерные для свободных сетей, плюс уравнения за жесткость. К этим уравнения относятся: 1) базисные условия; 2) условия дирекционных углов; 3) условия координат. Условия дирекционных углов. Эти условия возникают, когда в сети имеется две или более стороны с исходными дирекционными углами (непосредственно измеренными или вы-численными по координат исходных пунктов). Данное условие состоит в следующем. Дирекционный угол, вычисленный от исходного дирекционного угла по уравненным углам, должен равняться второму дирекционному углу. Если в сети имеется n жестких дирекционных углов, то число уравнений данного вида должно быть (n-1). Рассмотрим составление данного уравнения на примере цепочки треугольников, изображенных на рисунке. В сети имеется два жестких дирекционных угла: α AC – стороны АС; α BD – стороны BD. Обозначим связующие углы в сети обозначим через ai, bi , а промежуточные – через ci. Для составления условного уравнения дирекционных углов выделяется простая цепочка треугольников. Намечают ходовую линию, проходящую через промежуточные углы (на рисунке показана штриховой линией). Тогда можно записать Заменяя уравненные углы ci через измеренные углы ci′ и поправки к ним (ci), т.е. учитывая, что окончательно получим: Выбор ходовой линии не имеет принципиального значения и может быть различным, но необходимо стремиться, чтобы в данном уравнении участвовало наименьшее число углов. Поэтому выгоднее проводить линию вдоль связующих сторон и включать только промежуточные углы. Иногда выделяют частный случай условия дирекционных углов, которое называют условием суммы углов. Оно возникает, когда две исходные стороны примыкают к одному пункту. Это условие выражается требованием Условия базисов. Эти условия возникает, когда в сети имеется две или более стороны, длины которых не подлежат изменению в процессе уравниванию. Таковыми могут длины сторон между твердыми пунктами или длины, полученные в результате базисных измерений. Условие базиса заключается в том, что в уравненной сети вычисленное значение к какой-либо исходной стороны, принятой за начальную, должно в точности равняться ее заданной (измеренной) величине. Для цепочки треугольников можно записать следующее условие Для приведения этого выражения к линейному виду поступают аналогично тому, как было сделано в полюсных уравнениях: где — свободные член уравнения , выражаемый в линейной мере; Для удобства вычислений коэффициенты условных уравнений выгодно иметь близкими к единице. Для этой цели умножим левую и правую часть условного уравнения и получим уравнение в окончательном виде где — свободный член уравнения, выражаемый в секундах. Условие исходных сторон является частным случаем базисного условия и возникает в том случае, когда исходные стороны примыкают к одному пункту (см.рис.). Для данной схемы имеем Приведение этого уравнения к линейному виду выполняется также как и для базисного уравнения. Условия координат. Эти условия возникает в сети имеющей изолированные (несвязанные исходными сторонами) избыточные пункты. Эти условия заключаются в требовании, чтобы координаты одного из исходных пунктов, вычисленные по координатам другого исходного пункта и уравненным углам сети, были бы равны заданным значениям координат этого пункта. Каждая избыточная группа исходных пунктов дает 2 условных уравнения координат: уравнение абсцисс и уравнение ординат. Для составления уравнений, прежде всего, в ряде треугольников намечается ходовая линия, как правило, проходящая по связующим сторонам или другими словами – через промежуточные углы. Начальный и конечный пункты должны находиться на концах этой линии. Такой выбор ходовой линии облегчает вычисления. Примем, что пункты А и В имеют жесткие координаты: xA , yA , xB , yB . Обозначим через ∆x1 , ∆y1 , ∆x2 , ∆y2 , ∆x3 , ∆y3 , ∆x4 , ∆y4 – уравненные значения приращений координат для сторон А–1, 1-2, 2-3, 3-В ходовой линии. Тогда требование, отвечающее условиям координат, может быть записано в виде двух следующих равенств: Значения уравненных приращений координат представим в виде суммы приращений координат, вычисленных по измеренным углам, и поправок к ним: где ∆xi′ , ∆yi′ – приращения координат, вычисленные с использованием измеренных в треугольниках углов ai , bi , ci ; (∆xi ), (∆yi ) — поправки в приращения координат, получаемые из уравнивания сети. Для получения условия координат в линейном виде поправки в приращения координат необходимо выразить через поправки в измеренные углы в треугольниках. Выполнив эти преобразования, получим в окончательном виде: - условное уравнение абсцисс - условное уравнение ординат Свободные члены