Общие сведения о зубчатых передачах вращения

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧАХ ВРАЩЕНИЯ Основные понятия Если в механизме имеются только ведущие и ведомые валы и отсутствуют промежуточные вращающиеся звенья, то механизм называется передачей. Передача вращения может осуществляться: 1) путём непосредственного соприкосновения двух дисков, жёстко связанных с ведущим и ведомым валами (фрикционная, чер- вячная, зубчатая); 2) посредством промежуточных гибких тел, сцепляющихся с дисками, которые жёстко связаны с ведущим и ведомым валами (ре- менная, цепная, волновая). Отношение угловых скоростей вращения обоих валов передачи называется передаточным отношением i, которое характеризует про- цесс преобразования движения количественно. Отношение угловой скорости ведущего вала к угловой скорости ведомого называется передаточным числом u, которое определяет направление передачи энергии. Величины i и u могут меняться или оставаться постоянными за время одного оборота ведущего вала. Любую зубчатую передачу (рис. 1) можно схематично предста- вить в виде двух начальных поверхностей (рис. 2), контактирующих между собой, а плоскую передачу – в виде двух начальных окружно- стей, перекатывающихся друг по другу без скольжения и контактиру- ющих в полюсе р. Тогда Vp = rw1 ω1 = rw2 ω2, т. е. ω1/ ω2 = rw2/ rw1 = i1,2 . Рис. 1. Общий вид зубчатой передачи Рис. 2. Схема зубчатой передачи Наибольшее распространение получили эвольвентные передачи с профилем, предложенным Леонардом Эйлером в 1754 г. Преимуще- ство этого профиля – простота изготовления, достаточно высокая нагрузочная способность, малая чувствительность к неточностям межцентрового расстояния. Однако эвольвентный профиль удовле- творяет не всем требованиям, предъявляемым к современным зубча- тым передачам. Так, например, в мощных передачах внешнего зацеп- ления, где контактируют выпуклые зубья с малыми радиусами кри- визны профилей, происходит их быстрое разрушение из-за недоста- точной контактной прочности. Основные геометрические параметры зубчатого колеса цилиндрической передачи Основными геометрическими параметрами зубчатого колеса яв- ляются (рис. 3): z – число зубьев; ra – радиус окружности выступов; rf – радиус окружности впадин; rb – радиус основной окружности; r – радиус делительной окружности, т. е. окружности, которая является начальной в станочном зацеплении колеса с режущим ин- струментом; р – шаг по делительной окружности; h – высота зуба, равная h = ha + hf, где ha – высота головки зуба; hf – высота ножки зуба; m = р/π – модуль зацепления. Величина m стандартизирована, а делительная окружность – окружность стандартного модуля. Рис. 3. Основные геометрические параметры зубчатого колеса Обычно размеры зубчатого колеса и зубьев выражаются через модуль зуба m, который выбирают из ряда рациональных чисел от 0,05 до 100. Так, например: ha = ha* m, где ha* – коэффициент высоты головки зуба; hf = (ha* + с*)m, где с* – коэф- фициент радиального зазора; r = = 0,5mz; p = πm; rb = rcosα = 0,5mzcosα, где α – угол исходного контура ре- жущего инструмента. Обычно для стандартных цилиндрических зубчатых колёс: h* = 1; c* = 0,25; α = 20º. Основная теорема зацепления (теорема Виллиса) Основную теорему зацепления рассмотрим на примере двух зубчатых цилиндрических колёс (рис. 4). Профили зубьев двух колёс соприкасаются в точке К. Колёса вращаются вокруг точек О1 и О2 в направлениях, указанных стрелками. Скорость точки К в системе первого колеса VK1 = ω1O1К. Скорость точки К в системе второго колеса VK2 = ω2O2К. Скорости различны по величине и направлению. Давление между двумя твёрдыми телами передаётся по общей нормали N – N, следовательно, непрерывная передача движения воз- можна лишь только в том случае, если проекции скоростей точек кон- такта обоих профилей на общую нормаль будут одинаковы по вели- чине и направлению. Рис. 4. Теорема Виллиса – основная теорема зацепления При VK2 > VK1 будет происходить размыкание зацепления, чего допускать нельзя; при VK1 > VK2 – происходит внедрение зуба одного колеса в зуб другого колеса (тем более нельзя допускать), следова- тельно, скорости должны быть равны VK1 = VK2 . VK n = VK1cosα1; VK n = VK2cosα2, отсюда ω1O1Кcosα1 = ω2O2Кcosα2. 1 2 U12 = ω1/ ω2 = O2 P/O1 P = rω2/ rω1. Это равенство выражает основную теорему зацепления: общая нормаль N – N к сопряжённым профилям, вращающимся относитель- но центров О1 и О2, делит линию центров О1 и О2 на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих профилей. Итак: если точка Р неподвижна, то передаточное отношение звеньев будет постоянно. Точка Р называется полюсом зацепления. Она является мгновенным центром относительного вращения звеньев 1 и 2. Окружности с центрами О1 и О2, проходящие через полюс, называются начальными. При работе колёс они катятся одна по дру- гой без скольжения и представляют собой центроиды колёс. Угол αω, составленный общей нормалью N – N к профилям зубь- ев (линией зацепления) и общей касательной к начальным окружно- стям называется углом зацепления (углом давления). По теореме зацепления всегда можно проверить, являются ли два профиля находящихся в зацеплении зубьев сопряженными. Для этого проводим к ним общую нормаль и выясняем, проходит ли она через полюс зацепления. Требование сопряжённости профилей удо- влетворяется, если профили – эвольвентные, циклоидные. В эволь- вентном зацеплении угол αω постоянный. В большинстве случаев угол αω = 20˚. Эвольвента и её свойства Наибольшее распространение получили зубчатые колёса, у ко- торых боковые профили зубьев очерчены кривой под названием эвольвента. Соответственно профиль такого зуба и само зацепление называются эвольвентными. Эвольвента – кривая, которую очерчивает любая точка прямой, перекатывающейся по