Начертательная геометрия: способы построения пространственных форм на плоскости

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 1. Точки, расположенные в пространстве, — прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, О ... или цифрами: 1, 2, 3, 4, ... . 2. Прямые и кривые линии в пространстве — строчными буквами латинского алфавита: а, b, с, d, ... . 3. Плоскости — строчными буквами греческого алфавита: , β, γ, δ, ... . 4. Поверхности — прописными буквами греческого алфавита: Ф, Θ, ∑, ... . 5. Основные операции над геометрическими образами: а) совпадение двух геометрических образов: ≡, например А1≡В1; б) взаимная принадлежность геометрических образов: , например А а, аβ, В  β; в) пересечение двух геометрических образов: ∩, например а∩b, α∩β; г) результат геометрической операции: =, например К= γ∩а. 6. Способ задания геометрического образа указывается в скобках рядом с его буквенным обозначением. Например: а (А, В) — прямая задана двумя точками А и В; γ (А, В, С) — плоскость задана тремя точками А, В и С; β (а, А) — плоскость задана прямой а и точкой А; γ (α∩b) — плоскость задана пересекающимися прямыми а и b; δ(i║m) — плоскость задана параллельными прямыми i и m. 7. Углы — строчными буквами греческого алфавита φ, Ψ, ω, ... . Прямой угол обозначается символом ∟ с точкой внутри сектора. 8. Особые прямые и плоскости имеют постоянные обозначения: а) линии уровня: горизонталь — h, фронталь — f; б) следы плоскости обозначаются той же буквой, что и плоскость, с добавлением подстрочного индекса, соответствующего плоскости проекций, например  П . 1 9. Центр проецирования — прописной буквой латинского алфавита S. 10. Направление проецирования — строчной буквой латинского алфавита s. 11. Плоскость проекций при образовании комплексного чертежа — прописной буквой греческого алфавита П: горизонтальная — П1; фронтальная — П2; профильная — П3. 12. Новая плоскость проекций при замене плоскостей проекций — буквой П с добавлением подстрочного индекса: П4, П5, П6... . 13. Проекции точек, прямых и плоскостей — соответствующей буквой с добавлением подстрочного индекса, характеризующего плоскость проекций: на плоскости П1 — А1, а1, γ1; » » П2 — А2, а2, β2; » » П3 — А3, а3, δ3; 14. Оси проекций на комплексном чертеже: x12 , y1 , y3 , z23, ... . 15. Плоскость проекций при построении аксонометрических изображений — прописной буквой греческого алфавита с добавлением значка «штрих»: П. 16. Аксонометрические оси—х', у', г', начало аксонометрических осей — О'. 17. Аксонометрические проекции точек, прямых и плоскостей — буквами, соответствующими натуре, с добавлением значка «штрих»: А', а', . 18. Вторичные проекции — с добавлением подстрочного индекса: А1', А2', А3', а'1, а'2, а'3. ВВЕДЕНИЕ В нашей повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с различными инженерно-строительными сооружениями. Но прежде чем начать строительство, выполняют проект — комплект чертежей, определяющих форму и размеры сооружения. Начертательная же геометрия излагает и обосновывает способы построения пространственных форм на плоскости, поэтому она и входит в число дисциплин, составляющих основу инженерного образования. Основателем начертательной геометрии является французский инженер и ученый Гаспар Монж, который обобщил все имеющиеся приемы и методы изображения в стройную теорию и в 1795 г. ввел преподавание предмета «Начертательная геометрия» в инженерной школе в Париже. Начертательная геометрия со времен ее основоположника завоевала себе достойное место в высшей школе как наука, без которой немыслимо формирование инженера и архитектора. Изображения, построенные по законам, изучаемым в начертательной геометрии, дают информацию о форме изображенных предметов и их взаимном расположении в пространстве, позволяют определить их размеры, исследовать геометрические свойства. Важное прикладное значение этой дисциплины состоит в том, что она учит грамотно владеть выразительным техническим языком — языком чертежа, создавать чертежи и свободно их читать. Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного воображения и навыков правильного логического мышления. Совершенствуя нашу способность по плоскому изображению мысленно создавать представление о форме предмета, эта дисциплина готовит будущего инженера к успешному изучению специальных предметов и техническому творчеству — проектированию. Лекция № 1. ТОЧКА. ПРЯМАЯ 1. Метод проекций (метод Монжа) Любая точка пространства может быть спроецирована с помощью проецирующих лучей на любую поверхность. Выберем в пространстве произвольную точку S — центр проецирования (рис. 1) и некоторую плоскость . Чтобы построить проекцию точки А на плоскость , надо провести проецирующий луч SA и на пересечении его с плоскостью  отметить А1 — проекцию точки пространства А на плоскость . Следовательно, проекцией любой точки на плоскость называется точка пересечения с этой плоскостью проецирующего луча, проходящего через точку пространства. Аналогично можно построить проекцию любой точки (например, В или С). По направлению проецирующих лучей проекции делятся: на центральные (проецирующие лучи исходят из центра проецирования S, рис. 1); параллельные (центр проецирования удален в бесконечность, проецирующие лучи параллельны друг другу и заданному направлению, рис. 2). Параллельные проекции строятся следующим образом. Через точку А пространства проводим проецирующий луч параллельно направлению Рис. 1. Построение проекций точек проецирования и отмечаем точку пересечения его с плоскостью : А1 = АА1  , В1 = ВВ1  . В зависимости от направления проецирующих лучей относительно плоскости проекций параллельные проекции делятся на прямоугольные (проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций). См. рис. 2; Рис. 2. Прямоугольное проецирование косоугольные (проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости проекций). 