О математике и измерении

ЛЕКЦИЯ 7 Принцип У. Оккама (1285-1349гг. английский философ, монах-францисканец): «Не нужно множить сущности без необходимости». «Не употребляй сущности без надобности». Антропный принцип, по Картеру (1973г.): «Вселенная (и, следовательно, фундаментальные параметры, от которых она зависит) должна быть такой, чтобы в ней на некотором этапе эволюции допускалось существование наблюдателей».  «Средневековый теолог, смотревший в ночное небо глазами Аристотеля и видевший ангелов, двигающих в гармонии сферы, стал современным космологом, который смотрит в небо глазами Эйнштейна и видит десницу Божью не в ангелах, а в константах природы...» Быть - значит быть несовершенным. Небытие – совершенно. Свет спросил у небытия. Вы, учитель существуете или не существуете. И не получил ответа Вгляделся пристально в его облик. Темное, пустое, целый день смотри на него не увидишь. Слушай его не услышишь. Трогай его не дотронешься. СОВЕРШЕНСТВО воскликнул свет Кто мог бы достичь такого совершенства. Я способен быть или не быть, но не способен абсолютно не быть А небытие как этого достигло? Чжуанцзы. Из книги – Знание странствовало на Севере. Линейность в математике. Линейная функция Линейное уравнение (прямая на плоскости) Линейное уравнение (плоскость в ) Система линейных уравнений (прямая в ) - нелинейные функции , , Линейность в малом в математике. Пусть - произвольная функция. Линейная связь между приращением аргумента и приращением функции : - главная линейная часть приращения. Переходя к пределу получим где - производная Что изучает математика! Множества, изучаемые в математике. Числовые множества: - Натуральные числа - Целые числа - Рациональные числа - Вещественные числа - Комплексные числа: - Кватернионы: где - Октавы …… Другие множества: Функции () Векторы ( ….) Матрицы (,… ) Операторы (,…) Тензоры (….) Спиноры (….) О математике и измерении. «Когда на вопрос, что изучает математика?- отвечают: «множества с заданными в них отношениями», то это вряд ли можно признать ответом. Ведь среди континуума мыслимых множеств с заданными в них отношениями, или структур, реально привлекает математиков очень редкое, дискретное множество, и смысл вопроса как раз и заключается в том, чтобы понять, чем же особенно ценна эта исчезающе-малая часть, вкрапленная в аморфную массу. Точно также, смысл любого математического понятия далеко не содержится в его формальном определении. Не меньше (скорее больше) дает набор основных примеров, являющихся для математика одновременно, и мотивировкой, и содержательным определением, и «смыслом» понятия». И.Р.Шафаревич «Человек может ориентироваться во внешнем мире, опираясь исключительно на свои органы чувств, на зрение, осязание, на опыт манипулирования предметами внешнего мира и на возникающую отсюда интуицию. Однако возможен и другой подход: путем измерения субъективные ощущения превращаются в объективные знаки – числа, которые способны сохраняться неограниченно долго, передаваться другим лицам, не воспринимавшим тех же ощущений, а главное – с которыми можно оперировать и таким образом получать новую информацию о предметах, бывших объектом измерения» Герман Вейль Галилео Галилей: «измерить все, что измеримо, и сделать измеримым все, что таковым еще не является» Линейная алгебра базируется на аксиоматическом методе, согласно которому вводятся первичные, неопределяемые понятия, подчиняющиеся некоторому набору аксиом. В элементарной геометрии первичными понятиями являются точка, прямая и плоскость, а аксиомами являются, например, следующие утверждения: - каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая, которой принадлежат две эти точки (т.е. через две точки проходит прямая, и притом только одна); - в плоскости, определяемой точкой А и прямой L существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей L (т.е. через одну точку можно провести единственную прямую, параллельную данной). Аксиомы – это первичные утверждения, которые считаются верными изначально. Аксиоматический метод позволяет все утверждения теории доказывать (выводить) из аксиом. При этом доказательства утверждений проводятся более строго, но и более формально. В результате линейная алгебра, в отличие от геометрии, становится менее наглядной и более сложной для восприятия. Однако трудности изучения линейной алгебры окупаются возможностью увидеть и установить связи между различными разделами математики. Это приводит к фундаментальным понятиям математики и формирует единство ее логических принципов. Линейность. В физике многие законы выражаются на языке математики в виде линейных конструкций. Почти всякий естественный процесс, и физический в том числе, почти всюду, в малом, линеен. С более общей точки зрения, содержание линейной алгебры состоит в разработке математического языка для выражения одной из самых простых и, одновременно, общих естественнонаучных идей – идеи линейности. Например, эффективность дифференциального исчисления для описания многих физических и механических явлений связана с тем, что малые приращения двух физических величин, зависящих друг от друга, пропорциональны: , где и физические величины, и приращения физических величин, - коэффициент пропорциональности (производная). Квантовая физика