окружности без скольжения. При этом прямую обычно называют производящей, а окружность – основной rb. Пусть производящая прямая (рис. 5) n – n показана в положе- нии, когда она касается основной окружности в точке А, и требуется построить эвольвенту, описываемую точкой М. Для этого делим отре- зок AM на равные части и откладываем на rb дуги, равные соответ- ствующим частям отрезка AM: 4′ 3′ = 4 3; 3′ 2′ = 3 2, и т. д. Через полу- ченные точки проводим касательные и откладываем на них отрезки, последовательно уменьшая длину каждого отрезка на одну часть. Соединяя концы отложенных отрезков, получаем эвольвенту. Уравнение эвольвенты запишем из условия перекатывания произво- дящей прямой по rb: AM0 = AM. Обозначим через α острый угол между касательной τ – τ к эвольвенте и радиус-вектором эвольвенты ОМ. Этот угол называется углом профиля. Угол θ, образованный начальным радиус-вектором эвольвенты ОМ0 и её текущим радиусом ОМ, называется эвольвент- ным углом. rb (α + θ) = rbtgα или θ = tgα – α. Функция tgα – α называ- ется и обозначается inv, то есть уравнение может быть записано θ = invα. Радиус-вектор эвольвенты находится из треугольника ОАМ: R = rb/cosα. Основные свойства эвольвенты: 1. Каждая ветвь эвольвенты вполне определяется радиусом ос- новной окружности rb и начальной точкой M0. 2. Эвольвента не имеет точек внутри основной окружности rb. 3. Нормаль к любой точке эвольвенты направлена по касатель- ной к основной окружности. 4. Центры кривизны эвольвен- ты лежат в точке касания нормали с основной окружностью rb. Рис. 5. Построение эвольвенты Эвольвентное зацепление На рис. 6 представлено эвольвентное зацепление. Пусть профиль зуба звена 1 очерчен по эвольвенте rb1, a про- филь зуба звена 2 по эвольвенте rb2. Поместим центры этих окружно- стей в точку О1 и в точку О2 и приведём эвольвенты в соприкоснове- ние в точке К. Нормаль к эвольвенте Э1 в точке К должна быть касатель- ной к rb1, а нормаль Э2 – каса- тельной к rb2. В точке касания нормаль должна быть общей к обоим профилям и, следова- тельно, точка К лежит на общей касательной к основным окруж- ностям. При вращении звеньев 1 и 2 точка касания эвольвент пе- Рис. 6. Эвольвентное зацепление ремещается по отрезку АВ этой касательной, так как вне отрезка АВ эвольвенты не могут касаться, то есть иметь общую нормаль. Отсюда следует, что линия зацепления эвольвентных профилей совпадает с общей нормалью к ним и лежит на отрезке АВ общей касательной к основным окружностям. Точка Р – полюс зацепления – занимает неизменное положение. По свойству центроид начальные окружности при движении звеньев перекатыва- ются без скольжения. Итак, при эвольвентном зацеплении передаточ- ное отношение имеет постоянную величину: U12 = ± rb1/ rb2. Знак (–) относится к внешнему зацеплению, знак (+) – к внут- реннему. Bыводы: 1. При эвольвентном зацеплении изменение межосевого рассто- яния не влияет на величину передаточного отношения вследствие неизменности радиусов основных окружностей. При изменении ме- жосевого расстояния изменятся лишь радиусы rw и угловые зацепле- ния αω. 2. При эвольвентном зацеплении передаточное отношение со- гласно основной теории имеет постоянную величину. 3. При внешнем зацеплении эвольвентные профили являются сопряжёнными только в пределах отрезка АВ линии зацепления. Линией зацепления АВ называется геометрическое место точек соприкасания профилей боковых поверхностей зубьев колёс, принад- лежащее неподвижному пространству. Точки M1 и M2 – сопряжённые. Точки, касающиеся друг друга на линии зацепления, называют- ся сопряжёнными. Точки А и В – теоретические границы зацепления, за этими точ- ками зацепления допускать нельзя, так как может наступить заклини- вание передачи. Способы нарезания зубчатых колёс Применяются два основных способа нарезания зубчатых колёс: копирование и обкатка (огибание). По способу копирования специальной дисковой или пальцевой фрезой прорезают впадины, вследствие чего впадина соответствует очертаниям инструмента (рис. 1). Недостатки: метод малопроизво- дителен, низкая точность нарезания колёс, сложный инструмент, необходима большая номенклатура инструмента. Если режущий инструмент выполнить в виде зубчатой рейки, то методом обката можно нарезать зубчатое колесо с эвольвентным профилем зубьев (рис. 2). Рис. 1. Дисковая фреза Рис. 2. Зубчатая рейка На рис. 3 изображён контур зубьев рейки, который называется исходным, так как он служит основой для определения форм и распо- ложения режущих кромок. Рис. 3. Зубчатая рейка: а – контур рейки; б – элемент формы зуба Профиль зуба режущего инструмента отличается от исходного профиля тем, что высота головки увеличена на c*m, то есть на вели- чину радиального зазора, так как головка зуба рейки вырезает ножку зуба в заготовке. Этот контур называют производящим. Прямая С – С, проходящая по середине общей высоты зуба, называется средней прямой (иногда делительной). Нулевые, положительные и отрицательные зубчатые колёса и передачи Возможны три варианта расположения средней линии С – С ин- струментальной рейки относительно делительной окружности колеса: 1. Средняя прямая производительного контура С – С касается делительной окружности заготовки (рис. 4, а). Средняя линия катится без скольжения по делительной окруж- ности, равной ширине впадины рейки по средней линии. Это колесо называется колесом с равно делённым шагом. 