2. Виды проекций Исходя из различных методов изображения начертательная геометрия содержит четыре основных раздела, а именно: ортогональные проекции, аксонометрические проекции, проекции с числовыми проекциями, перспективные проекции. Графические задачи, которые решаются одним методом, можно решить и любым другим. Но какой-то один будет наиболее удобен. 3. Ортогональные проекции точки Монж предложил проецировать на 2 или 3 взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Представим в пространстве некую точку А и спроецируем ее на три взаимно перпендикулярные плоскости П1, П2, П3. Для этого из точки опустим перпендикуляры (проецирующие лучи) на эти плоскости. В каждой плоскости отметим соответствующие проекции точки А: А1, А2, А3 (рис. 3). Рис. 3. Ортогональные проекции точки П1 — горизонтальная плоскость проекций; П2 — фронтальная плоскость проекций; П3 — профильная плоскость проекций; х12, у13, z23 — оси проекций; А1, А2, А3 — горизонтальная, фронтальная, профильная проекции точки А; АА1 — горизонтальнопроецирующий луч; АА2 — фронтально-проецирующий луч; АА3 — профильно-проецирующий луч; х, у, z — координаты точки А. Они показывают расстояние от точки до каждой плоскости проекции. Теперь построим проекции точки на комплексном чертеже (эпюре). Для этого мысленно развернем плоскости проекций П1 и П3 до совмещения с плоскостью П2. Эпюр — плоский чертеж, на котором плоскости проекции со всем тем, что на них изображено, совмещены одна с другой и с плоскостью чертежа. Очертания плоскостей, как правило, не дают. Если положение точки в пространстве определяется тремя координатами А (х, у, z), то положение проекции точки на плоскости двумя — А1(х, у), А2(х, z), А3(у, z). Горизонтальная и фронтальная проекции точки расположены на перпендикуляре к оси Oх, фронтальная и профильная проекции на перпендикуляре к оси Оz. При решении практических задач координаты точек задают числами. Например: В (70, 35, 15 — рис. 5). У точки В ни одна координата не равна нулю — это точка общего положения, т. е. она не принадлежит ни одной плоскости Рис. 4. Комплексный чертеж точки проекций и не лежит ни на одной оси проекций. Координаты точки могут равняться 0. В этом случае точка занимает частное положение. Если 0 равна одна координата, то точка принадлежит одной из плоскостей проекций. Например: С (30, 0, 20), Су = 0  С  П2, D (18, 20, 0), Dz = 0  D  П1 (см. рис. 5). Если 0 равны две координаты, то точка принадлежит одной из осей проекций. Например: К (10, 0, 0). Ку = Кz = 0  К  Оx. Рис. 5. Проекции точек Две проекции точки вполне определяют положение точки пространства. Третью проекцию всегда можно построить по двум заданным. 4. Конкурирующие точки Точки, расположенные на одном проецирующем луче по отношению к плоскости проекций, называются конкурирующими (рис. 6). Рис. 6. Конкурирующие точки Из двух конкурирующих точек А и В на плоскости П1 видимой будет точка А, которая расположена дальше от плоскости П1 и, следовательно, имеет большую координату z. Из двух конкурирующих точек В и D на плоскости П2 видимой будет точка D, так как она расположена дальше от плоскости П2 и, следовательно, имеет большую координату у. 5. Комплексный чертеж прямой Простейший элемент всякой геометрической фигуры — прямая линия определяется в пространстве двумя точками, принадлежащими ей. На комплексном чертеже проекции прямой задаются проекциями этих точек (рис. 7). Рис. 7. Комплексный чертеж прямой Пусть заданы проекции точек А (А1, А2) и В (В1, В2). Соединив их, мы получим проекции прямой. Для определения положения прямой в пространстве достаточно двух проекций прямой, третью всегда можно построить по двум заданным. На примере |АВ| можно видеть, что прямая может занимать произвольное положение относительно плоскостей проекций. Прямая АВ общего положения, так как ее проекции А1В1, А2В2, А3В3 не параллельны ни одной из осей проекции. Прямая общего положения — прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций. 6. Прямые общего и частного положений Прямых в пространстве можно провести множество. Они могут занимать различное положение относительно плоскостей проекций. Прямую общего положения мы рассмотрели выше (см. рис. 7). Прямые же частного положения могут быть: прямыми уровня (они параллельны какой-либо плоскости проекций): a ║П1, a ║П2, a ║П3; проецирующими прямыми (они перпендикулярны какой-либо плоскости проекций): a  П1, a П2, a П3. Рассмотрим прямые уровня. Если прямая параллельна какой-либо плоскости проекций, то ее проекция на эту плоскость параллельна самой прямой, а две другие ее проекции параллельны осям проекций. Отрезок прямой, параллельный какой-либо плоскости проекций, изображается на ней в натуральную величину (н. в.). Также в натуральную величину изображаются на этой плоскости проекций и углы наклона отрезка прямой к двум другим плоскостям проекций. На рис. 8 изображен отрезок прямой AB, параллельный П2, — фронталь