Нечеткие числа

Лекция 4-5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА (4 часа). 1. Определения и операции над нечеткими числами. 2. Операции над нечеткими числами. 3.1. Определения и операции над нечеткими числами Нечетким числом называют нормализованное и выпуклое нечеткое множество , определенное на множестве действительных чисел , для функции принадлежности которого : 1. , нечеткое число нормализовано; 2. , число выпукло. Пример 3.1. Рассмотрим лингвистическую переменную “коэффициент рентабельности ”. Выберем в качестве одного из ее значений нечеткую переменную “высокий коэффициент ”. Базовая переменная для этого нечеткого числа задается отношением . Очевидно, что в данном случае имеем отрезок , . Функцию принадлежности можно представить графически (рис.3.1) или с помощью формулы Рис.3.1. “Высокий коэффициент рентабельности” Нечеткое число будет выпуклым, если его - срезы являются отрезками, т.е. для любых выполняется неравенство . Функция принадлежности выпуклого нечеткого числа приведена на рис.3.2. Рис.3.2. Функция принадлежности нечеткого числа. Заметим, что если числа и выпуклые, то их пересечение тоже будет выпуклым. Пример 3.2. Ниже приведены некоторые наиболее часто применяемые функции принадлежности нечетких чисел. Рис.3.3. Функции принадлежности Функция принадлежности непрерывного треугольного нечеткого числа (когда является отрезком), изображенного на рис.3.3 (справа), равна , - среднее значение нечеткого числа, - величина разброса относительно . Такие симметричные треугольные нечеткие числа удобно обозначать . Если величины разброса от среднего значения различны, тогда вводится следующее обозначение. Аналогично на рис. 3.3 (слева) обозначаются трапециевидные нечеткие числа . Нечеткое число называется: нечетким нулем, если ; положительным числом, если , для ; отрицательным числом, если , для ; Рассмотрим основные операции над нечеткими числами. Используя принцип обобщения, выведем правило выполнения бинарных (двуместных) арифметических операций. Пусть и – нечеткие числа. Для произвольной операции , в соответствии с принципом обобщения, имеем общую формулу . Из нее можно получить следующие частные случаи: Пример 3.3. Пусть заданы два нечеткие числа “около 2” и “меньше 4”: , . Тогда = “меньше, чем около 6”. В случае, когда непрерывные нечеткие числа являются выпуклыми, можно строить бинарные операции, используя - срезы нечетких множеств. Продемонстрируем этот подход для операции сложения двух треугольных нечетких чисел ; . Установим, что . Ясно, что - срез выпуклого нечеткого числа является отрезком и определяется из уравнения , То есть, если , то достаточно решить уравнение, и тем самым определить границы отрезка . Аналогичным образом находим - срезы для нечеткого числа : , и нечеткого числа и : ; Очевидно, что - срезы чисел представляют собой отрезки, для которых справедливо равенство . Это равенство в сочетании с формулой декомпозиции нечеткого числа , позволяют определить искомое выражение для . Пример 3.4. Нечеткие числа: "значительно больше 30, но меньше 60", "скорее приблизительно 20", "точно 25" заданы функциями принадлежности вида ; ; . Произведем операцию сложения этих трех нечетких чисел, используя срезы нечетких чисел: ; ; . В результате операции сложения трех отрезков получаем отрезок . На основании формулы декомпозиции нечеткого множества, определяем нечеткое число , функция принадлежности которого, имеет следующий вид (рис.3.4): Рис.3.4. Функция принадлежности суммы нечетких чисел Установлено, что операции сложения и умножения: - коммутативны: , ; - ассоциативны: , ; - в общем случае не дистрибутивны: . Однако, если нечеткие числа , , только положительные или только отрицательные, то свойство дистрибутивности имеет место. Кроме того, нечеткие числа не имеют противоположных и обратных чисел . Здесь, символами и обозначены нечеткие нуль и нечеткая единица. Этот факт делает невозможным применение метода исключения для решения уравнений, в которых присутствуют нечеткие числа. Операция над нечеткими числами может привести к потере свойства выпуклости и тогда полученный результат не является нечетким числом. Это проблема устранима, если нечеткие числа представлены непрерывными функциями принадлежности. Далее рассматриваются одноместные (унарные) операции на нечетких множествах , также определяемых с помощью принципа обобщения. Если , , , тогда нечеткое множество имеет функцию принадлежности . Приведем примеры унарных операций: 1) Изменение знака нечеткого числа , ; 2) Обращение нечеткого числа , возможно, если оно положительное или отрицательное. Иначе не выпуклое; 3) Абсолютное значение ; 4) Экспонента , ; 5) Умножение на число , . 3.2. Сравнение нечетких чисел В общем, при сравнении двух нечетких чисел и , могут встречаться две ситуации. Первая ситуация - это когда пересечение носителей нечетких чисел пусто, т.е. . Очевидно, что в качестве наибольшего из них выступает то число, которое расположено на оси абсцисс правее, т.е. . Вторая ситуация - когда пересечение носителей нечетких чисел не пусто, т.