2. Средняя линия С – С смещена (поднята) на величину xm, где x – коэффициент смещения (рис. 4, б). По делительной окружности катится без скольжения начальная окружность Н – Н, отстоящая от средней прямой линии на xm. Тол- щина зуба по делительной окружности оказывается больше ширины впадины, что соответствует увеличению ширины впадины произво- дящего контура начальной прямой Н – Н. Из рис. 4 следует: S = 0,5πm + 2 xmtgα. Коэффициент смещения x в этом случае считается положитель- ным. При положительном смещении увеличивается толщина зуба у основания, что повышает изгибную прочность зуба. Возрастают диа- метры вершин и впадин, профиль зуба переходит на участок эволь- венты, более удалённый от основной окружности. В результате ради- усы кривизны эвольвенты становятся больше и увеличивается кон- тактная прочность зуба. Одновременно уменьшается толщина зуба по окружности вершин, что может привести к излому вершины зуба, снижается коэффициент торцевого перекрытия. Рис. 4. Расположения средней линии C – C инструментальной рейки 3. Средняя прямая С – С смещена к центру на величину xm, при- чем коэффициент смещения x считается отрицательным (рис. 4, в). Толщина зуба по делительной окружности вследствие того, что x < 0, оказывается меньше, чем у колеса с равно делённым шагом. Зубчатые колёса, нарезанные со сдвигом рейки, называют ис- правленными колёсами: колёса, нарезанные с положительным сдви- гом, – положительными; с отрицательным сдвигом – отрицательны- ми; нарезаемые без сдвига – нулевыми колёсами. Для того чтобы отнести к какой-то из этих групп зубчатое коле- со, надо определить толщину его зубьев s по делительной окружности. В зависимости от смещений каждого колеса можно получить три типа передач, отличающихся расположением начальных и дели- тельных окружностей. Первый тип (рис. 5, а). Эти окружности совпадают, если пере- дачи удовлетворяют условию x1 + x2 = 0, передача называется нулевой, то есть передачи, составленные из колёс без смещения, и передачи, в которых отрицательное смещение одного колеса равно по абсолют- ной величине положительному смещению другого колеса (равносме- щённые). Межосевое расстояние в этих передачах a = 0,5m(z1 – z2) называ- ется делительным межосевым расстоянием, а угол зацепления α равен углу профиля производящего контура. Второй тип (рис. 5, б). В передачах, у которых по делительным окружностям толщина зуба одного колеса больше ширины впадины другого, для зацепления без бокового зазора межцентровое расстоя- ние аw должно быть больше а. Соответственно увеличивается и угол αw. Третий тип (рис. 5, в). Аналогично для передач, у которых по делительной окружности толщина зубьев одного из колёс меньше впадины другого, имеем aw < a. Эти передачи получаются при x1 + x2 < 0. Рис. 5. Типы передач Понятие о блокирующем контуре При проектировании зубчатой передачи необходимо решить не- сколько задач: • выбрать тип зубчатого механизма, его передаточное отношение и числа зубьев колес; • провести проектный прочностной расчет механизма и опреде- лить величину межосевого расстояния или модуль зубчатых колес (модуль зубчатых колес округляется до ближайшей величины из стандартного ряда модулей); • провести геометрический расчет зубчатой передачи для вы- бранных коэффициентов смещения исходного контура, которые обес- печивают исключение подрезания, срезания и заострения зубьев ко- лес и благоприятное или оптимальное сочетание качественных пока- зателей зубчатой передачи. Для эвольвентных зубчатых передач область сочетаний коэф- фициентов смещений зубчатых колес x1 и x2, удовлетворяющих огра- ничениям по срезанию в станочном зацеплении, заострению, закли- ниванию в зацеплении эвольвент и на переходных кривых, по допу- стимым минимальным или максимальным значениям качественных показателей, называют блокирующим контуром (рис. 6). Границы блокирующего контура отсекают те значения коэффициентов смеще- ния, которые недопустимы по указанным условиям. Значения, распо- ложенные внутри контура, допустимы, но каждой паре коэффициен- тов смещения соответствует свое сочетание качественных показате- лей. Для выбора коэффициентов смещения на блокирующий контур наносятся изолинии качественных показателей, с использованием ко- торых внутри контура выбираются коэффициенты смещения с опти- мальным сочетанием качественных показателей. В настоящее время с помощью компьютеров появляется возможность геометрического синтеза оптимальных зубчатых передач без предварительного по- строения блокирующего контура. Рис. 6. Образец блокирующего контура для z1 = 17 и z2 = 22, m = 10 при втором ведущем колесе Линии блокирующего контура являются безусловными грани- цами, вне которых передача существовать не может (штриховка на линиях контура выделяет область недопустимых значений граничных линий). Внутри контура могут быть нанесены линии условных гра- ниц, соответствующие определённым значениям качественных пока- зателей зацепления: δ – δ – линия, определяющая равную прочность зуба на износ при втором ведущем колесе; εα = 1,2 – рекомендуемое значение коэффициента перекрытия. Геометрический расчёт эвольвентных зубчатых передач при заданных смещениях x1 и x2 Для вычисления aw и αw определяют сначала толщину зуба по начальной окружности. Из рис. 7 с учётом уравнения эвольвенты θ = invα: sw = rw (s/r +2 invα – invαw), подставив значение толщины зу- ба по делительной окружности s = 0,5πm + 2xmtgα и учитывая, что r = mz/2 и rw = pw z/2π, где pw – шаг по начальной окружности, получим sw = pw/π [π/2 + 2xtgα + z(invα – invαw)]. Инвалюту угла можно определить по формуле invαw = invα + [2(x1 + x2)tgα]/(z1 + z2). Полученное значение нужно округлить до четвёртого знака и по табл. 1 определить угол αw. Таблица 1 Определение угла αw Угол Минуты Град 0' 10' 20' 30' 40' 50' 24 0,0264 0,0269 0,0275 0,0281 0,0287 0,0293 25 0,0300 0,0306 0,0313 0,0319 0,0326 0,0333 26 0,0339 0,0346 0,0354 0,0361 0,0368 0,0375 Радиусы начальных окружностей: rw1 = rb1/cosαw; rw2 = rb2/cosαw. Радиусы впадин rf1: rf1 = 0,5πz1 – (h*a + c* – x1)m; rf2 = 0,5πz2 – (h*a + c* – x2)m, где h*a = 1; c* = 0,25. Радиусы вершин: ra1 = aw – rf1 – c*m; ra2 = aw – rf2 – c*m. Рис. 7. Определение геометрии зубчатого