выражаются в метрах и представляют собой разность между значением координат конечного пункта ходовой линии, вычисленными по измеренным углам, и заданными значениями координат. В этих уравнениях ( xn − xi ) и (yn − yi ) разности координат, выраженные в км, конечного пункта (пункта В) ходовой линии и координат текущих пунктов ходовой линии, включая и начальный пункт (пункт А) этой линии; a и b связующие углы, причем угол b лежит против исходной стороны, а угол a — против определяемой; (c) — поправка в промежуточные углы, которая записывается со знаком плюс (+ c), если угол c расположен слева от ходовой линии, и со знаком минус (− c), если – справа от линии. ОСОБЕННОСТИ СОСТАВЛЕНИЯ УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ УРАВНИВАНИИ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ. При уравнивании сети триангуляции по направлениям каждый угол представляют как разность соответствующих направлений. Отметим, что направления на каждом пункте принято нумеровать по часовой стрелке. Для случая, изображенного на рисунке каждый угол представим как разность направлений: Тогда условное уравнение запишется следующим образом: где 1′, 2′, … n′ - измеренные значения направлений; (1), (2 ), … (n) - поправки в направления, получаемые из уравнивания. Подобным образом составляются все рассмотренные выше условные уравнения. Сначала они записываются через углы, а затем каждый угол рассматривается как разность двух направлений. Исключением является условие горизонта. При уравнивании по направлениям оно не возникает и в уравнивание не включается, так как в этом случае свободные члены уравнения горизонта всегда равны нулю. В полюсных уравнениях и уравнениях базисных сторон разность на-правлений необходимо внимательно учитывать при вычислении коэффициентов соответствующих уравнений и приведении подобных членов. Например, если некоторый угол β равен разности направлений 2 и 1, т.е. β = 2 −1, то при уравнивании по углам запишем ctgβ(β), а при уравнивании сети по направлениям будем иметь ctg(2 −1)(2)− ctg(2 −1)(1). Следует отметить, что при уравнивании сети по направлениям сумма коэффициентов при поправках в любом условном уравнении должна быть равна нулю, так как после замены поправок в углы поправками в направления коэффициенты при них будут иметь один раз положительный, а второй раз отрицательный знак. Это требование используется в качестве промежуточного контроля вычислений при уравнении направлений. ПОДСЧЕТ ЧИСЛА УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ. Выбор необходимых условных уравнений является ответственейшей задачей уравнительных вычислений. При выборе условных уравнений необходимо соблюдать три правила, сформулированных И.Ю.Пранис-Праневичем: 1) ни одно условное уравнение, присущее данной сети, не должно быть пропущено; 2) условные уравнения должны быть независимыми в том смысле, что бы ни одно из них не являлось следствием остальных условий; 3) выбранные уравнения должны быть простейшими из всех возможных в данной сети уравнений. Рассмотрим эти требования более подробно. Если хотя бы одно необходимое условие будет пропущено, то некоторые геометрические соотношения сети не будут удовлетворены. Включение лишнего условия, которое будет зависимым, приведет при решении нормальных уравнений к неопределенности вида 0:0. Возникновение зависимых условных уравнений связано с тем, что каждая избыточно измеренная величина находится в нескольких математических соотношениях с другими величинами. При этом для построения сети достаточно удовлетворить только одно, а все остальные будут следствием. Рассмотрим центральную систему, в которой измерено 9 углов. В данной сети можно составить 5 угловых условий (4 фигурные и 1 горизонта) и 4 полюсных. Но независимыми будут только 4 условия (3 фигурные и 1 полюсное), остальные – зависимые. Действительно, всего можно записать Очевидно, что пятое уравнение является следствием первых четырех (если из суммы первых 3-х уравнений вычесть четвертое, то получится пятое уравнение). Точно так же из 4-х полюсных уравнений независимым будет только одно. В геодезическом четырехугольнике можно составить 5 условий фигур и 5 полюсных уравнений, из которых независимыми будут 3 угловых и 1 полюсное. В качестве независимых условных уравнений можно выбрать любые из возникающих в данной сети. При этом руководствоваться тем, что вы-бранные условия были наиболее простыми и содержали меньшее число искомых поправок. Так, например, в центральных системах условие горизонта и полюса могут быть заменены уравнениями абсцисс и ординат. Однако они намного сложнее, поэтому всегда составляют первые. При подсчете числа условных уравнений независимо от вида сети ее сначала рассматривают как свободную. Для подсчета числа условных уравнений в свободной сети можно применять графический и аналитический способ. Графический способ состоит в следующем. Принимают сеть как свободную, т.