Несобственные интегралы 1-го рода. Несобственные интегралы 2-го рода.

ЛЕКЦИЯ 22. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1-ГО РОДА 1. Понятие несобственного интеграла 1–го рода Пусть функция 𝑓(𝑥) определена на бесконечном промежутке [𝑎; +∞) и интегрируема на любом отрезке [𝑎; 𝐴] ⊂ 𝑅. Определение 1. Несобственным интегралом 1–го рода (по бесконечному промежутку интегрирования) называется предел +∞ 𝐴 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 . 𝐴→+∞ 𝑎 𝑎 Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся ; если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимся. Аналогично 𝑎 𝑎 +∞ 𝐴 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 и ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝐴→+∞ 𝐵→−∞ 𝐵 𝐵→−∞ −∞ 𝐵 −∞ где 𝐴 и 𝐵 стремятся к своим пределам независимо друг от друга. Пример 1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. +∞ +∞ +∞ cos𝑥 𝑑𝑥 2 а) ∫ 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥; б) ∫ 𝑑𝑥 ; в) ∫ 𝛼 , 𝑎 > 0. 2 𝑥 −∞ 𝑎 Решение. а) Имеем +∞ 𝐴 ∫ 𝑥𝑒 −𝑥 2 1 1 2 2 2 𝐴 1 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = lim (− 𝑒 −𝑥 ) | = lim (1 − 𝑒 −𝐴 ) = , 𝐴→+∞ 𝐴+∞ 0 2 𝐴→+∞ 2 2 то есть несобственный интеграл сходится. б) Подынтегральная функция чётная, поэтому +∞ +∞ 𝐴 cos𝑥 cos𝑥 𝐴 ∫ 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑑𝑥 = lim ∫ cos 𝑥𝑑𝑥 = lim sin 𝑥 | = lim sin 𝐴. 𝐴→+∞ 𝐴→+∞ 0 𝐴→+∞ 2 2 −∞ Этот предел не существует. Значит, несобственный интеграл расходится. в) Сначала рассмотрим случай, когда 𝛼 ≠ 1. +∞ 𝐴 𝑑𝑥 𝑥 1−𝛼 𝐴 1 −𝛼 ∫ 𝛼 = lim ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = lim | = lim (𝐴1−𝛼 − 𝑎1−𝛼 ) = 𝐴→+∞ 𝐴→+∞ 1 − 𝛼 𝑎 𝑥 1 − 𝛼 𝐴→+∞ 𝑎 𝑎 𝑎1−𝛼 = {(𝛼 − 1) , +∞, если 𝛼 > 1, если 𝛼 < 1. Пусть теперь 𝛼 = 1. Тогда +∞ 𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝐴 ∫ = lim ∫ = lim ln 𝑥 | = lim (ln 𝐴 − ln 𝑎) = +∞. 𝐴→+∞ 𝐴→+∞ 𝑎 𝐴→+∞ 𝑥 𝑥 𝑎 𝑎 Таким образом, при 𝛼 > 1 исходный интеграл сходится и равен 𝛼 1−𝛼 , а при 𝛼 (𝛼−1) ≤ 1 – расходится. Этот интеграл часто применяется при исследовании на сходимость других интегралов и рядов, поэтому его следует запомнить. ЛЕКЦИЯ 23. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2-ГО РОДА 1. Понятие несобственного интеграла 2–го рода Пусть функция 𝑓 определена на промежутке [𝑎; 𝑏) (𝑏 ≠ +∞) и интегрируема на любом отрезке [𝑎; 𝑏 − 𝜀 ], 0 < 𝜀 < 𝑏 − 𝑎. Определение 1. Точку 𝑥 = 𝑏 назовем особой, если в любой её окрестности функция 𝑓 (𝑥) не ограничена, в частности lim 𝑓(𝑥) = ∞. 