Начертательная геометрия

МИНИСТЕРСВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение Высшего образования «Южно-Уральский государственный университет» (Национальный исследовательский университет) Филиал в г. Миассе Кафедра «Техническая механика и естественные науки» Бережко Л.Н. Краткий конспект лекций по начертательной геометрии с упражнениями для студентов заочной формы обучения Миасс, 2017 Проецирование точки на три плоскости проекций Проецирование – это процесс получения изображения. Это изображение в начертательной геометрии называют проекцией. В основе инженерного проецирования лежит метод ортогонального (прямоугольного) проецирования. Проекция точки на плоскость проекций получается в пересечении проецирующего луча, проведенного через точку перпендикулярно плоскости проекций, с этой плоскостью. По другому можно себе представить, что проекция точки есть ее изображение на плоскости, только это изображение называют проекцией. П1 – плоскость проекций А1 – проекция точки А на П1 Рисунок 1 Подойдите к зеркалу, возьмите в руку небольшой мячик, катышек хлеба или еще что-то круглой формы и вы увидите в зеркале его изображение – это и есть проекция предмета или точки, которую вы держите в руке. В дальнейшем эту операцию можно проделывать и с прямой, и с плоскостью, и с любой поверхностью. Каждый раз вы будете видеть изображение отдельного предмета или нескольких предметов, например, две параллельные прямые – это два параллельных карандаша и т.д. Этот метод позволяет лучше понять принцип проецирования. При ортогональном проецировании плоскости проекций перпендикулярны друг другу. Название плоскостей проекций определяется их положением: Горизонтальная плоскость проекций - П1 Фронтальная плоскость проекций – П2 Профильная плоскость проекций – П3 Соответственно проекции точки называются: А1 – горизонтальная проекция точки А А2 – фронтальная проекция точки А А3 – профильная проекция точки А Оси координат X, Y,Z являются линиями пересечение плоскостей проекций. Рисунок 2 На рисунке 2 показаны плоскости проекций. Точка спроецирована на эти плоскости. А также показаны координаты точки А. В результате на рисунке 2 видна взаимосвязь между проекциями точки А и ее координатами. Для построения горизонтальной проекции точки А (А1) надо знать координаты Xa и Ya. Для построения фронтальной проекции точки А надо знать координаты Xa и Za. Для построения профильной проекции точки А надо знать координаты Za и Ya. В начертательной геометрии используют не пространственный чертеж точки, а плоский, именно он лежит в основе получения технического чертежа. Для получения комплексного (плоского ) чертежа надо развернуть плоскости проекций до плоского положения, для этого ось Y надо мысленно разрезать, плоскость П3 повернуть вправо до совмещения с П2. Плоскость П1 опустить вниз до совмещения с П2.В результате получается плоский чертеж, который называют комплексным чертежом точки или эпюром (рисунок 3). Рисунок 3 Рисунок 4 Далее вспомнив, что плоскости проекций безграничны, уберем границы плоскостей проекций и получим окончательный комплексный чертеж точки (рисунок 4). Попробуем построить чертеж произвольной точки А ( 25, 5, 15) на рисунке 5 . Рисунок 5 Упражнение. Построить чертеж точек с заданными ординатами: А ( 30, 40, 15), В (40, 20, 10), С(45, 20, -20), Д ( 50, 20, 30), Е(50, 20, 40), К(60,30,15), М(60,40,15), Р( 0,10,40), Ж( 25,0,20), Ф(15,15,0). Обратим внимание на точки Д и Е, К и М. Эти точки называются конкурирующими. С помощью таких точек определяется видимость на чертеже. Точки Д и Е. У точки Д координата Z меньше, чем у точки Е, остальные координаты одинаковые, следовательно они лежат на одном перпендикуляре к плоскости П1 и называются горизонтально конкурирующими. Т.К. Zд меньше, чем ZЕ, то точка Д лежит под точкой Е и ее проекция является видимой на плоскости П1 Точки К и М . У точек одинаковы координаты кроме координаты Y, а это значит, что они лежат на одном перпендикуляре к плоскости П2,их называют фронтально конкурирующими и точка М лежит перед точкой К, а следовательно на П2 будет видима проекция М2. Безосный способ изображения точки На практике в черчении не важно, где в пространстве находится изображаемый объект, а важны его форма и размеры. В этом случае необходимо на чертеже выдержать разницу координат, а не сами координаты, т.