е. имеющую два исходных пункта. Составляют схему сети, используя строго необходимые углы для однократного определения положения всех пунктов, включая и оставшиеся твердые. Эти углы отмечены на рисунке дугами. Построенная сеть не будет содержать избыточных измерений, а, следовательно, не будет иметь и условных измерений. Углы, неиспользованные для построения сети, являются избыточными, и каждому из них соответствует условное уравнение. Подсчитывая эти избыточные углы, определяют общее число условных уравнений. Так, для сети, изображенной на рисунке, общее число углов равно 24, необходимое число углов для однозначного построения сети – 14, а число избыточных и, следовательно, условных уравнений – 10. Аналитический способ. Для построения сети необходимо иметь не менее двух исходных пунктов, либо один пункт, длину линии и дирекционный угол на второй пункт. Таким образом, два первых пункта (например А и В, см. рисунок) являются исходными и не требуют проведения измерений. Для получения координат каждого последующего пункта необходимо в треугольниках измерять, как было установлено выше, 2 любых угла. Эти углы будут необходимыми. Таких углов в сети, состоящей из n пунктов, будет Все остальные углы будут избыточными. Если всего измерено N углов, то избыточных величин будет S = N − k = N − 2n + 4. Так как каждое избыточное уравнение приводит к появлению одного независимого уравнения, то S определяет общее число условных уравнений, возникающих в свободной сети. Определим число условных уравнений по видам. Число полюсных уравнений. Для построения первых пунктов сети (1, 2, 3) необходимо три стороны – S12 , S23 , S13. Для построения остальных пунктов по две стороны на каждый пункт. Следовательно, для построения сети из n пунктов необходимо иметь следующее число сторон: 3 + (n − 3)2 = 2n − 3. Если число всех сторон сети (сплошных и несплошных) равно p, то число полюсных условий будет равно числу избыточных сторон c = p − 2n + 3 . Число условных уравнений горизонта. Условные уравнения горизонта возникают только при уравнивании углов. Их число, которое обычно обозначают через q , равно числу полюсов центральных систем и подсчитывается непосредственно по схеме сети. Число условных уравнений фигур. Условия фигур возникают в замкнутых фигурах, образованных сплошными сторонами. При уравнивании углов число уравнений фигур будет равно числу всех условных уравнений без полюсных уравнений и уравнений горизонта f = S − c − q = N − 2n + 4 − p + 2n − 3 − q = N − p − q +1. Число фигурных уравнений может быть определено также по формуле где l – число сплошных сторон в сети. Эта формула получается из следующих рассуждений. Для соединения n пунктов сети необходимо n −1 сплошных сторон (см.рисунок). В этом случае сеть не будет иметь замкнутых фигур. Каждая новая сплошная сторона (они показаны пунктиром), взятая сверх необходимого числа, и соединяющая любые два смежные пункты сети, непременно образует замкнутую фигуру и, следовательно, создает одно условие фигуры. Таким образом, если имеется l сплошных сторон, то число независимых уравнений фигур равно Число уравнений в несвободных сетях. В несвободных сетях дополнительно возникают условия за жесткость. Их число зависит от количества избыточных данных и определяется следующими формулами: - число базисных условий Sb = Rb −1; - число условий дирекционных углов Sα = Rα −1; - число условий координат Sxy = 2(Rxy −1), где Rb – число исходных сторон, которые не подлежат изменению в процессе уравнивания; Rα – число исходных дирекционных углов; Rxy – число изолированных друг от друга групп исходных пунктов. ДОПУСТИМЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ. Вычисление свободных членов условных уравнений и сопоставление их с допустимыми значениями важной характеристикой построения сети триангуляции. Эти вычисления выполняют в порядке контроля полевых измерений. По ним устанавливают качество и определяют необходимость переделки неудовлетворительных измерений. Допустимые значения свободных членов (невязок) устанавливаются различными наставлениями и инструкциями. Здесь рассмотрим теоретические обоснования для установления допусков. Допустимое значение свободного члена представляет собой предельную ошибку. Величину модуля предельной ошибки M при заданной доверительной вероятности вычисляют по формуле где t — принятый коэффициент