f (f1,f2). f1 (A1B1) ║ Ох; f2(A2B2) — натуральная величина (н. в.) отрезка; 1 — угол наклона к П1; 3 — угол наклона к П3; Угол наклона к П2 = 0. Рис. 8. Фронталь Рис. 9. Горизонталь CD ║ П1 — горизонталь h (h1, h2); h2 (А2В2) ║ Ох; h1 (А1В1) — н. в. отрезка; 2 — угол наклона к П2; 3 — угол наклона к П3. Угол наклона к П1 = 0. EF ║ П3 — профиаль p (p1, p2, p3); p1 (Е1F1) ║ Оу; p2 (Е2F2) ║ Оz; p3 (Е3F3) — н. в. отрезка; 1 — угол наклона к П1; 2 — угол наклона к П2. Угол наклона к П3 = 0. Рис. 10. Профиаль На рис. 8, 9, 10 изображены прямые, параллельные одной плоскости проекций. Но линия может быть параллельна и двум плоскостям проекций, тогда она перпендикулярна третьей. Рассмотрим проецирующие прямые. Если прямая перпендикулярна какойлибо плоскости проекций, то она проецируется на нее в точку, две другие ее проекции параллельны одной и той же оси проекций (рис. 11, 12, 13). Рис. 11. Горизонтально-проецирующая прямая Рис. 12. Фронтально-проецирующая прямая Рис. 13. Профильно-проецирующая прямая 7. Относительное положение точки и прямой (позиционная задача) Возможны два случая взаимного расположения (рис. 14): точка принадлежит прямой Аl ; точка не принадлежит прямой Вl. Рис. 14. Взаимное положение точки и прямой Итак, если точка принадлежит прямой, принадлежат одноименным проекциям прямой. то проекции точки 8. Следы прямой Особые точки прямой — ее следы. След прямой на плоскости проекций — это одна из точек прямой, а именно точка пересечения прямой с плоскостью проекций (рис. 15, 16). Рис. 15. Следы прямой Рис. 16. Построение следов прямой Прямая общего положения не параллельна ни одной плоскости проекций, т. е. она пересекается со всеми тремя плоскостями проекций и, следовательно, имеет три следа. Прямая уровня имеет два следа, прямая проецирующая — один след. Фронтальный след прямой (V) — это точка пересечения прямой с плоскостью П2. Горизонтальный след прямой (Н) — это точка пересечения прямой с плоскостью П1. В н и м а н и е ! Точки V и Н — точки частного положения, а именно V принадлежит плоскости П2, H принадлежит П1, следовательно, VV2 и V1x; HH1 и H2x. Правила построения следов прямой. Для нахождения горизонтального следа прямой продолжают проекцию прямой (l2) до пересечения с осью х и из этой точки восстанавливают перпендикуляр к оси х до пересечения с горизонтальной проекцией прямой. Для нахождения фронтального следа прямой продолжают горизонтальную проекцию прямой (l1) до пересечения с осью x и из этой точки восстанавливают перпендикуляр к оси x до пересечения с фронтальной проекцией прямой. 9. Взаимное положение прямых в пространстве (позиционная задача) Рассмотрим три варианта относительного положения двух прямых в пространстве: параллельные между собой прямые, пересекающиеся, скрещивающиеся. АВ ║ CD — две прямые параллельны, если их проекции соответственно параллельны (рис. 17). а  b — две прямые пересекаются, если точки пересечения их проекций лежат на одном перпендикуляре к оси проекций (на одной линии связи) (рис. 18). AB  CD — если прямые скрещиваются, то точки пересечения одноименных проекций не лежат на одном перпендикуляре к оси проекций (рис. 19). В последнем случае, пользуясь конкурирующими точками NM и LK, можно определить взаимное положение прямых относительно плоскостей проекций: АВ — перед CD (точка L перед K); АВ — под CD (точка M ниже N). Рис. 17. Параллельные прямые Рис. 18. Пересекающиеся прямые Рис. 19. Скрещивающиеся прямые 10. Проецирование прямого плоского угла Прямые, пересекаясь между собой, образуют плоский угол. Любой плоский угол (острый, тупой или прямой) проецируется на плоскость проекций в натуральную величину в том случае, если обе его стороны параллельны плоскости проекций (рис. 20). Прямой угол проецируется на плоскость проекций в натуральную Рис. 20. Проецирование прямого величину и в том случае, если одна его плоского угла сторона параллельна плоскости проекций, а другая этой плоскости не перпендикулярна. Это теорема о проецировании прямого плоского угла: а ║ П1, bа, b не параллельна П1  а1b1. 11. Определение натуральной величины отрезка прямой и углов наклона его к плоскостям проекций (метрическая задача). Метод прямоугольного треугольника Отрезок прямой общего положения изображается с искажением на любой плоскости проекций. Величина проекции отрезка меньше величины самого отрезка. На рис. 21 отрезок АВ не параллелен плоскости П1. 10  (АВ, П1) — это угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П1. Из точки А проводим линию АD, параллельную А1В1, получаем прямоугольный треугольник АВD, в котором гипотенуза — это натуральная величина отрезка АВ, один катет АD равен горизонтальной проекции отрезка А1В1, а вторым Рис. 21. Метод прямоугольного трекатетом является Δz — превышение угольника точки В над точкой А по отношению к плоскости П1. Теперь перенесем отрезок на плоский чертеж (рис. 22). Итак, для нахождения натуральной величины отрезка прямой общего положения надо построить прямоугольный треугольник, где один катет равен проекции отрезка на какую-либо плоскость проекций, а второй катет — превышению концов отрезка над этой плоскостью проекций. Гипотенуза прямоугольного треугольника есть н. Рис. 22. Определение угла 10 метов. отрезка, а угол между н. в. и дом прямоугольного треугольника проекцией отрезка есть угол наклона отрезка к соответствующей плоскости проекций. Этим же методом прямоугольного