𝑥→𝑏−0 Определение 2. Несобственным интегралом 2–го рода (от неограни-ченной функции) называется предел 𝑏 𝑏−𝜀 ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. 𝜀→0 𝑎 𝑎 Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся ; если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимся. Если функция 𝑓 (𝑥) имеет бесконечный разрыв в точке 𝑐 отрезка [𝑎; 𝑏 ], то по определению полагают 𝑏 𝑐−𝜀 𝑏 ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥, 𝜀→0 𝑎 𝛿→0 𝑎 𝑐+𝛿 где 𝜀 и 𝛿 стремятся к своим пределам независимо друг от друга. Интеграл сходится, если сходятся оба интеграла в правой части. Пример 1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. 1 4 𝑏 𝑑𝑥 𝑑𝑥 а) ∫ ln 𝑥𝑑𝑥; б) ∫ 2 ; в) ∫ . (𝑏 − 𝑥)𝛼 𝑥 −𝑥−2 1 𝑎 Решение. а) Подынтегральная функция 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 в окрестности точки 𝑥 = 0 не ограничена, поэтому имеем 1 1 1 ∫ ln 𝑥𝑑𝑥 = lim ∫ ln 𝑥𝑑𝑥 = lim (𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 ) | = −1 − lim (𝜀 ln 𝜀 − 𝜀 ) = 𝜀→+0 𝜀→+0 𝜀→+0 𝜀 𝜀 = −1 − lim 𝜀 ln 𝜀 = −1. 𝜀→+0 (То, что предел функции 𝜀 ln 𝜀 при 𝜀 → +0 равен 0, легко показать с помощью правила Лопиталя.) б) Так как 𝑥 2 − 𝑥 − 2 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) и 1 lim = ±∞, 𝑥→2±0 (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) то 𝑥 = 2 −особая точка. Представим интеграл в виде суммы 4 2 4 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ∫ 2 =∫ 2 +∫ 2 . 𝑥 −𝑥−2 𝑥 −𝑥−2 𝑥 −𝑥−2 1 1 2 Оба интеграла расходятся, так как 2−𝜀 𝑑𝑥 1 𝑥+1 2−𝜀 || = − lim | = 𝜀→+0 (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) 3 𝜀→+0 𝑥 − 2 1 1 1 3−𝜀 | − ln 2) = −∞, = − ( lim ln | 3 𝜀→+0 𝜀 𝐼1 = lim ∫ 4 4 𝑑𝑥 1 𝑥+1 || 𝐼2 = lim ∫ = − lim ln | = 𝛿→+0 (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) 3 𝛿→+0 𝑥 − 2 2+𝛿 2+𝛿 1 5 3+𝛿 |) = +∞. = − (ln − lim ln | 3 2 𝛿→+0 𝛿 Следовательно, исходный интеграл расходится. в) Пусть сначала 𝛼 ≠ 1. По определению имеем 𝑏 𝑏−𝜀 𝑑𝑥 𝑑𝑥 1 𝑏−𝜀 ∫ ∫ = lim = lim (𝑏 − 𝑥)1−𝛼 | = 𝛼 𝛼 𝜀→+0 (𝑏 − 𝑥) (𝑏 − 𝑥) 𝑎 𝛼 − 1 𝜀→+0 𝑎 𝑎 (𝑏 − 𝑎)1−𝛼 1 ( lim 𝜀 1−𝛼 − (𝑏 − 𝑎 )1−𝛼 ) = { (1 − 𝛼) , если 𝛼 < 1, = 𝛼 − 1 𝜀→+0 +∞, если 𝛼 > 1. Пусть 𝛼 = 1. Тогда 𝑏 ∫ 𝑎 𝑑𝑥 𝑏−𝜀 = − lim ln|𝑏 − 𝑥| | = +∞. 𝜀→+0 𝑎 𝑏−𝑥 Следовательно, при 𝛼 < 1 исходный интеграл сходится и равен (𝑏−𝑎)1−𝛼 (1−𝛼 ) , а при 𝛼 ≥ 1 − расходится. Этот интеграл часто применяется в признаках сравнения, поэтому его следует запомнить.