е. . В этом случае процедура сравнения нечетких чисел и не такая простая, как в первом случае. Здесь появляется необходимость вычисления индекса ранжирования , – называют функцией упорядочения нечеткого числа. Существует достаточно большое число индексов ранжирования. Рассмотрим один из них. Он строится так: - максимальное значение функции принадлежности; , - это срезы нечетких чисел и ; . Если , тогда Пример 3.5. Пусть заданы два нечетких треугольных числа ; , с функциями принадлежности вида . Рассчитаем значение индекса ранжирования , что даст возможность провести сравнение этих нечетких чисел. срезы нечетких чисел и , которые обозначены как , , представляют собой отрезки ; - являются соответственно обратными функциями для возрастающих и убывающих ветвей функций принадлежности. Полагая , получаем, что . Очевидно, что ; . Вычислим . Ясно, что . Тогда . Аналогичным образом определяем, что . Следовательно, ; и . 3.3. Рациональный выбор на основе аддитивной свертки Пусть имеется множество альтернатив и множество критериев . При этом оценка -ой альтернативы по –му критерию представлена нечетким числом , а относительная важность критерия определяется коэффициентом важности , который может быть как нечетким числом, так и обычным четким. Взвешенная оценка -ой альтернативы вычисляется по формуле . То есть такая оценка является результатом линейной комбинации нечетких чисел. Правило выбора лучшей альтернативы определяется следующим выражением: . Выбор альтернативы считают рациональным. Практическое применение этой формулы состоит в следующем: приоритет каждой -ой альтернативы вычисляется путем выбора минимума среди точек пересечения правой ветви соответствующего ей нечеткого числа с ветвями тех нечетких чисел, которые расположены правее (см. далее пример 3.8). Установлено, что если и являются треугольными нечеткими числами, то также будет нечетким треугольным числом. Пример 3.6. Имеются три инвестиционных проекта . Необходимо выбрать лучший проект с учетом следующих пяти критериев : рентабельность; рынки сбыта; объем инвестирования; производственный риск, инвестиционный риск. Предполагается известными коэффициенты важности критериев: ; ; ; ; . Множество чисел задано с помощью матрицы . x1 x2 x3 Согласно вышеприведенной формуле, и основываясь на правилах арифметики нечетких чисел, мы имеем Аналогично определяется и . Нетрудно убедиться в том, что . Пример 3.7. Провести ранжирование следующих четырех треугольных числа: , , , . Применим для этого правило выбора лучшей альтернативы . Прежде, чем приступить к вычислениям, необходимо самостоятельно записать аналитические выражения функций принадлежностей заданных чисел. 1) Рассмотрим 1-ое число . Правая ветвь числа пересекается только с ветвями числа , точнее только с левой ветвью . Точка пересечения определяет . (Убедитесь в этом, построив графики функций) 2) Рассмотрим 2-ое число . На числовой оси нет числа, находящегося правее , поэтому . 3) Рассмотрим 3-е число . Правая ветвь числа пересекается с ветвями чисел и (они справа от ). Точка пересечения и равна 0.7, а точка пересечения и равно 0.9. Поэтому . 4) Рассмотрим 4-ое число . Правая ветвь числа пересекается с ветвями чисел ,, (они справа от ). . Следовательно, . 3.4. Задания для самостоятельной работы Задача 1. Заданы два нечетких числа и . Построить нечеткие числа: ; ; ; ; Н.м. Н.м. Ф.п. н.м. Ф.п. н.м. 1 Около 2 Меньше 4 2 Около 3 Больше 4 3 Приблизительно 2 Приблизительно 4 Задача 2. Заданы симметричные треугольные нечеткие числа , . Построить -срезы нечетких множеств и . Вычислить , используя -срезы. Задача 3. Выбрать банк для размещения денежных средств. Имеются три банка (альтернативы): , , . Критериями оценки банков являются: - процентная ставка; - активы банка; - политика банка. Весовые коэффициенты критериев , , равны соответственно ; ; . Нечеткое отношение задано в табличном виде: Здесь нечеткие числа , , являются симметричными треугольными числами: ; ; . При решении использовать метод аддитивной свертки. Задача 4. Разработаны три стратегии поддержки сбыта продукции (альтернативы): , , . Необходимо выбрать стратегию с учетом таких факторов как: - реклама; - стимулирование продаж; - public relation. Весовые коэффициенты для , , равны соответственно ; ; . Нечеткое отношение задано в табличном виде: Здесь нечеткие числа , , являются симметричными треугольными числами: ; ; . При решении использовать метод аддитивной свертки. Задача 5. Выбрать вариант бюджета рекламы из трех разработанных (альтернативы): , , , учитывая, насколько в них приняты во внимание следующие цели: - оповещение; - убеждение; - напоминание. Весовые коэффициенты для , , равны соответственно ; ; . Нечеткое отношение задано в табличном виде: Здесь нечеткие числа , , являются симметричными треугольными числами: ; ; . При решении использовать метод аддитивной свертки. Задача 6. Отобрать комплект характеристик товара из трех представленных для экспертной оценки (альтернативы): , , . Учитывать три критерия: - независимость характеристик товара; - ясная и однозначная воспринимаемость характеристик товара; - влияние характеристик на принятие решения о покупке товара. Весовые коэффициенты для , , равны соответственно ; ; . Нечеткое отношение задано в табличном виде: Здесь нечеткие числа , , являются симметричными треугольными числами: ; ; . При решении использовать метод аддитивной свертки. Задача 7. Вычислить - значение функции упорядочения нечетких чисел, используя табличные данные.