колеса Выбор коэффициентов смещения для зубчатых колёс прямозубой передачи Условия работы различных зубчатых передач весьма разнооб- разны, а поэтому различны и требования, предъявляемые к ним. Так, если зубчатые колёса работают при обильной смазке (например, оку- нание в жидкое масло), то при малой и средней твёрдости рабочих поверхностей зубьев для них наиболее опасны контактные напряже- ния, а при большой твердости – поломка зубьев. Если смазка колёс не слишком обильная и на зубья могут попасть абразивные частицы, то опасен износ зубьев. Более подробно виды и условия разрушения зубьев колес рассматриваются в курсе деталей машин и специальной литературе по зубчатым передачам. Поскольку качественные показатели зацепления зависят от ко- эффициентов смещения исходной рейки x1 и x2, удовлетворить тем или иным требованиям к зубчатым передачам можно, в частности, за счет соответствующего выбора этих коэффициентов. Весьма часто к зубчатой передаче предъявляется одно из следу- ющих требований: • получение наибольшей контактной прочности зубьев, которая обеспечивается при возможно большем угле зацепления передачи, т.е. при наибольшем коэффициенте суммы смещений; другие способы увеличения контактной прочности здесь не рассматриваются; • получение наибольшей изломной прочности зубьев, которая до- стигается применением возможно больших смещений рейки, однако при условии равной прочности зубьев обоих колёс передачи (если у од- ного из колес зубья будут прочнее, чем у другого, то допустимая нагрузка на зубья будет определяться прочностью более слабых зубьев); • получение наибольшей износостойкости или сопротивляемо- сти заеданию, которые достигаются применением возможно больших смещений рейки с одновременным выравниванием наибольших зна- чений удельных скольжений на ножках зубьев шестерни и колеса: (Vр1 = Vр2); • повышение плавности работы передачи, обеспечиваемое уве- личением торцевого перекрытия за счет возможно меньших смеще- ний рейки вплоть до отрицательных. Смещения могут назначаться также на основе некоторых гео- метрических требований, предъявляемых к зацеплению, например, при ''вписывании'' зацепления в заданное межосевое расстояние, не кратное половине стандартного значения модуля. Следует иметь в виду, что невозможно выбрать такие коэффи- циенты смещения, чтобы все показатели зацепления получили опти- мальные значения. Обычно улучшение одного показателя не приво- дит к желаемому улучшению другого, а иногда и ухудшает его. По- этому вопрос об улучшении (коррекции) зацепления посредством назначения соответствующих коэффициентов смещения довольно сложен и противоречив. Он усложняется ещё тем, что при неудачном выборе x1 и x2 можно получить вообще неработоспособное зацепление в виду уменьшения коэффициента торцевого перекрытия до величи- ны  < 1, либо из-за заклинивания передачи, т.е. упора головки зуба одного из колес в неэвольвентную часть ножки зуба другого колеса. Выбор наивыгоднейших коэффициентов смещения весьма упрощается при использовании блокирующих контуров зубчатых пе- редач. При выборе коэффициентов смещения по блокирующим конту- рам обеспечивается условие правильности зацепления колес, т.е. ко- эффициент торцевого перекрытия остается большим единицы, отсут- ствует подрезание и срезание зубьев, не происходит заклинивания пе- редачи, интерференции зубьев, когда часть пространства оказывается одновременно занятой двумя взаимодействующими зубьями. Каждой точке, взятой внутри блокирующего контура, соответ- ствует некоторая работоспособная передача, изготовленная со сме- щениями исходной рейки x1 и x2. Если провести любую прямую ли- нию, образующую с осями координат углы 45, то уравнением этой прямой будет x1 + x2 = x = const. При x = const имеем w = const, т.е. точки такой линии опре- деляют все передачи с одинаковым углом зацепления. Если прямая проходит через начало координат, то x = 0 и w = 20; если выше начала координат, то x > 0 и w > 20, если ниже, то x < 0 и w < 20. Внутри блокирующего контура могут быть нанесены линии, характе- ризующие качество зацепления. Так, на контуре, данном на рис. 33, показаны следующие линии: • линия коэффициента торцевого перекрытия  = 1, 2, ограни- чивающая для большинства силовых передач зону выбора коэффици- ентов смещений, так как передачи с  < 1,2 использовать не реко- мендуется; • линия одинаковых удельных скольжений Vр1 = Vр2 в нижних точках активных профилей зубьев шестерни и колеса; • линии, характеризующие равнопрочность зубьев шестерни и колеса при ведущей шестерне (линия a – a) и при ведущем колесе (линия б – б). Идея использования блокирующих контуров, их разработка и внедрение в инженерную практику являются заслугой российских учёных и специалистов. При отсутствии нужного блокирующего контура можно исполь- зовать ближайший с меньшими числами зубьев. Коэффициенты смещения с помощью блокирующих контуров выбираются следующим образом: 4. Получение наибольшей контактной прочности зубчатой пе- редачи (НК). Проводим в зоне положительных значений коэффициен- тов x1 и x2 касательную к линии  = 1,2 под углом 45 к осям коорди- нат. Координаты точки касания определяют наивыгоднейшие коэф- фициенты смещения при данном требовании, так как получим макси- мально возможное значение x. 5. Получение наибольшей прочности передачи по излому зубьев (НИ). Находим верхнюю точку пересечения линии  = 1,2 блокиру- ющего контура с линией a – a, если ведущей является шестерня, и с линией δ – δ, если ведущим является колесо. Координаты точки пере- сечения определяют наивыгоднейшие коэффициенты смещения при данном требовании, так как получим максимально возможное значе- ние x при равенстве прочности зубьев обоих колёс. 