треугольника определяем угол наклона отрезка к плоскости П2: 02 (рис. 23). Рис. 23. Определение угла 02 методом прямоугольного треугольника Лекция № 2. ПЛОСКОСТЬ 1. Задание плоскости на чертеже Плоскость в начертательной геометрии обозначается буквами греческого алфавита , ,  и т. д. Плоскость может быть задана: (А, В, С) — тремя точками; (l, А) — прямой и точкой; (a║b) — двумя параллельными прямыми; (ab) — двумя пересекающимися прямыми; (АВС) — плоской фигурой; (п1, п2) — следами. Плоскость, заданная тем или иным способом, может быть выражена линиями пересечения плоскости с плоскостями проекций, т. е. следами. След плоскости — линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. На рис. 1 изображена плоскость , заданная следами: п1 – горизонтальным; п2 — фронтальным; п3 — профильным, x, y, z — точки схода следов. Проведем в плоскости произвольную прямую l. Следы этой прямой будут лежать на соответствующих следах плоскости. Н — горизонтальный след прямой находится на п1, а V — фронтальный след прямой — на п2. Рис. 1. Плоскость, заданная следами 2. Точка и прямая в плоскости Если точка лежит на прямой, то ее проекции находятся на соответствующих проекциях этой прямой (рис. 2): 2d, если 21d1, 22d2.. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с ней две общие точки 1 и 2 (рис. 2): d(ABC), если 1=d  АC , 2=d  BC . Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости: K , если K А1  (рис. 3). Если прямая принадлежит плоскости, то ее следы лежат на одноименных следах плоскости. Поэтому если плоскость задана не следами, то для нахождения следов плоскости надо построить следы прямых, принадлежащих этой плоскости. Рис. 2. Прямая в плоскости Рис. 3. Точка в плоскости 3. Главные линии плоскости В плоскости можно провести бесчисленное множество прямых. Среди них различают главные — это прямые, принадлежащие плоскости и занимающие частное положение относительно плоскостей проекций. Они делятся: 1) на линии уровня — h, f, p; 2) линии наибольшего наклона к плоскостям проекций — n, m, q. Линиями уровня являются: горизонталь плоскости h (h1,h2) — прямая, принадлежащая плоскости и параллельная П1: h   и h ║П1  h2 ║ х; фронталь плоскости f (f1, f2) — прямая, принадлежащая плоскости и параллельная П2: f   и f ║П2  f1 ║ х; профиаль p (p1, p2) — прямая, принадлежащая плоскости и параллельная П3: p  и p ║П3  p2 и p1  х. На рис. 4 изображены плоскости, заданные различным способом (треугольником и следами). В них проведены горизонталь и фронталь плоскости. Рис. 4. Линии уровня в плоскости Линиями наибольшего наклона к плоскостям проекций (рис. 5) являются: линия наибольшего наклона к плоскости П1 — n, перпендикулярная всем горизонталям плоскости: n  h, h ║П1  n1  h1; линия наибольшего наклона к плоскости П2 — m, перпендикулярная всем фронталям плоскости: m  f, f ║ П2  m2  f2. Рис. 5. Линии наибольшего наклона к плоскостям проекций Важно помнить: все главные линии плоскости одного наименования будут параллельны между собой; следы плоскости являются одновременно нулевой горизонталью, нулевой фронталью и нулевой профиалью плоскости; с помощью линий наибольшего наклона n, m, q определяют углы наклона заданной плоскости к плоскостям проекций. 4. Плоскости общего и частного положений Плоскость общего положения (рис. 1, 6) — плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций П1, П2, П3. Рис. 6. Плоскости общего положения Плоскости частного положения — плоскости, перпендикулярные одной или двум плоскостям проекций, т. е. проецирующие и плоскости уровня соответственно. Проецирующая плоскость — это плоскость, перпендикулярная одной плоскости проекций: а)   П1 — горизонтальнопроецирующая плоскость (рис. 7), 2 — угол наклона плоскости  к плоскости П2, 1 = 90о. Горизонтальный след плоскости  П1 Рис. 7. Горизонтально-проецирующая плоскость Рис. 8. Фронтально-проецирующая плоскость А1В1С1 обладает собирательным свойством: горизонтальные проекции всех точек, прямых, плоских фигур, принадлежащих плоскости, совпадают с горизонтальным следом плоскости; б)   П2 — фронтально-проецирующая плоскость (рис. 8), 1 — угол наклона плоскости  к плоскости П1. Фронтальный след плоскости  П А2В2С2 обладает 2 собирательным свойством; в)   П3 — профильно-проецирующая плоскость (рис. 9), (АВС) A=>A3  П3 , так как профильный след плоскости  П 3 обладает собирательным свойством. Плоскость уровня — это плоскость, перпендикулярная двум плоскостям проекций. (ABC) — горизонтальная плоскость, она параллельна П1 (рис. 10). Рис. 9. Профильно-проецирующая плоскость Ее фронтальная проекция А2В2С2 является следом плоскости и обладает собирательным свойством, т. е. фронтальные проекции всех точек плоскости принадлежат фронтальной проекции (следу) плоскости. Плоскость на рис. 11 фронтальная, т. е. параллельна П2. Ее горизонтальная проекция (след) обладает собирательным свойством. Рис. 10. Горизонтальная плоскость Рис. 12. Профильная плоскость Рис. 11. Фронтальная плоскость Плоскость на рис. 12 профильная, т. е. параллельна профильной плоскости проекций П3. Ее фронтальная и горизонтальная проекции (следы) обладают собирательным свойством. Итак, плоскости уровня изображаются прямыми линиями на тех двух плоскостях проекций, к которым они перпендикулярны. Фигуры, расположенные в плоскостях уровня, изображаются в натуральную величину на той плоскости проекций, которой они параллельны. Лекция № 3. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 1. Относительное положение плоскостей В курсе начертательной геометрии рассматриваются два вида геометрических задач: позиционные и метрические. К позиционным относятся задачи, в которых определяется взаимное расположение геометрических образов, например точки и плоскости, прямой и плоскости, двух плоскостей, плоскости и поверхности, прямой и поверхности, двух поверхностей. К метрическим относятся задачи, результатом которых является измерение расстояний или заданных геометрических образов. Рассмотрим некоторые позиционные задачи. Плоскости пространства бывают: 1) параллельные, 2) пересекающиеся. У параллельных плоскостей главные линии одного наименования параллельны. А так как следы плоскости — это нулевые горизонталь и фронталь, то и следы у таких плоскостей тоже параллельны (рис. 1). Плоскости параллельны, если две прямые одной плоскости Рис. 1. Параллельные плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости. Линия пересечения плоскостей, как всякая прямая, определяется либо двумя общими точками плоскостей, либо одной общей точкой и известным ее направлением. Рассмотрим некоторые случаи построения линии пересечения плоскостей. Задача 1. Пересекаются плоскость общего положения и фронтально-проецирующая: (АВС) — плоскость общего положения,   П2 (рис. 2). Линия пересечения определяется точками пересечения (1 и 2) фронтального следа Ï со сторонами 2 Ï АВС (так как обладает собирательным свойством). Отмечаем фронтальные проекции точек 1 и 2, затем с помощью линий связи достраиваем их горизонтальные проекции, соединив которые 2 Рис. 2. Задача 1 получаем горизонтальную проекцию линии пересечения. З а д а ч а 2 . Пересекаются плоскость общего положения и горизонтальнопроецирующая (рис. 3):  (АВС) — плоскость общего положения,  (DEF)  П1.    = (1, 2), (1, 2)  , П1  (11, 21)1, (1, 2)    1  АС; 2  СВ. Рис. 3. Задача 2 Сначала определяем горизонтальную проекцию линии пересечения. Она совпадает с горизонтальным следом плоскости . Затем с помощью линий связи достраиваем фронтальную проекцию линии пересечения. З а д а ч а 3 . Пересекаются плоскость общего положения и плоскость уровня (например, горизонтальная) (рис. 4).  (АВС) — плоскость общего положения,  ║ П1, П обладает 2 собирательным свойством, следовательно, (12, 22) — фронтальная проекция линии пересечения.    = (1, 2), (1, 2)  , 2  (12, 22)  П , 2 (1, 2)    1 АС; 2  ВС. Рис. 4. Задача 3 Линия пересечения плоскостей является границей видимости, видимость определяется методом конкурирующих точек. З а д а ч а 4 . В случае, если две пересекающиеся плоскости общего положения, то задача решается методом посредника (рис. 5). Алгоритм решения задачи следующий: 1) проводим вспомогательную плоскость   2 (или  1); 2)     (1, 2) — плоскость  пересекается с плоскостью  по линии (1, 2); 3)     — плоскость  пересекается с плоскостью  по линии (3, 4); 4) (1, 2)  (3, 4) = К — линии (1, 2) и (3, 4) пересекаются в точке К; Рис. 5. Задача 4 5) К  , К    К  линии пересечения l; 6) проводим вторую вспомогательную плоскость  2 (или 1); 7)  ; 8)  = (7, 8); 9)   (7, 8) = M; 10) M  , M    M  линии пересечения l; 11) строим прямую КM — линию пересечения плоскостей  и ; 12) определяем видимость отсеков плоскостей с помощью конкурирующих точек. 2. Относительное положение прямой и плоскости Прямая может быть параллельной плоскости и может ее пересекать. Частный случай параллельности прямой и плоскости, когда прямая принадлежит плоскости, был рассмотрен в предыдущей лекции. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Результатом пересечения прямой и плоскости является точка. Разберем несколько вариантов пересечения прямой и плоскости. Пересечение прямой общего положения с плоскостью проецирующей (рис. 6). Прямая АВ общего положения, плоскость  (1, 2, 3, 4)  П2. АВ   = К. Рис. 6. Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью Плоскость  обладает собирательным свойством, значит, фронтальная проекция точки пересечения прямой с плоскостью лежит на фронтальной проекции плоскости  (1, 2, 3, 4), а горизонтальная проекция точки К — на А1В1. Пересечение проецирующей прямой и плоскости общего положения (рис. 7). l    K , l — проецирующая прямая l  П1,  — общего положения. Так как проецирующая прямая обладает собирательным свойством, то К1l1. Достраиваем К2 с помощью вспомогательной прямой. Пересечение прямой общего положения и плоскости общего положения (рис. 8). Для решения этой задачи, так как прямая и плоскость занимают общее положение, следует ввести «посредник». В качестве Рис. 7. Пересечение проецирующей «посредника» выбирается любая прямой и плоскости общего положения проецирующая плоскость. Итак, заключаем отрезок DE во фронтально-проецирующую плоскость . Находим проекции линии пересечения MN: сначала фронтальную проекцию M2N2, а затем горизонтальную M1N1 с помощью линий связи. На пересечении горизонтальной проекции D1E1 с проекцией MN находим горизонтальную проекцию К1 точки К, а затем с помощью линии связи — фронтальную проекцию К2. Частным случаем пересечения прямой с плоскостью является Рис. 8. Пересечение прямой общего перпендикулярность прямой и положения и плоскости общего положения плоскости. 3. Перпендикулярность прямой и плоскости Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе ее горизонталям и фронталям. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на чертеже ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости (в том числе и ее горизонтальному следу), а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости (в том числе и ее фронтальному следу). а    а1  h1  П ,   1 а2  f2  П . 2 Решим задачи. З а д а ч а 1 . Построить прямую a, перпендикулярную плоскости  и проходящую через точку К. Выполняем построение в соответствии с теоремой (рис. 9). Рис. 9. Построение перпендикуляра к плоскости З а д а ч а 2 . Определить расстояние от точки S до треугольника АВС (рис. 10). Рис. 10. Определение расстояния от точки до плоскости Алгоритм решения следующий: 1) через точку S проводим прямую а — перпендикуляр к плоскости АВС: а  S  а2  S2, а1  S1, а  АВС  а2  f2, а1  h1; Лекция № 4. ПОВЕРХНОСТИ 1. Классификация поверхностей Поверхность — это результат перемещения какой-либо линии, называемой образующей, по другой линии — направляющей. Поверхности классифицируются: 1) по виду образующей: а) линейчатые — образующая l прямая; б) нелинейчатые — l кривая; 2) по возможности совмещения поверхности с плоскостью: а) развертываемые — поверхность можно совместить с плоскостью без складок и разрывов; б) неразвертываемые — нельзя совместить; 3) по виду направляющей: а) гранные (направляющая — ломаная линия); б) кривые (направляющая — кривая); 4) поверхности вращения. Изобразим основные поверхности, которые будем изучать. Линейчатые поверхности с вершиной S (рис. 1, 2) могут быть пирамидальными и коническими. Рис. 1. Пирамидальная поверхность (m — ломаная) Рис. 2. Коническая (направляющая MN кривая) Линейчатые поверхности с вершиной S (удаленной в бесконечность) представляют цилиндрическую поверхность, образованную образующей АВ и направляющей NM — кривой линией (рис. 3), и призматическую поверхность (направляющая — ломаная) (рис. 4). Рис. 3. Цилиндрическая поверхность Рис. 4. Призматическая поверхность Поверхности вращения (рис. 5) образуются при вращении какой-либо линии (образующей) вокруг неподвижной оси, при этом каждая точка образующей совершает движение по окружности, называемой параллелью. Плоскость параллели перпендикулярна оси вращения, а радиус параллели равен расстоянию от точки до оси вращения. Рис. 5. Поверхности вращения 2. Гранные поверхности: 2.1 Призма Рис. 6. Призма Построение точки на призме. Каждая грань призмы представляет собой плоскость, которая является горизонтально-проецирующей (т. е. перпендикулярной П1). Боковая поверхность призмы обладает собирательным свойством. Поэтому все точки, лежащие на боковой поверхности призмы, спроецируются на П1 на проекцию призмы (треугольник). Третью проекцию точки достраиваем с помощью линий связи (рис. 6). Сечение призмы плоскостью . При пересечении поверхности плоскостью в секущей плоскости получается плоская фигура, называемая фигурой сечения (рис. 7). Она ограничивается замкнутой линией: ломаной, если плоскостью пересекается многогранник, и кривой, если пересекается криволинейная поверхность. Точки, определяющие линию фигуры сечения, строятся как точки пересечения ребер многогранника с заданной секущей плоскостью. Фронтальный след плоскости 2 обладает собирательным свойством, следовательно, (122232425262) — фронтальная проекция фигуры сечения. Горизонтальные проекции точек определяем в проекционной связи на соответствующих ребрах призмы. Видимость линий сечения устанавливаем по видимости граней. В задачу на построение фигуры сечения поверхности плоскостью обязательно входит определение натуральной величины фигуры сечения. Так как это плоская фигура, то ее н. в. определяется методом замены плоскостей проекций или методом вращения (см. в лекции 4), которые нам уже известны. Проекции фигуры сечения и н. в. изображаются заштрихованными. Рис. 7. Построение сечения призмы плоскостью Наглядное изображение перечерчивать не нужно! Построение развертки. Плоская фигура, полученная совмещением поверхности с плоскостью без складок и разрывов, называется разверткой (рис. 8). К группе развертываемых относятся только линейчатые поверхности (к примеру, сферу (шар) развернуть нельзя). Рис. 8. Построение развертки призмы При построении развертки используют натуральные величины ребер. Ребра призмы параллельны П2, следовательно, на П2 они проецируются в натуральную величину (рис. 8). Основание лежит в плоскости П1, значит, на П1 ребра основания проецируются в н. в. При построении полной развертки к боковой поверхности пристраивают основания. Следует отметить: 1) длины соответствующих линий на поверхности и ее развертке равны между собой; 2) площади фигуры, ограниченной замкнутой линией, на поверхности и ее развертке одинаковы; 3) углы между линиями на поверхности и ее развертке равны. 2.2. Пирамида Построение точки на пирамиде (рис. 9). Каждая грань пирамиды есть плоскость, и, следовательно, проекции точки, принадлежащей поверхности, определяются исходя из условия принадлежности точки плоскости. Напомним: С, если СSE (точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости). Если же точка лежит на ребре пирамиды, то ее проекции будут лежать на соответствующих проекциях этого ребра. Построение натуральной величины фигуры сечения пирамиды плоскостью . Выполняется аналогично построению сечения призмы плоскостью (рис. 10). Построение развертки (рис. 10). Выполняем следующим образом: н. в. ребер пирамиды Рис. 9. Пирамида определяем как гипотенузу прямоугольного треугольника, один катет которого равен горизонтальной проекции ребра, а второй высоте пирамиды, или методом вращения; каждую грань пирамиды на развертке строим как треугольник по трем сторонам в н. в. При построении полной развертки к боковой поверхности достраиваем основание; точку, заданную на поверхности пирамиды, на развертку наносим исходя из условия принадлежности ее определенной грани или ребру. При обводке чертежа развертки ребра пирамиды внутри контура развертки обводят штрихпунктирной тонкой линией с двумя штрихами. Рис. 10. Построение сечения и развертки пирамиды 3. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Линейчатая развертываемая поверхность вращения называется конусом. Образуется она путем перемещения прямой l (образующая) по кривой линии m (направляющая). Образующая l вращается вокруг оси вращения конуса. У конуса m (направляющая) есть окружность. Образующая при перемещении проходит через одну и ту же точку пространства — вершину S. Рис. 1. Конус 3.1. Конус Построение точки на конусе. Проекции точки, заданной на конусе, определяют с помощью параллели (это окружность, лежащая на поверхности конуса параллельно основанию) или образующей l (рис. 1). Если на поверхности конуса дана одна проекция точки, то через нее проводим образующую (или параллель) и, найдя недостающую проекцию образующей (или параллели), переносим на нее с помощью линии связи недостающую проекцию точки. Построение проекций конуса с вырезом (рис. 2). Порядок построения такой же, как и в предыдущей задаче. Проекции точек, определяющих вырез, точнее строятся с помощью параллели. Любая линия на поверхности вращения, не совпадающая с образующей, — кривая, для построения которой необходимы минимум три точки. При построении необходимо определять характер кривой на поверхности. Например: кривая 3, 4, 5 — параллель, кривая 1, 2, 3 — парабола и т. д. Построение проекций пирамиды с вырезом (рис. 3). Проекции характерных точек, определяющих вырез, удобнее строить с помощью линий, параллельных основанию. Вспомогательная секущая плоскость  дает в сечении правильный шестиугольник, подобный основанию. Часть этого сечения есть линия выреза А14В. Точку С строят с помощью секущей плоскости . Точки 2 и 3 строят как точки, лежащие на ребрах пирамиды. Рис. 2. Конус с вырезом Рис. 3. Пирамида с вырезом Построение проекций призмы с вырезом (рис. 4). 1. Намечаем характерные точки на контуре выреза: 12, …, 62. 2. Строим горизонтальные проекции точек исходя из их принадлежности поверхности призмы (поверхность призмы занимает проецирующее положение относительно плоскости П1). 3. Строим профильную проекцию призмы и определяем на ней проекции точек выреза, используя координату у. 4. Проводим линии, определяющие форму выреза внутри тела. 2. Задачи на пересечение прямой с поверхностью Построение точек пересечения прямой с поверхностью геометрического тела в общем виде можно свести к следующему алгоритму: заключаем заданную прямую в ту или иную плоскость (чаще проецирующего положения); находим линию пересечения вспомогательной плоскости (посредника) с Рис. 4. Призма с вырезом поверхностью заданного тела; определяем точки пересечения линии сечения с данной прямой, они будут искомыми точками пересечения прямой с поверхностью тела. Положение вспомогательной плоскости (посредника) выбирается так, чтобы фигура сечения и ее проекции были графически простыми (прямые или окружности). Если геометрическое тело занимает проецирующее положение (прямой цилиндр, прямая призма), то проекции точек строят без применения вспомогательной плоскости. З а д а ч а 1 . Построить пересечение прямой АВ с поверхностью призмы (рис. 5). В данном примере проекции точек пересечения могут быть найдены без вспомогательных плоскостей, только с помощью линий связи. В точке М прямая АВ пересекает грань призмы, а в точке N — верхнее основание. Проекции М2 и N1 находим с помощью линий связи. З а д а ч а 2 . Найти точки пересечения прямой АВ с треугольной пирамидой SCDE (рис. 6). В этом случае прямую заключаем во фронтально-проецирующую плоскость . Находим линию пересечения плоскости  с Рис. 5. Пересечение прямой пирамидой, это точки 1, 2, 3. На этом сечении АВ с поверхностью призмы определим искомые точки М и N, или точки входа и выхода. З а д а ч а 3 . Найти точки пересечения прямой АВ с прямым круговым цилиндром (рис. 7). Рис. 6. Пересечение прямой АВ с треугольной пирамидой Рис. 7. Пересечение прямой АВ с прямым круговым цилиндром Точки пересечения находим без вспомогательных плоскостей. Так как боковая поверхность цилиндра перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, горизонтальные проекции М1 и N1 пересечения прямой с цилиндром будут находиться в пересечении горизонтальных проекций цилиндра и прямой линии АВ. Фронтальные проекции находят с помощью линий связи. Видимость прямой определяется по положению точек М и N. Точка М лежит на видимой стороне цилиндра, а точка N — на невидимой. З а д а ч а 4 . Найти точки пересечения горизонтально-проецирующей прямой АВ с прямым круговым конусом (рис. 8). Так как прямая АВ проецирующая, а ее горизонтальная проекция вырождается в точку, то эта задача имеет два решения. Первое решение заключается в том, что через горизонтальную проекцию прямой можно провести параллель в виде окружности и найти ее проекцию на фронтальной плоскости, а на ней точку пересечения К. Второе решение: через прямую проводим горизонтально