к. именно разница координат определяет размеры объекта. Для этого применяют безосный способ изображения точки. Обратите внимание на рисунок 5. На нем видна связь между проекциями точки: Горизонтальная и профильная проекции А1 и А2 лежат на одной вертикальной линии связи, Фронтальная и профильная проекции точки лежат на одной горизонтальной линии связи (А2 и А3). Эта связь сохраняется при выполнении безосного чертежа ( рисунок 6) k k- постоянная эпюра, которая проводится под углом 45 градусов к основанию чертежа. Рисунок 6 В дальнейшем для решения задач будем использовать безосный способ изображения. Комплексный чертеж прямой Прямая в пространстве может быть задана двумя точками. Следовательно на чертеже ее можно задать чертежом двух ее точек ( рисунок 7). Рисунок 7 Далее будем работать в системе двух плоскостей проекций П1 и П2. Тогда чертеж прямой будет выглядеть так Рисунок 8 Если точка лежит на прямой, то проекция точки лежит на одноименной проекции прямой. Какие точки лежат на прямой, а какие нет (рисунок9). Рисунок 9 Если точка делит отрезок в некотором отношении , то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении. Точка К принадлежит отрезку АВ и делит его в отношении 3:2, то проекция точки К делит проекции отрезка в том же отношении – АК:КВ=3:2 и А1К1:К1В1=3:2; А2К2:К2В2 =3:2 (рисунок 10). Рисунок 10 Упражнение. На отрезке АВ найти точку, делящую его в отношении 1:4 (рисунок11) Рисунок 11 Классификация прямых По своему положению по отношению к плоскостям проекций прямые делят на прямые общего положения и прямые частного положения, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций. Прямые частного положения в свою очередь делят на прямые уровня -параллельные какой либо плоскости проекций и проецирующие прямые -перпендикулярные какой либо плоскости проекций. Прямые уровня. Горизонталь - прямая параллельная П1. Все точки этой прямой имеют одинаковую координату Z. Отсюда ее чертеж (рисунок 12) Рисунок 12 Рисунок 13 Фронталь - прямая параллельная П2. Все точки этой прямой имеют одинковую координату Y ( рисунок13) Проецирующие прямые. Горизонтально проецирующая прямая – прямая перпендикулярная П1. Следовательно на П1 она проецируется в точку ( рисунок 14). Рисунок 14 Рисунок 15 Фронтально проецирующая прямая – прямая перпендикулярная П2. Следовательно на П2 она проецируется в точку (рисунок 15). Взаимное положение прямых в пространстве и на комплексном чертеже Прямые параллельны, если параллельны их одноименные проекции (рисунок 16) Если прямые пересекаются, то пересекаются их одноименные проекции и точки пересечения проекций лежат на одной линии связи ( рисунок 17). Все остальные прямые скрещиваются (рисунок 18) Рисунок 16 Рисунок 17 Рисунок 18 Упражнение. Определить, как расположены между собой прямые (рисунок19) Рисунок 19 Упражнение. Провести через точку фронталь, пересекающую заданную прямую a (рисунок 20) Рисунок 20 Рисунок 21 Упражнение. Через точку К провести прямую параллельную, заданной прямой (рисунок 21). Определение натуральной величины отрезка Если отрезок является отрезком общего положения, то на плоскость проекций он проецируется с искажением. Причем длина проекции отрезка всегда меньше самого отрезка ( рисунок 22) Рисунок 22 Рисунок 23 Для определения натуральной величины отрезка общего положения надо построить прямоугольный треугольник один катет, которого совместить с одной из проекций отрезка, второй катет взять равным разнице координат (если один катет А1В1, то второй катет равен разнице координат Za-Zb, если один катет А2В2, то разница координат Ya-Yb) (рисунок 23) Упражнение. Найти натуральную величину отрезков (рисунок 24) Рисунок 24 Теорема о проецировании прямого угла Для определения расстояний в задачах необходимо уметь строить прямые углы с прямыми, с плоскостями. А если рассматривать прямоугольный треугольник , то при проецировании его на плоскость проекций искажаются длины сторон, а следовательно и углы. В начертательной геометрии есть единственное положение прямого угла, которое позволяет строить прямые углы на чертеже. Это условие оговаривается теоремой о проецировании прямого угла. Теорема о проецировании прямого угла Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, вторая сторона не перпендикулярна плоскости, то на данную плоскость проекций угол проецируется в натуральную величину. Упражнение. Прямые n и m пересекаются под прямым углом. Построить m2 (рисунок 25) Упражнение. Найти расстояние от точки до прямой ( рисунок 26). Рисунок 25 Рисунок 26 Комплексный чертеж плоскости. Задание плоскости на чертеже. Плоскость на чертеже задается теми же геометрическими элементами, что и в пространстве, а именно: 1. Чертежом трех точек. ( только задаются не сами точки, а их проекции) 2. Чертежом прямой и точки, на ней не лежащей 3. Чертежом двух параллельных прямых 4. Чертежом двух пересекающихся прямых 5. Любой плоской фигурой (треугольником, параллелограммом и т.