Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Приемы интегрирования

Лекция №5 Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Приемы интегрирования ( 2 часа) Свойство, обобщающее 2 последних перечисленных свойства: Используя обобщающее свойство табличные интегралы можно рассматривать с более общих позиций. Например, для интеграла от степенной функции: можно выполнить подстановку x = u(t) и получить более общую формулу: Простейшие примеры вычисления интегралов: Основные методы интегрирования Не существует универсального рецепта, пригодного для интегрирования любой функции. В каких-то случаях достаточно выполнить простые преобразования подынтегрального выражения или же разложить интегрируемую дробь на сумму простых дробей. Например, для интегрирования функции достаточно представить ее в виде и воспользоваться свойством интеграла от разности функций. В более сложных случаях требуется использование иных приемов, характер которых определяется типом интегрируемой функции. При этом на передний план выходит классификация интегралов по различного вида признакам. К наиболее важным методам интегрирования относятся  метод замены переменной (другое название которого – метод подстановки);  метод интегрирования по частям. Конечной целью применения методов интегрирования – за редкими исключениями – является сведение данного интеграла к табличному виду. Замена переменной (метод подстановки) Примеры подстановок: 1) Для интеграла удобно использовать подстановку: и, следовательно: 2) . здесь мы «внесли под знак интеграла» выражение « в знаменателе». 3) 4) 5) Подстановка 6) Интегралы подстановки x = at преобразует и интеграл к табличному виду: приводится к табличному виду с помощью : 7) Соответствующие замены переменных позволяют легко проинтегрировать функции: Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям имеет вид где и - произвольные дифференцируемые функции. Процедура интегрирования по частям состоит из двух этапов. Во-первых, подынтегральную функцию f(x) нужно представить в виде произведения некоторых функций u(x) и : Например, можно положить Во-вторых, чтобы найти и , . , что означает , нужно продифференцировать u(x) и проинтегрировать : Самым сложным этапом метода интегрирования по частям является выбор функций u(x) и , поскольку не существует универсального правила, применимого во всех случаях. Понимание приходит только с опытом. Поэтому на первой стадии ознакомления с методом нужно какой-нибудь выбор и посмотреть – будет ли полученный интеграл проще исходного. Если нет, то сделайте другой выбор, перебирая различные варианты до тех пор, пока не будет найден наилучший. Обычно достаточно решить несколько примеров, чтобы научиться сразу делать правильный выбор. В качестве ориентиров можно использовать следующие простые критерии. (A): Интеграл от должен вычисляться достаточно просто. (B): Производная от u(x) должна быть достаточно простой функцией - желательно, более простой, чем сама функция u(x). Примеры интегрирования по частям: 1) Найти функции Первый вариант . Возможны следующие варианты представления подынтегральной в виде произведения Второй вариант Третий вариант Не удовлетворяет критерию Не удовлетворяет критерию Приемлем (А), так как интеграл от ln x (В), так как производная от отношениях слишком сложный u(x) более сложная, чем u(x) Применяя формулу интегрирования по частям, получаем: 2) Найти во . Представим подынтегральную функцию в виде произведения Рекомендую посмотреть методику решения по адресу: http://mathprofi.ru/integrirovanie_po_chastyam.html всех :