Неравенства Маркова и Чебышева

Лекция 4 Неравенства Маркова и Чебышева План 1. Неравенство Маркова 2. Неравенство Чебышева Неравенство Маркова. Теорема. Если случайная величина X принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство M X  P  x  A  A (1.1) Неравенство Чебышева. Теорема. Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева: P X  a     D X   2 , (1.2) где а=М(Х),  >0. Доказательство: Применим неравенство Маркова в форме (1.1) к 2 случайной величине X    X  a  , взяв в качестве положительного числа A   2 . Получим M X  a P X  a   2  . 2   2  2 (1.3) Пример: Вероятность того, что ячейка автоматической камеры хранения будет в течение суток свободна, равна 0,2. На железнодорожном вокзале в автоматической камере хранения 800 ячеек. Оценить вероятность того, что в течение суток число свободных ячеек будет заключено в пределах от 140 до 180. Решение. Определяем математическое ожидание и дисперсию числа свободных ячеек автоматической камеры хранения: М(Х)=np=800*0,2=160; D(X)=npq=800*0,2*0,8=128. Определяем величину наибольшего допустимого по условию задачи отклонения:   140  160  180  160  20. Применяя неравенство Чебышева (1.6), оцениваем искомую вероятность: 128 P X  160  20  1   0,68 400 Литература • Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М: 1995 • Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Руководство к решению задач. М: 1995 Лекция 5 Закон больших чисел 1. Закон больших чисел в форме Чебышева. 2. Закон больших чисел в форме Бернулли. 3. Центральная предельная теорема Ляпунова. Закон больших чисел в форме Чебышева Теорема Чебышева. Если дисперсии n независимых случайных величин X 1 , X 2 , ..., X n ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий a1 , a2 , ..., an , т.е. или  X1  X 2  ...  X n a1  a2  ...  an  lim P     1 n  n n  n  Xi i 1 (1.1) n  ai  i 1 n n n P (1.2) Закон больших чисел в форме Бернулли Теорема Бернулли. Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности p этого события в отдельном испытании: или m  lim P  p     1 n  n  (1.3) m P  p. n n (1.4) Центральная предельная теорема Ляпунова Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Теорема Ляпунова. Если X 1 , X 2 , ..., X n – независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание M ( X i )  a, дисперсия D( X i )   2, абсолютный центральный момент третьего порядка 3 n M X i  ai  mi и  mi i 1 (1.5) lim  0, 3/ 2   n  n 2   i   i 1  то закон распределения суммы Yn  X1  X 2  ...  X n при n неограниченно приближается кnнормальному с n 2 математическим ожиданием  ai и дисперсией   i . i 1 i 1 Литература • Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М: 1995 • Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Руководство к решению задач. М: 1995