проецирующую плоскость так, чтобы она прошла через вершину конуса. В сечении получается треугольник по образующим SC и SN. Строим на фронтальной плоскости проекций сечение, оно будет в виде треугольника, в пересечении с которым находим точку выхода К. З а д а ч а 5 . Найти точки пересечения горизонтальной прямой АВ с прямым круговым конусом (рис. 9). Заданная прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций, поэтому она имеет два решения. Рис. 8. Пересечение Рис. 9. Пересечение прямой АВ, параллельной П1 с прямым прямой АВ, круговым конусом перпендикулярной П1 с прямым конусом круговым Первое решение: прямую заключаем в горизонтальную плоскость и находим ее сечение с конусом в виде окружности на горизонтальной плоскости проекций. Пересечение прямой с окружностью даст две точки К и F. Второе решение, годное и для прямой общего положения, состоит в том, что плоскость (общего положения) проводим через две точки прямой АС и вершину конуса. Находим след плоскости АSС. Для этого ищем следы прямых SA и SC — это точки М1 и M 1 . Через горизонтальные проекции следов М1 и M 1 проводим горизонтальный след секущей плоскости. Линия пересечения следа плоскости с основанием конуса даст две точки D и E. Соединяя их с вершиной, получим сечение конуса в виде треугольника, а на нем точки пересечения К и F прямой с поверхностью конуса. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ При пересечении поверхностей можно получить: полное пересечение (проницание), в этом случае линия пересечения представляет собой два замкнутых контура; неполное пересечение (врезка), когда линия пересечения представляет собой один замкнутый контур. Пересечение двух поверхностей находят: 1) способом вспомогательных секущих плоскостей — проецирующими плоскостями или плоскостями общего положения; 2) способом сфер. При выборе положения вспомогательных плоскостей (посредников) необходимо стремиться к получению сечений простейшего вида. Если одна из пересекающихся поверхностей занимает проецирующее положение по отношению к одной из плоскостей проекций (а это могут быть цилиндр или призма), то задача решается без посредников: с одной из проекций тела, занимающего проецирующее положение, совпадает соответствующая проекция линии пересечения. Недостающие проекции линии достраиваем с помощью линий связи. Построив линию пересечения двух поверхностей, нужно определить видимость. 1. Пересечение многогранников Результатом пересечения двух многогранников является ломаная пространственная линия (рис. 1). Задача решается способом вспомогательных секущих плоскостей. Рис. 1. Пересечение многогранников Наглядное изображение перечерчивать не нужно, только три проекции поверхностей. В общем виде линию пересечения двух многогранников можно определить следующим образом: 1) найти точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого; 2) найти точки пересечения ребер второго многогранника с гранями первого; 3) найденные точки последовательно соединить прямыми линиями, следя за тем, чтобы каждая пара соединяемых точек лежала в одной грани. 2. Пересечение тел вращения (рис. 2, 3) Результатом пересечения двух тел вращения является плавная пространственная кривая. Если одна из поверхностей занимает проецирующее положение по отношению к какой-либо плоскости проекций (цилиндр), то на этой плоскости проекций проекция линии пересечения будет совпадать с проекцией данного тела (цилиндра). Другие проекции линии пересечения достраиваем с помощью линий связи. Если же ни одна из поверхностей не занимает проецирующее положение, то задача решается методом секущих плоскостей или методом сфер (см. ниже). 3. Пересечение многогранников с телами вращения (рис. 4, 5) При пересечении многогранника с телом вращения получается ломаная пространственная линия, участки которой — кривые второго порядка (окружность, парабола, гипербола). Задача решается методом секущих плоскостей. Если же одна или обе поверхности занимают проецирующее положение (в данном примере это цилиндр и призма), то недостающую проекцию линии пересечения достраивают с помощью линий связи. Рис. 2. Пересечение конуса с цилиндром Наглядное изображение перечерчивать не нужно! Рис. 3. Пересечение двух цилиндров Наглядное изображение перечерчивать не нужно! Рис. 4. Пересечение пирамиды с цилиндром Рис. 5. Пересечение призмы перечерчивать не нужно! с цилиндром Наглядное изображение 4. Пересечение тел вращения со сферой Пересечение поверхностей вращения со сферой (рис. 6) лежит в основе применения сфер в качестве вспомогательных поверхностей. Этот способ применяется только тогда, Рис. 6. Пересечение тел вращения со сферой когда тела имеют общую плоскость симметрии, расположенную параллельно какой-либо плоскости проекций. В этом случае оси поверхностей будут пересекаться. Для того чтобы шар пересек тело вращения по окружности, необходимо, чтобы его центр лежал на оси тела вращения (рис. 6). Задача. Построить линию пересечения двух цилиндров (рис. 7). Точка пересечения их осей Рис. 7. Пересечение цилиндров О2 является центром сфер. Проводим сферу радиусом R. При пересечении сферой большого цилиндра получаем линию KS, малого цилиндра — линию МN. Точки 7 и 3 есть точки пересечения двух линий сечения сферой цилиндров. Затем вводим еще одну сферу большего диаметра, которая дает возможность построить точки 6, 4, 2, 8. Точки 5 и 1 являются точками пересечения очерков цилиндров.