д.) Рисунок 27 Классификация плоскостей Плоскости по своему положению по отношению к плоскостям проекций делят на плоскости общего положения и плоскости частного положения – параллельные и перпендикулярные плоскостям проекций. Разберем плоскости частного положения и их свойства. Плоскости уровня – это плоскости параллельные одной из плоскостей проекций. Горизонтальная плоскость уровня – это плоскость параллельная горизонтально плоскости проекций, а следовательно все точки этой плоскости имеют одинаковую координату Z. Т.к. эта плоскость параллельна П1, то она перпендикулярна плоскости проекций П2, а значит проецируется на нее в прямую, а плоскость П1 в натуральную величину. Пример этих плоскостей на рисунке28 Рисунок 28 Фронтальная плоскость уровня – это плоскость параллельная фронтальной плоскости проекций П2, а следовательно все ее точки имеют одинаковые координаты Y и на плоскость П2 проецируются в натуральную величину. Т.К. эта плоскость параллельна плоскости проекций П2, то она перпендикулярна плоскости П1, а значит проецируется на нее в прямую. Пример таких плоскостей на рисунке 29. Рисунок 29 Плоскости проецирующие – плоскости перпендикулярные одной из плоскостей проекций. Горизонтально проецирующая плоскость – это плоскость перпендикулярная плоскости проекций П1, а значит на П1 она проецируется в прямую. Примеры на рисунке 30 Фронтально проецирующая плоскость – это плоскость перпендикулярная плоскости проекций П2, а значит на П2 она проецируется в прямую. Примеры на рисунке 31 Рисунок 30 Рисунок 31 У всех этих плоскостей есть одно важное свойство – они перпендикулярны одной из плоскостей проекций, а, следовательно, проецируются на нее в прямую. Это значит, что любая точка, любая прямая, любая плоская фигура, лежащие в этих плоскостях, на одну из плоскостей проекций проецируются в прямую, совпадающую с проекцией плоскости. Это свойство используется при решении задач. Принадлежность прямой плоскости Прямая принадлежит (или лежит ) плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости . Но лучше использовать несколько иное определение, звучит оно иначе, но по сути тоже самое. Зато оно упрощает решение задач. Прямая принадлежит плоскости, если она пересекает две прямые, образующие плоскость. Рисунок 32 Среди множества прямых, принадлежащих плоскости, есть прямые, которые называют главные линии плоскости. Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций П1. Ее обозначают буквой h. Фронталь плоскости – Это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций П2. Ее обозначают буквой f. Примеры этих прямых на рисунке 33 Прямая AE – это горизонталь, т.к. ее проекция A2B2 параллельна оси X, т.е. расположена горизонтально. Прямая CK – фронталь, т.к. ее проекция C1K1 параллельна оси X, т.е. расположена горизонтально. Рисунок 33 Принадлежность точки плоскости Точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести прямую, лежащую в плоскости, т.е. пересекающую две прямые, образующие плоскость. Рисунок 34 Упражнение. Построить недостающую проекцию треугольника, лежащего в плоскости, заданной параллельными прямыми. Рисунок 35 Параллельность прямой и плоскости Прямая параллельна плоскости, если она параллельна хотя бы одной прямой, лежащей в плоскости ( рисунок 36). Упражнение. Провести через точку прямую, параллельную плоскости (рисунок 37). Рисунок 36 Рисунок 37 Параллельность плоскостей Плоскости параллельны между собой, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рисунок 38). Рисунок 38 Рисунок 39 Упражнение. Задать произвольную точку К и провести через нее плоскость, параллельную заданной (рисунок 39). Пересечение прямой с проецирующей плоскостью Если прямая пересекает плоскость – это значит, что она имеет с ней одну общую точку. И эту точку необходимо определить. Вспомним свойство плоскостей частного положения – все они перпендикулярны одной из плоскостей проекций, а, следовательно, проецируются на них в прямую. Все точки, лежащие в этих плоскостях, проецируются на эту прямую, а значит и точка пересечения прямой с плоскостью проецируется на эту прямую. Но эта же точка лежит на заданной прямой. Следовательно, чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, надо искать общую точку у проекций прямой и плоскости (рисунок 40). Упражнение. Найти точку пересечения прямых с соответствующими плоскостями (рисунок 40). Рисунок 40 Пересечение плоскостей, одна из которых плоскость частного положения Плоскости пересекаются по прямой. Чтобы построить линию пересечения плоскостей, надо искать у них две общие точки. Это сделать не сложно, если одна из плоскостей проецируется в прямую, а это возможно, если одна из плоскостей плоскость частного положения ведь все они перпендикулярны одной из плоскостей проекций (рисунок 41). Упражнение. Построить линию пересечения двух плоскостей (рисунок 42) . Рисунок 41 Рисунок 42 Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения Эта задача решается с применением правила нахождения точки пересечения прямой с плоскостью. Ее называют основной позиционной задачей начертательной геометрии. Рассматривать решение этой задачи мы не будем, т.