допуска. В триангуляции принято значение t, равное 2,5, что приближенно соответствует вероятности 0,98. Используя установленное значение величины t , получим формулы для вычисления предельных (допустимых) свободных членов уравнений разного вида. Пусть дано условное уравнение где v1,v2 ,v3 , … vn – искомые поправки в измеренные углы; a1 ,a2 ,a3 , … an – известные коэффициенты при поправках; ω – свободный член условного уравнения. Этому условному уравнению соответствует нормальное уравнение решая которое получим: Учитывая, что: и Получим В этих формулах m — средняя квадратическая ошибка измерения угла. Тогда Переходя к предельной ошибке, получим Данная формула является общей для всех условных уравнений свободной сети триангуляции. Как следует из формулы, предельная величина допустимого свободного члена зависит не только от средней квадратической ошибки измерения угла, но и от коэффициентов при неизвестных поправках условного уравнения. В несвободных сетях величина свободного члена каждого условного уравнения зависит кроме того от ошибок исходных данных, входящих в условное уравнение. Влияние этих ошибок должно быть учтено при вычислении допустимых свободных членов. Поэтому формула будет иметь вид где m12исх и m22исх – средние квадратические ошибки 1 и 2 исходных элементов (базисов, дирекционных углов, координат). Раскрывая выражение [aa] в приведенных формулах, получим выражения для вычисления предельных величин свободных членов по каждому виду условных уравнений. Условие фигур. В условных уравнениях фигур a1 = a2 = a3 = 1. Поэтому В зависимости от точности измерения углов в триангуляции были приняты следующие значения свободных членов условных уравнений фигур, т.е. невязок треугольников Условие горизонта. В условных уравнениях фигур a1 = a2 = a3 … an = 1. Поэтому где n – число углов, образующих условие горизонта. Полюсное условие. В полюсных уравнениях коэффициентами при неизвестных являются ctg углов. Отсюда Подкоренное выражение в данной формуле представляет собой сумму котангенсов всех углов полюсного уравнения, входящих, как в числитель, так и в знаменатель. Условия дирекционных углов. В условном уравнении дирекционных углов коэффициенты равны ±1. Тогда с учетом ошибок исходных данных запишется где n — число углов, входящих в данное условие; mα21 и mα22 – средние квадратические ошибки дирекционных углов α1 и α2 . Базисные условия. В базисных уравнениях коэффициенты аналогичны полюсному уравнению. Поэтому с учетом ошибок исходных данных допустимое значение свободного члена, выраженное в секундах, выразиться формулой где средние квадратические ошибки исходных сторон b1 и b2 . Условия координат. В треугольнике с номером j в условиях абсцисс в условиях ординат Поэтому В полевых условиях выполняют контроль фигур и полюсных условий. Контроль результатов начинают с вычисления невязок в треугольниках. Если обнаружена недопустимая невязка в каком-либо треугольнике, то сопоставляют ее с невязками трех смежных треугольников. Наличие в одном из них большой невязки со знаком, обратным знаку обнаруженной недопустимой невязки, укажет два «подозрительных» взаимообратных направления по общей стороне. Для уточнения сомнительного направления вычисляют невязки двух полюсных условий вокруг концов «подозрительной» стороны. Недопустимая или большая невязка в одном из полюсных УРАВНИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРИ КОРРЕЛАТНОМ СПОСОБЕ УРАВНИВАНИЯ ТРИАНГУЛЯЦИИ. Система условных уравнений в матричном виде записывается следующим образом AV +W = 0 , где A - прямоугольная матрица размером r × n коэффициентов условных уравнений; r – число условных уравнений; n – число искомых поправок (число измеренных углов или направлений, в зависимости от того, что уравнивается); V – вектор-столбец поправок в измеренные углы (направления); W – вектор-столбец свободных членов условных уравнений. Если имеется, например, три условных уравнения, которые имеют следующий линейный вид то матрица будет иметь вид Для определения вектора коррелат K получаем систему нормальных уравнений из которой находим коррелаты где N −1 — обратная матрица коэффициентов нормальных уравнений. Если в системе условных имеется хотя бы одно уравнение, которое является следствием других, то обратить такую матрицу невозможно. Неизвестные поправки в измеренные величины находятся из следующего выражения V = AT K . Полученные поправки вводят в измеренные углы и получают их уравненные значения. Заключительный контроль уравнительных вычислений состоит в подстановке уравненных углов в условные уравнения. При этом все свободные члены должны получиться равными нулю.