6. Получение наибольшей износостойкости или сопротивляемо- сти заеданию зубьев (НЗ). Наивыгоднейшие коэффициенты смещения определяются верхней точкой пересечения линии vр1 = vр2 с линией  = 1,2 блокирующего контура. 7. Получение наибольшего коэффициента торцевого перекры- тия (НР). При этом требовании коэффициенты смещения определят- ся точкой, выбираемой в нижнем левом углу блокирующего контура. Часто требуется улучшить зацепление в том или ином отношении без изменения межосевого расстояния и угла зацепления передачи. Такая задача решается с помощью применения передачи, у которой коэф- фициент суммы смещений x = 0. 8. Повышение контактной прочности передачи (РК). У переда- чи с коэффициентом x = 0 угол зацепления равен 20, поэтому коэф- фициент повышения контактной прочности φк = tgαw /tgα = 1, однако при этом все же можно увеличить контактную прочность передачи и притом весьма значительно (на 30…50 %). Не рассматривая вопрос подробно, укажем, что этот эффект может быть достигнут тогда, ко- гда полюс зацепления попадает в зону двупарного зацепления. Для выбора коэффициента смещения нужно провести через начало коор- динат блокирующего контура прямую под углом 45 к осям коорди- нат, соответствующую значению x = 0. Затем взять на этой прямой какую-либо точку, лежащую правее линии д – д. Координаты точки и будут искомыми коэффициентами смещения, необходимыми для по- лучения передачи с полюсом зацепления, который помещён в зону двупарного зацепления. 9. Повышение износостойкости передачи (РЗ). В этом случае коэффициенты смещения определяются точкой пересечения линии x = 0 с линией одинаковых удельных скольжений Vр1 = Vр2 в нижних точках активных профилей зубьев. 10. Повышение изгибной прочности передачи (РИ). Коэффициенты смещения определяются точкой пересечения линии x = 0 с лини- ей а – а, если ведущей является шестерня, и с линией δ – δ, если ведущим является колесо. Расчет геометрических параметров цилиндрической эвольвентной передачи внешнего зацепления Рассмотрим методику расчёта на примере зубчатой передачи наибольшей прочности по излому зубьев (НИ), z1 = 17, z2 = 22, модуль m = 10 мм. Ведущее колесо 2 . Как было указано выше, параметры исходной производящей рейки (по ГОСТ 13755-68): угол профиля  = 20; коэффициент высо- ты головки ha = 1; коэффициент радиального зазора с = 0,25. В соответствии с прочностными требованиями по блокирующе- му контуру для чисел зубьев 17 и 22 определяем коэффициенты сме- щения, как координаты точки пересечения линии  = 1,2 с линией δ – δ, так как ведущим является колесо, x1 = 0,42, x2 = 0,74 . Все расчеты геометрических параметров необходимо выпол- нять тщательно, при проверках добиваться совпадения результатов с точностью до двух десятичных знаков. 11. Коэффициент суммы смещения x = x1 + x2 = 0,42 + 0,74 = 1,16, где x1 и x2 величины алгебраические. 12. Угол зацепления ln V  2x tg  inv  2 1,16  0,3640  0,01490  0,03655. w  Z 17  22 По эвольвентной функции (см. табл. 1) определяем w = 2637'. Расчет величины inv w необходимо делать с точностью до ше- стого десятичного знака и округлять до пятого знака. Угол зацепле- ния определяется с точностью до одной минуты. 13. Межосевое расстояние aw= ((z1 + z2)m/2)(cosα/cosαw) = ((17+22)10/2)(0,9397/0,8941) = 204,95 мм. Значение косинусов и их отношение определяется с точностью до четырех десятичных знаков, aw и последующие линейные величи- ны вычисляются (мм) с точностью до второго десятичного знака. 14. Делительное межосевое расстояние a = (z1 + z2)m/2 = (17 + 22)10/2 = 195 мм. 15. Делительные радиусы: r1 = z1 m/2 = 17·10/2 = 85 мм; r2 = z2 m/2 = 22·10/2 = 110 мм. 16. Основные радиусы: rв1 = r1cos = 85 · 0,9397 = 79,87 мм; rв2 = r2cos = 110 · 0,9397 = 103,37 мм. 17. Передаточное число u = z2 /z1 = 22/17 = 1,29. 18. Начальные радиусы: rW 1  aW u  1  204,95  89,50 мм; 1,29  1 rW 2  aW u u  1  204,951,29  115,45 1,29  1 мм. Проверяем aw = rw1 + rw2 = 89,50 + 115,45 = 204,95 мм. 19. Коэффициент воспринимаемого смещения – отношение вос- принимаемого смещения к модулю y  aW  a  204,95 195  0,995 . m 10 Значение у подсчитывается с точностью до трех знаков. Проверяем aW = a + ym = 195 + 0,995·10 = 204,95 мм. 20. Коэффициент уравнительного смещения у = х – у = 1,16 – 0,995 = 0,165. 21. Радиусы вершин зубьев: ra1 = r1 + (ha +x1 – у)m = 85 + (1 + 0,42 – 0,165)10 = 97,55 мм; ra2 = r2 + (ha*+ x2 – у)m = 110 + (1 + 0,74 – 0,165)10 = 125,75 мм. 22. Радиусы впадин: rf1 = r1 – (ha*+c* – x1)m = 85 – (1 + 0,25 – 0,42)10 = 76,70 мм; rf2 = r2 – (ha*+c* – x2)m = 110 – (1 + 0,25 – 0,74)10 = 104,90 мм. 23. Высоты зубьев: h1  ra1  rf 1  97 ,55  76 ,70  20 ,85 мм; h2  ra 2  rf 2  125 ,75 104 ,90  20 ,85 Проверяем h1 = h2 = 20,85 мм. 24. Толщина зубьев: мм. s1 = (π/2 + 2x1tgα)m = (3,1415/2 + 2 · 0,42 · 0,3640)10 = 18,77 мм; s2 = (π/2 + 2x2tgα)m = (3,1415/2 + 2 · 0,74 · 0,3640)10 = 21,09 мм. 25. Шаг зубьев p = m = 3,1415 · 10 = 31,42 мм. 26. Шаг зацепления pw = pв = mcos = 3,1415 · 10 · 0,9390 = 29,50 мм. Расчет некоторых геометрических и кинематических показателей, определяющих качество зацепления Нагрузочная способность и долговечность зубчатой передачи определяется материалом и технологией изготовления зубчатых ко- лес, а также показателями, определяющими качество зацепления. К числу основных качественных показателей относятся следу- ющие. Коэффициент повышения контактной прочности показывает приблизительно (теоретически), во сколько раз контактная прочность передачи, имеющей угол зацепления αW, выше по сравнению с пере- дачей, у которой αw = 20 при прочих равных параметрах (модулях, числах зубьев колес и др.). Смысл этого показателя становится яснее, если вспомнить, что с увеличением угла зацепления возрастают ради- усы кривизны рабочих поверхностей зубьев, а следовательно, и допу- стимая нагрузка на зубья. Для нашего примера φк = tgαw/tgα = = 0,5012/0,3640 = 1,38. Коэффициент торцевого перекрытия  – отношение угла тор- цевого перекрытия  зубчатого колеса цилиндрической передачи к его угловому шагу  = 360/z. Этот коэффициент характеризует плав- ность работы зацепления. С уменьшением  (особенно до величины, меньшей 1,2) возрастают колебания угловых скоростей зубчатых ко- лес, а следовательно, и дополнительные динамические нагрузки. По- этому коэффициент торцевого перекрытия косвенно влияет на нагру- зочную способность передачи. Уменьшение его до  < 1,2 нежела- тельно, хотя передача будет работать при предельном значении  = 1. Коэффициент торцевого перекрытия может быть определен по фор- муле εα = (z1tgαa1 + z1tgαa2 – (z1 + z2)tgαw )/2π. Значения углов а1 и а2 определяются соответственно тригоно- метрическими функциями: cosαa1 = rb1/ra1 и cosαa2 = rb2/ra2. Для рассматриваемого примера: cosαa1 = rb1/ra1 = 79,87/97,55 = 0,8187, тогда а1 = 3503' и tgа1 = 0,7015; cosαa2 = rb2/ra2 = 103,37/125,75 = 0,8220, тогда а2 = 3442' и tgа2 = 0,6924; отсюда εα = 1,21. Если значение εα значительно отличается от величины, принятой при выборе x1 и x2 по блокирующему контуру (более чем на 0,01), то допущена ошибка в расчётах или при определении коэффициентов смещений; её необходимо устранить. Удельное скольжение в контактной точке профиля зуба – от- ношение скорости скольжения контактных точек к скорости общей точки по профилю зуба данного зубчатого колеса в направлении скольжения. От его значения зависит износостойкость зубьев и стой- кость их против заедания, которые возрастают по мере уменьшения удельного скольжения. Удельное скольжение переменно вдоль про- филя зуба и достигает максимума в одной из крайних точек активного профиля зуба. В полюсе зацепления оно равно нулю. Наибольших значений удельные скольжения достигают обычно на ножках зубьев (в нижних точках активных профилей). Для рассматриваемой передачи они равны: у шестерни vp1 = [(tgαa2 – tgαw)(u +1)] / [tgαw – u(tgαa2 – tgαw)] = –2,76; у колеса vp2 = [(tgαa1 – tgαw)(u +1)] / [utgαw – (tgαa1 – tgαw)] = –1,28. Наибольшее значение удельных скольжений на головках зубьев (в верхних точках активных профилей): у шестерни vh1 = [(tgαa1 – tgαw)(u +1)] / utgαa1 = 0,51; у колеса vh2 = [(tgαa2 – tgαw)(u +1)] / utgαa2 = 0,63. Коэффициент формы зуба Y характеризует соотношение высо- ты зуба и его толщины у основания. От величины Y зависит проч- ность зуба на излом. Чем больше Y, тем большую нагрузку может вы- держать зуб. Формулы для вычисления коэффициента формы зуба довольно сложны и поэтому здесь не приводятся. Построение внешнего эвольвентного зацепления двух сопряжённых колёс Подсчитав все основные размеры зубчатых колёс по формулам, приступают к изображению элементов зубчатого зацепления. Построение выполняется посредине листа формата А2 в мас- штабе 1:1 или 2:1 в указанной последовательности: 1. Проводят линию центров зубчатых колес, на которой отклады- вают в выбранном масштабе межосевое расстояние aW = O1O2 (рис. 1). 2. Из центров O1 и О2 проводят окружности: начальные – радиу- сами r w1 и rw2, касающиеся в полосе зацепления точки Р; делительные – r1 и r2, основные – rв1 и rв2, вершин – ra1 и ra2, впадин – rf1 и rf2. Во избежание дальнейших ошибок следует проверить расстоя- ние между окружностями вершин одного колеса и впадин другого, измеренное по осевой линии, т.е. величину радиального зазора, кото- рая должна быть равна с*m. Рис. 1. Начало построения зацепления двух колёс 3. Провести через полюс зацепления Р линию зацепления N1 – N2, касательную к основным окружностям в точках N1 и N2 так, чтобы она была наклонена навстречу вращению ведущего колеса. Показать угол зацепления w с помощью линии зацепления и перпендикуляра к О1О2, проведённым через полюс зацепления Р. Прямые N1О1 и N2O2 перпендикулярны к линии зацепления и образуют с линией центров О1О2 также угол, равный w. 4. Построить эвольвенты колёс, касающиеся в полюсе зацепления Р и ограниченные основными окружностями – начала эвольвенты и окружностями вершин – конца эвольвентных профилей зубьев (рис. 2). Эвольвенту первого колеса, которую описывает точка Р прямой NР при перекатывании последней без скольжения по основной окружности, строим в следующем порядке: а) отрезок N1Р делят на произвольное число равных частей а. При этом, чем меньше выбранная длина отрезков, тем точнее она бу- дет совпадать с длиной дуги. Рекомен- дуется отрезок N1Р разделить на три равные части. Обозначим точку N1 циф- рой 3; б) на основной окружности от точки N1 вправо размечают длиной от- резка а дуги 3-2, 2-1,1-0. Такие же от- резки откладываем влево от точки N1 (точки 3) и соответственно получаем точки 4, 5, 6 и т.д. В эти точки проводят радиус rb и перпендикулярно этим ра- диусам – касательные к основной окружности; в) отрезок длиной 2а откладываем на касательной от точки 2, от точки 1 – отрезок 1а. Для получения эвольвенты до пересечения ее с окружностью вершин rb откладываем отрезки а на касательных к основной окружности в другую сторону от точки N1; на касательной от точки 4 – отрезок длиной 4а, от точки 5 – 5а и т.д. Полученные точки 0, 1', 2', 3', 4' и 5' соединяем плавной кривой – эвольвентой. Эвольвента зуба второго зубчатого колеса строится аналогично. 5. Вычертить упрощенно профиль ножки у основания зуба. При нарезании на станке переходная кривая зуба получается автоматиче- ски и зависит от способа нарезания. Построение производят следую- щим образом: 5.1. Если радиус впадин зубчатого колеса больше или равен ос- новному радиусу rf  rв, то эвольвенту и дугу окружности впадин со- прягают радиусом и = 0,38m (рис. 3, а). 