к. в начертательной геометрии есть методы, позволяющие обойти решение таких задач и решать их в частном виде, например, как пересечение прямой с проецирующей плоскостью, рассмотренной ранее. Методы преобразования проекций Методов преобразования проекций много. Разберем самый простой из них - замена плоскостей проекций. Суть этого метода заключается в том, что при неизменном положении геометрических элементов в пространстве, плоскости проекций заменяются поочередно на новые, при этом сохраняется перпендикулярность плоскостей. Новые плоскости подбираются таким образом, чтобы геометрические элементы заняли по отношению к новым плоскостям частное положение. Разберем принцип замены плоскостей проекций на примере точки. Даны две перпендикулярные между собой плоскости проекций П1 и П3. Введем новую плоскость проекций П4, перпендикулярную плоскости П1. В этом случае появляется новая система плоскостей проекций П1-П4. Спроецируем точку в системе плоскостей проекций П1 – П2 и П1 – П4. Обратите внимание, что при такой замене плоскостей проекций у точки сохраняется координата Z. Перейдем к комплексному чертежу. Первым строим чертеж в системе плоскостей проекций П1 – П2. Проекции точки А1 – А2 лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси X. Выбираем в данном случае положение оси X» произвольно, а в дальнейшем будем ее выбирать особым образом. Тогда для построения проекции точки А4 надо использовать координату Z, а это есть расстояние от А2 до оси X.Откладывать это расстояние будем по перпендикуляру, проведенному из А1 к оси X», и от оси X». Т.е. А1 и А4 лежат на одном перпендикуляре к оси X» так же, как А1 и А2 на одном перпендикуляре к своей оси X (рисунок 43). Рисунок 43 Решение задач с помощью метода замены плоскостей проекций Это основа метода замены плоскостей проекций. Так как любая геометрическая фигура или поверхность есть множество точек, то при преобразовании их используется преобразование точки. Более подробно решение задач с использованием метода замены плоскостей проекций разобрано в «Методическом пособии по решению задач с помощью метода замены плоскостей проекций». Это пособие есть в папке «Бережко Л.Н.». Все задачи, решаемые в курсе начертательной геометрии, можно условно разбить на две группы, каждая из которых решается с помощью одного и того же преобразования. Задачи, связанные с прямыми ( натуральная величина отрезка, расстояние от точки до прямой и т.д.) решаются с помощью преобразования прямой общего положения в проецирующую прямую. Задачи, связанные с плоскостями ( расстояние от точки до плоскости, натуральная величина плоской фигуры и т.д.) решаются с помощью преобразования плоскости общего положения в проецирующую плоскость и, если надо, в плоскость уровня. Эти задачи подробно рассмотрены в раздаточном материале для практических занятий, выданных Вам. Разберем первое преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую. Это преобразование проводится в 2этапа. Преобразование начинается с того, что на прямой выбираются две произвольные точки, а дальше работают только с точками, как было рассмотрено ранее. Этап 1. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня. Если вспомнить чертеж прямых уровня, то у них у всех одна из проекций параллельна оси X. Потому, выбираем новую ось проекций параллельно одной из проекций прямой, например А1 В1. Дальше просто строим новые проекции точек А и В. Получим А4В4.Это первый этап ( рисунок 44). Этап 2. Преобразуем прямую уровня в проецирующую прямую. Вспомним для этого, что у прямых проецирующих одна из проекций перпендикулярна оси проекций. Поэтому выбираем ось проекций перпендикулярно А4В4. Далее строим новые проекции точек А5В5. Причем линии связи между ними будут перпендикулярны новой оси проекций. На новую плоскость П5 прямая проецируется в точку, следовательно, она перпендикулярна ей ( рисунок 45). Рисунок 44 Рисунок 45 Упражнения. 1. Найти расстояние от точки до прямой. 2.Найти расстояние между параллельными прямыми. 3.Найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Вторая группа задач, связанных с плоскостями, приведена в раздаточном материале. Там же рассмотрены задачи для решения контрольной работы №1. Поверхности. Задачи на поверхности разобраны в раздаточном материале. Все задачи, разобранные в нем, помогают при выполнении контрольных работ. Содержание контрольных работ дано в папке «НГ 2017 заочное» в файле «Задания по НГ 2017».Кроме этого в этой папке даны несколько методических разработок по выполнению контрольных работ. Варианты заданий даны в папке «Варианты задания по НГ».