XX века резко расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. В результате линейная алгебра превратилась в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных физических законов природы, например, объясняющих таблицу Менделеева, систематику элементарных частиц и даже свойства пространства-времени. В действительности, все сложнее. Окружающий нас мир природы не всегда допускает линейные способы и модели описания природных явлений. Типичным примером нелинейного явления является солитон. Мир полон как линейными, так и нелинейными явлениями и можно утверждать, что: Мир нелинеен и поэтому сложен. Функция. Когда мы говорим о функции, всегда подразумеваем следующую запись: , где Функция – это всегда отображение одного множества в другое множество . Следовательно, задать функцию означает задать отображение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если каждому элементу , принадлежащему множеству , поставлен в соответствие некоторый элемент, принадлежащий множеству , то говорят, что на множестве задана некоторая функция со значениями на множестве . Итак, функциязадана, если множество отображается в множество . В дальнейшем мы будем использовать следующую символическую запись отображения. , или если , то существует . Функция Исторически в математике сложились следующие синонимы понятия функция: Линейная теория – описание явлений с помощью линейных дифференциальных уравнений Нелинейная теория – описание явлений с помощью нелинейных дифференциальных уравнений Различие огромное Линейные - Суммирование решений, полей от различных источников, разлагать сложные на простые (плоские волны), проходить друг через друга интерферируя. Когда амплитуда обычной волны мала, то они линейны, а океанские волны нелинейны. Волна цунами. В открытом океане волны цунами (солитоны) распространяются со скоростью , где  — ускорение свободного падения, а  — глубина океана (так называемое приближение мелкой воды, когда длина волны существенно больше глубины). При средней глубине 4 км скорость распространения получается 200 м/с или 720 км/ч. В открытом океане высота волны редко превышает один метр, а длина волны (расстояние между гребнями) достигает сотен километров, и поэтому волна не опасна для судоходства. При выходе волн на мелководье, вблизи береговой черты, их скорость и длина уменьшаются, а высота увеличивается. У берега высота цунами может достигать нескольких десятков метров. Наиболее высокие волны, до 30—40 метров, образуются у крутых берегов, в клинообразных бухтах и во всех местах, где может произойти фокусировка. Районы побережья с закрытыми бухтами являются менее опасными. Цунами обычно проявляется как серия волн, так как волны длинные, то между приходами волн может проходить более часа. Именно поэтому не стоит возвращаться на берег после ухода очередной волны, а стоит выждать несколько часов. Понятие числа предполагает понятия множества и порядка. Поэтому человек, конечное существо, постигая мир, приобщается к бесконечно полной информации. М.Мамардашвили Апория Зенона «Черепаху догонит только тот Ахилл, который ее догнал» «…законы мира нельзя понимать не помещая в сам мир некое сознательное и чувствующее существо, которое понимает эти законы. Понимание законов мира есть одновременно элемент мира, законы которого понимаются». Звезды. Их количество в видимой Вселенной по порядку величины равно числу Авогадро Массы звезд колеблются от 0,1 до 50 масс Солнца. Эволюция Звезд на заключительной стадии • белые карлики • нейтронные звезды (Пульсары, Квазары • черные дыры радиус 5-10 км Радиус Шварцшильда. Их не наблюдение и наблюдение. Гравитация все удерживает. Нейтронные звезды - радиус 10-20 км. Плотность 100 миллионов тонн в Масса до 2-х масс Солнца. Черная дыра (масса больше 2 масс Солнца Красные гиганты – до сотен миллионов километров Звезды образуют галактики. В галактике сотни миллиардов звезд. Есть Туманности, межзвездная среда, космические лучи, электромагнитные волны Наша галактика Млечный путь. Двояковыпуклая линза – диск. Толщина 1.5 тыс. световых лет Диаметр – 100 тыс св. лет Самый большой объект в мире МЕТАГАЛАКТИКА Возраст 13,6 миллиардов лет Размер 13,6 миллиардов световых лет. Эволюция вселенной Теория Большого взрыва. Расширение и остывание Сингулярность – сверхплотное состояние вещества, крайне малых размеров. СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ Темная Энергия – 70% Темная материя – 25% Наблюдаемая вселенная – 5% БОЛЬШИЕ И МАЛЫЕ ЧИСЛА Микромир Асимметрия между веществом и антивеществом Поколения частиц. Космическое пространство это не пустота, как считалось раньше. Всматриваясь в вакуум мы видим не пустоту а отдельные мерцающие вспышки – флуктуации вакуума. Это нулевое поле вакуума, энергия которого бесконечна. Это иррациональное, т.е. необъяснимое свойство вакуума. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ КОСМОЛОГИИ Четырехмерное пространство-время СТО и ОТО. Геометрия Минковского. Решение Фридмана уравнений ОТО (1925) Открытие Э.Хаббла (1929). Внегалактическая астрономия. Разбегания галактик. Модель расдувающейся поверхности шара Решения Гамова (1948). Предсказание реликтового фонового радиоизлучения около 3 градусов Кельвина. Открыто в 1965 г. Вильсоном и Пензиасом.