5.2. Если rf  rв, то от начала эвольвенты до окружности впадин проводят радиальный отрезок, который сопрягают с окружностью впадин радиусом и = 0,38m (рис. 3, б). а б Рис. 3. Построение профиля ножки зуба: а – rf  rв; б – rf  rв 6. Определить положение оси симметрии зуба. Для этого на рас- стоянии h1, определенном по формуле, от линии центров О1О2 влево проводят параллельную прямую, и точку пересечения ее с окружно- стью вершин соединяют прямой с центром О1 (рис. 4). Эта прямая образует с линией центров О1О2 угол 1 и является осью симметрии сопряженного зуба шестерни. Для построения левого профиля зуба воспользуемся шаблоном половины зуба, вырезанным из плотной бу- маги. Ось симметрии первого зуба может быть также определена, ес- ли отложить по делительной окружности половину толщины зуба, равную 0,5S. Рис. 4. Построение шаблона половины зуба 7. Построить профиль соседнего зуба. Для этого сначала нужно определить его ось симметрии. На расстоянии h1 от линии центров О1О2 проводят параллельную прямую до пересечения с окружностью вершин. Точку пересечения соединяют прямой линией с центром О1. Эта прямая и есть ось симметрии второго зуба. Используя шаблон по- ловины зуба, строят профиль второго зуба колеса. Два зуба второго колеса строят аналогично. Так как зацепление вычерчивают без боко- вого зазора, то профили зубьев колес должны касаться в точках на линии зацепления N1N2 и обратной ей – N1' N2'. 8. Обозначить АВ активную линию зацепления зубчатой переда- чи, в пределах которой контактируют профили зубьев. Отрезок АВ – часть линии зацепления N1N2, заключенная между точками пересече- ния ее с окружностями вершин колес. 9. Найти активные участки профилей зубьев А1В1 и А2В2, участ- вующие в зацеплении. Для этого точку А линии зацепления следует перенести радиусом О1А на эвольвенту первого колеса, а точку В ра- диусом О2В – на эвольвенту второго колеса. Участки А1В1 и А2В2 бу- дут активными профилями, которые следует выделить заштрихован- ной полоской шириной 1,5…2 мм (рис. 5). В процессе зацепления зубья касаются друг друга различными точками профиля. Так как эти точки лежат на нормали к профилям, которая одновременно является касательной к обеим основным окружностям, то совокупность точек касания (линия Л.З.) совпадает с общей для обеих основных окружностей касательной. Эта линия называется теоретической линией зацепления, а расстояние Pb явля- ется её активной частью, где располагаются все точки контакта зубь- ев. Угол αw, измеряемый между нормалью Л.З. к профилям в полюсе зацепления Рw и общей касательной к обеим начальным окружностям, называется углом зацепления. Для обеспечения непрерывистого зацепления должно выпол- няться следующее условие: если 1-я пара выходит из зацепления, то 2-я пара должна войти в зацепление или немножко раньше. Рис. 5. Общий вид эвольвентного зубчатого зацепления Кулачковые механизмы: Кулачковым называется трехзвенный механизм с высшей кинематической парой, входное звено которого называется кулачком, а выходное - толкателем (или коромыслом). Часто для замены в высшей паре трения скольжения трением качения и уменьшения износа, как кулачка, так и толкателя, в схему механизма включают дополнительное звено - ролик и вращательную кинематическую пару. Подвижность в этой кинематической паре не изменяет передаточных функций механизма и является местной подвижностью. Назначение и область применения: Кулачковые механизмы предназначены для преобразования вращательного или поступательного движения кулачка в возвратно-вращательное или возвратно-поступательное движение толкателя. При этом в механизме с двумя подвижными звеньями можно реализовать преобразование движения по сложному закону. Важным преимуществом кулачковых механизмов является возможность обеспечения точных выстоев выходного звена. Это преимущество определило их широкое применение в простейших устройствах цикловой автоматики и в механических счетно-решающих устройствах (арифмометры, календарные механизмы). Кулачковые механизмы можно разделить на две группы. Механизмы первой обеспечивают перемещение толкателя по заданному закону движения. Механизмы второй группы обеспечивают только заданное максимальное перемещение выходного звена - ход толкателя. При этом закон, по которому осуществляется это перемещение, выбирается из набора типовых законов движения в зависимости от условий эксплуатации и технологии изготовления. Классификация кулачковых механизмов: Кулачковые механизмы классифицируются по следующим признакам: 1. по расположению звеньев в пространстве • пространственные • плоские 2. по движению кулачка • вращательное • поступательное • винтовое 3. по движению выходного звена • возвратно-поступательное ( с толкателем) • возвратно-вращательное ( с коромыслом) 4. по наличию ролика • с роликом • без ролика 5. по виду кулачка • дисковый (плоский) • цилиндрический • коноид (сложный пространственный) 6. по форме рабочей поверхности выходного звена • плоская • заостренная • цилиндрическая • сферическая • эвольвентная 7. по способу замыкания элементов высшей пары • силовое • геометрическое При силовом замыкании удаление толкателя осуществляется воздействием контактной поверхности кулачка на толкатель (ведущее звено - кулачок, ведомое - толкатель). Движение толкателя при сближении осуществляется за счет силы упругости пружины или силы веса толкателя, при этом кулачок не является ведущим звеном. При геометрическом замыкании движение толкателя при удалении осуществляется воздействием наружной рабочей поверхности кулачка на толкатель, при сближении - воздействием внутренней рабочей поверхности кулачка на толкатель. На обеих фазах движения кулачок ведущее звено, толкатель - ведомое. Кулачковый механизм с силовым Кулачковый механизм с замыканием высшей пары геометрическим замыканием высшей пары Рис. 1 Основные параметры кулачкового механизма Большинство кулачковых механизмов относится к цикловым механизмам с периодом цикла равным 2p. В цикле