О нелинейности математических моделей

Лекция № 4 О НЕЛИНЕЙНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Простота рассмотренных выше моделей во многом связана с их линейностью. В математическом плане это важное понятие означает, что справедлив принцип суперпозиции, т. е. любая линейная комбинация решений (например, их сумма) также является решением задачи. Пользуясь принципом суперпозиции, нетрудно, найдя решение в каком-либо частном случае, построить решение в более общей ситуации. Поэтому о качественных свойствах общего случая можно судить по свойствам частного — различие между двумя решениями носит лишь количественный характер. Например, увеличение в два раза скорости истечения ракетного топлива ведет также к двукратному увеличению скорости ракеты, уменьшение угла падения светового луча на отражающую поверхность означает такое же изменение угла отражения и т. д. Другими словами, в случае линейных моделей отклик объекта на изменение каких-то условий пропорционален величине этого изменения. Для нелинейных явлений, математические модели которых не подчиняются принципу суперпозиции, знание о поведении части объекта еще не гарантирует знания поведения всего объекта, а его отклик на изменение условий может качественно зависеть от величины этого изменения. Так, уменьшение угла падения луча света на границу раздела двух сред приводит к уменьшению угла преломления, но только до определенного предела. Если угол падения становится меньше критического (см. формулу (3) лекция № 2), то происходит качественное изменение — свет перестает проникать через границу раздела во вторую среду, если она менее плотная, чем первая. Тем самым преломление света — пример нелинейного процесса. Большинство реальных процессов и соответствующих им математических моделей нелинейны. Линейные же модели отвечают весьма частным случаям и, как правило, служат лишь первым приближением к реальности. Например, популяционные модели сразу становятся нелинейными, если принять во внимание ограниченность доступных популяции ресурсов. При их выводе считается, что: 1) существует «равновесная» численность популяции Np, которую может обеспечить окружающая среда; 2) скорость изменения численности популяции пропорциональна самой численности, умноженной (в отличие от модели Мальтуса) на величину ее отклонения от равновесного значения, т. е. (1) Член (1 — N/Np) в этом уравнении обеспечивает механизм «насыщения» численности — при N < Np (N > Np) скорость роста положительна (отрицательна) и стремится к нулю, если N → Np. Рис. 1. Логистические кривые, соответствующие различным значениям начальной численности N(0) Представляя уравнение (1) в виде и интегрируя его, получаем Постоянная интегрирования определяется из условия N(t = 0) = N(0), т. е. С = ln ((Np — N(0))-1N(0)). В результате находим или, в окончательном виде, Поведение функции N(t) описывается так называемой логистической кривой (рис. 1). При любом TV(0) численность стремится к равновесному значению Np, причем тем медленней, чем величина N(t) ближе к N(0). Тем самым равновесие, в отличие от случая модели (10), устойчиво. Логистическая модель более реалистично отражает динамику популяции в сравнении с моделью Мальтуса, но сама она с необходимостью становится нелинейной и поэтому более сложной. Заметим, что предположения о механизмах насыщения используются при построении многих моделей в различных областях знаний. Предварительные выводы Процесс построения моделей может быть условно разбит на следующие этапы. 1. Конструирование модели начинается со словесно-смыслового описания объекта или явления. Помимо сведений общего характера о природе объекта и целях его исследования эта стадия может содержать также некоторые предположения (невесомый стержень, толстый слой вещества, прямолинейное распространение световых лучей и т. д.). Данный этап можно назвать формулировкой предмодели. 2. Следующий этап — завершение идеализации объекта. Отбрасываются все факторы и эффекты, которые представляются не самыми существенными для его поведения. Например, при составлении баланса материи (Лекция № 1.б) не учитывался, ввиду его малости, дефект масс, которым сопровождается радиоактивный распад. По возможности идеализирующие предположения записываются в математической форме (подобно условию 𝜆𝐼 ≫ 𝐿𝐼 в Лекции № 1.б), с тем чтобы их справедливость поддавалась количественному контролю. 3. После выполнения первых двух этапов можно переходить к выбору или формулировке закона (вариационного принципа, аналогии и т. п.), которому подчиняется объект, и его записи в математической форме. При необходимости используются дополнительные сведения об объекте, также записываемые математически (например, постоянство величины с для всех траекторий лучей света, вытекающее из геометрии задачи;). Следует иметь в виду, что даже для простых объектов выбор соответствующего закона отнюдь не тривиальная задача. 4. Завершает формулировку модели ее «оснащение». Например, необходимо задать сведения о начальном состоянии объекта (скорость ракеты и ее массу в момент t = 0) или иные его характеристики (величины I, g в Лекция № 1a); 𝛼, 𝜆𝐼 , 𝜆𝐼𝐼 в Лекция № 1.6); 𝛼(t) и 𝛽(t) в Лекция № 3. 3), без знания которых невозможно определить поведение объекта. И, наконец, формулируется цель исследования модели (найти закон преломления света, достичь понимания закономерностей изменения популяции, определить требования к конструкции ракеты, запускающей спутник, и т. д.). 5. Построенная модель изучается всеми доступными исследователю методами, в том числе со взаимной проверкой различных подходов. В отличие от рассматриваемых в Лекция № 1 простейших случаев, большинство моделей не поддаются чисто теоретическому анализу, и поэтому необходимо широко использовать вычислительные методы. Это обстоятельство особенно важно при изучении нелинейных объектов, так как их качественное поведение заранее, как правило, неизвестно. 6. В результате исследования модели не только достигается поставленная цель, но и должна быть установлена всеми возможными способами (сравнением с практикой, сопоставлением с другими подходами) ее адекватность — соответствие объекту и сформулированным предположениям. Неадекватная модель может дать результат, сколь угодно отличающийся от истинного и должна быть либо отброшена, либо соответствующим образом модифицирована.