движения толкателя в общем случае можно выделить четыре фазы: удаления, дальнего стояния (или выстоя), сближения и ближнего стояния. В соответствии с этим, углы поворота кулачка или фазовые углы делятся на: угол удаления jy угол дальнего выстоя jдв угол сближения jс угол ближнего выстоя jбв. Сумма трех углов образует угол jраб = dраб , который называется рабочим углом. jраб = dраб = jу + jдв + jс . Кулачок механизма характеризуется двумя профилями: центровым (или теоретическим) и конструктивным. Под конструктивным понимается наружный рабочий профиль кулачка. Теоретическим или центровым называется профиль, который в системе координат кулачка описывает центр ролика (или скругления рабочего профиля толкателя) при движении ролика по конструктивному профилю кулачка. Фазовым называется угол поворота кулачка. Профильным углом di называется угловая координата текущей рабочей точки теоретического профиля, соответствующая текущему фазовому углу ji. В общем случае фазовый угол не равен профильному ji№di. На рис. 2 изображена схема плоского кулачкового механизма с двумя видами выходного звена: внеосным с поступательным движением и качающимся (с возвратно-вращательным движением). На этой схеме указаны основные параметры плоских кулачковых механизмов. Рис. 2 SAi и SВi - текущие значения перемещения центров роликов j40 - начальная угловая координата коромысла j4 - текущее угловое перемещение коромысла hAmax - максимальное перемещение центра ролика r0 - радиус начальной шайбы центрового профиля кулачка r - радиус начальной шайбы конструктивного профиля кулачка rp - радиус ролика (скругления рабочего участка толкателя) Ji - текущее значение угла давления aw - межосевое (межцентровое) расстояние e - внеосность (эксцентриситет) Теоретический профиль кулачка обычно представляется в полярных координатах зависимостью ri = f(di), где ri - радиус-вектор текущей точки теоретического или центрового профиля кулачка. Кинематический анализ кулачкового механизма Кинематический анализ кулачкового механизма может быть проведен любым из описанных выше методов. При исследовании кулачковых механизмов с типовым законом движения выходного звена наиболее часто применяется метод кинематических диаграмм. Для применения этого метода необходимо определить одну из кинематических диаграмм. Так как при кинематическом анализе кулачковый механизм задан, то известна его кинематическая схема и форма конструктивного профиля кулачка. Построение диаграммы перемещений проводится в следующей последовательности (для механизма с внеосным поступательно движущимся толкателем): • строится, касательно к конструктивному профилю кулачка, семейство окружностей с радиусом, равным радиусу ролика; соединяются центры окружностей этого семейства плавной кривой и получается центровой или теоретический профиль кулачка • в полученный центровой профиль вписываются окружности радиусов r0 и r0 +hAmax,определяется величина эксцентриситета е • по величине участков, не совпадающих с дугами окружностей радиусов r0 и r0 +hAmax , определяются фазовые углы jраб , jу ,  jдв и jс • дуга окружности r, соответствующая рабочему фазовому углу, разбивается на несколько дискретных участков; через точки разбиения проводятся касательно к окружности радиуса эксцентриситета прямые линии (эти линии соответствуют положениям оси толкателя в его движении относительно кулачка) • на этих прямых измеряются отрезки расположенные между центровым профилем и окружностью радиуса r0 ; эти отрезки соответствуют перемещениям центра ролика толкателя SВi по полученным перемещениям SВiстроится диаграмма функции положения центра ролика толкателя SВi= f(j1) Рис.3 На рис. 3 показана схема построения функции положения для кулачкового механизма с центральным (е=0) поступательно движущимся роликовым толкателем.   Синтез кулачкового механизма. Этапы синтеза При синтезе кулачкового механизма, как и при синтезе любого механизма, решается ряд задач из которых в курсе ТММ рассматриваются две: выбор структурной схемы и определение основных размеров звеньев механизма (включая профиль кулачка). Первый этап синтеза - структурный. Структурная схема определяет число звеньев механизма; число, вид и подвижность кинематических пар; число избыточных связей и местных подвижностей. При структурном синтезе необходимо обосновать введение в схему механизма каждой избыточной связи и местной подвижности. Определяющими условиями при выборе структурной схемы являются: заданный вид преобразования движения, расположение осей входного и выходного звеньев. Входное движение в механизме преобразуется в выходное, например, вращательное во вращательное, вращательное в поступательное и т.п. Если оси параллельны, то выбирается плоская схема механизма. При пересекающихся или перекрещивающихся осях необходимо использовать пространственную схему. В кинематических механизмах нагрузки малы, поэтому можно использовать толкатели с заостренным наконечником. В силовых механизмах для повышения долговечности и уменьшения износа в схему механизма вводят ролик или увеличивают приведенный радиус кривизны контактирующих поверхностей высшей пары. Второй этап синтеза - метрический. На этом этапе определяются основные размеры звеньев механизма, которые обеспечивают заданный закон преобразования движения в механизме или заданную передаточную функцию. Как отмечалось выше, передаточная функция является чисто геометрической характеристикой механизма, а, следовательно, задача метрического синтеза чисто геометрическая задача, независящая от времени или скоростей. Основные критерии, которыми руководствуется проектировщик, при решении задач метрического синтеза: минимизация габаритов, а , следовательно, и массы; минимизация угла давления в вышей паре; получение технологичной формы профиля кулачка.